4º de E.S.O. I.E.S. Teobaldo Powerteobaldopower.org/matematicas/cuadernillos/Cuadernillo e4... · 2016-09-12 · 4º de E.S.O. Académicas 5 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo

4º de E.S.O. I.E.S. Teobaldo Power

4º de E.S.O. Académicas

1 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power

ESTADÍSTICA La Estadística es la ciencia que se encarga de recopilar y ordenar datos referidos a diversos fenómenos para su posterior análisis e interpretación. POBLACIÓN Y MUESTRA

Población es el conjunto de elementos sobre el que se realiza un estudio estadístico. Muestra es la parte de la población que se estudia. Su tamaño es el número de elementos que la forman. Individuo es cada uno de los elementos de la población o la muestra. Una muestra es representativa cuando las conclusiones de su estudio son aplicables a toda la población. VARIABLE ESTADÍSTICA Variable estadística (xi) es cada una de las propiedades o características que podemos estudiar en una población o muestra. Las variables se pueden clasificar en: Cualitativas. Los valores que toman son cualidades; por ejemplo, sexo o color del pelo. Cuantitativas. Sus valores son números. A su vez pueden ser:

- Discretas. Cuando toman un número finito de valores; por ejemplo, número de hermanos (puedo tener 1, 2, 3 o ninguno, pero no puedo tener 1,3 hermanos ni 2,5).

- Continuas. La variable puede tomar infinitos valores entre dos dados y en este caso se agrupan por intervalos. Por ejemplo, la altura de las personas puede ser 1,70m y 1,80m, pero también puede ser 1,71m, 1,715m, 1,767m…

FRECUENCIAS

- Frecuencia absoluta (fi) de un dato es el número de veces que aparece en la muestra. - Frecuencia relativa (hi) de un dato es el cociente de la frecuencia absoluta y el número

total de datos. - Frecuencia absoluta acumulada (Fi) de un dato es la suma de todas las frecuencias

absolutas de los valores menores o iguales que él. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS La media aritmética, x , es el cociente de la suma de todos los datos dividida entre el número total

de datos (N). Si la variable es continua, xi es la marca de clase. N

xfx

ii

·

La moda, Mo, es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta. Si la variable es continua, hablamos de intervalo modal. La mediana, Me, es el valor que ocupa la posición central de los datos, después de ordenarlos, o la media de los datos centrales si el número de datos es par. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Diagrama de barras. Histograma. Diagrama de sectores. Pictogramas. Diagrama de barras adosadas. Polígono de frecuencias. Histograma de frecuencias acumuladas.



DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS La Estadística se ocupa de organizar los datos de una población para estudiar sus características de forma sistemática. Resulta interesante conocer la media, la moda y la mediana, así como la desviación media, de los datos de una distribución. También es útil representar gráficamente los datos mediante un diagrama de barras, diagrama de sectores o histograma, según sea el caso. 1.- Organizar en una tabla, de forma ordenada, los datos siguientes referidos a las notas de Matemáticas de trece alumnos:3, 6, 5, 7, 6, 4, 5, 7, 5, 4, 6, 2, 8.

a) Representar los datos mediante un diagrama de barras (ya que son datos aislados). b) Calcular la nota media del grupo de alumnos, la moda y la mediana. c) Calcular el porcentaje que corresponde a cada nota.

2.- Entre los estudiantes de un colegio se ha realizado la siguiente encuesta para conocer el número de horas semanales que ven la televisión. Los datos se recogieron en la tabla adjunta:

a) ¿Cuántos estudiantes han sido entrevistados? b) ¿Cuántos estudiantes ven la TV menos de 9 horas semanales? c) ¿Qué porcentaje de ellos ven la TV menos de 12 horas semanales? d) ¿Cuántas horas de TV ven los estudiantes del mayor de los grupos? e) Representar estos datos mediante un histograma (ya que son datos

agrupados por intervalos). f) Calcular la marca de clase de cada intervalo y calcular la media de horas

que ven la TV los estudiantes de este colegio. 3.- De entre los alumnos de un colegio se ha seleccionado una muestra para observar el color de su pelo. Los datos se han distribuido según la tabla siguiente:

a) ¿Cuál es el tamaño de la muestra? b) ¿Cuál es la moda? c) Incluir una columna en la que se vean los porcentajes de cada color en

relación a la muestra. d) Representar esta tabla mediante un gráfico de sectores (se trata de

datos no numéricos). e) ¿Se puede calcular la media?

4.- Los sueldos mensuales de los trabajadores de una empresa son los siguientes:

480, 480, 480, 480, 480, 600, 600, 1200, 2040, 2700, 3000 a) Calcular la media (M) y la mediana (Me) de los sueldos en esta empresa. b) Explicar cuál de los dos valores es más representativo de los sueldos. c) Indicar el valor de la moda (Mo).

5.- Un profesor ha puesto las notas a dos grupos, A y B, de 10 alumnos cada uno. Los resultados son los siguientes: Grupo A: 2, 2, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 8, 8

Grupo B: 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6 a) Calcular la nota media de cada grupo de alumnos. b) Explicar en qué grupo la media es más representativa. c) Representar las dos distribuciones estadísticas mediante diagramas de barras. d) Calcular la desviación media de cada una de las distribuciones. ¿Cuál es mayor?

Número de horas

Frecuencia

0 – 3 4

3 – 6 8

6 – 9 22

9 – 12 32

12 – 15 30

15 – 18 4

Color Frecuencia

Negro 12

Castaño 18

Rubio 7

Pelirrojo 2

Albino 1



6.- En los datos siguientes: 3, 5, 7, 8, 8, 9, 40 ¿Qué parámetros (media, moda, mediana y desviación media) se ven afectados al cambiar el último dato (40) por 12? 7.- Un delantero de un equipo de fútbol ha jugado durante las once últimas temporadas, marcando por temporada los goles que se recogen en la lista siguiente:

12, 15, 13, 12, 8, 20, 15, 17, 19, 12, 16 Calcular la media, la moda y la mediana de los datos. Representar los datos en un diagrama de barras. 8.- Las alturas de 30 arbustos del jardín del instituto son las siguientes:

Alturas (cm) 5 – 15 15 – 25 25 – 35 35 – 45 45 – 55

Nº de arbustos 6 4 15 3 2

a) Indicar cuál es la clase modal (o intervalo modal) y la clase mediana (o intervalo mediano). b) Determinar las marcas de clase y hallar la altura media de los arbustos de la tabla. c) Representar los datos en un histograma. d) Calcular el porcentaje de arbustos de más de 35 cm de altura.

9.- Se ha hecho una encuesta en el instituto sobre el número de hermanos y hermanas que tienen un grupo de estudiantes. Los datos son los siguientes:

1, 3, 1, 1, 0, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 3, 5, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 4, 1, 2, 1, 1 a) Realizar el recuento y presentar los datos ordenados en una tabla de frecuencias. b) Representar mediante un gráfico adecuado esta distribución. c) ¿Qué porcentaje representan los estudiantes que tienen 2 hermanos o hermanas? ¿Cuál es el

porcentaje de estudiantes con menos de 2 hermanos o hermanas? d) Calcular la media, la moda y la mediana de la distribución. e) Calcular el rango (o recorrido) y la desviación media.

10.- Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican, por alturas, según la tabla siguiente:

Alturas (m) 1,70 –1,75 1,75 –1,80 1,80 –1,85 1,85 – 1,90 1,90 – 1,95 1,95 – 2,00

Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2

a) Calcular la media y la desviación media de la distribución. b) Hallar el intervalo mediano. c) ¿Cuántos jugadores miden menos de 1,90? d) ¿Qué porcentaje de jugadores son más altos que 1,90?

11.- La siguiente tabla muestra la superficie de los océanos en millones de km2.

Océanos Superficie

Pacífico Atlántico Índico Antártico Ártico

180 106 75 20 13

Calcular qué tanto por ciento de la superficie total representa cada océano. Representar los datos en un diagrama de sectores.



AZAR Y PROBABILIDAD La palabra azar se refiere a un fenómeno o experimento cuyo resultado no puede conocerse antes de que ocurra, por ejemplo al lanzar una moneda no sabemos si saldrá cara o cruz.

¿De cuáles de los siguientes experimentos se conoce el resultado antes de realizarlos? a) Extraer una carta de una baraja española. b) Lanzar una moneda al aire. c) Medir la longitud de una circunferencia de radio 5 m. d) Soltar una pelota desde lo alto de una rampa muy inclinada. e) Lanzar un dado.

Experimentos deterministas son los que tienen el mismo resultado siempre que se repitan en análogas condiciones. Experimentos aleatorios son aquellos de los que no se puede asegurar el resultado, aunque se realicen en análogas condiciones. Cada uno de los resultados posibles de un experimento se denomina suceso elemental. Por ejemplo sacar cara al lanzar una moneda, o sacar un dos al lanzar un dado. Suceso seguro es el que ocurre siempre y suceso imposible es el que nunca puede ocurrir. Un suceso compuesto está formado por varios sucesos elementales. Por ejemplo sacar un número par al lanzar un dado está formado por tres sucesos elementales: sacar 2, 4, 6. 1.- Se lanza una moneda dos veces seguidas y se anota una C si sale cara y una X si sale cruz. Escribir todos los resultados posibles de este experimento. 2.- En una urna hay una bola negra y dos bolas rojas. Se extraen dos bolas al azar y se anota N si sale negra y R si sale roja. Escribir todos los resultados posibles de este experimento. 3.- Indicar el grado de seguridad de cada uno de los sucesos siguientes asignando a cada uno alguno de estos términos: seguro (s), muy probable (mp), probable (p), poco probable (pp), imposible (i).

a) Al extraer una carta de una baraja ésta será un as

b) Al lanzar un dado saldrá un número menor que siete

c) El próximo domingo será laborable

d) Si se deja caer un objeto, se dirigirá al suelo

e) A un amigo tuyo le tocará la lotería

f) Si se lanza una moneda saldrá cruz

g) Si se lanza una moneda saldrá un cinco

4.- En una clase hay 15 chicos y 9 chicas. Cada uno escribe su nombre en un papel. Se meten todos los papeles en una bolsa y se coge uno sin mirar. ¿Con cuál de las siguientes frases estás de acuerdo?

a) Es más probable que salga el nombre de un chico. b) Es más probable que salga el nombre de una chica. c) Es igualmente probable que salga el nombre de un chico o de una chica.

5.- En una urna A hay dos bolas blancas y dos bolas negras. En otra urna B hay tres bolas blancas y tres bolas negras. ¿De cuál de las urnas te parece más fácil sacar bola blanca?



6.- Escribe tres ejemplos de fenómenos aleatorios y tres de fenómenos deterministas que tengan que ver con la meteorología, el tráfico, la medicina, la televisión, etc. Frecuencia absoluta es el número de veces que ocurre un suceso. Frecuencia relativa es el número que resulta de dividir la frecuencia absoluta de un suceso entre el número total de pruebas realizadas. 7.- Realizar la siguiente experiencia en clase: lanzar una moneda cincuenta veces y anotar el resultado obtenido en cada lanzamiento. Luego poner los resultados de toda la clase en común completando una tabla como la siguiente:

Nº de tiradas Nº de cruces F. relativa Porcentaje

100

200

300

400

500

600

700

Total

a) ¿Cuántas tiradas se hicieron en total? b) ¿Qué porcentaje de veces ha salido cruz? ¿Se aproxima al 50%?

Los fenómenos o experimentos imprevisibles se vuelven regulares cuando se repiten muchas veces y, entonces, se puede establecer cierto grado de seguridad de que ocurra, es lo que se denomina probabilidad de un suceso. Probabilidad: Si en un experimento aleatorio conocemos todos los resultados posibles y cada uno tiene las mismas posibilidades de ocurrir, es previsible que al aumentar el número de experiencias, las frecuencias relativas de todos ellos lleguen a tener el mismo valor, este valor se denomina probabilidad. Regla de Laplace Si conocemos todos los resultados posibles de un experimento y es razonable suponer que todos ellos tienen las mismas posibilidades de producirse, el matemático Laplace definió la probabilidad con la siguiente fórmula:

posiblescasosdeN

SsucesoalfavorablescasosdeNSP

o

o

)(

8.- En una bolsa hay dos bolas amarillas y siete verdes, que no se distinguen al tacto. Al extraer sin mirar una de las bolas, ¿cuál es la probabilidad de sacar bola amarilla? ¿Y la de sacar bola verde? 9.- En otra bolsa hay cinco bolas rojas, dos verdes y cuatro azules. Si se extrae una bola al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar bola azul? b) ¿Y la de sacar roja o azul? c) ¿Y la de sacar verde o roja? d) ¿Qué probabilidad hay de que la bola sea verde, roja o azul? e) ¿Cuál es la probabilidad de sacar bola negra?



PROBLEMAS DE PROBABILIDAD 1.- Indicar cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles son deterministas.

a) Pesar 1 dm3 de agua. b) Medir el lado de un cuadrado de 2 cm2. c) Preguntar un número de dos cifras. d) Lanzar un dado y anotar la puntuación. e) Elegir un jersey del armario.

2.- Miguel tiene dos corbatas, una azul y otra roja, y tres camisas de colores azul, rosa y blanco, respectivamente. Si escoge al azar una corbata y una camisa, ¿Cuál será el espacio muestral? 3.- Un suceso compuesto es aquel suceso que está formado por dos o más sucesos elementales. Cuando dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente se llaman compatibles, en caso contrario, se denominan incompatibles. En el experimento de lanzar un dado, escribir dos ejemplos de sucesos compuestos, otros dos sucesos compatibles y otros dos sucesos incompatibles. 4.- Se lanza un dado de seis caras. Describir los sucesos siguientes y calcular la probabilidad de cada uno de ellos: A=”Salir número par”, B=”Salir múltiplo de tres”, C=”Salir número menor que 4”. 5.- Clara tiene una bolsa con 5 caramelos: 1 de menta, 2 de limón y 2 de fresa. Si escoge un caramelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de menta? ¿Y de limón? ¿Y de fresa? 6.- Describir el espacio muestral E del experimento “Extraer una bola al azar de una bolsa que tiene dos bolas azules y tres bolas rojas”. Calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales descritos. 7.- En un dado se suprime la cara 6 y se añade otra cara 1. ¿Cuál es el espacio muestral de lanzar este dado? ¿Son los sucesos elementales equiprobables? Calcular la probabilidad de los sucesos elementales.

8.- Se lanzan dos dados y se suman los puntos de las caras superiores. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Suma 3 b) Suma inferior a 11 c) Suma distinta de 7 d) Suma igual a 4 ó 5

9.- Describir el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos dados y anotar la resta de los puntos de las caras superiores. 10.- Se lanza un dado con doce caras (dodecaedro) numeradas del 1 al 12 y se consideran los sucesos:

A=”Salir número par” B=”Salir número impar” C=”Salir múltiplo de 3” D=”Salir múltiplo de 5” F=”Salir número mayor que 5” G=”Salir número menor que 4”

a) Describir cada uno de estos sucesos, b) Señalar los pares de sucesos que son incompatibles, c) ¿Hay tres sucesos que sean incompatibles?



REPASANDO DECIMALES Un número decimal puede tener un número limitado o ilimitado de cifras decimales, recordemos que:

Si el número de cifras decimales es limitado o periódico, el número es racional. Ejemplo: 3’4, 3’444444..........

Si el número de cifras decimales es ilimitado y no periódico, el número es irracional. Ejemplo: 3’456791478543122....

NÚMEROS PERIÓDICOS:

Periódico puro: Si comienza el período inmediatamente después de la “coma”. Ejemplo: 3’21212121...

Periódico mixto: Si existe alguna cifra antes del período. Ejemplo: 3’2144444..., 4’2345454545...

Todo número decimal, limitado o periódico, se puede convertir en una fracción, que se

llama fracción generatriz de dicho decimal. APROXIMACIONES: Si al trabajar con un número decimal B de infinitas cifras decimales, lo tomamos como un

número , finito, se dice que es una aproximación de B.

Si < B es una aproximación por defecto. Ejemplo: B=2’343434..., = 2’34

Si > B es una aproximación por exceso. Ejemplo: B=2’343434..., = 2`35

Al tomar como valor de B cometemos un error.

Se llama error absoluto (E) a la diferencia entre el valor aproximado ( ) y

el valor real (B):

BE

Se llama error relativo (er) al cociente entre el error absoluto (E) y el valor real (B):

B

Eer



1.-Aproximar por redondeo los números siguientes al orden que se indican:

a) 2’356 a las milésimas. 434 a las centenas. c) –0’1253 a las centésimas. d) 2/3 a las unidades. e) 434 a las decenas. f) 1’234567 a las milésimas.

2.- Aproximar por truncamiento los números siguientes:

a) 4/5 a las unidades. b) 16/3 a las centésimas. c) 1’234234234 a las diez milésimas. d) 0’3489 a las centésimas.

3.- La milla inglesa mide exactamente 1609’34 m. Redondear a km exactos las siguientes distancias expresadas en millas inglesas:

a) 15 b) 24 c) 82 d) 120 e) 12’4 4.- Al indicar el número de alumnos de un instituto se comete un error de 115 alumnos. Si realmente hay 650 alumnos, ¿qué número se dio? ¿Cuál es el error relativo cometido? 5.- Si nos equivocamos en 1 cm al medir la longitud del cuaderno de Matemáticas y 1 km al medir la distancia de Madrid a Córdoba (unos 400 km), ¿en cuál de los casos cometemos un mayor error absoluto? ¿Y un mayor error relativo? 6.- Un año tiene realmente 365’25 días aunque, por comodidad, utilizamos calendarios de 365 días, salvo en los bisiestos. ¿Qué aproximación estamos realizando? ¿Cometemos mayor error en los bisiestos o en los normales? ¿Cuántos años tendrían que pasar para que las horas que vamos ignorando sumaran, a su vez un año? 7.- El fiel de una báscula casera tiene un error de –200 gr. Lucía se pesó y la báscula marca 49’50 kg, ¿cuál es su peso real? Calcular el error relativo y el porcentaje de error. 8.- Antes de enviar un paquete por correo, Lucía (la misma del problema anterior) lo pesó, para hacerse una idea de cuánto le podía costar el envío, y la báscula (la misma) marcó 900 gr. ¿Cuánto pesa realmente el paquete? Calcular el error relativo y el porcentaje de error. Las medidas de la báscula de Lucía, ¿son por defecto o por exceso? 9.- En un problema 38/13 se puede sustituir por 2’92 o por 2’93. ¿Cuál de estas aproximaciones es la mejor? ¿Por qué? ¿Se podría encontrar una aproximación mejor? 10.-Ernesto mide una longitud de 10 cm y se equivoca en 1 cm. Pascual comete el mismo error pero midiendo 10 km. Calcular los errores relativos y porcentajes de error.



1.- Expresar en notación científica: a) Número aproximado de habitantes de la Tierra: 7.100.000.000....................................... b) Longitud del ecuador terrestre: 40.000.000 m.................................................................. c) Número aproximado de células en el organismo humano: 70 billones............................

2.- Expresar, sin utilizar potencias de 10:……………………………………………………….

a) La velocidad de la luz en el vacío skm /10·3 5 :………………………………………….

b) La masa de un electrón g2810·9 :………………………………………………………

3.- Quitar paréntesis y dejar potencias con exponentes y bases positivos:

23623222

233332

23

5)2)2)3)

8)2)5)5)

hgfe

dcba

4.- Completar la tabla:

Base

Exponente 2 -2 4

3

5

1

0

1

2

3

-2

-3

5.- Calcular:

237

4234

232

4

3:

4

3

2

1·

5

4)

2

1:

2

1·

2

1)

ba

6.- Los astrónomos estiman que la edad del Sol es de unos 45·108 años, mientras que las estrellas más antiguas tienen unos 13·109 años.

a) ¿Cuántos años más joven es el Sol que dichas estrellas? b) ¿Cuántas veces más viejas son dichas estrellas que el Sol?

7.- Simplificar:

8

2

24532

253

10·4'5·002'0·6'3

2'3·10·008'0·3000)

···

··)

baaaa

aaaa



8.- Los químicos utilizan una medida que se llama MOL y que sirve para medir la cantidad de partículas: 1 mol = 6’02·1023 partículas. Como una molécula de Hidrógeno pesa 3’32·10-24 g. ¿Cuánto pesa un mol de Hidrógeno? 9.- Expresar el resultado como una potencia única:

3

3

7

402442

0

2

5475

34

25

3

243

554733771452

3643352574

,,·,·,5·5,7

7

3·3,10·10,2

1:

2

1,2·2,

5

1:5,2:2

2

1·8,10·10,10·2'0,4·5,,3

2·,7·7,·,3·3,2·2

a

a

a

aaaaa

b

aaaa

10.- Calcular la fracción irreducible de:

2

22

22

3

032

22

3

1

2

1·

3

2

3

1·

2

3

3

2·

6

1

)5

21

5

1·

3

2

5

1·

5

12)

2

1·

9

1·

4

1

2

1·

3

2·

2

1

)3

2

12

5

2

3

3

1)

dc

ba

11.- En un disco de 7 cm de diámetro caben 1010 bits (unidad binaria de información) y en el se pueden almacenar 500.000 folios mecanografiados; cada folio contiene una 300 palabras.

a) ¿Cuántas palabras pueden caber en dicho disco? b) Cada bit, ¿qué superficie ocupa?, ¿y cada palabra?

12.- Simplificar:

110

122505

3

53

38

74

35

122

432

36

345

374

2522

522

432

2

10)30)

5

0)

··6

··36)

7·3·2

7·6)

7·5·7

5·7·5)

3·2·7

7·2·3)

5·2·3

3·2·18·3)

11·2·11

2·11·2)

ihg

ba

bafed

cba

13.- Escribir y desarrollar:

a) Una potencia de base 2 y exponente x + y. b) Una potencia de exponente x + y y base 2.



14.- Simplificar las expresiones:

bxa

xai

zyx

zyxh

cba

cbag

pnm

pnmf

bca

bcae

ba

cad

ba

cbacba

6

2225

2531

322

2324

5732

2

323

32

232

12

2

22

3

32

2

22

42

00052'0·40

7·26·10)

27

3)

2

4)

2

4)

3

2)

··4

··2)

··9

···3)

6

3

3

1

3

2

4

1

3

2

)3

2:

9

10

6

3·

3

2)

15.- Si n es un número natural indicar el signo que tendrán las siguientes expresiones:

117532642 nnnnnnnn

16.- Rellenar los paréntesis:

7

11

7

10)

12

245

12

·5)

5

36

5)

54

120)20

2

4)32

2)

1062·3)5·2)832)

222

222

222

ihg

fed

cba

17.- Completar:

3712 a a es: 122 uu u es:

54102 b b es: 6532 2 dd d es:

7312 2 x x es: 2292 cc c es:

5683 2 y y es: 1272 tt t es:

4642 2 z z es: 652 rr r es:

014 2 v v es: 3072 ss s es:

18.- Dados los números decimales ,561'3,65'3,5'3,56'3,56'3____

decir qué tipo de decimales son, ordenarlos de

menor a mayor y calcular las fracciones generatrices de cada uno. 19.- Calcular obteniendo primero la fracción generatriz de cada número decimal:

3'0:7'2

27·3'232'1),

24'0·4'05'0

2'15'0:2'0)

ba

20.- Expresar como potencia de 10: 10.000.000; 0’01; 0’00001; 0’000000000000001; 100.000



1.- Escribir como potencia (recordar que: m

nm n aa , ejemplo: 4

1

4 77 ):

23647 432

35 23

)·)··)

)3)5)

bafyxecbad

acba

2.- Escribir como radicales las siguientes potencias (recordar que: m nm

n

aa , ej.: 4 34

3

77 )

5

1

4

1

3

2

3

13

22

4

3

5

3

3

2

4

1

3

1

2·3)))5

2)

8)5)3)2)

hbagb

afe

dcba

3.- Reducir a índice común (recordar que como las raíces son potencias de exponente fraccionario, basta con reducir a común denominador), ejemplo:

14 414

4

7

27 2

14 714

7

2

1

7

27 2

2

1

5555

3333

14

4

7

214

7

2

1

14)7,2.(..

55

33mcm

12 5310 3245

233 3321263

··,··)3,2,)

·,·,·)12,5,4,7)

zyxzyxdcbac

cbcababa

4.- Introducir factores bajo el signo radical (recordar que n naa , ejemplo: 233 )

4 6234 2

3

32

))3·22)

64)23)52)

bab

afbaed

cba

5.- Extraer factores de la raíz:

7127

134127

48

74

51012

4743

34 76

))32

)8)75)

32)72))1024)125)

ad

cbaj

z

yxi

dc

bahcabgf

edacba

6.- Para sumar y restar radicales, éstos han de ser semejantes (han de tener el mismo índice y radicando). Resolver las operaciones:

4875827125)18772482)

50328423)3

5

16

333)

dc

ba



7.- Multiplicar y simplificar:

3 23 43 23

3

···)

·8·10·5)

6·3·2)

bbaac

abaabab

aaaa

8.- Racionalizar:

5 423 248 5

5 2

))8

1)

1)

15

8)

5

3)

3223

3223)

532

1)

1

1))

12

1)

31

1)

35

1)

7

1)

2

1)

ba

abñ

x

xnm

alk

jiha

ag

yx

yxf

edcba

9.- Simplificar los siguientes radicales:

3 4 758 22212 8410 812 156 3 ))))2)5) xxfyxebadacba

10.- Extraer factores de los siguientes radicales y simplificar:

4

53 4 156

10

3

53 6 8

))27)2)75

28)16)

b

afaedc

y

xbxa

11.- Expresar como una sola potencia:

2·4

8)·)·)

·))222

1)

4

8)

1))

4

86 54 343 2

3

2

3 23 24

33

22

3 8

iaahaag

a

a

a

af

aa

aed

ca

ba

aa

12.- Calcular el resultado de las siguientes operaciones con radicales

4875827312)182

37286)

75108274123)2

1

9

252)

dc

ba

13.- Simplificar: bababxxxa 8·10·50);12·9·3) 3343

14.- Racionalizar: 23

6);

1);

10

202);

5)

33

d

abc

ab

bab

a

aa

15.- Calcular el resultado simplificado: 2235232·232



1. No saltarse la prioridad de las operaciones respetando los paréntesis.

2. No cambiar suma o diferencia por producto. Ej.: 434·3,323·2

3. No multiplicar la base por el exponente de una potencia. Ej.: 623

4. Cuando hay una potencia con exponente negativo, este signo no debe cambiar el signo de la base.

Ej.: 22 1

5. Hay que prestar especial atención a los cocientes de potencias con exponentes negativos, no se

puede eliminar el signo de la resta de exponentes. Ej.: 35

3

5

33

3

6. No se puede aplicar las propiedades de las potencias cuando hay una suma o una diferencia de

potencias de la misma base. Ej.: 2424 222 . Tampoco se puede cambiar la base. Ej.: 2424 422 .

Tampoco se puede cambiar la base en el producto. Ej.: 2424 42·2 7. No se debe aplicar las propiedades de las raíces que hay para el producto y la división a las sumas y

restas porque no funcionan. Ej.: 25·425·4 , sin embargo 254254

8. Cuando en una potencia el paréntesis no abarca al signo negativo, este signo no se verá afectado por

la potencia. Ej.: 932

9. No se debe calcular la raíz cuadrada de un número hallando su mitad. Ej.: 48



PROBLEMAS DE SEMEJANZA Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. La razón de semejanza es la razón de proporcionalidad que mantienen sus dimensiones. 1.- Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcular:

a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua.

2.- Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, ¿qué área ocupará en un plano de escala 1:25? 3.- En el plano de un piso cuya escala es 1:200, el salón ocupa una superficie de 7 cm2. ¿Cuál es la superficie real del salón? 4.- Las dimensiones de un campo de fútbol son 70 y 100m, respectivamente. ¿Cuál es la superficie de un futbolín hecho a escala 1:75?

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes cuando:

- Sus lados son proporcionales: ''' c

c

b

b

a

a

- Sus ángulos son homólogos iguales: 'ˆˆ'ˆˆ'ˆˆ CCBBAA

5.- ¿Son semejantes dos triángulos cuyos lados miden 2, 4 y 6cm y 3, 6 y 9cm?

6.- La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150cm2, ¿cuál es el área del menor?

7.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10cm y un cateto 4cm, y la hipotenusa de otro mide 20cm y un cateto 8cm. ¿Son semejantes los triángulos?

8.- ¿Cuánto mide la sombra proyectada por un árbol de 15m de altura, sabiendo que en ese mismo momento otro árbol de 8m de altura proyecta una sombra de 10m?

9. Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo común. Un cateto y la hipotenusa del menor miden 8 cm y 10 cm, respectivamente. Halla las dimensiones y el área del mayor sabiendo que su hipotenusa mide 30 cm

10. Para calcular la distancia a la que está el delfín de la costa, un individuo coloca un palo bajo sus pies y lo desliza hasta que puede ver el extremo del mismo alineado con el delfín. Se sabe que desde los pies hasta los ojos de la persona, AB, hay 1,75 m y la longitud del palo, desde los pies hasta el extremo, BC, es de 2,40 m. La altura del acantilado es de 12 m. ¿Cuál es la distancia buscada, DH?

11. La persona que aparece en la foto mide 1,78 m. Se ha situado a 1,5 m del punto A y a 1,8 m del punto C. a) ¿Podrías calcular la altura de las escaleras, CD? b) ¿Cuál es la longitud de las escaleras, AD?

D

E

C

B

A



1.- Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos catetos son b = 3, c = 4. 2.- Los catetos de un triángulo rectángulo son iguales y miden 10 m. Calcular la altura sobre la hipotenusa. 3.- De un triángulo rectángulo se sabe que un cateto es la mitad de la hipotenusa y el otro cateto mide 12 cm. Hallar el área del triángulo. 4.- Un cateto de un triángulo rectángulo es el triple del otro cateto. Hallar las razones trigonométricas de los ángulos agudos de dicho triángulo. Por otra parte, el cateto menor de un triángulo semejante al primero mide 4 cm. Encontrar la longitud del otro cateto y la hipotenusa del segundo triángulo rectángulo, así como, las razones trigonométricas de sus ángulos agudos. 5.- a) En un triángulo equilátero cuyo lado mide 1, calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30o y 60o (sugerencia: dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos). b) Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 45o en un triángulo rectángulo isósceles cuyo cateto mide 1. 6.- Resolver el triángulo ABC (encontrar los lados y ángulos desconocidos), sabiendo que:

a) A=30o, C=90o, a=5cm. b) A=90o, B=60o, c=4m. c) A=45o, C=30o y la altura correspondiente al vértice B mide 3m.

7.- Renato ha utilizado un alambre de 10 m para sujetar una antena de televisión de 6 m de altura. ¿A qué distancia de la base de la antena ha tenido que clavar el alambre? 8.- Una señal de tráfico señala 11%, eso significa que, a partir de 100 m medidos sobre la horizontal, la carretera se eleva 11 m.

a) ¿Cuántos metros recorre un ciclista que se encuentra con esta señal en un trayecto de 150 m medidos sobre la horizontal?

b) ¿A qué altura sobre la horizontal se encuentra el ciclista si ha recorrido un trayecto de 5 km?

9.- Una torre mide 150 m de altura y produce una sombra en el suelo de 200 m. ¿Qué distancia hay desde el punto más alto de la torre al extremo de la sombra?

10.- Hallar el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10m y sus ángulos agudos son uno triple del otro. 11.- Una caña de 4m de altura se rompe por un punto situado a 1m del suelo, y la parte superior queda apoyada en él. ¿Qué ángulo forma con el suelo? ¿Qué distancia se aparta de la base de la caña?



12.- Resolver el triángulo ABC de datos: (resolver un triángulo significa calcular los lados y ángulos que no se conocen).

a) A=60o, B=30o, c= 2 b) a=42, B=C=45o. c) a=8, B=30o. d) b=26, c=18, A=60o. e) c=10, B=45o. f) a= 10, b=14, c=17.

13.- Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal un ángulo de 60o. Suponiendo que el hilo está tirante, calcular la altura de la cometa. 14.- Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45o, y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30o. Hallar la anchura de la calle. ¿Qué altura alcanza la escalera en cada una de las fachadas? 15.- Álvaro quiere medir uno de los árboles que hay al lado de su casa. Para ello ha pedido prestado un teodolito y ha medido algunos ángulos y distancias. ¿Cuánto mide le árbol?

16.- Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 30o. Aproximándose 25’8m hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 60o. Calcular la altura del árbol.

17.- Desde un determinado punto se ve una antena bajo un ángulo de 30o. Al alejarse hasta alcanzar una distancia el doble de la distancia anterior, ¿bajo qué ángulo se verá la antena? 18.- Un individuo de 1’80m de altura está situado a 5m de una farola y observa el remate final de ésta bajo un ángulo de 30o. ¿Cuánto mide la farola? ¿Y si el ángulo fuera de 45o? 19.- En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos PQR, rectángulo en R, determinar el seno, coseno y la tangente de los ángulos agudos:

a) PR = 6, RQ = 3. b) PR = 2, RQ = 5. c)RQ = 3, PQ = 5. 20.- Pancracio hereda un solar en forma de triángulo rectángulo, su abogado le comenta que la única información que tienen es la siguiente: el lado menor mide 50m y un ángulo mide 90o y otro 30o. Pancracio quiere hacerse una casa de 275m2. Como el solar está en una zona en la que la altura máxima autorizada es un piso y hay que tener 500m2 de jardín, ¿puede construirla? Y si quisiera que la planta de la casa fuera rectangular, ¿cómo tendría que ser el jardín? ¿Y si la quisiera cuadrada? 21.- Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 16, 17 y 19 cm. Si se le resta a cada uno una misma cantidad, se obtienen los lados de un triángulo rectángulo. Calcular las razones trigonométricas del ángulo más pequeño de este nuevo triángulo.



DEFINICIONES BÁSICAS:

tgctg

senec

sentg

1,

1cos,

cos

1sec,

cos

FÓRMULA FUNDAMENTAL: 1cos22 sen

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:

I II III IV sen + + - - cos + - - + tg + - + -

ESTUDIO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS DISTINTOS CUADRANTES:

Si se analiza la variación de las razones trigonométricas fundamentales a lo largo de los cuatro cuadrantes, se tiene:

0º I 90º II 180º III 270º IV 360º sen 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

tg 0 0 0

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE:

Conocidas las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante, es posible conocer las razones trigonométricas de cualquier ángulo mediante las siguientes relaciones:

II sensen coscos

III sensen coscos

IV sensen coscos

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:

sensen

2cos,cos

2



5 cm

5 cm

1.- Expresar en radianes los ángulos: 30º, 45º, 60º, 75º, 90º, 120º, 135º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º, 360º.

2.- Expresar en grados los ángulos: rdrdrdrdrdrd 65,7

4,

12,

9,43'0,3

.

3.- Sobre una circunferencia de radio r, ¿cuál es la longitud del arco que corresponde a un ángulo central de x radianes?

4.- Calcula las razones trigonométricas de los ángulos y de los siguientes triángulos rectángulos y completa la tabla: a)

b) 5.- Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo sabiendo que:

a) Un cateto mide 4 cm y la hipotenusa 5 cm. b) Los catetos miden 5 y 12 cm, respectivamente.

seno coseno tangente secante cosecante cotangente

seno coseno tangente secante cosecante cotangente

4 cm

5 cm

12 cm



6.- Completa la siguiente tabla:

Grados 360o

Radianes 2

Representación

Seno -1

Coseno 0

Tangente

Secante

Cosecante

Cotangente

7.- Completa la siguiente tabla:

Grados 150 o

Radianes 4

5

3

4

Representación

Seno

Coseno 2

1

Tangente 3

Secante

Cosecante

Cotangente



8.- Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

rdcrdbrda6

11)

3

2)

4

3)

9.- Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que está en el segundo cuadrante, sabiendo que

2

2sen . ¿Cuál es el ángulo?

10.- Hallar el resto de las razones trigonométricas en cada uno de los siguientes casos:

2

3

2

3)

2

3

)

2

32

1cos

)

tgc

tg

ba

En los casos en los que sea posible, indicar el ángulo. 11.- Calcular, razonadamente, las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

rdlrdkjrdi

hgfe

dcba

o

oooo

oooo

2)

4

27)510)

6

67)

120)45)330)300)

225)150)135)120)

12.- ¿Puede existir un ángulo cuya tangente valga 10? En caso de existir, ¿cuánto valdrían el seno y el coseno? 13.- ¿Cuánto vale el seno de un ángulo cuyo coseno es igual a su tangente? ¿En qué cuadrante estará dicho ángulo?

14.- ¿Puede existir un ángulo tal que5

4cos,

5

3 sen ? En caso de existir,

¿en qué cuadrante estará?

15.- ¿Puede existir un ángulo tal que 2

1cos,5 ctg ? En caso de existir, ¿en qué cuadrante estará?

16.- Determinar:

3

2)

6

7)

6)45)60)

225sec)330)120)315cos)300)

senjsenitghtggsenf

esendctgcbsena

oo

ooooo

17.- Sabiendo que II ,4

3cos , calcular las razones de 2 .

18.- En los apartados siguientes, calcular el resto de las razones trigonométricas de :

3

2)4sec)0,4'0sec)

2,5)0,

13

5cos)0cos,

25

7)

ctgfcesend

tgctgbsena



19.- Simplificar las siguientes expresiones:

sensenfsen

tge

sensend

tg

tgsenc

sen

sensensenb

tgtga

11)2

·sec·cos)

coscos)

2·cos·cos

·)

·cos·cos2)

sec

·cos·cos)

222

223

2

3

20.- Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:

·cossec1)·coscos)

cossec

)1

)

1cos

·cos)coscos)

sec·sec)·)

222222

2

222

2222

tgtgsenhctgctgg

ctg

ctgsenftg

ctg

ctgctge

atg

tg

sen

sendsensenc

cctgtgbtgtgctgctg

tgtga



AUTOEVALUACIÓN 1ª PARTE DEL CURSO

1. Realiza las operaciones siguientes, expresando el resultado lo más simplificado posible

2

232

2

57

3223)24

2)

:)3·422463)

db

c

ba

c

baca

2. a) Hallar la altura de un árbol sabiendo que un observador, que está situado a 20 m de su base, observa

su copa bajo un ángulo de .3

rad

b) Simplificar, todo lo posible, la expresión

9

2

10·4'5·002'0·6'3

2'3·10·008'0·3000

3. Desde un punto vemos el extremo superior del campanario de la iglesia bajo un ángulo de 50o. Si nos

alejamos 20 m, lo vemos bajo un ángulo de 35o. Halla la altura del campanario y la distancia a la que nos

encontramos inicialmente.

4. a) Sabemos que los perímetros de dos triángulos isósceles semejantes valen 19’5 cm y 13 cm y que el

lado desigual del primero mide 4’5 cm. Calcular los lados de ambos triángulos y la razón de semejanza.

Razona tú respuesta

a= b= c= r=

a’= b’= c’=

b) Calcula el área de uno de los triángulos y obtén la del otro, aplicando la razón de proporcionalidad.

5. Un carpintero tiene 32 metros de madera y quiere construir una pequeña valla alrededor de un parterre

en el jardín. Está considerando los siguientes diseños para

el parterre. Rodea con un círculo Sí o No para indicar si,

para cada diseño, se puede o no se puede construir el

parterre con los 32 metros de madera. Argumenta tu

respuesta.



POLINOMIOS: Un polinomio es una expresión algebraica donde números y letras están unidos por productos y sumas y las letras (llamadas indeterminadas) están afectadas de

exponentes naturales. Ejemplo: 34)( 23 xxxxf

Se llama grado del polinomio al mayor exponente de la indeterminada. Ejemplo: grado de f(x)=3.

Cada uno de los sumandos del polinomio se denomina término. El sumando que no tiene indeterminada se denomina término independiente.

Los números que multiplican a la indeterminada se denominan coeficientes. OPERACIONES CON POLINOMIOS: Las operaciones que se pueden realizar con polinomios son:

Suma: Para sumar polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo

grado. Ejemplo: 224)()(;243)(;23)( 232323 xxxxgxfxxxgxxxxf

Diferencia: Para restar polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo: 2272)()(;243)(;23)( 232323 xxxxgxfxxxgxxxxf

Producto: Para multiplicar polinomios se multiplica cada término del primero por cada uno del segundo y se reducen términos semejantes.

Cociente: Para dividir polinomios se ordena ambos polinomios según potencias decrecientes y se va dividiendo cada término del dividendo por el divisor (teniendo en cuenta el cociente de números y el de potencias de la misma base) hasta que el grado del resto sea estrictamente menor que el del divisor.

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO: Es el valor que toma el polinomio al sustituir la

indeterminada por un número. Ejemplo:

112·322)2(

21311)1(13)(

23

23

f

fxxxxf

RAÍZ DE UN POLINOMIO: Se llama raíz (o cero) de un polinomio f(x) a los valores “a” que

verifican: f(a) = 0. Ejemplo:

raízunaesnof

raízunaesfxxf

2,312)2(

1,011)1(1)(

2

2

TEOREMA DEL RESTO: El resto de dividir un polinomio P(x) por x-a coincide con P(a), es decir, con el resultado de sustituir x por a en el polinomio P(x). Ejemplo: El resto de la división de

12)( 23 xxxxf entre x-2 sería: 3122·22)2( 23 f

TEOREMA DEL FACTOR: El polinomio P(x) es divisible por x–a, si y sólo si, a es una raíz del polinomio P(x). Si P(x) es un polinomio con coeficientes enteros, sus raíces enteras, si las tiene, deben ser

divisores del término independiente. Ejemplo: Dado el polinomio 42)( 23 xxxxf , sus

raíces enteras, si existen, serán algunos de los divisores de –4, es decir: 4,2,1 .

MÉTODOS DE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES:

1. Sacar factores comunes. 2. Utilizar las fórmulas de descomposición en factores. 3. Si el polinomio tiene coeficientes enteros, buscar las posibles raíces entre los divisores

del término independiente. 4. Si el polinomio es de segundo grado, se puede utilizar los métodos de resolución de

una ecuación de segundo grado.



Identidades notables

Cuadrado de una suma: 222 2 bababa

Comprobación: bababa ·2 ..................................................................

Cuadrado de una diferencia: 222 2 bababa

Comprobación: bababa ·2 ..................................................................

Suma por diferencia: 22 bababa

Comprobación: baba · ...................................................................................

1624944·3·2343 24222222 xxxxx

4

1

2

1

2

1··2

2

1 22

22

xxxxx

1192095·4352352352 22

Calcular los siguientes productos notables:

22

22222

332222

23

2222

1)1

3)2335)55)

22)11)4545)66)

3

13)

2

12)3)12)

xxl

xkjxxi

xxhxxgxxfxe

xxdxcxxbxa



1.- Indicar cuáles de las siguientes expresiones son polinomios, y en su caso, calcular el grado, coeficiente de tercer grado y su término independiente.

211

343)

11

343)

1223)

4

1223)

55

3434

xxxd

xxxc

xxxxbxxxa

2.- Dados los polinomios

xxx

xExxxxDxxxCxxBxxxA 23

)(4

13

2

1)(96)(13)(562)(

2323322 , se pide:

)(4

1)())()(·)()(2)

)(3

1)()())()()

)(5)(2)(3))()()()

xBxDfxBxAxBxAe

xCxExDdxExDc

xExBxAbxExBxAa

3.- Realizar las divisiones, por Ruffini (cuando sea posible):

4:16)12:658)

3:110)3:1637)6246

4224

xxdxxxc

xxxbxxxxxa

4.- Sabiendo que los polinomios mxxxBybaxxxxxA 42246 ·2)(62)( son iguales, hallar a, b y m.

5.- Descomponer los siguientes polinomios:

4432)363)4123)

30)6))234223

22324

xxxxfxxexxxd

xxcxxxbxxa

6.- Hallar el valor de m para que el polinomio mxxmxxxp 234 2)( sea divisible por x–2.

7.- Operar y simplificar:

2222

232

11)

6·11·2)

xxxxb

xxxxxa



8.- Dividir por Ruffini, indicando claramente el cociente y el resto:

3

2:

2

3

8

45

4

9)

1:85

8

4

7)

2:2532)

3:122038)

1:135)

235

3

24

243

234

xxxxe

xxxd

xxxxc

xxxxxb

xxxxxa

9.- Señalar cuáles de las siguientes divisiones son exactas, sin efectuarlas:

2

1:

2

1

44

1

2

34)

1:4

3

2

3

2

5

3

2

4

3)

1:1)

1:1)

235

2345

2468

7

xx

xxxd

xxxxxxc

xxxxxb

xxa

10.- Descomponer en producto de factores los siguientes polinomios:

xxñxxnxxm

xxlxxkxxj

xxixxhxxg

xxxxfxxexxd

xxxcxbxxa

3)182)566)

3011)42)2)

642)23)43)

6116)45)81)

44)9)6)

332

222

22424

234243

2322

11.- Hallar el valor de m para que 186 235 mxxxx sea divisible por x–4.

12.- ¿Cuánto debe valer b para que x–3 sea un factor 2226 23 bxxx ?

13.- Hallar q para que –2 sea una raíz del polinomio 433 23 qxxx .

14.- Dado el polinomio )6()2()1()( xxxxP , ¿podría usted decir para qué valores se anula?



1.- Indicar si son equivalentes las fracciones:

2

43

23

42)

322

352

4

3)

11)

11)

2

2

23

2

2

2

2

3

23

2

2

x

xxy

xx

xxxd

xx

xxy

x

xc

x

xy

xx

xxxb

x

xxy

x

xa

2.- Simplificar, si es posible, las fracciones:

122

122332)

25

5)

42

24186)

1

1)

152

62)

2

123)

152

4828)

152

3)

2

2)

23

23

4

2

23

2

8

2

2

2

2

2

2

3

23

2

23

23

xxx

xxxi

x

xh

xxx

xxg

x

xf

xx

xxe

xx

xxd

xx

xxc

xxx

xxb

xxx

xxa

3.- Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

1

1)

3

3)

1

1)

23

9)

13

31)

1

1)

·5

·10)

··

··)

22

24

2323

6

43

34

432

x

xh

x

xg

x

xf

xx

xe

xx

xxd

xx

xxc

yx

yxb

zyx

zyxa

4.- Reducir a común denominador las fracciones:

4

5,

1

3,

1

1)

1

2,

1

5,

1

3)

3

23,

65

5,

2

2)

1

6,

1

15,

1

12)

24

3

2

23

2

222

2

2

xx

x

xd

xx

x

xx

xxc

xx

x

xx

x

xx

xb

xx

x

x

xa

5.- Efectuar y simplificar:

1

1212)

1

13

1

6)

3

3

9

25

9

13)

1

52)

1

5

1

2)

57)

42)

5

2

3

1)

2

11)

23222

22

xxx

x

xx

xi

x

x

x

x

xh

xx

x

x

xg

xxxf

xxxe

x

x

x

xd

xxc

xb

xa



6.- Resolver, dando los resultados simplificados:

1

13

1

6)

2

2

1

1

2

1)

2

16

4

2

8

32)

2

1

2

1

4

4)

2

22

x

x

x

x

xd

x

x

xx

xc

x

x

x

x

x

xb

xxxa

7.- Resolver y simplificar:

1

1212)

20

1

152

3

127

2)

2

5

44

6)

1

2

23

1

65

3)

23

222

2

3

22

xxx

x

xx

xd

xxxxxxc

xxxx

xxb

xxx

x

xx

xa

8.- Observar y sumar rápidamente:

2

2

222 4

4

3

3)

1

1

1

1

1)

2

2

2

2)

2

2

2

3)

x

x

x

xd

xx

x

x

xc

x

x

x

xb

xxa

9.- Calcular los siguientes productos y simplificar, si es posible:

3

2·

3

9)

5

4·

23

1)·

1

1)

3

1·

5)

64

5·

23·

2)

1

42·

2

1)

22

2

23

4

2

2

2

22

x

x

x

xf

x

x

xx

xe

x

xx

x

xd

x

x

x

xxc

x

x

x

xxb

x

x

x

xa

10.- Efectuar las divisiones:

5

3:

152

62)

9:

3

2)

2

31:

2

5)

2

2

2

2

2

xxx

xxc

x

x

x

xb

xx

x

xa

11.- Simplificar:

1

1

1

11

1

1

1

)

1

12

2

)

1

1

)1

1

21

)

x

x

x

xx

x

x

x

d

x

xx

xcx

x

xx

xb

xx

xxa

12.- Simplificar:

22

32

312

)

2

1342

1)

2

31

2

12

)

1

12

3)

21

22

)

2

12

22)

x

xx

xf

xxx

xx

xx

e

xx

xx

d

xx

x

x

xc

x

xx

x

b

xx

x

x

a



ECUACIONES Cómo se resuelve una ecuación…

Bicuadrada: Por ejemplo, 03613 24 xx

Sustituyendo x2 por t, se tiene que 242 txytx con lo que la ecuación de incógnita x, se convierte en

una ecuación de incógnita t de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula conocida.

4

9

2

513

2

2513

2

14416913

036132

t

tt

Para encontrar los valores de x, hacemos uso del cambio de variable que se hizo al principio,

244,4

399,92

22

xxtsi

xxtsitx que son las cuatro soluciones de la ecuación original.

Racional: Por ejemplo, 1

22

13

8

x

x

x

Se multiplica toda la ecuación por el m.c.m. de los denominadores, en este caso, (3x+1)(x–1).

51020102

26226688

)13(22)1)(13(8)1(

)1)(13(1

22)1)(13(

13

8)1)(13(

22

xxx

xxxxxx

xxxxx

xxx

xxx

xxx

En este tipo de ecuaciones hay que comprobar que la solución hallada no anula ningún denominador, pues en ese caso no cumpliría la ecuación. (Dividir por cero no tiene sentido).

Irracional: Por ejemplo, 042 xx

Se deja la raíz sola en un miembro de la ecuación y elevamos al cuadrado los dos miembros, luego se resuelve la ecuación que resulta

505

00)5(05

444

24

24

2

2

22

xx

xxxxx

xxx

xx

xx

Siempre hay que comprobar si las soluciones encontradas cumplen o no la ecuación original, porque no todas sirven.

En este caso, si x=5 la ecuación se cumple, 033934525 .

Pero si x=0, 0422424020 , por tanto, esta solución no sirve.

Si en la ecuación a resolver hay dos raíces o más, habrá que aislar las raíces de una en una y elevar luego al cuadrado, por lo que el procedimiento se alarga un poco.



1. Resolver las siguientes ecuaciones:

12

1

3

14

6

15

4

3213)

2

253

3

325

4

525)

3

22

3

1

9

2)3

520

53

15

2)

xxx

xdxxx

c

xx

xxb

xxxa

2. Resolver:

0154212)3

32512)

4126323)0826)

222

22

xxxxdx

xxxxc

xxxxxbxxxa

3. Resolver las siguientes ecuaciones:

023)087)

49

9

2

1)03141)

0128)023)

2436

242

222

2424

xxfxxe

xxx

dxxc

xxbxxa

4. ¿Para qué valores de m las ecuaciones siguientes no tienen solución?

1

3

12

4

2);26);325)

m

mxxmcmmxxbxmmxa

5. Resolver las ecuaciones:

12

33

1

23

1

1)2

44

3

2

6)

72

12

2

121)2

2

3

2

5

4

10)

12

3

112)4

10

1

8)

22

2

2

2

xx

x

x

xx

x

xf

xx

x

x

xe

xx

xd

xxxc

x

x

xxb

xxa

6. Resolver las siguientes ecuaciones irracionales, comprobando los resultados:

6412)1327)

236)55)

022)0412)

8105)74)2

xxhxxg

xxfxxe

xxxdxxc

xxbxa

7. Resolver las siguientes ecuaciones dependientes de un parámetro (las fracciones que resultan deben tener el denominador distinto de cero para que exista solución):

cba

xd

a

xaxcmxxbbaxxa

);

4

4);423);)



1.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

7

1

23

1

123

1

)

34

2

3

2

332

)

12

342)

323

5

54

3

3

2

)

143

764

)

423

15

42

3

2

)

613

1424

342

)

31

73

32

5

7294

)

213

44

23215

)

362

434

)

42

172

)5

4

3

5

2

51513

)

yx

yxl

yxyx

yxyx

k

yx

yx

j

yx

yx

iyx

yx

h

yx

yx

yx

g

yx

yxyx

f

yx

x

yx

e

yxy

yxy

d

yx

yx

cyx

x

xyx

byx

yx

a

Resolver los sistemas anteriores por el método gráfico (representar en un sistema

de ejes cartesianos, XY, los pares de valores (x, y) que cumplen cada ecuación, comprobando que forman dos líneas rectas. El punto de corte de ambas, si lo hay, es la solución del sistema). 2.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

024

146)

13·

10)

5

7

666

)

13

722

)14

35)

5

242)

13

10)

507

100)

82

8)

22

2222

2

2

2

2

22222

yx

yx

iyx

yxh

y

x

yx

g

xy

yxfxyy

xyxe

yxy

xyxd

yx

yxc

yx

yxb

yx

yxa



1.- En la ecuación 0152 bxx , una solución es 5. ¿Cuánto vale b? ¿Cuál es la otra solución?

2.- En la ecuación 052 cxx , una solución es 3. ¿Cuánto vale c? ¿Cuál es la otra solución? 3.- Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 380.

4.- Hallar dos números cuya suma es –1 y cuyo producto es 9

2.

5.- La suma de un número y su cuadrado es 42. Hallarlo. 6.- Una habitación rectangular tiene una superficie de 120 m2 y su zócalo tiene una longitud de 46 m. Hallar las dimensiones de la habitación. 7.- Para vallar una finca rectangular de 750 m2 se han utilizado 110 m de cerca. Calcular las dimensiones de la cerca. 8.- Un depósito de agua tiene forma de prisma recto de base cuadrada, cuya altura es 10 m y su capacidad 4.000 m3. Hallar la base del cuadrado. 9.- La suma de dos números es 8 y su producto 15. ¿Cuáles son dichos números? 10.- ¿Cuál es el número que excede en 72 unidades a su raíz cuadrada? 11.- Encontrar tres números pares consecutivos tales, que su producto equivalga a 64 veces su suma.

12.- Para transportar los productos de un desmonte se han empleado todos los carros y vagonetas de que se disponía, tardando en la operación 30 días. Si se hubieran empleado sólo los carros, el tiempo necesario para transporte hubiera sido 32 días más que si se hubieran empleado exclusivamente vagonetas. ¿Cuánto tardarían éstas actuando solas?

13.- El dividendo de una división es 1.275; el cociente y el resto son iguales, y el divisor es el doble de cociente. ¿Cuál es el divisor?

14.- Un traficante compró 30 cabras, a 105 € cada una. Le robaron una cuantas y vendió cada una de las restantes con un aumento de tantas veces 4’2 € como cabras le robaron, resultando que no tuvo ni pérdida ni ganancia. ¿Cuántas cabras robaron al traficante y a qué precio vendió las que le quedaron?



15.- La edad de un niño será dentro de tres años un cuadrado perfecto, y hace tres años su edad era precisamente la raíz cuadrada de este cuadrado. ¿Cuántos años tiene el niño? 16.- Un cuadrado tiene 44 m2 más que otro y éste 2 m menos de lado que el primero. Hallar los lados de los cuadrados. 17.- ¿Qué condición debe cumplir una ecuación de segundo grado para que una de sus raíces sea 0? Poner un ejemplo que aclare la respuesta.

18.- La ecuación 0135 2 xx no tiene raíces reales. ¿Sabría explicar por qué sin resolverlas? 19.- ¿Cuáles son los números enteros cuyo cuádruple equivale a su cuadrado? 20.- ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si la mitad de su perímetro en metros es numéricamente igual a la quinta parte de su área expresada en metros cuadrados? 21.- Calcular la base de un rectángulo de 18 cm de altura sabiendo que su superficie es

equivalente a los 9

2 de un cuadrado cuyo lado es igual a la base del rectángulo.

22.- ¿Cuál es el radio de una circunferencia cuya longitud en metros es numéricamente igual al área expresada en metros cuadrados del círculo que determina? 23. Averiguar qué números cumplen que su mitad, más su tercera parte, más su sexta parte, sea menor que 3. Representar gráficamente la solución obtenida en la recta numérica. 24. La suma de tres números ha de ser mayor que 7. El segundo es la mitad que el primero, y el tercero el triple que el segundo. Encuentra las soluciones. 25. Averiguar qué números al restarles 3 dan como resultado un número mayor que 2. ¿Cuántos son? Representarlos todos en la recta numérica. 26. Juan nos dice: “El doble de mi edad más dos años es mayor que mi edad más 14 años”. ¿Qué edad puede tener Juan? 27. Cuánto puede medir el lado de un cuadrado para que su área sea, medida en metros cuadrados, mayor, en número, que su perímetro medido en metros? ¿Y si quisiéramos que su área fuera menor, en valor numérico, que el triple de su perímetro? 28. ¿Qué números al restarles 6 y multiplicar por su suma con 2 da un resultado positivo? Representar la solución en la recta numérica. 29. ¿Cuánto debe medir la altura de un triángulo de base 5 cm para que su área mida entre 30 y 60 cm2?

30. Para construir una piscina, Se necesita un círculo cuya área mida entre 20 y 50 m2, ¿de qué medida deberá ser su radio?



1.- Ecuaciones de primer grado: 23213223);212

12

2

2)

xxxbx

xxa

2.- Ecuaciones de segundo grado: 0438);3

101) 22 xxxb

xxa

3.- Ecuaciones bicuadradas: 03141);49

9

2

1) 2222

42

xxbxxx

a

4.- Ecuaciones racionales: 72

12

2

121);1

12

2

1

3

1)

22

xx

xb

xxxx

xa

5.- Ecuaciones irracionales: 14363);2312) 222 xxxbxxa

Boberías ¿Cuántos libros posee una persona si la diferencia entre 42 y los libros que tiene es igual a la diferencia entre 6 veces los libros que tiene y 42? ¿Qué edad tiene el matrimonio que se ve si en la edad de cada uno de

ellos aparecen los mismos dígitos pero a la inversa, se llevan 9 años y ella, más joven que su marido, ya ha cumplido los 35?

Campeonato de voleibol: rubios contra morenos. Cada jugador moreno que ha marcado ha conseguido 4 puntos, y cada jugador rubio que ha marcado ha conseguido 7. Si en total llevan 34 puntos, ¿cómo van y cuántos jugadores de cada equipo han marcado?

Ernestinternet está un “tanto” enganchado a la red, lleva 1381 web visitadas. Hoy ha realizado 214 visitas más, y en cada uno de los días sucesivos piensa visitar tantas páginas como hoy, pero con un incremento de 23 visitas diarias. El día en que el incremento sea un número de tres dígitos iguales, ¿cuántas visitas habrá hecho en total?



Poesías algebraicas: A lo largo de la historia se han presentado algunos problemas utilizando versos. Aquí hay algunos ¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla!, la duración de su vida. Su sexta parte la constituyó la hermosa infancia. Durante la doceava parte de su vida se cubrió de vello su barba. La séptima parte de su existencia transcurrió antes de tomar esposa. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Éste entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena, habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte.

Por presumir de certero un tirador atrevido se encontró comprometido en el lance que os refiero: Y fue, que ante una caseta de la feria del lugar presumió de no fallar ni un tiro con la escopeta. Y el feriante alzando el gallo un duro ofreció pagarle por cada acierto y cobrarle a tres pesetas el fallo.

Dieciséis veces tiró el tirador afamado al fin dijo, despechado por los tiros que falló: “Mala escopeta fue el cebo y la causa de mi afrenta pero ajustada la cuenta ni me debes ni te debo”. Y todo el que atentamente este relato siguió podrá decir fácilmente cuántos tiros acertó.

Un collar se rompió mientras jugaban dos enamorados. Una hilera de perlas se escapó: La sexta parte al suelo cayó, la quinta parte en el lecho quedó, un tercio la joven salvó, la décima parte el bien amado recogió, y con seis perlas el cordón quedó. Dime lector, ¿cuántas perlas tenía el collar de los bienaventurados?

Regocíjanse los monos divididos en dos bandos, Su octava parte al cuadrado En el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada en total?



AUTOEVALUACIÓN 2ª PARTE DEL CURSO 1. Dado el polinomio )6()2()1()( xxxxP :

a) encuentra su expresión algebraica reducida, b) indica cuáles son sus ceros o raíces, c) calcula los valores numéricos P(- 2), P(0) y P(1/2).

2. Si xxxRxxQxxxxP3

1)(;1)(;24)( 324 , calcular el resultado de las operaciones siguientes:

)(:)());(·)()() xQxPbxRxQxPa

3. Calcular el resultado de la operación: a)1

112

xxx

b) 3

1·

32

2

x

x

x

xx

4. Descomponer en producto de factores los polinomios: 6)(;64)( 22 xxxBxxA

5. Resolver las ecuaciones: a) 45 24 xx b) x

x

xx

12

3

112

6. ¿Cuál es el número que excede en 72 unidades a su raíz cuadrada?

7. Un terreno tiene 60.000 m2 de superficie y su forma aproximada se muestra en la figura. Se desea vallar el contorno para realizar trabajos de repoblación de árboles. ¿Cuánto mide el perímetro del terreno?

8. Simplifica las operaciones con números siguientes:

a)22

22

3

2:

9

4

4

3·

3

1

2

131

3

1

b)042

433

5·3·25

9·81·25·5

c) 456

2680

2

520

2

3

X

X

X



LOS DATOS QUE NOS RODEAN Para estudiar la realidad se observan los fenómenos y se toman datos. Muchos de estos datos son numéricos y con ellos se elaboran tablas y representaciones gráficas de las que se pueden extraer una gran cantidad de información. Los fenómenos que se estudian pueden ser deterministas (que se rigen por una regla determinada) o aleatorios (que no se comportan de forma determinada, sino que se rigen por el azar). Ejemplos de fenómenos deterministas:

- La presión atmosférica depende de la altura. - El espacio recorrido en cierto tiempo depende de la velocidad. - El precio del transporte depende del precio del petróleo. - El espacio recorrido depende del tiempo que dure el movimiento. - El peso de un bebé depende de los meses de vida que tenga.

En todos estos casos, las magnitudes que se observan están relacionadas, presión – altura, espacio – velocidad, peso – edad. Y esta relación se denomina función. Ejemplos de fenómenos aleatorios:

- Sacar un cinco al tirar un dado. - El número de coches que pasa por una calle. - El número de chicas que practican baloncesto en el instituto. - El número de personas rubias que entran en un cine. - Sacar un rey al elegir una carta de una baraja. - Sacar una bola blanca de una urna que contiene bolas blancas, verdes y rojas.

En todos estos casos no hay una regla fija para conocer el resultado, sino que dependen del azar. INTERPRETANDO DATOS Y GRÁFICAS

ACTIVIDAD 1: TABLAS DE DATOS Completar la tabla siguiente que muestra la conversión de la velocidad medida en kilómetros por hora (x) a millas por hora (y).

Velocidad km/h 16,1 32,2 48,3 64,4 80,5 …

Velocidad millas/h 10 20 40 50 …

a) Representar gráficamente la relación entre ambas unidades de medida. b) Escribir la expresión algebraica que relaciona la velocidad en km/h y en millas/h. c) Indicar algunas características que se observen en la gráfica.



ACTIVIDAD 2: ANALIZAR UNA GRÁFICA PARA EXTRAER INFORMACIÓN DE ELLA Un grupo de amigos hace una excursión en bicicleta a un bosque que está a 44 km de su pueblo. Para llegar hay que seguir un itinerario con subidas y bajadas. Están allí un rato y se vuelven. Observar la gráfica y contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Qué significan los números del eje horizontal de la gráfica espacio – tiempo? ¿Y los del eje vertical? b) ¿A qué hora salieron? c) ¿Cuántos km hay, aproximadamente, desde el comienzo de la primera cuesta hasta la cima? ¿Cuánto

tiempo tardaron en subirla? d) ¿Cuántos km hay de bajada? ¿Qué tiempo se tarda? e) ¿Qué distancia hay desde la hondonada hasta el bosque? ¿Cuánto tardaron en recorrerla? f) ¿Cuánto tiempo estuvieron descansando en el bosque? g) ¿Cuánto tardaron en ir del pueblo al bosque? ¿Y del bosque al pueblo?¿A qué puede deberse la

diferencia?

50

40

30

20

10

0 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

ACTIVIDAD 3: GRÁFICAS A PARTIR DE DATOS Representar gráficamente en un sistema de dos ejes (uno horizontal y otro vertical) la relación entre el tiempo transcurrido y el coste de las llamadas telefónicas, teniendo en cuenta los siguientes datos

a) Primer minuto 0’40 euros b) Cada minuto o fracción siguiente 0’20 euros c) Encontrar una fórmula que relacione el coste, C, de una llamada con su duración, t.

ACTIVIDAD 4: GRÁFICAS A PARTIR DE FÓRMULAS Expresar y representar las siguientes relaciones:

a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado. b) El perímetro de un triángulo equilátero en función del lado. c) La longitud de una circunferencia en función del radio.

ACTIVIDAD 5: OTRAS GRÁFICAS La relación entre el área de un cuadrado y su lado viene dada por la fórmula A = l2 (Área = lado al cuadrado). Representar la gráfica del área de un cuadrado al variar la longitud del lado desde 5 cm hasta 12 cm, en dos ejes (la medida del lado en horizontal y el área en vertical).

cuesta

hondonada

bosque



Si se estudia la temperatura de una ciudad a lo largo de un día habrá una temperatura para cada hora; si se elabora una tabla con los países de la Comunidad Europea y su superficie en km2, habrá una cantidad para cada país.

FUNCIÓN: Se tiene una función cuando a cada elemento de un conjunto (ej.: horas) se le asocia

un único elemento de otro conjunto (ej.: temperaturas).

VARIABLE INDEPENDIENTE: Es cualquier elemento del primer conjunto y se representa por la letra x.

VARIABLE DEPENDIENTE: Es cualquier elemento del segundo conjunto y se representa por la letra y.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA O ECUACIÓN: En algunas funciones, realizando ciertas operaciones con cada valor de la variable

independiente se obtiene el correspondiente valor de la variable dependiente. En estos casos se dice que la función tiene una expresión algebraica o ecuación.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN: Las funciones se suelen representar gráficamente en un sistemas de ejes cartesianos, los pares se forman de la forma: (x,y), es decir, en el eje horizontal se representan los valores de la variable independiente, x, y en el eje vertical los de la variable dependiente, y. Este conjunto de puntos recibe el nombre de gráfica de la función.

Analizando la gráfica de una función podemos estudiar su dominio y recorrido, su continuidad, su crecimiento y decrecimiento, los valores máximos o mínimos que alcanza, si es o no periódica, simétrica...

ALGUNAS FUNCIONES INTERESANTES: función lineal: que se llama también función de proporcionalidad directa: es de

la forma y=ax. En estas funciones las variables x e y son directamente proporcionales. “a” se llama constante de proporcionalidad.

Función afín: es de la forma y=ax + b. En este caso “a” es la pendiente de la recta, “b” es la ordenada en el origen.

Función cuadrática: es de la forma y=ax2+bx+c.

Función de proporcionalidad inversa: es de la forma x

ay .

Función exponencial: Es de la forma y = ax, donde a es un número real positivo y distinto de 1. Un caso importante de esta función es y = ex.

Función logarítmica: Es una función de la forma y = logax, donde a es un número real positivo y distinto de 1.Casos importantes de estas funciones son: y = ln x (logaritmo neperiano) y la función y = log x (logaritmo decimal).

Funciones trigonométricas: Son aquellas funciones en las que en su expresión aparecen razones trigonométricas. Una de las características fundamentales de estas funciones es que son periódicas.



FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO

(FUNCIONES LINEALES Y AFINES). 1. Representar gráficamente, en el mismo sistema de ejes cartesianos, las funciones siguientes:

a) y = x; b) y = 2x; c) y = 3x; d) y = – x; e) y = x2

1 .

Observa qué efecto produce el cambio de coeficiente de x. 2. a) Representar gráficamente, en el mismo sistema de ejes cartesianos, las funciones siguientes:

y = x + 2; y = x – 3. b) Comparar ambas gráficas con la de la función y = x, y observar qué traslación se ha producido y a qué se debe.

Una función polinómica de primer grado tiene como representación gráfica una línea recta y se puede expresar, en general, de la forma y = ax + b, donde los coeficientes a y b son números reales. a representa la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen.

3. Calcular la ecuación de una recta que pasa por el punto (–2, 1) y forma un ángulo de 45o con el eje OX. 4. Escribe la ecuación de las siguientes rectas y asocia cada recta con su ecuación:

a) Su pendiente es 3

2m y pasa por el punto P(-1, 2)

b) Su pendiente es m = 5 y su ordenada en el origen es -4 c) Su pendiente es 2 y pasa por el punto P(-3,2)

5. Escribe la ecuación de la recta r en cada caso:

a) b) c) 6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (–3, 1) y (1, –3). Representarla gráficamente.



7. Dada la recta de ecuación –x+3y–21=0, calcular su pendiente, su ordenada en el origen y representar su gráfica en un sistema cartesiano. 8. Asocia cada recta con su ecuación: a) y – 2 = 0 b) 4x –5y = 0 c) 4x + 3y = 12

9. Halla la ecuación de las rectas r1, r2, r3 y r4.

10. Dada la recta de ecuación –x+2y+8=0, calcular su pendiente, su ordenada en el origen y representarla gráficamente. 11. Dada la recta de ecuación 2x–y–1=0, calcular su pendiente, su ordenada en el origen, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y representarla gráficamente. 12. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y forma con el eje X un ángulo de 45o. 13. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y forma con el eje X un ángulo de 30o. 14. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y forma con el eje X un ángulo de 120o. 15. Hallar la pendiente de la recta de ecuación 2x+3y–15=0, y encontrar dos puntos por los que pase su gráfica. 16. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, 1) y (2, 5). Averiguar en qué puntos corta a los ejes de coordenadas.



1.- Se considera la relación siguiente: a cada número se le asocia su cuadrado (y = x2). a) Completar la tabla de valores:

x - 4 - 3’25 - 2 - 1’75 - 0’8 - 0’3 0 0’3 0’8 1’75 2 3’25 4

x2

b) Representar los datos de la tabla en un sistema de ejes coordenados XY con origen en O. c) Trazar la línea que une los puntos obtenidos en el apartado anterior. d) Analizar las características de la gráfica obtenida (siempre está por encima del eje OX, excepto en x = 0, que vale 0; es simétrica respecto del eje OY; tiene un punto mínimo, que se llama vértice). 2.- Considerar la relación y= – x2. Hacer una tabla de valores y representarlos gráficamente. Dibujar la línea que pasa por lo puntos obtenidos. ¿Qué características se pueden observar?

3.- Representar las graficas correspondientes a las relaciones siguientes: y= 2x2; y= 2

1x2. Comparar ambas

gráficas con la del ejercicio 1 y explicar qué diferencias se observan. La gráfica de la función cuadrática y= x2, y de todas las que tienen sus mismas características, se denomina parábola. Si a una parábola se la hace girar alrededor de su eje, se obtiene un paraboloide, que es la forma que tienen muchas antenas de comunicación. Esta figura tiene una particularidad y es que todas las ondas que llegan a través del espacio, paralelas a su eje, al chocar con las paredes van a parar a un punto fijo que se llama foco. Esto hace que el foco sea un buen receptor del sonido.

4.- Representar las gráficas de las funciones cuadráticas siguientes: a) y= x2 + 1 b) y= x2 – 1 c) y= x2 + 3 d) y= x2 – 3

¿Cuál es el eje y el vértice de cada una de las parábolas anteriores? 5.- Representar las gráficas de las funciones cuadráticas:

a) y= (x + 1)2 b) y= (x – 1)2 c) y= (x + 3)2 d) y= (x – 3)2 ¿Cuál es el eje y el vértice de cada una de las parábolas anteriores? 6.- Representar las siguientes funciones cuadráticas:

a) y= –(x + 1)2 b) y= –x2 + 1 c) y= –(x + 3)2 d) y= – x2 – 3 ¿Cuál es el eje y el vértice de cada una de las parábolas anteriores? 7. Asociar a cada una de las gráficas una de las expresiones siguientes:



Vamos a estudiar las funciones exponenciales que son de la forma y = ax con a>0 para dos casos distintos: f(x) = ax con a>1.

Estudiamos y = 2x que es la más sencilla de todas. Para ello construyamos una tabla de valores y a

partir de ella su representación gráfica:

x y = 2x

-3 y= 2-3=8

1

2

13 =0’125

-2 y= 2-2= 25'04

1

2

12

-1 y = 2-1= 5'02

1

0 Y= 20 = 1

1 Y= 21 = 2

2 Y= 22 = 4

3 Y= 23 = 8

Realiza el mismo estudio para la función f(x) = 3x y represéntala:

x y = 3x

-3

-2

-1

0

1

2

3



De lo anterior se deduce que las gráficas de las funciones exponenciales que tienen la forma y= ax con a>1 tienen las siguientes características:

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Corta al eje y en el punto:

Monotonía: f(x) = ax con 0<a<1

Si consideramos la función y =

x

2

1, la tabla de valores y su representación gráfica son las que aparecen a

continuación:

x y =

x

2

1

-3 y= 822

1 3

3

-2 y= 422

1 2

2

-1 y = 22

11

0 Y= 12

10

1 Y= 2

1

2

11

2 Y= 4

1

2

12

3 Y= 8

1

2

13



Si consideramos la función y =

x

3

1, construye la tabla de valores y después represéntala:

Señala las propiedades correspondientes a la función y = ax cuando 0<a<1:

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Corta al eje y en el punto:

Monotonía:

x y =

x

3

1

-3

-2

-1

0

1

2

3



Logaritmo: Sea a un número real positivo y distinto de 1, el logaritmo en base a de x es el número al que hay que elevar a para obtener x.

xabxayaSi b

a log,1

Ejemplo: 8238log 3

2 porque

Propiedades de los logaritmos: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos:

yxyx aaa loglog·log .

El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de logaritmos(el logaritmo de

numerador menos el logaritmo del denominador): yxy

xaaa logloglog

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:

xnx a

n

a ·loglog

El logaritmo de una raíz se calcula tendiendo en cuenta que una raíz es una potencia

de exponente fraccionario: xn

x an

a log1

log

El logaritmo de 1 es cero en cualquier base: 01log aa

El logaritmo de la base es 1: 1log aa

Logaritmos decimales: Los logaritmos cuya base es 10 se denominan logaritmos decimales. Para indicar el logaritmo decimal de un número se escribe log, es decir, cuando no se especifica la base ésta es 10.

Logaritmos neperianos: Los primeros logaritmos que se inventaron fueron los llamados “logaritmos neperianos o logaritmos naturales”, que son los logaritmos cuya base es el número e. Para indicar el logaritmo neperiano de un número se utiliza la expresión ln o L.



1.- Representar gráficamente las funciones:

xx

xx xldxhcxgbxfa

3

1)()3)()

2

1)()2)()

2.- Determinar la base de la función exponencial xaxf )( sabiendo que su gráfica pasa por el punto:

5,

2

1)8,3)4,1)81,4) dcba

3.- Resolver las siguientes ecuaciones:

18)10010)8

12)1255) 23301112 2222

xxxxxxx dcba

4.- Resolver, sabiendo que 1,0 aa , las ecuaciones:

74122))))

2

aaaadaacaabaaa xxxxxxxxxx


156455)5212)

522)12133333)

31555)435

73

13

53·2)

0·2)017·87)

0100010·110100)0164·104)

042·54)022·32)

11

114321

211

112132

2

2

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

lk

ji

hg

eeefe

dc

ba

6.- Representar gráficamente las funciones: xxgbxxfa3

13 log)()log)() .

7.- Determinar la base de la función logarítmica xxf alog)( sabiendo que su gráfica pasa por el punto:

2,)4

1,256)

2

1,256)16,256) 2

edcba

8.- Aplicando la definición de logaritmo, resolver:

225log)3

1log)16lg)162) 84 a

x dxcxba



9.- Calcular x sabiendo que:

dcbaxd

dcbaxc

cbaxb

cbaxa

loglog22

1log3log2log)

log2log3

1log3log

2

1log)

ln2ln3ln4ln)

loglogloglog)

33333

10.- Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

3125log2log95)416log5log74)9

32log3log

3log2

2log5)25log232log

2

16log)

02log34log)25log

11log2log)

222log

2log2log)113log392log)

216loglog2)3log22loglog)

3log4log5log)11log1log)

22

22

22

xxlxxk

xxjxxi

xxhx

xg

x

xfxxxe

xxdxxc

xxbxxa

11.- Desarrollar todo lo posible, aplicando las propiedades de los logaritmos, las siguientes expresiones:

3 4

42

7

5

85

3

·

2log)

25'5

10·25'1log)

3·2

5·100log)

yx

xcba

12.- Sabiendo que log 2 = 0’301030, calcular:

6

4

32'0log)2500log)25'0log)

2'0log)002'0log)2048log)

fed

cba


2222)5354·52)

55425)110·1710)

033·283)022·34)

2231252

122

12

xxxx

xxxx

xxxx

fe

dc

ba

Y una bobería: ¿Qué relación tienen los logaritmos de base 4 con los logaritmos en base 2?



AUTOEVALUACIÓN FINAL 1. Simplificar las operaciones que se indican:

a)

2

4

21

; b)

46

33224

5·3

27·5·)15·18(

; c) 323

8502183 ;

0003'0·75000000

000000005'0·15000)d

2. Encontrar el seno y el coseno de un ángulo agudo α cuya tangente mide 3

5.

3. Una cometa está unida al suelo por un hilo de 120m que forma con la horizontal un ángulo de 30º. Suponiendo que el hilo está tirante, calcular la altura a la que se encuentra la cometa. 4. a) Dado el polinomio P(x)=(x–1)(x–2)(2x+1) obtener su expresión algebraica reducida; hallar sus ceros o

raíces y calcular P(–3) y P(0). b) Factorizar el polinomio 15162)( 23 xxxxP .

5. Operar y simplificar el resultado: a)1

2

12

32

2

x

x

xx

x;

1

5:

1)

2

2

x

x

x

xxb

6. Operar y simplificar el resultado:

x

x

xx

x

44

3·

1

124

7. Resolver las ecuaciones: a) 42 3148 xx b) xx 242 8. La superficie de un rectángulo mide 360 cm2, aumentando su base en 4 cm y disminuyendo su altura en 3 cm, se obtiene un rectángulo de igual área que el primero. Halla las dimensiones de los dos rectángulos.

9. Resolver la ecuación 173 xx

10. Resolver 1

6)2(3132

xx

x

xx

x

11. En una chocolatería hay 900 bombones envasados en cajas de 6 y 12 unidades. ¿Cuántas cajas hay de cada clase si en total tienen 125 cajas?

12. Resolver el sistema:

0

8322 yx

yx

13. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (2, –1). Indicar su pendiente, su ordenada en el origen, el punto en que corta al eje X y representarla gráficamente. 14. Dada la recta de ecuación 6x+3y–9=0, representarla gráficamente y calcular su pendiente, su ordenada en el origen y los puntos en que corta a los ejes de coordenadas. 15. Representar la gráfica de la función y=–x2+2. Encontrar los puntos en que corta a los ejes de coordenadas.

16. Representar la gráfica de la función 432 xxy , indicando su dominio, su recorrido, los puntos de

corte con los ejes de coordenadas, su eje de simetría y su vértice.

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