2º BACHILLERATO B - iesaricel.orgiesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-mat2-16-17/2bach cc... · 2º BACHILLERATO B – MATEMÁTICAS II – RESOLUCIÓN EJERCICIOS DE ÁLGEBRA

2º BACHILLERATO B – MATEMÁTICAS II – RESOLUCIÓN EJERCICIOS DE ÁLGEBRA SELECTIVIDAD 2016 (Profesor: Rafael Núñez)

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Página 1

1 Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante AX = B siendo 1 1 2

1 2

1 1 2

= − + +

A m m

m

1

7

− =

m

B m =

x

X y

z

a) [1’5 puntos] Discute el sistema según los valores de m. b) [1 punto] Resuelve el sistema para m = −3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que x = 2.

Resolución

*

2 2

* *

1 1 2 1 1 2 1

) : 1 2 : 1 2

1 1 2 1 1 2 7

det( ) ( 2) 2 2( 2) 2 3 0 0 3

( ) 3 det 00 3

( ) 3

− = − + = − + + +

= + + − − + − + + = + = ⇔ = = −

= ≠− ≠ ≠ − ⇒

=

m

a matriz de coeficientes A m m matriz ampliada A m m m

m m

A m m m m m m m m ó m

rango A porque ASi m y m

rango A porque A tien *

*

*2 1

3

3

, ( ) ( ) 3 º

1 1 21 1

0, 1 2 0 ( ) 2, 01 2

1 1 2

1 1 2 1

1 2 0 0

1 1 2 7

− = = = ⇒

− = = − = ≠ −

→ = − +

e sólo filas y A contiene a A

Usando el teorema de Rouché Fröbenius rango A rango A n de incógnitas Es un SCD

Si m A rango A porque el menor

A F F

F 1

*2 1

3 1 3 2 3

1 1 2 1

0 3 2 1

0 60 0 0 6

1 1 21 2

3, 1 1 3 ( ) 2, 01 3

1 1 1

1 1 2 4 1 1 2 41 1 2 4

1 1 3 3 0 0 1 10 0 1 1

3. lim1 1 1 7 0 0 3 3

⇒ − ⇒ =

− = − = − − − = ≠ − − −

→ = − − − − + − → − − = →− −

Es un SI

F

Si m A rango A porque el menor

A F F

F F como F F e inamos F

* *( ) 2 , ( ) ( ) 2 º

= ⇒ − = = < ⇒rango A Por el teorema de Rouché Fröbenius rango A rango A n de incógnitas Es un SCI

1 1 2 4b) Usando el apartado anterior, para m 3 obtenemos la matriz del sistema

0 0 1 1

x y 2z 4que da lugar al sistema z 1 , sustituyendo en la 1ª ecuación se obtiene

z 1

x y 6 ; y ; x 6 . Las inf initas soluciones del sistema

= − −

+ + =⇒ = −

− =

+ = = λ = − λ

x 6

son y , con R

z 1

2 6 4

Para det er min ar si existe una solución que tenga x 2 sustituimos y

z 1

x 2

Por tan to, existe dicha solución , que es y 4

z 1

= − λ

= λ λ ∈ = −

= − λ ⇒ λ =

= = λ = −

=

= = −


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 2

2 De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente: · La empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas. · El beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos. a) [1’5 puntos] Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C. b) [1 punto] Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.

Resolución ; ;

0

2 02

= = =

= + − + =→ +

− − ==

Sea x beneficio de la empresa A y beneficio de la empresa B z beneficio de la empresa C

y x zx y z

y zx y zx

*

*

0 1 1 1

) 2 2 0 ; : 2 1 1

2 0 1 0 2

1 1 1 0

: 2 1 1 0

1 0 2 0

1 1( ) 2 det 0 0; ( ) (

2 1

− + = − = ⇒ − − = = − − − = −

− = − − −

−= = ≠ =

−

x y z

a Nos dicen que x z x y z matriz de coeficientes A

x z

matriz ampliada o matriz del sistema A

rango A porque A y rango A rango *

*

) 2

lim . , ( )

( ) 2 º (inf ). , .

=

− =

= = < ⇒

A porque en A la última columna

se puede e inar por ser nula Usando el teorema de Rouché Fröbenius rango A

rango A n de incógnitas es un SCI initas soluciones Luego la respuesta es que no

*

*

0 1 1 1

) 210 2 0 ; : 2 1 1

210 1 1 1

1 1 1 0

: 2 1 1 0

1 1 1 210

( ) 3 det 6 0

( ) 3

− + = − + + = ⇒ − − = = − − + + =

− = − −

= = ≠

=

x y z

b Nos dicen que x y z x y z matriz de coeficientes A

x y z

matriz ampliada o matriz del sistema A

rango A porque A

rango A porqu * *

*

*2 1

3 1

3

, ( ) ( ) 3 º .

1 1 1 0 1 1 1 0 0

2 1 1 0 2 0 1 3 0 3 0

1 1 1 210 0 2 0 210 2 2

− = = = ⇒

− − − + =→ = − − − − ⇒ − = − =

e A tiene sólo filas y A contiene a A

Usando el teorema de Rouché Fröbenius rango A rango A n de incógnitas Es un SCD

x y z

A F F y z

F F y

70

35

10 105

: 70 € ; B 35 € ; C 105 €

=

⇒ = =

→ → →

x

z

y

Beneficios A millones de millones de millones de


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 3

3 Considera las matrices 1 1 1

0 1 0

2 1 1

− = −

A y 3 3 2

8 7 4

8 6 3

− = − − −

B

(a) [1’75 puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A. (b) [0’75 puntos] Calcula B2 y B2016.

Resolución

1

1

1

1 1 1

) 2 2 ;

det( ) 0. det( ) 1 0. tan ,

2 (2 ) (2 )

Luego,

−

−

−

− − −

+ = ⇒ = −

≠ = ≠ ∃

= − → = − ⇒ = −

=

multiplicando por la izquierda por A

a Como AX B A AX A B Para despejar X es necesario que exista A y existirá

sólo si A Pero A Por to A

AX A B A AX A A B IX A A B

X [ ]1 1

1

1 0 2 1 0 11 1

(2 ); ( ) 0 1 1 0 1 0det( ) 1

1 0 1 2 1 1

1 0 1 1 1 1 3 3 2

(2 ) 0 1 0 2 0 1 0 8 7 4

2 1 1 2 1 1 8 6 3

1 0 1 1 1 0

0 1 0 8 5 4

2 1 1

− −

−

− − = = − = − − − −

− − − = − = − − =

− − − − −

− − = − − − −

t

tA A B A adj A

A

X A A B

13 9 5

8 5 4

12 8 5 6 5 1

− − = − − − − −

( ) ( )

23

1008 10082016 23 3

3 3 2 3 3 2 1 0 0

) 8 7 4 8 7 4 0 1 0

8 6 3 8 6 3 0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

− − = = − − = = − − − −

= = = =

b B BB I

B B I I


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 4

4 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales (3 1) 2 5

2

3 3 5

− + = −

+ = + = +

a x y a

ax y

ax y a

a) [1’5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. b) [1 punto] Resuélvelo para a = 1 y determina en dicho caso, si existe alguna solución donde x = 4.

Resolución

*

* 2

* *

3 1 2 3 1 2 5

) 1 1 2

3 3 3 3 5

det( ) (3 1)( 5) 12 3 (5 ) 3 (5 ) 6(3 1) 2 ( 5) 2 1 0 1

( ) 3 det( ) 0

1( ) 2 2 . .

− − − = = +

= − + + + − − − − − − + = − + = ⇔ =

= ≠

− ≠ ⇒=

a a a

a A a A a

a a a

A a a a a a a a a a a a a a

rango A porque A

Si arango A porque A tiene sólo columnas y son l i p

*

1

*

3

3 1 21 0

1

, ( ) ( )

2 2

1, 1 1 ( ) 1,

3 3

2 2 4 1 1 2:2

1 1 2 1 1 2

:33 3 6 1 1 2

−= − ≠

− ≠ ⇒

− = = =

=

aues el menor a

a

Usando el teorema de Rouché Fröbenius rango A rango A Es un SI

Si a A rango A porque las dos columnas son iguales

F

A

F

*

*

( ) 1,

, ( ) ( ) 1 nº de incógnitas

=

− = = < ⇒

rango A porque las tres filas son iguales

Usando el teorema de Rouché Fröbenius rango A rango A Es un SCI

*

1 1 22

) 1, 1 1 2 (1 1 2) 2 ,

1 1 2

4 2 2det min 4

4tan , ,

2

λλ

λ

λ λλ

= − = = ⇒ + = ⇒ ∈ =

= − ⇒ =−=

=

=

=−

∼

xb Para a A x y con R

y

Para er ar si existe una solución donde x sustituimosy

xPor to existe dicha solución que es

y


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 5

5 [2'5 puntos] Considera las matrices 1 0

1 1

=

A y

1 2

0 1

=

B

Determina, si existe, la matriz X que verifica AX + B2 = BX + A2.

Resolución

1

2 2 2 2 2 2

1

1

2 2 ( )

( ) ;

( ) ; det( ) 0.

0 2det( ) 2 0. tan , ( )

1 0

( )−

−

−

−

+ = + ⇒ − = − ⇒ − = −

− − ≠

−− = = ≠ ∃ −

− = − →multiplicando por la izquierda por A B

Como AX B BX A AX BX A B A B X A B Para despejar X

es necesario que exista A B existirá sólo si A B

Pero A B Por to A B

A B X A B

[ ]

1 1 2 2

1 2 2

1

1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

, ( ) ( )

0 1 0 21 1 1( ) ( )

2 0 1 0det( ) 2 2

0 2 1 0 1 0 1 2 1 21( ) ( )

1 0 1 1 1 1 0 1 0 12

0 21

2

− −

−

−

−

− − = − −

= − −

− − = − = = −−

= − − = − = −

=−

A B A B X A B A B

Luego X A B A B

tt

A B adj A BA B

X A B A B

1 0 1 4 0 2 0 4 4 0 2 01 1

1 0 2 1 0 1 1 0 2 0 0 4 0 22 2

− − = = = −


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 6

6 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 1

1

x y zx y z

x y z

λ λλ

λ

+ + =

+ + = + + =

a) [1’75 puntos] Determina, si existen, los valores de λ para los que el sistema tiene infinitas soluciones. b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = −2.

Resolución

*

*

1 1 1 1

) 1 1 1 1 1 . ,

1 1 1 1 1

inf ( ) ( ) º 3.

tanto, debe ser det(A) 0 (porque si

λ λ λλ λ

λ λ

= = −

= < =

=

a A A Según el teorema de Rouché Fröbenius para que el sistema

tenga initas soluciones debe ser rango A rango A n de incógnitas

Por no

3 3

* *

*

( ) 3)

det( ) 1 1 3 2 0 1, 2

1 1 1 1 1 1 1

1, 1 1 1 1 1 1 1 ; ( ) ( ) 1 º 3.

1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 2 1 2

2 2 1 1 2 1 1 1

1 1 2 1

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ

λ

= + + − − − = − + − = ⇔ = = −

− = = = = = < =

− − − − = − = − = − −

fuese así rango A sería

A

Si A A rango A rango A n de incógnitas

Si A A

*2 1 3 2 3

3 1

*2

1 2; ( ) 2, 0

2 11 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1 1 2 0 3 3 3 . , lim .

1 1 2 1 0 3 3 3

1 2 1 2dim : ( 3). . tanto, rango(A )

0 1 1 1

− = ≠ − −

− − − −→ = − + − − = − −− −

− − − −

rango A porque

A F F ComoF F e inamos F

F F

Además divi os F Nos queda Por

*

2.

, ( ) ( ) 2 º 3.

Resumiendo, para 1 o 2 inf .λ λ

=

= = < =

= = −

Luego rango A rango A n de incógnitas

el sistema tiene initas soluciones

* 1 2 1 2 2 2 2 2) 2,

0 1 1 1 1 1

2 2 ( 1) 1

,

1 1

λ− − − + =− =− + −

= − = ⇒ ⇒ − − = = +

=− + − − = −

= ⇒ = ⇒ = ∈ = − = −

x y z x y zb Para A

y z y z

x k k x k

Llamamos y k y k y k con k R

z k z k


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 7

7 Sea la matriz

2 1 0

0 1 1

0 2 4

= −

A

a) [1’75 puntos] Estudia, según los valores de λ , el rango de la matriz A − λ I, siendo I la matriz identidad de orden tres.

b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema dado por 0

( 2 ) 0

0

− =

x

A I y

z

.

Resolución

[ ]

2

1ª

2 1 0 1 0 0 2 1 0

) 0 1 1 0 1 0 0 1 1

0 2 4 0 0 1 0 2 4

1 1det( ) (2 ) (2 ) (1 )(4 ) 2

2 4

(2 )( 5 6) 0 2 3

2 3 (

λλ λ λ

λ

λλ λ λ λ λ

λ

λ λ λ λ λ

λ λ

− − = − − = − − −

− −− → − = − − − + =

−

= − − + = ⇔ = =

− ≠ ⇒ −

desarrollando por la columna

a A I

A I

ó

Si y rango A I ) 3, det( ) 0

0 1 01 0

2 2 0 1 1 , ( 2 ) 2, 1ª 01 1

0 2 2

1 1 0

3 2 0 2 1 , ( 2 ) 2, 3ª

0 2 1

1 02ª 0

2 1

λ

λ

λ

= − ≠

− = ⇒ − = − − − = ≠ − − −

− = ⇒ − = − − − =

≠− −

porque A I

Si A I rango A I porque la columna es nula y

Si A I rango A I porque la fila es

proporcional a la y

*

*

*

0

) 2 , , 0 0 . 0.

0

min .

( ) 2 ( ) º 3

0

= − = = =

= = < = →Rouché

x

b Sea B A I X y El sistema es BX Notese que B y B tienen el mismo rango

z

porque la columna de tér os independientes de B es nula

Como rango B rango B n de incógnitas es un SCI

1 0 0 0 00

0 1 1 0 0 .( 1) 00

: (2)0 2 2 0 2 2 0 0

. inf 0,

0

= = = − − = ⇒ − − = ⇒ − + = ⇒ = + = + =

=

= = ∈ =

x y yy

y y z y zz

z y z y z

x k

Llamando x k Las initas soluciones son y con k R

z


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 8

8 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

( 1) 1

0

x y zy zy z

λλλ λ λ

+ + + =

+ = + =

a) [1 punto] Discútelo según los valores de λ . b) [0’75 puntos] Resuélvelo para λ = 0. c) [0’75 puntos] Determina, si existe, el valor de λ para el que hay una solución en la que z = 2. Calcula esa solución.

Resolución

* 2

* * *

1 1 1 1 1 1 1

) 0 1 0 1 0 . det( ) 0 0, 1

0 0

( ) 3 det 00 1

( ) 3 3

1 1 1

0, 0 0 1

0 0 0

λ λλ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ

λ λ

λ

+ + = = = − = ⇔ = =

= ≠− ≠ ≠ ⇒ →

=

− = =

Rouché

a A A A

rango A porque ASi y SCD

rango A porque A tiene sólo filas y A contiene a A

Si A * *

*

*

1 1 1 1

0 0 1 0 ; ( ) ( ) 2 º 3

0 0 0 0

1 13ª 0

0 1

1 2 1 1 2 1 11 2

1, 0 1 1 0 1 1 0 ; ( ) 2 00 1

0 1 1 0 1 1 1

2

( ) 3

λ

= = = < = →

≠

− = = = = ≠

=

RouchéA rango A rango A n de incógnitas SCI

Notese que la fila es nula y

Si A A rango A porque

rango A porque *

1 1

1 1 0 1 0; ( ) ( )

1 1 1

= ≠ ≠ →Rouchéentonces rango A rango A SI

*

1 1 1 1 11 1 1 1 1

) 0 , 0 0 1 0 ,0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

λ= −

+ + = = = → ⇒ ⇒ = ∈ = =

x kx y z

b Si A y k con k Rz

z

( 1) 2 1 ( 1) 1

) det min 2 2 0 2

2

3 1 23 1

2 2. , 2 2 11

2 2 2

tan , 2

λ λλ λ λ

λ λ λ λ λ

λ λ

λ

+ + + = + + = −

= + = ⇒ = − + = = −

+ = − = − = −

− = − ⇒ = = − ⇒ ⇒ = − = − = − =

=

x y x y

c Para er ar si existe para que z sustituimos y y

y y

x y xx

Luego queda y yy

y z

Por to para existe di

2

, 1

2

=

= − =

x

cha solución que es y

z


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 9

9 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

2 4 2 1

5 11 9

3 5 2

x y zx y z

x y zλ

− + =

− + = − + =

a) [1’75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro λ . b) [0’75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para λ = 4.

Resolución

*

*

*

2 4 2 2 4 2 1

) 5 11 9 5 11 9 .

1 3 5 1 3 5 2

2 4det( ) 110 36 30 22 54 100 0 ( ) 2 0

5 11

2 2 1

5 9 36 2 25 9 20 10 32 8 0 4

1 5 2

4, ( ) 3 (

λ

λ λ λ λ λ

λ

− − = − = − − −

−= − − − + + + = ⇒ = ≠

−

= + + − − − = − = ⇔ =

− ≠ = ⇒

a A A

A rango A porque

En A consideramos el menor

Si rango A rango A *

1 3

*2 3 2

2 1 2

2

) ( )

2 4 2 1 0 2 8 3 0 2 8 32

4, 5 11 9 4 5 0 4 16 6 : 2 0 2 8 3 .

1 3 5 2 1 3 5 2 1 3 5 2

0 2 8 3, lim y obtenemos

1 3 5 2

dim : ( 3)

λ

≠ ⇒

− − − − −− → − = = − − − − − − → →− − −

− − = −

−

rango A Es un SI

F F

Si A F F F

ComoF F e inamos F

Además divi os F *

*

1 2 1 2. . tanto, rango(A ) 2 2

0 1 1 1

. . ( ) ( ) 2 nº de incógnitas

4Re :

4

λλ

− − = −

⇒ = = < ⇒

≠

=

Nos queda Por porque tiene

filas l i rango A rango A Es un SCI

Si es un SIsumiendo

Si es un SCI

0 2 8 3 2 8 3) 4 )

1 3 5 2 3 5 2

3 8 34

2 2

3 52 3 5 2 3 4 5 7

2 2

5

tan , inf

λ− − − = −

= ⇒ − − + = − + − = ⇒ = +

= ⇒ − − = + − = + + − ⇒ = +

−=

y zb Para obtuvimos en a una matriz del sistema

x y z

zy y k

Llamando z k

x y z k k x k

x

Por to las initas soluciones viene dadas por

72

34 ,

2

+

− = + ∈ =

k

y k con k R

z k


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 10

10 Considera las matrices 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

0 1 0 0 0

= − = = − − −

A B C

(a) [1 punto] Calcula el rango de ABT + λ I según los valores de λ (BT es la matriz traspuesta de B e I es la matriz identidad de orden 3). (b) [1’5 puntos] Calcula la matriz X que verifica CX – X = 2I.

Resolución

2

1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

) 1 (1 1 1) 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

det( ) 0 0

0, ( ) 3 det( ) 0

1 1 1

0, 0 1 1

λ λλ λ λ λ

λ

λ λ λ

λ λ λ

λ

+ + = − + = − − − + = − − −

+ = = ⇔ =

− ≠ + = + ≠

− = + = − −

T

T

T T

T

a AB I

AB I

Si rango AB I porque AB I

Si AB I 2 11 1 3ª

0 0 0

− = −

tiene rango porque la fila es nula y F F

( ) ( )

( ) ( )

1) 2 2 2 .

1 1 1 1 0 0

det 0. det det 1 1 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 1 1

det 1 2 1 1 0. tan ,

0 0 1

−− = ⇒ − = ⇒ − = −

− ≠ − = − − − − =

= − − − =− ≠ ∃ −

b CX X I CX IX I C I X I Para despejar X es necesario que exista C I

y existirá sólo si C I Pero C I

Por to C( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1

1

1 1 1

.

2 2 2

2 1 0 2 1 1 4 2 21 1

2 2 1 0 0 2 1 0 1 2 0 2det 1

1 1 1 0 0 1 0 0 2

−

−

− − −−

−

− = → − − = − ⇒ = −

− − − − = − = =− − − = − − − −

Multiplicando por la izquierda por C I

I

Como C I X I C I C I X C I I X C I

t

tX adj C I

C I


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 11

11 Considera la matriz 1

1 0

+ = −

k kA

k Determina, si existen, los valores de k en cada uno de

los casos siguientes: a) [0’75 puntos] rango(A) = 1. b) [0’75 puntos] A2 = A. c) [0’5 puntos] A tiene inversa. d) [0’5 puntos] det (A) = −2.

Resolución 2) ( ) 1 det( ) 0 1 0 1= = ⇒ − = ⇒ = ±a Para que rango A debe ser A k k

2

2

2 2

2

2

2

1

1 1 1 1 1)

1 0 1 0 1 0 1 01

12 2

1: 0 0 1

10 0

1 0

=

+ + + + + = ⇒ = ⇒ = − − − −− −

==

+ = + → = ⇒ =

− = − = − =

Como k

k k k k k k k k k kb Si A A

k k k kk k k

k

k k kIgualando los elementos correpondientes Debe ser k

k k k

k

2) det( ) 0 1 0 1≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ ±c Para que A tenga inversa debe ser A k k

2 2) det( ) 2 1 2 1= − ⇒ − = − ⇒ = − ⇒ ∃d Si A k k k

12 Considera la matriz 1 0 1

1 1

0 0 1

λλ

+ = −

A a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los valores de λ

para los que A−1 = 2I − A (siendo I la matriz identidad de orden 3). b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz A + AT no tiene inversa (AT es la matriz traspuesta de A)?

Resolución ( )1) 2 2

1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0

1 1 2 0 1 0 1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 1 1 0 1

1 1 1 1

0 0 1 0 0 1

λ λλ λ

λ λλ λ

− = − → − =

+ + − − − =

+ − − − −

Por la definición de matriz inversaa Si A I A A I A I

2

2

1 0 01 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 1

λ λ

λ λ λ λ

= ⇒ − − =

− − = ⇒ = = −Igualando los elementos correpondientes debe ser ó

( ) 2

1 0 1 1 0 2 1

) 1 1 0 1 0 2 1

0 0 1 1 1 1 1 1 2

3 33det 0 3 3 2 0

6

λ λ λ λλ λ

λ λ

λ λ λ

+ + + = − + = − + − + −

− ±+ ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ =

T

T T

b A A

A A no tiene inversa A A

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2º BACHILLERATO B - iesaricel.orgiesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-mat2-16-17/2bach cc... · 2º BACHILLERATO B – MATEMÁTICAS II – RESOLUCIÓN EJERCICIOS DE ÁLGEBRA