5 Matrizen, Determinanten, lineare koksch/lectures/Bauingenieure/BauIng-Ma1-5- ¢  5 Matrizen,

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  • 5 Matrizen, Determinanten, lineareAbbildungen

    5.1 Vorbemerkung

    In ingenieurwissenschaftlichen Untersuchungen spielen lineare Gleichungssysteme einewichtige Rolle. Zum einen kommen sie direkt vor (z.B. bei Stabwerkberechnungen), zumanderen ergeben sie sich durch Linearisierung nichtlinearer (und daher schwierig zu lsen-der) Probleme.

    Probleme der Praxis fhren hufig auf lineare Gleichungssysteme mit einer groen Anzahlvon Gleichungen und Unbekannten. Auerdem knnen die darin enthaltenen Koeffizien-ten von sehr unterschiedlicher Grenordnung sein. Bei der numerischen Lsung solcherSysteme kann es daher durch Fehlerfortpflanzung zu erheblichen Genauigkeitsverlusten bishin zu falschen Ergebnissen kommen. Auf diese numerischen Aspekte kann im vorliegen-den Text jedoch nicht eingegangen werden.

    Im folgenden fhren wir zuerst die Begriffe Matrix und Determinante ein. Danach werdenwir sehen, wie sie zum Beispiel fr die Lsung von linearen Gleichungssystemen eingesetztwerden knnen.

    5.2 Matrizen

    5.2.1 Der Begriff der Matrix

    Ein lineares Gleichungssystem ist von der Form

    a11x1 + a12x2 + + a1kxk + + a1nxn = b1...

    ......

    ......

    ......

    ......

    ai1x1 + ai2x2 + + aikxk + + ainxn = bi...

    ......

    ......

    ......

    ......

    am1x1 + am2x2 + + amkxk + + amnxn = bm .

    (5.2.1)

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  • 5 Matrizen, Determinanten, lineare Abbildungen

    Hierbei sind die Koeffizienten aik mit i = 1, . . . ,m, k = 1, . . . ,n und die rechten Seiten bigegebene reelle Zahlen. Die n Unbekannten xk, k = 1, . . . ,n, sind so zu bestimmen, daalle m Gleichungen von (5.2.1) erfllt sind.

    Die Linearitt des Gleichungssystems (5.2.1) besteht darin, da die Unbekannten xk nurin der angegebenen Form vorkommen, da also Terme wie z.B. x31 oder

    1x2

    oder sinx3 nichterscheinen.

    Beispiel 5.2.1. Das Gleichungssystem

    3x1

    5x2 + 2x3 = 72x1 + 3x2 + (sin1)x3 = 4

    mit den Unbekannten x1,x2,x3 ist linear. Das Gleichungssystem

    2x1 + 4

    x2 + x2x3 = 13x1 5x2 + x3 = 0

    mit den Unbekannten x1,x2,x3 ist nicht linear (beachte die Terme

    x2 und x2x3).

    Man kann das lineare Gleichungssystem (5.2.1) auch schematisch in folgender Form notie-ren:

    x1 x2 xk xn 1a11 a12 a1k a1n b1

    ......

    ......

    ...ai1 ai2 aik ain bi...

    ......

    ......

    am1 am2 amk amn bn

    (5.2.2)

    Die unterhalb der Kopfzeile stehenden Zahlen enthalten bereits alle Informationen aus Sy-stem (5.2.1). Die Bezeichnung der Unbekannten ist unwesentlich; statt x1, . . . ,xn knnteman z.B. auch s1, . . . ,sn schreiben.

    Es liegt daher nahe, rechteckige Schemata von Zahlen als neue mathematische Objekteeinzufhren und zu studieren.

    Definition 5.2.2. Ein rechteckiges Schema von reellen Zahlen der Form

    A =

    a11 a12 a1k a1n

    ......

    ......

    ai1 ai2 aik ain...

    ......

    ...am1 am2 amk amn

    (5.2.3)heit (reelle) Matrix vom Typ (m,n) kurz (m,n)-Matrix, ausfhrlich: Matrix mit m Zei-len und n Spalten. Die aik heien Elemente der Matrix A. Der Oberbegriff zu Zeile undSpalte ist Reihe.

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  • 5.2 Matrizen

    Bemerkung 5.2.3. 1. Mathematisch korrekt kann eine (m,n)-Matrix auch als AbbildungA : {1, . . . ,m}{1, . . . ,n} R definieren. Die Elemente ai j sind dann die Werte A(i, j)von A an der Stelle (i, j).

    2. Zahlen sind (1,1)-Matrizen.

    3. Statt (5.2.3) schreibt man auch kurz A = (aik)i=1,...,m;k=1,...,n oder A = (aik).

    Beispiel 5.2.4. Es seien

    A =(

    3 5 21 0 4

    )und X =

    x11 x12x21 x22x31 x32

    .Dann ist A eine (2,3)-Matrix und X eine (3,2)-Matrix.

    Definition 5.2.5. Eine (m,n)-Matrix, deren smtliche Elemente gleich 0 sind, heit (m,n)-Nullmatrix und wird mit 0mn oder kurz 0 bezeichnet.

    Eine (n,n)-Matrix A = (aik) heit n-reihige quadratische Matrix, und die Elemente aii,i = 1, . . . ,n, heien Diagonalelemente.

    Eine (n,n)-Matrix, deren Diagonalelemente gleich 1 und deren brige Elemente gleich 0sind, heit n-reihige Einheitsmatrix:

    En = E = 1n = 1 :=

    1 0 00 1 0...

    . . .0 0 1

    .

    Definition 5.2.6. Eine (n,n)-Matrix A = (aik) mit aik = 0 fr i > k (also unterhalb derDiagonale) heit obere Dreiecksmatrix:

    A =

    a11 a12 a1n0 a22 a2n...

    . . .0 0 ann

    , kurz A =

    a11 a22

    . . .0 ann

    .(Rechts haben wir eine schematische Schreibweise fr A angegeben: Hierbei steht frbeliebige reelle Zahlen und 0 fr lauter Nullen.) Analog ist eine untere Dreiecksmatrixdefiniert. Eine Matrix, die sowohl obere als auch untere Dreiecksmatrix ist, heit Diago-nalmatrix; ein Beispiel hierfr ist En.

    Definition 5.2.7. Aus einer (m,n)-Matrix A entsteht die zu A transponierte (n,m)-MatrixA>, indem man die i-te Zeile von A zur i-ten Spalte von A> macht (i = 1, . . . ,m).

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  • 5 Matrizen, Determinanten, lineare Abbildungen

    Beispiel 5.2.8. Es gilt

    A =(

    3 5 21 0 4

    )= A> =

    3 15 02 4

    und

    B =

    7 00 3 10 0 6

    = B> = 0 07 3 0

    0 1 6

    mit R. Es ist B eine dreireihige obere und B> eine dreireihige untere Dreiecksmatrix;hierbei kann = 0 oder 6= 0 sein.

    Definition 5.2.9. Man nennt (n,1)-Matrizen Spaltenvektoren und (1,n)-Matrizen Zeilen-vektoren.

    Beispiel 5.2.10. Somit ist

    a =

    a1a2...

    an

    ein Spaltenvektor und a> = (a1 a2 . . . an) ein Zeilenvektor.

    Bemerkung 5.2.11. Wir hatten schon erkannt, da die Menge Rn der reellen n-Tupel einenVektorraum bilden. Wir knnen ein n-Tupel

    (a1,a2, . . . ,an)

    mit einem Zeilenvektor(a1 a2 . . . an)

    oder mit einem Spaltenvektor (a1 a2 . . . an)> identifizieren.blich ist die Identifizierungder n-Tupel mit den Spaltenvektoren:

    (a1,a2, . . . ,an) =

    a1a2...

    an

    .

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  • 5.2 Matrizen

    Mit dieser Identifizierung fhren wir folgende Bezeichnungen ein:

    Rmn := Menge der reellen (m,n)-Matrizen,Rn := Rn1 = {(a1, . . . ,an) = (a1 . . . an)> : ai R, i = 1, . . . ,n} ,Rn := R1n = {(a1 . . . an) : ai R, i = 1, . . . ,n} ,

    Es ist also Rn bzw. Rn die Menge aller Spaltenvektoren bzw. Zeilenvektoren aus n reellenZahlen.

    Definition 5.2.12. Zwei Matrizen A = (aik) und B = (bik) heien gleich, in Zeichen A = B,wenn sie vom gleichen Typ sind und aik = bik fr alle i,k gilt.

    Beispiel 5.2.13. 1. Es gilt(3 1 21 9 6

    )6=(

    3 1 2 01 9 6 0

    ),

    da die Matrizen nicht vom gleichen Typ sind.

    2. Fr

    a =(3

    7

    )= (3 7)> = (3,7) R2 , b =

    (73

    )= (7 3)> = (7,3) R2 ,

    gilt a6=b.

    5.2.2 Das Rechnen mit Matrizen

    Definition 5.2.14. A = (aik) und B = (bik) seien Matrizen gleichen Typs, sei eine reelleZahl. Man setzt

    A + B := (aik + bik) , A := (aik) .

    Beispiel 5.2.15. 1. Gegeben seien die Matrizen

    A =(

    5 1 32 2 4

    ), B =

    (2 1 03 1 0

    ), C =

    (2 13 1

    ).

    Dann gilt

    A + B =(

    7 0 35 1 4

    ), 2A =

    (10 2 64 4 8

    ).

    A +C und B +C sind nicht definiert.

    2. Fr einen beliebigen Spaltenvektor a = (a1 a2 . . . an)> Rn gilt

    a =

    a10...0

    +

    0a2...0

    + +

    00...

    an

    = a1e1 + a2e2 + . . .+ anen .

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  • 5 Matrizen, Determinanten, lineare Abbildungen

    Das Produkt zweier Matrizen wird nicht elementweise, sondern wie folgt definiert.

    Definition 5.2.16. Seien A = (aik) eine (m, p)-Matrix und B = (bik) eine (p,n)-Matrix.Dann ist das Produkt

    C = A B = A B

    eine (m,n)-Matrix mit den Elementen

    cik :=p

    j=1

    ai jb jk = ai1b1k + ai2b2k + . . .+ aipbpk (i = 1, . . . ,m; k = 1, . . . ,n) .

    (Das Element cik in der i-ten Zeile und k-ten Spalte von C ergibt sich daraus, da die i-teZeile von A mit der k-ten Spalte von B multipliziert wird.)

    Bemerkung 5.2.17. A B ist genau dann definiert, wenn gilt:

    Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B .

    Beispiel 5.2.18. Gegeben seien die Matrix

    A =(

    3 0 12 1 5

    ), B =

    2 1 2 00 3 1 13 2 4 3

    .

    Dann ist AR23 und BR34. Damit ist AB definiert, BA jedoch nicht. Die Berechnungvon A B ergibt:

    2 1 2 00 3 1 13 2 4 3

    BA

    {3 0 12 1 5

    3 5 10 311 9 25 14

    }C

    Satz 5.2.19. Sofern die jeweiligen Terme definiert sind, gelten die folgenden Rechenregeln:

    E A = A E = A , 0 + A = A + 0 = A ,(A + B)C = AC + BC , A (B +C) = A B + AC ,

    (A B) = (A) B = A (B) ( R) ,A(BC) = (A B)C ,

    (A B)> = B>A> .

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  • 5.2 Matrizen

    Bei der letzten Formel beachte man die nderung der Reihenfolge. Diese ist wesentlich,denn im allgemeinen ist

    A B 6= B A ,auch wenn beide Produkte definiert sind.

    Beispiel 5.2.20. Fr

    A =(

    0 10 0

    ), B =

    (0 01 0

    )gilt

    A B =(

    1 00 0

    )und B A =

    (0 00 1

    ).

    5.2.3 Lineare Gleichungssysteme

    Die Zweckmigkeit der obigen Produktdefinition zeigt folgende Anwendung. Gegebensei ein lineares Gleichungssystem

    a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1...

    ......

    ......

    ......

    am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm .(5.2.4)

    Mit den Matrizen

    A :=

    a11 a12 a1n... ... ...am1 am2 amn

    , x := x1...

    xn

    , b = b1...

    bm

    ist (5.2.4) quivalent zu

    A x = b . (5.2.5)

    Das lineare Gleichungssystem (5.2.4) kann also elegant als Matrixgleichung (5.2.5) ge-schrieben werden.

    Man nennt A die Koeffizientenmatrix, x den Spaltenvektor der Unbekannten und b denSpaltenvektor der rechten Seiten (oder der Absolutglieder).

    Definition 5.2.21. Das LGS (5.2.4) heit

    homogen, wenn b = 0 ist (also b1 = = bm = 0), inhomog