4. Numerische Lösung partieller DifferentialgleichungenEinige Warnungen vorweg!!! Numerische Lösungsverfahren liefern keine Formel

(bzw. Lösungsgleichung), sondern nur Näherungen für die Funktionswerte im betrachteten Gebiet!

Numerische Verfahren liefern (fast) immer eine „Lösung“, die jedoch beliebig falsch sein kann! Gründe: Rundungsfehler ( „Maschinenproblem“), Fehlerhafte

Näherung exakter mathematischer Ausdrücke ( „Methodenproblem“), Abbildungsproblem Realität Modell (Geometrie, besonders Ränder, Diskretisierung Realität ist kontinuierlich!)

Der Aufwand für die Bestimmung einer numerischen Lösung steigt (in nur seltenen Fällen linear) mit der Komplexität des Problems bzw. des Modells! Rechnungen werden praktisch undurchführbar!

4. Numerische Lösung partieller DifferentialgleichungenNumerische Konzepte Direkte Verfahren: Direkte Verwendung der PDE zur

Lösung des Problems; Ersetzen kontinuierlicher Ausdrücke durch diskrete Näherungen, z.B. Finite-Differenzen-Verfahren

Projektionsverfahren: Umformulierung des Problems bzw. der PDE, um zu einer einfacheren Beschreibung zu kommen, z.B. Finite-Elemente-Verfahren

4. Numerische Lösung partieller DifferentialgleichungenPrinzip der Finite-Differenzen-Methode (FDM) Definitionsmenge des Problems wird mit einem (1D-, 2D,

3D-, …) kartesischen Gitter überzogen. Die partiellen Ableitungen der PDE werden durch

Differenzenquotienten in den entsprechenden Richtungen ersetzt.

Aus der PDE wird ein (endlichdimensionales) Gleichungssystem, das die Funktionswerte der Lösung an den Gitterpunkten als unbekannte Variablen enthält!

Einbau von Rand- und Anfangsbedingungen Lösung des Gleichungssystems

4. Numerische Lösung partieller DifferentialgleichungenPrinzip der Finite-Differenzen-Methode (FDM)

Achtung! Es entstehen sehr schnell sehr große

Gleichungssysteme! Die Dimension des Problems geht als Potenz in die

Anzahl der Unbekannten ein! Bsp: 1D-Gitter mit 10 Gitterpunkten; Erweiterung auf 3D bei

gleicher „Auflösung“: 1000 Gitterpunkte!

Aber, das Gleichungssystem ist dünn besetzt, d.h. viele Einträge in der Koeffizientenmatrix sind Null! Grund: Für die Näherung der Ableitungen gehen nur

benachbarte Punkte ein!

4. Numerische Lösung partieller DifferentialgleichungenPrinzip der Finite-Elemente-Methode (FEM) Definitionsmenge des Problems wird in kleine, durch

Strecken berandete Gebiete (die sog. „finiten Elemente“) aufgeteilt („Pflasterung“ oder „Triangulierung“) Z.B. Geraden (1D), Dreiecke (2D), Tetraeder (3D)

In jedem Element werden einfache Funktionen (Polynome) mit unbekannten Koeffizienten definiert.

Die unbekannten Koeffizienten werden mit Hilfe einer Variationsformulierung für die PDE plus Anfangs- und Randbedingungen bestimmt führt auf ein algebraisches Gleichungssystem wie im Fall von

FDM!

Die Lösung ist die stückweise Aneinandersetzung der Elementfunktionen ( vgl. Spline-Interpolation)

4.1 Die Finite-Elemente-Methode

4. FEM – Finite Element Method4.1. FEM Software Heute werden recht komplexen Rechenabläufe von FE

Paketen weitestgehend automatisch durchgeführt. Dem Benutzer bleibt aber immer die wichtige Aufgabe,

die zu berechnende Struktur in ein sinnvolles FE-Modell umzusetzen und die Rechenergebnisse graphisch oder numerisch zu dokumentieren und vor allem zu interpretieren.

Wie diese Umsetzung im Einzelnen vor sich geht, wird im Praktikum an praktischen Beispielen erlernt.

4. FEM – Finite Element MethodMan unterscheidet immer zwischen Pre-processor: Dient der Transformation einer realen

Konstruktion in ein Berechnungsmodell. Dazu gehören Modellerstellung, Geometriedefinition, Stoffgesetzwahl, Definition der Rand- und Zwangsbedingungen, Vernetzung etc.. Endprodukt ist eine vollständige Modelldatenbank.

Solver: Der Löser überführt die Modelldatenbank durch die Lösung des Gleichungssystems in eine Ergebnisdatenbank. Es erfolgt die Berechnung der relevanten physikalischen Größen wie Temperaturverteilung, Druckverteilung, etc. bei vorgegebenen Rand- und Anfangsbedingungen. Endprodukt ist eine vollständige Ergebnisdatenbank.

Post-processor: Dient der Visualisierung und Aufarbeitung der Ergebnisdatenbank zur Beurteilung der Ergebnisse.

4. FEM – Finite Element Method Diese Schritte und Programme können innerhalb eines Paketes

angeboten werden, es gibt jedoch auch allein stehende Pre- und Post-processoren (Beispiel: Hypermesh(Altair), Medina(ex Debis, jetzt T-Systems), Patran(MSC Software Corporation) ..), sowie reine Löser.

Einige gängige FE-Pakete sind: ABAQUS (seit 2005 Dassault Systemes wie CATIA), ADINA (ADINA R&D, Inc., steckt hinter NASTRAN), ANSYS (ANSYS Inc.), ASKA, B2000 (DLR Forschungscode), COMSOL (COMSOL AB, Schweden), COSAR (FEMCOS Forschungscode), COSMOS (SolidWorks Corporation wie AutoCAD), DIANA (TNO DIANA), Fluent (früher Fluent Inc., jetzt ANSYS Inc.), I-DEAS, ISAFEM/3D (Dr. Krause GmbH), LUSAS (Finite Element Analysis Ltd.), LS-Dyna (Livermore Software Technology Corp.), MARC (Marc Analysis Research Corporation), MEANS, MECHANICA, NASTRAN (MSC Software Corportation), NISA, PamCrash (ESI Group, Fr.), PERMAS (Intes GmbH), PSU (ISD Forschungscode).

4. FEM – Finite Element MethodWarnung! Die FEM liefert immer nur eine numerische Näherungslösung, und

die Interpretation der Ergebnisse ist nicht trivial. Fehler bei der Modellierung führen fast immer zu Ergebnissen, die erst als falsch erkannt werden müssen!

Modelle hängen von Vorbildern, Erfahrungen, Analogien, der Kreativität und Intuition (manchmal auch vom Glück) des Modellierers ab und sind je nach Zweck besser oder schlechter. Die Modellbildung kann also kein eindeutiges Ergebnis liefern!

Es ist besser, mit einem einfachen Modell anzufangen und signifikante Effekte hinzuzunehmen, als mit einem komplexen Modell anzufangen und so lange daran zu modifizieren, bis alle mathematischen Schwierigkeiten entfernt sind.

Modellierung ist immer ein iterativer Prozess, es sei denn, das Ziel besteht darin, aussagelose ‘bunte Bildchen’ zu produzieren!

4. FEM – Finite Element MethodFEM Modellierungsprozess

4. FEM – Finite Element Method

4. FEM – Finite Element Method

4. FEM – Finite Element MethodGolombs Merksätze zur Verwendung mathematischer Modelle:1. Machen Sie sich keine Sorgen wegen der Erscheinungen im 33. Stadium

einer ersten Modellrechnung. (Merksatz: Cum grano salis.)2. Extrapolieren Sie nicht über den Bereich hinaus, für den das Modell

gerade noch passt. (Merksatz: Springe nicht ins Nichtschwimmerbecken.)3. Wenden Sie keine Modellrechnung an, solange Sie nicht die

Vereinfachungen, auf denen sie beruht, geprüft und ihre Anwendbarkeit festgestellt haben. (Merksatz: Unbedingt Gebrauchsanleitung beachten.)

4. Verwechseln Sie nie das Modell mit der Realität. (Merksatz: Versuch nicht, die Speisekarte zu essen.)

5. Verzerren Sie nicht die Realität, damit sie zu Ihrem Modell passt. (Merksatz: Wende nie die Prokrustesmethode an.)

6. Beschränken Sie sich nicht auf ein einziges Modell. Um verschiedene Aspekte eines Phänomens zu beleuchten, ist es oft nützlich, verschiedene Modelle zu haben. (Merksatz: Polygamie muss legalisiert werden.)

4. FEM – Finite Element Method

7. Halten Sie niemals an einem überholten Modell fest. (Merksatz: Es hat keinen Sinn, toten Pferden die Peitsche zu geben.)

8. Verlieben Sie sich nicht in Ihre Modelle. (Merksatz: Pygmalion.)9. Wenden Sie nicht die Begriffe des Gegenstands A auf den

Gegenstand B an, wenn es beiden nichts nutzt. (Merksatz: Neuer Wein in alten Schläuchen.)

10. Unterliegen Sie nicht dem Irrglauben, Sie hätten den Dämon vernichtet, wenn Sie einen Begriff dafür haben. (Merksatz: Rumpelstilzchen.)

Aus: S.W. Golomb: Mathematical Models - Uses and Limitations, in Simulation 4, (14/1970), S. 197-198.