3. Teorema de Bayes

5/22/2018 3. Teorema de Bayes

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TEOREMA

DE BAYES


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DE BAYESSe dice que los sucesos A1, A2, , Anforman una particin de un espacio

muestral S si:

a. AiAj= ,i jb.

=

c. > ,i


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Supongamos que los sucesos A1, A2, , An, forman una

particin del espacio muestral S y que E es otro suceso con

respecto a S, entonces

( )Observacin

En los conjuntos encontramos la siguiente Ley Distributiva

( ) ( )

La cual puede hacerse extensiva, luego ( ) ( ) ( ) y

+ + + ( )


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Puede observarse que los sucesos:

, , , ( )son mutuamente excluyentes y que

( )

() Entonces ( ) (|)

Reemplazando tal resultado en P(E) se obtiene:

+ + +


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Resultado que es conocido como el Teorema de la Probabilidad

Total. Adems, para cualquier i:

()()

Tambin () mostrado anteriormente,entonces

(|)

()

Reemplazando (), teorema de probabilidad total, llegamos alresultado:


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(|)

+ + + (|)

O tambin (|) (|)

Conocido como el Teorema de Bayes, el cual da laprobabilidad de un Ai particular dado que el

suceso E ha ocurrido.


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Observacin

La distribucin de probabilidad a priori es la

distribucin de probabilidad aplicable antes de

recolectar la informacin muestral. Con frecuencia,

esas distribuciones de probabilidad son subjetivas en

el anlisis bayesiano de decisiones, puesto que se

basan en ejercicios, aunque tambin pueden basarse

en informacin histrica.

La distribucin de probabilidad a posteriori es la

distribucin de probabilidad que se tiene despus de

observar la informacin muestral, y despus deutilizarla para modificar la distribucin de

probabilidad a priori, aplicando el Teorema de Bayes.


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Para aplicar el teorema de Bayes, deben conocerse la

probabilidad a priori P(Ai) del evento incierto y la

probabilidad condicional del resultado muestral

P(E|Ai).

Las probabilidades condicionales se determinanutilizando alguna de las distribuciones estndar de

probabilidad, de acuerdo con la naturaleza de la

situacin de muestreo.


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Ejemplo: En cierta regin se sabe por experiencia

pasada que la probabilidad de seleccionar a un adulto

mayor de cuarenta aos de edad con cncer es de

0.02. Si la probabilidad de que un mdicodiagnostique correctamente a una persona con

cncer que tiene la enfermedad es de 0.78 y la de que

se equivoque es de 0.06,

(a) Cul es la probabilidad de que a una persona se

le diagnostique cncer?

(b) Si a una persona se le diagnostica cncer, cual

es la probabilidad de que verdaderamente lotenga?

(c) Si a la persona se le diagnostica cncer, cual es la

probabilidad de que no tenga la enfermedad?


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Solucin:

Sean los sucesos:A: La persona tiene cncer

B: La persona no tiene cncer

C: A la persona se le diagnostica cncer

0.02 1 0.98 0.78 0.06


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a. + 0.02 0.78 + 0.98 0.06 0.0744

b. (|)

() (.)(.)

. 0.2097

c.

(|)

() (.)(.)

. 0.7903


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Ejemplo:

Una agencia de publicidad est decidiendo cul de los tres

mtodos publicitarios usar para la venta de cierto producto. Laprobabilidad de escoger la televisin es de 0.60; de que escoja

una revista es de 0.25 y de que escoja peridicos es de 0.15.

Las probabilidades de obtener una alta cobertura con los tres

mtodos son, respectivamente, 0.8, 0.5 y 0.4. Despus de suescogencia, la agencia determin que de verdad alcanz un

alto cubrimiento. Dada esta nueva informacin, Cul es la

probabilidad de que la agencia:

(a) escoja la televisin;

(b) escoja una revista,

(c) escoja peridicos?


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A: Escoger televisin

B: Escoger revistaC: Escoger peridicos

D: Obtener alta cobertura

0.60 0.25 0.15 0.8 0.5 0.4

+ + (|) 0.60 0.8 + 0.25 0.5 + (0.15)(0.4)= 0,665


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a. (|)() (.)(.)

. 0.7218

b. (|)() (.)(.). 0.1879

c. (|)() (.)(.)

. 0.0902


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Variables aleatorias

Distribuciones deprobabilidad de

variables discretas


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Una variable aleatoria es una funcin que asocia un

numero real a cada elemento del espacio muestral S.

Si un espacio muestral contiene un nmero finito deposibilidades o una serie interminable con tantos

elementos como nmeros enteros existen, se llama

espacio muestral discreto.Ejemplo: SI una maquina produce artculos, el

resultado del experimento es que pueden estar

defectuosos. Sea D el evento que indica un artculodefectuoso, entonces D es el que un artculo sea

bueno (no defectuoso) y S = {D,D} ser un espacio

muestral discreto


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Variable discreta es aquella cuyos valores estn

separados por alguna cantidad. Un ejemplo de variable

discreta consiste en los valores que obtenemos alcontar el nmero de admisiones en un hospital. En este

caso la variable solo puede tener valores 1, 2, 3, no

puede haber valores 1.33, , etc.

Con frecuencia resulta conveniente poder idear un

mecanismo o regla que nos permita determinar laprobabilidad de que la variable discreta X asuma un

valor particular X.


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DEFINICION

Cualquier regla o mecanismo que permita calcular

P(X=x), probabilidad de que la variable aleatoria Xtome cada uno de los valores posibles x, se denomina

una distribucin de probabilidad.

Esta regla o mecanismo puede ser una tabla, un

grfico, o una frmula. Una frmula que se emplee

para calcular P(X=x) se denomina funcin deprobabilidad y generalmente se denota por f(x). Es

decir, f(x)=P(X=x)


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La distribucin de probabilidad o funcin de

probabilidad para una variable aleatoria discreta es una

frmula, tabla o grfico que proporciona P(X), laprobabilidad asociada con cada uno de los valores de

x. Las condiciones para que una distribucin sea de

probabilidad discreta son:

1. 0 P(X) 1

2. 1P(X=x) = f(x) es llamada distribucin de probabilidad ofuncin de probabilidad, que algunos llaman tambin

funcin de masa de probabilidad


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Ejemplo

La siguiente distribucin muestra el nmero de hijos

por familia de los habitantes de una urbanizacin

N de hijos Familias P(X=x)

0 300 300/500= 0.60

1 100 100/500=0.20

2 60 60/500=0.12

3 20 20/500=0.04

4 10 10/500=0.025 5 5/500=0.01

6 5 5/500=0.01


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Denotemos por X la variable aleatoria discreta Nmerode

hijos por familia y por x los valores que X puede tomar.

Utilizando el concepto de probabilidad de frecuencia

relativa, podemos calcular, para cada x, la probabilidad deque X tome este valor. Estas probabilidades que se

denotan por P(X=x), se muestran en la ltima columna.

Esta tabla ilustra la forma en que se puede representar unadistribucin de probabilidad por medio de una tabla.

Podemos utilizarla para saber cuales son las

probabilidades de que una familia tenga un determinado

numero de hijos, por ejemplo la probabilidad de que unafamilia escogida al azar en este grupo de familias tenga

dos hijos es de 0.12. Las dos caractersticas necesarias en

una distribucin de probabilidad son:


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1. P(X=x)0 para todo valor de x

2. (Para toda x)P(X=x)=1

En otras palabras, la probabilidad de ocurrencia de cada x

debe ser un nmero mayor o igual que 0 y la suma detodas las probabilidades correspondientes a cada uno de

los valores de X tiene que ser igual a 1.

Tomadas en su conjunto, estas dos caractersticas llevan

implcito lo que ya hemos aprendido, es decir, que la

probabilidad de un evento es un nmero comprendido

entre cero y uno.


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Con frecuencia estamos interesados en conocer la

probabilidad de que X tome un valor menor o igual a x .

Con los datos del ejemplo, si deseamos calcular P(X 3),

es decir, la probabilidad de que una familia tenga tres hijos

o menos.

Informacin de este tipo es muy til para hacer programas

de entretenimiento y actividades en la urbanizacin.


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DEFINICION

La probabilidad de que la variable aleatoria X asuma

valores menores o iguales a x se llama funcin dedistribucin acumulada de X y se denota por F(X).

De esta manera, podemos escribir F(X)=P(Xx)

As, para calcular la probabilidad de que X sea menor oigual a un determinado valor, digamos ,procedemos de la

siguiente manera:

F(

) = P(X) = (x) f(x) = (x ) P(X=x)

Podemos facilitar el clculo de P(X)x acumulando los

valores P(X=x)dados en la tabla de la distribucin de

probabilidad.


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Acumulando los valores de P(X=x) se obtiene

P(X 3), es decir, la probabilidad de que una familia tenga

tres hijos o menos es de 0,96

N de hijos Familias P(X=x) P(Xx)

0 300 300/500= 0.60 0,601 100 100/500=0.20 0,80

2 60 60/500=0.12 0,92

3 20 20/500=0.04 0,96

4 10 10/500=0.02 0,98

5 5 5/500=0.01 0,99

6 5 5/500=0.01 1,00


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Con base en la funcin, se puede decir que f(3) = 0.04 y

F(3) = 0.96

Estas distribuciones se llaman empricas, porque se

construyen con los datos de un experimento.

Pero los fenmenos se comportan diferente y se pueden

aproximar a funciones de probabilidad determinadas


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f(x)

F(x)

x f(x) F(x)

0 0,60 0,60

1 0,20 0,80

2 0,12 0,92

3 0,04 0,96

4 0,02 0,98

5 0,01 0,996 0,01 1,00

DEFINICION S X i bl l t i di t


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DEFINICION: Sea X una variable aleatoria discreta con

distribucin de probabilidad F(x). La media o valor

esperado est dado por

()

Donde los elementos se suman sobre toda la variable

aleatoria x.

Sea x la variable aleatoria discreta con distribucin de

probabilidad F(x). La varianza de X est dada por

()


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Hallar la probabilidad de nios y nias en familias de 3

hijos, suponiendo iguales la probabilidad de ser nio y de

ser nia.

Sea x la variable aleatoria que muestra el nmero de nios

en familias de 3 hijos, calcular:

a. Los valores que toma la variable aleatoria X

b. La funcin de probabilidad

Solucin: Encontrar primero el espacio muestralS={ HHH.HHM,HMH,MHH,MMMMH,MHM,HMM,MMM]

Donde H: es el evento ser hombre

M es el evento ser mujer


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Sea X el nmero de nios en familias de 3 hijos x= 0,1,2,3

U x f(x)

MMM 0 f(0)=

HMM,MHM,MMH 1 f(1)=

HHM,HMH,MHH 2 f(2)=

HHH 3 f(3)=


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X 0 1 2 3

P(X=x)=f(x)

La funcin de distribucin acumulada es

si <

F(X) = si <

si < si


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F(0) = P(X0) =f(0)=

F(1) = P(X1) =f(0) +f(1)= +=

F(2) = P(X ) =f(0) +f(1) + f(2)= ++

=

F(3) = P(X3) =f(0) +f(1) + f(2) +f(3) = ++

+

= 1

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