3.RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE SUL "PIANO S" DELLE FUNZIONI DI TRASFERIMENTO. 3.1 Proprietà generali. Come anticipato al paragrafo 1.1 la possibilità di descrizione per via grafica dei valori che una generica funzione di trasferimento assume sul "piano s" è legata alla capacità di individuazione delle linee di livello delle sue parti caratteristiche: modulo e fase, ovvero parte reale e parte immaginaria. Ovviamente , come in tutti i casi in cui per rappresentare una funzione di due variabili ci si affida al tracciamento delle linee di livello, ciò viene fatto in pratica per un insieme discreto di valori della grandezza che si è scelta per descrivere la funzione stessa; ed in genere si accetta che l' intera famiglia sia rappresentata da un numero relativamente piccolo di linee di livello. Si vedrà peraltro che il tracciamento è reso possibile dall'utilizzazione pratica di certe proprietà delle curve che costituiscono la generica linea di livello: perciò non vi è alcun vincolo nella scelta del valore dei livelli stessi. Un'ulteriore circostanza può riuscire utile nel collegamento delle rappresentazioni grafiche della funzione di trasferimento corrispondenti alle rappresentazioni analitiche formali (1.3) e (1.4), che qui per comodità si riproducono : R = R(σ,ω) M = M(σ,ω) I = I(σ,ω) (1.3) ϕ = ϕ(σ,ω) (1.4) Ci si riferisce al fatto che le curve della famiglia R=cost. sono ortogonali, salvo che nei punti di singolarità della funzione di trasferimento (zeri e poli) , alle curve della famiglia I=cost.; e così pure le curve della famiglia Χ sono ortogonali a quelle della famiglia M=cost. Questa proprietà scaturisce dal carattere di funzione olomorfa, con eccezione dei punti singolari, della generica funzione di trasferimento in quanto funzione complessa razionale fratta nella variabile complessa s. E si giustifica ulteriormente sulla base delle condizioni di Cauchy-Riemann :

∂R∂σ =

∂I∂ω ;

∂R∂ω = -

∂I∂σ e

1M

∂M∂σ =

∂ϕ∂ω ;

1M

∂M∂ω = -

∂ϕ∂σ (3.1)

che valgono per le funzioni W = R + j I e ln W = ln M + j ϕ. Le prime stabiliscono

infatti che il vettore normale alla linea R = cost., di componenti ∂R∂σ ,

∂R∂ω , (il

gradiente di R!), è ortogonale al vettore di componenti ∂I∂σ ;

∂I∂ω , (grad I) , a sua

volta normale alla linea I = cost. ; le seconde stabiliscono un legame analogo fra le linee ln M = cost. (cioè M = cost.) e le linee ϕ = cost. Poichè la moltiplicazione di W(s) per una costante, eventualmente complessa, altera il modulo e la fase di W(s) in modo indipendente da s , evidentemente a funzioni di trasferimento "proporzionali" corrisponde uno stesso tracciato complessivo dei luoghi delle varie famiglie, diverso risultando solo il valore del "livello" che parametrizza le singole curve. Un ulteriore carattere invariante dell'insieme di curve che costituiscono le quattro famiglie è costituito dal fatto che le rispettive configurazioni dipendono solo

44

dalla dislocazione relativa di zeri e poli sul piano s. Infatti la sostituzione di s con s + δ e la contemporanea aggiunta a tutti gli zeri e tutti i poli (compresi quelli che cadono nell'origine!) della quantità δ , eventualmente complessa, non modifica il valore della generica trasferenza come si evince subito dalla sua forma fattorizzata (1.8): di conseguenza lo spostamento di δ di tutti gli zeri e di tutti i poli provoca un eguale traslazione di tutti i luoghi delle varie famiglie. Peculiari proprietà delle singole famiglie verranno considerate in dettaglio nel seguito. Giova ricordare che l'interesse per questo tipo di rappresentazione è da ricondurre storicamente ad una particolare applicazione, quella del cosiddetto "metodo del luogo delle radici", dovuta ad Evans [5], di un particolare luogo a fase costante. Anche per questo motivo , di natura storicistica, la famiglia dei luoghi a fase costante riveste un carattere di interesse preminente rispetto alle altre: si mostrerà inoltre che la capacità di tracciare i luoghi a fase costante permette di risolvere l'analogo problema anche per i luoghi a modulo costante e a parte reale costante. La successiva rassegna delle proprietà specifiche di ogni famiglia e delle modalità di tracciamento delle relative curve comincerà pertanto appunto con la famiglia delle linee ϕ = cost. 3.2 I luoghi a fase costante. Il generico luogo a fase costante e pari a ϕ è costituito dall'insieme dei punti del piano s per i quali vale la condizione arg[W(s)] = ϕ Assumendo per nota la forma (1.8) della funzione di trasferimento che si vuole rappresentare attraverso questa famiglia di curve, si può ricavare ϕ per qualunque punto del piano s dalla

arg[W(s)] = ϕ = ∑i=1

marg(s-zi) - ∑

i=1

narg(s-pi) (3.2)

Nel seguito converrà porre: αi = arg(s-zi) ; βi = arg(s-pi) (3.3)

per cui: ϕ = ∑i=1

m αi - ∑

i=1

n βi (3.4)

La formula (3.4) suggerisce un modo naturale di ricavare il valore della fase attraverso una "costruzione geometri- ca" una volta che sia definita sul piano s la dislocazione di zeri e poli (con le rispettive molteplicità) . La costruzione è suggerita dalla fig. 32: si tratta di individuare gli angoli αi e βi e poi procedere alla loro somma algebrica tenendo presente che il contributo dei poli è negativo. Questa impostazione del calcolo di ϕ suggerisce di considerare valida la (3.4) soltanto a meno di multipli interi

di 360°: infatti

α

α

α

β

β

1

1

2

2

3

s

45

fig.32

46

occorre definire quali siano le determinazioni che si considerano accettabili per ϕ . Noi adotteremo l'ipotesi che tali determinazioni siano quelle comprese fra -180° e +180°. Poichè argW(s*) = - argW(s) = - ϕ si ricava subito una prima proprietà generale della famiglia di curve che si stanno considerando ed è la seguente: il luogo a fase ϕ è il simmetrico rispetto all'asse reale del luogo a fase -ϕ. In particolare allora il luogo a fase 0° e il luogo a fase 180° sono simmetrici (di se stessi) rispetto all'asse reale. Questa ed altre proprietà generali si possono dedurre anche dalla equazione cartesiana del generico luogo della famiglia. 3.3 L'equazione cartesiana dei luoghi a fase costante. Si può verificare facilmente che i luoghi a fase costante sono curve algebriche di ordine pari a m+n . L'equazione cartesiana può essere ricavata sostituendo material- mente s con x jy (si preferisce ancora una volta questa notazione a quella introdotta nella (1.2) perchè risulta più chiaro il riferimento ad un sistema di assi cartesiano sul piano s) e imponendo che il rapporto fra la parte immaginaria, I(x,y), e quella reale, R(x,y) , sia pari a tg ϕ. Da questa stessa semplice indicazione si vede peraltro come in realtà l'equazione fornisca l'insieme dei punti del luogo ϕ e ϕ + 180°! Posto quindi:

W(s) = W(x+jy) = N(x+jy)D(x+jy) =

N(x+jy)D(x-jy)D(x+jy)D(x-jy) = R(x;y) + j I(x;y) (3.5)

si ricava

R(x;y) = Re[N(x+jy)D(x-jy)]

D(x+jy)D(x-jy) ; I(x;y) = Im[N(x+jy)D(x-jy)]

D(x+jy)D(x-jy) (3.6)

Ai fini della determinazione dell'equazione cartesiana del luogo generico è sufficiente considerare le espressioni a numeratore delle frazioni presenti nella (3.6); l'equazione cercata infatti si può scrivere nella forma: Im [N(x+jy)D(x-jy)] - tgϕ . Re [N(x+jy)D(x-jy)] = 0 (3.7) Poichè il polinomio N(s)D(s*) è di grado m + n l'ordine della curva, dato dal grado del "polinomio bivariato" (in x,y) che costituisce il primo membro della (3.7), coincide appunto con questo valore. Porremo: P(x,y) = Re [N(x+jy)D(x-jy)] Q(x,y) = Im [N(x+jy)D(x-jy)] (3.8) P(x,y) e Q(x,y) sono polinomi (bivariati) in x,y e in particolare, per quanto detto in chiusura del precedente paragrafo P(x,y) contiene solo termini in cui compaiono potenze pari di y e Q(x,y) contiene solo termini in cui compaiono le potenze dispari di y. Infatti per la proprietà di simmetria sopra richiamata valgono , per qualsiasi valore di tgϕ, entrambe le relazioni Q(x,y) - P(x,y) tgϕ= 0 , Q(x,-y) + P(x,-y) tgϕ = 0 e cambiando segno alla seconda: -Q(x,-y) - P(x,-y) tgϕ = 0 ; il confronto con la prima porta appunto a trovare: P(x,y) = P(x,-y) e Q(x,y) = -Q(x,-y) .

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Avendo presente questa osservazione, è possibile ottenere in forma estesa l'espressione del primo membro dell'equazione (3.7) del generico luogo ϕ, impiegando un semplice algoritmo. Questo calcola il coefficiente del termine contenente il fattore del tipo xhyk per tutti i valori accettabili di h e k: per quanto detto sopra se k é pari si genera di un termine di P(x,y), mentre se k é dispari si genera un termine di Q(x,y). Algoritmo 3.1. DATI : m,n, b0,b1,...bm, a0,a1,....an COMMENTO: per k pari calcola termini di P(x,y), per k dispari calcola termini di Q(x,y) k = 0 ; goto 2 passo 1 : k = 1 passo 2 : h = 0 passo 3 : rmin = max(0,h+k-n) ; rmax = min(m,h+k) t = 0 passo 4 : per r = rmin to rmax l = h+k-r c = 0 imin = max(0,r-k) ; imax = min(h,r) passo 5 : per i = imin to imax j = h - i σ = (-1)r-i

c = c + σ ri

lj

next i passo 6 t = t + c br al (-1)[(k+1)/2] next r passo 7 h = h +1 if (h+k > m+n) goto 2 else goto 3 passo 8 k = k + 2 if (h+k≤ m+n) goto 2 else if (k=pari) goto 1 else stop ______________________ Esempio 3.1.

Si vuole l'equazione del luogo : arg s2- 3s + 2

s3 + 3s2 + 2s = ϕ

Qui si ha : m = 2, n = 3; l'algoritmo fornisce: P(x,y) = x(x2+y2)2 + 6y2(x2+y2) - 5x3 -13xy2 -12y2 + 4x Q(x,y) = -y(x2+y2)2 + 6xy(x2+y2) + 13y3 +5yx2 -12xy -4y e quindi l'equazione cercata è (y + x tgϕ)[(x2+y2)2 - 5x2 - 13y2 + 4] + 6y(y tgϕ -x)(x2+y2-2) = 0

48Per esempio se si vuole l'espressione del coefficiente del termine in xy2 seguendo

l'algoritmo per il caso h=1 e k=2 si trova nel caso in esame:

- {b0a3[ 00

30 ]+b1a2[-

10

21 +

11

20 ]+b2a1[-

20

l1 +

21

l0 ]}

= - b0a3 + b1a2 - b2a1 = -13 ______________________ Ovviamente il luogo a fase 0° e/o 180° ha equazione : P(x,y) = 0 mentre il luogo a fase ± 90° ha equazione : Q(x,y) = 0 3. 4 Proprietà generali della famiglia La disponibilità dell'equazione in forma implicita dei luoghi a (tg) ϕ = cost. permetterebbe, in teoria, la deduzione di tutte le proprietà geometriche più interessanti della generica curva della famiglia: l'equazione peraltro risulta in genere complicata e laborioso è il procedimento per la sua determinazione, come mostra l'esempio sopra riportato. Vi sono invece proprietà generali che ,con semplici considerazioni, si possono ricavare dalla definizione stessa dei luoghi in oggetto. 1) Il generico luogo ϕ=cost. passa per tutti i poli e tutti gli zeri della funzione di trasferimento. Questa proprietà si deduce considerando il comportamento dell'argomento assunto da W(s) in prossimità di uno zero (o di un polo). Supponendo per il momento che questo sia singolo si pensi di far muovere il punto s su un cerchio di raggio "molto piccolo" centrato sullo zero (o polo): poichè il punto si sposta relativamente poco rispetto agli altri zeri e poli il contributo di questi alla fase cambia relativamente di poco. Lo zero (o polo) intorno al quale s si muove contribuisce invece, nella sommatoria che appare nella (3.2), con un angolo che varia da 0° a 360° : perciò la fase ϕ assume nell'intorno di questo punto singolare qualsiasi valore nell'arco dei 360 gradi! Se il punto fosse zero (o polo) di molteplicità µ la variazione indotta nella fase ϕ dal movimento circolare intorno ad esso sarebbe di µ.360°. Di conseguenza durante tale movimento si attraverserebbero µ rami del luogo a fase ϕ. Ciò indica che da uno zero o polo di molteplicità µ escono (o arrivano....- non si è ancora introdotto un orientamento delle curve!) altrettanti "rami" del luogo. 2) Ogni ramo che si sviluppi interamente al finito ha agli estremi uno zero e un polo. Questo presuppone che si attribuisca ad ogni ramo un' "inizio" e una "fine"; ciò è coerente con il fatto che lungo un ramo del luogo a fase costante il valore del modulo della funzione di trasferimento deve variare con continuità ed è naturale assumere come valori estremi per esso lo 0 (valore assunto negli zeri) e l' ∞ (valore assunto al limite nei poli). Perciò se si "percorre" un ramo secondo il verso dei moduli crescenti, con il che gli si attribuisce automaticamente un orientamento, esso deve necessariamente iniziare in uno zero e finire in un polo. 3) Nel caso vi sia un numero di poli inferiore a quello degli zeri vi è un numero m-n di rami che vanno all'infinito; se vi fossero più poli che zeri allora n-m rami provengono dall'infinito del piano s. Ciò è legato alle considerazioni svolte per illustrare la proprietà precedente e si prova nei corrispondenti casi sulla base del comportamento della funzione razionale W(s) per s tendente all'infinito. Nel primo

49

caso si può intuitivamente attribuire alla funzione di trasferimento l'esistenza di un polo di molteplicità m-n all'infinito, nel secondo l'esistenza di uno zero di molteplicità n-m all'infinito. 4) Il luogo generico ha un numero di rami pari al valore più grande tra m ed n: n.o rami = max (m,n) Questo è una conseguenza diretta delle precedenti proprietà. 5) L'angolo di uscita di un ramo (cioè l'angolo di inclinazione della tangente alla curva in tale punto singolare) dallo zero zk è calcolabile con la formula

θk = ∑i=1

n βi - ∑

i=1

m αi + ϕ + λ.360°

i≠k se lo zero zk è semplice; se lo zero ha molteplicità µk allora gli angoli di uscita dei corrispondenti rami si ottengono dalla

θk =1

µk (∑

i=1

n βi - ∑

i=1

m αi + ϕ + λ.360°) (λ=0,1,... µk-1) (3.9)

i≠k Questa si prova molto facilmente in base alla formula (3.2) osservando che il contributo alla fase dello zero zk è appunto pari a µk θk poichè θk = arg(s- zk) quando s è prossimo allo zero sul ramo del luogo che da esso origina. E' utile far presente che l'angolo di uscita da uno zero, eventualmente multiplo, si può calcolare anche senza fare riferimento esplicito alla forma fattorizzata della trasferenza. Infatti poichè interessa il comportamento di W(s) nell'intorno di zk si può utilizzare lo sviluppo in serie intorno a questo punto: W(s) = c0(s- zk)µk + c1(s- zk)µk+1 + .... da cui argW(s) = ϕ = arg(c0 ) + µk .arg(s- zk) e quindi facilmente

θk =1

µk [ ϕ - arg(c0) + λ.360°] (λ=0,1,... µk-1)

e c0 si calcola con la

c0 = lims->zk

W(s)

(s- zk)µk

6) L'angolo di arrivo di un ramo in un polo pk è calcolabile con la formula

θk = ∑i=1

n αi - ∑

i=1

m βi - ϕ + λ.360°

i≠k se lo zero pk è semplice; se lo zero ha molteplicità νk allora gli angoli di arrivo dei

50

corrispondenti rami si ottengono dalla

θk =1νk

(∑i=1

n αi - ∑

i=1

m βi - ϕ + λ.360°) (λ=0,1,... νk-1) (3.10)

i≠k La tecnica di deduzione è la stessa del caso precedente. Anche qui si può far presente che l'angolo di arrivo dal polo, eventualmente multiplo, si può calcolare tramite lo sviluppo in serie nell'intorno di pk :

W(s) = c0

(s- pk)νk +

c1(s- k)νk-1

+ ....

da cui argW(s) = ϕ = arg(c0 ) - νk .arg(s- pk) e quindi facilmente

θk =1νk

[ arg(c0) − ϕ + λ.360° ] (λ=0;1;... νk-1)

e c0 si calcola con la c0 = lim

s->pk [ W(s).(s- pk)νk ]

Si noti come le proprietà 5) e 6) mostrino che i rami di uno stesso luogo ϕ uscenti, o entranti, da un punto singolare multiplo siano fra loro angolarmente equidistanziati: infatti la (3.9), nel caso di uno zero di molteplicità µ, usata per due valori successivi di λ mostra appunto una differenza di 360°/µ fra gli angoli corrispondenti ai relativi due rami , 7) Gli |n-m| rami che si sviluppano all'infinito lo fanno tendendo ad altrettanti asintoti. Le caratteristiche di questi asintoti essenziali per una loro determinazione si possono ricavare nel modo seguente. Poichè interessa il comportamento di W(s) all'infinito del piano s ci si deve riferire allo sviluppo asintotico di W(s).

Sia allora W(s) = Mejϕ ≅ w0sh

+ .... (3.11)

e quindi in prima approssimazione : ϕ = arg(w0) - h arg(s) + λ.360° da cui

arg(s) = θ∞ = 1h [arg(w0) - ϕ + λ.360°] (λ=0,1,2,...h-1) (3.12)

Dunque il punto s che si porta verso l'infinito lungo uno degli h rami del luogo a fase ϕ lo fa lungo una semiretta di inclinazione data da θ∞ . Gli asintoti degli h rami sono fra loro angolarmente equidistanziati di 360°/h e si può scrivere, in prima approssimazioneper ciascuno di essi:

s = ρ e jθ∞ con ρh = |w0|M

Supposto che essi originino da un punto corrispondente al valore x della variabile complessa , si potrà porre per una migliore approssimazione

51

s = x + ρ e jθ∞ (3.13)

con ρ =

|w0|

M 1h (3.14)

In seconda approssimazione

W(s) ≅ w0sh

+ w1

sh+1 + ....

da cui Mejϕ sh+1 ≅ w0s +w1 Sostituendo s con l'espressione (3.13) e trattenendo nello sviluppo soltanto i termini più significativi si ottiene: Mejϕ [ρh+1ej(h+1)θ∞ + (h+1) x ρhejhθ∞ ] + .... = w0(x+ρeiθ∞ ) + w1

Mejϕ ρhejhθ∞ [ρejθ∞ + (h+1) x ] + .... = w0(x+ρeiθ∞ ) + w1 ma in base alla (3.12) Mejϕ ρhej[arg(w0)-ϕ] [ρejθ∞ + (h+1) x ] + ..... = w0(x+ρeiθ∞ ) + w1 e in base alla (3.14) w0 [ρejθ∞ + (h+1) x ] + .... = w0(x+ρeiθ∞ ) + w1 e in definitva h w0 x = w1

e quindi x = w1

h.w0 (3.15)

Poichè w1 = bm-1an-bman-1

an2 e w0 = bman

si trova x = bm-1an-bman-1

h.bman = 1h

bm-1

bm - an-1an

(3.16)

Più comunemente , nel caso sia n>m, e quindi h = n - m si preferisce scrivere,

xc =

∑i=1

npi - ∑

i=1

mzi

n - m (3.17)

Tale punto si chiama "centroide" e per questa ragione si è introdotto il pedice c accanto alla lettera x. La (3.17) mostra chiaramente che xc ha sempre un valore reale e pertanto il centroide è collocato sull'asse reale. Questo risultato, insieme alla (3.12) , permette di affermare che gli asintoti dei luoghi a fase costante formano un fascio di centro nel punto reale di ascissa xc; gli asintoti relativi ad un luogo ϕ formano una stella "regolare" di semirette angolarmente equidistanziate. ______________________ Esempio 3.2.

52

Della funzione di trasferimento W(s) = s2 + 2s + 2

s4 + 2s3 + 3s2 si vogliono

determinare gli asintoti; l'angolo di uscita dallo zero z1 = -1 + j e l'angolo di arrivo nel polo p1 = -1 + j 2 del generico luogo a fase ϕ. Si ha: z1 = -1 + j , z2 = -1 - j p1 = -1 + j 2 , p2 = -1 - j 2 , p3 = p4 = 0

Il centroide cade nel punto di ascissa xc = ( -2 ) - ( -2)

2 = 0

e i due asintoti del generico luogo a fase ϕ sono inclinati di -ϕ/2 e -ϕ/2 + 180°. Per l'angolo di uscita dallo zero z1 si ha (in base alla (3.9): θ1 = -90°+90°+2.135°-90°+ϕ = ϕ + 180° Per l'angolo di arrivo nel polo p1 si ha, in base alla (3.10): θ'1 = 90°+90°-90°-2arg(p1-0) - ϕ = 90 - 2x125°,264 - ϕ = - 160°,53 - ϕ Volendo procedere sulla base degli sviluppi in serie si ha: nell'intorno di z1

c0 =

s + 1 + j

s4 + 2s3 + 3s2 s=-1+j

= 2j-2j = -1

e quindi :θ1 = ϕ - arg ( c0 ) = ϕ - 180° e nell'intorno di p1

c0 =

s2 + 2s + 2

s3 + (1+j 2)s2 s=-1+j 2

= -1

8-2j 2 = -

4+j 236

e quindi θ'1 = arg ( c0 ) - ϕ = - 160°,53 - ϕ La situazione è schematicamente rappresentata in fig. 33.

p

p

p = p

z 1

z 2

1

2

3 4

fig.33

I luoghi dei punti in cui la W(s) assume valori reali (a fase 0° o a fase 180°) risultano particolarmente significativi per talune applicazioni nel campo dei controlli automatici. Si è già osservato come essi godano di una proprietà che è loro peculiare: si tratta di luoghi simmetrici rispetto all'asse reale. L'asse reale stesso è quindi costituito da rami dei luoghi in oggetto. E' molto facile verificare, in base alla (3.2) , che a determinare contributi complessivamente non nulli per la fase di W(s) sul generico punto s dell'asse reale sono soltanto gli zeri e i poli reali situati alla destra del punto s. Infatti il contributo degli zeri e dei poli posti a sinistra è nullo (poiché le differenze s-zi e s-pi sono tutte reali positive) e il contributo di ciascuna delle coppie di zeri o poli complessi coniugati è di per se nullo. Pertanto se il

53

numero complessivo di zeri e poli che cadono alla destra del punto s è dispari la fase assume una determinazione pari a 180°, se tale numero complessivo è pari la fase assume valore 0°. Le proprietà sopra enunciate inducono ad alcune riflessioni: si consideri infatti il caso in cui sull'asse reale risultino contigui due zeri (o due poli). Poichè si è attribuito ai rami un orientamento che porta a considerarli uscenti dagli zeri (o entranti nei poli) , cioè il verso dei moduli crescenti, è intuitivo che il segmento di asse reale che ha detti zeri (o poli) come estremi si debba considerare "coperto" da due rami , uno uscente dallo zero di destra e l'altro dallo zero di sinistra, di uno stesso luogo (a fase 0° o 180°), che ad un certo punto si "incontrano": il punto in cui i due rami si incontrano coincide ovviamente con un punto di stazionarietà del modulo, poichè esso è raggiunto sia da destra che da sinistra in condizione di "modulo crescente". Un tale punto è dunque di stazionarietà tanto della fase (appartiene ad un luogo a fase costante) che del modulo: esso è caratterizzato pertanto dall'annullamento delle rispettive derivate rispetto a s. Poiché non si tratta di un punto singolare la W(s) è ivi olomorfa: pertanto la derivata di W(s) è indipendente dal modo in cui si fa variare s. Si conclude che si tratta di un punto in cui si annulla la derivata (almeno) prima di W(s) rispetto ad s. Situazione analoga si verifica in tutti i punti del piano s in cui si annulla la derivata rispetto ad s: tali punti assumono una certa importanza nello studio delle famiglie di luoghi "isocaratteristica" di cui ci si sta occupando (così possono infatti chiamarsi le linee di livello delle grandezze caratteristiche che si usano per descrivere la W(s) ). Essi verranno chiamati punti critici della trasferenza W(s). 3.5 I punti critici. Come appena detto, si chiameranno "punti critici" della funzione di trasferimento i punti in cui si annulla la derivata prima di W(s): cioè le soluzioni dell'equazione

dW(s)

ds = 0 (3.18)

A completamento di quanto delineato nel precedente paragrafo è opportuno indagare sul comportamento di W(s), e in particolare dei luoghi a fase o modulo costante, nell'intorno di un tale punto. Sia sc un punto critico "semplice", cioè tale da costituire uno zero di molteplicità uno per la derivata di W(s). Da uno sviluppo in serie della W(s) in tale punto si ricava:

W(sc + δ) = W(sc) +

d2W(s)

ds2 s=sc

δ22! + .... (3.19)

In prima approssimazione, quindi, scelto δ piccolo in modulo e di argomento tale che sc + δ cada sul luogo a fase ϕ (cioè di argomento pari all'inclinazione della tangente al luogo ϕ=cost. in sc), dovrà essere, per la (3.19)

ϕ = arg[W(sc)] = arg[W(sc + δ)] = arg[

d2W(s)

ds2 s=sc

δ22! ]+ λ.180°

54

cioè: arg (δ) = 12 arg[

d2W(s)

ds2 s=sc

+ λ.180°] (λ= 0,1) (3.20)

Questa mostra come siano accettabili due valori, che fra loro differiscono di 90°, per arg (δ): in corrispondenza di un punto critico semplice , quindi, si trovano a passare due rami del luogo che fra loro si intersecano a 90° . In altri termini , il punto critico semplice è un punto doppio per la curva che vi passa, ed è della categoria dei punti doppi nodali. Proveremo più avanti che il luogo a modulo costante passante per un punto critico semplice presenta comportamento analogo ed i suoi rami sono inclinati di 45° rispetto a quelli del luogo a fase costante. La posizione relativa dei luoghi delle due famiglie passanti per un punto critico semplice è dunque quella esemplificata in fig. 34: in particolare risulta ivi evidenziato l'orientamento dei relativi rami.

fig.34

In corrispondenza di punti critici semplici reali la situazione dei rami dei luoghi "reali" (a fase 0° o 180°) si presenta pertanto come segue: due rami dello stesso luogo confluiscono verso il punto critico e quindi divergono da questo assumendo direzione ortogonale all'asse reale , interessando cioè punti complessi del piano. La conoscenza dei punti critici è quindi importante: in particolare perchè i punti critici reali individuano i punti in cui i rami complessi dei luoghi a fase 0° o 180° originano (nel senso di: "si staccano dall'asse reale"). Essi sono peraltro importanti perchè la loro dislocazione condiziona l'andamento complessivo delle varie famiglie di luoghi; ed ancora, come vedremo in seguito, la loro conoscenza è utile ai fini della determinazione delle proprietà differenziali delle curve della famiglia. Riesce quindi di notevole interesse una procedura che aiuti nella individuazione dell'equazione equivalente alla condizione (3.18) di definizione dei punti critici. Ponendo, come d'uso,

W(s) = N(s)D(s) (3.21)

si ha:

W '(s) = dW(s)

d s = N'(s)D(s) - N(s)D'(s)

D2(s) (3.22)

55

quindi la (3.18) è soddisfatta dalle radici dell'equazione C(s) = N'(s)D(s) - N(s)D'(s) = 0 (3.23) Si verifica facilmente che tale equazione risulta di grado m + n - 1 in generale, nel caso in cui m=n, però, il grado si abbassa ancora di uno; sicché la formula che fornisce il numero dei punti critici nel caso più generale è la seguente: n.o punti critici = ν = n + m -1 - δm,n (3.24) dove δm,n è il "delta di Kronecker". Si può dimostrare [6] che i coefficienti del polinomio C(s): C(s) = cnsn +cn-1sn-1 + ..... + c1s + c0 i cui zeri sono i punti critici, si possono ottenere con le seguenti formule: c0 = b1a0 - b0a1 c1 = 2b2a0 - 2b0a2 c2 = 3b3a0 + b2a1 - b1a2 -3b0a3 .........

ck = ∑j=j1

j2 (k - 2j +1) ajbk-j+1 (3.25)

e quindi ......... cν = (m - n) bman dove j1 = Max(0,k-m+1) , j2 = Min(k+1,n) Quest'ultima conferma la (3.24) E' anche di verifica immediata la constatazione che i punti critici sono invarianti rispetto a trasformazioni della W(s) definite dalla legge bilineare del tipo

W*(s) = aW(s) + b cW(s) + d (3.26)

dove a,b,c,d sono quantità (eventualmente complesse) tali che ad - bc ≠ 0. Questa osservazione ha interessanti implicazioni teoriche che verranno chiarite in seguito. Fin d'ora è utile sottolineare il rilievo che assumono due casi particolari della trasformazione (3.26):

- la prima considera il caso b = 0, d = 1 e ca = k1e-jϕ1 ; il che porta alla :

1

W*(s) = 1

W(s) + k1e-jϕ1 (3.27)

- la seconda considera il caso c = 0; a = 1 e bd =

1k2

ejϕ2 ; il che porta alla:

W*(s) = W(s) + 1k2

ejϕ2 (3.28)

56

L'interesse per queste trasformazioni è giustificato da quanto segue. Si osservi infatti che la trasformazione definita dalla (3.27) mantiene inalterati gli zeri della funzione

di trasferimento, mentre sposta i poli sul luogo a fase tg(ϕ)=tg(ϕ1); questo luogo,come si verifica facilmente, è invariante nella trasformazione stessa. Invece la trasformazione definita dalla (3.28) attribuisce a W*(s) gli stessi poli di W(s) mentre gli zeri vengono spostati sul luogo a fase tg(ϕ)=tg(ϕ2); questo luogo, come si verifica facilmente, è invariante nella trasformazione definita dalla (3.28). ______________________ Esempio 3.3. Sia da calcolare il polinomio C(s), determinante i punti critici, per la funzione di trasferimento dell'esempio 3.1:

W(s) = s2- 3s + 2

s3 + 3s2 + 2s

Ovviamente si ha : m = 2, n = 3 c0 = -b0a1 = -4 c1 = - 2b0a2 = -12 c2 = b2a1 - b1a2 - 3b0a2 = 2 - (-9) - 3.2 = 5 c3 = -2b1a3 = 6 c4 = (2-3)b2a3 = -1 e quindi il polinomio cercato è C(s) = -s4 + 6s3 + 5s2 - 12s - 4 ______________________ 3.6) Proprietà differenziali. La possibilità di determinare il comportamento dei luoghi in prossimità dei punti singolari, zeri e poli, e in particolare la conoscenza dell'inclinazione del ramo di curva in corrispondenza di tali punti suggerisce naturalmente di ricercare analoga informazione in corrispondenza di qualsiasi punto. Questo si attua attraverso lo studio dello sviluppo in serie della espressione della funzione di trasferimento. Motivi di convenienza formale inducono però a preferire l'analisi dello sviluppo in serie del logaritmo di W(s), anzichè quello di W(s). Ciò è giustificato dalla semplice considerazione che la parte immaginaria del logaritmo naturale di W(s) coincide con la fase di W(s) ed è proprio su questa "componente" di W(s) che si concentra per ora l'attenzione. In un punto s in cui non risulti singolare la funzione lnW(s) si può scrivere:

ln W(s+∆s) = ln W(s) + ∆s.Q(s) + ∆s22! Q'(s) +

∆s33! Q"(s) + ....... (3.29)

avendo posto Q(s) = dlnW(s)

ds (3.30)

e usato gli apici per indicare le derivate.

57

Nel caso in cui si scelga ∆s in modo che tanto s che s+∆s siano situati su un luogo a fase costante, il che equivale a supporre che ∆s sia situato lungo la tangente al luogo in s, osservato che in generale ln W(s) = ln M(s) + jϕ(s) (3.31) risulterà: Im[lnW(s+∆s)] = Im(lnW(s)] = ϕ e quindi, dal confronto delle parti immaginarie dei due membri della (3.29),

Im[∆s.Q(s) + ∆s22! Q'(s) +

∆s33! Q"(s) + .......] = 0

In prima approssimazione, per ∆s sufficientemente piccolo in modulo, si può dunque individuare l'argomento di ∆s in base alla condizione Im [ ∆s.Q(s)] = 0 (3.32) Questa fornisce: θ = arg(∆s) = - arg[Q(s)] + λ.180° Pertanto si può affermare che: "la tangente al luogo a fase costante in un suo punto regolare ha un 'inclinazione pari all'opposto dell'argomento di Q(s)". L'indeterminatezza dovuta alla presenza del termine λ.180° nella precedente formula si può eliminare con la seguente osservazione: se M(s+∆s) > M(s) dalla (3.29) si deduce che Re(∆s.Q(s)) >0 . Quindi la θ = -arg[Q(s)] (3.33) dà l'inclinazione della tangente orientata nel verso dei moduli crescenti! E' interessante osservare, ricordando la (3.22), che

Q(s) = W'(s)W(s) =

N'(s)D(s) - N(s)D'(s)N(s)D(s) =

N'(s)N(s) -

D'(s)D(s) (3.34)

e ancora, pensando alla forma fattorizzata di W(s)

Q(s) = ∑i=1

m

1s-zi

- ∑i=1

n

1s-pi

(3.35)

Nel caso in cui nel punto s si annulli Q(s), e quindi W'(s), con le sue prime k-1 derivate: Q(s) = Q'(s) = Q"(s) = .......... = Q(k-1)(s) = 0 ovviamente lo sviluppo (3.29) porta a considerare i seguenti termini più significa-

tivi: ln W(s+∆s) = ln W(s) + ∆sk+1(k+1)! Q

(k)(s) + .......

Si noti che in questo caso in s si annullano le prime k derivate di W(s): questa condizione caratterizza un punto critico di molteplicità k. In queste condizioni la (3.32) viene sostitutita dalla più generale: Im [∆sk+1 Q(k)(s)] = 0

58

e da questa si ricavano k+1 possibili diverse inclinazioni di altrettanti rami del luogo che passano per quel punto critico multiplo; i valori di θ sono più precisamente:

θ = arg(∆s) = - arg[Q(k)(s)] + λ.180°

k+1 (λ=0,1,2,...k) (3.36)

Viene quindi confermata la situazione di fig. 34, che corrisponde al caso k=1. Nel caso più generale la configurazione assunta dal luogo in corrispondenza di un punto critico multiplo di molteplicità k è quella di k+1 rami che si "incrociano" formando fra loro (fra le loro tangenti, cioè) angoli di 180/(k+1) gradi.; i rami vanno orientati nel verso dei moduli crescenti e ciò fa sì che essi risultino alternativamente "entranti" nel punto critico e "uscenti" da esso. La fig. 35 esemplifica la situazione per il caso k=3

fig.35 Si proverà più avanti che i rami dei luoghi a modulo costante , anch'essi in numero di k+1, attraversano il punto critico bisecando le regioni angolari comprese fra i rami successivi del luogo a fase costante. La formula (3.36) permette peraltro di individuare esattamente l'inclinazione di ciascun ramo. E' ancora da osservare che la quantità Q(k)(s) che compare in tale formula si esprime in funzione di zeri e poli tramite la:

Q(k)(s) = (-1)k (k+1)!

∑

i=1

m1

(s-zi)k+1 - ∑i=1

n1

(s-pi)k+1)

Un ragionamento analogo a quello che ha portato alla (3.33) permette di ricavare una ulteriore proprietà differenziale dei luoghi: la curvatura. Notoriamente, se si indica con ρ il raggio di curvatura e con θ l'inclinazione della tangente ad una curva generica, si ha

1ρ =

dθds

Ora si ha, in un punto regolare del luogo a fase costante, dθ = -d{Im[lnQ(s)]} e quindi

1ρ = -

d{Im[lnQ(s)]}ds = - Im

dlnQ(s)ds (3.37)

59

Su questa base è possibile ricavare la seguente formula "universale" per la valutazione della curvatura in un punto generico; la formula considera il caso che esso sia un punto regolare, ovvero un punto singolare in cui possano trovarsi a coincidere eventualmente tanto uno zero (zk) di molteplicità µk, come un polo (pk) di molteplicità νk quanto anche un punto critico ck di molteplicità γk:

1ρ =

22+γk-µk-νk

Im

∑

i=1

mµi

s-zi + ∑

i=1

nνi

s-pi - ∑

i=1

rγi

s-ciejθ (3.38)

i≠k i≠k i≠k dove θ indica, come al solito, l'inclinazione del luogo a fase costante nel punto in cui si vuole calcolare la curvatura. Si noti che si è volutamente mantenuta la presenza del segno negativo derivante dalla (3.37). Infatti il segno risultante dall'applicazione della (3.38) fornisce la seguente informazione utile anche ai fini del tracciamento qualitativo del luogo: se θ nella (3.38) indica sempre l'inclinazione della tangente diretta nel verso dei moduli crescenti di W(s) (dagli zeri verso i poli), supposto sovrapposto a tale tangente l'asse x di un sistema destrorso di riferimento cartesiano centrato nel punto generico s con la direzione positiva concorde con quella dei moduli crescenti, il segno di ρ è quello della coordinata y del semipiano in cui cade, nell'intorno di s, la curva. Esempio 3.4. Sia da determinare la curvatura nello zero e nel polo p1 del luogo a fase ± 90° della funzione di trasferimento

W(s) = s + 4

s2 + 2s + 2

Si ha: z = -4 p1 = -1 + j p2 = -1 - j Procediamo ad una determinazione dell'andamento dei luoghi individuando per prima cosa angoli di inclinazione in corrispondenza di z e p1 e posizone del centroide. In base alla formula (3.9) si ha θ = ϕ + β1 + β2 = ϕ e quindi il luogo a fase 90° esce dallo zero con inclinazione di 90°, quello a fase -90° con inclinazione -90°, come del resto si desumeva dalle proprietà di simmetria . In base alla formula (3.10), per il polo p1 si ha: θ = ϕ + atn(1/3) - 90° e quindi per il luogo a fase 90° : θ = atn(1/3) ; si noti che la tangente al luogo in p1 è quindi la retta congiungente p1 con z. L'asintoto è unico per ogni luogo e, nel caso del luogo a fase 90° è la verticale passante per il centroide di ascissa

xc = -4 + 2 1 - 2 = 2

60

La fig. 36 mostra la situazione.

fig.36

I punti critici si ricavano facilmente dalla N(s) D'(s) - N'(s) D(s) = s2 + 8s + 6 = 0 e si trova sc1,2 = - 4 ± 10 La formula (3.38) applicata in s=z fornisce: 1ρ =

22 - 1 Im

1-4+1-j +

1-4+1+j +

110

- 110

ej90° = 2 Im

-3+j-3+j9+1 j = -

1210

e quindi ρ = -0.825

Volendo la curvatura nel polo p1 notiamo innazitutto che ej.atn(1/3) = 3 + j

10

e quindi la (3.38) per questo caso dà: 1ρ =

22 - 1 Im

1-1+j+4 +

1-1+j+1+j -

1-1+j+4+ 10

- 1

-1+j+4- 10

3 + j10

=

= 2 Im

( 3 + 3j

-2 + 6j - 1j)

3 + j10

= Im

3 + 4j

5 .3 + j

10 =

310

E' interessante osservare che per il luogo ϕ = cost. generico, uscente da p1 con angolo θ = atn (1/3) -90° - ϕ

si trova: 1ρ = 2 Im

3 + 4j10 (cosθ + j senθ) =

3senθ + 4cosθ5

61

cosicchè , ad esempio, per il luogo a fase 180° , che, come si mostrerà in seguito,

comprende un arco di cerchio centrato nello zero, avendosi θ = atn(13 ) + 90° =

atn(3-1 )

e quindi cosθ = -110

e senθ = 310

si ha: 1ρ =

110

. Ha invece curvatura nulla

(un flesso) in p1 il luogo per cui risulta tgθ = -4/3 e cioè quello per cui tg ϕ = 3. ------------------------------- 3.6) Un regolo ausiliario nel calcolo delle proprietà differenziali. Se, come fin qui si è fatto, si indica con θ l'inclinazione del luogo in un generico punto s, la (3.32) si può scrivere anche nella forma

Im [Q(s) ejθ] = ∑i=1

m

Im

ejθ

s-zi - ∑

i=1

n

Im

ejθ

s-pi = 0 (3.39)

Ora al generico termine Im

ejθ

s-z che compare in questa formula si può dare una

interpretazione geometrica. Infatti, ponendo s - z = a ejα (a>0)

si ha: nz = Im

ejθs-z =

sen(θ - α)a (3.40)

Ora si constata facilmente che il reciproco di questa quantità; cioè la

1nz

= a

sen(θ - α) (3.41)

62

misura, nella scala di rappresentazione adottata, il diametro del cerchio passante per s e per z e tangente in s alla retta inclinata di θ sulla direzione dell'asse reale. Si osservi che se, come accade in fig.37, θ > α il cerchio in parola è situato "sopra" la tangente, mentre il contrario accade se θ<α. Al variare di z su tale cerchio la quantità (3.40) resta, pertanto, invariata. Di conseguenza la disponibilità di un tracciato costituito da cerchi tutti tangenti fra loro in uno stesso punto permetterebbe di "leggere" direttamente

fig.37

detta quantità se ciascun cerchio fosse tarato in misura inversamente proporzionale al proprio diametro e con un segno positivo per i cerchi al disopra della tangente, con un segno negativo per quelli situati sotto la tangente. La fig. 38 mostra indicativamente l'aspetto di un tracciato costruito e tarato con le regole suddette: se esso fosse realizzato su un supporto trasparente si sarebbe costruito un "regolo" che, come ora mostreremo, può riuscire utile per un "calcolo" approssimativo delle proprietà differenziali dei luoghi. Infatti la condizione (3.39) che caratterizza l'angolo θ di inclinazione della tangente al luogo nel generico suo punto s si può individuare come quella che corrisponde a un particolare "assetto" del regolo. Infatti il regolo centrato in s e inclinato di θ rispetto alla direzione positiva dell'asse reale fornisce per il generico punto z del piano complesso attraverso il numero indice del cerchio passante per z , a meno di un fattore di proporzionalità costante, la quantità (3.40) e consente quindi un facile calcolo delle sommatorie a primo membro della (3.39) . Si può di conseguenza pensare di utilizzarlo per individuare , per tentativi e con una certa approssimazione dipendente dal grado di "precisione" del regolo stesso, l'inclinazione del luogo a fase costante passante per un generico punto del piano semplicemente centrando in tale punto il regolo e ricercando quale assetto debba essere dato ad esso per ottenere che la somma dei numeri indice relativi agli zeri eguagli quella relativa ai poli (zero se questi non ci fossero per niente!....) . L'asse t del regolo si troverà a coincidere, in tale assetto, con la tangente al luogo in s. Detti nzi il numero indice corrispondente allo zero zi e npi il numero indice corrispondente al polo pi in tale condizione, la (3.39) si può scrivere

∑i=1

m nzi = ∑

i=1

n npi (3.42)

di verifica pressochè immediata. Naturalmente di questa proprietà del regolo si può fare un uso diverso: ad esempio fissato θ si può ricercare il punto di una data curva o retta in cui il corrispondente luogo a fase costante ha inclinazione proprio eguale a θ: un caso concreto in cui questa applicazione ha un interesse reale è quello in cui θ = 0° e la retta su cui si cerca è l'asse immaginario. Infatti questo punto, se esiste, corrisponde a quello di stazionarietà del modulo della W(jω) cioè della stazionarietà, rispetto a ω, della funzione M(ω). Poichè il

63

luogo a modulo costante è ortogonale (salvo casi di punti critici) al luogo a fase costante in tale punto esso risulta tangente, nelle condizioni suddette, all'asse immaginario, e da ciò discende la stazionarietà del modulo.

109

1520

10

2015

t1

23

456789

2

34

5 6 78

1

n

fig.38 _____________________ Esempio 3.5 Si consideri la funzione di trasferimento

W(s) = 6s + 2

s3 + 3s2 + 4s + 2 = 6

s + 1/3(s+1)(s2+2s+2)

Centrato il regolo, con "asse t" orizzontale, nel punto s = j del piano complesso su cui si sono marcati zero e poli, si trova che i numeri indice corrispondenti ai cerchi passanti per zeri e poli sono, come indicato in fig. 39, rispettivamente:

64

nz = 9

10 ; np1 = 0; np2 = 12 ; np3 =

25

fig.39 fig.40 La fig. 40 ricorda una semplice formula atta calcolare tali numeri indice come reciproci dei diametri dei cerchi del regolo. In questo caso la (3.41) è soddisfatta e

fig.41 perciò il diagramma del modulo ha un massimo (come si verifica con una semplice analisi del comportamento per valori estremi di ω) per ω=1. La fig. 41, che riporta i diagrammi di Bode del modulo e della fase per la funzione di trasferimento sotto esame, conferma tale circostanza.

65

________________________ L'esempio ora considerato suggerisce un' ulteriore considerazione. Si può ovviamente scrivere, infatti: Re[Q(s)] = Im[Q(s).ej90°] Im[Q(s)] = Im[Q(s)ej0°] ne consegue che il regolo consente di leggere nell'assetto "verticale" (cioè con asse t parallelo all'asse immaginario e direzione positiva concorde con quella dell'asse immaginario stesso) la parte reale di Q(s) e nell'assetto "orizzontale" la parte immaginaria di Q(s): dunque il regolo "calcola" Q(s). Ora si ha in generale

Q(s) = dlnW(s)

ds = dlnM(s)

ds + j dϕ(s)

ds

e , in un punto in cui Q(s) è olomorfa (regolare, cioè non negli zeri nè nei poli di W(s) ) se si calcola la derivata lungo la direzione dell'asse immaginario: ds = j dω , si può scrivere

Q(s) = dϕ(s)dω - j

dlnM(s)dω

________________________ Esempio 3.5 (continuazione) Nel caso dell'esempio 3.5 si era trovato che in s= j la Q(s) era reale; infatti il suo argomento è 0°. Dunque Q(s) coincide con la sua parte reale e quindi , in tale punto si può scrivere

[Q(s)]s=j =

dϕ

dω s=j

Questa quantità, come detto, si calcola disponendo il regolo con inclinazione θ = 90°. Ora nell'assetto verticale si ricava (sempre con il metodo suggerito dalla fig.40):

nz = 3

10 ; np1 = 1; np2 = 15 ; np3 =

15

e quindi

dϕ

dω s=j =

310 - 1 -

12 -

25 = -

75

Questo procedimento riesce ovviamente più semplice di quello, che risolve il problema

in generale, cioè per qualsiasi punto, essendo basato sulla valutazione analitica di dϕdω , e

che richiede la preventiva razionalizzazione di W(jω):

W(jω) = (- 6ω4 +18ω2 + 4) + jω (-16ω2 + 4)

ω6 + ω4 + 4ω2 + 4

da cui ϕ = atn ω (-16ω2 + 4)

- 6ω4 +18ω2 + 4 e quindi per derivazione

dϕdω =

- 24ω6 - 54ω4 - 66ω2 + 49w8 +10ω6 + 37ω4 +40ω2 + 4

66

In ω = 1 effettivamente si trova : - 75 .

Anche il confronto con il procedimento di calcolo di Q(s) come rapporto di W'(s) e W(s) mostra l'indubbio vantaggio del metodo basato sulla proprietà caratterizzante del regolo. ________________________ Come si vede da questo esempio,in realtà l'idea del regolo è più utile del regolo stesso. In effetti conoscendo gli zeri e i poli con precisione è possibile effettuare con altrettanta precisione la determinazione delle quantità che abbiamo chiamato "numeri indice" dei corrispondenti cerchi del regolo. Questo per essere un strumento di calcolo altrettanto esatto dovrebbe recare tracciati tutti i cerchi, cosa ovviamente impossibile. Il pregio del regolo consiste nel fatto che esso visualizza in forma geometrica una peculiare situazione relativa alle proprietà differenziali dei luoghi. La conoscenza della W(s) in forma fattorizzata implica la conoscenza della sua derivata logaritmica, la Q(s) appunto, in forma addittiva: ciò induce a usare di tale semplice forma, anzichè direttamente quella della derivata di W(s), per ricavare informazioni sulle proprietà differenziali di W(s). L'attribuzione di un significato geometrico ai singoli addendi di Re[Q(s)] e di Im[Q(s)] serve da "guida" nella fase di calcolo: ne scaturisce una sorta di algoritmo di impiego agevole per la valutazione di qualche proprietà differenziale della trasferenza. Il regolo aiuta in altre circostanze. Ad esempio facendo riferimento alla sua proprietà fondamentale (3.42) è possibile ricavare, in alternativa alla formula (3.38), la curvatura dei luoghi a fase costante in corrispondenza degli zeri e dei poli. Poichè infatti, tramite le (3.9) o (3.10) , è possibile conoscere l'angolo di inclinazione del luogo in corrispondenza dei punti singolari, si può arguire che posizionando il regolo in corrispondenza di un generico punto singolare (uno zero semplice, ad esempio) con l'asse t tangente al luogo, si debba associare al punto in questione un cerchio il cui numero indice sia tale da soddisfare, insieme a quelli di tutti gli altri zeri e poli, la condizione (3.42). E' naturale pensare che questa debba essere il cerchio osculatore alla curva nel punto singolare in questione: perciò col regolo possiamo ricavare la curvatura del luogo generico in un suo punto singolare. La procedura da adottare nel caso di uno zero o polo multiplo è da modificare soltanto nel senso che il numero che si ricava dalla (3.40) va considerato come numero indice del cerchio osculatore da conteggiare tante volte quant'è la molteplicità del punto singolare. ________________________ Esempio 3.6. Si riprenda in esame la trasferenza dell'esempio 3.4:

W(s) = s + 4

s2 + 2s + 2

67

fig.42 Si vuole calcolare la curvatura del luogo a fase 90° nello zero - 4 +j 0. L'inclinazione del luogo in tale punto è di 90°. Si trova, valutando al solito i numeri indice dei cerchi semplicemente come reciproci dei diametri,

np1 = 3

10 = np2

Ne consegue che si deve associare allo zero il cerchio con numero indice 6/10 , cioè quello di diametro 10/6 e quindi di raggio (di curvatura!) di 10/12. Per la stessa trasferenza ci si propone di risolvere questo ulteriore problema: individuare il luogo che esce dal polo p1 con curvatura nulla. Se si fa riferimento alla proprietà ora richiamata che caratterizza il cerchio osculatore nel generico polo o zero il problema si risolve molto rapidamente come segue. Poichè il cerchio osculatore in p1 al luogo in questione deve avere raggio infinito, cioè numero indice pari a zero, la condizione che caratterizza l'assetto tangente al luogo cercato del regolo centrato in p1 sarà nel caso specifico: nz = np2 Cioè: il cerchio che passa per lo zero è lo stesso che passa per il polo! Allora tale cerchio è individuato univocamente poichè passa per p1 per z e per p2! L'asse t del regolo è, per costruzione, tangente a tale cerchio in p1: la sua inclinazione è l'angolo β1 di uscita dal polo del luogo cercato. Si trova facilmente che il cerchio passante per le tre singolarità è quello centrato nel punto (-7/3+j0) e con semplici calcoli che tgβ1 = - 4/3. Poichè

ϕ = α - 90° - β1 e tg α = 13

si trova tg ϕ = - 1

tg(α - β1) = - 13

________________________ Si consideri ancora che nei punti critici di W(s) la derivata logaritmica Q(s) risulta nulla: di conseguenza la relazione (3.42) è verificata per qualunque assetto del regolo.

68

Ciò può suggerire una localizzazione, per tentativi successivi, dei punti critici attraverso l'impiego del regolo: si tratta di individuare i punti critici come quei punti per i quali la

condizione (3.42) sugli indici vale per due distinti assetti del regolo.Ciò garantisce infatti, come si verifica facilmente, che detta condizione è verificata per qualunque assetto del regolo. Si è detto che l'appoggiarsi alla derivata logaritmica riesce utile in generale quando si debba fare riferimento a qualche proprietà differenziale dei luoghi. In effetti il suo impiego aiuta a sviluppare un'analisi approfondita di problemi che coinvolgano un carattere differenziale. Così il problema di determinare gli eventuali punti di stazionarietà dei diagrammi di Bode del modulo, affrontato occasionalmente nell'esempio 3.5, non è detto che abbia soluzione nel caso più generale. L'approccio che fa riferimento alla rapresentazione grafica della W(s) sul piano complesso attraverso le linee di livello della fase e del modulo, offre una possibilità di analisi più chiara e completa del problema. Infatti detti punti, se esistono, sono, si è detto, punti in cui la Q(s) è reale: essi sono quindi punti del luogo a fase 0° o 180° della Q(s)! Perciò essi si possono determinare come intersezioni di tali luoghi a fase costante di Q(s) con l'asse immaginario; ciò suggerisce di ricordare ancora che i luoghi a fase costante di Q(s) sono le "isocline" della rappresentazione con i luoghi fase costante della W(s). 3.8 Alcuni luoghi notevoli. Per alcune trasferenze i luoghi a fase costante hanno un'aspetto facilmente prevedibile. Nel seguito si considereranno in particolare i luoghi a fase 0° o 180° (i "luoghi reali") per l'importanza che essi assumono nelle applicazioni pratiche; ciò si farà con riferimento alle configurazioni di zeri e poli più semplici. Benchè superfluo si sottolinea che qualora si scambino gli zeri con i poli di una generica trasferenza, la rappresentazione della stessa con i luoghi a fase costante resta globalmente immutata, poichè questo scambio determina soltanto il cambio di segno della fase. Perciò nella rassegna di alcuni andamenti tipici che ci accingiamo a compiere non distingueremo, ad esempio, il caso della trasferenza con due poli e uno zero da quella con due zeri e un polo. Per i casi più elementari è facile predire anche l'andamento del generico luogo a fase costante.

20°

30°

-80°

-50°

-20°

-30°-40°

100°

-100°-20°

-90°

90°80°

-70°

70°60°

-60°

50°40°

20°

zp

fig.43a) Trasferenze con un unico zero : W(s)=(s-z) . I luoghi a fase costante sono le semirette uscenti da z e inclinate di ϕ; (nel caso invece di un singolo polo il luogo a fase ϕ è la semiretta uscente dal polo e inclinata di - ϕ).

b) Trasferenze con una coppia zero-polo : W(s) = s - zs - p

La famiglia in questione è costituita da archi di cerchio come si evince subito ricordando una proprietà peculiare del cerchio: quella che fa vedere da un suo qualunque punto una data corda sotto angolo costante.

69

Il luogo a fase ϕ è più precisamente l'arco di cerchio, centrato nel punto

c = z+p

2 + j z-p2 .ctg ϕ,

compreso fra z e p e situato al disopra dell'asse reale per quei ϕ che soddisfano la (z-p).ϕ > 0, al disotto in caso contrario.

c) Trasferenze con due poli : W(s) = 1

(s-p1)(s-p2)

Si verifica facilmente che il luogo a fase 180° è costituito da un tratto dell'asse reale e dall'asse di simmetria fra i due poli. La fig.44 riporta anche i luoghi a fase ± 90° che sono i rami dell'iperbole di equazione x2 - y2 - x(p1+p2) + p1p2 = 0

fig.44

d) Trasferenze con uno zero e due poli : W(s) = s - z

(s-p1)(s-p2) .

I luoghi reali (a fase 0° o 180°) per la trasferenza con uno zero e due poli risultano notevoli: essi sono costituiti da tratti dell'asse reale e/o da archi di un cerchio centrato nello zero. Ciò si può provare facilmente analizzando l'equazione cartesiana del luogo tg ϕ = 0 : ponendo s = x + jy e anullando la parte immaginaria di W(x+jy) si trova y [ (x2 + y2) - 2xz + p1z + p2z - p1p2 ] = 0 ovvero: y = 0 e (x - z)2 + y2 = (z-p1)(z-p2) Come si vede esistono punti complessi del luogo (y ≠ 0) soltanto se z risulta esterno all'intervallo (p1,p2) : interessante è anche osservare che il raggio del cerchio è dato dalla media geometrica delle distanze dello zero dai due poli. La fig. 45 mostra le situazioni possibili per i luoghi in questione.

e) Trasferenze con due zeri e due poli: : W(s) = (s-z1)(s-z2) (s-p1)(s-p2)

Dalla Im[W(x+jy)] = 0 si ricava infatti l'equazione y [ (x2 + y2) (z1+z2-p1-p2)- 2x(z1z2 - p1p2)+ z1z2(p1+p2) - p1p2(z1+z2) ] = 0

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E' questo un'altro caso dunque in cui i rami complessi dei luoghi a fase 0° o 180° sono costituiti da circonferenze o archi di circonferenza. Questo risultato è prevedibile se si riflette che la trasferenza con due zeri e due poli è ottenibile da quella con uno zero e due poli con una trasformazione (3.28) e che tale trasformazione lascia complessivamente invarianti i luoghi a fase 0° o 180° se ϕ2 assume questi stessi valori. Se zeri e poli si alternano sull'asse reale allora i luoghi reali sono costituiti solo da tratti dell'asse reale (i punti critici sono complessi: si noti infatti che il discrminante dell'equazione che determina i punti critici è dato da (z1-p1)(z2-p1)(z1-p2)(z2-p2)) .

°

°

fig.45

f) Trasferenze a tre poli : W(s) = 1

(s-p1)(s-p2)(s-p3)

E' questo un'altro caso in cui i luoghi a fase 0° o 180° sono curve particolari. Infatti , come evidenziato dalla fig.46 , i luoghi in questione sono rami di iperbole con centro nel "baricentro" dei tre poli. In questo punto, come si constata immediatamente in base alla formula (3.17) , cade infatti il centroide che compete alla configurazione di poli in esame.Le configurazioni possibili per i luoghi "reali" in questo caso sono qualitativamente indicate nella fig. 46: esse possono variare

71

in fig.46 dipendenza della posizione relativa dei poli. In particolare la seconda configurazione differisce dalle altre tre per il fatto che ad essa corrispondono punti critici complessi, mentre negli altri tre casi i punti critici (di diramazione, in questo caso!) sono reali. Quest'ultima situazione si verifica quando i tre poli sono reali oppure quando i due poli complessi sono visti dal polo reale sotto un'angolo inferiore a 60°. L'equazione dell'iperbole è la seguente: 3x2 - y2 - 2x (p1+p2+p3) + (p1p2+p1p3+p2p3) = 0

g) Trasferenze con tre poli e uno zero : W(s) = (s-z1)

(s-p1)(s-p2)(s-p2)

La fig. 47 mostra i possibili andamenti del luogo a fase 180°. I rami complessi di tale luogo sono rami di una cubica di equazione: 2x(x2+y2) - (x2+y2)(p1+p2+p3) + z(y2-3x2) + 2x z(p1+p2+p3) + + p1p2p3 - z (p1p2+p2p3+p2p3) = 0 _______________________ Esempio 3.7. Si rimarca il fatto che a determinare le caratteristiche di larga massima del luogo, e in generale di tutta la famiglia dei luoghi a fase costante, è la dislocazione dei punti ciritici. La fig. 48 illustra ulteriormente questo aspetto riportando l'andamento del luogo a fase 180° di una trasferenza, della categoria qui considerata, che ha i suoi poli fissi in 0, -2 e -10 e lo zero dislocato in quattro successive diverse posizioni. I luoghi tracciati sono cioè quelli a fase 180° della trasferenza

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W(s) = s - z

s.(s+2).(s+10)

per i seguenti valori di z: -3; -2.8; -2.2857142857 = 16/7; -2.22 .

Come si vede il ramo complesso si deforma accentuando la curvatura in alcuni suoi punti , appunto perchè esso si avvicina ai punti critici, fino a "incrociarli",nella condizione in cui due di essi da complessi diventano reali coincidenti. Ciò accade appunto per z = 16/7 ed il corrispondente punto critico è doppio e cade in -4. Per il luogo a fase 180° esso è punto triplo! L’equazione cartesiana (implicita) del luogo è, in questo caso:

2x(x2+y2) - 12(x2+y2) + z (y2-3x2) + 24x z - 20 z = 0 Nota: il valore di z che dà luogo al doppio punto critico si può ottenere risolvendo rispetto a x,y,z il sistema costituito dalla precedente equazione edeguagliando a zero le sue derivate parziali rispetto a x e rispetto a y: si ottiene appunto x=-4, y=0, z=16/7. L’annullarsi delle derivate parziali caratterizza infatti la condizione dei punti singolari(in questo caso “nodi”) delle curve algebriche.

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fig.47

74

-10

asse

imm

agin

ario

-10

z= -3

asse reale

-8 -6 -4 -20

asse

imm

agin

ario

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-10

z= -16/7

asse reale

-8 -6 -4 -20

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

z= -2.22

asse reale

-8 -6 -4 -20

asse

imm

agin

ario

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-10

z= -2.3

asse reale

-8 -6 -4 -20

asse

imm

agin

ario

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

s(s+2)(s+10)W(s) = (s-z)

fig.48

75