5 friccion

Cap 5 CIENCIA FRICCIÓN

1 FTMC – Gastón Sánchez ©

Ciencia fricción Aparte de la fuerza de gravedad, la otra fuerza clave en maniobras con cuerda es la fricción. Ya hablamos un poco de fricción en el capítulo de fuerzas y vectores pero no profundizamos mucho en el tema, lo único que dijimos es que dedicaríamos un capítulo especial para hablar de ella y que además haría acto de presencia a lo largo de todo el libro y la mencionaríamos recurrentemente. Este es el capítulo especial sobre fricción, y creo que merece la pena plantear un par de preguntas que nos sirvan de aperitivo y despierten tu curiosidad:

� ¿Qué es lo que hace posible que podamos frenar la caída de un escalador con nuestro ATC?

� ¿Por qué somos capaces, en un yoyo, de soportar con una sola mano el peso de nuestro compañero cuando nos dice que se soltará de la pared?

� ¿Qué nos permite efectuar un descenso controlado al rapelar con nuestro ocho?

� ¿Qué hace que un nudo autobloqueante no se deslice cuando ejercemos tensión sobre él?

� ¿Qué hace que las vueltas de un “nudo sin tensión” sobre un poste o columna no se deshagan?

� ¿Qué nos dificulta izar una carga?

� ¿Qué nos hace la vida imposible cuando rescatamos a algún alpinista de una grieta? � ¿Por qué debemos usar guantes de piel al maniobrar con cuerdas?

� ¿Qué hace que se caliente una marimba cuando un espeleólogo desciende una cueva?

� ¿Por qué se llega a fundir (derretir) un prusik sobre una cuerda?

A lo mejor son preguntas un poco ociosas pero créeme que es necesario considerarlas. Quizá algunas de ellas ya te las habías planteado anteriormente y sepas su respuesta. Puede que algunas otras se te habían cruzado por la mente pero no les diste mucha importancia o se te olvidaron. O puede ser que algunas de estas preguntas no te las habías llegado a imaginar ni en sueños. Por supuesto que puede haber muchas más interrogantes pero con estas tenemos suficiente tela de donde empezar a cortar. Y si te está dando un ataque de ansias en este preciso momento y mueres por saber ya mismo cuál es la respuesta de cada una de las preguntas anteriores puedes dejar de preocuparte ya que la respuesta es una sola: fricción. Pero lo interesante no está simplemente en saber esa respuesta, lo interesante es saber qué diablos hay detrás de la fricción y por qué lo abarca todo en todas las maniobras con cuerdas.

FRICCIÓN La fricción es la fuerza de rozamiento o resistencia que oponen los cuerpos para que unos deslicen sobre otros. Cuando pongo mi mano sobre una mesa y trato de deslizarla empujando hacia abajo y hacia adelante, cada vez con más fuerza, se vuelve más y más difícil deslizar mi mano por la superficie de la mesa. Cuanto más fuerte empuje, más duro me resultará mover mi mano, de hecho podría llegar a empujar con tal fuerza que mi mano ya no sería capaz de moverse. ¿Por qué sucede esto? Por la famosísima fricción. La fricción es la fuerza que se opone al movimiento y es paralela y opuesta a éste.

Fricción al intentar deslizar la mano por una mesa

La fricción es un tipo de fuerza muy particular y la verdad es que tiene características que la hacen diferente de los otros tipos de fuerza. De hecho, debido a la fricción muchas personas ponen en duda la primera ley de Newton. Veamos por qué.

fricción

fuerza



Si recordamos el primer principio del movimiento este decía que: todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que otra fuerza actúe sobre él. Para muchas personas este principio parece ir en contra de su intuición ya que, por ejemplo, un automóvil solamente permanecerá en movimiento constante siempre y cuando el conductor pise el pedal del acelerador. En el momento en que levante el pie del pedal, el coche empezará a reducir su velocidad poco a poco hasta que llegue un momento en que se detenga totalmente. Todos hemos experimentado este fenómeno alguna vez ¿Dónde está la aplicación de la primera ley del movimiento con el ejemplo del coche? ¿Por qué el coche no se sigue moviendo permanentemente sin necesidad de pisar el acelerador? La respuesta es muy simple: por la fricción, es decir, por el rozamiento entre las llantas del coche y el pavimento. La fricción es esa fuerza que actúa sobre el automóvil para irlo frenando. No hay de nada de malo en la primera ley de Newton. Lo único que hay es la fricción. Si no hubiera fricción los coches no podrían frenarse, no habría forma de pararlos y se seguirían de largo. Incluso nosotros mismos patinaríamos todo el tiempo sin poder frenar y la única manera de frenarnos sería al chocar con una pared o con otras personas u objetos. En términos más técnicos y con un lenguaje más sofisticado, los físicos dicen que las fuerzas de fricción son aquellas fuerzas tangenciales entre superficies que están en contacto. Y lo que hacen estas fuerzas tangenciales es resistirse al movimiento. Lo anterior traducido al lenguaje del ciudadano de a pie quiere decir que la fricción es esa fuerza que hace frenar a las cosas que están en movimiento. Además, la fricción tiene tres consecuencias muy importantes, sobre todo para nosotros al estar maniobrando con cuerdas: la fricción requiere consumo de energía, genera calor y genera desgaste. Los físicos dicen que la fricción es proporcional a la fuerza normal sobre la superficie de contacto.

La fricción es proporcional a la fuerza Normal

Y ya sabemos que todo lo que los físicos hablan y dicen no solamente lo hacen de manera verbal sino que también lo tienen que expresar en lenguaje matemático. Para ello las convenciones que emplean son las siguientes: la fricción se representa mediante la letra f, la fuerza normal se representa por FN, y la relación entre fricción y fuerza normal se escribe matemáticamente así:

f α FN

El simbolito raro α que aparece entre f y FN quiere decir “proporcional”, es decir, que si aumenta la fricción también lo hará la fuerza normal y viceversa. Básicamente la fuerza normal y la fricción son primas hermanas y podemos decir que la fricción se define en términos de la fuerza normal. Relación entre fuerza normal y fricción A lo mejor ya no te acuerdas qué era la fuerza Normal: la fuerza Normal es la fuerza que presiona un cuerpo sobre una superficie (un plano). Aquí la palabra normal significa perpendicular, esto es que la fuerza normal es perpendicular al plano de apoyo. Como se desprende de su definición, la fricción está íntimamente relacionada con la fuerza normal: cuánto mayor sea la normal, más grande será la fricción.

La fuerza normal es perpendicular al plano de apoyo

Como lo más común al pensar en un plano o en una superficie es hacerlo imaginando una superficie horizontal, se piensa que la Normal siempre es perpendicular a la horizontal, y que además es igual al peso del objeto que está sobre la superficie. Lo cual es falso. Precisamente una de las mayores confusiones que tiene la gente al pensar en la fuerza Normal tiene que ver con eso de la perpendicularidad. Para ver por qué no siempre la normal es igual al peso basta que consideremos una superficie inclinada, como la pendiente de una montaña.

peso

fricción

f = µ FNFuerza normal



Fuerzas sobre un objeto (la camilla) apoyado en un plano (superficie) inclinado

En el dibujo de la camilla sobre la pendiente de una montaña, podemos visualizar dos cosas muy importantes: primero, que la dirección de la fuerza Normal es perpendicular al suelo donde se apoya, y segundo, que la Normal no es igual al peso de la camilla. Si el ángulo de inclinación de la pendiente fuera de 60 grados (β =60º), la fuerza normal de la camilla sería la mitad de su peso, es decir que la camilla sólo presionaría con la mitad de su peso. Es verdad que muchas veces la Normal sí es perpendicular a la horizontal y además sí es igual al peso del objeto, pero no siempre. Coeficiente de fricción

La fricción no solamente depende de la fuerza normal sino que también depende del material con que están hechas las superficies en contacto. Esto que acabamos de decir, como no podía ser de otra manera, tiene su respectiva expresión matemática:

f = µ FN

Ya vimos que f es la fricción y FN es la fuerza normal, pero aquí aparece un nuevo símbolo raro µ el cual se conoce como coeficiente de fricción. Como no hay suficientes letras en nuestro alfabeto que nos brinden el suficiente número de símbolos que necesitamos para describir los conceptos físicos, lo que hacen los físicos es usar las letras del alfabeto griego. La letra µ, se pronuncia “mu”, tradicionalmente es usada en la física como símbolo para el coeficiente de fricción. El coeficiente de fricción es definido como la relación de dos fuerzas:

Acerca del coeficiente de fricción lo importante es saber que:

� µ no tiene unidades ya que es el resultado de dividir una fuerza entre otra fuerza (no tiene unidad de medida). Si bien no tiene unidades, nos da una idea de qué tan grande es la fricción que hay entre las superficies que están en contacto. Cuanto mayor sea el coeficiente, mayor será la fricción.

� µ generalmente es expresada en forma decimal, tal como 0.85

� µ es solamente válido para un par de superficies en contacto; cualquier cambio significativo en cualquiera de las superficies (tal como la humedad o la textura) puede causar que el valor de µ cambie.

Características de la fricción

La fricción es una fuerza un poco curiosa ya que no actúa como el resto de las fuerzas de las que hemos hablado hasta ahora. Si los objetos están en contacto uno sobre otro pero no se están moviendo, entonces no hay fricción, pero si uno de ellos (o ambos) intentan moverse o se empiezan a mover entonces la cosa cambia radicalmente.

β

peso fricción

f = µ FN cos(β)

Normal

La fuerza requerida para deslizar un objeto en una superficie a una velocidad constante

Una fuerza perpendicular ejerciendo en la superficie de un objetoµ =



Cuanto mayor sea el empuje que hace un objeto sobre una superficie para moverse sobre ella, mayor será la fricción. La cantidad de “empuje” es lo que se conoce como fuerza normal. Cuando un cuerpo se mueve sobre un plano (una superficie) la fricción es proporcional a la fuerza Normal que el plano ejerce sobre el cuerpo. Otra característica de la fricción es que ésta depende del material con el que están hechas las superficies que están en contacto. Por ejemplo, no es lo mismo arrastrar una camilla sobre hielo que arrastrarla sobre tierra o cemento o arena.

Habrá menos fricción en una superficie de hielo que en una de tierra

Además, por muy extraño y contradictorio que les resulte a muchas personas, la fricción no depende del tamaño de la superficie en que está apoyado un objeto. Si tú eres una de esas personas incrédulas, puedes ir a ver o a preguntarle a cualquier obrero o trabajador que constantemente esté moviendo y manipulando cargas, cajas y objetos pesados.

La fuerza necesaria para mover las cajas vale lo mismo en los tres casos Y si no me crees, pruébalo tú mismo con un sencillo experimento para el cual sólo necesitarás una mesa, cualquier mesa, pero que no tenga rueditas en sus patas. El ensayo consiste en mover la mesa de dos maneras distintas. En la primera prueba la mesa estará en su posición original, es decir, con las patas apoyadas sobre el suelo. En la segunda prueba la mesa estará de cabeza, esto es, con la tabla sobre el suelo y las patas hacia arriba. Cuando la mesa está de cabeza, el área de contacto es mayor que cuando el objeto está en posición normal, ¿en qué caso la fricción es mayor? ¿Cuándo la mesa está apoyada en sus patas o cuando está de cabeza? La respuesta correcta es que en ambos casos la fricción es exactamente la misma.

La fuerza necesaria para mover la mesa es la misma, ya sea que esté apoyada sobre sus patas o bien

que esté invertida El área de contacto no tiene nada que ver con la fricción. La fuerza para mover la mesa únicamente depende del peso que tenga la mesa y del coeficiente de fricción entre la mesa y la superficie sobre la que se desliza. La fricción que hay con la mesa apoyada en sus patas al intentar moverla es la misma fricción que si la mesa estuviera apoyada de cabeza.

hielo tierra

f f

Mover una mesa así … Es lo mismo que moverla así



Y por si no fuera poco, otra característica de la fricción es que no depende de la velocidad con que las superficies se están moviendo.

La velocidad no afecta a la fricción producida

La velocidad a la que se mueve la cuerda en contacto con la polea no tiene nada que ver con la fricción. Ya sea que lo haga a baja velocidad o a alta velocidad, la fricción generada será la misma. Fricción estática y fricción dinámica

Por nuestra experiencia diaria, sabemos que cuando tratamos de mover un objeto a lo largo de una superficie, por ejemplo al mover un mueble en nuestra sala, es más difícil empezar a mover el objeto que mantenerlo en movimiento (una vez que hemos empezado a mover el mueble resulta más fácil seguirlo moviendo). La razón de este extraño fenómeno se debe a que hay dos tipos de fricción: fricción estática y fricción dinámica.

Dos tipos de fricción: estática y dinámica Si un sofá está inmóvil, y no hay nada ni nadie que lo está moviendo, obviamente no habrá fricción. La fricción comenzará únicamente cuando algo o alguien trate de mover el sofá, ya sea jalándolo o empujándolo. Imaginemos que intentamos primero jalar el sofá aplicando muy poca fuerza de tal forma que el sofá ni se inmuta, permanece inmóvil como si nada. Al ver que no pudimos mover el sofá ni un milímetro, volvemos a jalarlo pero ahora con un poco más de fuerza aunque sin mucho éxito. Está claro que hay fricción aunque no hay movimiento. A este tipo de fricción se le conoce como fricción estática, es decir, aquella fricción en la que no hay movimiento. Nosotros sabemos que mientras más fuerte jalemos más aumentará también la fricción. Dependiendo de qué tan fuerte sigamos jalando, la fricción irá aumentando hasta llegar a un punto en que logremos comenzar a mover el sofá y habremos pasado de fricción estática a fricción dinámica.

Al principio el sofá no se mueve, pero con la fuerza suficiente el sofá empieza a moverse

V = 0.1 m/s V = 10 m/s

La fricción generada aquí … Es la misma acá

polea polea

Fricción estática

Fricción

Fricción dinámica

Fricción Estática Fricción Dinámica



A grandes rasgos podemos decir que habrá fricción estática cuando hay rozamiento pero el objeto se queda quieto. Pero cuando el objeto empieza a moverse, entonces habrá fricción dinámica. Coeficientes de fricción estática y dinámica Así como hay dos clases de fricción, también hay dos clases de coeficientes de fricción. De hecho cada clase de fricción tiene su propia expresión. Para la fricción dinámica tenemos

f = µd FN

donde µd es lo que se conoce como coeficiente de fricción dinámico la cual está asociada a esa cantidad de fuerza con la cual hemos empezado a mover el sofá. Para la fricción estática tenemos

f = µs FN

donde µs es lo que se conoce como coeficiente de fricción estático. Fricción y calor

Todos sabemos que la fricción genera calor. Todos hemos sentido cómo la fricción al frotar nuestras manos genera calor. Sin embargo es necesario aclarar que la fricción NO es calor. Muchas veces decimos la frase “calor por fricción” como si calor y fricción fueran sinónimos, pero la fricción y el calor son cosas totalmente diferentes. La fricción no se convierte en calor pero sí puede producir calor. ¿Por qué no son lo mismo fricción y calor? Porque la fricción es una fuerza y el calor es una clase de energía, energía térmica (todavía no hablamos de energía pero no importa mucho). La fricción y el calor están relacionados mediante la transformación de energía cinética en energía térmica, es decir, la fricción convierte energía cinética en energía térmica. La energía cinética es la energía que poseen los cuerpos que están en movimiento. Por el simple hecho de moverse, un cuerpo tiene energía cinética. Un niño moviéndose en patines posee energía cinética. Un espeleólogo o un alpinista haciendo un rapel, por el simple hecho de estar en movimiento, poseen energía cinética. Todo objeto en movimiento posee energía cinética la cual depende de la masa del objeto y de la velocidad a la que se mueva. La fórmula matemática de la energía cinética es la siguiente

Energía cinética = ½ mv2

m es la masa (medida en kilogramos) y v es la velocidad (medida en m/s2). La discusión de esta fórmula la dejaremos para más adelante pero lo importante es que te des cuenta de que la energía cinética depende de la velocidad a la que se mueve un cuerpo. A mayor velocidad, mayor energía. ¿Qué pasa entonces con la fricción y el calor durante un descenso o un rapel? Por un lado sabemos que la fricción no depende de la velocidad, por eso en los descensos o rapeles, no importa si bajamos rápidamente o lentamente, ya que eso no cambiará la fricción.

Un cuerpo en movimiento posee energía cinética

Ec = ½ mv2



Es verdad que si nos detenemos durante un descenso, al no haber movimiento no habrá fricción (al menos dinámica), pero si continuamos el descenso de manera constante, la fricción total en cualquier caso será la misma. Sabemos además que la fricción no depende para nada de la energía cinética ni de ningún otro tipo de energía, y sabemos también que la fricción se opone al movimiento haciendo que los cuerpos disminuyan su velocidad. ¿Significa eso que de aquí en adelante siempre que hagamos un rapel lo podemos realizar a máxima velocidad? No exactamente. Veamos por qué. Ya dijimos que la fricción no es calor (energía calorífica) y no depende de ningún tipo de energía, aunque fricción y calor sí están relacionados de alguna manera. La relación entre fricción y calor pasa por la energía cinética. Debido a que la fricción causa que un cuerpo disminuya su velocidad, ocasionará también que su energía cinética disminuya (a menor velocidad, menor energía cinética). Pero la energía no puede desaparecer y eso viene garantizado por el principio de conservación de la energía que nos dice que la energía no surge de la nada ni tampoco desaparece por arte de magia, sólo se transforma. Entonces, si la energía cinética disminuye pero no puede desaparecer, ¿a dónde se va o qué le pasa a esa energía “perdida”? ¿en qué se transforma? ¡En calor!, parte de la energía cinética “perdida” se transforma en energía térmica, y así es como se produce el calor por fricción. La fricción genera calor debido a que al oponerse al movimiento de un cuerpo, hace que la energía cinética se transforme en energía térmica. Sin embargo, el calor producido no depende de la cantidad de fricción, únicamente depende de la cantidad de energía cinética, la cual depende a su vez de la velocidad a la que se mueva el cuerpo. En otras palabras, el calor producido por fricción no depende de cuánta fricción exista (qué tan alta o baja es la fricción), de lo que sí depende el calor es de la energía cinética, la cual depende a su vez de la velocidad a la que se mueve un cuerpo. (Importante recordar: un cuerpo en movimiento no posee fricción, un cuerpo en movimiento posee energía cinética). En consecuencia, a pesar de que la fricción en un descenso sea la misma sin importar la velocidad a la que bajemos, un descenso rápido generará más calor que uno a menor velocidad. Por esta razón, bajar a máxima velocidad no es algo muy deseable que digamos (además de que al bajar lentamente tendremos un mejor control del descenso).

Descender lentamente genera la misma fricción que hacerlo a mayor velocidad pero produce menor calor

al haber menor energía cinética Resumiendo, la cantidad de fricción será la misma independientemente de la velocidad, pero la cantidad de energía, tanto cinética como térmica, sí dependerá de la velocidad. Por lo tanto, en un descenso, la cantidad de fricción será la misma sin importar si bajamos rápido o lento. Pero, la cantidad de calor variará dependiendo de qué tan rápido o lento bajemos. La moraleja de todo esto es: por mucha prisa que tengas en descender, o por muchas ganas que tengas de lucirte e impresionar a tus amigos en un rapel, intenta mantener siempre una velocidad baja y constante. Todos los elementos del sistema (cuerda, descensor, anclaje, etc) te lo agradecerán.

V = 1 m/s V = 5 m/s

Menor calor generado Mayor calor generado

Lento Rápido

Misma fricción Diferente energía cinética



¿Qué podemos decir acerca de la fricción?

En primer lugar, la fricción es una fuerza: fuerza de rozamiento. Dicho en otras palabras, la fricción es la resistencia que se opone al movimiento o a la tendencia al movimiento de dos superficies en contacto. Siempre que un objeto se esté moviendo sobre una superficie habrá fricción, por lo cual podríamos decir que hay fricción por doquier: las piezas de las máquinas se desgastan debido a la fricción; los autos pierden parte de su potencia debido a los efectos del rozamiento; nuestros huesos y articulaciones, se van desgastando con el paso del tiempo debido a la fricción; incluso los pájaros, aviones u ovnis que vuelan en el cielo tienen rozamiento con el aire. Características de la fuerza de fricción

� La fuerza de fricción tiene la misma dirección pero sentido contrario al movimiento del cuerpo

� Es directamente proporcional a la fuerza Normal que actúa entre las dos superficies

� Depende del tipo de material de los cuerpos y del estado de sus superficies

� Es prácticamente independiente del área aparente de contacto entre las superficies

� Es independiente de la velocidad con que se desplaza un cuerpo sobre otro

� Depende de la naturaleza del proceso de lubricación que ocurra entre los dos cuerpos

Consecuencias de la fuerza de fricción

� Pérdida de potencia útil aprovechable para trabajo productivo

� Generación de calor

� Fatiga térmica de los componentes de las máquinas (reduciendo su vida útil de servicio)

¿Por qué la importancia de la fricción en maniobras con cuerdas? Si aún no te has dado cuenta de la enorme -yo diría gigante- importancia que tiene la fricción en maniobras con cuerdas, esta es prácticamente tu última oportunidad de tomar conciencia al respecto sin necesidad de sufrir graves consecuencias friccionarias (como quemarte las manos con la cuerda, o ver cómo se derrite la camisa de una cuerda o cordino, o intentar izar un macuto durante horas consiguiendo elevarlo apenas unos milímetros). La importancia de la fricción tiene que ver con el hecho fundamental de que trabajamos con cuerdas. Y las cuerdas estarán en contacto con muchas otras cosas, no solamente de manera inmóvil sino generalmente moviéndose ya sea a lo largo de una superficie rocosa o por nieve, con otras cuerdas, por nuestras manos, por mosquetones, por ascensores, por descensores, por dispositivos de freno, por poleas, por bloqueadores (mecánicos o nudos autobloqueantes) y un largo etcétera. Donde quiera que la cuerda efectúe un recorrido, ahí habrá fricción, seamos conscientes de ello o no, nos guste o no, lo queramos o no. Y de la fricción no nos salva nadie. Pero no todo es tan malo con la fricción. Puede ser nuestra peor pesadilla, pero también puede ser nuestra mejor aliada. Podemos decir que hay fricción buena y fricción mala. Fricción que juega a nuestro favor y fricción que juega en nuestra contra. No es ciencia ficción, es ¡ciencia fricción! Fricción buena

� la que hace posible que podamos frenar la caída de un escalador con nuestro ATC

� la que nos hace capaces, en un yoyo, de soportar con una sola mano el peso de nuestro compañero cuando nos dice que se soltará de la pared

� la que nos permite efectuar un descenso controlado al rapelar con nuestro ocho

� la que hace que un nudo autobloqueante no se deslice cuando ejercemos tensión sobre él � la que evita que las vueltas de un “nudo sin tensión” sobre un poste o columna se deshagan

Fricción no tan buena (por no decir mala)

� la que nos dificulta izar una carga

� la que nos hace la vida imposible cuando rescatamos a algún alpinista de una grieta

� la que nos obliga a usar guantes de piel al maniobrar con cuerdas

� la que hace que se caliente una marimba cuando un espeleólogo desciende una cueva

� la que hace que un prusik se derrita sobre una cuerda



Ahora bien, para acabar de entender realmente cómo nos afecta la fricción y cómo es que nos beneficia o nos perjudica en nuestras maniobras con cuerda necesitamos ver una herramienta conceptual más: la ecuación del cabestrante.

ECUACIÓN DEL CABESTRANTE Lo más probable es que en estos momentos te estés preguntando qué demonios es un cabestrante (también llamado cabrestante). No te culpo por eso, yo también me hice la misma pregunta la primera vez que leí sobre este tema. Un cabestrante no es más que un rodillo giratorio alrededor del cual se enrolla una cuerda o un cable; el ejemplo típico son los cabestrantes manuales usados en las embarcaciones, sobre todo en barcos de vela para recoger el ancla (hoy en día lo usual es usar un cabestrante mecánico para tal propósito).

Cabestrante (cabrestante) para izar anclas

Un cabestrante es básicamente un torno colocado de manera vertical alrededor del cual se enrolla un cable o una cuerda. Un torno es una máquina simple como el plano inclinado, la palanca o las poleas (de las cuales hablaremos en otro capítulo); un torno es simple y sencillamente un cilindro dispuesto horizontal o verticalmente que puede girar por la acción de una fuerza aplicada a un manubrio o manivela conectada al cilindro. La carga que se desea elevar se ata a una cuerda, la cual se envuelve o enrolla en el cilindro que se hace girar. Como acabamos de mencionar, cuando el cilindro o torno se disponen en forma vertical recibe el nombre de cabestrante.

Ejemplo típico de un torno empleado en un pozo La ecuación del cabestrante, como su nombre lo indica, tiene que ver con la ecuación que se utiliza para explicar el principio bajo el cual funciona el torno. La verdad es que lo que yo llamo “ecuación del cabestrante” es la traducción literal al español del término inglés capstan equation, también conocida como ecuación de Eytelwein. Pero si te pones a buscar en Google o en wikipedia el término “ecuación del cabestrante” lo más probable es que no encuentres mucha información al respecto. En su lugar, lo que deberías buscar son términos como “fricción en correas”, “rozamiento en correas” o “transmisión por correas”. La razón de esto es que en física la ecuación del cabestrante y todo lo relacionado con ella, tiene sus aplicaciones directas con el uso de correas. Pero como este es un manual que tiene que ver con maniobras con cuerdas y no con maniobras con correas, por mucho que les pueda molestar a los físicos e ingenieros, prefiero dejar la traducción al español del nombre inglés (al fin y al cabo yo soy el autor y decido qué escribir y cómo escribirlo). Dejemos a un lado los tornos y los cabestrantes y quedémonos únicamente con el cilindro, al cual también se le llama tambor. Imaginemos que tenemos una cuerda que pasa sobre un cilindro (tambor) de

cabestrante

marinero

torno



metal. Ya sé que podríamos imaginar una cuerda pasando sobre un mosquetón o una polea pero por motivos académicos y para hacer la explicación más conveniente pensemos en este momento en el cilindro o tambor de metal. Imaginemos que de un extremo de la cuerda está colgada una carga de 49 Newtons y del otro extremo está una carga de 51 Newtons. No se trata de pesos exactamente iguales pero en la práctica esa diferencia de dos Newtons es tan minúscula que cuando soltamos ambos lados de la cuerda las cargas permanecen quietas.

Dos pesos desiguales que cuelgan de una cuerda alrededor de un cilindro

El cilindro que soporta los pesos colgados a ambos lados de la cuerda está aguantando un peso total de 100 Newtons. Sabemos que a pesar de que no hay un balance equilibrado de fuerzas, la carga de 51N no está moviendo a la de 49N, algo parecido a lo que vimos en el ejemplo del hombre que jalaba el sofá. En este caso, el peso (la fuerza) de 51N no es lo suficientemente grande como para mover la carga de 49N, pero es de esperar que exista fricción entre la cuerda y el cilindro, por lo menos fricción estática. Para lograr que la carga de 49N se desplace hacia el lado de los 51N debemos aplicar la fuerza necesaria para pasar de fricción estática a fricción dinámica, pero ¿exactamente cuánta fuerza necesitamos para lograr tal cosa? Lo que buscamos es encontrar valores que podamos aplicar en la fórmula de la fricción dinámica:

fd = µd FN

El objetivo es encontrar el valor de la fricción dinámica fd aunque para ello necesitamos conocer el coeficiente de fricción entre cuerda y metal, así como el valor de la fuerza Normal que la cuerda ejerce sobre la superficie del cilindro. Afortunadamente para nosotros, hay tablas donde podemos encontrar los valores de los coeficientes de fricción para diferentes materiales de superficies en contacto. Por lo tanto, encontrar el valor de µd no es mucho problema. El problema serio, muy serio, es saber cuál es el maldito valor de FN ¿Por qué? porque la cuerda no está apoyada sobre el cilindro de manera totalmente horizontal ni tampoco plenamente inclinada, sino más bien está apoyada curveadamente rodeando al cilindro, y eso, aunque no lo creas, lo complica todo enormemente. Bueno, por lo menos lo complica bastante si no sabemos cálculo integral con coordenadas polares. Entonces, ¿qué podemos hacer al respecto? ¡Ah! Aquí es donde entra en escena la susodicha ecuación del cabestrante para sacarnos del atolladero sin necesidad de quemarnos las neuronas con cálculo integral y coordenadas polares. Damas y caballeros, queridos lectores, es para mí todo un honor y un placer presentarles a la única e inigualable ecuación del cabestrante:

La mismísima ecuación del cabestrante La letra F ya la hemos visto en otras partes y sabemos que representa una fuerza. La letra T también ya la vimos y se utiliza para expresar una tensión. La letra e (exponencial) representa en matemáticas al número “e” que es igual a 2.718281… (su valor exacto no puede ser expresado con un número finito de

cilindro de metal

100N

49N 51N

cuerda

F = T eµβ



cifras decimales). La letra griega µ es el coeficiente de fricción y finalmente el símbolo nuevo es la letra griega “beta” β que en este caso se usa para representar un ángulo. Para poder leer la ecuación del cabestrante y saber qué quiere decir, lo mejor es volver a considerar el dibujo de la cuerda sobre el cilindro y añadir los elementos que aparecen en la ecuación del cabestrante.

Dos pesos que cuelgan de una cuerda alrededor de un cilindro La fuerza la pondremos del lado de la carga de los 51N, la tensión la pondremos del lado de la carga de los 49N, el coeficiente de fricción µ dependerá de los materiales con que estén hechos la cuerda y el cilindro, y el ángulo β será el ángulo de contacto que haga la cuerda alrededor del cilindro. La razón de colocar la fuerza y la tensión tal como están en el dibujo se debe a que nos interesa saber qué cantidad de fuerza hay que aplicar del lado de los 51N para mover la carga de los 49N. Por lo tanto, lo que nos dice la ecuación del cabestrante es que la fuerza que hay en un extremo de la cuerda es igual a la tensión que hay en el otro extremo de la cuerda multiplicada por el exponencial del coeficiente de fricción y el ángulo que forme la cuerda sobre el cilindro. Si suponemos que tenemos un coeficiente de fricción entre la cuerda y el cilindro de 0.1 y un ángulo de 180 grados, la fuerza necesaria para empezar a mover la carga de 49N es de

F = 49N exp(0.1 x π) = 67.08 N

Aclaración importante: para esta ecuación la unidad de medida de los ángulos que todos utilizamos normalmente, es decir los grados, no se usa; lo que se usa son ángulos medidos en radianes. 180 grados equivale aproximadamente a 3.1416 radianes o para ser exactos a π radianes (π es la letra griega “pi”). En consecuencia, si quisiéramos empezar a elevar la carga de 49N, necesitamos añadir 16.08N a la carga de 51N para conseguir los 67.08N necesarios que obtuvimos al resolver la ecuación. Otra versión de la ecuación del cabestrante En ocasiones es frecuente encontrar la ecuación del cabestrante expresada de una manera ligeramente diferente, bajo esta otra presentación:

Otra representación típica de la ecuación del cabestrante La diferencia principal entre esta versión y la anterior es que donde antes había una F ahora tenemos otra T; es decir que ahora tenemos dos tensiones: una T1 y una T2, lo cual no debería extrañarnos ya que la tensión es una fuerza (la fuerza que ejercen las cuerdas). La notación convencional usada en esta versión es que la tensión más grande se representa por T2. ¿Por qué? Porque se supone que el término e

µβ siempre es positivo y por lo tanto T2 > T1. El problema es que en la práctica, al usar la ecuación del

49N 51N

β

T = Tensión F = Fuerza

ángulo

T2 = T1 eµβ

¿pero qué has hecho?

Calla. Sólo sigo las instrucciones del autor.



cabestrante, muchas veces puede ser un poco confuso determinar cuál extremo de la cuerda designamos como T1 y cuál designamos como T2, ya que es algo relativo y depende del punto de vista bajo el cual analicemos las cosas. La solución está en identificar el extremo de cuerda que sujeta la carga y en determinar qué se hace con ella y hacia dónde está la dirección del movimiento. Lo bueno de este enfoque es que sólo hay dos alternativas: una opción es que se aplique tensión para sujetar una carga, la otra opción es aplicar tensión para mover una carga. En el primer caso aplicamos una fuerza con el propósito de evitar el desplazamiento de la carga. En el segundo caso aplicamos una fuerza con el propósito de desplazar la carga. Esto se aprecia mejor en el siguiente esquema.

¿Quién es T1 y T2? La respuesta depende del problema analizado en cuestión. Tanto la carga como la fuerza aplicada pueden jugar el papel de T1 y T2. La cuestión está en examinar cada problema e identificar si estamos aplicando una fuerza para sujetar la carga o si estamos aplicando una fuerza para mover la carga. Si se trata de sujetar una carga, T1 es la fuerza de sujeción y T2 es la carga. Al contrario, si se trata de mover una carga, T2 es la fuerza aplicada y T1 es la carga a desplazar. De las cosas más inmediatas que nos permite explicar la ecuación del cabestrante, conceptualmente hablando, es la acción de la fricción la cual puede ser nuestra mejor aliada o puede convertirse en nuestro enemigo público número uno. Tomando en cuenta que T2 es mayor a T1, puedes ver que para sujetar una carga, lo común es que necesitemos ejercer una fuerza menor de lo que pesa la carga (fricción a nuestro favor). Sin embargo, para poder mover una carga sucede todo lo contrario, ya que necesitaremos aplicar una fuerza mayor de lo que pesa la carga (fricción en nuestra contra). Ángulos de contacto y coeficientes de fricción Ya que hemos hablado un poco sobre las dos tensiones presentes en la ecuación del cabestrante, ahora toca el turno de hablar sobre los otros dos ingredientes de la receta: el ángulo de contacto β y el coeficiente de fricción µ. Es precisamente gracias a estos dos elementos que la igualdad exacta T1 = T2 sólo llega a ocurrir cuando el ángulo es cero (cuerda estirada en línea recta); con un ángulo diferente de cero prácticamente la igualdad nunca llega a suceder en la vida real. Imaginemos ahora que tenemos una carga con un peso de un 1kN (T =1kN), por ejemplo, un alpinista con todo su equipo. Supongamos también que tenemos cuatro cilindros fabricados con diferentes metales cada uno con su respectivo coeficiente de fricción: 0.2 (algo de fricción), 0.4 (un poco más de fricción), 0.6 (fricción alta), 0.8 (mucha fricción). Vamos a suponer además que tenemos diferentes ángulos de contacto y que deseamos aplicar una fuerza para mover la carga, es decir, deseamos saber con qué fuerza hay que jalar la cuerda para poder elevar al alpinista.

Tcarga = Tsujetar eµβ Tmover = Tcarga e

µβ

β

ángulo

Fuerza para sujetar

β

ángulo

Fuerza para mover

T2T1

T2 = T1 eµβ

carga carga

T2 T1



¿Qué pasa con la fuerza cuando varía el ángulo de contacto y el coeficiente de fricción?

¿Qué sucede con la fuerza F cuando variamos el ángulo de contacto β ? Lo podemos ver en los valores

de la tabla. Al aumentar el ángulo de contacto entre la cuerda con el cilindro, la cantidad eµβ también aumenta, y lo mismo ocurre con F, ¿pero qué tanto aumenta? Pues lo hace exponencialmente, es decir que aumenta muchísimo porque hay una relación exponencial entre la fuerza y el ángulo de contacto. Si la relación fuera lineal, significaría que si el ángulo se duplica, la fuerza también se duplicaría (o se triplicaría, o cuadruplicaría dependiendo de qué tipo de relacional lineal hubiera). Pero la relacional no es lineal sino exponencial y eso se aprecia mucho mejor si lo vemos en una gráfica como la que siguiente.

Relación entre F y β para diferentes valores de µ con una tensión de 1kN

Las líneas ilustran perfectamente la relación exponencial entre la fuerza y el ángulo de contacto

Valores de fuerza en función del ángulo y del coeficiente de fricción para una tensión T=1kN

β

ángulo

TensiónT = 1kN

¿F = Fuerza?

ángulo Fuerza según coeficiente de fricciónβ 0.2 0.4 0.6 0.8

0 1.0 1.0 1.0 1.030 1.1 1.2 1.4 1.560 1.2 1.5 1.9 2.390 1.4 1.9 2.6 3.5120 1.5 2.3 3.5 5.3150 1.7 2.8 4.8 8.1180 1.9 3.5 6.6 12.3210 2.1 4.3 9.0 18.8240 2.3 5.3 12.3 28.5270 2.6 6.6 16.9 43.4300 2.8 8.1 23.1 65.9330 3.2 10.0 31.7 100.3360 3.5 12.3 43.4 152.4

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Angulos

Fue

rza

(kN

)

020

4060

8010

012

014

016

0

Coef Friccion

0.20.40.60.8



Lo que se puede ver en la gráfica son cuatro líneas que corresponden a los cuatro diferentes coeficientes de fricción. Lo particular de las líneas es que no son líneas rectas sino curvas, curvas exponenciales. La curva de color rojo es la de mayor fricción mientras que la curva de color azul es la de menor fricción. A medida que el ángulo se incrementa, también lo hace la fuerza. Cuando los ángulos son pequeños, digamos que de cero a 60 grados, la verdad es que no se aprecia gran diferencia entre las cuatro curvas, pero conforme el ángulo se hace más grande, las curvas se van separando cada vez más. Para darnos una idea de cuánto puede llegar a ser la diferencia de tensión debido a la fricción, tomemos el ángulo de 180 grados. Mientras que la fuerza necesaria para mover al alpinista es de 1.9kN con el cilindro de menor coeficiente de fricción, para el cilindro de mayor coeficiente fricción la fuerza es de 12.3kN (¡más de doce veces el peso del alpinista!). Y si nos vamos al caso en que la cuerda dé una vuelta completa al cilindro, es decir, un ángulo de 360 grados, las fuerzas serán de 3.5kN y 152.4kN para los coeficientes de fricción de 0.2 y 0.8, respectivamente.

A mayor número de vueltas (mayor ángulo β), mayor será la cantidad de fricción

Si te fijas bien en la ecuación del cabestrante, no aparece por ningún lado la fuerza de fricción. Lo único que aparece es un coeficiente de fricción, pero de ahí en fuera todo lo demás son un par de tensiones y un ángulo. ¿En dónde está pues la relación entre dicha ecuación y fricción? La fricción viene implícita por medio de la tensión que hay en la cuerda alrededor del cilindro. De esta forma podemos ver la trascendencia de la ecuación del cabestrante ya que gracias a ella es posible llegar a una conclusión muy importante: cuando una cuerda gira, se dobla o se enrolla alrededor de algún objeto, la cantidad de fricción dependerá del ángulo de contacto ente la cuerda y el objeto. Obviamente cuanto más redondo sea el objeto, habrá un mejor ángulo de contacto ya que no es lo mismo cuando una cuerda pasa por el borde afilado de una roca que cuando pasa por los rodillos de un protector de cuerda. Hasta aquí hemos visto lo que nos dice la ecuación del cabestrante cuando queremos mover o levantar una carga. Pero también podemos ver el caso contrario, es decir, cuando queremos bajar o descolgar una carga. Imaginemos que ahora tenemos una carga de 3kN (300 kgf) en uno de los extremos de la cuerda, por ejemplo, dos rescatistas con un paciente en una camilla más el material y equipo que cada uno lleva consigo (mosquetones, cintas, arnés, casco, etc). Supongamos además que tenemos un coeficiente de fricción de nylon sobre acero de 0.3. Aquí ya no estamos interesados en elevar la carga sino en descolgarla, es decir que ya no estamos interesados en calcular T2 sino en calcular T1. Lo que nos interesa es analizar la tensión que debemos aplicar para bajar a los rescatistas y al paciente.

Valores de tensión para sujetar la cuerda, dependiendo del ángulo (número de vueltas) que hay entre la cuerda y el cilindro (µ=0.3).

poca fricción muchísima fricción

Vueltas alrededor de un objeto

β

ánguloTensiónT2 = 3kN

Fuerza ¿T1=?

T1 = T2

exp(µβ)

Ángulo Vueltas T1 (kgf) T2 / T10 0 vueltas 300 1.0

30 1/12 de vuelta 256 1.160 1/6 de vuelta 219.1 1.390 1/4 de vuelta 187.2 1.6180 media vuelta 116.9 2.5270 3/4 de vuelta 72.9 4.1360 una vuelta 45.5 6.5720 dos vueltas 6.91 43.3

1080 tres vueltas 1.05 285.61440 cuatro vueltas 159 gramos 1881.5



Para hacer más interesante el ejemplo, vamos a calcular la fuerza (tensión) con la que tendríamos que sujetar la cuerda dependiendo del ángulo de contacto. Los resultados de la tabla nos confirman una vez más que cuanto mayor sea el número de vueltas de la cuerda sobre el cilindro, habrá mayor fricción. Cuando la cuerda forma un ángulo de 180 grados necesitaríamos sujetar la cuerda con una fuerza de 116.9 kilogramos-fuerza, cosa que sólo Superman puede hacer. Cuando la cuerda da una vuelta completa al cilindro, deberíamos sujetar la cuerda con 45.5 kilogramos-fuerza (no cualquiera podría hacerlo). Sin embargo, con tres vueltas tendríamos que aplicar solamente 6.91 kilogramos-fuerza, algo que quizá hasta un niño podría hacer. Con cuatro vueltas solamente harían faltan 159 gramos; tranquilamente hasta un bebé podría sujetar a los dos rescatistas y al paciente sin ningún problema. Pero ojo: este es un ejemplo teórico usado solamente para propósitos académicos y explicar cómo se aplica la ecuación de cabestrante. En la vida real no creo que muchos grupos de rescate estarían usando un cilindro de acero para bajar al paciente con los rescatistas. Descuelgues e izados Podemos resumir lo que hemos visto acerca de la fricción y la ecuación del cabestrante con otro ejemplo un poquito más ilustrativo que nos ayudará (eso espero) a tener clara la diferencia entre T1 y T2, así como a considerar diferentes coeficientes de fricción. El ejemplo consiste en suponer una cuerda que tiene atada una carga en uno de sus extremos mientras que el otro extremo es sujetado por una persona. Imaginemos que primero sujetamos la cuerda para descolgar la carga, y que más adelante invertimos la maniobra, es decir que jalamos la cuerda para izar la carga. Aquí vamos a considerar un ángulo de contacto de 90º (equivalente a π/2 radianes) y vamos a suponer cuatro casos hipotéticos: 1) el caso ideal donde no hay fricción, 2) el uso de una polea (poca fricción), 3) el uso de un mosquetón (más fricción), 4) la cuerda en contacto con una superficie rocosa (mucha fricción). Asimismo, para cada caso supondremos un coeficiente de fricción teórico.

Diferencia entre descuelgue (sujetar carga) e izado (mover carga) Como se puede apreciar en el presente esquema, la fuerza necesaria para sujetar la cuerda en un descuelgue es menor que el peso de la carga. Naturalmente, cuánto más grande sea el coeficiente de fricción, menor tensión necesitamos ejercer. Por otro lado, la fuerza necesaria que debemos aplicar a la cuerda en el izado es mayor que el peso de la carga. Por eso es conveniente reducir al máximo posible la fricción en los sistemas de poleas para mover una carga.

1kN

µ = 0.30Sin fricción

90º

1kN 1kN1kN

mosquetón roca

0.5kN0.62kN

polea

1kN

0.85kN

1kN

Sin fricción

90º

1kN 1kN1kN

mosquetón roca

2kN1.6N

polea

1kN

1.1kN

µ = 0.45µ = 0.10µ = 0

µ = 0.30 µ = 0.45µ = 0.10µ = 0

T2

T1

Descuelgue

Izado

T1

T2



¿Y el diámetro del cilindro? A lo mejor todavía no te has dado cuenta pero hay otro detalle de suma importancia que merece la pena ser comentado. En los ingredientes de la ecuación del cabestrante no aparece por ningún lado el diámetro del cilindro. ¿Eso qué diantres significa? Significa que la cantidad de fricción no depende del diámetro del cilindro sobre el cual se enrolla la cuerda.

La fricción será la misma en los tres cilindros sin importar su diámetro

Si el material con los cuales están fabricados la cuerda y el cilindro no cambian, la cantidad de fricción será la misma sin importar el tamaño del cilindro. Por ejemplo, si suponemos que nuestro cilindro es en realidad un mosquetón, no importa si el diámetro del mosquetón es de 10mm o de 50mm, la cantidad de fricción será la misma en ambos casos. De lo único que depende la fricción es de las tensiones y del ángulo de contacto entre la cuerda y el mosquetón. Sé que a muchas personas lo anterior les resulta extraño y hay quienes incluso sufren de una crisis existencial por este motivo. Toda su vida han vivido bajo el mito de que hay menos fricción cuando una cuerda pasa sobre un objeto de mayor diámetro que otro. Siento mucho desilusionar a esas personas pero esto no es así.

La fricción será la misma en ambos mosquetones sin importar su diámetro Lo que sí puede ocurrir es que el ángulo de contacto de una cuerda varíe dependiendo del diámetro del objeto alrededor del cual se enrolla. A mayor diámetro, la cuerda se adaptará más fácilmente al perfil del objeto. Por ejemplo, imaginemos que tenemos una cuerda, un mosquetón y un clavo con diámetros de 10mm, 11mm y 2mm, respectivamente. Si enrollamos la cuerda alrededor del mosquetón formando un ángulo de 180 grados, veremos que la cuerda hace contacto completamente con el mosquetón, sin embargo al enrollar la cuerda alrededor del clavo veremos que la cuerda no hace contacto completamente alrededor de éste.

La cuerda no podrá enrollarse perfectamente alrededor del clavo pero sí lo hará con el mosquetón Habrá un diámetro a partir del la cuerda no podrá enrollarse perfectamente alrededor de un objeto como en el caso del clavo. A pesar de que la cuerda está doblada a 180 grados, el ángulo de contacto real con el clavo puede ser de apenas unos escasos y ridículos 20 grados. Resumiendo, la cuerda se adaptará

pequeño grande

diámetro del cilindro



mejor al perfil de un cilindro de mayor diámetro, pero la fricción NO depende ni del diámetro de la cuerda ni del diámetro del cilindro, ya sea éste un mosquetón, un ocho, una polea, un rodillo, o un clavito. Importancia de la ecuación del cabestrante La importancia de la ecuación del cabestrante radica en que nos permite entender no solamente la manera en cómo funcionan los cabestrantes sino también las poleas, los dispositivos de freno (atc, reverso, grigri, etc), los descensores (ocho, marimba, stop, I’D, etc), los protectores de cuerda articulados con rodillos, los nudos, y muchas otras cosas más relacionadas con maniobras con cuerdas. Consideremos un rapel rack también conocido como marimba –o lo que en inglés se denomina brake bar rack– el cual es un dispositivo de descenso comúnmente empleado por los espeleólogos en descensos largos (comúnmente más de 50 metros) o por los grupos de rescate para el descuelgue de cargas pesadas (típicamente un rescatista y un paciente, o dos rescatistas y un paciente).

Marimba o rack (brake bar rack)

La marimba está compuesta por una varilla en forma de “U” que incorpora varios cilindros o tambores a ambos lados de la varilla. Lo que frecuentemente se dice acerca de las marimbas es que son de los dispositivos que mayor fricción generan, y que además nos brindan un excelente control de la cantidad de fricción que se desea. Y que por esas mismas razones, dicen, es que se los prefiere en los descensos largos y prácticamente son de los pocos dispositivos aceptados por grupos de rescate profesional para descolgar cargas pesadas. ¿Será eso cierto o es uno más de los mitos y leyendas que abundan en maniobras con cuerdas? Con base en todo lo que hemos visto hasta ahora, y sabiendo lo que es una marimba, no debería extrañarte lo que dicen acerca de ellas. La cuerda serpentea a lo largo de los cilindros del rack y eso significa que en cada uno de ellos la cuerda tiene un cierto ángulo de contacto. Y ya sabemos que cuanto mayor sea el ángulo de contacto, mayor será la fricción.

Cuerda colocada en una marimba (rack) bajo una modalidad de poca fricción

Por ejemplo, la cuerda puede rozar ligeramente cada uno de los tambores como en la figura anterior, donde la suma de los ángulos de contacto podría ser de unos 300 grados. Si queremos obtener menos fricción basta con separar un poco más los tambores de tal manera que exista mayor distancia entre ellos, con lo cual se consigue que el ángulo de contacto sea menor. Por el contrario, si queremos obtener más fricción simplemente debemos juntar más los cilindros y tal vez agregar uno o dos más. Dependiendo del número de tambores y de la manera en que la cuerda los recorra, podríamos pasar de 300 grados a 800 grados, como lo muestra el siguiente esquema.

Cuerda colocada en una marimba (rack) bajo una modalidad de mucha fricción

30º

85º

85º

85º

45º

Ángulo total de 300º

120º 80º

120º120º240º 120º

Ángulo total de 800º



En consecuencia, el rack efectivamente es uno de los dispositivos con el cual no solamente podemos obtener mayor fricción sino también regularla tanto como queramos. No en vano resulta inigualable en descensos largos y es lo ideal para descolgar cargas pesadas. Fricción , fricción, fricción Hasta aquí llega el tema especialmente dedicado a la fricción aunque ella hará acto de presencia en otros capítulos y será tema de conversación constante a lo largo de todo el libro. Lo fundamental es tener en cuenta que donde quiera que la cuerda efectúe un recorrido, ahí habrá fricción. Como lo mencionamos anteriormente, la fricción será nuestra eterna acompañante para bien y para mal. Puede ser nuestra peor pesadilla, pero también puede ser nuestra mejor aliada. Recuerda, no es ciencia ficción, es ¡ciencia fricción!

Documents

5 friccion