39
1 5. Elektrische Netzwerke Grundlagen der Elektrotechnik GET 2 Topologische Grundbegriffe • Kirchhoffsche Regeln Netzwerkgleichungen • Reihen- und Parallelschaltungen von Netzwerkelementen Spannungsteiler-, Stromteiler-, und Brückenschaltungen Stern-Dreieck-Umwandlung Reale Spannungs- und Stromquellen Reihen- und Parallelschaltungen von realen Quellen Leistungsanpassung [Buch GET 2: Seiten 1-71] -129- Topologische Grundbegriffe I Elektrische Netzwerkelemente (1) Schaltsymbol und Zugriff: (2) Netzwerkelemente: (A) Passive Netzwerkelemente : • Der Widerstand • Der Kondensator • Die Spule • Der Transformator (B) Aktive Netzwerkelemente : • Die Spannungsquelle • Die Stromquelle • Die gesteuerte Spannungsquelle • Die gesteuerte Stromquelle u i Klemme Klemme (3) Elektrische Netzwerke: • Der Zugriff auf das Netzwerkelement erfolgt von aussen über die Klemmen. • Elektrische Netzwerkelemente werden über die Klemmen zu elektrischen Netzwerken zusammengeschaltet. • Entsprechend der Netzwerkelemente gibt es aktive und passive Netzwerke. -130-

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5. Elektrische Netzwerke

Grundlagen der Elektrotechnik GET 2

• Topologische Grundbegriffe

• Kirchhoffsche Regeln

• Netzwerkgleichungen

• Reihen- und Parallelschaltungen von Netzwerkelementen

• Spannungsteiler-, Stromteiler-, und Brückenschaltungen

• Stern-Dreieck-Umwandlung

• Reale Spannungs- und Stromquellen

• Reihen- und Parallelschaltungen von realen Quellen

• Leistungsanpassung[Buch GET 2: Seiten 1-71]

-129-

Topologische Grundbegriffe IElektrische Netzwerkelemente(1) Schaltsymbol und Zugriff:

(2) Netzwerkelemente:

(A) Passive Netzwerkelemente:

• Der Widerstand

• Der Kondensator

• Die Spule

• Der Transformator

(B) Aktive Netzwerkelemente:

• Die Spannungsquelle

• Die Stromquelle

• Die gesteuerte Spannungsquelle

• Die gesteuerte Stromquelle

u

i

Klemme Klemme

(3) Elektrische Netzwerke:

• Der Zugriff auf das Netzwerkelementerfolgt von aussen über die Klemmen.

• Elektrische Netzwerkelemente werdenüber die Klemmen zu elektrischenNetzwerken zusammengeschaltet.

• Entsprechend der Netzwerkelemente gibtes aktive und passive Netzwerke.

-130-

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2

Topologische Grundbegriffe IIElektrische NetzwerkeZugriff auf elektrische Netzwerke:

Zweipol bzw.Vierpol

Eintor bzw.Zweitor

• Das Klemmenpaardefiniert zwei Pole.

• Durch die Klemmegegebene Quer-schnittsfläche defi-niert das (Einfalls-)Tor für die elektro-magnetische Welle.

Es gilt das Verbraucher- bezugspfeilsystem.

-131-

i1

i4

i5

i2

i3

R5

R2

R1

R4 R

3

u0

i0

Topologische Grundbegriffe IIIBetrachtungen am Beispielnetzwerk(1) Zweige und Knoten:

Brückenschaltung

• Verknüfung der Netzwerkelemente geschieht an den Klemmen. Diese Verknüpfungsstellen heissen Knoten (K) des elektrischen Netzwerks.

• Verbindung eines Knotens mit einem anderenKnoten (durch Netzwerkelemente) wird alsZweig (Z) bezeichnet.

• Es gild das Verbraucherpfeilsystem, d.h.:

• Urgrösse und Bezugspfeile der Quelle(n) sindvorgegeben. u und i sind entgegengesetzt gerichtet.

• Restliche Bezugspfeile in den «Verbrauchern»haben willkürliche Richtung, einzig dass dieStrom- und Spannungspfeile im einzelnen Verbraucher jeweils die gleiche Richtung aufweisen müssen.

K Z

-132-

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3

Z5

Z2Z

1

Z4 Z

3

Z0

K4

K3

K2

K1

Topologische Grundbegriffe IVBetrachtungen am Beispielnetzwerk(2) Gerichteter Graph (Digraph) des elektrischen Netzwerks:

Digraph (mit k = 4 Knoten und z = 6 Zweigen)

• Topologische Struktur des Netzwerks wirddurch den gerichteten Graphen (Digraph)symbolisch wiedergegeben.

• Die Knoten Ki werden beliebig durch-nummeriert.

• Die Zweige Zi enthalten die Richtung desBeszugspfeils des elektrischen Stromes.Zweige auch beliebig durchnummeriert.

Der Digraph ist ein zusammenhängendesGebilde aus Zweigen und Knoten.Von jedem Knoten zum anderen Knotengibt es mindestens eine gerichtete Ver-bindung (die Zweige und Knoten desGraphen enthält).

-133-

Z4

Z1

Z5

Z3

Z2

K4

K4

K3

K2

K2

K1

M1 M2

Z4

Z3

Z0

K1

K4

K3

M4

K1

K3

K2

Z1

Z2

Z0

M3

K1

K4

Z4

Z5

K3

K2

Z2

Z0

M5

Topologische Grundbegriffe VBetrachtungen am Beispielnetzwerk(3) Die Maschen des Digraphen:

Ein geschlossener Weg,d.h. eine in sich geschlos-sene Folge von Zweigenund Knoten innerhalb desDigraphen eines Netzwerks,in der jeder Knoten mitzwei benachbarten Zwei-gen verbunden ist, wird alsMasche M bezeichnet.

• Den Maschen Mi wird ein Umlaufsinn zugeordnet

(Bezugspfeil der Masche).

• Fünf mögliche Maschen des Digraphen.

-134-

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4

Z4

Z1

Z5

Z3

Z2

K4

K4

K3

K2

K2

K1

M1 M2

Z4

Z3

Z0

K1

K4

K3

M4

K1

K3

K2

Z1

Z2

Z0

M3

K1

K4

Z4

Z5

K3

K2

Z2

Z0

M5

Topologische Grundbegriffe VIBetrachtungen am Beispielnetzwerk(3) Die Maschen des Digraphen:

• M1 {Z1, Z4, Z5}

• M2 {Z2, Z5, Z3}

• M3 {Z1, Z2, Z0}

• M4 {Z0, Z3, Z4}

• M5 {Z0, Z4, Z5 , Z2}

(1) Reihenfolge {M1, M2}: neu: Z2, Z3

(2) Reihenfolge {M1, M2, M3}: neu: Z0

• Anzahl Zweige zM der Mascheentspricht derKnotenanzahl kM.zM = kM

-135-

Topologische Grundbegriffe VIIBetrachtungen am Beispielnetzwerk(3) Die Maschen des Digraphen:

Eine Anzahl von Maschen wird als linear unabhängig be-zeichnet, wenn es eine Reihenfolge der Maschen so gibt,dass jede Masche mindestens einen Zweig enthält, der inder vorhergehenden Masche nicht enthalten ist.

Eine (Reihen-) Folge von Maschen wird als vollständig be-zeichnet, wenn jede Masche genau einen Zweig enthält,der in der vorhergehenden Maschen nicht enthalten ist.

Ein Digraph mit k Knoten und z Zweigen enthält genaum linear unabhängigeMaschen, die ein voll-ständiges System bilden.

m = z k +1

Beispiel:

{M1, M2, M3}: lin. unabh.{M1, M2, M3 , M4}: lin. abh.

Beispiel:

{M2, M3 , M4}: vollständig(siehe auch Folie 138)

Beispiel:

k = 4, z = 6m = 6 – 4 + 1 = 3drei lin. unabh. Maschen

-136-

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5

Topologische Grundbegriffe VIIIBetrachtungen am Beispielnetzwerk(4) Der Baum:

Ein zusammenhängender Teilgraph desDigraphen, der alle dessen Knoten ent-hält, jedoch keine Maschen wird alsBaum bezeichnet.

• Aus dieser «Konstruktionsregel» ergibt sich, dass jeder Baum einen Knoten mehr hat, als die Anzahl zB seiner Zweige.

• Beispiel:k = 4zB = 3Jeder Baum hat jeweils drei Zweige.

k = zB +1 zB = k 1

-137-

M1

M1

M2

M1

M2

M3

1

2

1 1

2

3

Topologische Grundbegriffe IXBetrachtungen am Beispielnetzwerk(5) Bestimmung einer vollständigen Folge linear unabhängiger Maschen:

• Wird vom Baum mit zB Zweigen ausge- gangen, werden im Digraphen dadurch Maschen gewonnen, indem man neue

Verbindungszweige im Baum einführt.

• Diese Maschen sind linear unabhängig,da aus jedem neuen Verbindungszweigneue Maschen im Digraphen entstehen.

• Die Folgen dieser Maschen sind vollständig, weil genau eine neue Masche pro einem eingeführtem Verbindungszweig entsteht.

• Dadurch wird die Anzahl zV der Verbin-dungszweige gleich der Anzahl m derlinear unabhängigen Maschen.

zV = m

-138-

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Durch die Wahl eines Baumes innerhalb des Digraphen wirdeindeutig eine vollständigeFolge von m linear unab-hängigen Maschen festgelegt.

Topologische Grundbegriffe XBetrachtungen am Beispielnetzwerk(6) Zusammenfassung:

• Zum Baum:

zV = m

zB = k 1

z = zB + zV

z = k 1+ m

m = z k +1

M1

M2

M3

1

2

3

# Zweigverbindungen

# Baumzweige

# Zweige im Digraphen

• Zum Digraphen:

m = z k +1

-139-

Die Kirchhoffsche Knotenregel IStrombilanz am Netzwerk-Knoten(1) Anordnung:

iKnotenμ

=1

n

= 0

• Ladungen sind mit Masse verknüpft und können deshalb nicht erzeugt oder vernichtet

werden (Massen- bzw. Ladungserhaltung als andere Form der Energieerhaltung).

• Im stationären Fall kann der Knoten keine Ladung speichern.

• Was zufliesst muss abfliessen.

• Stromstärken werden positiv gezählt, wenn ihre Bezugspfeilrichtungen auf den Knoten zuweisen und sind negativ, wenn sie davon wegweisen (geht auch umgekehrt!).

i1

i5

i2

i3

i4

K

Kirchhoffsche Knotenregel: Die Summealler elektrischen Stromstärken, die in einenKnoten des elektrischen Netzwerkes fliessen,ist in jedem Zeitpunkt gleich Null.

(KCL)

Kirchhoffcurrent law

i1 + i2 i3 + i4 i5 = 0

-140-

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i1

i4

i5

i2

i3

R5

R2

R1

R4 R

3

u0

i0

K1

K2

K3

K4

Die Kirchhoffsche Knotenregel IIKnotengleichungen(1) Anwendung der Knotenregel:

Knotenregel für die Knoten K1 bis K4:

K1

( ) : i0 + i1 + i2 + i3 i4 + i5 = 0

K2

( ) : i0 i1 i2 + i3 i4 + i5 = 0

K3

( ) : i0 + i2 i3 i4 + i5 = 0

K4

( ) : i0 + i1 + i2 + i3 + i4 i5 = 0

• (Spaltenweise) Addition der Strömebzw. der Gleichungen ergibt Null.

• Addition von drei Gleichungen ergibt je-weils die (u.U. negative) vierte Gleichung.

= 0

-141-

i1

i4

i5

i2

i3

R5

R2

R1

R4 R

3

u0

i0

K1

K2

K3

K4

Die Kirchhoffsche Knotenregel IIIKnotengleichungen(2) Erkenntnisse aus den Knotengleichungen:

• Zur letzten Aussage (Folie 141): Die vierteGleichung enthält demnach keine neuenInformationen zu den Stromstärken.

• Die 4 Gleichungen des Gleichungssystems sind linear abhängig.

In einem Netzwerk mit k Knoten sind nurk–1 Knotengleichungen linear unabhän-gig. Dies, weil bis zur k–1-ten Knotenglei-chung jeweils mindesten ein neuer Zweig-strom hinzukommt.

In einem Netzwerk mit k Knoten müssennur k–1 Knotengleichungen berechnetwerden. Die k-te Knotengleichung istzwangsläufig erfüllt.

-142-

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M

1

2

4

3

31

4

2

• Gegeben sei eine beliebige Masche M im Digraphen eines elektrischen Netzwerks.

• Auch für diesen geschlossenen Umlauf muss gelten (kein veränderliches Magnetfeld):

Grundgesetz der elektrostatischen Felder (cf. Folie 1-83)

• Will heissen: Umlaufspannung = 0

• In diesem Sinn kann das Umlaufintegral als Summe über eine zusammenhängende,«geschlossene» Folge von Knotenpoten-zialdifferenzen ( i – i+1) interpretiert werden:

Die Kirchhoffsche Maschenregel IBetrachtungen zur Umlaufspannung(1) Grundgesetz der elektrostatischen Felder:

E dsM

= 0

2 4( ) + 4 1( ) + 1 3( ) + 3 2( ) = 0

-143-

-144-

K1 i1

i4i5

i2

i3

R5

R2R1

R4 R3

u0

i0

K2

K3

K4

a)

uz = u

i

uz = u u0

i

R

b)

u

i0

u0

Die Kirchhoffsche Maschenregel IIBetrachtungen zur Umlaufspannung(2) Betrachtungen am elektrischen Netzwerk:

uz Mascheμ= 0

• Das Umlaufintegal besteht demnach aus Linienintegralen über

die entsprechendenZweige der Masche.

• Das Linienintegral längseines Zweiges ergibt dieZweigspannung uz.

• Wird das Netzwerk nichtvon einem veränderli-chen Magnetfelddurchsetzt, dann gilt:

Passiver Zweig:

Aktiver Zweig:

Zweigspannungen:

Gilt nur für Netzwerke mit Quellen, Widerständen und Kondensatoren.

Spulen?

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K1 i1

i4

i5

i2

i3

R5

R2R1

LR3

u0

i0

K2

K3

K4

iL = i4

a) b)

u2

u3

u5

u1K2

K1 K4

m

u4

i1R1 R5

L

u1 u5

i5

uL = u4

• Gemäss Folie 1-261 gilt dann für die Umlauf-

spannung:

• C in Richtung von i4.

• Vom Standpunkt desVerbraucherpfeilsystems( induktive Spannung)

Die Kirchhoffsche Maschenregel IIIBetrachtungen zur Umlaufspannung(3) Netzwerke mit Spulen:

E dsC

=uind =d

dt

E dsC

+ uL = 0

uL = +d

dt

Bezugspfeile von uL und iL haben den gleichen Richtungssinn

Das Umlaufintegral berüchsichtigt nur Spannungen an Widerständen und Kondensatoren

uz Mascheμ= 0

-145-

-146-

• Die vorhin gemachten Überlegungen zumVerbraucherpfeilsystem und zur induktivenSpannung gelten auch in diesem Fall.

• Maschenumlaufsinn wird im Rechtsschrau- bensinn zum Flächennormalenvektor (der

durch die Masche aufgespannten Fläche)angesetzt.

• Die Zweigspannungen sind im Maschenum-laufsinn zu summieren:

• Die Masche selbst kann hier als eine «verteil-te Spule» (mit einer Windung) aufgefasstwerden.

iC

i1

i2

i3

u

3 u

0

u

2

u

C

u

1

K

1 K

4

K

3 K

2

R

1

R

3

R

2

u

ind

n

m

M

C

Die Kirchhoffsche Maschenregel IVBetrachtungen zur Umlaufspannung(4) Netzwerk, welches selbst von einem magnetischen Fluss durchsetzt wird:

uC +u2 + u0 u3 + u1 +d m

dtuL

= 0

uz MascheM= 0

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• Die Beziehungen , und sind «Reproduktionen»einer einzigen Gesetzmässigkeit, nämlich der Maschen-regel.

Die Kirchhoffsche Maschenregel VFormulierung der Maschenregel(1) Zusammenfassung der bisherigen Erkenntnisse:

uz Mascheμ=1

n

= 0

Kirchhoffsche Maschenregel: Die Summe allerZweigspannungen uz ( =1,2,…,n) in einer Mascheeines elektrischen Netzwerks, die in beliebigemUmlaufsinn durchlaufen wird, ist in jedem Zeitpunktgleich Null.

(KVL)

Kirchhoffvoltage law

-147-

M2i

1

i4

i5

i2

i3

R5

R4 R

3

u0i

0

M1

R1 R

2

M3

M4

u1 u

2

u4 u

3

u5

Die Kirchhoffsche Maschenregel VIMaschengleichungen(1) Anwendung der Maschenregel:

Maschenregel für die Maschen M1 bis M4:

M1

( ) : u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 0

M2

( ) : u0 + u1 u2 u3 u4 u5 = 0

M3

( ) : u0 u1 +u2 + u3 u4 + u5 = 0

M4

( ) : u0 + u2 + u3 u4 + u5 = 0

= 0

• (Spaltenweise) Addition der Spannungenbzw. der Gleichungen ergibt Null.

• Addition von drei Gleichungen ergibt je-weils die (u.U. negative) vierte Gleichung.

-148-

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M2i

1

i4

i5

i2

i3

R5

R4 R

3

u0i

0

M1

R1 R

2

M3

M4

u1 u

2

u4 u

3

u5

Die Kirchhoffsche Maschenregel VIIMaschengleichungen(2) Erkenntnisse aus den Maschengleichungen:

• Zur letzten Aussage (Folie 148): Die vierteGleichung enthält demnach keine neuenInformationen zu den Spannungen.

• Die 4 Gleichungen des Gleichungssystems sind linear abhängig.

• Linear unabhängige Gleichungen ergebensich durch die Menge linear unabhängiger

Maschen (Begründung: Folien 138, 139).

In einem Netzwerk mit z Zweigen und kKnoten müssen die Maschengleichungenfür nur m = z – k + 1 linear unabhängigeMaschen berechnet werden. Die Maschen-gleichungen für die anderen Maschen sindzwangsläufig erfüllt.

-149-

i1

i4

i5

i2

i3

R5

R2

R1

R4 R

3

u0

i0

K1

K2

K3

K4

u1

u4 u

3

u2

u5

Die Netzwerkgleichungen IDie vollständige Beschreibung des Netzwerks(1) Netzwerkbeispiel:

K1

( ) : i0 + i1 + i2 + i3 i4 + i5 = 0

K2

( ) : i0 i1 i2 + i3 i4 + i5 = 0

K3

( ) : i0 + i2 i3 i4 + i5 = 0

M1

( ) : u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 0

M2

( ) : u0 + u1 u2 u3 u4 u5 = 0

M3

( ) : u0 u1 +u2 + u3 u4 + u5 = 0

(a) Elektrische Stromstärken:

(b) Elektrische Spannungen: (m Gleichungen)

(c) Für die Zweig-elemente:

u = R i = 1, 2,…, 5

-150-

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12

i1

i4

i5

i2

i3

R5

R2

R1

R4 R

3

u0

i0

K1

K2

K3

K4

u1

u4 u

3

u2

u5

Die Netzwerkgleichungen IIDie vollständige Beschreibung des Netzwerks(1) Fazit:

• Die angegebene, vollständige Beschrei- bung des elektrischen Netzwerks ent-

hält 11 Gleichungen für 11 Unbekannte.

• Die Unbekannten sind hier u und i mit = 1, 2,…, 5 und i0.

• Im Prinzip ist das Problem, d.h. dieBestimmung der Strom- und Spannungs-grössen damit gelöst.

• Aber: Eine direkte Lösung der ange-gebenen Gleichungssysteme ist un-nötig aufwändig.

• Bessere Lösungstrategien vermittelthierzu die Netzwerkanalyse.

-151-

M

R1

R2

K2

u1

u2

uu0

i

K1

K3

i i1

i1

i2

i2

Einfache elektrische Netzwerke IDie Reihenschaltung von Netzwerkelementen(1) Betrachtung der Stromstärken (im Widerstandsnetzwerk):

K1

( ) : i i1 = 0 i1 = i

K2

( ) : i1 i2 = 0 i1 = i2K

3( ) : i2 i = 0 i2 = i

• Ohne Einschränkung der Allgemeinheitwerden die Netzwerkelemente als Wider-stände angenommen.

• Für den Zusammenhang zwischen Zweig-Ströme und Zweigspannungen gilt dem-nach das Ohmsche Gesetz.

• Das Netzwerk hat drei entartete Knoten(Knoten ohne Stromverzweigung).

• Anwendung der Kirchhoffschen Knotenregel:

i1 = i2 = iDie Stromstärken in denin Reihe geschaltetenNetzwerkelementen sindgleich gross.

Reihenschaltung(Serieschaltung)

-152-

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13

• Anwendung der KirchhofschenMaschenregel:

• Daraus folgt:

• Die von aussen durch die Urspannungs-quelle angelegte Gesamtspannung istgleich der Summe der Teilspannungenan den beiden Widerständen.

• Für eine Reihenschaltung von n Netz-werkelementengilt demnach:

M

R1

R2

K2

u1

u2

uu0

i

K1

K3

i i1

i1

i2

i2

Einfache elektrische Netzwerke IIDie Reihenschaltung von Netzwerkelementen(2) Zu den Spannungen im Widerstandsnetzwerk:

M( ) : u0 + u1 + u2 = 0

u = u=1

nDie an einer Reihenschaltung von n Netz-werkelementen anliegende Gesamtspan-nung u ist gleich der Summe der einzelnenTeilspannungen an den Netzwerkelementen.

u0 = u1 + u2

-153-

K

1

R

1

K

1

K

3 K

3

R

R

2 u

2

u

1

u

i i1

i2

Einfache elektrische Netzwerke IIIDie Reihenschaltung von Netzwerkelementen(3) Äquivalenter Gesamtwiderstand der Reihenschaltung:

R =u

i=u1 + u2i

=u1i+u2i

=u1i1+u2i2

= R1 + R2

• Der Strom, welcher aus Knoten K1 in dieReihenschaltung und aus Knoten K3 zurückin die Quelle fliesst hat die Stromstärke i.

• Die Spannung zwischen den Knoten K1 undist K3 gerade die Gesamtspannung u.

• Ein äquivalenter Widerstand R (Ersatzwider-stand), der bei der selben Gesamtspannungu eine Stromstärke von i aufweist berechnet

sich demnach gemäss:

-154-

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14

K

1

R

1

K

1

K

3 K

3

R

R

2 u

2

u

1

u

i i1

i2

Einfache elektrische Netzwerke IVDie Reihenschaltung von Netzwerkelementen(3) Äquivalenter Gesamtwiderstand der Reihenschaltung:

R = R=1

n

n in Reihe geschaltete elektrischeWiderstände können bezüglich ihreräusseren Klemmen durch einenäquivalenten Gesamtwiderstand Rersetzt werden (heisst demnachauch: Ersatzwiderstand). Der äqui-valente Gesamtwiderstand R istgleich der Summe der n in Reihegeschalteten Einzelwiderstände.Der Gesamtwiderstand R ist grösserals der grösste Teilwiderstand.

äquivalenter Gesamtwiderstandder Reihenschaltung(Ersatzwiderstand)

-155-

K

1

R

1

K

1

K

3 K

3

R

R

2 u

2

u

1

u

i i1

i2

Einfache elektrische Netzwerke VDie Reihenschaltung von Netzwerkelementen(4) Spannungsteilerschaltung:

u1u2

=R1 i1R2 i2

=R1 i

R2 i=R1R2

u1u=R1 i1R i

=R1 i

R i=

R1R1 +R2

u2u

=R2 i2R i

=R2 i

R i=

R2R1 +R2

• Durch die in Reihe geschalteten Wider-stände R1 und R2 wird die Gesamtspan-nung u in Teilspannungen u1 und u2 auf-geteilt.

R

-156-

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15

Der durch die Parallelschaltung von nNetzwerkelementen fliessende Strom iist gleich der Summe derStromstärken der durchdie Netzwerkelementefliessenden Teilströme.

Einfache elektrische Netzwerke VIDie Parallelschaltung von Netzwerkelementen(1) Betrachtung der Stromstärken (im Widerstandsnetzwerk):

Leitwerte: G =1

R

K

1( ) : i i1 i2 = 0 i= i1 + i2

• Anwendung der Kirchhoffschen Knotenregel:

• Der Gesamtstrom i wird in die Teilströmei1 und i2 aufgeteilt.

K

1

K

2

G

2 G

1 M

1

M

2 i2

i1

i

u

1 u

0 u

2

i = i=1

n

-157-

Einfache elektrische Netzwerke VIIDie Parallelschaltung von Netzwerkelementen(2) Zu den Spannungen im Widerstandsnetzwerk:

M1

( ) : u0 u1 u2 = 0 u1 = u0M

2( ) : u0 u1 u2 = 0 u2 = u0

• Anwendung der Kirchhoffschen Maschenregel:

K

1

K

2

G

2 G

1 M

1

M

2 i2

i1

i

u

1 u

0 u

2

In einer Parallelschaltung von n Netz-werkelementen sind die an den einzel-nen Netzwerkelementen anliegendenelektrischen Spannungen gleich gross.

u =u1 =u2 =…=un

Alle Widerstände/Leitwerte liegenan der gleichen Spannung.

-158-

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16

Einfache elektrische Netzwerke VIIIDie Parallelschaltung von Netzwerkelementen(3) Äquivalenter Gesamtleitwert/Gesamtwiderstand der Parallelschaltung:

• Der äquivalente Gesamtleitwert G ermittelt sich durch die Forderung, dass durch ihn bei der Spannung u = u0 der Gesamtstromi fliessen soll.

K

1

K

2

G

2 G

1 M

1

M

2 i2

i1

i

u

1 u

0 u

2

G=i

u=i1 + i2u

=i1u+i2u= G1 +G2

G= G=1

n äquivalenter Gesamtleitwertder Parallel-schaltung

Der äquivalente elektrische Gesamt-leitwert G von n parallel geschaltetenelektrischen Leitwerten ist gleich derSumme der parallel geschalteten Einzel-leitwerte.

-159-

Einfache elektrische Netzwerke IXDie Parallelschaltung von Netzwerkelementen(3) Äquivalenter Gesamtleitwert/Gesamtwiderstand der Parallelschaltung:

• Der äquivalente Gesamtwiderstand R der Parallelschaltung von n Widerständenberechnet sich demnach gemäss:

K

1

K

2

G

2 G

1 M

1

M

2 i2

i1

i

u

1 u

0 u

2

G= G=1

n 1

R=

1

R=1

n

R =11R

=1

n

äquivalenter Gesamtwiderstandder Parallelschaltung(Ersatzwiderstand)Merke: Der Gesamtwiderstand R

ist kleiner als der kleinste Teilwiderstand.

-160-

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17

Einfache elektrische Netzwerke XDie Parallelschaltung von Netzwerkelementen(4) Stromteilerschaltung:

K

1

K

2

G

2 G

1 M

1

M

2 i2

i1

i

u

1 u

0 u

2

• Durch die parallel geschalteten Leit-stände G1 und G2 wird die Gesamt-stromstärke i in Teilstromstärken i1 undi2 aufgeteilt.

i1i2=G1u1G2 u2

=G1u

G2 u=G1G2

i1i=G1u1G u

=G1u

G u=

G1G1 +G2

i2i=G2 u2G u

=G2 u

G u=

G2

G1 +G2

G

-161-

R

1

R

2 u

2

u

1

u

11

u

0

i

1

1

Einfache elektrische Netzwerke XIDie Spannungsteilerschaltung(1) Der unbelastete Spannungsteiler:

u11 =R2

R1 +R2u0

• Widerstände R1 und R2 sind einstellbar.

• Abhängigkeit der Klemmen-spannung u11’ von R1 bzw. R2.

2 Fälle:

R1 ist einstellbar, R2 ist konstant:

Abhängigkeit derKlemmenspannung

2 Fälle:

R2 ist einstellbar,R1 ist konstant:Abhängigkeit derKlemmenspannung

-162-

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18

Einfache elektrische Netzwerke XIIDie Spannungsteilerschaltung(2) Der unbelastete Spannungsteiler – Variation von R1:

R1 ist einstellbar:Abhängigkeit derKlemmenspannung

u11 =1

1+R1R2

u0

R

1

R

2 u

2

u

1

u

11

u

0

i

1

1

-163-

Einfache elektrische Netzwerke XIIIDie Spannungsteilerschaltung(3) Der unbelastete Spannungsteiler – Variation von R2:

R2 ist einstellbar:Abhängigkeit derKlemmenspannung

u11 =R2 R1

1+ R2 R1( )u0

R

1

R

2 u

2

u

1

u

11

u

0

i

1

1

-164-

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19

Einfache elektrische Netzwerke XIVDie Potentiometerschaltung(4) Der unbelastete Spannungsteiler – gleichzeitige Variation von R1 und R2:

• Gleichzeitige und «gegenläufige» Varia-tion der Widerstände R1 und R2.

• Summe der Widerstände R1 und R2 bleibt konstant.

lineareAbhängigkeit!

u11 =R2

R1 +R2R=const .

u0 R2

-165-

Einfache elektrische Netzwerke XVDie belastete Spannungsteilerschaltung(1) Analyse des belasteten Spannungsteilers:

• Reale Spannungsteiler werdenan einem Verbraucher R3betrieben.

• Der belastete Spannungsteilerweist demnach keine lineareAbhängigkeit der Klemmen-spannung u11’ mehr auf!

• Kirchhoffsche Regeln: m = z – k + 1 = 3 – 2 + 1 = 2

K1

( ) : i1 i2 i3 = 0

M1

( ) : u0 R1i1 R2i2 = 0

M2

( ) : R2i2 R3i3 = 0

i1 = i2 + i3

u0 =R1i1 + R2i2 i2 = R3 R2[ ] i3

u0 = R1 R1 + R2( ) R2 i3 + R3i3

-166-

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20

Einfache elektrische Netzwerke XVIDie belastete Spannungsteilerschaltung(1) Analyse des belasteten Spannungsteilers:

• Stromstärke i3:

i3 =R2 u0

R1R2 +R1R3 +R2R3• Klemmenspannung u11’ :

u11 = u3 = R3 i3

u11 =R2R3 u0

R1R2 +R1R3 +R2R3

u11 =R2

R1 +R2R=const .

+R1R2R3

u0R1R2R3

: bewirkt Nichtlinearität im Verhaltenvon u11’ als Funktion von R2.

-167-

Einfache elektrische Netzwerke XVIIDie belastete Spannungsteilerschaltung(2) Lastabhängigkeit der Klemmenspannung:

u11u0

=1

R1 + R2R2

+R1R3

R2 = x R; R1 = 1 x( ) R

u11u0

=1

1x+ 1 x( )

R

R3u11u0

=1

1x+ 1 x( )

1R3 R

Nichtlinearität «spürbar» ab R3 < R1 + R2

-168-

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21

i1

i4

i5

i2

i3

R5

R2R

1

R4

R3

u0

i0

K1

K2

K3

K4

u1

M1

M2

u2

u3

u5

u4

M3

Einfache elektrische Netzwerke XVIIIDie Brückenschaltung(1) Analyse der Brückenschaltung:

(a) Knotengleichungen:

K1

( ) : i0 + i1 + i2 + i3 i4 + i5 = 0

K2

( ) : i0 i1 i2 + i3 i4 + i5 = 0

K4

( ) : i0 + i1 + i2 + i3 + i4 i5 = 0

m = z – k + 1 = 6 – 4 + 1 = 3

(b) m unabhängige Maschengleichungen:

M1

( ) : u0 u1 + u2 + u3 u4 u5 = 0

M2

( ) : u0 + u1 + u2 + u3 u4 + u5 = 0

M3

( ) : + u0 +u1 u2 + u3 u4 + u5 = 0

u = R i(c) Zweigrelationen:

-169-

Einfache elektrische Netzwerke XIXDie Brückenschaltung(2) Das Gleichungssystem:

Gleichungssystem für die 6 unbe-kannten Stromstärken i0,…,i5.

Die Urspannung u0 ist gegeben. Gesucht ist die Stromstärke i5.

1( ) : i0 + i1 i4 = 0

2( ) : i1 i2 + i5 = 0

3( ) : i3 + i4 i5 = 0

4( ) : R1i1 R4i4 R5i5 = 0

5( ) : + R2i2 +R3i3 + R5i5 = 0

6( ) : +R1i1 R2i2 = u0

i5 =R1R3 R2R4

R3 +R4( ) R1 +R2( )R1R2R1 +R2

+R3R4R3 +R4

+R5

u0

z.B. KramerscheRegel

(3) Die Abgleichbedingung:

i5 = 0

R1R3 R2R4 = 0

unabhängigvon u0 !

R1R2

=R4R3

-170-

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22

Einfache elektrische Netzwerke XXDie Brückenschaltung(3) Wheatstonesche Messbrücke:

R1 =xR= R R2 =

xR= 1( ) R

R1R2

=Rx

Rn

• Abgleichbedingung, so dassder Querstrom i5 = 0:

• Widerstandsbestimmung für Rx:

Rx =R1R3R2

=R

1( )RRn

Rx = 1( )Rn

geeichter Normal-Widerstand.

=x

ohneKenntnisvon R !

-171-

Die Stern-Dreieck Umwandlung IWiderstands-Sternschaltung und Dreieckschaltung(1) Einführende Betrachtungen:

• Schaltungen mit grosser Bedeutung in der Elektrotechnik.

• Problemstellung: Wie müssen die Netzwerkelemente gewählt werden, damit sich die Schaltungen von den Klemmen her besehen (nach aussen) identisch verhalten?

-172-

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23

Die Stern-Dreieck Umwandlung IIUmrechnungen(2) Gleichsetzen der eingesehenen äquivalenten Widerstände:

R10 + R20 =R12 R23 + R31( )R12 + R23 + R31

R20 + R30 =R23 R31 + R12( )R12 + R23 + R31

R30 + R10 =R31 R12 + R23( )R12 + R23 + R31

Klemmen 1-2:

Klemmen 2-3:

Klemmen 3-1:

• Ausdrücke sind durch zyklisches Vertauschen der Widerstände ineinander überführbar.

• Drei Gleichungen für die entsprechenden drei Widerstände.

-173-

Die Stern-Dreieck Umwandlung IIIUmrechnungen(3) Dreieck Stern :

R10 =R12R31

R12 + R23 + R31

R20 =R23R12

R12 + R23 + R31

R30 =R31R23

R12 + R23 + R31

(4) Stern Dreieck :

R12 = R10 + R20 +R10R20R30

R23 = R20 + R30 +R20R30R10

R31 = R30 + R10 +R30R10R20

• Auch hier sind Ausdrücke durch zyklisches Vertauschen der Widerständeineinander überführbar.

• Die Stern-Dreieck-Umwandlung wird in der Netzwerkanalyse vielfach verwendet um Netzwerkprobleme zu vereinfachen.

-174-

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24

Die reale Spannungsquelle IErsatzschaltbild z.B. einer Energieversorgungsstrecke(1) Aufgliederung:

Ideale Quelle(Urspannungs-quelle)

Widerstands-behafteterDraht

Die Last (die Senke) kann nie direkt an die Klemmen1-1’ angeschlossen werden

• Kraftwerk mit Gene-rator und Freileitungen,die zur Fabrik, zu denHaushalten führen.

• Signalquelle mit Über-mittlungskabel undEmpfänger.

-175-

Die reale Spannungsquelle IIErsatzschaltbild z.B. einer Energieversorgungsstrecke(2) Ersatzspannungsquelle (reale Spannungsquelle):

i =u0

Ri +Ra

• Bezüglich der Klemmen 2-2’ steht dem Verbraucher keine ideale Spannungsquelle (Urspannungs-quelle) mehr zur Verfügung.

• Bezüglich der Klemmen 2-2’ wirdeine Urspannungsquelle mit vor-geschaltetem Innenwiderstand Ri

«eingesehen».

• Mit Abschlusswiderstand Ra:

ui = Rii =Ri

Ri +Rau0 u = Rai =

RaRi +Ra

u0 = u0 ui

: Stromstärke

Spannungsabfall ui: Klemmenspannung u:Spannungsabfall

-176-

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25

Die reale Spannungsquelle IIIBelastung der Quelle mit einem Abschlusswiderstand(1) Stromstärke und Klemmenspannung aus der Sicht des Verbrauchers:

• Die Maximalstromstärkebei Ra = 0 heisstKurzschlussstromstärke.

ik =u0Ri

• Die maximale Spannungbei Ra heisst Leerlaufspannung.

u = u0

u0 =

u + ui

-177-

Arbeits-punkt

Die reale Spannungsquelle IVBelastung der Quelle mit einem Abschlusswiderstand(2) Das u-i-Diagramm (oft auch: Die Strom-Spannungskennlinie):

u = u0 Ri i

Die Belastungs-kennlinie:

u = Ra i

aber(Folie 176)

-178-

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26

Die reale Spannungsquelle VDas Verhalten der realen Spannungsquelle(1) Die eindeutige Charakterisierung der realen Spannungsquelle:

u = u0

Wie aus der (linea-ren) u-i- Kennliniehervorgeht, genügenfür die eindeutigeBestimmung derrealen Quelle diebeiden spezifischenArbeitspunkte(a) «Leerlauf» und(b) «Kurzschluss».

ik =u0Ri

Messvorschrift für dieBestimmung realerSpannungsquellen.

-179-

Die reale Spannungsquelle VIDas Verhalten der realen Spannungsquelle(2) Messvorschrift zur eindeutigen Bestimmung von realen Spannungsquellen:

Bestimmung derLeerlaufspannung

Bestimmung desKurzschlusstromes

u := u0 ik :=

u0Ri

Parameter der realenSpannungsquelle

u0 = u

Ri =u0ik

Die «Blackbox»reale Spannungs-quelle ist durchdie Messung vonu und ik eindeutigbestimmbar.

-180-

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27

Ri

Die reale Spannungsquelle VIIDas Verhalten der realen Spannungsquelle(3) Abschliessende Betrachtungen:

(A) Alternative Bestimmung des Innenwiderstandes: Schliesse die Urspannungsquelle kurz, d.h.

ersetze die Urspannungsquelle durch ein Stückideal leitenden Draht.

Der dabei eingesehene Widerstand entsprichtdann gerade dem Innenwiderstand Ri.

(B) Kleiner Innenwiderstand: (Ri << Ra) Die reale Spannungsquelle verhält sich zuneh- mend wie eine (ideale) Urspannungsquelle.

(C) Grosser Innenwiderstand: (Ri >> Ra) Die reale Spannungsquelle verhält sich zuneh- mend wie eine (ideale) Urstromquelle.

u = u0 i =u0Ra

i = i0 i =u0Ri

-181-

Die reale Stromquelle IErsatzschaltbild z.B. einer Signalübertragungsstrecke(1) Aufgliederung:

• Die Stromstärke iq stellt hier einen

Querstrom dar,welcher von derverbleibendenLeitfähigkeit im isolierendenDielektrikum (mit

r) herrührt.

• UnerwünschteStromabzweigung.

Ideale Quelle(Urstromquelle)

Koaxialleitungmit leitfähigemDielektrikum

Die Last (die Senke) kann nie direkt an die Klemmen1-1’ angeschlossen werden

-182-

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28

Die reale Stromquelle IIErsatzschaltbild z.B. einer Signalübertragungsstrecke(2) Ersatzsstromquelle (reale Stromquelle):

u =i0

Gi +Ga

• Für die «Stromabzweigung»kann nun eine Ersatzschal-tung gefunden werden: derQuerleitwert der Strom-quelle, bzw. deren Innen-leitwert.

i =Ga

Gi +Ga

i0 = Ga u

ii =Gi

Gi +Ga

i0 = Gi u

i = i0 ii

-183-

Die reale Stromquelle IIIBelastung der Quelle mit einem Abschlussleitwert(1) Stromstärke und Klemmenspannung aus der Sicht des Verbrauchers:

• Maximalstromstärkebei Ga ist dieKurzschlussstrom.

ik = i0• Die maximale Spannung

bei Ga = 0 S ist die Leerlaufspannung.

u =i0Gi

i0 =

i + ii

-184-

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29

Die reale Stromquelle IVBelastung der Quelle mit einem Abschlussleitwert(1) Belastungskennlinie der realen Stromquelle:

i = i0 Gi u

ik

u

i = Ga u

i0 fliesst durchInnenleitwert

i0 fliesstdurchLast

-185-

Die reale Stromquelle VDas Verhalten der realen Stromquelle(1) Die eindeutige Charakterisierung der realen Stromquelle:

Bestimmung derLeerlaufspannung

Bestimmung desKurzschlusstromes

u :=i0Gi

ik := i0

Parameter derrealen Stromquelle:

i0 = ik

Gi =iku

Die «Blackbox»reale Strom-quelle ist durchdie Messung vonu und ik eindeutigbestimmbar.

-186-

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30

Gi

Die reale Stromquelle VIDas Verhalten der realen Stromquelle(2) Abschliessende Betrachtungen:

(A) Alternative Bestimmung des Innenleitwertes: Nehme die Urstromquelle heraus, d.h.

ersetze die Urstromquelle durch einen Leerlauf. Der dabei eingesehene Leitwert entspricht

dann gerade dem Innenleitwert Gi.

(B) Kleiner Innenleitwert: (Gi << Ga) Die reale Stromquelle verhält sich zuneh- mend wie eine Konstantstromquelle, bzw.

wie eine Urstromquelle.

(C) Grosser Innenleitwert: (Gi >> Ga) Die reale Stromquelle verhält sich zuneh- mend wie eine Konstantspannungsquelle,

bzw. wie eine Urspannungsquelle.

i = i0 u =i0Ga

u = u0 u =i0Gi

-187-

Die reale Spannungs-/Stromquelle(Klemmen-)Äquivalenz der beiden Quellentopologien

Reale Spannungsquelle:

u = u0

ik =u0Ri

Reale Stromquelle:

u =i0Gi

ik = i0

u0 ,Ri( ) i0 =u0Ri

Gi =1

Ri

u0 =i0Gi

Ri =1

Gi

i0 ,Gi( )

-188-

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31

Verschaltung elektrischer Quellen IReihen- und Parallelschaltungen idealer Quellen

u0 = u0=1

nUrspannungsquellenmit ungleichen Ur-spannungen dürfennicht parallel, sondernnur in Reihe geschaltetwerden.

Urstromquellen mitungleichen Urstrom-stärken dürfen nichtin Reihe, sondern nurparallel geschaltetwerden.

i0 = i0=1

n

-189-

Verschaltung elektrischer Quellen IIVerschaltung von gemischten idealen Quellen Reihen- und Parallelschaltung einer Urspannungs- und einer Urstromquelle:

u = R i0 u0

Diese Reihenschaltungverhält sich wie eineUrstromquelle mit ik = i0Bei Belastung gilt i = i0 :

i = G u0 i0

Diese Parallelschaltung ver-hält sich wie eine Urspan-nungsquelle mit u = u0

Bei Belastung gilt u = u0 :

Überlegung:WelcheGrösseder Urquelleist jeweilsstarr undwelche istvariabel?

-190-

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32

Verschaltung elektrischer Quellen IIIReihenschaltung von realen Spannungsquellen Klemmenäquivalenz der beiden Schaltungen:

u = u01 +u02

ik =u01 +u02Ri1 +Ri2

• Originalquellen: Ersatzquelle:

u = u0

ik =u0Ri

u0 = u0=1

n

Ri = Ri=1

n

• Klemmenäquivalenz bezüglich 1-1':

u0 = u01 + u02Ri = Ri1 +Ri2

Klemmenäquivalenz: Leerlaufspannungen undKurzschlussströme müssen übereinstimmen.

eingesehenerInnenwiderstand(cf. Folie 181)

Ri

-191-

Gi1

Gi2

i01

i02 i

0

Gi

Verschaltung elektrischer Quellen IVParallelschaltung von realen Stromquellen Klemmenäquivalenz der beiden Schaltungen:

u =i01 + i02Gi1 +Gi2

ik = i01 + i02

• Originalquellen: Ersatzquelle:

u =i0Gi

ik = i0

• Klemmenäquivalenz bezüglich 1-1':

i0 = i01 + i02Gi = Gi1 +Gi2

i0 = i0=1

n

Gi = Gi=1

n

eingesehenerInnenleitwert(cf. Folie 187)

Gi

-192-

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33

Verschaltung elektrischer Quellen VParallelschaltung von realen Spannungsquellen Umwandlung in eine reale Spannungsquelle in drei Schritten:

Umwandlung indrei reale Strom-quellen.

Zusammenfassen der Stromquellen.

Umwandlung ineine äquivalenteSpannungsquelle.

-193-

Verschaltung elektrischer Quellen VIParallelschaltung von realen Spannungsquellen Umwandlung in eine reale Spannungsquelle in drei Schritten:

Umwandlung der drei realen Spannungs-quellen in drei reale Stromquellen:

(siehe hierzu Folie 188)

i0 =u0Ri

Gi =1

Ri

Zusammenfassen der drei parallelgeschalteten reale Stromquellen:

(siehe hierzu Folie 192)

i0 = i0=1

3

=u0Ri=1

3

Gi = Gi=1

3

=1

Ri=1

3 Umwandlung der realen Stromquellein eine reale Spannungsquelle:

(siehe hierzu Folie 188)

u0 =i0Gi

=u0Ri=1

3 1Ri=1

3

Ri =1

Gi

= 11Ri=1

3

-194-

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34

Verschaltung elektrischer Quellen VIIReihenschaltung von realen Stromquellen Umwandlung in eine realeStromquelle in drei Schritten:

Umwandlung der zwei realenStromquellen in zwei realeSpannungsquellen.

Zusammenfassen der zwei realenSpannungsquellen zu einer realenSpannungsquelle.

Umwandlung der realen Spannungs-Quelle in eine äquivalente Strom-quelle.

-195-

Verschaltung elektrischer Quellen VIIIReihenschaltung von realen Stromquellen Umwandlung in eine reale Stromquelle in drei Schritten:

Umwandlung der zwei realenStromquellen in zwei realeSpannungsquellen.

u0 =i0Gi

Ri =1

Gi

u0 = u0=1

3

=i0Gi=1

3

Ri = Ri=1

3

=1

Gi=1

3

i0 =u0Ri

=i0Gi=1

3 1Gi=1

3

Gi =1

Ri= 1

1Gi=1

3

Zusammenfassen der zwei realenSpannungsquellen zu einer realenSpannungsquelle.

Umwandlung der realen Spannungs-Quelle in eine äquivalente Strom-quelle.

-196-

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35

Verschaltung elektrischer Quellen IX«Auflösung» eines Knotens Verschieben der Urspannungsquelle:

u = 0V

Liegt eine Urspannungsquelle direkt zwischen zwei Knoten, sokann ein Knoten im Sinne von (b) oder (c) aufgelöst werden.

Merke: Diegrössen i01

und i02 sindverschieden!

-197-

Verschaltung elektrischer Quellen X «Auflösung» eines Zweiges Verschieben der Urstromquelle:

i = 0A

Liegt eine Urstromquelle direkt in einem Zweig (zwischen zwei Knoten),so kann der Zweig im Sinne von (b) oder (c) aufgelöst werden.

Merke: Diegrössen u01

und u02 sindverschieden!

-198-

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36

Leistungsanpassung IReale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand(1) Experimentalanordnung mit variablem Lastwiderstand:

• Wird ein Lastwiderstand ange-schlossen, so fliesst ein Strom i,welcher an Innenwiderstand Ri dieLeistung pi in Wärme umwandelt.

• Ra 0 u 0: es wird keine Leistung pa in der Last umgesetzt, dafür auschliesslich im Innenwider-

stand Ri.

• Ra i 0: es wird keine Leistung pa in der Last umgesetzt.

• Da die Verlustleistung positiv definitist, existiert für ein bestimmtes endliches Ra eine Maximum der inder Last umgesetzten Verlustleis-tung pa.

pa = u i = i2Ra =u2

Ra> 0

pi = ui i = i2Ri =

ui2

Ri> 0

-199-

Leistungsanpassung IIReale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand(2) In Wärme umgesetzte Leistungen als Funktion des Lastwiderstandes:

u =Ra

Ri +Rau0 i =

u0Ri +Ra

Standpunkt der Verbrauchers:Bei gegebenem konstanten Ri

ist der Lastwiderstand Ra ge-sucht, welcher die in der Lastumgesetzte Leistung maximiert.

dpadRa

=Ri +Ra( )

22Ra Ri +Ra( )

Ri +Ra( )4 u0

2=!

0

(A) Strom, Spannung und Leistung:

(B) Extremum der Verlustleistung:

Ri +Ra( )22Ra Ri +Ra( ) = Ri

2 Ra2= 0

Ri2 Ra

2=0 Ra = Ri

pa = u i =Ra

Ri +Ra( )2 u0

2

-200-

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Ri = Ra

Leistungsanpassung IIIReale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand(2) In Wärme umgesetzte Leistungen als Funktion des Lastwiderstandes:

(A) Leistungsanpassung:

Ri = Ra

(B) Maximale Verlustleistung an Ra:

pamax

=u02

4Ra=u02

4Ri

pi =u02

4Ri

(D) Verfügbare Leistung:

p0 :=u02

4Ri

Dies ist auch dieMaximalleistung,die von der Quelle überhaupt abgege-ben werden kann.

(C) Maximale Verlustleistung an Ri:

Anpassungs-bedingung

-201-

Leistungsanpassung IVReale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand(3) Zu den Quellenleistungen:

• Zur Anpassungsbedingung: verfügbare Leistung

Nur bei Leistungsanpassungkann der realen Quelle die maximale Leistung, d.h. die ver-fügbare Leistung entzogen wer-den. Der gleiche Leitungsanteil wird dabei am Innenwiderstand in Wärme umgesetzt.

pa =Ra

Ri +Ra( )2 u0

2 Ri =Ra u02

4Ri

pi =Ri

Ri +Ra( )2 u0

2 Ri =Ra u02

4Ri

pu = u0 i =1

Ri + Rau02 Ri =Ra u0

2

2Ri

Bei Leistungsanpassungliefert die Urspannungsquelle die doppelte verfügbare Leis-tung, d.h. einmal die verfügbareLeistung an die Last und ein-mal an den Innenwiderstand.

• Die Urspannungsquelle unter der Anpassbedingung:

-202-

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0 1 2 3 4 5

1,0

0,5

0

Ra Ri

Leistungsanpassung

Leistungsanpassung VReale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand(4) Der Wirkungsgrad:

=papu

=Ra

Ri +Ra

Anpassungs-bedingung

Leistungsanpassung = 0.5

Kompromiss:(Energieüber-tragung)

Ra = 3Ri= 0.75

pa = 0.75 p0Anpassung:(Nachrichten-tragung)

-203-

Leistungsanpassung VIReale Spannungsquelle an einem Lastwiderstand(5) Aus der Sicht des Energieerzeugers:

• Der Energieerzeuger hatZugriff auf den Innenwi-derstand Ri.

• Umformen der Leistungs-ausdrücke und des Wir-kungsgrades im Hinblickauf Ri / Ra.

• Die in der Last umgesetz-te Leistung wird maximal für Ri = 0 (absolutes Maxi-mum).

-204-

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Leistungsanpassung VIILeistungsanpassung mit idealem Transformator(1) Strom- und Spannungsverhältnisse:

u1u2

=w1w2:= n

i1i2=

w2w1:=

1

n

(A) Übersetzungsverhältnis n:

Re =u1i1=

w1w2

u2w1w2

1

i2=

w1w2

2u2i2

=w1w2

2

Ra

ua = u2 ia = i2 Ra = ua iaRe = n

2 RaEingangs-widerstand

-205-

Leistungsanpassung VIIILeistungsanpassung mit idealem Transformator(2) Verlustlose Leistungsanpassung:

Re = n2Ra :=Ri n =

RiRa

• Dadurch lassen sich beliebige Last- widerstände Ra auf den Wert Re

transformieren.

• In diesem Sinne lässt sich aucheine beliebige Last Ra auf den WertRi transformieren, bzw. anpassen.

pa = ia2Ra = uaia = u2i2 =

u1n

i1n( )

=u1i1 =n2i12Ra i1

2Re =n2i12Ra = pe

verlustloseAnpassung

-206-