3 – Movimento em Duas e Três Dimensões

x

y

r

( ) ( )1 3 m 4 m= − +r i j

1r2r

( ) ( )2 5 m 3 m= +r i j©2002 by John Wiley & Sons

x y= +r r r x yr r= +r i j

x

y

r

x

y

rry

rx x

y

rry

i rxj

x y zr r r= + +r i j k

x y z= + +r r r r

x

y

z

rry

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x

y

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rry

rx

rz

x

y

z

r

x y z= + +r r r r x

y

z

r

ryrx

rz

x y z= + +r i j k

©2004 by Pearson Education

A AB B∆ + =r r r

AB B A∆ = −r r r

x

y AB

x

y∆rAB

x

y

rArB

x

y

rArB

∆rAB

,AB B A

m ABAB B At t t

∆ −= =∆ −

r r rv

m t∆

=∆

rv

m t∆

=∆

rv

©2004 by Pearson Education

( )0

lim t t tt

d d x y zt dt dt

+∆

∆ →

−= = = + +

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0lim t t t

t

dt dt

+∆

∆ →

−= =

∆r r rv

©2002 by John Wiley & Sons

tan yx

vv

α =

2 2 2x y zv v v v= = + +v

©2004 by Pearson Education

,AB B A

m ABAB B At t t

∆ −= =∆ −v v va

m t∆

=∆

va

2

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t

d dt dt dt

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∆ →

−= = =

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2

2

ddt

r

0lim t t t

t

dt dt

+∆

∆ →

−= =

∆v v va

©2002 by John Wiley & Sons

0lim

t

dt dt∆ →

∆= =

∆v vam t

∆=∆

va 2 1v∆ = −v v

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a

⊥a©2004 by Pearson Education

©2004 by Pearson Education

©2004 by Pearson Education

©2004 by Pearson Education

© 2007, Chiu-king Ng

http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Motion.htm�

g= −a j

©2004 by Pearson Education

©2004 by Pearson Education

http://br.youtube.com/watch?v=ZBfy-MNgtoY�http://daneshmand.ca/Persian_Movies.html�

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/TwoBallsGravity/TwoBallsGravity.html�

( )0 0cosx v tα=( ) 20 2 2

0 0

tan2 cos

gy x xv

αα

= −

( ) 20 01sen2

y v t gtα= −

20 0

12y

y y v t gt− = −

0 xx x v t− =

©2004 by Pearson Education

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http://english.pravda.ru/img/idb/photo/6-649.jpg�

( )0 0cosR v tθ=20

0sen 2vRg

θ=

( ) 20 010 sen2

v t gtθ= −

20 0

12y

y y v t gt− = −

0 0xx x v t− =0

0

0 0 0

0 0 0

000

cossen

x

y

x Rxyyv vv v

θθ

======

x

yv0

R

θ0

v0x

v0y

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/Projectile/Projectile.html�

( ) ( )1 2R Rθ θ=

x

y

v02

Rθ2θ1

v01

| | | |v01 = v02

2 20 0

1 2sen 2 sen 2v vg g

θ θ=

1 2sen 2 sen 2θ θ=

1 22 2θ π θ= −

o1 2 452 4

θ θ π+= =

© 2007, Chiu-king Ng

http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/ThrowABall.htm�

© Walter Fendt 2000, CEPA 2001

http://www.walter-fendt.de/ph14br/projectile_br.htm�

o1 2 452

θ θ+=

©2002 by John Wiley & Sons

http://br.youtube.com/watch?v=N0H-rv9XFHk�http://daneshmand.ca/Persian_Movies.html�

http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/mech/bomber_run.avi�

©2004 by Pearson Education

0 0A Pt=r v

20 0

12P P P

t t− = +r r v g

20 0

12A A A

t t− = +r r v g

20

102P P

t t− = +r v g

20

102A A

t− = +r r gP A=r r

P A=r r

x

y

v0Pθ0

r0A

rA = rP

½ gt2

A = Alvo

P = Projétil

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/MonkeyHunter/MonkeyHunter.html�

SMF © 2006-2008, Simple Machines LLC

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=145.0�

http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum�

©2004 by Pearson Education

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v2

r

θ v1O

P1

P2

s

rtvθ

∆ = sen2 2v v θ∆ =

v2θ/2

v1

∆v

v2r

θv1

O

P1

P2∆v

θ

22 sen sen2 2

2

m

vv va rt rv

θ θ

θ θ∆

= = =∆

2

0 0 0

sen2lim lim lim

2

mt t t

v va at r

θ

θ∆ → ∆ → ∆ →∆

= = =∆

2var

=

cos senr φ φ= +u i j

v φ=v u

sen cosφ φ φ= − +u i j

dv dd vdt dt dt

φ φ= = =u uva

sen cos

cos sen

r

d d ddt dt dt

d ddt dt

ddt

φ φ φ

φ φφ φ

φ

= − +

= − −

= −

ui j

i j

u

rdvdtφ

= −a u

22

d vrdt t r

v

φ φ ππ

∆= = =∆

2

rvr

= −a u

rφ

uφ

O

y

x

j

i

ura

cos senr φ φ= +u i j

v φ=v u

sen cosφ φ φ= − +u i j

dv dd dvvdt dt dt dt

φ φφ= = = +

u uva u r r ta a φ= − +a u u

sen cos

cos sen

r

d d ddt dt dt

d ddt dt

ddt

φ φ φ

φ φφ φ

φ

= − +

= − −

= −

ui j

i j

u

rφ

uφ

O

y

x

j

i

ura

http://br.youtube.com/watch?v=HeWSc9lb8AQ�http://daneshmand.ca/Persian_Movies.html�

PA PB BAx x x= +

©2002 by John Wiley & Sons

PA BA PB= +r r r

PA PB BAx x x= +

PA PB BAdx dx dxdt dt dt

= +

PA PB BAv v v= +

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©2004 by Pearson Education

http://br.youtube.com/watch?v=iwA2e83i2l4�http://daneshmand.ca/Persian_Movies.html�

http://br.youtube.com/watch?v=yxDVq2gGgaA�http://daneshmand.ca/Persian_Movies.html�

Física 1PosiçãoPosiçãoPosiçãoPosiçãoPosiçãoDeslocamentoVelocidade médiaDeslocamento e velocidade médiaVelocidade instantâneaVelocidade instantâneaVelocidade instantâneaAceleração médiaAceleração instantâneaAceleração instantâneaAceleração média e aceleração instantâneaAceleraçãoAceleraçãoAceleraçãoAceleraçãoAceleraçãoMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétilMovimento de um projétil com resistência do arMovimento com aceleração variávelMovimento circularMovimento circularMovimento circular com velocidade escalar constanteMovimento circular uniformeMovimento circular uniformeVelocidade relativaVelocidade relativaVelocidade relativaVelocidade relativaVelocidade relativaVelocidade relativaVelocidade relativa