49763201 Zbirka Za Prijemni Ispit Iz Matematike

7/22/2019 49763201 Zbirka Za Prijemni Ispit Iz Matematike

1/324

Z IRKza prijemni ispit na Vojnoj akademiji

ZADATAKA IZ MATEMATIKE

\URI[I] DU[AN BRKI] NADA


2/324

MINISTARSTVO ODBRANE

UPRAVA ZA [KOLSTVO

SEKTOR ZA QUDSKE RESURSE

VOJNA AKADEMIJA


3/324

JEZI^KI REDAKTOR

Gordana Bawac, profesor

TEHNI^KI UREDNIK

@eqko Hr~ek, potpukovnik

AUTORI

Du{an \uri{i}, profesor

Nada Brki}, profesor

RECENZENTI

van. prof. dr Nikola Toma{evi}

mr Ne|eqko Jankovi}

UREDNIK

mr Slavi{a Savi}, pukovnik, dipl.in`.


4/324

Beograd, 2005.

DU[AN \URI[I] NADA BRKI]

IZ MATEMATIKEZA PRIJEMNI ISPIT NA

VOJNOJ AKADEMIJI

ZBIRKA ZADATAKA


5/324


6/324

5

SADR@AJ

Predgovor.......................................................................................................11

Gr~ki alfabet...............................................................................................12Prvi deo

Teorijski podsetnik iz elementarne matematike

1. Logika i skupovi. Relacije i funkcije................................................151.1. Iskazi i logi~ke operacije ............................................................15

1.2. Skupovi................................................................................................161.3. Relacije ...............................................................................................171.4. Funkcije .............................................................................................18

2. Skupovi brojeva. Proporcionalnost ................................................. 21 2.1. Realni brojevi ....................................................................................21 2.2. Kompleksni brojevi ..........................................................................25 2.3. Proporcionalnost ............................................................................273. Polinomi. Racionalni algebarski izrazi ........................................ 29 3.1. Polinomi.............................................................................................29

3.2. Racionalni algebarski izrazi....................................................... 324. Linearne jedna~ine i sistemi linearnih jedna~ina. Linearne nejedna~ine ................................................................................................33 4.1. Linearna jedna~ina ......................................................................... 33 4.2. Sistemi linearnih jedna~ina .........................................................33 4.3. Linearne nejedna~ine .......................................................................355. Kvadratne jedna~ine i nejedna~ine ......................................................36 5.1. Kvadratne jedna~ine..........................................................................36 5.2. Kvadratne nejedna~ine .....................................................................386. Linearna i kvadratna funkcija.............................................................40

6.1. Linearna funkcija ............................................................................40 6.2. Kvadratna funkcija........................................................................... 417. Eksponencijalna funkcija. Eksponencijalne jedna~ine i nejedna~ine..............................................................................................45 7.1. Eksponencijalna funkcija ..............................................................45 7.2. Eksponencijalne jedna~ine.............................................................. 45 7.3. Eksponencijalne nejedna~ine .........................................................468. Logaritam. Logaritamska funkcija. Logaritamske jedna~ine i nejedna~ine..............................................................................................46


7/324

6

8.1. Logaritam ............................................................................................46 8.2. Logaritamska funkcija ....................................................................48 8.3. Logaritamske jedna~ine ...................................................................48

8.4. Logaritamske nejedna~ine ...............................................................499. Osnovni pojmovi u trigonometriji i osnovni trigonometrijski identiteti ..................................................................................................50 9.1. Ugao.......................................................................................................50 9.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla .............................................52 9.3. Trigonometrijske funkcije o{trog ugla.....................................54

9.4. Definicija trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla..559.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla na funkcije o{trog ugla ..................................................................579.6. Osnovni trigonometrijski identiteti ........................................59

9.7. Adicione formule ............................................................................599.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod ............................................................................................619.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ....................................................................................................619.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija......................619.11. Inverzne trigonometrijske funkcije ........................................64

10. Trigonometrijske jedna~ine i nejedna~ine ......................................68 10.1. Osnovne trigonometrijske jedna~ine..........................................68

10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine .....................................6911. Primena trigonometrije u planimetriji i stereometriji...........77 11.1. Povr{ina trougla ...........................................................................77 11.2. Sinusna i kosinusna teorema ........................................................77 11.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja .............................77 11.4. Primena trigonometrije u stereometriji .................................7912. Vektori. Podudarnost. Homotetija i sli~nost ...............................80 12.1.Vektori ...............................................................................................80 12.2. Podudarnost ......................................................................................81 12.3. Homotetija i sli~nost....................................................................8413. Geometrija trougla, ~etvorougla i mnogougla. Krug......................85 13.1. Trougao...............................................................................................85 13.2. ^etvorougao ......................................................................................88 13.3. Mnogougao..........................................................................................90 13.4. Krug.....................................................................................................9114. Poliedri...................................................................................................94 14.1. Prizma................................................................................................94 14.2. Piramida ...........................................................................................95 14.3. Zarubqena piramida .......................................................................97


8/324

7

15. Obrtna tela..............................................................................................98 15.1. Vaqak..................................................................................................98 15.2. Kupa..................................................................................................... 99

15.3. Zarubqena kupa ..............................................................................101 15.4. Sfera i lopta .................................................................................10216. Analiti~ka geometrija u ravni.........................................................104 16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela du`i u datom odnosu ........104 Povr{ina trougla .........................................................................104 16.2. Prava u ravni..................................................................................104 16.3. Kru`nica (kru`na linija, krug) ................................................106 16.4. Elipsa...............................................................................................107 16.5. Hiperbola........................................................................................109 16.6. Parabola..........................................................................................111

17. Binomni obrazac. Elementi kombinatorike .................................113 17.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac .............................113 17.2. Elementi kombinatorike ............................................................11418. Realni nizovi. Aritmeti~ka i geometrijska progresija.............117 18.1. Realni nizovi .................................................................................117 18.2. Aritmeti~ka progresija ..............................................................118 18.3. Geometrijska progresija............................................................... 11919. Grani~na vrednost i neprekidnost funkcije.................................12120. Izvod funkcije i wegova primena ....................................................123

20.1. Izvod i pravila diferencirawa ...............................................123 20.2. Tabli~ni izvodi.............................................................................125 20.3. Primena izvoda ..............................................................................126

Drugi deoRe{eni zadaci sa prijemnih ispita iz matematike

1. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1311. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 132

2. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1372. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1383. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1453. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1464. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1534. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1545. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1615. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1626. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................168


9/324

8

6. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................1697. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1787. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................179

8. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1858. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................1869. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1929. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................19310. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ........................................................20310. grupa 2000. god. (re{ewa) .................................................................... 2041. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2101. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2112. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2182. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................219

3. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2253. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2264. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2334. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2345. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2435. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................244

Tre}i deoZadaci sa prijemnih ispita iz matematike

(sa kona~nim re{ewima i uputstvima)

1. grupa 1997. god. ........................................................................................2532. grupa 1997. god. ........................................................................................2553. grupa 1997. god. ........................................................................................2574. grupa 1997. god. ........................................................................................2595. grupa1997. god. ........................................................................................2616. grupa 1997. god..........................................................................................2637. grupa 1997. god. ........................................................................................265

1. grupa 1998. god..........................................................................................2672. grupa 1988. god..........................................................................................2693. grupa 1998. god..........................................................................................2714. grupa 1998. god..........................................................................................2731. grupa 1999. god..........................................................................................2752. grupa 1999. god..........................................................................................2773. grupa 1999. god..........................................................................................2794. grupa 1999. god..........................................................................................2811. grupa 2002. god..........................................................................................283


10/324

9

2. grupa 2002. god..........................................................................................2853. grupa 2002. god..........................................................................................2874. grupa 2002. god..........................................................................................289

5. grupa 2002. god..........................................................................................2916. grupa 2002. god..........................................................................................2937. grupa 2002. god .........................................................................................2958. grupa 2002. god..........................................................................................2979. grupa 2002. god .........................................................................................29910. grupa 2002. god........................................................................................3011. grupa 2003. god .........................................................................................3032. grupa 2003. god..........................................................................................3053. grupa 2003. god..........................................................................................3074. grupa 2003. god..........................................................................................309

5. grupa 2003. god..........................................................................................3116. grupa 2003. god..........................................................................................3137. grupa 2003. god..........................................................................................3158. grupa 2003. god..........................................................................................3179. grupa 2003. god .........................................................................................31910. grupa 2003. god .......................................................................................321

Literatura. ..................................................................................................323


11/324


12/324

11

PREDGOVOR

Osnovna namena ove zbirke je da se kandidati za Vojnu akademiju{to uspe{nije pripreme za prijemni ispit iz matematike.

Zbirka se sastoji iz tri dela. U prvom delu dat je teorijskipodsetnik iz elementarne matematike. Tu se moè na}i pregledosnovnih pojmova, stavova i formula, ~ije je poznavawe neophodno priizradi zadataka na prijemnom ispitu. Istovremeno, sadràj ovog

podsetnika ukazuje i na to kojim matemati~kim oblastima je pridatve}i zna~aj. U drugom delu nalazi se 150 kompletno re{enih zadataka,koji su raspore|eni u 15 grupa. Tre}i deo ~ine zadaci za koje su datakona~na re{ewa ili uputstva za wihovo re{avawe. Zadaci u drugom itre}em delu su sa prijemnih ispita za Vojnu akademiju koji su odràniu periodu od 1997. do 2003. godine. Zbirka obiluje velikim brojemslika, koje ilustruju odre|ene pojmove, postupke u re{avawu zadatakaili kona~na re{ewa.

Ovom prilikom se posebno zahvaqujemo recenzentima dr Ni-koli Toma{evi}u i mr Ne|eqku Jankovi}u, koji su detaqno pregledalitekst zbirke, ukazali na izvesne propuste i dali niz korisnih saveta.

Autori


13/324


14/324

Prvi deo

TEORIJSKI PODSETNIKIZELEMENTARNE MATEMATIKE


15/324


16/324

15

1. LOGIKA I SKUPOVI. RELACIJE I FUNKCIJE

1.1. Iskazi i logi~ke operacije

Iskazi su re~enice koje su ili ta~ne ili neta~ne.Ozna~avamo ih iskaznim slovima p,q,r ,... . Ako je iskaz p ta~an,

onda je wegova istinitosna vrednost ("te") i pi{emo ( ) ;p =istinitosna vrednost neta~nog iskaza q je ('' '') i pi{emo

( )q = .

Osnovne logi~ke operacije su: negacija ( ne), konjunkcija( i), disjunkcija( ili), implikacija( povla~i, implicira,ako...onda) i ekvivalencija ( ekvivalentno, ako i samo ako).Definicije logi~kih operacija date su slede}im istinitosnimtablicama:

p p

p q p q

p q p q

p q p q

p q p q

.

Polaze}i od iskaznih slova i primewuju}i kona~an broj putalogi~ke operacije, dobijaju se iskazne formule.

Tautologijaje iskazna formula koja je ta~na za sve vrednostiiskaznih slova koja u woj u~estvuju.

Simboli i zovu se univerzalni i egzistencijalni kvan-tifikator (kvantor). Zapis

( ) ( )x x


17/324

16

~itamo "za svaki xvaì ( )x ", a

( ) ( )x x

kao "postoji xza koji vaì ( )x ".

1.2. Skupovi

Skupove naj~e{}e ozna~avamo velikim slovima

, , ,..., , , ,... .A B C X Y Z Uobi~ajeni su slede}i zapisi u vezi sa skupovi-

ma:

x X element xpripada skupu ,X

x X element xne pripada skupu ,X

( ){ }X x x= Xje skup svih elemenata x za koje vaì ( ) ,x

prazan skup, tj. skup koji nema elemenata.

Dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente. Skup A je

podskup skupa B , u oznaci ,A B ako je svaki element skupa A

istovremeno i element skupa B . Vaì

.A B A B B A=

Za skupove A i B defini{u se unija ,A B presekA B irazlika \A B na slede}i na~in:

{ }

{ }

{ }

,

,

\ .

A B x x A x B

A B x x A x B

A B x x A x B

=

=

=

Ako je ,A B = onda za skupove A i B kaèmo da su disjunktni.

Partitivni skup skupa X je skup svih wegovih podskupova.

Ozna~ava se sa ( ).XP Ako se razmatraju samo podskupovi odre|enog

skupa X ,onda se X ~esto zove univerzalni skup. U tom slu~aju se za

skup ( )A XP defini{e wegov komplementsa

\ .c

A A X A= =


18/324

17

U op{tem slu~aju, skupove obi~no predstavqamo takozvanimVenovim dijagramima (sl. 1).

Ure|eni par ( ),a b dobijamo ako elemente dvo~lanog skupa

{ ,a b pore|amo u niz i pri tome preciziramo da je a prvi, a bdrugi element tog niza. Sli~no se formiraju ure|ene trojke,~etvorke ili, uop{te, n -torke.

Dekartov proizvodskupova A i ,B u oznaci ,A B defini{e

se sa:

( ){ }, .A B a b a A b B = Uop{te, Dekartov proizvod skupova

1 2, , ..., nA A A dat je sa

( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., ... .n n n nA A A a a a a A a A a A = 1.3. Relacije

Relacija sa jednog skupa u neki drugi skup je svaki podskup

Dekartovog proizvoda tih skupova. Dakle, je relacija sa skupa A

u skup B ako je .A B Ako je2,A A A = onda kaèmo da je

(binarna) relacija na .A Umesto ( ),a b pi{emo a b i

kaèmo da je element a u relaciji sa elementom .b

Neka je 2A . Tada za kaèmo da je:

( )R refleksivnaako ( )( ),a A a a

( )S simetri~naako ( )( ), ,a b A a b b a

( )A antisimetri~naako ( )( ), ,a b A a b b a a b =

( )T tranzitivnaako ( )( ), , .a b c A a b b c a c

X

cAA B

B

\A B

BB

A B

Sl.1


19/324

18

Za relaciju ka`emo da je relacija ekvivalencije ako jerefleksivna, simetri~na i tranzitivna (skra}eno: RST ). Ako je

relacija ekvivalencije na skupu A , onda se skup

{ }aC x A a x = zove klasa ekvivalencije elementa .a Svake dve klase ekvivalencijesu ili disjunktne ili se poklapaju. Skup svih klasa ekvivalencije

odre|enih nekom relacijom na skupu A zove se koli~ni~ki skupi

ozna~ava sa / .A

Relacija koja je refleksivna, antisimetri~na i tranzitivnazove se relacija poretka(skra}eno: RAST ).

1.4. Funkcije

Funkcija (preslikavawe) f sa skupa A u skup B , u oznaci

: ,f A B je takva relacija f A B kod koje je svaki element

skupa A u relaciji sa ta~no jednim elementom skupa B . Dakle,funkcija :f A B je okarakterisana slede}im svojstvima:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

, ,

, , , .

x A y B x y f

x A y z B x y f x z f y z

=

Skup A se zove domen (oblast definisanosti) funkcije f i ~esto

ga ozna~avamo sa fD . Skup B je kodomen funkcije f . Ako

( ),x y f , onda pi{emo ( )y f x= i x nazivamo originalom, a ywegovom slikom pri preslikavawu f .

Preslikavawe :f A B mo`emo smatrati ure|enom trojkom

( ), ,f A B pri ~emu je f pravilo tog preslikavawa koje se obi~nozadaje analti~ki (formulom), tabli~no ili grafi~ki.

Funkcije :f A B i :g C D su jednake ako imaju iste

domene, iste kodomene i isto pravilo preslikavawa,tj.

( ) ( ) ( ).f g A C B D x f x g x= = = =


20/324

19

Preslikavawe :f A B je 1 1 (injekcija) ako razli~itim

originalima odgovaraju razli~ite slike, tj.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 ,

, .

f x x A x x f x f x

x x A f x f x x x

= =

Preslikavawe :f A B jena (surjekcija) ako svaki element

kodomena ima svoj original , tj.

( ) ( ) ( )( ) .f y B x A y f x =

Funkcija je bijekcijaako je i 1 1 i na.

Skup vrednosti funkcije :f A B je skup

( ){ } ( ).fR f x x A f A= =Identi~no preslikavawe skupa A je funkcija :Ai A A za

koju je

( ) ( ) .Ax A i x x =

Kompozicija (slo`ena funkcija) funkcija :f A B i

:g B C je funkcija h , u oznaci h g f= , takva da je

( ) ( )( ) ( )( )( ).x A g f x g f x =Inverzna funkcija funkcije :f A B je funkcija

1:f B A

(ako postoji) za koju je

1 Af f i

= i1

.Bf f i

=

Funkcija ima inverznu ako i samo ako je bijekcija..

Graf (grafik )funkcije :f A B je skup

( )( ){ }, .fG x f x x A=

Ako su A i B podskupovi skupa realnih brojeva R , onda za

funkciju :f A B ka`emo da je realna funkcija realne

promenqive. Za wu se defini{u pojmovi nadgrafa( fG ) i podgrafa

( fG ) (sl. 2):


21/324

20

( ) ( ){ }

( ) ( ){ }

2

2

, ,

, .

f

f

G x y R y f x

G x y R y f x

= >

=

= =

, tada jedna~ina ima dva re{ewa, i pozitivno

re{ewe ozna~avamo sa n a . Drugo re{ewe je n a . Prema tome, u

ovom slu~aju va`i

xy =

0

0

1

1 y sgn x =


25/324

24

n nx a x a .= =

Za korenovawe vaè slede}e osobine:

( )

( )2 2 2

: :n n n n n n

m npn nm m mpnn m nm

n n

a b a b , a b a b ,

a a , a a , a a ,

x x , x x x R ,

= =

= = =

= =

( )0;a,b m,n, p N > .Stepenovawe racionalnim izloìocem uvodi se sa:

( )0m

n mna a n N , m Z , a= > .

Osnovne osobine stepenovawa su:

( )

( )

yx y x y x xy

x xx x x

x

a a a , a a ,

a aa b a b ,

b b

+ = =

= =

( )0;a,b x, y R>

Pribliàn broj (pribli`na vrednost) nekog ta~nog broja jebroj koji se od wega "neznatno" (malo, zanemarqivo) razlikuje. Ako

je *x pribli`na vrednost broja x, onda kaèmo da je x

aproksimiran brojem *x . Broj

( )* *x x x = naziva se apsolutna gre{kabroja

*x . Bilo koji nenegativan broj *

xA

koji nije mawi od apsolutne gre{ke broja *x , tj. za koji je


26/324


27/324

26

( )0 1i ,= imaginarna jedinica,

a Re z= realni deo kompleksnog broja z ,

b Im z= imaginarni deo kompleksnog broja z ,

bi ~isto imaginaran broj (za 0b ).

Sl. 5

Po{to su kompleksni brojevi definisani kao ure|eni paro-vi, to je jednakost kompleksnih brojeva data sa:

1 2 1 2 1 2z z Re z Re z Im z Im z= = = .

Za operacije nad kompleksnim brojevima1

z a bi= + i

2z c di= + va`i:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1

2 2 2 2

2

0 0

z z a c b d i,

z z a c b d i,

z z a bi c di ac bd ad bc i,

z a bi a bi c di ac bd bc ad i , c,d ,

z c di c di c di c d c d

+ = + + +

= +

= + + = + +

+ + + = = = +

+ + + +

Celobrojni stepeni imaginarne jedinice odre|eni su sa:

( )4 4 1 4 2 4 31 1k k k k i , i i, i , i i k Z .+ + += = = =

Za konjugovawe i moduo kompleksnih brojeva1

z i2

z va`i:

Kompleksne brojeve pred-stavqamo u kompleksnoj (Gausovoj)ravni (sl. 5).Konjugovano kompleksni brojbroja

z a bi= + je broj .z a bi= Moduo kompleksnog broja

z a bi= + je2 2

.z a b = = +

z a bi= +

z a bi=

z

z

a

b

b

0


28/324

27

( ) ( ) ( )

( )

1 2 1 2 1 2 1 2

21 12

2 2

111 2 1 2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

0 ;

0

nn

z z z z , z z z z

z z , z , z z , z z zz z

zzz z , z z z z , , z ,

z z

z z z z z z .

= =

= = =

= = =

+ +

2.3. Proporcionalnost

Koli~nik realnih brojeva a i ( )0b b , tj. broj

: aa b ,

b=

zove se razmerabrojeva a i b .

Jednakost dveju razmera, tj. jednakost oblika

: :a b c d = ,zove se proporcija. Proporcija : :a b c d = ( )0a,b,c,d je ekviva-lentna svakoj od slede}ih jednakosti:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

1

2 : :

3 : :

4 : : 0

5 : :

a d b c,

a c b d ,

b a d c,

ak bk c d k ,

ak b ck d .

=

=

=

=

=

Za brojeve1 2 1 2

0n n

a ,a ,...,a ,b ,b ,...,b defini{e se pro{irena

proporcija:

1 1 2 2: : :

n na b a b a b= = = .

Zapisujemo je i u obliku


29/324


30/324

29

(a) (b)

(v) (g)

3. POLINOMI I RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

3.1. Polinomi

Polinom (polinomna funkcija) stepena n je svaka funkcija

:nP R R takva da je

( )

( )

1

1 1 0

0 1 1 0 ; 0

n n

n n n

n n n

P x a x a x a x a ,

n N , a ,a ,...,a ,a R a .

= + + + +

Pri tome su:

1 1 0n n

a ,a ,...,a ,a

koeficijenti polinoma,

n

a najstariji (vode}i) koeficijent,

Sl. 6

0 x

ayx

= ( )0a >

0 x

ayx

=

( )0a

Pri re{avawu nejedna~ina koristimo se osnovnim svojstvima

relacija , , < i .> Tako, na primer, za relacije i vaì:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

a a,

a b b a a b,

a b b c a c,

a b a c b c,

a b c ac bc,

a b c ac bc,

ab a b a b ,

ab a b a b ,

aa b a b ,

b

a a b a b , a,b,c R .b

=

+ +

>

<

>

5. KVADRATNE JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE

5.1. Kvadratne jedna~ine

Osnovni oblik kvadratne jedna~ine po nepoznatoj xje

( )2 0 0ax bx c , a,b,c R, a .+ + =

Re{ewa jedna~ine dobijamo po formuli

2

1 2

4

2,

b b acx

a

=


38/324


39/324

38

Trinomna jedna~inaje jedna~ina oblika

( )2 0 0n nax bx c , a,b,c R, a , n N ,+ + =

i ona se smenom nt x= svodi na kvadratnu jedna~inu2

0at bt c .+ + =Za 2n= trinomna jedna~ina postaje bikvadratna jedna~ina

4 20ax bx c .+ + =

5.2. Kvadratne nejedna~ine

Osnovni oblici kvadratnih nejedna~ina su:

2

2

2

2

0

0

0

0

ax bx c ,

ax bx c ,

ax bx c ,

ax bx c .

+ +

+ + >

+ +

+ + >

+ + < < i 0D> i ako su1

x i ( )2 1 2x x x< realni i

razli~iti koreni kvadratnog trinoma 2ax bx c+ + , tada va`i:

( )( )

( )

( ) ( )

( )

2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 1

1 2

0 0

( 0 0) 0 0

ax bx c a x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x , x x , .

+ +

+

Sli~no se re{avaju i ostali slu~ajevi kvadratnih nejedna~i-na. Slu~aj 0a< svodimo na slu~aj 0a> mno`ewem kvadratne neje-dna~ine sa 1 i vode}i ra~una da se pri tome mewa smer nejednako-sti. Ipak, kvadratnu jedna~inu je najjednostavnije re{avati skicira-wem odgovaraju}eg grafika kvadratne funkcije.


41/324

40

0k=

6. LINEARNA I KVADRATNA FUNKCIJA

6.1. Linearna funkcija

Op{ti oblik linearne funkcije je

( ) ( )y f x kx n, k ,n R .= = +

Domen funkcije je ( )fD R , ,= = + a skup wenih vrednosti

fR R= za 0k i {fR n= za 0k .=

Grafik svake linearne funkcije je prava (sl. 7).Broj k tg= je koeficijent pravcaprave tj. tangens ugla

koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom x-ose. Veli~ina n jeodse~ak na y -osi, tj. ordinata prese~ne ta~ke prave sa y -osom.

Nula linearne funkcije jen

xk

= za 0k . Za 0k= i 0n

funkcija nema nula. Ako je 0k n= = , funkcija se svodi na 0y= i

wen grafik je x-osa.

Funkcija je striktno rastu}a za 0k> , striktno opadaju}a za0k< i konstantna za 0k .=

Nije svaka prava grafik neke linearne funkcije. Prave pa-

ralelne sa y -osom, tj. prave sa jedna~inom ( )x a a R= ne predstav-qaju grafik nijedne linearne funkcije

(a) (b)

(v) (g)Sl. 7

nk

n

0

0k

nkxy +=

n

k


42/324

41

6.2. Kvadratna funkcija

Op{ti oblik kvadratne funkcije je

( ) ( )2 0y f x ax bx c, a,b,c R, a .= = + + Domen funkcije je ( )fD , ,= + a skup wenih vrednosti

24

4f

ac bR ,

a

= +

za 0a> i

24

4f

ac bR ,

a

=

za 0a . funkcija je konveksna, opada za2

b, ,

a

raste za2

bx ,

a

+

i za

2

bx

a= ima minimum

24

4min

ac by

a

=

Teme parabole je wena najni`a ta~ka.

Ako je 0a< , funkcija je konkavna, raste za2b, ,a

opada za2

bx ,

a

+

i za

2

bx

a= ima maksimum

24

4max

ac by

a

=

Teme parabole je wena najvi{a ta~ka.

Ordinata prese~ne ta~ke parabole say -osom je ( )0y f c.= =

a

b

2

c

0

T 0a


43/324

42

Skicirawe grafika kvadratne funkcije omogu}uje jednosta-vno re{avawe odgovaraju}e kvadratnie nejedna~ine. Pri tome su odzna~aja samo broj realnih nula funkcije i znak koeficijenta .

Broj realnih nula kvadratne funkcije, tj. broj realnih re{e-wa jedna~ine 2 0ax bx c ,+ + = zavisi od znaka diskriminante

24D b ac.=

Ako je 0D ,> funkcija ima dve razli~ite realne nule i para-bola u dvema ta~kama se~e x-osu (sl. 9).

Sl. 9

U ovom slu~aju (pod pretpostavkom da je1 2

x x< ) va`i:

( )

( ) ( )

( )

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

0

0

0

0

ax bx c x , x x , ,

ax bx c x , x x , ,

ax bx c x x ,x ,

ax bx c x x , x ,

+ + + + + > +

+ +

+ + <

(za 0a> )

i

( )( ) ( )

( )

21 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

0

0

0

0

ax bx c x ,x x , ,

ax bx c x ,x x , ,

ax bx c x x , x ,

ax bx c x x , x .

+ + + + + < +

+ +

+ + >

(za 0a< )

0 2x1x

T

0a>

0 1x 2x

0a +

+ + =

+ + <

(za 0a> )

i

( )

( )

2

2

2

2

02

0

02 2

0

bax bx c x ,

a

ax bx c x ,

b bax bx c x , , ,

a aax bx c x , .

+ + =

+ + >

+ + < +

+ + +

(za 0a< )

Sl. 10

Ako je 0D< (sl. 11), kvadratna funkcija nema realnih nula iparabola se nalazi ili iznad (za 0a> ) ili ispod (za 0a< ) x-ose iva`i:

0

a

b

2

0a>

T

0

a

b

2

T

0a


45/324

44

( )

( )( )

( )

2

2

2

2

0

0

0

0

ax bx c x , ,

ax bx c x , ,

ax bx c x ,

ax bx c x ,

+ + +

+ + > + + + <

+ +

(za 0a> )

i

( )

( )

( )( )

2

2

2

2

0

0

0

0

ax bx c x ,

ax bx c x ,

ax bx c x , ,

ax bx c x , .

+ + + + >

+ + < + + + +

(za 0a< )

Sl. 11

Kanonski oblikkvadratne funkcije je

( )( )2

y a x ,= +

pri ~emu je2

b

a = a

2

2

4

4

ac b

a

=

0

0a

T


46/324

45

7. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA. EKSPONENCIJALNEJEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE7.1. Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika

( ) ( )0 1xy f x a , , a .= = >

Domen funkcije je ( )fD R , ,= = + a skup vrednosti

funkcije ( )0fR , .= +

Za 1a > funkcija je strogo rastu}a, a za 0 1a< < strogo

opadaju}a.Grafici eksponencijalnih funkcija dati su na slici (sl. 12).

Sl. 12

7.2. Eksponencijalne jedna~ine

Eksponencijalne jedna~ine su jedna~ine kod kojih se nepozna-ta nalazi u izloìocu (eksponentu) stepena.

Pri re{avawu eksponencijalnih jedna~ina koristimo se svoj-stvom injektivnosti eksponencijalne funkcije:

1 21 2

x xa a x x .= =

0

1

a

1

xa 1a >

0

1a

1

xa

0 1a<


47/324

46

Za date funkcije g i h , re{ewe eksponencijalne jedna~ine

( ) ( )g x h x a a=

je { }g hx R x D D za 1a = i ( ) ( ){ }g hx R x D D g x h x = za0 1a .<

7.3. Eksponencijalne nejedna~ine

Eksponencijalne nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih senepoznata nalazi u izloìocu (eksponentu) stepena.

Pri re{avawu eksponencijalnih nejedna~ina koristimo se

svojstvom stroge monotonosti eksponencijalne funkcije xy a= :

ra{}ewa za 1a > i opadawa za 0 1a< < .

Za date funkcije g i h vaì:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

g x h x

g h

g x h x

g h

a a x D D g x h x ,a

a a x D D g x h x ,

< < >

> >

i

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )0 1

g x h x

g h

g x h x

g h

a a x D D g x h x ,a

a a x D D g x h x .

< > < <

Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa , odnosno .

8 . LOGARITAM I LOGARITAMSKA FUNKCIJA. LOGARITAMSKE JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE

8.1. Logaritam

Logaritam broja 0b > za datu osnovu (bazu) a ( )0, 1a a> , u

oznaci alog b , je broj kojim treba stepenovati osnovu a da bi se

dobio broj b . Broj b se zove numerus logaritma.


48/324

47

Prema tome, imamo da je

( )0 1 0cac log b a b , a ,a , b= = > > ,

odnosno a

log ba b= .

Osnovne osobine logaritma su:

( )

1 0

1

1

1k

a

a

a a a

a a a

x

a a

ca

c

a b

aa

log ,

log a ,

log b c log b log c,

blog log b log c,

c

log b x log b,

log blog b ,

log a

log b ,

log a

log b log b.k

=

=

= +

=

=

=

=

=

(U svim navedenim relacijama pretpostavqamo da su osnove

logaritama iz ( ) ( )0 1 1, , , + da su svi numerusi pozitivni i da suimenioci razlomaka razli~iti od nule).

Dekadni logaritmi su logaritmi sa osnovom 10. Po dogovorupi{emo

10

log x log x.=

Prirodni logaritmi su logaritmi sa osnovom

( )2 7182818e e , ... .= Uobi~ajeno je pisati

e

log x ln x.=


49/324

48

8.2. Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika ( ) ( )0 1ay f x log x, a , a .= = >

Domen logaritamske funkcije je ( )0fD , ,= + a skup

vrednosti funkcije ( )fR , .= +

Funkcija je strogo rastu}a za 1a ,> a strogo opadaju}a za

0 1a .< i za date funkcije g i h , va`i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0a alog g x log h x g x h x g x h x .= = > >

8.4. Logaritamske nejedna~ine

Logaritamske nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih se nepo-znata javqa u numerusu, odnosno pod znakom logaritma.

Pri re{avawu logaritamskih nejedna~ina koristimo se svoj-stvom stroge monotonosti logaritamske funkcije (ra{}ewa za 1a >

i opadawa za 0 1a< < ), kao i ~iwenicom da numerus svake logari-tamske funkcije mora biti pozitivan realan broj.

Ako su g i h date funkcije, onda va`i:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

a a

a a

log g x log h x g x h x g x ,

log g x log h x g x h x h x ,

< < >

> > > (za 1a > )

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

a a

a a

log g x log h x g x h x h x ,

log g x log h x g x h x g x .

< > >

> < > (za 0 1a< < )

Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa , odnosno .


51/324

50

9. OSNOVNI POJMOVI U TRIGONOMETRIJI I

OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI

9.1. Ugao

Ugao je unija dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom i jedneod dve oblasti na koje te dve poluprave dele ravan (sl. 14).

Zajedni~kipo~etakO je teme ugla, a poluprave Op iOq su kraciugla. Oznaka ugla je , pOq ili AOB , pri ~emu je pA , a

qB . Oznaka za teme ugla pi{e se izme|u p i q , odnosno , izme|u

A i B , dok redosled oznaka p i q , odnosno A i B nije bitan. Da

bi smo naglasili koja od dve oblsti ravni je oblast ugla, ako je topotrebno, mo`emo to u~initi navo|ewem bilo koje ta~ke iz unutra-

{wosti te oblasti.Ako se poluprave Op iOqpoklapaju i ako je oblast ugla ra-

van bez polupraveOp, onda se dobijeni ugao naziva pun ugao, a ako jeoblast ugla prazan skup, onda se dobijeni ugao nazivanula-ugao.Ako

je unija polupravih Op iOqprava, a oblast ugla poluravan, onda se

dobijeni ugao naziva opru`en ugao. Dva ugla u ravni, pOr i rOq ,

sa zajedni~kim krakom Ornazivaju se susednim uglovima (sl.15), akoosim ta~aka zajedni~kog kraka nemaju drugih zajedni~kih ta~aka.

q

O p

r

Sl. 15 Sl. 17O

pq

r

Sl. 16

q

pO

Sl. 14

B

O

q


52/324

51

Ugao pOr je mawi od ugla pOq, ako se krak Or ugla pOr nalazi u

oblasti uglapOq, a oblast ugla pOr je podskup oblasti ugla pOq .Ako je unija krakova, koji nisu zajedni~ki, prava, za uglove ka`emo

da su naporedni (sl. 16). Ugao je prav ako je podudaran svomnaporednom uglu (sl. 17), a o{tar ili tup ako je mawi ili ve}i odsvog naporednog ugla.

Neka je AB du` u ravni ugla pOq , takva da je OpA i

OqB . Ugao pOq je konveksan (ispup~en) ako je pOqAB

(sl.18; sl.20), a nekonveksan (udubqen) ako je { }BApOqAB ,=(sl.19; sl.21).

Dva ugla su jednaka ako se izometrijskim transformacijamamogu dovesti do poklapawa.

Uglovi sa paralelnim kracima su jednaki ako su oba o{traili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 22).

Sl. 22

q

pO

B

Sl. 18

q

pO

B

Sl. 20

q

pO

BSl. 21

Sl. 19

O

B q


53/324

52

Uglovi sa normalnim kracima su jednaki ako su oba o{traili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 23).

9.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla

Ako kraci ugla pOq ~ine ure|en par ( )OqOp, , onda se ka`eda je ugao pOq orijentisani ozna~ava se sa ( )Op,Oq . Ako se prvi

krak rotira oko temena O do poklapawa sa drugim krakom u smerusuprotnom od kretawa kazaqki na ~asovniku (pozitivni smer), ugao

je pozitivan ; ina~e je negativan .

Ako se posle rotacije od punog ugla nastavi rotacija u pozitivnomsmeru do poklapawa sa drugim krakom, dobija se ugao ve}i od punogugla.

Ako se prvo izvr{i ( )k k N rotacija za pun ugao i nastavirotacija do poklapawa sa drugim krakom, dobija se proizvoqnoveliki pozitivni ugao. Ako se rotacije vr{e u negativnom smeru,dobijaju se negativni uglovi.

Ugao koji je 90 -ti deo pravog ugla ima meru jedanstepen ( )1 .

Mawe merne jedinice su jedan minut ( )1

i jedan sekund ( )1

, pri ~emuje:

061 = i 061 = , odakle sledi da je

=

60

11 i

=

=

60

1

60

1

60

11 .

Sl. 23


54/324


55/324


56/324


57/324

56

Za funkcije ( )siny x = + i ( ) Rxxy += ,cos i 0

osnovni period je

2=T , a za funkcije ( )y tg x = + ,

2x k

+ + i ( ) += xctgy ,

2x k

+ + osnovni period

je

=T .

Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova date su u nared-

noj tablici(oznaka zna~i da funkcija nijedefinisana za odre-|eni ugao).

30 2

6 4 3 2 2

1 2 3sin 0 1 0 1 0

2 2 2

3 2 1cos 1 0 1 0 12 2 2

33 1 0 0 0

3

31 3 0 0

3

tg

ctg


58/324

57

9.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla na funkcije o{trog ugla

Kako su trigonometrijske funkcije periodi~ne, to se vre-dnosti ovih funkcija za proizvoqan ugao mogu izraziti pomo}u vre-dnosti trigonometrijskih funkcija za o{tar ugao :

( ) insksinsin =+= 2 , k Z ;

cos2

sinsin =

= ;

( ) cos2 =+= koscosc , k Z ;

ins

2oscosc =

= ;

cos2

sinsin =

+= ; ( ) inssinsin == ;

ins2

oscosc =

+= ; ( ) coscoscos == ;

p

q

0

Sl. 29

p

q

0

Sl. 31

p

q

0

Sl. 32

p

q

0

Sl. 30


59/324


60/324

59

Za ostale trigonometrijske funkcije svo|ewe se vr{i naosnovu prethodno navedenih formula i trigonometrijskihidentiteta.

9.6. Osnovni trigonometrijski identiteti

1. 1cossin 22 =+

2.

cos

sin=tg , Zkk + ,

2

3. sin

cos=ctg , Zkk ,

4. 1= ctgtg , 2

k

5.1

1

cossin

cos

1

coscos

222

22

2

+=

+==

tg ,

Zkk + ,2

6.1cossin

sin

1

sinsin

2

2

22

22

2

+=

+==

tg

tg ,

Zkk + ,2

9.7. Adicione formule

1. ( ) sincoscossinsin +=+1.) cossin22sin =2. ( ) sincoscossinsin =3. ( ) sinsincoscoscos =+3.) 22 sincos2cos =4. ( ) sinsincoscoscos +=

5. ( )

tgtg

tgtgtg

+=+

1 , Zkk ++ ,

2,,

5.)

2

1

22

tg

tgtg

=


61/324

60

6. ( )

tgtg

tgtgtg

+

=

1 , Zkk + ,

2,,

7. ( )

ctgctg

ctgctgctg

+

=+

1 , Zkk + ,,,

7.)

ctg

ctgctg

2

12

2

=

8. ( )

ctgctg

ctgctgctg

+=

1 , Zkk ,,,

9. 1cos2sincos2cos 222 ==

2

2cos1

cos

2

+=

.

222 sin21sincos2cos ==

2

2cos1sin

2 = .

2cos1

2cos12

+

=tg

2cos1

2cos12

+=ctg .

10.

12

22

2cos

2sin

2cos

2sin2

sin222

+

=

+

=

tg

tg

,

21

21

2cos

2sin

2sin

2cos

cos2

2

22

22

tg

tg

+

=

+

= .

21

22

2

tg

tg

tg

=

22

21

2

tg

tg

ctg

= .


62/324

61

9.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod

1.

2cos

2sin2sinsin

+=+

2.2

sin2

cos2sinsin

+

=

3.2

cos2

cos2coscos

+

=+

4.2

sin2

sin2coscos

+

=

5.( )

coscos

sin

= tgtg , Zkk + ,2,

6.( )

sinsin

sin = ctgctg , Zkk ,,

9.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir

1. ( ) ( )[ ] ++= sinsin2

1cossin

2. ( ) ( )[ ] ++= coscos2

1coscos

3. ( ) ( )[ ] += coscos2

1sinsin

9.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija

1. xsiny =

siny = 2 .

0

y

1

-1

x 2

Sl. 38


63/324

62

2. xcosy =

osxcy = 2 .

xcosxsin =

2

3. y=tgx

y=tgx .

0

1

-1

y

x2

Sl. 39

0 x22

223 232 25

Sl. 41

0

1

-1

y

x2

Sl. 40


64/324

63

4. y=ctgx

y=ctgx .

2 0 x 2 3223 232 25

Sl.42


65/324


66/324


67/324

66

3. arctgxy =

( ) ( ) ,2,2: f( ) tgxxf =

e(-

).

f

( ) ( )2,2,:1 f

( ) arctgx= xf 1 .

f 1f

xy = .

0 22

Sl. 49

0

2

2

Sl. 50

0

2

2

2

2

Sl. 51


68/324

67

4. arcctgxy =

( ) ( ) ,2,2: f( ) ctgxxf =

e(-

).

f

( ) ( )

1: , 0,f

( ) arcctgxxf =1 .

f 1f

xy = .

20

Sl. 52

0

2

Sl. 53

0

2

2

Sl. 54


69/324


70/324

69

10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine

Nejedna~ine ax sin i axcos za 1a re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi. Nejedna~ine ax sin i ax cos za 1>a nemaju re{ewa, dok su

za 1a < re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi.

Nejedna~ine ax sin , ax cos , ax sin i ax cos za 1a ,

zbog periodi~nosti trigonometrijskih funkcija, mo`emo re{avatiprvo u bilo kom intervalu du`ine 2 , a zatim odrediti skup svihre{ewa. Osnovni interval treba pogodno izabrati, tako da skupre{ewa iz tog intervala opet bude jedan interval.

1.Nejedna~inu 1,sin aax prvo re{avamo u intervalu

2,

2

3 , (sl. 55). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ]

2,

2

3,

, pri ~emu je aarcsin= i aarcsin= , onda

je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Zkkk ++ ,2,2 .

Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skupre{ewa unija otvorenih intervala ( ) Zkkk ++ ,2,2 .

Pri re{avawu trigonometrijskih nejedna~ina, osim grafika trigo-nometrijskih funkcija pogodno je koristiti i trigonometrijskikrug.

-1

1

023 2

a

x

Sl. 55


71/324


72/324

71

Na slici 58 oznake2

3,

2,,

su radijanske mere uglova.

3. Nejedna~ina 1,cos aax prvo se re{ava u intervalu

[ ], ,(sl. 59). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ] [ ] ,, , pri ~emu je aarccos= i aarccos= , onda je skupsvih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Zkkk ++ ,2,2 .Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup

re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Zkkk ++ ,2,2 .

1

a

2

23

0

Sl. 58

0

1

-1

x

a

Sl. 59


73/324

72

Na slici 60 oznake ,,, su radijanske mere uglova.

4. Nejedna~inu 1cos x a , a prvo re{avamo u intervalu

[ ]2,0 ,(sl. 61). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ] [ ] 2,0, , gde je aarccos= i aarccos= 2 , onda je skupsvih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Zkkk ++ ,2,2 .Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup

re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Zkkk ++ ,2,2 .

0 1

a

Sl. 60

0

1

-1

a

x 2

Sl. 61


74/324


75/324


76/324


77/324

76

.

Na slici 66 oznake 0 , su radijanske mere uglova.

8. Nejedna~ina Raactgx , prvo se re{ava u intervalu

( ),0 . Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval( ],0 , pri ~emuje arcctga= , onda je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija

intervala ( ] kk +, , Zk .Ako u nejdna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup

re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Zkkk + ,, .

0

1

a

01-1

Sl. 66


78/324

77

11. PRIMENA TRIGONOMETRIJE U PLANIMETRIJI I STEREOMETRIJI

11.1. Povr{ina trougla

Kako je sinah

c= , to je sinah c = , pa je

sin

2 2ABC

aah acP

= =

(sl. 67). Sli~no se dobija da je

sin

2 2ABC

cch cbP

= = i

sin2 2

ABCbbh baP = = .

11.2. Sinusna i kosinusna teorema

Ako su ba, i c naspramne stranice uglova , i

proizvoqnog trougla ABC, a R polupre~nik opisanog kruga oko togtrougla (sl. 68) , onda va`i :

a) Rcba

2sinsinsin

===

(sinusna teorema)

b) cos2222 bccba +=

cos2222 accab +=

cos2222 abbac +=

(kosinusna teorema).

11.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Kompleksni broj biaz += , kao ta~ka u Gausovoj ravni (sl.69),

odre|en je realnim brojevima a i b , a za ( ) ( )0,0, ba mo`emo gaodrediti i pomo}u rastojawa ta~ke z od koordinatnog po~etka i

ugla koji radijus-vektor ta~ke z gradi sa pozitivnim delom

x-ose :

R

c

ba

C

B

O

Sl. 68

c b

a

ah

CB

Sl. 67


79/324

78

2 2z a b = = + ( moduo kompleksnog broja),

0, = a

a

btg , [ ) 2,0 ( argument kompleksnog broja).

Kako iz sinb

= sledi da je sinb = , a iz cosa

= sledi da je

cosa = , to je cos sinz i = + , tj. ( )cos sinz i = + {topredstavqa trigonometrijski oblik kompleksnog broja .z

Za 0 02

a b

= > =i je (sl. 70), a za3

0 02

a b

= < =i je (sl. 71).

Ako je ( )2111 sincos iz += i ( )2222 sincos +=z , tada je: 1. = 21 zz ( ) ( )( )222121 sincos +++ i ,

2. ( ) ( )( ) 0,sincos22121

2

1

2

1+=

z

z,

3. ( ) Nnninz nn += ,sincos ,(Muavrova formula)

4. { }1,...,2,1,0,2

sin2

cos

++

+= nk

n

k

n

kz nn

.

biz =

Sl. 71

biz =

Sl. 70

a

x0

b biaz +=

Sl. 69


80/324


81/324

80

12. VEKTORI,PODUDARNOST,HOMOTETIJA I SLI^NOST

12.1. Vektori

Za du` AB kaèmo da je usmerena (orijentisana) ako je

precizirano {ta je wena po~etna, odnosno krajwa ta~ka. Ako je Awena po~etna a B krajwa ta~ka, tada se ta usmerena du` ozna~ava sa

AB

i zove sevektor.Svaki vektor karakteri{u pravac, smer i intenzitet.Pravac vektora je odre|en pravom (nosa~em) kojoj vektor

pripada. Za vektore koji leè na istoj pravoj ili na paralelnim

pravima, kaè se da imaju isti pravac ili da su kolinearni.Smer vektora je odre|en izborom po~etne, odnosno krajwe

ta~ke vektora. Za dati pravac postoje dva me|usobno razli~ita(suprotna) smera.

Intenzitet (duìna) vektora je rastojawe izme|u wegovih

krajwih ta~aka. Intenzitet vektora a AB=

ozna~ava se sa .a AB=

Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smer iintenzitet. Jednakost vektora je relacija ekvivalencije u skupu svih

vektora u prostoru. Zbog toga, vektor AB

moèmo poistovetiti sawegovom klasom ekvivalencije, tj. sa skupom svih vektora koji su sawim jednaki. Iz definicije jednakosti proizlazi da se radi oslobodnim vektorima, odnosno o vektorima koji se ne mewaju ako separalelno pomeraju kroz prostor.

Suprotan vektor vektoru AB

, u oznaci AB BA =

, je vektor

koji ima isti pravac i intenzitet kao vektor AB

, ali suprotansmer.

Nula vektor, u oznaci 0

, je vektor ~ija se po~etna ta~ka po-klapa sa krajwom. Nula vektor nema odre|en ni pravac ni smer i we-gov intenzitet je nula.

Jedini~ni vektor (ort)je vektor intenziteta jedan.Tri ili vi{e vektora su komplanarniako leè u istoj ravni.

Zbir vektora a

i b

, u oznaci a b+

, je vektor koji se od ve-

ktora a

i b

dobija po pravilu nadovezivawa ili po pravilu parale-lograma (sl. 75).


82/324

81

Po pravilu nadovezivawa na kraj vektora a

stavqa se po~e-

tak vektora b

, pa vektor a b+

ima po~etak u po~etku vektora a

a

kraj u kraju vektora b

. Po pravilu paralelograma vektor a b+

je

odre|en dijagonalom paralelograma koji obrazuju vektori a

i b

.

Proizvod skalara (broja) k R i vektora a

je vektor, u ozna-

ci ka

, odre|en sa:

(1) ka

i a

su kolinearni,

(2) ka k a=

,

(3) za 0k > vektori a

i ka

su istosmerni, a za 0k je preslikavawe ravni koje svake dve wene ta~ke A i B prevo-

di u ta~ke A i B iste ravni, tako da je A B kAB. =

Figure F i1

F su sli~ne, u oznaci1

F F , ako postoji tran-

sformacija sli~nosti koja figuru F prevodi u figuru1

F .

Za sli~nost trouglova(sl. 78) va`e slede}a pravila:

(1) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}estranice proporcionalne, a uglovi zahva}eni tim stranicamajednaki, tj.

: :ABC A B C b c b c . = =

(2) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im odgovaraju}e straniceproporcionalne, tj.

: : : :ABC A B C a b c a b c . =

(3) Dva trougla su sli~na ako i samo ako imaju jednaka po dvaodgovaraju}a ugla, tj.

ABC A B C . = =(4) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}e

stranice proporcionalne, uglovi naspram dveju od tih odgovaraju}ihstranica jednaki, a uglovi naspram drugih dveju stranica u obatrougla su ili oba o{tra ili oba prava ili oba tupa. Prema tome,

: :

.

ABC A B C a b a b = =

Sl. 78

b

C

B

a

c c

A

B

C

b a


86/324

85

13. GEOMETRIJA TROUGLA, ÊTVOROUGLA I MNOGOUGLA. KRUG

13.1. Trougao

Navodimo neke osnovne elemente trougla.Sredwa linija trougla je du` koja spaja sredi{ta dveju

stranica trougla. Ona je paralelna tre}oj stranici i upola je kra}aod we.

Teì{na du`je du` koja spaja teme trougla sa sredi{tem na-spramne stranice. Sve teì{ne duì se seku u ta~ki koja se zove te-ì{tetrougla. Teì{te deli svaku teì{nu du` u odnosu 2:1 (ra~u-

naju}i od temena).Visina trougla je du` koja spaja teme trougla sa podno`jemnormale iz tog temena na naspramnu stranicu. Sve visine se seku uta~ki koja se zove ortocentartrougla. êsto se termin visina kori-sti i za duìnu visine.

Presek simetrala stranica trougla je centar opisanog krugatrougla.

Centar upisanog krugatrougla nalazi se u preseku simetrala(bisektrisa, raspolovnica) unutra{wih uglova trougla.

Zbir unutr{wih uglova trougla je180

, a zbir spoqa{wih360. Svaki spoqa{wi ugao trougla jednak je zbiru dva unutra{wawemu nesusedna ugla. Naspram ve}e stranice trougla leì ve}i ugaoi obrnuto, naspram ve}eg ugla leì ve}a stranica trougla.

Svaka stranica trougla mawa je od zbira a ve}a od razlikedruge dve stranice trougla.

Jednakokraki trougaoje trougao koji ima dve stranice jedna-ke. Jednake stranice zovu se kraci, a tre}a stranica je osnovica tro-ugla.

Jednakostrani~ni trougaoima sve stranice i sve unutra{wei spoqa{we uglove jednake. Svaki unutra{wi ugao jednakostrani-

~nog trougla ima 60. Kod jednakostrani~nog trougla se poklapajucentar opisanog kruga, centar upisanog kruga, teì{te i ortocen-tar.

Pravougli trougao je trougao koji ima jedan unutra{wi ugaoprav. Najduà stranica pravouglog trougla, koja se nalazi nasprampravog ugla, zove se hipotenuza, dok su preostale dve katete.

Obim trouglaje zbir duìna wegovih stranica.


87/324

86

Uobi~ajene su slede}e oznake za elemente trougla (sl. 79):

a,b,c duìne stranica,

, , unutra{wi uglovi,

1 1 1, , spoqa{wi uglovi,

a b ch ,h ,h visine (duìne visina),

,

,

.

s

r

R

Sl. 79

Za obim i povr{inu trougla vaè slede}e formule:

( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2

4

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c s,

a h b h c hP ,

P s s a s b s c ,

a b cP r s,R

P a b sin a c sin b c sin .

= + + =

= = =

=

= =

= = =

CB

ahc

b

a

1

1

1


88/324

87

Za pravougli trougao (sl. 80) sa katetama i b i hipotenu-zom c vaì da je:

2 2 2a b c ,+ =(Pitagorina teorema)

2 2

2

2

ca c p, h p q

cb c q, R

= =

= =

Sl. 80

U slu~aju jednakostrani~nog trougla stranice a imamo:

2

33

2

3 32

6 3

3

4

aO a, h ,

a ar , R r ,

aP .

= =

= = =

=

Za sli~ne trouglove vaì da se obimi odnose kao duìne wi-hovih odgovaraju}ih stranica, a povr{ine kao kvadrati tih duìna

(i kao kvadrati visina). Prema tome, ako su a,b,c i h , odnosno

1 1 1a ,b ,c i

1h odgovaraju}i elementi sli~nih trouglova, tada je:

1 1 1 12 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1

O a b c

O a b cP a b c h

P a b c h

= = =

= = = =

ch

BC

cb

a

q


89/324


90/324

89

trapeza je du` koja spaja sredi{ta krakova. Ona je paralelnaosnovicama i jednaka wihovom poluzbiru.

Deltoid (sl. 82b) je ~etvorougao koji ima dva para jednakih

susednih stranica. Dijagonale deltoida su me|usobno normalne.

(b)(a)

Sl. 82

Tangentni ~etvorougao(sl. 83a) je ~etvorougao u koji se moèupisati krug. êtvorougao je tangentan ako i samo ako su mu zbirovinaspramnih stranica jednaki.

Tetivni ~etvorougao(sl. 83b) je ~etvorougao oko koga se mo-

è opisati krug. êtvorougao je tetivan ako i samo ako su mu zbiro-vi naspramnih uglova jednaki.

(a) (b)Sl. 83

Neka su a i b duìne stranica paralelograma,a

h ib

h odgo-

varaju}e visine i jedan wegov unutra{wi ugao. Tada za obim ipovr{inu paralelograma vaè slede}e formule:

m

b

a B

dc

h

C

b

a

C

B

1d

2d

r

C

B

b

a

d

c

O

R

C

B

O


91/324

90

2 2

a b

O a b,

P a h b h a b sin .

= +

= = =

U specijalnim slu~ajevima vaì: za romb

( )1 2 1 2

4

;2

a

O a,

d dP a h d ,d

=

= =

za pravougaonik

2 2

;

O a b,

P a b

= +

=

za kvadrat

2

4O a,

P a .

=

=

Ako su a i b duìne osnovica trapeza, m duìna sredwe

linije i h visina (rastojawe izme|u osnovica), tada je

2 2

a b a bm , P m h h.

+ += = =

Povr{ina deltoida, ~ije su duìne dijagonala1

d i2

d ,

ra~una se po formuli1 2

2

d dP

=

13.3. Mnogougao

Zbir unutra{wih uglova n -tougla je ( )2 180n .

Zbir spoqa{wih uglova konveksnog n -tougla je 360 .

Broj dijagonala konveksnog n -tougla je( )3

2

n n

Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i svi unutra-{wi uglovi jednaki.

Tangentni mnogougao je mnogougao u koji se moè upisatikrug.

Tetivni mnogougao je mnogougao oko kojeg se moè opisatikrug.


92/324


93/324

92

kru`nim lukom je kru`ni odse~ak(sl. 85a).Dva razli~ita polupre-~nika i odgovaraju}i kru`ni luk odre|uju kru`ni ise~ak (sl. 85b).

(a) (b)

Sl. 85

Ugao pod kojim se iz centra kruga vidi neki luk (tetiva) jecentralni ugaokoji odgovara tom luku (tetivi). Ugao pod kojim se izneke ta~ke na krugu vidi luk, kojem ne pripada ta ta~ka, zove seperiferijski ugao nad tim lukom. Svi periferijski uglovi nadistim lukom su jednaki. Svakoj tetivi odgovaraju dva periferijska

ugla koji su suplementni (u zbiru daju opru`en ugao) (sl. 86a).Centralni ugao je dva puta ve}i od odgovaraju}eg (nad istim

lukom) periferijskog ugla. Periferijski ugao nad pre~nikom jeprav.

O{tar (tup) ugao koji je odre|en tetivom i tangentom ukrajwoj ta~ki tetive kruga jednak je o{trom (tupom) periferijskomuglu nad tom tetivom (sl. 86b).

(a) (b)Sl. 86

O

2

180

O

O

r

O

r r


94/324

93

Sl. 87

Obim i povr{ina kruga polupre~nika r ra~unaju se poformulama

22O r , P r .= =

Neka kru`nom luku odgovara centralni ugao ~ija mera ustepenima iznosi , a u radijanima . Tada je du`ina luka data sa

180

rl , l r ,

= =

a povr{ina odgovaraju}eg kru`nog ise~ka je2

21

360 2

rP , P r .

= =

Povr{ina kru`nog prstena odre|enog krugovima

polupre~nika1

r i ( )2 1 2r r r> jednaka je

( )2 21 2P r r .=

Krugovi neke ravni su kon-centri~niili ekscentri~niu zavi-snosti od toga da li im se centripoklapaju ili ne. Deo ravni izme|udva nejednaka koncentri~na kruga(kru`ne linije) zove se kru`ni pr-sten (sl. 87) .

O

1r

2r


95/324

94

14. POLIEDRI

14.1. Prizma

Svaka prizma (sl. 88) ima dve osnove (baze)i omota~. Osnove~ine dva podudarna mnogougla koji se nalaze u paralelnim ravnima, aomota~ je skup bo~nih strana prizme, pri ~emu je svaka bo~na stranaparalelogram. Ako su osnove neke prizme n -touglovi, onda je re~ on -tostranoj prizmi. Stranice osnova su osnovne ivice, dok suostale ivice bo~ne ivice prizme. Dijagonala prizme je du` kojaspaja teme jedne osnove prizme sa nesusednim temenom druge osnove.Prizma je prava ako su bo~ne ivice normalne na ravni osnova; u

protivnom je prizma kosa.

Sl. 88

Pravilna prizma je prava prizma ~ije su osnove pravilnimnogouglovi.

Ako su osnove prizme paralelogrami, onda se ta prizma zoveparalelepiped. Kvadar (sl. 89) je pravi paralelepiped ~ije su osnovepravougaonici. Kocka(pravilni heksaedar) (sl. 90) je kvadar ~ije susve ivice jednake.

Sl. 89 Sl. 90

a

b

c

a

a

a


96/324

95

Koristimo se standardnim oznakama: B povr{ina baze prizme,

M povr{ina omota~a prizme,

H visina prizme (rastojawe izme|u osnova).Povr{ina i zapremina prizme ra~unaju se po formulama:

2P B M ,

V B H .

= +

=

Ako su a, b i c duìne ivica kvadra, onda su povr{ina i

zapremina kvadra date sa:

( )2P a b a c b c ,V a b c.

= + +

=

Za kocku, ~ija je duìna ivice a , vaì:

2

6P a= i3

V a .=

14.2. Piramida

Svaka piramida (sl. 91) ima jednu osnovu (bazu) i omota~.Osnova piramide je mnogougao, a omota~ je skup bo~nih stranapiramide. Svaka bo~na strana je neki trougao. Ako je osnovapiramide n -tougao, onda je re~ o n -tostranoj piramidi. Straniceosnove su osnovneivice, dok su ostale ivice bo~ne ivicepiramide.Zajedni~ka ta~ka svih bo~nih strana jevrh piramide.

Sl. 91

H


97/324

96

Piramida je pravilnaako joj je osnova pravilan mnogougao iako se podno`je normale kroz wen vrh na ravan osnove poklapa sasredi{tem osnove. Sve bo~ne ivice pravilne piramide su jednake.

Visine bo~nih strana pravilne piramide zovu se apoteme. Trostrana piramida zove se i tetraedar. Pravilni tetraedarje tetraedar ograni~en sa ~etiri jednakostrani~na trougla.

Koristimo se slede}im standardnim oznakama:

B povr{ina baze piramide, M povr{ina omota~a piramide,

H visina piramide (odstojawe vrha piramide od ravni osnove), s du`ina bo~ne ivice pravilne piramide,

h

apotema pravilne piramide.Povr{ina i zapremina piramide ra~unaju se po formulama:

3

P B M ,

B HV

= +

=

Sl. 92 Sl. 93

Za pravilnu n -tostranu piramidu (sl. 92) va`i:

2 2 2

2 2

a r a hB n , M n , s H R ,

= = = +

pri ~emu su r i R polupre~nici upisane, odnosno opisane

kru`nice osnove piramide.Za pravilni tetraedar (sl. 93) ivice a imamo da je:

23P a= i

32

12

aV =

a

a

R

s

h

H

a

a


98/324

97

14.3. Zarubqena piramida(sl. 94)

Ako piramidu prese~emo nekom ravni paralelnom sa ravni

osnove i koja ne sadr`i vrh piramide, onda se deo piramide sa onestrane ravni sa koje nije vrh zove zarubqena piramida. Svakazarubqena piramida ima dve osnove (baze)i omota~. Osnove (dowa igorwa) su sli~ni mnogouglovi koji se nalaze u paralelnim ravnima.Omota~ je skup bo~nih strana, pri ~emu je svaka od wih neki trapez.Stranice osnova su osnovne ivice, a ostale su bo~ne ivice zarub-qene piramide. Zarubqena piramida je n -tostrana ako su joj osnoven -touglovi.

Sl. 94

Zarubqena piramida je pravilna ako je takva piramida odkoje je ona nastala.

Za zarubqenu piramidu obi~no se koriste slede}e oznake:

1

B povr{ina dowe baze,

2

B povr{ina gorwe baze,

M povr{ina omota~a,

H

visina (rastojawe izme|u osnova).Povr{ina i zapremina zarubqene piramide ra~unaju se poslede}im formulama:

( )

1 2

1 1 2 23

P B B M ,

HV B B B B .

= + +

= + +


99/324

98

15. OBRTNA TELA

15.1. Vaqak

Svaki (kru`ni) vaqak (sl. 95) ima dve osnove (baze) i omota~.Osnove vaqka su podudarni krugovi koji le`e u paralelnim ravni-ma, a izvodnice su mu ili normalne na ravan osnove (pravi vaqak)ili nisu (kosi vaqak). Omota~ pravog vaqka (u razvijenom obliku) jepravougaonik ~ije su dimenzije odre|ene obimom osnove i du`inomizvodnice (visine).

Uobi~ajene su slede}e oznake:

R polupre~nik osnove (baze) vaqka,

H

visina vaqka,B povr{ina baze vaqka,

M povr{ina omota~a vaqka.

Sl. 95

Za svaki vaqak je

2B R= ,

a za pravi vaqak 2M R H= .

Povr{ina i zapremina vaqka ra~unaju se po formulama:

2

2P B M ,

V B H R H .

= +

= =

Ako je vaqak prav, onda je

( )22 2 2P R R H R R H = + = + .

R

H

H

R


100/324

99

Sl. 96

15.2. Kupa

Svaka (kru`na) kupa (sl. 97) ima jednu osnovu (bazu)i omota~.Osnova kupe je krug, a wene izvodnicezaklapaju sa ravni osnove ilikonstantan ugao (prava kupa) ili ne (kosa kupa). Omota~ prave kupe(u razvijenom obliku) je kru`ni ise~ak ~iji je polupre~nikodgovaraju}eg kruga jednak duìni izvodnice, a duìna luka jednakaobimu osnove. Kod prave kupe se podno`je normale kroz vrh kupe naravan osnove poklapa sa centrom osnove.

Koristimo se slede}im standardnim oznakama:R polupre~nik osnove (baze) kupe,

H visina kupe,s duìna izvodnice prave kupe,

B povr{ina baze kupe,

M povr{ina omota~a kupe.

Pravi vaqak je pravilan (sl. 96) ako je 2R H= , tj. ako je wegovosni presek kvadrat.

2R

H=2R


101/324

100

Sl. 97Za svaku kupu je

2B R= ,

a za pravu kupu M R s= .

Povr{ina i zapremina kupe ra~unaju se po formulama:

2

3 3

P B M ,

B H R HV

= +

= =

Ako je kupa prava, onda je

( )2P R R s R R s= + = + .

Sl. 98

Prava kupa je pravilna (sl. 98) ako je

2R s= , tj. ako je wen osni presek je-dnakostrani~ni trougao.

R

s

R

sH

2R

s=2R


102/324

101

15.3. Zarubqena kupa

Zarubqena (kru`na) kupa (sl. 99) nastaje presecawem (kru`-

ne) kupe nekom ravni koja je paralelna sa osnovom kupe. Ima dve os-nove(baze) i omota~. Osnove su krugovi koji se nalaze u paralelnimravnima. Zarubqena kupa mo`e biti pravaili kosa, u zavisnosti odtoga da li je nastala presecawem prave ili kose kupe.

Obi~no se koristimo slede}im oznakama za zarubqenu kupu:

1B povr{ina dowe baze,

2B povr{ina gorwe baze,

M povr{ina omota~a,

R polupre~nik dowe osnove,r polupre~nik gorwe osnove,

H visina zarubqene kupe (rastojawe izme|u osnova),s du`ina izvodnica prave zarubqene kupe.

Sl. 99

Za svaku zarubqenu kupu je

2 2

1 2B R , B r= = ,

a za pravu zarubqenu kupu

( )M s R r .= +Povr{ina i zapremina zarubqene kupe ra~unaju se po formu-

lama:

r

R

s

r

R


103/324

102

( ) ( )

1 2

2 2

1 1 2 2

1

3 3

P B B M ,

HV B B B B R Rr r

= + +

= + + = + +

Ako je zarubqena kupa prava, onda je

( )2 2P R r s R r .= + + +

5.4. Sfera i lopta

Sfera (sferna povr{) je skup svih ta~aka u prostoru koje suna podjednakom odstojawu od jedne fiksirane ta~ke. Fiksiranata~ka je centar sfere, a pomenuto odstojawe je polupre~nik sfere.Deo prostora ograni~en sferom zove se lopta (kugla) (sl. 100).

Sl. 100Ako loptu preseca neka ravan, onda se deo lopte sa jedne

strane ravni zove loptin odse~ak, a odgovaraju}i deo sferne povr{ije kapicaili kalota(sl. 101).

. 101

Neka je R polupre~nik lop-te. Tada su wena povr{ina i zapre-mina date formulama:

2

3

4

43

P R ,

V R .

=

=

Neka je h visina kalote.Tada je povr{ina kalote

2P R h,=

a zapremina loptinog odse~ka

( ) ( )2

2 23 3

3 6

h hV R h r h ,= = +

pri ~emu je rpolupre~nik osno-ve (prese~nog kruga) loptinogodse~ka.

R

h

R

r


104/324

103

Ako se lopta prese~e sa dve paralelne ravni, onda se deo lop-te izme|u tih ravni naziva loptin sloj, a odgovaraju}i deo sfernepovr{i je loptin (sferni) pojas(sl. 102).

Sl. 102

Neka je h visina sloja i

neka su1

r i2

r polupre~nici

prese~nih krugova. Tada je povr-{ina sfernog pojasa 2P R h,=

a zapremina loptinog sloja

( )

2 2 2

1 23 3

6

hV r r h .

= + +

2r

O R

1rh


105/324

104

16. ANALITI^KA GEOMETRIJA U RAVNI

16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela duì u datom odnosu.

Povr{ina trougla

Rastojaweizme|u ta~aka ( )1 1

A x , y i ( )2 2

B x , y dato je sa

( ) ( ) ( )2 2

2 1 2 1d A,B AB x x y y .= = +

Ako ta~ka ( )C x , y deli du` AB u odnosu , tj. ako jeAC

,BC

= tada

je1 2 1 2

1 1

x x y yx , y

+ + = =

+ + U specijalnom slu~aju, za =1, tj. ako je Csredi{te duì AB,vaì

1 2 1 2

2 2

x x y yx , y

+ += =

Povr{ina trougla sa temenima ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3A x , y , B x , y , C x , y

ra~una se po formuli( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2

1

2P x y y x y y x y y .= + +

16.2. Prava u ravni

Op{ti (implicitni) oblikjedna~ine prave je

( )2 20 0Ax By C , A B .+ + = + >

Eksplicitni (glavni) oblikjedna~ine prave je y kx n,= +

pri ~emu je kkoficijent pravca prave, a n odse~ak na y -osi.

Jedna~ina prave koja prolazi kroz ta~ku ( )1 1 1

M x , y i ~iji je

koeficijent pravca kdata je sa

( )1 1y y k x x . =


106/324


107/324


108/324

107

16.4. Elipsa

Elipsa (sl. 103) je skup svih ta~aka u ravni ~iji je zbir

odstojawa od dve fiksirane ta~ke konstantan. Fiksirane ta~ke zovuse ìè ili fokusi elipse. Ako je taj zbir odstojawa 2a i ako su

ìè ( )1

0F c, i ( )2

0F c, , ( )0 c a ,< < tada je jedna~ina elipse

2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = ili2 2

2 21

x y

a b+ = ,

pri ~emu je 2 2 2b a c .= To je tzv. kanonski oblik jedna~ine elipse.

Sve ta~ke unutar elipse

2 2

2 2 1x ya b+ = zadovoqavaju relaciju

2 2

2 21

x y,

a b+ < dok za ta~ke van te elipse vaì da je

2 2

2 21

x y.

a b+ >

Sl. 103

r < d

d

r

0

M

b

a

1r2r

2F1F

ax=

ax =


109/324

108

Parametri a i b su duìne velike, odnosno male poluoseelipse.

Duìne potega (fokalni radijusi) ta~ke ( )M x, y na elipsi

su:

( )1 2 1 2

2c c

r a x, r a x, r r a .a a

= + = + =

Linearni ekscentricitet (rastojawe ìè od centra elip-

se) je parametar 2 2c a b= .

Numeri~ki ekscentricitetje parametar2 2

1c a b

.a a

= = d

0

1r

2r

2F


111/324

110

( )1 2 1 2 2c c

r x a, r x a, r r aa a

= + = = (za desnu granu),

( )1 2 1 2 2c c

r x a, r x a, r r aa a= = + = (za levu granu).

Linearni ekscentricitet (rastojawe ìè od centra

hiperbole) je parametar 2 2c a b= + .

Numeri~ki ekscentricitetje parametar2 2

1c a b

.a a

+ = = >

Direktrisehiperbole su pravea

x=

ia

x=

, tj.2

ax

c= i

2ax

c= Osnovno svojstvo direktrisa je da vaì 1

r,

d= > pri ~emu

je rfokalni radijus proizvoqne ta~ke hiperbole, a d odstojawete ta~ke od odgovaraju}e (istostrane) direktrise.

Jedna~ine asimptotahiperbole su:b

y xa

= ib

y x.a

=

Uslov dodiraprave y kx n= + i hiperbole

2 2

2 2 1

x y

a b = je

2 2 2 2a k b n . =

Jedna~ina tangente hiperbole u wenoj ta~ki ( )0 0M x , y je

0 02 2

1xx yy

.a b

=

Ako je centar hiperbole u ta~ki ( )0 0S x , y i ako su wenepoluose (duìna a i b ) paralelne koordinatnim osama, onda je wenajedna~ina

( ) ( )

2 2

0 0

2 21

x x y y.

a b

=


112/324

111

16.6. Parabola

Parabola (sl. 105) je skup svih ta~aka u ravni koje su

podjednako udaqene od jedne fiksirane ta~ke i fiksirane prave kojane sadrì tu ta~ku. Fiksirana ta~ka je ìà (fokus), a fiksiranaprava direktrisa parabole.

Ako je ìà parabole u ta~ki 02

pF ,

, a direktrisa prava

2

px= , tada je jedna~ina parabole

2 2y px.=

To je tzv. kanonski oblik jedna~ine parabole sa parametrom{ }0p R\ .

Ekscentricitetparabole je 1r .d

= =

Sl. 105

M

F

0

dr=

2

p

d

r

0>p

2

px =

2

px =

F

0

0


113/324


114/324

113

17. BINOMNI OBRAZAC.ELEMENTI KOMBINATORIKE

17.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac

Faktorijelprirodnog broja n , u oznaci !n , je proizvod svihuzastopnih prirodnih brojeva od 1 do n . Dakle,

! 1 2 3n n .=

Po definiciji je 0!=1.Binomni koeficijentise defini{u sa:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

01 1!

! ! !

1 11

0 !

n n n n k n n,k N , n k ,k k n k k

k, R, k N .

k k

+

= =

+ = =

Za binomne koeficijente va`e slede}e osobine:

10 1 1

1

1 1

n n n n, n,

n nn n

,k n k

n n n.

k k k

= = = =

=

+ + =

+ +

Za stepenovawe izraza ( )a b a,b C + prirodnim brojem nva`i tzv. binomni obrazac(Wutnova binomna formula):

( ) 0 1 1 1 1 0

0

0 1 1

n n n n n

n

n k k

k

n n n na b a b a b ... a b a b

n n

na b .

k

=

+ = + + + +

=

.


115/324


116/324


117/324

116

Varijacija sa ponavqawem k-te klase nekog n - skupa je svaka

ure|ena k-torka (ne obavezno razli~itih) elemenata iz tog skupa.Wihov ukupan broj je

k kn

V n= .

Permutacija n -skupa je svaka wegova varijacija bez ponavqa-wa n -te klase. Zato je wihov ukupan broj

( )1 2 1 !nn nP V n n n= = = .

Permutacija sa ponavqawemje permutacija m -multiskupa sa

specifikacijom 1 21 2 nkk k

na a ...a . Wihov ukupan broj je

( ) ( )1 2 1 21 2

!

! ! !m n nn

mP k ,k ,...,k k k ... k m .k k ...k

= + + + =

Isak Wutn16431727

Documents

49763201 Zbirka Za Prijemni Ispit Iz Matematike