Embed Size (px)
Citation preview
1
تمارين محلولةتمارين
1تمرين
حدد 2
00
3lim ; lim ln ; limx x
xx xx
x e ex xx x+ →+∞ →→
− −
الحل
نحدد 2
00
3lim ; lim ln ; limx x
xx xx
x e ex xx x+ →+∞ →→
− −
* 2 2 2
0 0 0
1 1 1 1lim lim lim 2 2 1 12
x x x x x x
x x x
e e e e e ex x x x x→ → →
− − − − −= − = − = − =
نضع * 3tx
= أي −3xt
= −
ومنه ( )
0
ln 13 3lim ln lim ln 1 lim 3 3x x t
txx xx x t→+∞ →+∞ →
+ − = − = − = −
* ln 2 ln
0 0 0lim lim lim 1x x x x x
x x xx e e
+ + +→ → →= = =
- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- 2تمرين
) :ـ المعرفة بx نعتبر الدالة العددية للمتغير الحقيقي ) ( )2ln 3 3x xf x e e= − +
fDعند محدات f و نهايات fDحدد - 1
)حل المتراجحة - 2 ) 0f x ≥
)حدد - 3 )lim ( 2 )x
f x x→+∞
−
) الحل ) ( )2ln 3 3x xf x e e= − +
fDحدد ن - 4
∋xلتكن
2 3 3 0x xfx D e e∈ ⇔ − +
2 مميز ∆ ليكن 3 3X X− ∆3 و منه + = 2 و بالتالي − 3 3 0x xx e e∀ ∈ − + fD إذن =
fDعند محدات fحدد نهايات ن*
( ) ( ) ( )2 2 2lim lim ln 3 3 lim ln 1 3 3x x x x xx x x
f x e e e e e− −
→+∞ →+∞ →+∞ = − + − + = +∞
( ) ( )2lim lim ln 3 3 ln 3x xx x
f x e e→−∞ →−∞
= − + =
)نحل المتراجحة - 5 ) 0f x ≥
( ) ( )( )( )( ) ( )( )
2
2
2
0 ln 3 3 0
0 3 3 1
0 3 2 0
0 1 2 0
x x
x x
x x
x x
f x e e
f x e e
f x e e
f x e e
≥ ⇔ − + ≥
≥ ⇔ − + ≥
≥ ⇔ − + ≥
≥ ⇔ − − ≥
2
( ) [ ] [ [( ) ] ] [ [
0 0;1 2;
0 ;0 ln 2;
xf x e
f x x
≥ ⇔ ∈ ∪ +∞
≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
[ إذن ] [ [;0 ln 2;S = −∞ ∪ +∞
) حددن - 6 )lim ( 2 )x
f x x→+∞
−
( ) ( )22
3 3lim ( 2 ) lim (ln 3 3 2 ) lim ln 1 0x xx xx x x
f x x e e xe e→+∞ →+∞ →+∞
− = − + − = − + =
- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- -- 3تمرين
) بـ الدالة العددية المعرفة على f نعتبر ) 1 xf x x e −= + +
) أحسب- أ - 1 ) ( )lim limx x
f x f x→−∞ →+∞
) أحسب - ب )'f x و أعط جدول تغيراتf و استنتج إشارة ( )f x
) بـ المعرفة على gدالة نعتبر ال - 2 ) ( )ln 1 xg x x e −= + +
و أعط جدول تغيراتهاg أدرس تغيرات - أ
) حدد a) - ب )limx
g x x→−∞
هندسيا وأول النتيجة +
(b بين أن ] [ ( ); 1 0x g x x∀ ∈ −∞ − + ≺
(c بين أن ( )* 20 ln ln xx g x xx
+ + ∀ ∈ − ≤
≺ ) استنتج . )lim lnx
g x x→+∞
−
) الحل ) 1 xf x x e −= + +
)سبنح - أ - 1 ) ( )lim limx x
f x f x→−∞ →+∞
( )lim lim 1 x
x xf x x e−
→+∞ →+∞= + + = +∞
( ) 1lim lim 1 lim 1x
x
x x x
ef x x e xx x
−−
→−∞ →−∞ →−∞
= + + = − − − + = +∞
−
)سب نح - ب )'f x جدول تغيرات يعطنو f ستنتج إشارة ن و( )f x
( )' 1 xx f x e−∀ ∈ = −
+∞ 0 −∞ x
+ 0 - ( )'f x
+∞ +∞
2 f
[ تناقصية على f لدينا ] و تزايدية على ∞−0;] ) و منه ∞+;0] ) ( )0 0x f x f∀ ∈ ≥
) بـ المعرفة على gنعتبر الدالة - 2 ) ( )ln 1 xg x x e −= + +
) جدول تغيراتهايطنع و gدرس تغيرات ن - أ ) ( )( )'1'
1
x
x
f xex g xf xx e
−
−−
∀ ∈ = =+ +
+∞ 0 −∞ x
+ 0 - ( )'g x
+∞ +∞
ln 2 g
3
) نحدد a) - ب )limx
g x x→−∞
هندسيا ول النتيجة نؤ و+
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
lim lim ln 1 lim ln 1 ln
lim ln 1 lim ln 1 0
x x x
x x x
x x xxx x
g x x x e x x e e
xxe e ee
− −
→−∞ →−∞ →−∞
−→−∞ →−∞
+ = + + + = + + +
− = + + = − + + =
y ومنه المستقيم ذا المعادلة x= مقارب للمنحنى ( )gC بجوار +∞
(b بين أن ن] [ ( ); 1 0x g x x∀ ∈ −∞ − + ≺
( ) ( ) ( )( )ln 1 ln 1 1x x xx g x x xe e x e∀ ∈ + = + + = + +
[ ليكن [; 1x∈ −∞ 1 ومنه − 0x + ) و بالتالي ≻ )1 1 1xe x + + ≺
) و منه )( )ln 1 1 0xe x + + [ إذن ≻ [ ( ); 1 0x g x x∀ ∈ −∞ − + ≺
(c بين أن ن( )* 20 ln ln xx g x xx
+ + ∀ ∈ − ≤
)ستنتج و ن . ≻ )lim lnx
g x x→+∞
−
( ) ( )* 1ln ln 1 ln lnx
x x ex g x x x e xx
−+ − + +
∀ ∈ − = + + − =
* لدينا 1 1xx ex
x
−+ + +
∀ ) إذن ∋ )* ln 0x g x x+∀ ∈ −
* لدينا 1xx e+ −∀ ∈ 1 ومنه ≻ 2xx e x−+ + و بالتالي ≻+1 2xx e x
x x
−+ + +≺
ومنه 1 2ln ln
xx e xx x
−+ + +≺
)إذن )* 20 ln ln xx g x xx
+ + ∀ ∈ − ≤
≺
-- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- --- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- 4تمرين
لمتغير حقيقي المعرفة بما يلي fنعتبر الدالة العددية
( ) ( )
( )
2 1 ln 0
1 2 1 0x x
f x x x x
f x e e x
= −
= − − − ≤
e و 0 عند النقطتين fاق و اتصال أدرس اشتق- 1 و أعط التأويل الهندسي للنتائج المحصل عليها
fCلالنهائية لـ ثم أدرس الفروعfD عند محدات f أحسب نهايات - 2
fC 2i و أنشئ f أدرس تغيرات - 3 j cm= =
[ على f قصور الدالة g بين أن - 4 [ تقابل من ∞−0;[ يجيب تحديده Jنحو مجال ∞−0;[
) أحسب )1g x− لكل x من J
الحل
( ) ( )
( )
2 1 ln 0
1 2 1 0x x
f x x x x
f x e e x
= −
= − − − ≤
للنتائج المحصل عليهااول هندسي نؤe و 0 عند النقطتين fاشتقاق و درس اتصال ن - 1
( ) ( ) ( )0 0 0
lim lim 2 1 ln lim 2 2 ln 0 0x x x
f x x x x x x f+ + +→ → →
= − = − = =
4
( ) ( )0 0
lim lim 1 2 1 0 0x x
x xf x e e f
− −→ →= − − − = =
0 متصلة في f إذن
( ) ( ) ( )lim lim 2 1 ln 0x e x e
f x x x f e→ →
= − = e متصلة في f إذن =
( ) ( ) ( )
( )0 0 0
2 1 ln0lim lim lim 2 1 lnx x x
x xf x fx
x x+ + +→ → →
−−= = − = +∞
0 على اليمين و منحناها يقبل نصف مماس عمودي على يمين 0 غير قابلة لالشتقاق في f إذن
( ) ( )
0 0 0
0 1 2 1 1 1 1lim lim lim 21
x x x x
xx x x
f x f e e e ex x x x e− − −→ → →
− − − − − −= = + × = +∞
−
0نصف مماس عمودي على يسار على اليسار و منحناها يقبل 0 غير قابلة لالشتقاق في f إذن
( ) ( ) ( )2 1 ln0 ln 1 1lim lim lim 2 2 2
x e x e x e
x xf x f xx ex e x e x e e+ + +→ → →
−− −= = = × =
− − −
2 معامله الموجه eعلى اليمين و منحناها يقبل نصف مماس على يمين e قابلة لالشتقاق فيf إذن
( ) ( ) ( )2 1 ln0 ln 1 1lim lim lim 2 2 2
x e x e x e
x xf x f xx ex e x e x e e− − −→ → →
−− −= = − = − × = −
− − −
-2 معامله الموجه eسار و منحناها يقبل نصف مماس على يسارعلى اليe قابلة لالشتقاق فيf إذن fCلالنهائية لـ درس الفروعن ثم fD عند محدات fحسب نهايات ن - 2
fD =
( ) ( )lim lim 2 1 lnx x
f x x x→+∞ →+∞
= − = )و ∞+ )lim lim 1 2 1 3x xx x
f x e e→−∞ →−∞
= − − − = −
3yا المعادلة ذ ومنه المستقيم = ) مقارب أفقي للمنحنى − )fC بجوار−∞
( ) ( )
( )2 1 ln
lim lim lim 2 1 lnx x x
x xf xx
x x→+∞ →+∞ →+∞
−= = − = +∞
) ومنه )fCيقبل فرع شلجمي في اتجاه محور األراتيب
fCنشئ ن و fدرس تغيرات ن - 3
] [ ( ) ( ) ( )0; ' 2 1 ln ' 2 1 ln 2 lnx e f x x x x x∀ ∈ = − = − − = −
] [ ( ) ( ) ( ); ' 2 1 ln ' 2 1 ln 2 lnx e f x x x x x∀ ∈ +∞ = − − = − − + =
] [ ( ) ( ); ' 1 2 1 '1
xx x x
x
ex e f x e e ee
∀ ∈ +∞ = − − − = +−
+∞ e 1 0 −∞ x
+ - 0+ + ( )'f x
+∞ 2 0
0 3- ( )f x
)إنشاء )fC
5
[ على f قصور الدالة gبين أن ن - 4 [ تقابل من ∞−0;[ يجيب تحديده Jنحو مجال ∞−0;[
[ متصلة و تزايدية قطعا على g لدينا [ و ∞−0;[ ]( ) ] ];0 3;0g −∞ = −
[تقابل من g ومنه [ الى ∞−0;[ ]3;0J = −
)حسب ن )1g x− لكل x من J
[ لتكن ];0y∈ [ و ∞− ]3;0x∈ −
( ) ( )
( )
( )( )
1
2
2
2
1 2 1
1 2 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
ln 1 1 1
y y
y y
y
y
y
g x y g y x
e e x
e e x
e x
e x
e x
y x
− = ⇔ =
⇔ − − − =
⇔ − + − + = − +
⇔ − + = − +
⇔ − = − + −
⇔ = − − + −
⇔ = − − + −
[ن ذ ا ] ( ) ( )213;0 ln 1 1 1x g x x− ∀ ∈ − = − − + −
6
-- --- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - 5تمرين
) ـ المعرفة بxنعتبر الدالة العددية للمتغير الحقيقي ) 21
x
xef x xe
= +−
fDعند محدات f و نهايات fDحدد - 1
و أعط جدول تغيراتهاfأدرس تغيرات - 2 fأدرس الفروع الالنهائية لمنحنى - 3
بين أن - 410;2
A
fCنحنى مرآز تماثل للم
م.م. في مستوى منسوب إلى مfCأنشئ - 5
∋mلتكن - 6
)حدد مبيانيا عدد حلول المعادلة )2 1 2 0x xxe m e x m− − − + =
الحل
( ) 21
x
xef x xe
= +−
fDحدد ن - 1
∋x لتكن
1 0 0xfx D e x∈ ⇔ − ≠ ⇔ ≠
[ إذن [ ] [;0 0;fD = −∞ ∪ +∞
fDعند محدات fحدد نهايات ن
( ) 1lim lim 2 lim 21 1
x
x xx x x
ef x x xe e−→+∞ →+∞ →+∞
= + = − = +∞ − −
( )lim lim 21
x
xx x
ef x xe→−∞ →−∞
= + = −∞ −
( ) ( )0 0 0 0
lim lim 2 ; lim lim 21 1
x x
x xx x x x
e ef x x f x xe e+ + − −→ → → →
= + = +∞ = + = −∞ − −
جدول تغيراتهايعطن و fدرس تغيرات ن - 2
( )( ) ( )
2*
2 22 5 2' 2
1 1
x x x
x x
e e ex f xe e
− +∀ ∈ = − =
− −
22 مميز ∆ ليكن 5 2X X− ∆9 لدينا + =
22ومنه جدرا 5 2X X− 1 هما + 2X 2 و =12
X =
[ [2 12 5 2 0 ; 2;2
X X X − + ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
[ [
] ] [ [
* 2 * 12 5 2 0 0; 2;2
, ln 2 ln 2;
x x xx e e x e
x
∈ − + ≥ ⇔ ∈ ∈ ∪ +∞ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
) ومنه ) ] ] [ [' 0 , ln 2 ln 2;f x x≥ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
7
] تزايدية على آل من f إذن [ln [ و ∞+;2 ], ln 2−∞ −
fعلى آل من ناقصية ت ] [0;ln [ و 2 [ln 2;0−
f جدول تغيرات
+∞ ln 2 0 ln 2− −∞ x
+ 0 - - 0+ ( )'f x
+∞ +∞
2 2ln 2+
1 2ln 2− −
−∞ −∞
( )f x
fدرس الفروع الالنهائية لمنحنى ن - 3
)لدينا )limx
f x→+∞
= +∞
( )
( )
1 1lim lim 2 lim 2 21 1
lim 2 lim 11
x
x xx x x
x
xx x
f x exx xe e
ef x xe
−→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
= + = − = − −
− = =−
2 المستقيم ذا المعادلة إذن 1y x= fC مقارب للمنحنى +
)لدينا )limx
f x→−∞
= −∞
( )lim 2 lim 01
x
xx x
ef x xe→−∞ →−∞
− = =−
2y المستقيم ذا المعادلة إذن x= مقارب للمنحنى fC
أن نبين - 410;2
A
fC مرآز تماثل للمنحنى
( ) 12 21 1
x
x xef x x xe e
−
−− = − + = − +
+ +) و ) 11 1 2 2
1 1
x
x xef x x xe e
− = − − = − ++ +
) ومنه ) ( )1f x f x− = إذن −10;2
A
fC مرآز تماثل للمنحنى
م.م. في مستوى منسوب إلى مfCنشئن - 5
8
)لة حدد مبيانيا عدد حلول المعادن - 6 )2 1 2 0x xxe m e x m− − − + =
( ) ( ) ( )2 1 2 0 1 2 1x x x x xxe m e x m m e x e e− − − + = ⇔ − = − −
m ليس حال للمعادلة مهما آانت 0نالحظ أن
)ومنه ) ( )2 1 2 0 21
xx x
xexe m e x m m x m f xe
− − − + = ⇔ = + ⇔ =−
)عدد حلول المعادلة تحديد )2 1 2 0x xxe m e x m− − − + fC يرجع الى تحديد عدد نقط تقاطع =
y و المستقيم ذا المعادلة m= : مبيانيا لدينا
[ إذا آان [1 2ln 2;2 2ln 2m∈ − − ) فان المعادلة + )2 1 2 0x xxe m e x m− − − + ال تقبل حال=
2 إذا آان 2ln 2m = 1 أو + 2ln 2m = − ) فان المعادلة − )2 1 2 0x xxe m e x m− − − + تقبل حال وحيدا=
[ إذا آان [ ] [; 1 2 ln 2 2 2ln 2;m∈ −∞ − − ∪ + ) فان المعادلة ∞+ )2 1 2 0x xxe m e x m− − − + تقبل حلين =
مختلفين
9
6تمرين
المعرفة بx نعتبر الدالة العددية للمتغير الحقيقي
( )( ) ( ) ( )( )
1ln 1; 1
1 ln 1 ; 11 0
xxf x e x
f x x x xf
−
=
= − − =
≺
) حدد - 1 ) ( ) ( ) ( )1 1
lim lim lim limx xx x
f x f x f x f x− + →−∞ →+∞→ →
و أول النتيجتين هندسيا 1 أدرس االشتقاق عند - 2 ) أحسب - 3 )'f x على آل من] [ و ∞+;1] و أعط جدول التغيرات ∞−1;]
fC أدرس الفروع الالنهائية و أنشئ - 4
الحل
( )( ) ( ) ( )( )
1ln 1; 1
1 ln 1 ; 11 0
xxf x e x
f x x x xf
−
=
= − − =
≺
)حدد ن - 1 ) ( ) ( ) ( )1 1
lim lim lim limx xx x
f x f x f x f x− + →−∞ →+∞→ →
نضع 11tx
= أي −1
1x
t= −
−) ومنه )
( )1 lnln 11
1
1lim lim limtx
x tx x t
f x e ee−
− − −
→ +∞ → +∞ →= = =
( ) ( ) ( )lim lim 1 ln 1x x
f x x x→−∞ →−∞
= − − = +∞
( )1ln 1
1 1lim lim 0
xx
x xf x e
+ +
−
→ →= ) و = ) ( ) ( )
1 1lim lim 1 ln 1 0x x
f x x x− −→ →
= − − =
ول النتيجتين هندسيا نؤ و 1درس االشتقاق عند ن - 2
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
1 1ln 1 ln 1 1ln 1 ln 1
ln 11 1 1 1
1 ln 1 ln
1
1lim lim lim lim
1 1
lim 1
x xx x x x
xxx x x x
x x x x
x
f x f e e ex x e
e
+ + + +
+
− − − − −
−→ → → →
− − −
→
−= = =
− −
= =
f 1 هو 1 و المعامل الموجه للمماس على يمين 1 قابلة لالشتقاق على يمين
( ) ( ) ( )1 1
1lim lim ln 1
1x x
f x fx
x− −→ →
−= − − = +∞
−
f و 1 غير قابلة لالشتقاق على يسار fC 1 يقبل مماس عمودي على يسار
)سب نح - 3 )'f x على آل من] [ و ∞+;1] جدول التغيرات يطنع و ∞−1;]
] [ ( )1 1ln 1 ln 12
11 1 11; ' ln 1 ln 1
1 11
x xx xxx f x x e e
x x xx
− −
∀ ∈ +∞ = − + = − + − −
10
[نعتبر [ ( ) 1 11; ln 11
x h xx x
∀ ∈ +∞ = + − −
] [ ( )( ) ( ) ( )2 2
1 1 11; '11 1
x h xx xx x x
− −∀ ∈ +∞ = + =
−− −
[ تناقصية على h ومنه ) و حيث ∞+;1] )lim 0x
h x→+∞
[ فان = [ ( )1; 0x h x∀ ∈ +∞ ≤
[ ومنه [ ( )1; ' 0x f x∀ ∈ +∞ [ تناقصية على f إذن≥ [1;+∞
*] [ ( ) ( );1 ' 1 ln 1x f x x∀ ∈ −∞ = − − −
( ) ( ) 1' 0 1 ln 1 0 1f x x x e−= ⇔ − − − = ⇔ = −
) ومنه )11 ;1 ' 0x e f x− ∀ ∈ − و ( )1;1 ' 0x e f x− ∀ ∈ −∞ − ≤
11على تزايدية f إذن ;1e− − 1;1 على تناقصية و e− −∞ −
جدول التغيرات
+∞ 1 11 e−− −∞ x
+ + 0 + ( )'f x
1e− +∞
0 1e−− f
fCنشئ نرس الفروع الالنهائية و ند - 7
) لدينا* ) 1limx
f xe→+∞
ومنه المستقيم ذا المعادلة =1ye
fC مقارب للمنحنى =
)لدينا * )limx
f x→−∞
== و ∞+( ) ( )1lim lim 1 ln 1
x x
f xx
x x→−∞ →−∞
= − − = −∞
يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور األراتيبfC ومنه
- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- 7تمرين
: للمتغير الحقيقي المعرفة بما يليfدالة العددية لتكن ال
2
ln
( ) 1 , 0
( ) , 0
x x
xx
f x e e x
f x e x
= − ≤ =
fD بين أن/أ. 1 .f مجموعة تعريف الدالة fD حيث =
.ثم أول النتائج هندسيا. fD عند محدات f أحسب نهايات / ب
0 عند fادرس اتصال / أ .2 0x = .
0 عندfادرس اشتقاق / ب 0x .ثم أول النتيجة هندسيا. =
: معرفة آما يليf الدالة المشتقة للدالة f'أثبت أن/ أ .3
11
' 22
ln
2
( ) (1 2 ) , 01
1 ln'( ) , 0
xx
x
xx
ef x e xe
xf x e xx
= −
− −
=
≺
.و أنشئ جدول التغيرات .fاستنتج تغيرات الدالة / ب
) في النقطة fCـاآتب معادلة المماس ل .4 )1,1A.
) في معلم متعامد ممنظم fCأنشئ .5 ), ,O i j 2 بحيثi j cm= =
على المجال f قصور الدالةgلتكن .61 ln 2 , 02
I = −
يتم تحديدهJ نحو مجال I تقابل منg بين أن /أ
1gأنشئ جدول تغيرات /ب gلدالة العكسية للدالة ا−
)1حدد الصيغة/ج )g x− لكل xمن J
: نعتبر التقريبات التالية: ملحوظة1
ln 2 0.7 1.4 2.7ee e
الحل
2
ln
( ) 1 , 0
( ) , 0
x x
xx
f x e e x
f x e x
= − ≤ =
fDبين أنن /أ .1 =
20 1 0xx e∀ ≤ − ) ومنه ≤ )0x f x∀ ≤ [ وبالتالي ∋ ];0 fD−∞ ⊂
ln
0xxx e∀ [ ومنه ∋ [0, fD∞ fD إذن ⊃ =
.ول النتائج هندسيانؤثم . fD عند محدات fحسب نهايات ن / ب
*2lim ( ) lim 1 0x xx x
f x e e→−∞ →−∞
= − 0y ومنه المستقيم ذا المعادلة = fCفقي للمنحنى مقارب أ=
لدينا * lnlim 0
x
xx→+∞
= ln
lim ( ) lim 1xx
x xf x e
→+∞ →+∞= =
1y ومنه المستقيم ذا المعادلة fC مقارب أفقي للمنحنى =
0 عند fدرس اتصال ن/ أ .2 0x = .
2
0 0lim ( ) lim 1 0x x
x xf x e e
− −→ →= − و =
ln 1 ln
0 0 0lim ( ) lim lim 0
x xx x
x x xf x e e
+ + +→ → →= = =
) ومنه )0 0
lim ( ) lim ( ) 0x x
f x f x f− +→ →
= 0 متصلة في f اذن =
0 عندfرس اشتقاق ند/ ب 0x .ول النتيجة هندسيانؤثم . =
( ) 2
0 0 0
( ) 0 1 1 1lim lim limx x x x
x
x x x
f x f e e e eex x x x− − −→ → →
− − − += = − = −∞
− −
f0 على اليسار و تقبل نصف مماس عمودي عند النقطة ذات األفصول 0 غير قابلة لالشتقاق في
12
( ) ( )ln ln
1 ln ln
ln0 0 0 0
( ) 0lim lim lim lim 0
x xx x x x x
xxx x x x
f x f e e ex x e+ + + +
−
→ → → →
−= = = =
f0 على اليمين و تقبل نصف مماس أفقي عند النقطة ذات األفصول 0ابلة لالشتقاق في ق
: معرفة آما يليf الدالة المشتقة للدالة f'ثبت أنن/ أ .3ln
' 222
1 ln( ) (1 2 ) , 0 '( ) , 01
xxx x
x
e xf x e x f x e xxe
−= − =
−≺
20 لدينا ( ) 1x xx f x e e∀ = −≺
ومنه 2 2 2
2 22 2 2
10 '( ) 1 (1 2 )1 1 1
x x x xx x x x x
x x x
e e e ex f x e e e e ee e e
− − −∀ = − + = = − − − − ≺
( )ln
0xxx f x e∀ ) ومنه = )
ln ln
2ln 1 ln0 ' ( ) '
x xx xx xx f x e e
x x− ∀ = =
.جدول التغيراتنعطي و .fتنتج تغيرات الدالة نس/ ب
[على * ) اشارة ∞−0;] )'f x21 هي اشارة 2 xe−
2 2 1 ln 21 2 02 2
x xe e x −− = ⇔ = ⇔ =
[على * ) اشارة ∞+;0] )'f x 1 هي اشارة ln x−
1 ln 0x x e− = ⇔ =
+∞ e 0 ln 22
− −∞ x
- 0+ - 0+ ( )'f x
1ee
12
1 0 0
f
) في النقطة fCـكتب معادلة المماس لن .4 )1,1A.
)لدينا )' 1 1f ) و = )1 1f ) في النقطة fCـمعادلة المماس ل ومنه = )1,1A هو المستقيم ذا المعادلة y x=
) في معلم متعامد ممنظم fCشئ نن .5 ), ,O i j
13
على المجال f قصور الدالةgلتكن .61 ln 2 , 02
I = −
يتم تحديدهJ نحو مجال I تقابل منgبين أن ن /أ
gمتصلة على I وتناقصية قطعا على I و ( ) 10;2
g I =
نحو مجال I تقابل منgومنه 10;2
J =
1g الدالةجدول تغيرات/ ب − 12
0 x
0
ln 22
−
1g−
)1حدد الصيغةن/ج )g x− لكل xمن J
ليكن10;2
x ∈ و
1 ln 2 , 02
y ∈ −
( ) ( )1 2 2 2( ) 1 1y y y yg x y g y x e e x e e x− = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − =
2نضع yY e= و 1 ;12
Y ∈
1 2
2
( ) 0
1 12 4
1 14 2
g x y Y Y x
Y x
Y x
− = ⇔ − + =
⇔ − = −
⇔ = − +
1ومنه 2 1 1( )4 2
yg x y e x− = ⇔ = − +
1 1 1ln2 4 2
y x
⇔ = − +
1 إذن 1 1 1( ) ln2 4 2
x J g x x− ∀ ∈ = − +
- -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- - -- -- 8تمرين
) دالة عددية لمتغير حقيقي حيث f لتكن ) ( )( )
2
2ln 1
1
x x xf x
x
− + −=
−
) في معلم متعامد ممنظم f منحنى fC و ليكن ); ;O i j 2 حيثi cm=
fDثم النهايات عند محدات fD حدد - 1
ــن - 2 ) دالة عددية لمتغبر حقيقي حيث g لتكــ ) ( )2 2ln 1g x x x= − − −
و أعط جدول تغيراتهاgأدرس تغيرات الدالة ) أ
)ادلة بين أن المع) ب ) 0g x 2 تقبل حال وحيدا هو =
fأدرس تغيرات ) أ- 3
14
ممثال في صور األعداد fأعط جدول قيم لدالة ) ب11 34 ; 3 ; ;8 2
و قيم f بالدالة
مقربة لهذه الصور
)بين أن المعادلة ) ج ) 0f x تقبل حال وحيدا في =11 3;8 2
3 و2 يقبل نقطة انعطاف أفصوله محصور بين fCنقبل أن النحنى ( fC أنشئ المنحنى - 4
ln3: مالحظة 1,09 ; ln 2 0,69
) الحل ) ( )( )
2
2
ln 1
1
x x xf x
x
− + −=
−
fD ثم النهايات عند محدات fDحدد ن - 1
1 0 1fx D x x∈ ⇔ − [ إذن ⇔ [1;fD = +∞
* ( ) ( )( ) ( )
( )2
22 21 1 1
ln 1 1lim lim lim ln 11 1x x x
x x xf x x x x
x x+ + +→ → →
− + − = = − + − = −∞ − −
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 2 2
ln 1 1 1 1lim lim lim ln 11 21 1 1x x x
x x x xf xxx x x→+∞ →+∞ →+∞
− + − = = − × =
− − − −
2 - ( ) ( )2 2ln 1g x x x= − − −
جدول تغيراتهايطنع و gدرس تغيرات الدالة ن) أ
] [1;gD = +∞
( ) ( ) ( ) ( )1 1
lim lim 2 2ln 1 lim lim 2 2ln 1x x x xg x x x g x x x
→ → →+∞ →+∞= − − − = +∞ = − − − = −∞
] [ ( ) 2 11; ' 11 1
xx g xx x
− −∀ ∈ +∞ = − − =
− −
+∞ 1 x - ( )'g x
+∞ −∞
g
)بين أن المعادلة ن) ب ) 0g x 2 تقبل حال وحيدا هو =
[ متصلة و تزايديا قطعا على g لدينا ) و ∞+;1] )2 0g )المعادلة اذن = ) 0g x 2 تقبل حال وحيدا هو =
fرس تغيرات ند) أ- 3
] [ ( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
2 2
4
2 2
3 3
12 1 1 2 1 ln 111; '
1
2 3 2 2 2 2ln 1 2 2ln 1
1 1
x x x x x xxx f x
x
x x x x x x x
x x
− + − − − − + − − ∀ ∈ +∞ =−
− + − + − − − + − −= =
− −
[ إذن [ ( ) ( )( )3
1; '1
g xx f x
x∀ ∈ +∞ =
−
[نستنتج أن ) و ب) أ2 من [ ( )1;2 ' 0x f x∀ ] و ∋ [ ( )2; ' 0x f x∀ ∈ +∞ ≺
+∞ 2 1 x - 0 + ( )'f x
15
2
1 −∞ f
األعداد لبعض fجدول قيم لدالة ) ب11 34 ; 3 ; ;8 2
و قيم f بالدالة
118
32
3 4 x
333 64ln8
9
+
3 4ln 2− 6 ln 2
4+
12 ln 3
9+
( )f x
3,31− 0,23 1,67 1,45 ( )f x≈
)بين أن المعادلة ن) ج ) 0f x تقبل حال وحيدا في =11 3;8 2
متصلة على و تزايدية قطعا على f لدينا 11 3;8 2
و 11 3 08 2
f f ×
≺
)المعادلة ومنه ) 0f x تقبل حال وحيدا في =11 3;8 2
) في معلم متعامد ممنظم fCنشئ المنحنى ن - 4 ); ;O i j 2 حيثi cm=
9تمرين
16
A( لتكنg الدالة العددية المعرفة على ] ): بـ∞+;0] ) 1ln( 1) ln 11
g x x xx
= + − − ++
) بين أن - 1 )lim 1x
g x→+∞
=
) بين أن - 2 )( )2
1'1
g xx x
−=
+[ من x لكل [على g استنتج منحى تغيرات و ∞+;0] [0;+∞
[استنتج أن - 3 [ ( )0; 0x g x∀ ∈ +∞
B( لتكنfبـ على الدالة العددية للمتغير الحقيقي المعرفة ( )
( ) ( )
1ln 1 ; 0
1 ; 0x
xf x x x xx
f x x e x
+ = + + = − ≤
) و )fC المنحنى الممثل للدالة f ممنظم في معلم متعامد ( ); ;O i j 2 حيثi j cm= =
بين أن / أ- 11lim ln 1
x
xxx→+∞
+ =
) تجثم استن )limx
f x→+∞
.
)حدد / ب )limx
f x→−∞
و أول النتيجة هندسيا
.0 متصلة في fبين أن / ج . هندسياتيننتيج ثم أول ال0 و على اليسار في 0 على اليمين في f أدرس قابلية اشتقاق - 2
[بين أن / أ - 3 [ ( ) ( )0; 'x f x g x∀ ∈ +∞ [و أن = [ ( );0 ' xx f x xe∀ ∈ −∞ = −
.f أعط جدول تغيرات / ب
) نقطة انعطاف للمنحنى - 1 ذات االفصول A بين أن النقطة - 4 )fC
2y بين أن المستقيم ذا المعادلة - 5 x= ) مقارب للمنحنى+ )fC بجوار +∞.
) أنشئ المنحنى - 6 )fC .
ln 2 0,7≈ ln 3 1,1≈ 1 0,37e− ≈ 2 0,14e− ≈ 3 0,05e− ≈ الحل
A( g الدالة العددية المعرفة على ] ): بـ∞+;0] ) 1ln( 1) ln 11
g x x xx
= + − − ++
) نبين أن -4 )lim 1x
g x→+∞
=
( ) 1 1 1lim lim ln( 1) ln 1 lim ln(1 ) 1 11 1x x x
g x x xx x x→+∞ →+∞ →+∞
= + − − + = + − + = + +
) نبين أن -5 )( )2
1'1
g xx x
−=
+[ من x لكل [على g نستنتج منحى تغيرات و ∞+;0] [0;+∞
[ من xليكن [0;+∞ ( ) 1ln( 1) ln 11
g x x xx
= + − − ++
و منه
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
1 11 1 1 2 1 1'1 1 1 1 1
x x x x x x x x xg xx x x x x x x x x
+ − + + + − − − + −= − + = = =
+ + + + +
] [( )2
10; 01
xx x
−∀ ∈ +∞
+[ أي ≻ [ ( )0; ' 0x g x∀ ∈ +∞ ≺
[ تناقصية قطعا على gاذن [0;+∞
17
[ستنتج أن ن -6 [ ( )0; 0x g x∀ ∈ +∞
[ تناقصية قطعا على gلدينا ) و ∞+;0] )lim 1x
g x→+∞
=
[ اذن [ ( )0; 0x g x∀ ∈ +∞
B( fبـلى ع الدالة العددية للمتغير الحقيقي المعرفة :
( )
( ) ( )
1ln 1 ; 0
1 ; 0x
xf x x x xx
f x x e x
+ = + + = − ≤
نبين أن / أ-11lim ln 1
x
xxx→+∞
+ =
) ثم نستنتج )limx
f x→+∞
.
نضع 1xt
ومنه =1tx
و بالتالي =( )
0
ln 11lim ln lim 1x t
txxx t→+∞ →
++ = =
) و منه ) 1lim lim ln 1x x
xf x x xx→+∞ →+∞
+ = + + = +∞
)نحدد / ب )limx
f x→−∞
ونؤول النتيجة هندسيا
( ) ( )lim lim 1 lim 0x x xx x x
f x x e e xe→−∞ →−∞ →−∞
= − = − =
)للمنحنى و منه محور االفاصيل مقارب )fC
.0 متصلة في fنبين أن / ج
( ) ( ) ( )0 0 0
1lim lim ln 1 lim ln 1 ln 1 1x x x
xf x x x x x x x xx+ + +→ → →
+ = + + = + − + + =
( ) ( )0 0
lim lim 1 1x
x xf x x e
− −→ →= − =
) ومنه ) ( ) ( )0 0
lim lim 0x x
f x f x f+ −→ →
= .0 متصلة في f اذن =
. هندسياتينول النتيجنؤ ثم 0 و على اليسار في 0 على اليمين في fدرس قابلية اشتقاق ن -2
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 1 1 1lim lim lim 1 1 0x x
x
x x x
f x f x e e ex x x− − −→ → →
− − − −= = − = − =
0 في سارعلى ي و تقبل نصف مماس أفقي 0 في سارقابلية اشتقاق على الي f و منه
( ) ( )
0 0 0
1ln0 1lim lim lim ln 1 1x x x
xx xf x f xx x x+ + +→ → →
+ + − = = + + = +∞
0 في مينعلى ي و تقبل نصف مماس عمودي 0 في مينشتقاق على الياالقابلية غير f و منه
[بين أن ن/ أ -3 [ ( ) ( )0; 'x f x g x∀ ∈ +∞ [و أن = [ ( );0 ' xx f x xe∀ ∈ −∞ = −
[ ليكن [0;x∈ +∞ ( ) 1ln 1xf x x xx+ = + +
( ) ( ) ( )21
1 1' ln 1 ln 1 ln 11 1
x xf x x x x g xxx xx
−+ = + + = + − − + = + +
[ ليكن [;0x∈ −∞ ( ) ( )1 xf x x e= −
18
( ) ( )' 1x x xf x e x e xe= − + − = −
.f جدول تغيرات يعطن / ب
+∞ 0 −∞x
+ + ( )'f x
+∞
0 ( )f x
) نقطة انعطاف للمنحنى -1 ذات االفصول A نبين أن النقطة -4 )fC
[ ليكن [;0x∈ −∞ ( )' xf x xe= −
( ) ( )'' 1x x xf x e xe x e= − − = − +
( ) ( )'' 1 0 1xf x x e x⇔ − + = ⇔ = −
0 1- −∞x
- 0+ ( )''f x
) نقطة انعطاف للمنحنى -1 ذات االفصول A اذن النقطة )fC
2y نبين أن المستقيم ذا المعادلة -5 x= ) مقارب للمنحنى+ )fC بجوار +∞.
( ) ( ) 1lim 2 lim ln 1 1 1 0x x
xf x x xx→+∞ →+∞
+ − + = − = − =
2y اذن المستقيم ذا المعادلة x= ) مقارب للمنحنى+ )fC بجوار +∞.
)نشئ المنحنى ن -6 )fC .
19
تمارين 1تمرين
أحسب 1 1lim 1 limx x
x xx
x x→+∞ →+∞
− +
2تمرين
حيث f أدرس و مثل مبيانيا الدالة ( )( )
2
0 1
xf x xf
=
=
3تمرين
المعادالت حل في - 12 3 3 4 3; 2x x xe e e− − −= = 3 23 2 0x x xe e e− − =
المتراجحات حل في - 2
2 22 3 1 0 ; 2 1 0 3 3 6 0x x x x x xe e e e −− + − + − −≺
النظمة 2في حل -3 2 1
2 3x y
x y+ =
=
4تمرين أحسب
20
2
22 30 0
1 1 2lim ; lim lim ; lim ; lim3 2 1
x x x x xx
x x xx x x x x
e e e e ex ex e e x e→ → →+∞ →−∞ →+∞
− − + +
− + −
0 1
1lim lim1
xx
x x
xxx+→ →
−−
5تمرين
-I نعتبر الدالة العددية f لمتغير حقيقي المعرفة بما يلي ( ) 22 3 1x xf x e e= − +
fDعند محدات f ونهايات fD حدد - أ-1
f أدرس تغيرات - ب و محور األفاصيلfC حدد نقطة تقاطع - أ-2
0 عند النقطة ذات األفصول fC حدد معادلة المماس لـ - ب
fC أدرس الفروع الالنهائية لـ - ج
fC أنشئ - د
II - نعتبر الدالة gـ المعرفة ب ( ) ( )2ln 2 3 1x xg x e e= − +
gDعند محدات g و نهايات gD حدد - أ-1
g أدرس تغيرات - ب
gC ثم أنشئ gC أدرس الفروع الالنهائية لـ-2
تمرين6
ة بما يلي لمتغير حقيقي المعرفf نعتبر الدالة العددية ( ) ( )( )
2 1 ln 0
1 2 1 0x x
f x x x x
f x e e x
= −
= − − − ≤
e و 0 عند النقطتين f أدرس اشتقاق و اتصال - 1 و أعط التأويل الهندسي للنتائج المحصل عليها
fCلالنهائية لـ ثم أدرس الفروعfD عند محدات f أحسب نهايات - 2
fC 2i و أنشئ f أدرس تغيرات - 3 j cm= =
[ على fالدالة قصور g بين أن - 4 [ تقابل من ∞−0;[ يجيب تحديده Jنحو مجال ∞−0;[
) أحسب )1g x− لكل x من J
7تمرين
-I نعتبر الدالة f المعرفة على [ [ ] [0;1 1;D = ∪ ) بحيث ∞+ )2
222 ln 1
1xf x x
x= + −
−
.D عند محدات fأحسب نهايات - 1
)بين أن - 2 )( )
( )
2
22
2 3'
1
x xf x
x
−=
− f و أعط جدول تغيرات D من x لكل
) استنتج مما سبق إشارة - 3 )f x لكل xمن D
II - لتكن g الدالة المعرفة على Dـ ب ( ) 2ln 1g x x x= −
.D عند محدات g أحسب نهايات - أ-1
أحسب - ب( )
limx
g xx→+∞
. للنتيجة المحصل عليها تأويال هندسيا و أعط
) D منx بين لكل -2 ) ( )'g x f x= و أعط جدول تغيرات g.
21
gC نقطة انعطاف المنحنى Iاثيتي إحدf استنتج من دراسة الدالة- أ-3
) المعادلة D حل في - ب ) 0g x =
gC أنشئ - ج
8تمرين
الجزء األول
) الدالة المعرفة بـ f لتكن ) ( )21 4 1 22
x xf x x e x e = − − − −
) أحسب - 1 )limx
f x→−∞
) من x و بين لكل ) 22
1 4 4 212
xx x xf x xe
x e xe xe = − − + −
)ثم استنتج )limx
f x→+∞
f أدرس تغيرات - 2 fC أدرس الفروع الالنهائية لـ - أ-3
]تنتمي إلى 0xيقطع محور األفاصيل في نقطة fC بين أن - ب ]2; 1− −
4 2225 15 11; ;4 2 4
e e e
fC 2i أنشئ - ج j cm= =
الجزء الثاني
الدالة المعرفة بـ g لتكن ( ) ( ) ( )( )
2 214 ln 8 4 02
0 2
g x x x x x x x
g
= − − − + = −
[بين أن - 1 [ ( ) ( )0; lnx g x f x∀ ∈ +∞ =
0 في يمين gأدرس اتصال و اشتقاق - 2 gأدرس تغيرات - 3 gC أدرس الفروع الالنهائية لـ- أ - 4
ومحور األفاصيلgC تأطيرا ألفصول نقطة تقاطع, في الجزء األول - ب- 2 أستنتج من - ب
gC ثم أنشئ0 في النقطة ذات األفصول gC حدد نصف المماس لـ- ج
![nenomatica · 2018. 8. 15. · v) lim f(x) lim f(x) —2 limf(x)] 1 = 2 l, liml:rl lim xl=O lim I ae IR (u ( —21 = —4 — a L. Jlþy=x a lim x—sa www_ n . lim f (x) = — lim](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/60da74b2850abc389e16bf7e/nenomatica-2018-8-15-v-lim-fx-lim-fx-a2-limfx-1-2-l-limlrl-lim.jpg)
