4.º BIMESTRE / 2017 PÁGINA 1 MATEMÁTICA – 8. ANOPÁGINA 4. MATEMÁTICA – 8.° ANO. 4.º BIMESTRE / 2017. 4- Indique o nome do caso de fatoração de cada uma das expressões

PÁGINA 1MATEMÁTICA – 8.° ANO

4.º BIMESTRE / 2017

MATEMÁTICA – 8.° ANO

MARCELO CRIVELLAPREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CÉSAR BENJAMINSECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOSCOORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

MARIA DE FÁTIMA CUNHAGERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

SILVIA MARIA SOARES COUTOORGANIZAÇÃO

CLAYTON BOTAS NOGUEIRAELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRAGIBRAN CASTRO DA SILVASIMONE CARDOZO VITAL DA SILVAREVISÃO

FÁBIO DA SILVAMARCELO ALVES COELHO JÚNIORDESIGN GRÁFICO

EDIGRÁFICAIMPRESSÃO

O “Movimento Matemático” é uma contribuição da Professora RegenteClaudia Rosania Nunes dos Santos Vasconcellos, da Escola Municipal08.33.016 Mário Casasanta.

Objetivo: facilitar o entendimento de determinado conceito.Acesso: para ter acesso às páginas em que se encontrao Movimento Matemático, será necessário estar logado na sua contado rioeduca.net.

FORMAS DE APRESENTAÇÃO DO MOVIMENTO MATEMÁTICO

I – On line• Para o caderno do Aluno, acessar o Portal Rioeduca (www.rioeduca.net),

Recursos Pedagógicos, Material 4.º bimestre/ 2017.• Para o caderno do Professor, acessar a intranet (http://sme) – Material

Pedagógico 2017 – 4.º bimestre – Matemática.• Ao apresentar o caderno no Datashow ou, apenas, no computador, ao

clicar no Movimento Matemático, você deverá ser encaminhado àapresentação. Em seguida, clicando em qualquer parte daapresentação, ocorrerá (por meio de sucessivos cliques) o movimento naimagem.

II – Off lineBasta baixar o arquivo do caderno. Ao acessar a página, cliqueno Movimento Matemático. Você deverá ser redirecionado à página dedownload. Após baixar e abri-la, clique, sucessivamente, permitindo,assim, a apresentação do Movimento Matemático.

Para criar sua conta rioeduca.net, entre em contato com o Help Desk, através do telefone 4501-4018.



Bem-vindos ao 4.º bimestre! Vamos fazer uma revisão antes de iniciar os novos

estudos?

1- Encontre a expressão que representa a área das figuras:

2𝑎𝑎 − 3

2𝑎𝑎 − 3

10 + 𝑥𝑥

10 − 𝑥𝑥

2- Utilizando produtos notáveis, resolva as operações:

a) 992

b) 2022

c) 303 ⋅ 297

3- Estas expressões podem ser escritas como produtos notáveis.Complete de acordo com o exemplo:

a) 9𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 4 = 3𝑥𝑥 − 2 2

b) 𝑎𝑎2 − 10𝑎𝑎 + 25 =

c) 100 + 20𝑤𝑤 + 𝑤𝑤2 =



4- Indique o nome do caso de fatoração de cada uma dasexpressões apresentadas a seguir. Em seguida, encontre a formafatorada:

a) 4𝑥𝑥2 − 14𝑥𝑥

b) 6𝑥𝑥 − 3𝑎𝑎 + 10𝑏𝑏𝑥𝑥 − 5𝑎𝑎𝑏𝑏

c) 81 − 𝑑𝑑2

d) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 1

e) 9 − 6𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2

Se tiver dúvidas, consulte o caderno de apoio pedagógico do 3.º bimestre

ou peça ajuda ao(à) seu(sua) Professor(a).

Multirio

5- Resolva a inequação:3𝑥𝑥 + 2 > 5𝑥𝑥 − 12

6- Observe a balança. Em seguida, escreva a inequação quepode representá-la, resolvendo-a:

7- O ângulo central do arco da circunferência, apresentado aseguir, é de 150°. Encontre o valor do ângulo inscrito no arco:

H𝒂𝒂

150°

𝒙𝒙

7 kg

2kg



8- Observe os esquemas e complete com os nomes doselementos assinalados:

________

________

________

_______

9- Qual é a posição relativa à circunferência para cada uma dasretas?

___________

___________

___________

EQUAÇÕES COM UMA INCÓGNITA

Vamos rever um tópico muito importante no estudo da Matemática,que, aliás, já estudamos bastante.

Leia o exemplo:

Encontre o valor de 𝒙𝒙 na equação.

Multirio

Você lembra como resolver equações?

Multirio

Precisamos isolar a incógnita!

3𝑥𝑥 − 5 = 𝑥𝑥 + 13

Use o espaço abaixo para resolver essa equação:AGORA,

É COM VOCÊ!!!.

Procure no dicionário, o significado da palavra incógnita.Verifique se existe alguma relação com o estudo da Matemática.

𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟓𝟓 = 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟑𝟑



Agora, vamos estudar algumas situações que podem ser resolvidas,utilizando-se equações com uma incógnita. Em cada uma das situações,apresentadas, escreva a equação, resolvendo-a:

André comprou bombons para todos os 27 alunos da sua turma.Para o transporte, ele precisou de seis caixas iguais e, ainda, sobraramtrês bombons. Sabendo-se que, em cada caixa, foi colocado o mesmonúmero de bombons, determine quantos bombons foram colocados emcada caixa.

1.ª situação

Pensei em um número. Esse número, somado a 13, é igual aoseu dobro, menos 3. Qual é esse número?

2.ª situação

Sabendo-se que os ângulos, apresentados abaixo, sãosuplementares, isto é, somam 180 °, encontre o valor de 𝑥𝑥:

3.ª situação

𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏

𝟐𝟐𝒙𝒙

Escreva uma situação que pode representar a equação escrita noquadro. Em seguida, resolva a equação.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.ª situação

6𝑥𝑥 + 2 = 14



Vamos classificar as equações? Inicialmente, classificaremosequações que possuem uma única solução. Veja:

Multirio

Esta equação possui, apenas, uma resposta!

Multirio

O número 2 é solução!

𝟒𝟒𝒙𝒙 − 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟐𝟐4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = 2 + 3

2𝑥𝑥 = 5

𝑥𝑥 =52

𝑥𝑥 = 2,5

Chamamos de equações possíveis e determinadasaquelas que possuem apenas uma resposta.

Existem equações que possuem todos os números como solução.Observe este exemplo:

𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓3𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 = 5 − 5

0 = 0

A igualdade 0 = 0 é sempre verdadeira. Assim, a equação admiteinfinitas soluções. Ou seja: todos os números reais podem serrespostas.

Podemos verificar isso, substituindo por alguns números.Observe:

Substituindo pelo número 2:

𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓3 ⋅ 2 + 5 = 3 ⋅ 2 + 5

6 + 5 = 6 + 511 = 11

Substituindo pelo número −7:

𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟓𝟓3 ⋅ (−7) + 5 = 3 ⋅ (−7) + 5

−21 + 5 = −21 + 5−16 = −16

Multirio

O número −7também é solução.

Na verdade, existem infinitas

soluções!

Chamamos de equações possíveis e indeterminadas asequações que possuem infinitas soluções.

Agora, veremos equações que não possuem nenhuma solução:

𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = 3 + 1

0 = 4

Neste caso, a igualdade 0 = 4 é falsa. Assim, não existe nenhumnúmero que torne a equação 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 verdadeira. Nenhumnúmero será um valor verdadeiro para 𝑥𝑥 nesta equação.

Multirio

Substituir o 𝑥𝑥 por qualquer número, não vai gerar resultado verdadeiro!

Quando uma equação não possuinenhuma solução, dizemos que é umaequação impossível.

CLASSIFICANDO EQUAÇÕES COM UMA INCÓGNITA...



1- Classifique as equações como POSSÍVEIS e DETERMINADAS,POSSÍVEIS e INDETERMINADAS ou IMPOSSÍVEIS. Para isso, organizea equação, isolando as incógnitas e resolvendo as equações. Veja oexemplo:

𝟑𝟑 ⋅ 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟒𝟒 + 𝟓𝟓 = 𝟔𝟔𝒙𝒙 − 𝟕𝟕

6𝑥𝑥 − 12 + 5 = 6𝑥𝑥 − 76𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 = −7 + 12 − 5

0 = 0

Equação possível e indeterminada

Multirio

Vamos isolar a incógnita 𝑥𝑥 e encontrar o resultado!

𝟓𝟓𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟒𝟒

𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 − 𝟐𝟐 = +𝟑𝟑

𝟐𝟐 ⋅ 𝒙𝒙 − 𝟒𝟒 + 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟕𝟕

𝟒𝟒 ⋅ 𝟓𝟓 − 𝒙𝒙 − 𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟒𝟒𝒙𝒙



Você conhece o jogo denominado Batalha Naval? Abaixo, temosum tabuleiro no meio de um jogo. Observe:

PLANO CARTESIANO

Neste jogo, os jogadores tentam acertar os navios, representadospelos retângulos cinzas do outro jogador. Para isso, cada jogadorescolhe uma coordenada, composta de uma letra e um número.Responda às perguntas sobre esse tabuleiro de Batalha Naval:

Se o jogador, que quer acertar os navios nesse tabuleiro, escolhea coordenada F4, ele acertará algum navio?

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

O que acontecerá se este jogador escolher a coordenada J8?

_________________________________________________________

_________________________________________________________

Observe, no tabuleiro, a coordenada marcada com a setalaranja . Qual a coordenada deste quadradinho do tabuleiro?

_________________________________________________________

Na Matemática, usamos o PLANO CARTESIANO como umarepresentação de pontos (semelhante ao jogo de Batalha Naval). Ascoordenadas de um ponto são escritas da forma 𝑥𝑥,𝑦𝑦 , onde 𝑥𝑥 é acoordenada horizontal, do eixo das abscissas, e 𝑦𝑦 é a coordenadavertical, do eixo das ordenadas. Observe:

𝒙𝒙

Eixo das abscissas

𝟐𝟐Eixo das ordenadas

Coordenadas do

ponto A: (−𝟏𝟏,𝟑𝟑)Coordenadas do

ponto B: (𝟐𝟐,𝟏𝟏)

Elaboração

A

B

A B C D E F G H I J

1

2

3

4 X

5 X X

6 X X X

7 X X

8 X X X

9

10



Um ponto, no plano cartesiano, é o encontro entre a retavertical que passa pela coordenada das abscissas e a retahorizontal que passa pela coordenada das ordenadas.

Como exemplo, vamos marcar o ponto C(−𝟐𝟐,𝟒𝟒):

C(−𝟐𝟐,𝟒𝟒)

Reta vertical por −𝟐𝟐

Reta horizontal por 𝟒𝟒

Multirio

O ponto C se encontra na interseção entre as duas retas.

Agora, vamos realizar algumas atividadessobre plano cartesiano.

1- Faça como no exemplo: e indique as coordenadas dos pontosrepresentados neste plano cartesiano:

A(−1,−2)

B _______

C _______

D _______

E _______

F _______

G _______AC

D

EF

G

2- No plano cartesiano, indique a representação dos pontos:H(−4 , 2), I(0 , 3), J(1 , 1), K(1 , −1) e L(−4 , 0).

B

Elaboração

𝒙𝒙

𝟐𝟐

𝒙𝒙

𝟐𝟐

𝒙𝒙

𝟐𝟐

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkXo16c20J43VLlZt

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkXo16c20J43VLlZt



Observe esta situação em que temos duas quantidadesdesconhecidas. Leia o problema:

Marcela foi a uma papelaria comprar parte de seu materialdidático. A menina precisava comprar lápis e canetas, de acordo coma tabela de preços apresentada a seguir:

EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS

Lápis...................R$ 1,00Caneta................R$ 2,00

Multirio

Como posso gastar os 11 reais que eu tenho?

Sabendo-se que a menina possui R$ 11,00,o que ela pode comprar usando todo o seudinheiro? Para isso, vamos criar uma tabela comalgumas possibilidades.

Ajude Marcela e complete a tabela como noexemplo:

Lápis Canetas Preço total

3 4 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 11

7 2

5

9

Além da tabela, podemos organizar as possibilidades em umgráfico no plano cartesiano. Para isso, vamos escrever uma equaçãode acordo com os dados do problema. Veja:

𝑥𝑥 ⋅ 1 + 𝑦𝑦 ⋅ 2 = 11Quantidade

de lápis

Preço de cada lápis

Quantidade de canetas

Preço de cada caneta

Total que ela vai gastar

Organizando essa equação, temos: 𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏. Assim, vamosrepresentar os pares ordenados da forma (𝑥𝑥,𝑦𝑦) , onde 𝑥𝑥 é aquantidade de lápis e 𝑦𝑦 é a quantidade de canetas. Forme os pontosda tabela, marcando-os no plano cartesiano apresentado a seguir:

3 lápis, 4 canetas

(𝟑𝟑,𝟒𝟒)

O que você pode perceber em relação aos pontos representados acima?_________________________________________________________

Esta reta é a representação da equação formada a partir doproblema.

𝒙𝒙

𝟐𝟐

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkXgc-ZCCynoo1yHY

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkXgc-ZCCynoo1yHY



Equações, como a da situação anterior, são chamadas deequações com duas variáveis:

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11Esse tipo de equação possui infinitas soluções nas variáveis

𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 que são os pares ordenados (𝑥𝑥, 𝑦𝑦). Podemos representar assoluções de uma equação semelhante a esta no plano cartesiano.O conjunto das soluções encontradas formam uma linha reta.

Observe esta outra situação:A Professora escreveu no quadro:

“Pensei em dois números reais: o triplo do primeiro número, menos odobro do segundo, é igual a 1. Quais são esses números?”

Leia as respostas de alguns alunos e responda:

Multirio

Podemos escolher −1 e −2.

Multirio

O primeiro número pode ser 3 e o segundo 4.

Multirio

Se escolho 5 como primeiro número, posso escolher 8 como o segundo também.

A resposta de Pedro está certa?________________________________________________________________________________

Pedro

A resposta de Rafael está correta?________________________________________________________________________ Rafael

Taís

Taís acertou?________________________________________________________________________

Multirio

Ficaria mais simples se escrevêssemos essa situação a partir

de uma equação!

Vítor

Use a equação apresentada por Vítor para encontrar maissoluções verdadeiras. Em seguida, represente os pares na tabela emarque os pontos no plano cartesiano, formando uma linha reta.

3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 1

𝒙𝒙 𝟐𝟐

𝒙𝒙

𝟐𝟐



1- Encontre as possibilidades de respostas para a situaçãoapresentada a seguir. Represente essas possibilidades no planocartesiano:

A soma de dois números é 2. Quais são esses números?

𝒙𝒙 𝟐𝟐

2- Ana juntou, em seu cofre, moedas de um real e de cinquentacentavos. Sabendo-se que ela conseguiu juntar 4 reais em uma semana,

• escreva a equação que pode representar esta situação:

Agora, responda:

• os valores relacionados às quantidades de moedas podem sernúmeros negativos ou decimais? Justifique a sua resposta.

______________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________

c) Complete a tabela com algumas soluções para a equação queencontrou:

d) Marque os pontos que encontrou no plano cartesiano econstrua a linha reta que representa a equação:

𝑥𝑥 𝑦𝑦 Equação:______________𝟐𝟐

𝒙𝒙

𝟐𝟐

𝒙𝒙



Mul

tirio

Entre lápis e canetas, eu comprei 8 itens!

Vamos voltar à situação da página 11: Marcela foi a uma papelariacomprar lápis e canetas. De acordo com os preços, encontramos umaequação com duas variáveis e várias soluções, ou seja, vários modosde a menina fazer as suas compras:

SISTEMAS COM DUAS EQUAÇÕES

Multirio

Tenho várias formas de gastar os 11 reais que possuo!

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11

Lápis...................R$ 1,00Caneta................R$ 2,00

Lápis Canetas

3 4

7 2

1 5

9 1

Como já vimos, podemos escrever estas soluções no planocartesiano, representando a equação por uma reta que liga os pontosdas soluções.

Agora, vamos acrescentar uma nova informação a essa situação.Leia:

Vamos fazer o mesmo que fizemos anteriormente: encontrar umaequação e as possíveis soluções para representá-las no planocartesiano:

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 8

Quantidade de lápis Quantidade

de canetas

Total de itens

Lápis Canetas

3 5

Complete a tabela com as soluções que somem um total de8 itens:

Continua



De acordo com o gráfico que você construiu, responda:

As soluções da nova equação formaram uma linha reta?__________________________________________________________________________________________________________

O que podemos dizer sobre as duas linhas retas de cadauma das equações no mesmo plano?__________________________________________________________________________________________________________

A partir das respostas anteriores, você consegue dizer se osistema possui alguma solução? Qual ou quais são?__________________________________________________________________________________________________________

Quantos lápis e quantas canetas Marcela comprou?_____________________________________________________

Multirio

Lembre-se: o ponto de interseção entre as duas

retas é a solução do sistema!

Nesta situação, 𝑥𝑥 é a quantidade delápis e 𝑦𝑦 é a quantidade de canetas.

Nas próximas páginas, vamos continuar a estudar os gráficos de sistemas de equações.

As duas equações, com duas variáveis, formam um sistema deequações. Representaremos, agora, esse sistema:

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11

�𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 8

As soluções do sistema serão os pares ordenados que sãosoluções de ambas as equações.

Existem diversas formas de descobrir se um sistema possuisolução. Caso possua, quais são elas?

Vamos encontrar a solução do sistema apresentado acima, atravésdo método gráfico.

No plano cartesiano, temos a reta que representa as soluções daequação 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11 . Faça o mesmo e represente as soluções daequação 𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝟖𝟖, formando outra linha reta:

𝟐𝟐

𝒙𝒙



Nos exemplos apresentados abaixo, vamos encontrar erepresentar três pontos no plano cartesiano, para desenhar as retas decada equação. Em seguida, vamos classificar os sistemas.

Exemplo 1 – Encontre as soluções do sistema:

�2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1

Quando as retas que representam as equações se encontramem um único ponto, o sistema é possível e determinado. Elepossui uma única solução.

𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝟓𝟓

1 3 (1 , 3)

2 1 (2 , 1)

3 −1 (3 ,−1)

𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏

1 0 (1 , 0)

3 2 (3 , 2)

0 −1 (0 ,−1)

Exemplo 2 - Determine as soluções do sistema:

� 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 63𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −1

𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟔𝟔

0 3 (0,3)

2 0 (2,0)

4 −3 (4,−3)

𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 = −𝟏𝟏

−3 4 (−3,4)

−1 1 (−1,1)

1 −2 (1,−2)

Duas retas paralelas não possuem pontos em comum. Portanto,o sistema de equações, representado por elas, é impossível.Logo, não possui solução.

𝟐𝟐

𝒙𝒙

𝟐𝟐

𝒙𝒙



Exemplo 3 - Analisar, graficamente, o sistema:

� 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 34𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 6

Quando as retas possuem todos os pontos em comum, são chamadas deretas coincidentes. O sistema é chamado de possível e indeterminado.𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑

0 3 (0,3)

1 1 (1,1)

2 −1 (2,−1)

𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝟒𝟒𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟔𝟔

2 −1 (2,−1)

3 −3 (3,−3)

1 1 (1,1)

Observe que as retas que representam as equações estãosobrepostas. Elas possuem os mesmos pontos e são chamadas deretas coincidentes.

1- Represente, em tabelas e no plano cartesiano, as retas dossistemas apresentados a seguir. Depois, classifique-os:

a) � 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 33𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −3

𝟐𝟐

𝒙𝒙

𝟐𝟐

𝒙𝒙



b) �𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 7 c) � 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 5

3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3

𝟐𝟐

𝒙𝒙

𝟐𝟐

𝒙𝒙



Vamos relembrar a situação anterior. Nós a resolvemos, utilizandoas representações gráficas das retas. Observe:

Marcela gastou 11 reais comprando lápis que custavam 1 real ecanetas que custavam 2 reais. Entre esses produtos, ela comprou 8itens. Quantos foram os itens comprados?

SOLUÇÃO ALGÉBRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES As coordenadas do ponto (5,3) indicam as soluções para 𝑥𝑥 = 5e 𝑦𝑦 = 3, isto é, a menina comprou 5 lápis e 3 canetas.

Agora, vamos ver formas mais rápidas para a resolução desistemas de equações como os dessa situação-problema: resoluçãopelos métodos algébricos:

Multirio

𝑥𝑥 representa a quantidade de lápis e 𝑦𝑦 representa a

quantidade de canetas. �𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 8

Construindo e lendo os gráficos, notamos uma interseção entreas duas retas que representa a solução do sistema e a respostado problema:

𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝟖𝟖

Neste método, vamos isolar uma das variáveis e, em seguida,substituir a expressão encontrada na outra equação. Como exemplo,vamos utilizar o sistema da situação-problema anterior:

Método de substituição

�𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 8

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11𝑥𝑥 = 11 − 2𝑦𝑦

1.º - Escolhemos e isolamos uma incógnita em uma das equações:

2.º - Substituímos a expressão encontrada na outra equação:

𝑥𝑥

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 8

11 − 2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 = 8

3.º - Resolvemos a nova equação que só possui uma incógnita:

11 − 2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 = 8−2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 = 8 − 11

−𝑦𝑦 = −3

𝑦𝑦 =−3−1

𝑦𝑦 = 3 Continua

As retas representam as equações encontradas paraa situação-problema. Algumas dessas soluçõestambém serão soluções para a situação-problema.

𝟐𝟐

𝒙𝒙



4.º - Em seguida, substituímos o valor encontrado anteriormente emuma das equações para achar a outra incógnita:

𝑦𝑦 = 3 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11𝑥𝑥 + 2 ⋅ 3 = 11𝑥𝑥 + 6 = 11𝑥𝑥 = 11 − 6𝑥𝑥 = 5

Assim, temos a solução para o sistema (5,3) , ou ainda, aresposta: Marcela comprou 5 lápis e 3 canetas.

Sim! Existem outros métodos. Vamos ver mais umdeles. Mas, antes, leia esta situação-problema:

No aquário de Marcos, há peixes laranjas e azuis. Se, no total,existem 7 peixes e a diferença entre os peixes laranjas e os azuis é de3, quantos peixes, de cada cor, o menino possui?

�𝑙𝑙 + 𝑎𝑎 = 7𝑙𝑙 − 𝑎𝑎 = 3

𝑎𝑎 → número de peixes azuis 𝑙𝑙 → número de peixes laranjas

Existem 7 peixes no total: 𝑙𝑙 + 𝑎𝑎 = 7

A diferença entre os peixes laranjas e os peixes azuis é de 3: 𝑙𝑙 − 𝑎𝑎 = 3

1.º - Quando as equações possuem termos semelhantes e opostos,somamos cada um dos termos semelhantes de cada equação parazerar o coeficiente de uma das incógnitas:

2.º - Resolvemos a nova equação:

3.º - Substituímos o valor encontrado em uma equação para encontrara outra incógnita:

Método de adição

Encontrando o sistema:

Agora, vamos resolver este novo sistema, usando o método deadição. Observe:

�𝑙𝑙 + 𝑎𝑎 = 7𝑙𝑙 − 𝑎𝑎 = 3

Multirio

Será que existem outras maneiras de resolver sistemas de equações?

Mul

tirio

+𝑎𝑎 e −𝑎𝑎 são opostos. A soma deles é zero!

+

2𝑙𝑙 + 0 = 10

2𝑙𝑙 + 0 = 102𝑙𝑙 = 10

𝑙𝑙 =102

𝑙𝑙 = 5

𝑙𝑙 = 5 𝑙𝑙 + 𝑎𝑎 = 75 + 𝑎𝑎 = 7𝑎𝑎 = 7 − 5𝑎𝑎 = 2

Logo, temos a resposta: 𝑙𝑙 = 5 e 𝑎𝑎 = 2. Portanto, Marcos tem 5peixes laranjas e 2 peixes azuis.



1- Resolva os sistemas, utilizando o método de substituição: 2- Resolva os sistemas, utilizando o método de adição:

a) �𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 19𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3

b) �3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2

a) � 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 32𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 12

b) �−5𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 155𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 1



Vamos, agora, fazer algumas observações sobre os métodosalgébricos de resolução de sistemas de equações:

Abaixo, temos um exemplo em que as duas equaçõesprecisaram ser multiplicadas para encontrarmos os termos opostos.Observe:

Alguns sistemas não estão prontos para serem resolvidos pelométodo de adição, pois não possuem termos opostos. Observeeste exemplo:

� 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 64𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 11

Para resolver esse tipo de sistema de equações, vamosmultiplicar a segunda equação por 𝟑𝟑 para que os termos de 𝑦𝑦 nasequações se tornem opostos:

� 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 64𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 11 ⋅ 3

� 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 612𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 33

Agora, calculamos através do método de adição, normalmente:

� 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 612𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 33+

13𝑥𝑥 + 0 = 3913𝑥𝑥 = 39

𝑥𝑥 =3913 = 3

𝑥𝑥 = 3 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 114 ⋅ 3 + 𝑦𝑦 = 1112 + 𝑦𝑦 = 11𝑦𝑦 = 11 − 12𝑦𝑦 = −1

Para encontrar o valor da outra variável, substituímos este valorem qualquer uma das equações:

� 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 13− 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0

⋅ 3� 6𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 39− 6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 0⋅ 2

Mul

tirio

Os termos opostos nesse exemplo são 6𝑥𝑥 e − 6𝑥𝑥.

Utilize o espaço para encontrar a solução dosistema apresentado acima:

�6𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦 = 39−6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 0

AGORA,É COM VOCÊ!!!

Resposta (𝟑𝟑 ;−𝟏𝟏)



Multirio Nesta atividade, você deve decidir quais são os

números que precisam multiplicar as equações. Se tiver dúvidas, converse com seu(sua) Professor(a).

1- Organize os sistemas. Depois, aplique o método de adição:

a) �𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 19𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3

b) � 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −5−𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 10

Algumas vezes, quando tentamos encontrar as soluções de umsistema de equações, algebricamente, encontramos equaçõesimpossíveis, possíveis e determinadas ou possíveis eindeterminadas, como já estudamos na página 7. No exemplo daatividade 1, como temos a solução (–1;3), este sistema é possível edeterminado. Já nos exemplos apresentados a seguir, os sistemassão impossíveis (1.º exemplo) ou indeterminados (2.º exemplo).Observe:

� 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −2

Vamos utilizar o método de substituição:

𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 = 3 + 2𝑦𝑦

𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −23 + 2𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥

3 + 2𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦 = −2

2𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦 = −2 − 30 = −5

Substituímose resolvemos

Isolamos aincógnita 𝒙𝒙

O resultado é uma equação impossível. Então,classificamos o sistema como sistema impossível: aquele quenão possui nenhuma solução.

Como já estudamos, esse tipo de sistema pode serrepresentado, no plano cartesiano, como retas paralelas.

1.º exemplo



� 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −5−4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 10

Neste caso, precisamos organizar as equações para utilizar ométodo de adição.

Organizamos o sistema:

A equação 0 = 0 é sempre verdadeira. Portanto, temos umaequação possível e indeterminada, quando temos infinitassoluções. Assim, classificamos o sistema como possível eindeterminado. Nesse sistema, as retas que representam asequações são coincidentes, ou seja, uma reta sobreposta à outra.

2.º exemplo

� 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −5−4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 10

⋅ 2�4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −10−4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 10

Efetuamos os semelhantes:

�4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −10−4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 10+

0 + 0 = 00 = 0

Multirio

Nas próximas atividades, você pode usar o método de resolução que preferir.

1- Encontre as soluções dos sistemas, se existirem:

a) �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 9

b) � 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −5−2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 10

c) �5𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −83𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −7



d) � 3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 82𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0

e) �2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3,5𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4

f) � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3−2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −4

2- Maria juntou, em seu cofre, notas de 2 e de 5 reais. No total, amenina tinha, exatamente, 35 reais. Além disso, ela notou que aquantidade de notas de 2 e de 5 era a mesma. Quantas notas decada valor Maria tinha?

3- Em um estacionamento, há motos e carros. Sabendo-se que ototal de veículos é 5 e que o total de rodas é 14 (desconsiderandoos estepes), quantos carros e motos estão estacionados?



6- Leia o gráfico:4- A Professora Miriam escreveu o seguinte texto no quadro:

Pensei em dois números. O dobro do menor número mais o maior número é igual a 8. Além disso, a diferença entre o

maior e o menor é igual a 2.

Quais foram os números que a Professora Miriam pensou?

5- No plano cartesiano, apresentado a seguir, temos arepresentação de um sistema de equações de primeiro grau:

Podemos afirmar que o sistema é(A) impossível.

(B) possível e determinado.

(C) possível e indeterminado.

(D) também de 2.º grau.

(A) �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2

(B) � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 42𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2

(C) � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = −2

(D) �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2

7- Observe este sistema:

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 20𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 6

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Qual desses sistemas pode ser representado por este gráfico?

Crie uma situação-problema que represente esse sistema. Emseguida, resolva o sistema e encontre a solução.

𝒙𝒙

𝟐𝟐

𝒙𝒙

𝟐𝟐



Vamos relembrar alguns elementos dos polígonos?

POLÍGONOS

Polígonos são figuras planas fechadas formadas por segmentos de retas.

Lado

Diagonal

Vértice

Abaixo, temos um quadrilátero e um pentágono. Observe oselementos destacados e tente definir cada um desses elementos com oauxílio de seu(sua) Professor(a):

Vértice

Diagonal

Lado

Lado:_____________________________________________________________________________________________________

Vértice:___________________________________________________________________________________________________

Diagonal:_________________________________________________________________________________________________

Antes de estudarmos os ângulos de um polígono, vamosrelembrar as diagonais de um polígono. A quantidade de diagonais deum polígono é obtida pela fórmula

𝐷𝐷𝑛𝑛 =𝑛𝑛 − 3 ⋅ 𝑛𝑛

2O n é a quantidade de lados de um polígono qualquer. Observe o

exemplo a seguir:

Quantas diagonais possui o heptágono (polígono com 7 lados)?

O heptágono possui 14 diagonais. Observe o desenho de umheptágono com suas diagonais:

𝐷𝐷7 =7 − 3 ⋅ 7

2 =4 ⋅ 7

2 =282 = 14

1- Quantas diagonais possui o decágono?

Relembrando:Quadrilátero - quatroPentágono - cincoHexágono - seis

Heptágono - seteOctógono - oitoEneágono - noveDecágono - dez

Responda depressa:O Brasil já foi pentacampeão na Copado Mundo de Futebol?



Você lembra das definições de ângulo interno e externo?Observe os exemplos e converse com o(a) seu(sua) Professor(a):

ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNO DE POLÍGONOS

Ângulo interno

Ângulo externo

Ângulo externo

Ângulo interno

Escreva, com suas palavras, os significados de ângulointerno e ângulo externo de polígonos. Lembre-se de ressaltaras diferenças entre eles.

Já estudamos ângulos internos e externos no 2.º bimestre.

Você se lembra?

Multirio

Ângulos internos:_____________________________ __________________________________________________________________________________________

Ângulos externos:_______________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________

Vamos, agora, estudar os ângulos internos dos polígonos.Vamos começar revendo o estudo da soma dos ângulos internos deum triângulo. Abaixo, marcamos os três ângulos do triângulo com trêscores diferentes. Observe:

Recortamos, agora, os três ângulos do triângulo e juntamos estesem um mesmo vértice.

Assim, podemos verificar que os três ângulos juntos formam umângulo raso, isto é, um ângulo de 𝟏𝟏𝟖𝟖𝟏𝟏°.

Multirio

Podemos fazer isto com qualquer triângulo.

Experimente!

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°.

Procure no dicionário o significado das palavras interno e externo eestabeleça relação com as definições de ângulos dos polígonos.

________________________________________________________

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkXtkdhLy9YVfCO2z

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkXtkdhLy9YVfCO2z



1- Encontre o valor dos ângulos desconhecidos nestes triângulos:

𝑥𝑥

53°

35°

𝑦𝑦

𝑦𝑦𝑦𝑦

𝑧𝑧

42°

𝑡𝑡

𝑡𝑡

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO

Já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é180°. Assim, podemos encontrar a soma dos ângulos internos dospolígonos com mais lados, separando-os em triângulos, a partir de ummesmo vértice. Vamos iniciar com um quadrilátero qualquer:

Multirio

Queremos saber a medida da soma dos 4 ângulos coloridos!

Vamos dividir o quadrilátero em triângulos. Veja:

45°

Neste esquema, podemos verque o quadrilátero pôde ser divididoem 2 triângulos, traçando-se umadas diagonais do quadrilátero.

Além disso, os ângulos internosdos dois triângulos formados, juntos,são os mesmos do quadrilátero.

Assim, o quadrilátero possui como soma dos ângulos internos oequivalente a dois triângulos:

A soma dos ângulos internosde um quadrilátero é 360°.

2 ⋅ 180° = 360°

Continua

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkXzNOIB3GvJEuDIx

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkXzNOIB3GvJEuDIx



Observe que a quantidade de triângulos formados é sempre aquantidade de lados menos 2.

Podemos realizar o processo de separar os polígonos emtriângulos, em qualquer polígono convexo. Observe o novo exemplo:

Multirio

Qual a soma dos ângulos internos de um pentágono

como este?

Vamos dividir a figura em triângulos a partir de um mesmo vértice:

180°

180°

180°

A soma dos ângulos internosde um pentágono é 540°.

Um polígono com 5lados pode ser divididoem 3 triângulos, atravésdas diagonais traçadaspor esse vértice dopentágono. Logo, a somados ângulos internos será3 ⋅ 180°.

Assim, um polígono com 6 lados pode ser dividido em4 triângulos. Escolha um vértice e divida o hexágono apresentadoa seguir:

Agora, complete de acordo com os desenvolvimentos quejá fizemos:

Um hexágono possui ___ lados e pode ser dividido em ___triângulos. Assim, podemos dizer que a soma dos ângulos internos deum hexágono é ___⋅ 180° = ___________.

Você consegue, sem traçar os triângulos, descobrir qual a somados ângulos internos de um heptágono (polígono com 7 lados)?

A soma dos ângulos internosde um hexágono é ________.

A soma dos ângulos internosde um heptágono é ________.

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkX3Ou2YhR5oePJ0x

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkX3Ou2YhR5oePJ0x



Como a quantidade de triângulos é sempre dois a menos que aquantidade de lados, podemos escrever uma expressão que representesoma dos ângulos internos de um polígono qualquer.

Seja 𝑛𝑛 a quantidade de lados desse polígono, a soma dos ângulosinternos será

𝑆𝑆𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 − 2 ⋅ 180°

Observe este exemplo:

Calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de15 lados.

Neste caso, temos 𝑛𝑛 = 15. Isto é, precisamos substituir, na fórmulaacima, 𝑛𝑛 por 15. Veja:

𝑆𝑆𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 − 2 ⋅ 180°𝑆𝑆𝑖𝑖 = 15− 2 ⋅ 180°

𝑆𝑆𝑖𝑖 = 13 ⋅ 180°𝑆𝑆𝑖𝑖 = 2 340°

Lembre-se de que o número 13 aparece na fórmula. Ele é a quantidadede triângulos em que pode ser dividido o polígono de 15 lados.

1- Qual é a soma dos ângulos internos do eneágono (polígono com9 lados)?

2- Este polígono é um octógono regular: possui todos os seus ladoscom medidas iguais e, também, seus ângulos internos sãocongruentes:

Agora, responda:a) Qual a soma dos ângulos internos desse polígono?

b) Qual a medida de cada um dos seus ângulos internos?

3- Calcule a soma dos ângulos internos de um pentágono. Emseguida, encontre o valor da incógnita 𝑥𝑥 no pentágono apresentadoa seguir:

2𝑥𝑥

2𝑥𝑥

2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 10°

𝑥𝑥 + 50°AGORA,

É COM VOCÊ!!!



Vamos relembrar o que são ângulos externos? Observe:

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE POLÍGONOS

Ângulos externos sãoformados entre um dos ladose o prolongamento de umoutro lado adjacente.

O triângulo desenhado acima possui 3ângulos externos. Em qualquer polígono, aquantidade de ângulos externos é a mesmaque a quantidade de lados.

1.º passoMarcamos os ângulos externos do triângulo. Em seguida,

cortamos o triângulo em três partes:

2.º passoSeparamos os ângulos externos e juntamos esses ângulos

externos em um mesmo vértice:

Verificamos, então, que os ângulos externos do triângulo formamuma circunferência completa, ou seja, um ângulo de 360°.

Uma circunferência completarepresenta um ângulo de 360°. Veja otransferidor ao lado.

Lembre-se de que o ângulo rasode 180° também pode ser chamadode meia volta (metade de 360°).

A seguir, vamos demonstrar que, em qualquer polígono, a somados ângulos externos é sempre 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟏𝟏°.

Agora, vamos tentar encontrar a soma dos ângulosexternos de um polígono qualquer. Observe:

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkXlzRk_Oda0hJbWn






Investigando ...ooVamos repetir os passos realizados anteriormente. Recorte os

ângulos externos dos polígonos ao lado, colando-os nos espaçosabaixo. Veja o exemplo:

https://upload.wikim

edia.org/wikipedia/com

mons/f/f1/T

ransferidor.PN

Ghttps://upload.w

ikimedia.org/w

ikipedia/comm

ons/4/4f/Postit_large.jpg

https://pixabay.com/pt/tesoura-tesouras-corte-ferram

enta-24188/

Recorte esses polígonos para

realizar a atividade ao lado.



2𝑥𝑥 + 10°

2𝑥𝑥 − 10°

𝑥𝑥 + 30°

3𝑥𝑥 + 10°

Com este experimento, podemos verificar que qualquerpolígono convexo possui a mesma medida para a soma dosângulos externos: 360°.

𝑆𝑆𝑒𝑒 = 360°

Vamos, agora, realizar as atividades a seguir:

1- Para cada um dos casos apresentados abaixo, escreva a equaçãocorrespondente, resolva cada uma delas e encontre os valoresdesconhecidos:

𝑦𝑦

𝑦𝑦𝑦𝑦

𝑦𝑦𝑦𝑦



Polígonos regulares são aqueles que possuem seus ladoscongruentes e seus ângulos internos também congruentes, ou seja,com a mesma medida angular. Observe alguns exemplos depolígonos regulares:

ÂNGULOS EM POLÍGONOS REGULARES

TRIÂNGULOREGULAR

PENTÁGONOREGULAR

QUADRILÁTEROREGULAR

Multirio

Observe que os lados e os ângulos de cada polígono possuem marcas para

mostrar que são congruentes.

Como os ângulos internos de um polígono regular possuem amesma medida, para saber quanto mede cada um deles, bastadividir a soma de todos os ângulos pela quantidade de lados dopolígono. Veja como isso pode ser feito em um polígono com 𝑛𝑛 lados:

𝑆𝑆𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 − 2 ⋅ 180° 𝑎𝑎𝑖𝑖 =𝑛𝑛 − 2 ⋅ 180°

𝑛𝑛Soma dos

ângulos internosÂngulo interno do polígono regular

Observe como podemos aplicar esses conhecimentos paraencontrar o ângulo interno de um polígono regular:

O polígono abaixo é um octógono regular. Assim, qual amedida do ângulo 𝛼𝛼?

Soma dos ângulos internos:

𝑆𝑆𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 − 2 ⋅ 180°𝑆𝑆𝑖𝑖 = 8 − 2 ⋅ 180°

𝑆𝑆𝑖𝑖 = 6 ⋅ 180°𝑆𝑆𝑖𝑖 = 1 080°

𝛼𝛼

Ângulo interno do octógono regular:

𝑎𝑎𝑖𝑖 =1 080°

8𝑎𝑎𝑖𝑖 = 135°

A seguir, vamos realizar os mesmos procedimentos para osângulos externos de polígonos regulares.



Antes, vamos estudar uma propriedade muito importante emrelação aos ângulos internos e externos de um polígono qualquer.

𝑆𝑆𝑒𝑒 = 360° 𝑎𝑎𝑒𝑒 =360°𝑛𝑛

Soma dos ângulos externos

Ângulo externo do polígono regular

Observe este exemplo e encontre a medida do ângulo externo dohexágono regular apresentado a seguir:

Soma dos ângulos externos:

𝑆𝑆𝑒𝑒 = 360°Ângulo externo do hexágono regular:

O ângulo interno e o ângulo externo de um polígono, em ummesmo vértice, são sempre suplementares, isto é, somam180°.Veja:

115°

65°

115° + 65° = 180°

Ângulointerno

Ânguloexterno

Os dois ângulos (externo e interno) formam o ângulo raso. Veja o transferidor ao lado.

Juntos, eles possuem medida angular de 180°.

Mul

tirio

Exemplo:

Devido à propriedade anterior, sabemos que, em umpolígono regular, os ângulos externos também são congruentes.Dessa forma, para encontrar o valor de um desses ângulos, bastadividir a soma dos ângulos externos pela quantidade de ângulos.

Leia, abaixo, as expressões para um polígono com 𝑛𝑛 lados:

𝛼𝛼

𝑎𝑎𝑒𝑒 =360°

6

𝑎𝑎𝑒𝑒 = 60°



1- Observe o heptágono regular apresentado a seguir eclassifique os ângulos marcados no desenho como interior ouexterior:

Agora, responda:

a) Qual a soma dos ângulos internos e externos de umheptágono?

b) Qual a medida do ângulo 𝒙𝒙?

c) Qual a medida do ângulo 𝟐𝟐?

𝟐𝟐𝒙𝒙

𝒙𝒙 →_____________𝟐𝟐 →_____________

2- O piso de cerâmica, mostrado na figura abaixo, é feito dehexágonos regulares. Veja:

Marque a alternativa que representa a medida de um ângulointerno do hexágono regular:(A) 60°.

(B) 100°.

(C) 120°.

(D) 180°.

Wik

iCom

mon

s

3- Qual a medida do ângulo externo do decágono regular(polígono com 10 lados)?

4- Calcule a medida dos ângulos interno e externo de umtriângulo regular:




Observe o triângulo:

Nele, estão marcados os três ângulos internos e o ânguloexterno 𝜹𝜹. Queremos encontrar uma relação dos ângulos internos comeste ângulo externo. Para isto, vamos lembrar dois fatos matemáticos:

PROPRIEDADE DO ÂNGULO EXTERNO DOS TRIÂNGULOS

𝜷𝜷

𝜶𝜶

𝜸𝜸𝜹𝜹

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°.

Os ângulos interno e externo de um polígonosão suplementares, isto é, somam 180°.

A partir dessas afirmações, vamos encontrar duas equações emrelação ao triângulo anterior. Veja:

𝜶𝜶 + 𝜷𝜷 + 𝜸𝜸 = 180°

𝜹𝜹 + 𝜸𝜸 = 180°

Ângulos internos

Ângulos suplementares

Dessa forma, podemos construir um sistema e substituir aincógnita 𝜸𝜸 para encontrar a relação:

�𝜶𝜶 + 𝜷𝜷 + 𝜸𝜸 = 180°𝜹𝜹 + 𝜸𝜸 = 180°

𝜶𝜶 + 𝜷𝜷 + 𝜸𝜸 = 180° 𝜸𝜸 = 180° − 𝜶𝜶− 𝜷𝜷Isolando a incógnita:

Substituindo na outra equação:

𝜹𝜹 + 𝜸𝜸 = 180°𝜹𝜹 + 180° − 𝜶𝜶− 𝜷𝜷 = 180°

𝜸𝜸

𝜹𝜹 = 180° − 180° + 𝜶𝜶 + 𝜷𝜷𝜹𝜹 = 𝜶𝜶 + 𝜷𝜷

Dessa forma, podemos verificar que, em um triângulo, o ânguloexterno é igual a soma dos dois ângulos internos não adjacentesa este. Podemos ver isto de forma geométrica também:

𝜶𝜶 + 𝜷𝜷𝜷𝜷

𝜶𝜶

𝜹𝜹 = 𝜶𝜶 + 𝜷𝜷



𝒂𝒂

𝟖𝟖𝟓𝟓𝟏

𝟒𝟒𝟕𝟕°

𝟐𝟐

𝟑𝟑𝟐𝟐

𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏

𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏

𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒄𝒄

𝟔𝟔𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟐𝟐𝟕𝟕𝟏

𝒃𝒃

𝟐𝟐𝟔𝟔𝟏

𝒛𝒛 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝒛𝒛

𝟐𝟐𝒛𝒛 + 𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏

𝟒𝟒𝟓𝟓𝟏

𝒅𝒅

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

1- Utilize a propriedade do ângulo externo e encontre os ângulosdesconhecidos nestes triângulos:

2- Descubra o valor das incógnitas nestes triângulos:AGORA,É COM VOCÊ!!!



Vamos relembrar os elementos básicos dos triângulos?Observe o exemplo:

OS SEGMENTOS (MEDIANA, BISSETRIZ, ALTURA ) E OS PONTOS (BARICENTRO, INCENTRO e ORTOCENTRO)

NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO

O triângulo ABC possui vértices 𝐀𝐀, 𝐁𝐁 e 𝐂𝐂.

Ligando os vértices, encontramos os três lados: 𝐀𝐀𝐁𝐁, 𝐁𝐁𝐂𝐂 e 𝐂𝐂𝐀𝐀.

Além disso, temos três ângulos: 𝐁𝐁�𝐀𝐀𝐂𝐂, 𝐀𝐀 �𝐂𝐂𝐁𝐁 e 𝐂𝐂�𝐁𝐁𝐀𝐀.

O triângulo DEF possui três vértices:____, ____ e ____.

Seus três lados são :______, ______ e ______.

Além disso, possui três ângulos:_______, _______ e _______.

𝐀𝐀

𝐁𝐁𝐂𝐂

𝐃𝐃

𝐄𝐄𝐅𝐅

Mediana é o segmento que liga um vértice do triângulo ao pontomédio do lado oposto a esse vértice.

Veja a figura:

MEDIANAS E BARICENTRO

Multirio

Lembre-se: o ponto médio é o ponto que divide um segmento

ao meio.

𝐅𝐅 é o ponto médiodo lado 𝐀𝐀𝐁𝐁. Assim,o segmento 𝐂𝐂𝐅𝐅 éuma mediana.

Como podemos criar um ponto médio para cada um dos lados,verificamos que, em um triângulo, podemos desenhar 3 medianas.Observe na próxima página.

Agora, complete:

Observe:mediana – médio.

Agora, vamos introduzir alguns conceitos novos.



Podemos desenhar as 3 medianas em um único triângulo. Veja asimagens abaixo. É um resultado importante, na Matemática, as trêsmedianas se encontrarem em um único ponto denominadoBARICENTRO.

O ponto 𝐆𝐆 é o encontro dasmedianas. Ele é chamado debaricentro.

BARICENTRO

Em um triângulo qualquer, podemos traçar uma mediana. Paraisto, precisamos encontrar o ponto médio do lado, medindo-o comuma régua e marcando o seu meio. Leia a ilustração:

Encontramos o ponto médio.

Traçamos a mediana.

O lado AB do triângulo possui6 cm. Então, o ponto médioestá a 3 cm de cada um dosvértices: A e B.

Depois de marcarmos oponto médio F, ligamos esteao ponto C para formarmos amediana CF.

Multirio

Na próxima página, veremos outro segmento notável do triângulo.

G

Mediana 1 Mediana 2 Mediana 3



I

BISSETRIZES E INCENTRO

O segmento que liga um vértice ao lado oposto, dividindo oângulo ao meio, chama-se BISSETRIZ.

Multirio

Esses ângulos são congruentes!

O segmento 𝐄𝐄𝐁𝐁 é uma bissetriz poisdivide o ângulo 𝐀𝐀�𝐁𝐁𝐂𝐂 ao meio.

Podemos traçar, em um mesmo triângulo, 3 bissetrizes. Cadauma em um dos ângulos do triângulo. Como podemos observar noesquema a seguir, as três bissetrizes se encontram em um únicoponto, chamado de INCENTRO.

INCENTRO

O ponto 𝐈𝐈 é o INCENTRO dotriângulo. Este ponto é oencontro das três bissetrizes.



Para traçar uma bissetriz de um triângulo, precisamos dividir oângulo ao meio e, para isso, usamos o transferidor. Observe oexemplo:

Dividimos o ângulo ao meio.

Traçamos a bissetriz.

A medida do ângulo 𝐀𝐀 �𝐂𝐂𝐁𝐁 é de 60°. Assim, a

bissetriz passa pelo ponto que marca os 30°.

(60 ÷ 2 = 30°)

Ligamos este ponto aovértice 𝐂𝐂 e temos umabissetriz do triângulo.

Transferidores servem para medir a abertura dos ângulos. Existem três tipos de

transferidores diferentes. Veja:

Multirio

Já estudamos a área de triângulos nos bimestres anteriores.Leia a expressão e os exemplos:

ALTURAS E ORTOCENTRO

𝑏𝑏

ℎ

𝑨𝑨𝚫𝚫 =𝒃𝒃 ⋅ 𝒉𝒉𝟐𝟐

A área do triângulo é a metade do produto da base pelaaltura. Exemplos:

3 𝑚𝑚 24 𝑐𝑐𝑚𝑚

B

A

C D

F

E4 𝑚𝑚 20 𝑐𝑐𝑚𝑚

3 ⋅ 42 =

122 = 6 𝑚𝑚2 20 ⋅ 24

2 =480

2 = 240 𝑐𝑐𝑚𝑚2

Neste caso, a altura dotriângulo é um de seus lados.

G

Já, neste exemplo, a alturaestá exterior ao triângulo.



mons/4/4f/P

ostit_large.jpg

http

s://u

ploa

d.w

ikim

edia

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/wik

iped

ia/c

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9/99

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80de

g.sv

g



mons/f/f1/Transferidor.P

NG



Altura é o segmento perpendicular que liga um vértice ao seulado oposto, formando um ângulo reto com esse lado, que pode servisto, nesse caso, como a base do triângulo. Veja:

Multirio

Essa marca significa que este ângulo mede 90°.

O segmento 𝐁𝐁𝐄𝐄 é umaaltura pois o ângulo 𝐀𝐀�𝐄𝐄𝐁𝐁 éum ângulo reto (mede 90°).

Assim como as bissetrizes e as medianas, também temos, emum mesmo triângulo, 3 alturas, dependendo de qual dos lados dotriângulo é tomado como base e do vértice oposto a esse.

Porém, diferentemente das bissetrizes e das medianas, aaltura pode estar do lado de fora de um triângulo como acontecenos obtusângulos.

Multirio

Esse triângulo é um obtusângulo: possui um ângulo maior que 90°.

Neste caso, o ângulo de 90° éformado pelo prolongamento dolado oposto ao vértice (a base dotriângulo) com a altura.

𝐁𝐁𝑫𝑫 é o prolongamento do

lado 𝐂𝐂𝐁𝐁.

TRAÇANDO ALTURAS DE TRIÂNGULOS...

Para desenhar a altura de um triângulo, precisamos de umsegmento perpendicular a um lado que passa pelo vértice oposto. Paraisso, podemos usar uma régua e um esquadro.



mons/1/1d/Triangle30-60.jpg



mons/5/5d/R

ighello.jpghttps://upload.w

ikimedia.org/w

ikipedia/comm

ons/4/4f/Postit_large.jpg

Ângulo reto - formado pelo encontro do

esquadro e da régua.



Abaixo, desenhamos as três alturas de um mesmo triângulo paramarcar o ponto de encontro entre elas: o ORTOCENTRO.

O ortocentro é o encontro das alturas de um triângulo.

ORTOCENTRO

Multirio

Em um triângulo obtusângulo, o ortocentro é exterior ao triângulo.

Observe!

ORTOCENTRO



1- Para dividir um triângulo da maneira como gostaria, Pedromediu um de seus lados e marcou um ponto no meio deste lado(veja a figura abaixo). Em seguida, traçou uma linha pontilhadaque desenhou do ponto médio até o vértice oposto. A linhapontilhada pode representar a

(A) altura.

(B) bissetriz.

(C)mediana.

(D) tangente.

𝟐𝟐𝟏𝟏𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟏𝟏𝒄𝒄𝟐𝟐

2- Na figura apresentada a seguir, o ponto P é o encontro dasbissetrizes do triângulo ABC. Assim, podemos dizer que o pontoP é o

(A) vértice.(B) incentro.(C) baricentro.(D) ortocentro.

3- Classifique os segmentos destacados no triângulo abaixo:

__________

_____________

Dois triângulos são congruentes quando possuem ladoscorrespondentes de mesma medida e seus ângulos correspondentessão congruentes, com mesma medida angular.

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Existem 4 casos que podemos utilizar para afirmar que um par detriângulos é congruente. No primeiro caso, apenas os ladoscorrespondentes congruentes garantem a congruência dos triângulos.Observe:

Esses pares de triângulos são congruentes. M

ultir

io

Indicam congruênciados lados

Caso LLLLado, lado, lado

A D

E

F

B

C




Os triângulos são congruentes se os doislados consecutivos são, respectivamente,congruentes, assim como o ângulo entre eles.

Caso LALLado, ângulo, lado

BC

A

EF

D

Os triângulos são congruentes quando possuemdois ângulos correspondentes congruentes e o ladoentre esses ângulos possui a mesma medida.

Caso ALAÂngulo, lado,

ângulo

A D

E FBC

Lado, ângulo e ângulo oposto ao ladocongruente indicam que os triângulos sãocongruentes.

Caso LAAoLado, ângulo, ângulo oposto

B

C

A E

F

D

1- Qual o caso de congruência dos triângulos apresentados a seguir:

(A) LLL.

(B) ALA.

(C) LAL.

(D) LAAo.

2- Observe quais dos elementos dos triângulos são congruentes.Em seguida, indique o caso de congruência de cada um deles:

___________

L

M

N O

_____________

_____________




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4.º BIMESTRE / 2017 PÁGINA 1 MATEMÁTICA – 8. ANOPÁGINA 4. MATEMÁTICA – 8.° ANO. 4.º BIMESTRE / 2017. 4- Indique o nome do caso de fatoração de cada uma das expressões