5. Principi Konstruktivne geometrije - MASINAC.org geometrija/predavanja... · Konstruktivna geometrija 41 ** Pojedini, značajni stavovi koji se budu pominjali u daljem tekstu, nosiće

5. Principi Konstruktivne geometrije

5.1. Projekcije Osnovna ideja KONSTRUKTIVNE GEOMETRIJE sadržana je u grafičkom prikazivanju trodimenzionih predmeta, definisanju njihovog međusobnog položaja, i konačno, određivanju geometrijskih parametara, neophodnih za izradu.

Problem prikazivanja trodimenzionih formi pomoću, najčešće, dvodimenzionog komunikacijskog medija (papir, ekran, foto materijal, ...), rešava se primenom projekcija. Predmet prikazivanja obično se nalazi slobodno orijentisan u prostoru i iz pogodno izabrane tačke posmatranja, pomoću projekcijskih zraka, generiše se dvodimenzioni lik predmeta na projekcijskoj ravni (Sl. 5.1). Tačkom posmatranja može se smatrati i ljudsko oko, iz koga se zračno prostiru projekcijske linije, koje definišu izgled predmeta na zastoru.

Pojmovi, činjenice i stavovi, posebno značajni za razumevanje razmatrane tematike, biće naznačeni podebljanim slovima, a tumačenje manje poznatih pojmova nalazi se u tački 5.14.

Nešto drugačiji prilaz projektovanju postoji kada se tačka posmatranja preseli u beskonačnost i kada su projekcijski zraci međusobno paralelni, a zastor ima upravni položaj u odnosu na njih (Sl. 5.2). Ovaj vid projektovanja zove se ortogonalno projektovanje i predstavlja suštinsku osnovu naučne discipline KONSTRUKTIVNA GEOMETRIJA (u daljem tekstu KG).

Sl. 5.1 Projektovanje iz tačke Sl. 5.2 Ortogonalno projektovanje

5.2. Osnovi Konstruktivne geometrije Svojstvo ortogonalnosti je jedan globalan fenomen koji se sreće i u srodnim naučnim disciplinama (vektorski, tenzorski račun), a u oblasti inženjerske grafike ima fundamentalni značaj jer pruža realnu, neiskrivljenu sliku jedne strane trodimenzione forme (Sl. 5.3). Da bi se dobio potpuni prikaz prostornog objekta koristi se sistem od tri međusobno ortogonalne ravni. Time se jednovremeno otkriva izgled tri strane predmeta (Sl. 5.4). Najčešće je kombinacija ove tri osnovne projekcije dovoljna da bi se definisao oblik i najsloženijih formi. U slučaju potrebe uvode se pomoćne projekcijske ravni, izabrane na pogodan način.

40 Vizuelne komunikacije

Oznake osnovnih projekcijskih ravni su F - FRONTALNA ravan, H - HORIZONTALNA ravan i P - PROFILNA ravan. Pomoćne projekcijske i konstruktivne ravni, za razliku od osnovnih (F, H, P), imaće oznake arapskih brojeva (1, 2 ... n).

Tačka, kao osnovni element KG, nosiće oznaku nekog od velikih slova abecede A, B, C, D, ..., Z, osim rezervisanih simbola F, H, P. Prikaz tačke u pojedinim projekcijskim ravnima, odnosno projekcijama, biće naznačen originalnom oznakom tačke sa malim natpisanim indeksom AH, AP, B1, C2, ... , koji određuje pripadnost projekcijskoj ravni.

Povezivanjem dve tačke u prostoru formira se novi element KG, koji se naziva duž. Obeležava se povezanom oznakom krajnjih tačaka AB, CD, ... . Jasno, duž prikazana u određenoj projekcijskoj ravni nosiće indeks pripadnosti baš toj ravni ABH, CDP, ... . Produžavanjem osnovnog pravca duži na jednu i drugu stranu od krajnjih tačaka, dobija se prava. Njena dužina je beskonačna, a označava se malim slovima abecede a, b, c, d, ... , u izvornoj formi, odnosno aH, bF, c1, ... , u projekcijama. Prava ne mora isključivo da bude definisana dvema tačkama, već može da leži i u preseku dve ravni. Tada ta prava postaje trag ravni, jer je to fizički trag koji ostaje na mestu prodora jedne ravni kroz drugu.

Označavanje i opis složenijih formi slede kroz naredna poglavlja.

Sl. 5.3 Ortogonalna projekcija figure

Sl. 5.4 Prikaz figure u sistemu tri ortogonalne ravni

Konstruktivna geometrija 41

** Pojedini, značajni stavovi koji se budu pominjali u daljem tekstu, nosiće redosledne brojne simbole u uglastoj zagradi []. Smisao ovog označavanja je da se kasnije ne ponavljaju već opisane relacije i postupci, nego da se pozivanjem na konkretan prethodni stav pripremi podloga za složenija objašnjenja.

5.3. Projekcijski triedar i koordinate Tri međusobno ortogonalne ravni, u preseku, dele ukupni prostor na osam jednakih podprostora (Sl. 5.5). Svaki od ovih podprostora omeđen je sa tri poluravni. Iz prikazanog sistema oktanata (osmine ukupnog prostora) koristiće se jedan, i to onaj najpovoljniji za jednostavno prikazivanje i definisanje elemenata KG.

Različite konvencije u svetu preporučuju izbor različitih oktanata, ali za tehničku komunikaciju na našim prostorima i u većem delu Evrope koristi se prvi oktant (Sl. 5.6). Izdvojen iz sistema oktanata on postaje osnovni projekcijski triedar7, zadržavajući položaj koordinatnog početka (O) i orijentaciju osa (x, y, z) kao i u izvornom sistemu. Raspored i nazive pojedinih projekcijskih ravni u osnovnom projekcijskom triedru moguće je različito definisati, ali u razvijenoj formi (Sl. 5.8) najprirodnije je da frontalni izgled bude u centru, da se profilni izgled nalazi sa strane, a horizontalni izgled u podnožju. Uputstvo za otvaranje osnovnog triedra dato je na slici (Sl. 5.7).

Ovako postavljen ortogonalni projekcijski prostor pruža mogućnost koordinatnog definisanja elemenata KG. Tačka A (Sl. 5.7, Sl. 5.8), kao osnovni element KG, jednoznačno je definisana u prostoru, kombinacijom odgovarajućih koordinata (xA, yA, zA). Tako se, veoma jednostavno, iz čisto analitičke forme (tri numeričke vrednosti x, y, z) može preći u potpuni, grafički prikaz (Sl. 5.7, Sl. 5.8) i obrnuto. Poplavom računarske tehnike i različitih programskih paketa u oblasti tehničke grafike, potvrdila se ispravnost orijentacije na vektorisani ortogonalni prostor, unutar koga se sa lakoćom izvode analitičke manipulacije.

7 Triedar - sklop tri ravni

Sl. 5.6 Osnovni triedar Sl. 5.5 Sistem oktanata


5.4. Postupak formiranja projekcije Pre nego što se dublje zađe u razotkrivanje metoda KG poželjno je istaći par činjenica koje, uprkos sopstvene očiglednosti, ostaju ponekad zamagljene ili u drugom planu.

Prvo, tačka predstavlja osnovni element KG, odnosno hijerarhijski najnižu gradivnu formu. Uspostavljanjem određenog rasporeda pojedinačnih i pogodno izabranih tačaka, veoma jednostavno se formira bilo koji složeniji oblik. Zbog toga je neobično važno da se elementarne operacije u KG, vezane za tačku, izuzetno temeljno prouče i savladaju.

Drugo, linija (takođe i njena omeđena forma duž) predstavlja sledeći hijerarhijski element KG i ima dvostruko značajnu ulogu. Osim što predstavlja sopstveni grafički odraz i parcijalni odraz delova složenijih slika i figura, linija je simbol projekcijskog zraka. Stoga se, kod različitih manipulacija elementima KG (prevođenje iz jedne u drugu projekcijsku ravan) koriste linije, odnosno snopovi tankih, paralelnih zračnih linija8, da bi se izvele odgovarajuće transformacije.

Treće, hijerarhijski još viši element KG je ravan, odnosno geometrijska slika kao omeđena forma ravni. Potpuno srazmerno njenom hijerarhijskom značaju, definisan je i obim moguće primene. Tako se ravan sreće u trostrukoj ulozi.

Svojim parcijalnim delom (geometrijska slika) može da predstavlja zatvorenu ravansku formu, ili neku od strana geometrijske figure. U oba ova slučaja, iako prikazana samo jednim svojim minornim delom, ravan zadržava kompletnu određenost u čitavom prostoru. To omogućava jednostavno uspostavljanje relacija sa drugim elementima sadržanim u toj ili drugim ravnima.

Druga uloga ravni, znatnim delom, već je opisana kroz izbor i postavku projekcijskih ravni. Formom, koja u potpunosti odgovara projekcijskom zastoru, ravan je idealan element na koji se može projektovati izgled predmeta. Pošto se može sasvim slobodno orijentisati u prostoru, pogodnim izborom njenog položaja,

A

zA

AH

A AF PF P

H

z

A

A

A

x y

y

0

x y

y

z A

Sl. 5.7 Otvaranje osnovnog triedra Sl. 5.8 Razvijen osnovni triedar

8 Zračna linija - linija upravna na projekcijsku ravan, prikaz se sažima u tačku


uvodi se pomoćna projekcijska ravan u kojoj se formira lik predmeta baš u željenom pravcu.

Treća uloga ravni je, slično liniji, vezana za formiranje projekcije. Veoma često, umesto primene pojedinačnih projekcijskih zraka (Sl. 5.9), u preslikavanju linijske forme neuporedivo efikasniji potez

je primena zračne ravni9, koja je i inače određena nizom povezanih projekcijskih zraka.

Sl. 5.9 Korišćenje zračne ravni u projektovanju

5.4.1. Osnovne projekcije tačke Pojedini pojmovi KG najbolje se mogu dočarati korišćenjem analogije sa realnim objektima.

Tako, obična kuglica ovešana o plafon sobe, može da predstavlja diskretnu tačku u prostoru. Pri tome, okolni zidovi i pod postaju projekcijske ravni (Sl. 5.10). Korišćenjem jakog svetlosnog izvora, ili još bolje laserskog snopa, dobiće se senka, odnosno projekcija tačke na jednom od naspramnih zidova. Da bi to bila zaista ortogonalna projekcija važno je da svetlosni zrak bude upravan na zid (projekcijsku ravan) i da dolazi iz izvora koji je dovoljno (teorijski beskonačno) udaljen od projektovane tačke. Ta dva uslova:

– ortogonalnost projekcijskog zraka na projekcijsku ravan

– beskonačna udaljenost svetlosnog izvora

predstavljaju osnovne odrednice ortogonalne projekcije. Odstupanje od tih uslova (Sl. 5.10) neizbežno donosi devijaciju projekcije, što dalje vodi projekcijskoj neodređenosti.

FRONTALNA senka, odnosno projekcija, dobiće se kada svetlosni izvor zauzme poziciju 1 (Sl. 5.10), koja svakako ispunjava pretpostavljene uslove dovoljne udaljenosti i ortogonalnosti. Sledeća, PROFILNA senka, dobiće se ako se svetlosni izvor preseli u poziciju 2. Bitno je uočiti da se i pozicija 1 i pozicija 2 nalaze u istoj ravni zajedno sa tačkom A.

Potpuna ravanska podudarnost ovih položaja upućuje na dva veoma važna

9 Zračna ravan - ravan upravna na projekcijsku ravan, prikaz je sadržan u tragu ravni odnosno liniji

Sl. 5.10a Razvijene projekcijske ravni Sl. 5.10 Projekcijski prostor

[2]

[1]


zaključka kod projektovanja tačke unutar osnovnog projekcijskog triedra.

Prvo, projekcije tačke u dve susedne projekcijske ravni nalaziće se uvek na jednakom rastojanju od treće projekcijske ravni, odnosno njenog traga (Sl. 5.10a). Ovu podjednaku udaljenost simbolizuje tanka vezna linija koja spaja dve susedne projekcije, a paralelna je (//) trećoj projekcijskoj ravni.

Drugo, vezna linija susednih projekcija tačke upravna je (⊥) na međusobni trag susednih projekcijskih ravni (Sl. 5.10a).

Uzajamna povezanost susednih projekcija opisana je za FRONTALNU i PROFILNU ravan. Potpuna analogija važi i kod druga dva para susednih ravni FRONTALNA/HORIZONTALNA i PROFILNA/HORIZONTALNA.

Kod ovih parova projekcija, svetlosni izvor se premešta na relaciji pozicija 1/pozicija 3, odnosno pozicija 2/pozicija 3 (Sl. 5.10). Paralelnost i upravnost veznih linija susednih projekcija simbolično je prikazana na slici (Sl. 5.10a).

Dalja razmatranja problema KG biće u najvećoj meri usmerena na prikaz osnovnih elemenata unutar projekcijskog diedra10. To praktično znači da se iz osnovnog projekcijskog triedra izuzima jedna ravan, pošto je dvoravanski prikaz dovoljno ilustrativan i sadržajan za primenu metoda KG. Osnovni projekcijski diedar činiće FRONTALNA i HORIZONTALNA ravan.

5.4.2. Pomoćne projekcije tačke Projektovanje tačke, osim unutar osnovnog projekcijskog diedra, javlja se i u nešto složenijoj formi. To je slučaj kada se koristi pomoćna projekcijska ravan.

Da bi se bliže pojasnio ovaj zahvat vratićemo se primeru sa ovešanom kuglicom i okolnim zidovima.

Šta se dešava, ukoliko se u projekcijsku sobu unese paravan i pokuša projektovanje tačke na taj novi zastor (Sl. 5.12).

Pre nego što se nastave dalja razmatranja, korisno je još jednom istaći da:

– novouvedena, pomoćna projekcijska ravan uvek zauzima upravan (ortogonalan) položaj u odnosu na jednu ili obe osnovne projekcijske ravni ili neku od prethodno definisanih pomoćnih ravni

– projekcijski zraci kojima se preslikavaju postojeće tačke na novu projekcijsku ravan imaju upravan položaj [1] na tu ravan.

10 Diedar - dvoravan

[3]

Sl. 5.11 Nedopuštene proizvoljnosti kod projektovanja


Primer

pomoćne ravni (paravana) (Sl. 5.12) dat je u prostornoj formi, a osnovni zadatak KG je da se to dočara ravanskim prikazom. Da bi se to izvelo primenjuje se čuveni postupak obaranja ravni. Ideja se sastoji u sledećem. Nakon što je laserskim snopom zabeležena senka tačke na paravanu (pomoćnoj ravni), on se rotira (obara) oko svog traga i polaže u HORIZONTALNU projekcijsku ravan. Jasno da je projekcijski zastor mogao da se postavi upravno i na frontalnu ravan, ali je mnogo lakše zamisliti da paravan stoji na podu nego na zidu.

Treba uočiti da se u pomoćnoj ravni senka tačke nalazi:

– na veznoj liniji iz AH koja je upravna na trag pomoćne ravni

Sl. 5.13 Prikaz pomoćne ravni u osnovnom diedru Sl. 5.12 Pomoćna ravan u projekcijskom prostoru

[4] – na udaljenosti h od traga pomoćne ravni, što je inače jednaka

udaljenost i od HORIZONTALNE ravni.

U slučaju čisto ravanskog prikaza, operacija primene pomoćne ravni izgledala bi kao na sledećoj slici (Sl. 5.13).

Da bi sve odgovaralo formalnom sistemu prikazivanja i označavanja, osnovu slike čine FRONTALNA i HORIZONTALNA projekcijska ravan (Sl. 5.13), razdvojene međusobnim tragom. Na ovu podlogu ucrtana je frontalna projekcija tačke AF, a na veznoj liniji koja je upravna na trag F/H horizontalna projekcija AH. Pomoćna projekcijska ravan označena je tragom 1. Na veznoj liniji iz AH, koja je upravna na trag pomoćne ravni 1, a na rastojanju h, nalazi se projekcija tačke A1 u ravni 1.

Obaranje paravana (pomoćne ravni) iz prethodnog primera, moglo se izvesti i na suprotnu stranu (Sl. 5.14). To bi stvorilo priličnu konfuziju na slici, pa se zbog toga obično izbegava obaranje koje preklapa prethodnu projekciju. Ponekad se, međutim, zbog skučenosti prostora vrši i ovakvo nerezonsko obaranje.

A

A 2

2

a


Sl. 5.14 Nepreporučljiv smer obaranja ravni

Sl. 5.15 Druga pomoćna ravan

5.4.3. Transformacija tačke Jedan od zadataka KG je i da se prikaže položaj tačke baš u pravcu određenog zraka, ili na određenoj ravni. Pošto smo naglasili da pomoćna ravan mora uvek da bude upravna na neku od prethodno definisanih ravni [3], to znači da se ne može direktno uvoditi potpuno proizvoljna ravan, koja ne ispunjava ovaj uslov. Do rešenja ovakvog zadatka dolazi se korišćenjem jedne ili više posrednih projekcijskih ravni, pri čemu se postupno vrši transformacija tačke iz jedne u drugu ravan. Tako svaka sledeća ravan ispunjava uslov ortogonalnosti na prethodnu, a postupno se prilazi konačnoj, željenoj ravni.

U praksi, to bi izgledalo kao kada bi na paravanu iz prethodnog primera postojala kosa nastrešnica (Sl. 5.15), a nas interesuje položaj tačke projektovan na tu nastrešnicu.

Kod prvog obaranja, paravan je doveden u HORIZONTALNU ravan, a sa njim je oborena i nastrešnica, koja je sada upravna na horizontalnu ravan. Sledeće obaranje vrši se oko traga nastrešnice, čime se dobija tražena senka tačke na nastrešnici paravana.

Niz redoslednih operacija pri transformaciji tačke odvijao bi se prema sledećem.

Sl. 5.16 Faza 1 - trag pomoćne ravni 1

Sl. 5.17 Faza 2 - vezna linija iz referentne ravni


Korak 1. U osnovnom diedru, u kojem je definisana tačka A svojim projekcijama AH, AF, pojavljuje se pomoćna ravan, ili ravan transformacije 1 prikazana svojim tragom (Sl. 5.16). Podrazumeva se da je ravan 1 upravna na jednu od projekcijskih ravni [3], u ovom slučaju na ravan H.

Korak 2. Da bi se odredila projekcija tačke A u ravni 1, povlači se vezna linija iz prethodne projekcije (AH), upravno na trag ravni [4] u kojoj se traži nova projekcija (Sl. 5.17).

Korak 3. Završni potez transformacije predstavlja određivanje udaljenosti projekcije A1 od traga ravni 1. Čini se da je najjednostavnije zamisliti da su i FRONTALNA ravan i ravan TRANSFORMACIJE 1 ortogonalno "zabodene" u referentnu HORIZONTALNU ravan. Tada je očigledno:

da se udaljenost tačke A od referentne ravni H podjednako ogleda i u prethodnoj F i novoj 1, ortogonalno zarivenoj ravni u H.

Formalno, pošto se rastojanje tačke A, od HORIZONTALNE ravni, već vidi u FRONTALNOJ ravni, dovoljno je tu dužinu (h) naneti od traga ravni 1 (Sl. 5.18) i dobiće se projekcija tačke A u ravni 1.

Za ilustraciju već opisanog i dosta očiglednog stava [5] može da posluži i sledeći primer.

Štap, vertikalno zaboden u horizontalnu podlogu, daće identičan gotički odraz u nizu vertikalno uspravljenih ogledala, koja ga okružuju. Potpuno je nebitno koju ravan, odnosno ogledalo izaberete da biste posmatrali štap. Njegova visina, odnosno rastojanje od referentne horizontalne ravni do vrha štapa biće svuda identični.

Ponavljanjem postupka transformacije tačke A, u sledeću ravan 2, potvrdićemo uspostavljeni redosled koraka.

Ucrtan je trag nove ravni 2, koja je upravna na prethodnu transformacijsku ravan 1 [3]. Postavljena je vezna linija iz pretodne projekcije A1 [4], upravno na trag ravni 2 (Sl. 5.19).

Sada sledi ključan momenat. Treba ponovo zamisliti da su u trenutno referentnu ravan transformacije 1,

[5]

Sl. 5.18 Faza 3 - prenošenje rastojanja iz prethodne u novu ravan

Sl. 5.19 Druga vezana transformacija tačke


ortogonalno zarivene prethodna ravan H i nova ravan 2.

Pošto se rastojanje tačke A, od referentne ravni 1, podjednako vidi u obe, ortogonalno zarivene ravni u nju [5], to preostaje da se rastojanje (a), već prikazano u ravni H, prenese na veznu liniju od traga ravni 2 (Sl. 5.20).

Procedura transformacije može se izvoditi u nizu, čak i bez pojmovnog sagledavanja njene suštine, ukoliko se usvoji formalna povezanost referentne ravni sa prethodnom odnosno novom transformacijskom ravni.

Takav formalan pristup nije smisao ovog predmeta, ali na putu prosvetljenja i poimanja vizuelnog preslikavanja, razumljiva je i faza mehaničkog povezivanja pojmova.

5.5. Elementi Konstruktivne geometrije Dobro zamišljen tehnički projekt podrazumeva preciznu definiciju pojedinačnih strukturnih elemenata, koji će zatim biti uspešno složeni u funkcionalnu celinu. Idejno, pa potom i detaljno rešavanje problema KG veoma je slično proceduri izrade tehničkog projekta. Ovakva sličnost u pristupu, neminovno uslovljava i dobro poznavanje samih elemanata KG, a uz to i njihove strukturne hijerarhije11.

Postojanje hijerarhijskog odnosa među elementima KG važno je zbog načina njihovog kombinovanja, smera uspostavljanja relacija, kao i postupnog izučavanja discipline, od jednostavnijih ka složenijim problemima.

Osnovni kriterijum, prema kojem je uređena hijerarhijska lestvica elemenata KG, je obim obuhvaćenih nižih sadržalaca. Naime, hijerarhijski niži element, bilo potpunom svojom veličinom ili nekim manjim delom, uvek predstavlja činilac sledećeg višeg elementa. Obrnuto nije moguće.

Tako, na primer, tačka je najniži gradivni činilac duži, prave, ravni i ostalih viših elemenata KG. Nasuprot tome, za sadržaj tačke nemoguće je vezati bilo koji viši element KG.

U sastavu ovog poglavlja nalazi se pregledna tabela elemenata KG (Tabela 5.1), koja redosledno, po kolonama, sadrži: nivo prioriteta elementa, opšti naziv, najčešći zatvoreni oblik, grafički simbol i uobičajenu oznaku elementa.

Prikazanu kategorizaciju treba prihvatiti kao opštu preporuku u koju su uključene najčešće korišćene forme, bez pretenzija da to bude apsolutna, konačna i nedopunjiva definicija.

U trenutku stupanja u prostor ove naučne discipline neobično je važno uspostaviti jasne strukturne odnose, koji će možda kasnije biti podvrgnuti kritičkoj proceni, ali će na samom početku poslužiti kao stabilna podloga za dalju nadogradnju.

Zbog posebnog značaja, u rešavanju velikog broja problema KG, iz grupe poligona izdvojen je trougao, kao zasebna kategorija.

Pored osnovne liste elemenata KG (Tabela 5.1), ostale tabele sadrže i njihove međusobne relacije Tabela 5.2), zatim mogući status (Tabela 5.3) i konačno, primenjive operacije nad elementima (Tabela 5.4).

Većina pobrojanih pojmova poznati su kao opšteobrazovne činjenice. Novinu predstavljaju operacije, a one će, kroz dalji tekst, biti podrobnije opisane.

11 Hijerarhija - uspostavljeni redosled pojmova, po značaju

Sl. 5.20 Završna faza vezane transfor-macije


Tabela 5.1

Tabela 5.2

LISTA OSNOVNIH ELEMENATA NG

Prioritet

0

1

2

ELEMENT

PRAVA

RAVAN

3 PROSTORNAFORMA

Omedeni oblikSIMBOL OZNAKA

A, B, C...F...H...P...

du AB, AC, ..., BC,BD, ...

a, b, c, ..., x, y, z...

1, 2, 3, ...GEOM

SLIKA

trougaopoligon

krugelipsa

GEOM

TELO

prizma

piramidacilindar

kupa

lopta

ABC, ...

ABCD, ...O , O ...1 2

O , O ...1 2

ABCDABCD, ...

ABCV, ...O O , O O , ...1 1 2 2

O V, O V, ...1 2

O , O ...1 2

- - -

- -

-

TA^KA

RELACIJE ELEMENATA NG

POKLAPANJE

PARALELNOST

PRESEK

ORTOGONALNOST

MIMOILAZNOST

PRIPADNOST

KONCENTRICNOST

SIMBOL OZNAKA


Tabela 5.3

Tabela 5.4

STATUS ELEMENATA NG

VIDLJIV

KOS

PRAV

PROJEKCIJA

SIMBOL OZNAKA

IZVORNA FORMA

ZRACNA PROJEKCIJA

PRAVA VELICINA

NEVIDLJIV

A, AB, ABC, ...

A , A , A ,... A , AF H P 1 2

ZP

PV

OPERACIJE NAD ELEMENTIMA NG

DEFINICIJA

ROTACIJA

TRANSFORMACIJA

PROJEKTOVANJE

def.

rot.

transf.

OZNAKASIMBOL

proj.


5.6. Postulati Konstruktivne geometrije Formiranje položaja elemenata KG, kao i analiza njihovog međusobnog odnosa, zasniva se na sistemu aksiomima, koji čine suštinsku podlogu izučavanja KG.

S obzirom na očiglednost i izvorni značaj postulata12 KG, neće se insistirati na njihovom dokazivanju. Zauzvrat, biće data propratna objašnjenja, prostorne i ravanske ilustracije i eventualne ideje o oblasti primene.

5.6.1. Duž / Prava

Položaj duži/prave, u prostoru, određen je položajem dve pripadajuće tačke.

I duž i prava spadaju u istu kategoriju elemenata KG, pri čemu postoji razlika njihove konačne, odnosno beskonačne dimenzije. Zajedničko im je da odgovarajuću prostornu orijentaciju određuju dve zasebne tačke (Sl. 5.21).

5.6.2. Projekcija Duži / Prave

Duž/prava je u svim projekcijama duž/prava. Smisao ovog postulata je da se primenom postupka ortogonalnog projektovanja ne izaziva deformacija originalnog lika duži/prave. Linijska forma duži/prave biće uvek očuvana, bez obzira na položaj projekcijske ravni. Izuzetak čini zračna projekcija duži/prave (Sl. 5.22), gde se linijska forma sažima u tačku.

12 Postulat - očigledna, nedokaziva naučna istina

Sl. 5.22 Zračna projekcija duži Sl. 5.21 Definicija položaja duži

[7]

[6]


5.6.3. Prava veličina duži

Prava veličina duži sagledava se u paralelnoj projekcijskoj ravni. [8]

Iako se pominje samo duž i njena prava veličina, značaj ovog postulata je mnogo širi. Realna, odnosno prava veličina geometrijske slike, stranice figure ili druge ravanske forme, pojaviće se jedino u paralelnoj projekcijskoj ravni (Sl. 5.23). Projektovanje na bilo koju drugu ravan donosi skraćenje, odnosno deformaciju realnog lika.

5.6.4. Presečne Duži / Prave

Presečne duži/prave imaju jednu zajedničku tačku. [9]

Sl. 5.23 Prava veličina duži u paralelnoj ravni Sl. 5.24 Presečni par duži/pravih


Zajednička tačka presečnih duži/pravih biće okosnica u postupku projektovanja i transformacije para

presečnih elemenata (Sl. 5.24). Presečna tačka se u svim projekcijama nalazi na veznoj liniji iz

prethodne projekcije. Ovim se jasno ističe značaj te presečne tačke. Specijalan slučaj projekcije

presečnog para predstavlja ona projekcija u kojoj se duži/prave poklapaju.

Sl. 5.25a Preklopljene projekcije paralelnih pravih

Sl. 5.25b Zračne projekcije paralelnih pravih

5.6.5. Paralelne Duži / Prave

Paralelne duži/prave su paralelne u svim projekcijama. [10]

Bez obzira na orijentaciju projekcijske ravni ili pravac posmatranja, paralelne duži/prave uvek izgledaju paralelno.

Izuzetak čine dva specijalna slučaja. Jedan, kada se obe paralelne duži/prave nalaze na pravcu projekcijskog zraka (Sl. 5.25a). Tada se projekcije paralelnih duži/pravih poklapaju.

Drugi specijalan slučaj nastaje kada su paralelne duži/prave upravne na projekcijsku ravan (Sl. 5.25b). Tada je njihova projekcija u formi dve tačke.

5.6.6. Mimoilazne Duži / Prave

Mimoilazne duži/prave nisu presečne, niti paralelne. [11]


Sl. 5.26 Mimoilazne duži/prave

Krajnje kondenzovana formulacija ovog postulata ne otkriva svojim sadržajem sveobuhvatnost iznetog stava. Šematska ilustracija mimoilaznih duži/pravih (Sl. 5.26) poslužiće da se šire objasni specifičnost položaja mimoilaznosti u odnosu na presečnost ili paralelnost.

Na slici (Sl. 5.26) jasno se uočava da se u obe osnovne projekcijske ravni F i H javlja fiktivni presek (tačke R/S i P/Q), pri čemu se ove kvazi presečne tačke ne nalaze na zajedničkoj veznoj liniji, kao što je to slučaj kod stvarno presečnih elemenata.

Takođe, prikazana je i jedna projekcijska ravan u kojoj se mimoilazne duži/prave vide u paralelnom položaju. Ovo je ujedno i jedini projekcijski pravac u kojem su mimoilazne duži/prave paralelne, za razliku od stvarnih paralelnih parova, koji su u svim projekcijskim pravcima paralelni.

5.6.7. Upravnost presečnih Duži / Pravih

Prav ugao između upravnih presečnih duži/pravih videće se u projekcijskoj ravni u kojoj se makar jedna od njih vidi u pravoj veličini. [12]


Sl. 5.27 Upravne presečne duži

Iako je očiglednost ključni atribut postulata, za ovaj se ne može reći da je izvorno jasan i potpuno razumljiv. Osnovna ideja ovog postulata postaće znatno razumljivija nakon analize pogodno izabrane ilustracije (Sl. 5.27).

Polazni element u sledećem primeru predstavlja duž AB koja se vidi u pravoj veličini u HORIZONTALNOJ ravni [8]. Upravno na duž AB, bez nekog dodatnog uslova, postavljena je duž RQ. Presečna tačka označena je sa S. Takođe, kroz tačku S, duži AB, postavljena je i ravan 1, upravno na AB. Pošto je projekcija ABH paralelna AB, to će ravan 1 biti upravna i na ABH, a samim tim i njen trag u HORIZONTALNOJ ravni. Ovaj trag ravni 1 sadrži i projekciju RQH, pa je samim tim i RQH upravno na ABH, što se tvrdi navedenim postulatom.

Takođe, treba uočiti da sve upravne duži/prave, na duž AB u tački S, pripadaju ravni 1, tako da će se i njihove projekcije pojaviti upravno na ABH, jer su sadržane u horizontalnom tragu ravni 1.

5.6.8. Ravan

Položaj ravni, u prostoru, određen je kombinacijom položaja grupe nižih elemenata KG. To mogu biti tri

[13]


nekolinearne tačke, duž/prava i zasebna tačka, presečni par duži/pravih, ili par paralelnih duži/pravih.

Sl. 5.28 Trougao kao reprezent ravanske određenosti

Suštinska kombinacija determinišućih nižih elemenata ravni sastoji se od tri nekolinearne tačke. To svakako asocira na trougao. U trouglu se, pak, mogu prepoznati sve ostale grupe navedenih elemenata (Sl. 5.28). Kombinacija duž i zasebna tačka može biti stranica trougla i naspramno teme, presečne duži bilo koje dve stranice, a svakoj od stranica može se pridružiti neka paralelna duž unutar trougla.

5.6.9. Paralelnost Duž / Prava – Ravan

Duž/prava je paralelna ravni, ukoliko je paralelna makar jednoj duži/pravoj te ravni. [14]


Kod postavke relacija i određenih uslova među elementima KG, uputno je koristiti što jednostavnije, odnosno niže elemente KG. Shodno tome, u ovom postulatu odnos paralelnosti duži/prave sa ravni, uslovljen je paralelnošću nižih elemenata (dve duži/prave), od kojih jedan pripada ravni. Očiglednost ovako definisanog uslova ilustrovana je slikom (Sl. 5.29).

Da bi se otklonila dilema o univerzalnosti ovog postulata, prikazan je i suprotan slučaj (Sl. 5.29a). Ukoliko duž/prava nije paralelna ravni, nemoguće joj je naći odgovarajući paralelni element u toj ravni. Svaka od izabranih duži/pravih biće ili presečna ili mimoilazna.

Sl. 5.29a Nepostojanje paralelnosti prave i ravni

Sl. 5.29 Paralelnost prave i ravni

5.6.10. Upravnost Duž / Prava – Ravan

Duž/prava je upravna na ravan, ukoliko je upravna na makar dve duži/prave te ravni. [15]

Kao i u prethodnom postulatu, uslov upravnosti duži/prave prema ravni definisan je upravnošću nižih elemenata. Jasno, kada je duž/prava upravna na ravan, u tački prodora postoji bezbroj upravnih duži/pravih te ravni (Sl. 5.30).

U suprotnom, kada je ugao prodora duži/prave oštar (Sl. 5.30a), postoji samo jedna upravna duž/prava ravni. Drugu upravnu duž/pravu nije moguće pronaći. Time je jednoznačno definisana upravnost duži/prave na ravan.

Sl. 5.30a Nepostojanje upravnosti prave i ravni

Sl. 5.30 Upravnost prave i ravni


5.7. Algoritamska definicija Donošenje čak i najjednostavnijih odluka u svakodnevnom životu, mada zvuči paradoksalno, veoma je slično rešavanju najsloženijih tehničkih problema.

Idejno, prilaz rešavanju problema je identičan. Na jednoj, ulaznoj strani, nalaze se raspoložive činjenice ili parametri problema, a na drugoj očekivano rešenje. Ukoliko su ulazni parametri dovoljno sadržajni da vode rešenju i ukoliko je forma traženog rešenja sasvim jasna, ostaje izbor metodologije i definicija redosleda zahvata.

Upravo na ovim zaključcima zasniva se algoritamsko13 rešavanje problema KG. Pojednostavljeno, na bočnim stranama dijagrama nalaze se kvadratne kućice (Sl. 5.31). Ulazni parametri su levo, a jezgrovito formulisano ciljno rešenje, desno. U centralnom prozoru redosledno su prikazane pojedinačne sekvence zamišljenog procesa rešavanja problema. Da bi se očuvala izvorna ideja o stvarno algoritamskoj definiciji, treba poštovati tri zlatna pravila:

– koristiti što više simboličko izražavanje

– ne preskakati sekvence

– ne detaljisati opis operacija

1. PRVA SEKVENCA

2. DRUGA SEKVENCA

. POLAZNI

PARAMETRI .

CILJNO

REŠENJE

.

.

.

n. ZAVRŠNA SEKVENCA

Većina uobičajenih problema rešava se potpuno intuitivno, ili bez jasno definisanog redosleda operacija. Tako organizovan rad ili razmišljanje, pruža veoma mršave rezultate kod osvajanja novih znanja. Zbog toga je veoma bitno, u periodu učenja, stvoriti naviku jasne formulacije idejnog procesa rešavanja.

Tokom daljih izlaganja, postupci i problemi KG biće detaljno tekstualno opisani, uz odgovarajuće ilustracije. U zaključku, uvek će biti data algoritamska definicija problema. Takav pristup treba da pomogne u formiranju individualnog repertoara ideja i vezanih postupaka, koji će se koristiti za rešavanje širokog raspona, od sasvim jednostavnih do veoma složenih problema.

Sledi primer (Sl. 5.32) algoritamske definicije već opisanog postupka transformacije tačke (poglavlje 5.4.3., Sl. 5.16- Sl. 5.20).

13 Algoritam - logički sled operacija

Sl. 5.31 Struktura algoritamske definicije


1. Pom. ravan 1

2. Vezna linija iz AH, AF,H A2

⊥ na trag 1

3. Položaj A1 na

veznoj liniji

4. Pom. ravan 2

5. Vezna linija iz A1

⊥ na trag 2

6. Položaj A2 na

veznoj liniji

Sl. 5.32 Algoritamski opis transformacije tačke

5.8. Metode Konstruktivne geometrije Daleko najveći broj poznatih problema KG moguće je generalno svrstati u kategoriju onih koji se rešavaju pogodno izabranim pogledom. Iza ove sažete formulacije krije se čitav niz pojedinačnih klasa problema:

– prava veličina (u daljem tekstu PV) elementa

– mesto i oblik međusobnog prodora

– uzajamni položaj (rastojanje i ugao)

– izgled elementa u pravcu zraka.

Rešavanje svih pobrojanih problema teče tako što postoji jasna vizija položaja pogodno izabrane projekcijske ravni, u kojoj će se pojaviti svi elementi traženog rešenja. Bez te jasne vizije obično nastaje besciljno lutanje, koje najčešće vodi pogrešnom rešenju.

Ključni deo posla je, znači, završen kada se precizno utvrdi položaj konačne projekcijske ravni, odnosno izabrani pravac pogleda koji donosi rešenje. Metodologija, kojom će se izvesti "žoKGliranje" elemenata do konačne ravni, odnosno pogleda, zavisi od individualnog opredeljenja i stečenog iskustva. Na raspolaganju su dve metode: transformacija i rotacija.

Suštinska razlika između ovih metoda sadržana je u činjenici da se kod transformacije uvodi pomoćna ravan u koju će se preprojektovati izabrani element, dok se kod rotacije element obrće u odnosu na osnovne projekcijske ravni, do položaja iz kojeg će se dobiti željena projekcija.

Slična stvar se dešava kada želite da, u ogledalu, pogledate mladež koji vam se nalazi ispod desnog uva. Jedan način je da uzmete pomoćno ogledalo i pogodno ga postavite da biste videli mladež. Time ste transformisali lik mladeža u novu ravan. Druga varijanta je da zarotirate glavu ulevo i dovedete mladež u novi položaj. Iz tog položaja ćete, bez upotrebe pomoćnog ogledala, jasno videti mladež.

5.8.1. Transformacija Osnovna načela postupka transformacije već su prikazana u poglavlju 5.4.3. Transformacija tačke. S obzirom na značaj ove metode u primeni, ključne operacije postupka biće ponovo istaknute kroz primer transformacije duži.


Sl. 5.33 Duž u osnovnom diedru,

pre transformacije Sl. 5.34 Faza 1 - uvođenje pomoćne ravni 1

Početna slika (Sl. 5.33) sadrži prikaz slobodno orijentisane duži u osnovnom projekcijskom diedru.

Korak 1. Prvi korak transformacije je izbor pomoćne ravni u koju će se izvesti preslikavanje duži. Uopšteno, ta nova ravan mora da ispuni uslov ortogonalnosti [3] na referentnu ravan, iz koje će se započeti transformacija. Dalje, očekuje se da, osim upravnosti na referentnu ravan, nova ravan ispuni još neki geometrijski uslov u odnosu na prikazane elemente. Najčešće je taj uslov paralelnost, i to kada se traži PV elementa, odnosno upravnost, ako se očekuje zračna projekcija. U ovom slučaju, nova ravan je upravna na frontalnu, to jest referentnu ravan, a paralelna duži AB (Sl. 5.34).

Korak 2. U drugom koraku, iz krajnjih tačaka duži biće povučene tanke vezne linije [4] upravno na trag nove ravni 1 (Sl. 5.35).

Korak 3. Sada dolazi ključna sekvenca transformacije. Treba odrediti na kom rastojanju, od traga 1, će se naći tačke A i B u novoj ravni 1. Referentna ravan, u ovom slučaju F, predstavlja podlogu u koju su, pod pravim uglom, uglavljene i nova 1 i prethodna H projekcijska ravan. Tako se, sada, duž AB nalazi u "sendviču" između prethodne H i nove 1 projekcijske ravni. Pri tako umetnutom položaju duži, jasno je da se rastojanja tačaka A i B, od

Sl. 5.36 Faza 3 - prenošenje rastojanja u novu ravan 1

Sl. 5.35 Faza 2 - vezne linije

Sl. 5.37 Faza 4 - PV duži


referentne ravni, podjednako vide i u prethodnoj i u novoj ravni [5]. Pošto su karakteristična rastojanja tačaka JEDNAKA, jednostavno će se prvo preneti odstojanje a tačke A od referentne ravni F, iz prethodne ravni H u novu ravan 1, a zatim, odstojanje b tačke B (Sl. 5.36).

1Korak 4. S obzirom da je pomoćna ravan 1 postavljena paralelno duži AB to će projekcija AB biti ujedno i prava veličina duži AB. Ovo će se naznačiti povezivanjem tačaka A i B debelom isprekidanom linijom (Sl. 5.37).

Time je kompletiran postupak transformacije duži AB u paralelnu pomoćnu ravan 1.

Kao dodatna ilustracija transformacije poslužiće postupak određivanja zračne projekcije (u daljem tekstu ZP) duži AB.

Sl. 5.38 Faza 5 - uvođenje pomoćne ravni 2, upravno na PV

Da bi se pronašla ZP duži AB, potrebno je izabrati novu projekcijsku ravan, koja će biti upravna na duž AB. U ovom momentu, to postaje srazmerno jednostavan zadatak jer je već određena PV duži AB, pa će biti dovoljno izabrati novu ravan transformacije, upravno na PV duži AB (Sl. 5.38). Tako, sada, pomoćna ravan 1 postaje referentna ravan, ravan F prethodna ravan, a nova ravan, pomoćna ravan 2. Duž AB, odnosno njena PV, prikazana kao AB1 , nalazi se u "sendviču" prethodne F i nove ravni 2. To znači da se rastojanja tačaka A i B od referentne ravni 1, označena sa c i d (Sl. 5.39), prenose iz prethodne ravni F u novu ravan 2. I zaista, pošto su obe tačke A i B na istom rastojanju c i d od referentne ravni 1, a uz to se nalaze na istoj veznoj liniji, to će se prikaz čitave duži AB u ravni 2 pojaviti kao tačka, odnosno ZP.

Kroz opisani primer analizirana je dvostruka transformacija. U prvoj fazi dobijena je PV duži, a zatim njena ZP. Ovo su, ujedno, i najčešći ciljni produkti postupka transformacije (PV i ZP).


Sl. 5.39 Faza 6 - prenošenje rastojanja u novu ravan 2, ZP

Na kraju, prikazan je algoritamski opis (Sl. 5.40) izvedenih transformacija.

1. Pom. r. 1 // ABF

2. Transf. AB ∏ AB1 F,HAB ZP (AB)

3. Pom. r. 2 ⊥ AB1

4. Transf. AB1 ∏ AB2

Sl. 5.40 Algoritamski opis transformacije duži u ZP

5.8.2. Rotacija Postupak rotacije elementa KG izvodi se tako što se oko pogodno izabrane ose rotacije obavi zakretanje izabranog elementa za određeni ugao rotacije. Najčešće se rotacija izvodi do položaja paralelnosti ili upravnosti u odnosu na projekcijske ravni ili neki, prethodno izabran, značajan reper.

Na slici (Sl. 5.41) dat je prostorni prikaz rotacije slobodno orijentisane duži AB, oko ose rotacije BBH, a do paralelnog položaja frontalnoj ravni. S obzirom na paralelnost novodobijenog položaja duži AB u odnosu na ravan F, to će se PV duži AB pojaviti u ravni F.

Serijom ilustracija pojasniće se procedura rotacije.

Početna slika (Sl. 5.42) prikazuje duž AB u osnovnom projekcijskom diedru.


Sl. 5.41 Rotacija duži

Korak 1. U prvom koraku vrši se izbor ose rotacije. Njen koordinatni položaj predstavlja stvar potpuno slobodnog izbora, ali je zato prostorna orijentacija strogo uslovljena.

Pravac ose rotacije mora biti upravan na neku od projekcijskih ravni [16]

Ovaj uslov diktiran je mogućnošću da se jedino u ravni ZP ose rotacije neposredno prati kretanje tačaka pri rotaciji. Na slici prostornog prikaza (Sl. 5.41) jasno se vidi da sve tačke rotiranog elementa opisuju kružnice, odnosno neki njihov segment, i to u ravnima koje su upravne na pravac ose rotacije.

Sl. 5.42 Duž u osnovnom diedru,

pre rotacije Sl. 5.43 Faza 1 - izbor ose rotacije

U izabranom primeru osa rotacije postavljena je kroz tačku B duži, upravno na ravan H, što je i prikazano slikom (Sl. 5.43).


Korak 2. Sledećim korakom izvodi se rotacija duži AB, konkretnije tačke A, oko centra rotacije BH (Sl. 5.44). Ugao rotacije podešen je tako da se duž ABH zaokrene do paralelnog položaja ravni F.

Sl. 5.44 Faza 2 - zakretanje projek-

cije duži za definisani ugao Sl. 5.45 Faza 3 - prenošenje rotiranog

položaja, PV

Korak 3. Dalje treba pronaći zarotiran položaj tačke A u frontalnoj projekciji. S obzirom da je rotacija izvedena oko ose, upravne na horizontalnu ravan, sve tačke duži AB su putovale u ravnima paralelnim ravni H (Sl. 5.41). Tako je i tačka A rotirana u ravni paralelnoj H, pa će se njen nov položaj naći na zraku koji je paralelan tragu F/H (Sl. 5.45), a u preseku sa veznom linijom iz . H

RA

Korak 4. Konačno, pošto je zarotirana duž ARB sada paralelna frontalnoj ravni, njena projekcija ARBF, označena debelom isprekidanom linijom, predstavlja PV (Sl. 5.45).

U prilogu se nalazi algoritamski opis (Sl. 5.46) postupka rotacije.

ROTACIJA

1. Izbor ose rotacije

BBH ⊥ na H

2. Rotacija AH oko

BH do // položaja F,H PV (AB) AB

prema F/H

3. Pomoćni zrak iz

AF // F/H

4. Vezna linija iz

⊥ na F/H HRA

5. ARBF = PV (AB)

Sl. 5.46 Algoritamski opis rotacije duži do PV

5.9. Primena metoda Konstruktivne geometrije Uvodni deo prethodnog poglavlja sadrži jedan veoma značajan stav, a to je, da se najveći broj poznatih problema KG rešava pogodno izabranim pogledom. Daljom razradom ove ideje pokazano je da se do pogodno izabranog pogleda dolazi korišćenjem metoda KG, transformacije i rotacije. Iako su obe


metode detaljno opisane, izostala je analiza idejnog procesa kod smisaonog struktuiranja operacija, zavisno od vrste i složenosti postavljenog problema.

U tekstu koji sledi dat je pregled najopštijih klasa problema KG, sa metodskim opisom idejnog pristupa njihovom rešavanju i uz prikaz konkretne realizacije do konačnog rešenja.

5.9.1. Prava veličina elemenata Konstruktivne geometrije Tačka predstavlja najniži hijerarhijski element KG, i kao što je pokazano nema fizičku dimenziju, pa je stoga određivanje njene PV potpuno neinteresantno.

Duž je sledeći konačni element KG, i ujedno prvi, čija je PV aktuelni problem. Rešavanje PV duži pokazano je u poglavlju 5.8. Metode KG i to transformacijom i rotacijom, tako da nema potrebe ponavljati objašnjenja.

Ravan je naredni element na hijerarhijskoj lestvici, ali je zbog svoje beskonačnosti neinteresantna u smislu traženja PV, pa to mesto ustupa geometrijskoj slici (u daljem tekstu GS). Rešavanje PV GS je višestruko značajno, jer GS nije isključivo pojedinačni i zasebni element, već često i strukturni deo složenog geometrijskog tela (u daljem tekstu GT). Pošto se ne može govoriti o integralnom prikazu PV trodimenzionog GT, bar ne dok se raspolaže samo dvodimenzionim grafičkim mediumom, to se pri pomenu PV GT najčešće misli na PV neke od stranica, što praktično predstavlja PV GS.

Ukratko, izložena analiza PV elemenata KG, ukazuje da se taj problem svodi na samo dva opšta slučaja, PV duži i PV GS.

Posebnost trougla, kao najjednostavnije GS, već je istaknuta, tako da je većina primera koja sledi, orijentisana isključivo na analizu postupaka nad trouglom, što se potpuno analogno može uopštiti na bilo koji drugi poligon.

Specifičnost manipulacije sa krivolinijskim GS (krug, elipsa) biće dodatno analizirana u problemima gde je to značajno.

5.9.1.1. Transformacijom do prave veličine geometrijske slike Priprema strategije za pronalaženje PV GS polazi od postulata KG da se PV elementa vidi u paralelnoj projekcijskoj ravni [8]. Time je zacrtan konačan strateški cilj: "Pronaći ravan transformacije koja je paralelna posmatranoj GS". Nažalost, sasvim jasno formulisano strateško opredeljenje, veoma često povlači niz taktičkih nepoznanica. Jedna od prvih je, kako pronaći ravan transformacije paralelnu GS. Srećom, odgovor na ovo pitanje je relativno jednostavan, a ujedno predstavlja i putokaz za rešavanje postavljenog problema.

[17] Paralelnost ravni, odnosno GS uočava se u ravni njihove ZP.

Ovo praktično znači da treba pronaći ZP posmatrane GS i potom joj postaviti paralelnu pomoćnu ravan transformacije, u kojoj će se videti prava veličina.

Korak 1. Rešavanje problema PV GS počinje tako, što je kao reprezent GS, izabran slobodno orijentisan trougao ABC u projekcijskom diedru (Sl. 5.47).

Korak 2. Potom sledi jedan veoma značajan taktički potez. Zasnovan je na činjenici da

svaka GS sadrži bar jednu duž koja se u F ili H ravni vidi u PV. [18]

Ovo implicitno znači da je ta duž paralelna F ili H ravni.


Sl. 5.47 Trougao u osnovnom diedru,

pre transformacije Sl. 5.48 Pomoćna duž trougla

prikazana u PV

I stvarno, na sledećoj slici (Sl. 5.48) označena je pomoćna duž CD, paralelna H ravni, čija je projekcija CDH ujedno i PV duži CD. Sada je veoma lako doći do ZP duži CD, a time i do ZP čitavog trougla. Za to je dovoljno postaviti pomoćnu ravan 1 upravno na PV duži CD i izvesti transformaciju trougla ABC u ravan 1 (Sl. 5.49).

Sl. 5.49 ZP trougla u pomoćnoj ravni 1

Sl. 5.50 PV trougla u paralelnoj ravni 2


Korak 3. Konačno, u prilici smo da definišemo pomoćnu ravan 2, paralelno ZP trougla ABC i u njoj odredimo PV trougla, kao što je i zamišljeno strateškom postavkom (Sl. 5.50).

Algoritamski opis (Sl. 5.51) daje redosledni pregled sekvenci pri određivanju PV trougla transformacijom.

TRANSFORMACIJA

1. Pom. duž CD ∈ Δ // H

(PV CDH)

2. Pom. r. 1 ⊥ CDH

3. Transf. Δ → Δ1

F,H PV Δ Δ

(ZP Δ1)

4. Pom. r. 2 // ZP Δ

1 2 5. Transf. Δ → Δ

2 (PV Δ )

Sl. 5.51 Algoritamski opis transformacije trougla do PV

5.9.1.2. Rotacijom do prave veličine geometrijske slike Osnovna ideja pri određivanju PV GS rotacijom je dovođenje te GS u paralelan položaj prema nekoj od projekcijskih ravni. Paralelnost položaja GS sa projekcijskom ravni uočava se u ravni ZP GS [17]. To praktično znači da prvo treba odrediti ZP GS, nakon čega će se izvesti njeno zakretanje, oko izabrane ose, do paralelnog položaja sa osnovnom projekcijskom ravni.

Korak 1. S obzirom da je u prethodnom primeru pokazano kako se dolazi do ZP GS, biće korišćen identičan postupak, s tom razlikom što će se krenuti iz ravni F, da bi se istakla potpuna sloboda izbora početne ravni.

Sl. 5.52 Zračna projekcija trougla u pomoćnoj ravni 1

Sl. 5.53 Osa rotacije S kroz teme C


Izvorna slika trougla ABC, u projekcijskom diedru, proširena je pomoćnom duži AD, koja se vidi u PV u ravni F i pomoćnom ravni 1, koja sadrži ZP trougla (Sl. 5.52).

Korak 2. Sledeći korak predstavlja izbor ose rotacije. To može biti sasvim slobodno izabran zrak, pod uslovom da je upravan na ravan ZP trougla [17], odnosno na ravan 1. Da bi se pokazala invarijantnost metode od izbora položaja ose rotacije, koristiće se prvo zrak s, koji prolazi kroz tačku C trougla i upravan je na pomoćnu ravan 1 (Sl. 5.53). Projekcija zraka s u ravni 1 poklopiće se sa tačkom C. Pošto je ovim definisana osa rotacije trougla, potrebno je odrediti i ugao rotacije. Postupak je zamišljen tako da se rotacija trougla izvede do paralelnog položaja ravni F. Trenutno, ugao koji zaklapa trougao ABC sa ravni F je α i označen je u pomoćnoj ravni 1 (Sl. 5.53). Dovođenje trougla ABC do paralelnog položaja ravni F rotacijom značilo bi svesti ugao α na nulu. Na sledećoj slici to je pokazano. Zračna projekcija trougla zaokrenuta je oko ose rotacije s1 za ugao α do paralelnog položaja ravni F (Sl. 5.54).

Sl. 5.54 Rotacija zračne projekcije trougla

Sl. 5.55 Prenošenje rotiranih temena u F ravan

Korak 3. Sada nastupa ključni momenat postupka, jer treba odrediti položaj zarotiranih temena trougla u ravni F.

Kroz prethodne primere već je pokazano da se projekcije tačke u susednim ravnima nalaze uvek na veznim linijama, upravnim na međusobni trag [4]. Zbog toga su i povučene vezne linije iz rotiranih tačaka i (Sl. 5.54). 1

RB1RA

Za teme C trougla ne postoji dilema. Pošto se ionako nalazi na osi rotacije, ono se neće pomerati.

Korak 4. Na redu su temena A i B. Putanje ovih tačaka pri rotaciji su segmenti kružnice, upravni na osu rotacije. Ova upravnost segmentnih putanja tačaka ĀĀR i BBR naznačena je u frontalnoj ravni F zracima upravnim na osu rotacije sF (Sl. 5.55).

Korak 5. Konačno, u preseku segmentnih putanja temena i veznih linija iz pomoćne ravni 1 naći će se projekcije rotiranih tačaka i (Sl. 5.55). F

RA FRB

Korak 6. Spajanjem rotiranih temena dobija se PV trougla ABC (Sl. 5.56).

Zaista, ako se želi provera zarotiranog položaja trougla, treba odrediti odgovarajuću projekciju u HORIZONTALNOJ ravni.


Novi položaj temena A i B u ravni H, naći će se na veznim linijama [4] iz rotirane projekcije F (Sl. 5.57). Teme C ostalo je na istom mestu. Poštujući proceduru transformacije, ravan F je i dalje referentna, ravan H prethodna, a pomoćna ravan 1 nova ravan. Pošto je trougao ABC rotacijom doveden do paralelnog položaja FRONTALNOJ ravni, to je rastojanje svakog od tri temena trougla od ravni F identično. Na slici (Sl. 5.57) ovo rastojanje od traga 1 označeno je sa a. Prenošenje položaja tačaka izvešće se suprotno uobičajenom postupku transformacije i to iz nove ravni 1 u prethodnu ravan H (Sl. 5.57). Ovaj smer prenošenja je ispravan, s obzirom da je rotacijom izmenjen izvorni položaj trougla baš u ravni 1, a sada treba prikazati taj novi položaj, u prethodnoj ravni H. I zaista, u HORI-ZONTALNOJ ravni pojaviće se položaj trougla ABC paralelan FRONTALNOJ ravni.

Sl. 5.56 Prava veličina trougla

Da bi se pokazalo kako je postupak rotacije, a i sam njegov ishod invarijantan od izbora ose rotacije, postaviće se nova osa rotacije s, sada kroz teme A trougla ABC. S obzirom da osa rotacije mora da bude upravna na ravan ZP [17], to će se nova osa poklopiti sa duži AD (Sl. 5.58). Pošto se radi o

istom trouglu ABC, ugao prema ravni F biće i dalje α , i to je isti ugao za koji treba izvesti rotaciju do paralelnog položaja ravni F. Jedino se menja tačka, odnosno osa rotacije. Sada je to tačka zračne projekcije ose s

Sl. 5.57 Prenošenje rotiranih temena u H ravan

1, koja se poklapa sa tačkom A1. Na slici (Sl. 5.58) prikazana je rotacija ZP trougla oko A1 za ugao α , odnosno do paralelnosti sa ravni F. Dalje prenošenje položaja zarotiranih temena u FRONTALNU ravan teče kao i u prethodnom primeru.

FRB F

RCPovezivanjem zarotiranih temena AF dobija se prava veličina trougla, što je i označeno isprekidanom linijom (Sl. 5.59).

Konačno, sledi algoritamski opis izvedene rotacije GS (Sl. 5.60).


Sl. 5.58 Osa rotacije S kroz teme A Sl. 5.59 Prava veličina trougla

ROTACIJA

1. Pom. duž AD ∈ Δ // F

(PV ADF)

2. Pom. r. 1 ⊥ ADF

3. Transf. Δ → Δ1

F,H PV Δ Δ

(ZP Δ1)

4. Izbor ose rot. s ⊥ r. 1

5. Rot. Δ1 oko s1 do

položaja // F

(Δ 1 ) R

6. Trasiranje putanje temena u F

pri rot.

(zraci ⊥ na s)

7. Temena Δ u preseku FR

veznih linija od Δ i 1R

trasiranih putanja rot.

8. Δ = PV Δ FR

Sl. 5.60 Algoritamski opis rotacije trougla do prave veličine


5.10. Geometrijsko telo u pravcu zraka Na sličan način kao što je trougao reprezent GS tako je i kocka reprezent GT. Upravo zbog toga i najveći broj problema KG, vezan za GT, biće analiziran na primeru kocke.

2

A

B

AB

DC

C

QS

Sl. 5.61 Geometrijsko telo u pravcu zraka

Problem koji se ovde razmatra odnosi se na pravac posmatranja GT. S obzirom na uobičajenu složenost GT, potpuno je razumljivo, da ako vidite jednu njegovu stranu, još uvek nemate potpuno jasnu sliku o tom predmetu. Zbog toga se često uvodi dodatni pogled na GT. Očigledan primer je kockica za igru (Sl. 5.61a).

Pod uslovom da ne poznajete pravilo po kojem se raspoređuju brojevi na kockici (zbir naspramnih strana uvek je 7), ne možete znati koji se broj nalazi na skrivenoj stranici kockice. Ovo je svakako prenaglašeno jednostavan primer, ali je suština adekvatna.

BA

AB

D

C

CNa slici (Sl. 5.61) prikazana je kocka koja jednom svojom stranom leži u HORIZONTALNOJ ravni, orijentisana na neki proizvoljan način. Pretpostavimo da nas interesuje kako ta ista kocka izgleda u pravcu određenog zraka QS (Sl. 5.61).

Do rešenja se dolazi tako što se traži pomoćna projekcijska ravan, upravna na definisani zrak QS [1]. Pošto je to ujedno i ravan ZP QS, a već smo pokazali kako se dolazi do ZP duži, ovim je uspostavljena idejna smernica za rešavanje ovog problema. Naime, prvo će

Sl. 5.61a Izgled kockice za igru


se postaviti pomoćna ravan 1, u kojoj se vidi PV zraka QS [8], a zatim pomoćna ravan 2 upravno na PV QS (Sl. 5.61), u kojoj ćemo dobiti izgled kocke u željenom pravcu.

Tehnika rešavanja opisanog problema je relativno jednostavna i svodi se na dvostruku transformaciju jedne duži i jedne kocke. Jedini problem može da predstavlja određivanje vidljivosti, pa ćemo se time malo detaljnije pozabaviti.

Oznake temena osnove, koja leži u H ravni, su ABCD, dok su naspramna temena gornje osnove A B DC . Ovim tumačenjem već smo ušli u užu problematiku GT gde najčešće postoje donja osnova, gornja osnova i izvodnice koje povezuju te dve osnove.

Transformacijom zraka QS u paralelnu pomoćnu ravan 1 dobijena je njegova PV. Takođe i temena kocke ABCD A B DC transformisana su u pom. ravan 1, a prema već poznatim pravilima.

Dilema oko vidljivosti postoji jedino kod izvodnica, jer se za razliku od njih, obe osnove, zbog upravnosti na ravan 1, preslikavaju zračno sa potpunom vidljivošću.

Da se podsetimo, ortogonalno projektovanje zasnovano je na projekcijskim zracima, koji dolaze iz beskonačnosti [2] i osvetljavaju element KG. Pri tome se formira senka na zastoru, tako da su

vidljive sve one konture ispred kojih ne postoji fizička zapreka dolazećim projekcijskim zracima. [19]

Upravo ti dolazeći projekcijski zraci na slici (Sl. 5.62) simbolizovani su ispunjenim strelicama. Jasno se uočava da se jedino na putu zraka koji osvetljava izvodnicu B B nalazi prepreka koju čini telo kocke. Zbog toga je izvodnica B B 1 nevidljiva i označena tankom isprekidanom linijom.

Sl. 5.62 Faza 1 - transformacija u ravan PV zraka

Povezivanjem transformisanih temena formira se lik kocke u ravni 1.


Sledeći korak predstavlja definisanje ravni 2 upravno na PV zraka QS (Sl. 5.63). Pošto je to urađeno, sledi konačna transformacija kocke u ravan 2. Ovo se izvodi teme po teme i to prema poznatom receptu. Kada su sva temena transformisana u ravan 2 povezaćemo ih provizorno, tankim linijama. To će biti privremeno rešenje, dok se ne odredi konačna vidljivost kontura.

Sl. 5.63 Faza 2 - transformacija u ravan upravnu na PV zrak

Slično kao i kod prethodne transformacije naznačićemo pravac i smer dolazećih projekcijskih zraka u ravni 1 (Sl. 5.64). Snop zraka koji osvetljava donju osnovu ABCD nema nikakvih fizičkih zapreka, tako da je ta osnova u potpunosti vidljiva i to je označeno debelim konturnim linijama koje povezuju tačke A2, B2, C2, D2(Sl. 5.64). Za gornju osnovu situacija nije tako očigledna. Analiziraćemo vidljivost temena postupno jedno za drugim. Teme A A 2 je nesumnjivo vidljivo, tako da se izvodnica A može odmah pojačati debelom linijom.

BZa teme nije baš sasvim očigledno da li je vidljivo ili ne. Međutim, ako se pogleda HORIZONTALNA projekcija dolazećih zraka, što je označeno nesenčenim strelicama (Sl. 5.64), potpuno je jasno da je i to teme vidljivo.


C CSledeće teme po redu je . Odmah se uočava da dolazeći zrak ne osvetljava direktno teme , i to je sasvim jasno i u ravni 1 i u ravni H. Zbog toga su sve linije konture, koje polaze iz temena C označene nevidljivim, odnosno tankim isprekidanim linijama.

Sl. 5.64 Faza 3 - vidljivost konačne projekcije geometrijskog tela

DKonačno, teme direktno je osvetljeno dolazećim zrakom, što se vidi u H ravni, tako da će odgovarajuća izvodnica D D biti vidljiva.

Ostalo je još da se izvrši globalna procena vidljivosti gornje osnove. Najjednostavnije je još jednom pogledati projekciju dolazećih zraka u H ravni. Ivice A DB A i nalaze se direktno izložene frontu zraka, što znači da su vidljive, dok se u pozadini nalaze B DC C i . Saglasno ovoj proceni označena je vidljivost preostalog dela konture (Sl. 5.64), i time je kompletirano prikazivanje GT u pravcu definisanog zraka.

Sledi algoritamski opis izvedenih operacija (Sl. 5.65).


1. Pom. r. 1 // QSH

2. Transf. QS → QS1

GT → GT1

2

(PV QS) GTF,H GT

QSF,H

3. Pom. r. 2 ⊥ QS1 2 (ZP QS = QS )

4. Transf. GT1 → GT2

(ZP QS)

2 5. Vidljivost GT

Sl. 5.65 Algoritamski opis transformacije geometrijskog tela u pravcu zraka

5.11. Klasični problemi međusobnog položaja Uspešnost ovladavanja određenom stručnom ili naučnom disciplinom meri se sposobnošću za rešavanje konkretnih problema i zadataka. Upravo zbog toga, u ovom odeljku biće prezentirana jedna grupa najopštijih problema međusobnog položaja elemenata KG, što treba da posluži kao putokaz za rešavanje većine sličnih zadataka.

Sl. 5.66 Ugao koji zaklapaju dva trougla


Kao što je već naglašeno u više navrata, rešavanje problema KG najčešće se svodi na definiciju PV ili ZP nekog od posmatranih elemenata KG.

5.11.1. Ugao presečnih ravni U ovom zadatku kao reprezent presečnih ravni biće korišćena kombinacija dva trougla, spojena po jednoj zajedničkoj stranici (Sl. 5.66). Jednim od postulata KG [13] istaknuto je da trougao nosi potpunu određenost ravni u kojoj je sadržan. Zbog toga je i moguće poistovetiti problem ugla između presečnih ravni sa ovako prikazanim problemom. Dodirna stranica trouglova, u opštem slučaju, reprezent je traga dve presečne ravni. Kao što je pokazano slikom (Sl. 5.66), realna veličina traženog ugla videće se u ravni ZP dodirne stranice, a ujedno i posmatranih trouglova.

Pošto je već analizirano kako se određuje ZP duži (Sl. 5.33- Sl. 5.39), ovaj problem može se smatrati rutinskim zadatkom.

Sl. 5.67 Određivanje ugla između dve ravni

Prvo se postavlja pomoćna ravan 1 u kojoj će se pojaviti PV dodirne stranice (Sl. 5.67). Nakon toga izvodi se transformacija oba trougla u tu ravan i potom nova transformacija u pomoćnu ravan 2 upravnu na PV dodirne stranice (Sl. 5.67).

Algoritamski opis postupka određivanja ugla između dve ravni sledi na zasebnoj slici (Sl. 5.68).


1. Pom. r. 1 // dodirnoj stranici

2. Transf. →

(PV dod. s)

3. Pom. r. 2 ⊥ PV dod. s

4. Transf. →

(ZP dod. s)

5.

Sl. 5.68 Algoritamski opis određivanja ugla između presečnih ravni

5.11.2. Ugao presečnih duži / pravih Osećaj za pojmovnu analogiju je osobina koja je retko kome urođena. Najčešće je nose veliki naučnici i istraživači kao dar prirode. Međutim, dugotrajnim prikupljanjem iskustva, odnosno napornim vežbanjem, razvija se osećaj za prepoznavanje sličnosti problema i pojava, što doprinosi lakšem strukturnom raščlanjavanju i potpunijoj analizi.

Tako se ugao između presečnih duži/pravih može posmatrati kao ugao koji zaklapaju dve stranice trougla (Sl. 5.69). Jasno je da će se taj ugao realno videti u projekciji PV trougla. Pošto je problem određivanja PV trougla analiziran u tački 5.9.1.1. - Transformacijom do prave veličine geometrijske slike i tački 5.9.1.2. - Rotacijom do prave veličine geometrijske slike, to će se samo ukratko komentarisati postupak rešavanja, ilustrovan sa par slika.

Sl. 5.69 Presečne duži/prave


Osnovnu sliku čine presečne duži AB i CD sa zajedničkom tačkom S (Sl. 5.70). Kao i kod određivanja PV trougla iskoristiće se osobina [18] da uvek postoji neka duž koja se vidi u PV. U ovom slučaju to će biti duž BG paralelna H. Pošto je određena PV pomoćne duži, postavlja se ravan 1 upravno na PV duži (Sl. 5.70). Sledi transformacija presečnih duži u ravan 1 , čime će se dobiti njihova ZP (Sl. 5.71). Konačno, postavlja se pomoćna ravan 2 paralelno ZP presečnih duži (Sl. 5.71). Transformacijom duži AB i CD u ravan 2 dobija se njihova PV i presečni ugao α koji one zaklapaju (Sl. 5.72). Uobičajeno je da se presečnim uglom smatra manji od dva suplementna ugla.

Sl. 5.70 Faza 1 - pomoćna duž u PV

Sl. 5.71 Faza 2 - transformacija u pom. r. ZP

Sl. 5.72 Faza 3 - transformacija u pom. r. PV

U nastavku se nalazi algoritamski opis postupka određivanja ugla presečnih duži/pravih (Sl. 5.73).


1. Pom. duž BG // H

(PV BGH)

2. Pom. r. 1 ⊥ PV BG

3. Transf. x → x1 xF,Hx

(ZP x1)

4. Pom. r. 2 // ZP x1

5. Transf. x1 → x2

(PV x)

Sl. 5.73 Algoritamski opis određivanja presečnog ugla duži/pravih

5.11.3. Prodor duži / prave kroz ravan Zadatak koji će biti razmatran u ovoj tački otvara jednu novu klasu problema, PRODORE. Iako će ta grupa problema biti zasebno analizirana, interesantno je proučiti baš ovaj slučaj, jer se prvi put koristi pojam prodorna ravan (u daljem tekstu PR).

Prodorna ravan je vrsta pomoćne ravni, koja na posma-tranom elementu ocrtava granicu potencijalnog prodora. [20]

Sl. 5.74 Prodor duž/prava - trougao


Na slici (Sl. 5.74) prikazan je slobodno orijentisan trougao ABC i duž DE koja prodire kroz trougao. Pošto su to najčešće nezavisno definisani elementi (Sl. 5.75), tačka, odnosno mesto prodora nije samo po sebi određeno. Upravo zbog toga uvodi se PR koja, u ovom slučaju, sadrži duž DE i na predmetnom trouglu ABC ocrtava granicu KL potencijalnog prodora. Ukoliko prodor duži DE, kroz trougao ABC, zaista postoji, mora se naći unutar traga KL koji je ostavila PR.

Sl. 5.75 Duž i trougao Sl. 5.76 Tačka prodora duž - trougao

Pošto je PR 1 upravna na H i uz to sadrži duž DE, to će se njen horizontalni trag poklopiti sa projekcijom DEH H (Sl. 5.76). Sada se mogu odrediti projekcije graničnih tačaka prodora K i LH koje leže u preseku PR 1 i stranice AB odnosno stranice BC trougla (Sl. 5.74 i Sl. 5.76). Frontalne projekcije graničnih tačaka prodora naći će se u preseku veznih linija iz KH i LH sa odgovarajućim stranicama ABF i BCF.

Konačno, stekli su se uslovi da se odredi mesto prodora duži DE kroz trougao ABC. Kako tačka prodora S mora jednovremeno da pripada i duži DE i duži KL, to će se naći u njihovom preseku (Sl. 5.74), što se jasno vidi u FRONTALNOJ projekciji (Sl. 5.76). Povlačenjem vezne linije iz SF u HORIZONTALNU ravan, na preseku sa KLH H naći će se S (Sl. 5.76).

Sl. 5.78 Vidljivost prodorne duži u

H ravni Sl. 5.77 Tačka prodora prava - ravan


Pre nego što se odredi vidljivost prodornih elemenata, odnosno šta je čime zaklonjeno u kombinaciji duž - trougao, analiziraćemo jedan uopšteniji, hipotetičan problem.

Kako bi izgledao prodor duž - trougao ili prava - ravan da se, kojim slučajem, duž DE nalazila malo više udaljena od HORIZONTALNE ravni, odnosno da ne postoji presek DEF F i KL (Sl. 5.77). U ovoj varijanti potrebno je malo šire sagledati problem. Tako sada trougao ABC treba posmatrati kao reprezent ravni, u kojoj je sadržan, a duž DE kao jedan segment prave kojoj pripada. Tada će se svakako pojaviti prodor prave kroz ravan. Izuzetak bi bio ako su ovi elementi paralelni.

Pošto se problem sada posmatra uopšteno, granica potencijalnog prodora nije više duž KL, već to postaje čitava prava k , međusobni trag ravni trougla i PR 1 (Sl. 5.77). Na drugoj strani umesto duži DE pojaviće se prava d . U preseku ove dve prave, a u FRONTALNOJ ravni, nalazi se tačka prodora SF H , dok će se S naći na odgovarajućoj veznoj liniji (Sl. 5.77).

Nakon što je pokazano rešavanje uopštenog problema prodora prave kroz ravan, vratićemo se određivanju vidljivosti kod prodora duž - trougao.

Sasvim je jasno da duž kao jednodimenzioni element ne može da zakloni vidljivost trougla, pa se ovaj zadatak svodi na određivanje zaklonjenih i nezaklonjenih delova duži.

Dalje, izvesno je da je van granica trougla duž potpuno vidljiva i ti se delovi mogu odmah izvući debelom linijom.

Prvo ćemo odrediti vidljivost u H ravni. Nevidljiv će biti onaj deo koji se nalazi ispod površine trougla, dok će onaj iznad nje biti vidljiv. Granica vidljivo - nevidljivo nalazi se u tački prodora S. Procena šta je ispod, a šta iznad, izvodi se u FRONTALNOJ ravni (Sl. 5.78).

Pošto se i duž DE i duž KL trougla nalaze u istoj ravni PR 1, to se jasno uočava da je jedan segment na DSF F, duži DE ispod KS , pa je samim tim taj deo nevidljiv. To ćemo označiti tankom isprekidanom linijom uz postojeću liniju KSH F , duži DE nalazi se iznad SLF. Drugi segment na SE , pa će taj deo biti vidljiv i označen punom linijom uz liniju SLH.

Na red je došlo određivanje vidljivosti u ravni F.

Sl. 5.79 Vidljivost prodorne duži u

F ravni Sl. 5.80 Kompletna vidljivost prodora

duž - trougao

U ovom slučaju biće vidljiv onaj deo duži koji se nalazi ispred površine trougla, dok će onaj iza biti nevidiljiv. Granica vidljivog i nevidljivog ponovo je u tački S. Upoređivanje pozicije ispred - iza


moguće je izvesti u HORIZONTALNOJ ravni. Da bi to bilo precizno i efikasno određeno, potrebno je pronaći graničnu liniju trougla, u odnosu na koju će se izvesti procena ispred - iza. Za definiciju ove linije poslužiće PR 2 (Sl. 5.79), koja sadrži DE a upravna je na F ravan. Pomoću PR 2 određene su dve nove granične tačke R i Q koje u H ravni definišu front vidljivosti po principu ispred - iza (Sl. 5.79).

Jednostavnim poređenjem uočava se da je deo na DSH, duži DEH ispred referentne linije RQH, što znači vidljivo u F ravni. Segment na SEH je iza linije RQH, pa je samim tim nevidljiv. Vidljivi deo prodorne duži unutar trougla označen je dodatnom tankom linijom a nevidljivi deo dodatnom isprekidanom linijom (Sl. 5.79).

Sada je moguće povezati obe slike koje parcijalno definišu vidljivost u H (Sl. 5.78) i F (Sl. 5.79) ravni. Time se dobija jedinstvena slika (Sl. 5.80) prodora duži kroz trougao i odgovarajuća vidljivost.

Sledi algoritamski opis određivanja prodora duž – trougao (Sl. 5.81).

1. Prod. r. 1, sadrži

DE, ⊥ na H

2. Pom. duž KLH u

preseku PR 1 i ΔH

\F,H, ΔF,H

3. Tačka prodora S u

preseku KLF i DEF

4. Vidljivost

Sl. 5.81 Algoritamski opis određivanja prodora duž - trougao

5.11.4. Normala iz tačke na duž / pravu Ovaj zadatak može se svrstati u klasu elementarnih problema. Uz kratko podsećanje na jedan od postulata [12], o upravnosti presečnih duži/pravih, relativno jednostavno se dolazi do rešenja.

Pošto je poznato da se upravnost presečnih duži vidi u projekcijskoj ravni u kojoj je jedna od njih u PV, to je za rešavanje ovog problema dovoljno pronaći pomoćnu ravan 1 u kojoj se predmetna duž vidi u PV. Nakon transformacije i duži i tačke u ravan 1 dovoljno je povući normalu koja povezuje tačku i duž i problem je rešen. Prenošenjem presečne tačke S u F i H ravan dobiće se kompletan prikaz u osnovnim projekcijskim ravnima.

Postupak je ilustrovan slikom (Sl. 5.83) i opisan priloženim algoritmom (Sl. 5.82).

1. Pom. r. 1 // ABH

2. Transf. AB → AB1,

M → M1

MF,H , /F,H

(PV AB)

3. Normala iz M1

na AB1

Sl. 5.82 Algoritamski opis određivanja normale iz tačke na duž


Sl. 5.83 Normala iz tačke na duž

5.11.5. Normala iz tačke na ravan Smisao ovog zadatka je da se iz slobodno izabrane tačke M postavi normala na ravan, koju u ovom slučaju, predstavlja trougao ABC (Sl. 5.84).

Sl. 5.84 Faza 1 - određivanje zračne projekcije geometrijske slike


Uvek kada je potrebno odrediti ugao nekog elementa prema ravni ili GS , makar taj ugao bio i prav, inicijalna ideja je da se pronađe ZP te ravni odnosno GS. Ako se to uspešno izvede, onda je veoma jednostavno rešiti postavljeni problem.

Kao što je već u više navrata pokazano, do ZP GS dolazi se tako što se odredi pomoćna duž GS u PV [18], a zatim se postavi pomoćna ravan 1 upravna na tu duž (Sl. 5.84). Transformisani lik GS u ravni 1 biće ustvari ZP. Sada je dovoljno da se iz tačke M1 povuče upravan zrak na ZP GS (Sl. 5.84).

Sl. 5.85 Faza 2 - normala na ZP GS i tačke prodora

Ovim ipak nije u potpunosti rešen postavljeni problem. Potrebno je još definisati položaj prodorne tačke S1 H i u osnovnim projekcijskim ravnima. Jasno je da će se S naći na veznoj liniji iz S1, međutim nedostaje još jedno zrnce inventivnosti da se precizno odredi pozicija te tačke.

Problem može da se analizira na dva načina. Prvo, pošto su i pom. ravan 1 i zrak MS upravni na GS, znači da su međusobno paralelni. Ta paralelnost se vidi u H ravni, pa će duž MSH biti paralelna tragu pomoćne ravni 1, što je i označeno na slici (Sl. 5.85).

HAnalizirano na drugi način, MS je upravno na GS, što posredno znači da će i MS biti upravno na duž CDH, koja se vidi u PV [12]. Ovaj odnos upravnosti je takođe označen na slici (Sl. 5.85). Provera ispravnosti ovakvog pristupa može se izvesti i u FRONTALNOJ ravni. Tačka prodora SF naći će se na veznoj liniji iz SH, a na visini a.

FIzborom pomoćne duži AE, tako da je AE paralelno F ravni, dobiće se AE u PV. I zaista, ako se izvede provera upravnosti MSF F na AE uočiće se da su te dve duži pod pravim uglom (Sl. 5.85).

To praktično znači da, ukoliko nas ne interesuje tačka prodora normale kroz ravan odnosno GS, taj upravni zrak može se odmah povući iz slobodno izabrane tačke upravno na duž koja se vidi u PV.

U rešenju ovog zadatka (Sl. 5.85) data je i vidljivost normale MS. Čitaocima je ostavljeno da samostalno analiziraju prikazanu vidljivost.

Sledi algoritamski opis rešenja normale na ravan (Sl. 5.86).


1. Pom. duž CD // H

(PV CDH)

2. Pom. r. 1 ⊥ PV CD F,HΔ 3. Transf. Δ, M → Δ1, M1

MS ⊥ Δ F,HM(ZP Δ)

4. Duž MS1 ⊥ ZP Δ

5. Prenošenje S1 → SH, SF

6. Vidljivost

Sl. 5.86 Algoritamski opis određivanja normale na ravan

5.11.6. Ugao duži / prave prema ravni Idejnu postavku ovog zadatka analiziraćemo za krajnje pojednostavljen položaj odnosnih elemenata. Upravo zbog toga osnovni trougao postavljen je paralelno H ravni. U odnosu na njega prodorna duž/prava je sasvim slobodno orijentisana.

Sl. 5.87 Ugao duži/prave prema ravni


Na slici (Sl. 5.87) sasvim jasno se uočava da je ugao α između duži i ravni trougla vidljiv u pravoj veličini u pomoćnoj ravni 1, koja je paralelna duži, a upravna na ravan trougla. Ovaj zaključak je presudan za idejno rešenje problema.

Sl. 5.88 Faza 1 - transformacija 1, 2 do prave veličine trougla

Znači, potrebno je naći onu pomoćnu ravan, koja će biti upravna na PV trougla, a paralelna prodornoj duži. U toj ravni videće se ugao prodorne duži/prave prema ravni.

Sl. 5.89 Faza 2 - transformacija 3 prave veličine duži


Rešavanje postavljenog zadatka sada se izvodi rutinski. Za slobodno orijentisan trougao (Sl. 5.88) već je pokazano u tački 5.9.1.1. Transformacijom do prave veličine geometrijske slike, kako se dolazi do PV. Tokom rešavanja zadatka potrebno je da se pri svim usputnim transformacijama prenosi i prodorna duž. Kada se došlo do PV trougla (Sl. 5.89), dovoljno je postaviti pomoćnu ravan 3 paralelno DE2, pa će se u njoj pojaviti traženi ugao α.

Sledi algoritamski opis određivanja ugla duži/prave prema ravni (Sl. 5.90).


(PV CDH)

2. Pom. r. 1 ⊥ PV CDH F,H Δ1

3. Transf. Δ, → Δ , _1 F,M/

(ZP Δ)

4. Pom. r. 2 // ZP Δ

2 5. Transf. Δ, → Δ , _2

(PV Δ)

6. Pom. r. 3 // _2

3 7. Transf. Δ, → Δ , _3

(ZP Δ, PV _)

Sl. 5.90 Algoritamski opis određivanja ugla duži/prave prema ravni

5.11.7. Rastojanje mimoilaznih duži / pravih Pojam međusobnog rastojanja elemenata KG je parametar koji je sasvim precizno definisan kao

[21] duž koja je upravna na dva, konačno razmaknuta elementa.

Za suštinsko sagledavanje postavljenog problema poslužićemo se imaginacijom. Dve mimoilazne duži/prave mogu se posmatrati kao elementi koji se nalaze u dve međusobno paralelne ravni (Sl. 5.91). Interesantno je, takođe, uočiti da se ti elementi mogu rotacijom, u prikazanim ravnima, dovesti i u paralelan položaj (Sl. 5.91).

Nezavisno od toga da li je položaj elemenata paralelan ili mimoilazan, rastojanje će im biti identično d, što je i označeno na slici (Sl. 5.91).

Ovo svojstvo definisane udaljenosti mimoilaznih elemenata u paralelnim ravnima biće iskorišćeno za rešavanje postavljenog problema.

Početnu sliku čine dve slobodno izabrane mimoilazne duži AB i CD (Sl. 5.92). Do rešenja će se doći uz pomoć ravni koja sadrži duž AB, a uz to je i paralelna CD. Za njenu definiciju iskoristićemo pomoćnu duž EG, koja je presečna sa AB [13], i ujedno paralelna CD [14]. Ovim potezom, par presečnih duži AB i EG definiše novu ravan koja je paralelna CD (Sl. 5.93).

U zračnoj projekciji ove ravni pojaviće se traženo rastojanje d mimoilaznih duži AB i CD. Do ZP ravni dolazi se na poznati način [18], korišćenjem pomoćne duži AL koja se vidi u PV (sl. 94). Pomoćna ravan transformacije 1 sadržaće paralelne projekcije AB1 i CD1 mimoilaznih duži na traženom rastojanju d.


Sl. 5.91 Mimoilazne duži/prave u paralelnim ravnima

Ukoliko se želi precizan položaj tačke iz koje je definisana udaljenost mimoilaznih duži, dovoljno je izvesti još jednu transformaciju u paralelnu ravan 2, gde će se pojaviti PV AB i PV CD. Na mestu njihovog prividnog preseka odmerava se rastojanje d.

Sl. 5.93 Faza 1 - definicija ravni koja

sadrži jednu duž a paralelna je drugoj

Sl. 5.92 Mimoilazne duži

U ravni 2 definisan je takođe i relativni ugao α za koji su zakrenute duži AB i CD od imaginarnog položaja paralelnosti (sl. 94).


Sl. 5.94 Faza 2 - ZP paralelne ravni i PV mimoilaznih duži

Sledi algoritamski opis određivanja rastojanja mimoilaznih duži/pravih (Sl. 5.95).

1. Pom. duž EG × AB, // CD

2. Pom. duž AL ∈ AB, EG // H F,HABH(PV AL ) d CDF,H

3. Pom. r. 1 ⊥ PV AL

4. Transf. AB, CD → AB1, CD1

1 (AB // CD1)

Sl. 5.95 Algoritamski opis određivanja rastojanja mimoilaznih duži/pravih

5.12. KOSA RAVAN Definicija ravni i njenog položaja prema ostalim elementima KG do sada je uglavnom rešavana korišćenjem nižih elemenata KG, kao i jednostavnih GS.

Na ovom mestu otvara se jedna nova klasa problema, poznata kao KOSA RAVAN (u daljem tekstu KR). Takva ravan će najčešće biti predstavljena svojim tragovima prema ravnima osnovnog, projekcijskog diedra (Sl. 5.96). Označavanje KR izvešće se arapskim brojem 4 ili više, jer su niži brojevi rezervisani za pomoćne transformacijske ravni (1, 2, 3).

Pre nego što se započne šira analiza klasičnih problema KR, interesantno je izneti par činjenica koje pomažu bližem poimanju njenog značaja i smisla.


Sl. 5.96 Tragovi kose ravni

Nagib KR je ugao koji ta ravan zaklapa sa osnovnom projekcijskom ravni, najčešće HORIZONTALNOM. Ugao nagiba KR vidi se u ravni koja je upravna na trag KR (Sl. 5.97). Ovaj ugao može se takođe uočiti i između linije nagiba i njene projekcije (duž AB, Sl. 5.97).

Sl. 5.97 Nagib kose ravni Sl. 5.97a Karakteristične linije kose ravni

Najkraća i najstrmija putanja od tačke A (Sl. 5.97) do podnožja KR vodi baš linijom nagiba. Upravo zbog toga skijaši takmičari biraju baš tu stazu u svom pohodu ka cilju. Za razliku od njih, početnici se odlučuju za bilo koju drugu, jasno uvek manje strmu stazu (Sl. 5.97a). Granični slučaj blage staze je putanja čiji je nagib nula.

To je paralela tragu KR (Sl. 5.97a). Ovo je ujedno i druga karakteristična linija KR, pored linije nagiba.

Treća značajna linija je normala KR, takođe označena na slici (Sl. 5.97a).


Kao što će kasnije biti pokazano i objašnjeno, ove tri međusobno upravne linije su vitalno značajne za većinu definicija KR.

5.12.1. Paralele kose ravni Pod pojmom paralela KR podrazumeva se ona linija KR koja je paralelna horizontalnom, odnosno frontalnom tragu KR. Formiranje paralele moguće je zamisliti kao posledicu prodora pomoćne ravni paralelne H ili F kroz KR (Sl. 5.98, Sl. 5.98a, Sl. 5.99, Sl. 5.99a). Paralela horizontalnom tragu KR biće ujedno i paralela H ravni i biće označavana sa h , dok će paralela frontalnom tragu KR i F ravni nositi oznaku f.

Sl. 5.98 Kosa ravan i h paralela Sl. 5.98a Projekcija h paralele

Ove linije su neobično važne, jer pomažu lociranju tačaka na KR. Rezon je veoma sličan korišćenju mreže meridijana i paralela na geografskoj karti. Za primer ćemo uzeti duž AB za koju znamo da leži u KR 4, ali je poznata samo jedna, na primer, horizontalna projekcija ABH (Sl. 5.100).

Sl. 5.99 Kosa ravan i f paralela Sl. 5.99a Projekcija f paralele


Do frontalne projekcije će se doći primenom h paralela (Sl. 5.100) koje će pojedinačno definisati visinu tačaka AF i BF , dok će se egzaktan položaj odrediti u preseku sa veznim linijama iz AH i BH. Rešenje je moglo da se nađe i korišćenjem f paralela (Sl. 5.101). Postupak bi bio identičan.

Sl. 5.100 Duž u kosoj ravni - definicija pomoću h paralela

Sl. 5.101 Duž u kosoj ravni - definicija pomoću f paralela

U ovako jednostavnom zadatku sasvim je svejedno da li će se koristiti h ili f paralela. Međutim, kod složenijih problema, što će biti pokazano kroz dalja razmatranja, neka od paralela imaće prioritet, s obzirom na određenu individualnu osobenost. Pod ovim se misli na činjenicu da

duži i delovi GS koji leže na h paraleli, prikazani su u PV u H ravni. [22]

Analogno tome,

duži i delovi GS koji leže na f paraleli, prikazani su u PV u F ravni. [23]

Kao ilustracija iznetih stavova poslužiće jedan veoma jednostavan zadatak.

Trougao ABC leži u KR 4. Odrediti tragove KR 4, ako su date obe projekcije trougla (Sl. 5.102).

Sl. 5.102 Trougao i definicija kose ravni


Stav [22] iskoristićemo kao ideju za rešavanje ovog zadatka. Pošto odredimo pomoćnu duž trougla u PV u H ravni [18], a na osnovu [22], odmah znamo jednu h paralelu, odnosno pravac prostiranja traga 4H. Važno je da sada lociramo položaj tog traga u ravni H. Za ovo ćemo iskoristiti ZP trougla u pomoćnoj ravni 1, koja će nam otkriti tačku G kao prodorno mesto KR 4. Povlačenjem paralele sa PV duži CD kroz tačku G dobijen je trag 4H (Sl. 5.102).

FU sledećem potezu odredićemo pomoćnu duž AE, koja se u F ravni vidi u PV [18]. Trag 4 , na osnovu [23], biće paralelan PV AE, a polaziće iz tačke preseka 4H sa F/H tragom.

Alogoritamski opis rešenja nalazi na sledećoj slici (Sl. 5.103).


(PV CDH

2. Pom. r. 1 ⊥ PV CD

3. Transf. Δ, → Δ1, _1

F,H Δ

1(ZP Δ )

4. 4H // PV CD,

× 41, 1

5. Pom. duž AE // F

F (PV AE )

6. 4F // PV AE

Sl. 5.103 Algoritamski opis definicije tragova kose ravni

5.12.2. Duž / prava kroz kosu ravan Kao dva nezavisna elementa u prostoru, KR , odnosno duž/prava su individualno definisani. Međutim, ako postoji njihov kontakt, u ovom slučaju prodor, interesantno je locirati to mesto.

Sl. 5.104 Duž kroz kosu ravan Sl. 5.106 Prodor duži kroz kosu ravan

Na slici (Sl. 5.104) prikazani su KR 4 i duž AB. Da bi se odredila tačka prodora, poslužićemo se prodornom ravni 1. Izbor položaja PR 1 izveden je tako, da ona sadrži duž AB i uz to je upravna na


F Fna H (Sl. 5.105). Trag koji PR 1 ocrtava na KR 4 označen je sa KL. U preseku AB i KL nalazi se tačka prodora SF. Horizontalna projekcija SH nalazi se u preseku vezne linije iz SF H i projekcije AB (Sl. 5.106).

Sl. 5.105 Prodorna ravan u traženju prodora duži kroz kosu ravan

Sledi algoritamski opis prodora duži kroz KR (Sl. 5.107).

1. PR 1 F,H

(AB ∈ PR 1, PR 1 ⊥ H)

4 F,HAB

2. Trag PR 1, 4 → KL

3. × KLF, ABF → SF

Sl. 5.107 Algoritamski opis prodora duži kroz kosu ravan

Iskoristićemo pojmovnu sličnost prikazanog problema i ideje o normali na KR. Pošto se radi o duži/pravoj koja ortogonalno prodire kroz KR pomoću nove PR 1 ocrtaćemo odgovarajući trag i locirati tačku prodora S (Sl. 5.108). Kroz tu tačku povućićemo h i f paralelu. Iz upravnosti normale n na KR 4 sledi [15] upravnost i na h odnosno f paralelu. S obzirom da se i h i f vide u PV u odgovarajućim projekcijama i da su paralelne odnosnim tragovima KR, to prema [12]

normala na KR upravna je i na njene tragove u osnovnim projekcijama [24]


Sl. 5.108 Normala na kosu ravan

Ilustraciju iznetog stava čitalac može da potraži povezivanjem pojmova analiziranih u tački 5.11.5. Normala iz tačke na ravan.

5.12.3. Obaranje kose ravni Jedno od uvek aktuelnih inženjerskih opredeljenja je težnja da se najkraćim putem dođe do rešenja. U želji da se to što efikasnije izvede, nastaju različite metode i postupci koji znatno olakšavaju analizu određenih problema. Tako se pomoću obaranja KR veoma jednostavno i lako dolazi do PV elementa sadržanog u njoj. Umesto višestepene transformacije, dovoljno je izvesti nešto specifičniju rotaciju i traženo rešenje se javlja na crtežu.

Objašnjenje postupka izvešćemo uz odgovarajuću ilustraciju (Sl. 5.109). Kao osnova poslužiće KR 4, definisana svojim tragovima 4F i 4H , i slobodno izabrana tačka A u njoj (Sl. 5.109). Kroz tačku A povučena je h paralela koja prodire F ravan u tački D. Radi povezivanja pojmova označena je i korena tačka C tragova KR 4.

Dodatnu slikovitost u postupku obaranja pružiće PR 1 koja je upravna na trag 4H. Ovaj trag će ujedno poslužiti kao osa rotacije (Sl. 5.109).

Obaranje počinje tako što se pomoćna tačka D koja se nalazi na tragu 4F rotira oko 4H. Ova rotacija označena je kružnim segmentom od početnog položaja D do konačnog položaja DO u HORIZONTALNOJ ravni. Tačka D je tokom rotacije putovala kroz PR 1, pa će se tako horizontalna projekcija njene kružne putanje poklopiti sa PR 1H. Dalje, duž CD, koja povezuje tačku D i osu rotacije leži u F ravni i vidi se u PV, tako da će se u oborenom položaju pojaviti u istoj PV, ali sada kao duž CDO.


Sl. 5.109 Postupak obaranja kose ravni

Oboreni trag 4O je praktično poklopljen sa CDO i označen debelom isprekidanom linijom, što simbolizuje PV. Iz tačke DO može se, takođe, povući oborena paralela hO koja je i dalje paralelna tragu 4H. Pošto se tačka A nalazi na h paraleli, sada će se i njena oborena projekcija AO naći na hO, odnosno u preseku vezne linije iz AH i hO (Sl. 5.109).

Sl. 5.110 Obaranje kose ravni


Pojednostavljeno, procedura obaranja KR 4 prikazana je i sledećoo slikom (Sl. 5.110). Iz pomoćne tačke DH povučena je vezna linija upravno na 4H, pa je zatim iz korena tragova KR 4 opisan krug poluprečnika CD, do preseka sa veznom linijom. Kroz presečnu tačku povučen je trag oborene ravni 4O. U preseku oborene paralele hO i vezne linije iz AH nalazi se tačka AO.

5.12.4. Geometrijska slika u kosoj ravni Rešavanje problema GS u KR može se smatrati gotovo rutinskim zadatkom, ako se prethodno ovladalo obaranjem KR i njenim paralelama. Prikaz PV GS na osnovu F/H projekcije, ili obrnuto, određivanje F/H projekcije prema zadatoj PV GS predstavljaju samo primenu već proučene metodologije.

U daljem izlaganju biće pokazano rešavanje dva elementarna problema.

Jedan se odnosi na definiciju PV trougla koji se nalazi u KR 4, a prikazan je HORIZONTALNOM projekcijom (Sl. 5.111).

Sl. 5.111 Prava veličina trougla u kosoj ravni

Prvo će se pomoću snopa h paralela odrediti frontalna projekcija trougla, a potom će te iste paralele biti iskorišćene da se u oborenoj KR 4 odrede pojedinačna tačke AO, BO i CO. Njihovim povezivanjem dobija se PV trougla ABC (Sl. 5.111).

Sledeći zadatak nešto je drugačiji i u postavci i u rešavanju. Potrebno je odrediti F/H projekciju kruga, ako je poznat položaj centra O H

1 i poluprečnik r kruga.


Na poznat način odrediće se O i oboreni položaj centra OF1 1/O. Iz oborenog položaja centra može se

nacrtati PV kruga sa zadatim poluprečnikom r (Sl. 5.112).

Sl. 5.112

Sada je potrebno ponovo pokrenuti zrnca inženjerske inventivnosti i povezati neke od prethodnih stavova, da bi se iskristalisalo idejno rešenje zadatka. Čak i bez velikog poznavanja KG jasno je da će se krug iz KR 4 pojaviti kao elipsa u F/H projekciji. Dalje, izgled elipse biće definisan pomoću njene velike i male poluose, što su inače ekstremne dimenzije svake elipse.

Ovim su konačno pripremljene kockice za mozaik rešenja. Prvo, velika poluosa elipse biće projekcija onog poluprečnika kruga koji je pri projektovanju pretrpeo najmanje ili nikakvo skraćenje. Podsećanjem na stavove [22] i [23], zaključujemo da će se velika poluosa elipse pojaviti u H ravni na h paraleli, a u F ravni na f paraleli, kroz centar O , jer su to elementi GS koji se vide u PV. Nasuprot tome, poluprečnik kruga koji leži na liniji nagiba, zbog najveće strmine, pretrpeće najveće skraćenje i preslikaće se u malu poluosu elipse. Pošto su definisani ključni pravci, po kojima su orijentisane karakteristične ose elipse, može se pristupiti preslikavanju.

HF,1

Jedna od novina, koja se prvi put uvodi na ovom mestu je numeracija karakterističnih tačaka konture malim arapskim brojevima, dovoljno različitim od oznake ravni. Ovakvo markiranje je neophodno da bi se pojedinačno pratila svaka tačka pri preslikavanju.


Počećemo od tačaka 1 i 2, koje definišu prečnik na h paraleli, koji će se preslikati u H projekciju u svojoj PV (Sl. 5.112). Sledeće tačke su 3 i 4, i one se nalaze na liniji nagiba upravno na h paralelu. Na poznati način ove tačke se iz oborenog položaja prenose u H ravan. Pomoću ove četiri tačke može se komletirati elipsa u H projekciji.

Slede tačke koje definišu elipsu u F ravni. Prečnik 56 nalazi se na f paraleli i preslikava se u PV u F ravan. Odmah može da se povuče odgovarajuća f paralela kroz centar O i da se na rastojanju r od centra definišu tačke 5

F1

F F i 6 . Jasno, položaj ovih tačaka može da se traži i standardnim postupkom. Na kraju, preostao je prečnik kruga 78 koji se najvećim skraćenjem preslikava na liniju nagiba u F ravni. Dovoljno je pronaći položaj jedne od tačaka 7F ili 8F na ortogonalnom pravcu iz O na f paralelu, pa će se druga tačka pojaviti na simetričnoj poziciji.

F1

FPovezivanjem tačaka 5 do 8F formira se elipsa u F ravni.

S obzirom na jednostavnost redoslednih operacija kojima se izvodi preslikavanje GS iz KR ili u KR, nije neophodno prikazati algoritamski opis. Svakako, oni čitaoci, koji to smatraju interesantnim, mogu samostalno da postave osgovarajući algoritamski opis.

5.12.5. Geometrijsko telo na kosoj ravni Sledeći stepenik u gradaciji problema KR je prikaz GT koje svojom osnovom leži u KR. Suštinski, ovaj i slični zadaci predstavljaju neznatno proširenje prethodno analiziranog problema.

Sl. 5.113

Poslužićemo se primerom pravog cilindra dužine l, čija se kružna osnova nalazi na KR 4. Znatan deo ovog zadatka već je rešen kroz problem GS u KR. Nastavak teče tako, što je potrebno definisati


Opoložaj centra gornje osnove 1, koji se nalazi na rastojanju l od centra donje osnove O1 (Sl. 5.113). Pošto se radi o pravom cilindru, znači da je njegova centralna osa upravna na ravan osnove. Ovo će se prikazati u pomoćnoj ravni 1 , upravnoj na KR 4 , koja sadrži ZP osnove cilindra. Dužina l naneće se na ortogonalni pravac ose iz tačke O 1

1 i tako će se dobiti centar gornje osnove O 11

H1O . Položaj naći

će se na odgovarajućoj normali iz O H1 [24], a u preseku sa veznom linijom iz O 1

1 (Sl. 5.113). Projekcija F

1H1O će se naći u preseku vezne linije iz O i normale iz O [24]. Izgled gornje osnove je

u obe F/H projekcije identičan izgledu donje osnove, s tim što je celokupna kontura gornje osnove vidljiva.

F1

Pošto se definišu bočne izvodnice, koje su paralelne osi cilindra i taKGiraju obe osnove, može se odrediti vidljivost u H ravni, dok se kriterijum ispred-iza koristi za definiciju vidljivosti u F ravni.

Oni čitaci koji ne mogu neposredno da procene vidljivost kontura GT, upućuju se na detaljnije proučavanje tačke 5.10. Geometrijsko telo u pravcu zraka.

Sl. 5.114


5.13. RAZVIJENE POVRŠINE Dosadašnja razmatranja problema KG prvenstveno su bila usmerena na poimanje prostornih relacija odgovarajućih elemenata i metodološki izbor pravca posmatranja, koji će voditi ka potpuno jasno definisanom rešenju problema. Često idejni proces objedinjuje niz apstraktnih operacija, da bi se tek u nekom od završnih koraka promolio izgled konačnog rešenja.

Za razliku od toga, problem razvijenih površina sasvim je egzaktan i blizak elementarnom tehničkom razmišljanju, slično veštini krojenja. Pojednostavljeno, razvijanje površine GT svodi se na određivanje PV elementarnih činilaca konture GT i njihovo svođenje u jednu ravan. Mogućnost praktične primene znanja iz ove oblasti ne znači da je ona manje sofisticirana u odnosu na ostale, već znači da se može neposredno pretočiti u ideje o oblikovanju GT.

Kako je postupak razvijanja površine usko vezan za GT, to ćemo dalja razmatranja započeti pojmovnom definicijom GT i klasifikacijom pojavnih varijanti.

5.13.1. Definicija geometrijskog tela Jedna od specifičnosti inženjerske struke je i način posmatranja određenog objekta, zavisno od prirode postavljenog problema. Sledeći primer o palidrvcu otkriva prirodu te specifičnosti. Sa aspekta primenjenih materijala, oblik palidrvca potpuno je nebitan i analiziraju se samo fizičke i hemijske osobine štapića i zapaljive smese. Nasuprot tome, kod statičke analize u fokusu će biti greda izložena određenom opterećenju, dok će dizajner, u duhu KG, palidrvce posmatrati kao kombinaciju prizme i kalote.

Jasno, postoje i mnoge druge interpretacije čak i ovako jednostavnog objekta, ali ovaj primer pokazuje da je domen analiza KG isključivo oblik GT.

Čak šta više, u analizama koje slede, oblikom GT se smatra ona

struktura GT definisana isključivo površinom koja zatvara njegovu konturu. [25]

Ako bi se ovom stavu podvrglo obično kokošije jaje, to bi značilo da nas, u smislu KG, prvenstveno interesuje ljuska i njen oblik, bez obzira na unutrašnji sadržaj. Treba imati na umu da se i fizička debljina ljuske zanemaruje i u razmatranjima učestvuje isključivo površina koja predstavlja spoljnu konturu.

Sinteza oblika GT može se izvesti na više načina. Jedan je da se kroz konturu osnove, koju predstavlja izabrana GS, postavi niz ili pramen izvodnica koje će se seći u nekoj konačnoj tački - vrhu, formirajući tako kupasti ili piramidalni oblik (sl. 113), ili će se seći u beskonačnosti, formirajući cilindričan, odnosno prizmatičan oblik (sl. 113a). Zbog korišćenja pramena izvodnica koje prolaze kroz osnovu, ovako oblikovana površ, koja još uvek nije GT, naziva se pramenastom. Na ovom mestu postavićemo jedan prioritet koji možda i nije matematički sasvim prihvatljiv, ali je inženjerski opravdan. Slično prioritetu koji smo zbog konačnosti forme dali duži u odnosu na pravu, i sada ćemo zaključiti da

pramenasta forma počinje svojom donjom osnovom i završava se paralelnom, gornjom osnovom ili presečnom tačkom izvodnica, odnosno vrhom. [26]

Ilustracija ovog stava prikazana je slikom (sl. 114), na kojoj je istaknuta konačnost forme GT. U slučaju kada je ta forma zatvorena, radi se o GT, odnosno ako nedostaje osnova ili osnove, radi se samo o omotaču GT. Ako je omotač formiran oko poligonalne osnove, dobiće se rogljasto GT, u


suprotnom, to će biti oblo GT. Dalje, duž koja povezuje centar donje i gornje osnove, odnosno vrh pramenastog GT, naziva se osovina. Ukoliko je osovina pramenastog GT ortogonalna na osnovu, tada je to pravo GT (sl. 115), odnosno ako je nagnuta, radi se o kosom GT (sl. 115a).

Takođe, GT može da bude zarubljeno, i to, ako je nekom ravni odsečen gornji deo osnovnog oblika pramenastog GT (sl. 116).

Za razliku od postupka pramenastog formiranja GT, drugi način je da se GT oblikuje rotiranjem GS oko izabrane ose. Time se dobija obrtno GT (sl. 117), što odgovara zanatskoj izradi grnčarije ili mašinskoj obradi na strugu.

Jedna klasa oblih pramenastih tela (kupa, cilindar i njihove kombinacije) može da se formira i kao pramensto i kao obrtno GT. To su uglavnom tela koja se dobijaju rotacijom poligonalne GS (sl. 118). Iako mogu da imaju dvojno poreklo, ova GT smatraju se pramenastim. Grupi obrtnih GT pripadaju ona GT koja se formiraju isključivo postupkom rotacije.

Postoji i jedna specifična grupa GT nazvana poliedri. Njihov oblik nastaje povezivanjem niza elementarnih poligona (sl. 119). Kada su ti poligoni pravilni i identični, nastaju pravilni poliedri. U ovu grupu spada relativno mali broj GT: tetraedar, heksaedar, oktaedar, dodekaedar i ikosiedar (sl. 119a-e). Imena su potekla iz starogrčkog, numeracijom broja stranica14. Od ostalih poliedara najpoznatija je fudbalska lopta (sl. 120), sačinjena kao kompozicija pravilnog petougla i šestougla.

14 Tetraedar - četvorostrani, heksaedar - šestostrani, oktaedar - osmostrani, dodekaedar - dvanaestostrani, ikosiedar - dvadesetostrani


Glamurozni sjaj dragog i poludragog kamenja nastaje upravo zbog uspešno uklopljenih prelamajućih površina poliedra (sl. 121).

U prilogu ove tačke (sl. 122) prikazana je osnovna podela GT i najčešće varijacije.

5.13.2. Mreže geometrijskih tela Razvijanjem površine GT najčešće se dobija mozaik elementarnih GS, sačinjen od ravanskog prikaza osnove/osnova i omotača GT. Ova ravanska forma naziva se mreža GT. Isecanjem linija po obodnoj konturi mreže i savijanjem ivica unutar nje, prelazi se iz razvijenog ravanskog oblika u prostornu formu GT (sl. 123a, b). Završna operacija je spajanje otvorenih ivica, čime se dobija konačna zatvorena forma GT (sl. 123c).

Stvar se osetno usložnjava ukoliko je omotač obla površ. Pri tome, izgled osnove ne predstavlja problem, jer je to kružna, ravanska GS (sl. 124a). Međutim, razvijenu površinu omotača treba definisati tako, da se kasnije pri oblikovanju GT njena kontura precizno i u potpunosti zatvori oko osnove (sl. 124b,c).

Još složeniji slučaj, koji je nemoguće egzaktno rešiti ravanskom mrežom, tiče se obrtnih GT. U toj varijanti obično se primenjuje određena inženjerska aproksimacija koja nudi prihvatljivo približno rešenje. Tako se i fudbalska lopta formira kao poliedar iz mreže niza pravilnih petougla i šestougla (sl. 120). Takođe, najbolja geografska interpretacija zemaljske kugle dobijena je _________________ kartom, gde je zemljina lopta iskriškana u mrežu segmenata, slično kori pomorandže (sl. 125).

Upravo zbog nemogućnosti da se egzaktno definiše ravanska mreža, nećemo se baviti analizom obrtnih GT, već će se razmatranja usmeriti na pravilne poliedre i pramensta GT.

PRAVILNI POLIEDAR

Pošto se radi o klasi GT koja su formirana spajanjem identičnih i pravilnih GS (trougao, kvadrat, petougao), priložene su samo ilustracije GT i odgovarajuće mreže, bez posebnih komentara i analiza (sl. 126-130).

PIRAMIDA

Piramida je pramenasto GT formirano oko poligonalne osnove sa izvodnicama koje se spajaju u vrhu. Pri analizi njene mreže i omotača osnova se obično postavlja u horizontalnu ravan, tako da je već unapred poznata njena PV. Omotač, svih formi nezarubljene piramide, sastoji se od niza povezanih trouglova, čiji broj odgovara broju stranica osnove.

Pošto je trougao, za razliku od svih ostalih mnogougla, jednoznačno određen ako je poznata veličina sve tri njegove stranice, to ćemo ovu osobinu iskoristiti za formiranje omotača piramide. U samoj postavci zadatka već je definisana PV osnove, čime se zna i po jedna stranica svih trouglova u omotaču. Znači, dovoljno je odrediti PV izvodnica nad temenima osnove i dobiće se kompletna mreža piramide.

Ovo ćemo pokazati na primeru jedne kose četvorostrane piramide (sl. 131). PV izvodnica dobiće se njihovom pojedinačnom rotacijom do položaja paralelnog F ravni (sl. 131). Uklapanje četvorougaone osnove u mrežu piramide (sl. 131a) izvešćemo uz pomoć jedne od njenih dijagonala d da bismo je realno preslikali.

U nastavku ovog zadatka istu piramidu ćemo zarubiti kosom ravni 4 (sl. 132) i potom razviti njenu mrežu (sl. 132a). Najefikasniji način da se formira mreža zarubljene piramide je da se na omotaču one izvorne i nezarubljene odmeri dužina odsečenih izvodnica i potom povežu nova temena A B DC . Realna dimenzija gornje osnove dobiće se obaranjem KR 4.


Razvijanje površine piramide nije detaljno objašnjavano, jer su ideje i metodologija već izneti kroz prethodna poglavlja. Za one koji nisu dovoljno sigurni i vešti u primeni odgovarajućeg postupka, preporučuje se dodatno proučavanje tačaka 5.12.2 Duž/prava kroz kosu ravan i 5.12.3 Obaranje kose ravni.

PRIZMA

Postupak razvijanja površine rogljastih GT znatno je olakšan činjenicom da se unapred zna oblik elemenata omotača. Kao što su to kod piramide bili trouglovi, tako su kod prizme četvorougli. Ukoliko se radi o pravoj prizmi, omotač je formiran od niza pravougaonika. Za razliku od toga, kosa prizma ima omotač sastavljen od romboidnih četvorougla, a zarubljena od trapezoidnih elemenata. Zajedničko im je da izvodnice, koje su inače paralelne u strukturi samog GT, ostaju paralelne i u njegovoj mreži.

Praktični značaj ovog zaključka pokazaćemo na primeru razvijanja mreže kose četvorostrane prizme (sl. 133). Osnova leži u H ravni, a nagib izvodnica je slobodno izabran.

Idejna postavka rešenja polazi od toga da treba definisati pomoćnu ravan 1 paralelno izvodnicama prizme (sl. 133). Uloga ove ravni je da se sagleda PV izvodnica. U sledećem koraku postavlja se ravan 2 upravno na izvodnice (sl. 133) i ona sadrži ZP prizme. Važno je uočiti da se u ravni 2 pojavljuju PV međusobnog rastojanja izvodnica (a, b, c, e), koje su od vitalnog značaja za formiranje omotača prizme. Pomoćna ravan 2, zbog preglednosti crteža, izmeštena je izvan tela prizme. Rastojanja pojedinačnih temena gornje osnove od ravni ZP označena su sa (l , l , l , l

A B C D) što je

kasnije iskorišćeno za formiranje mreže (sl. 133a).

Ponekad se, zbog uštede prostora, pomoćna ravan 2 postavlja u telu prizme, što ne menja suštinu razvijanja omotača.

Mreža prizme kompletira se tako što su, već nacrtanom omotaču, dodate donja i gornja osnova, preslikane uz pomoć dijagonale d.

Postupak razvijanja mreže nešto je složeniji kada je u pitanju kosa zarubljena prizma. Razlika se javlja utoliko što su dužine izvodnica međusobno različite i zasebno definisane. Uz to, PV gornje osnove dobija se obaranjem ravni kojom je zarubljena prizma.

Algoritam razvijanja mreže obične kose prizme izgledao bi saglasno sledećoj slici (sl. 134).

A 1. Pom. r. 1 // A

2. Transf. →

A 1 3. Pom. r. 2 ⊥ A

4. Transf. →

(ZP )

5. Formiranje mreže

iz elemenata i

sl. 134 Algoritamski opis razvijanja mreže prizme

KUPA

Većina ljudi, čak i bez ikakvog poznavanja KG, sposobna je da napravi novogodišnju kapu, odnosno omotač prave kupe. To pokazuje da je, u nekim slučajevima, dovoljan intuitivni osećaj da bi se rešio određeni zadatak. Međutim, ako biste istim tim ljudima, malo strože definisali problem, na primer da osnova kupe ima određen prečnik i da izvodnice zahvataju zadati ugao, vrlo mali broj bi umeo da


artikuliše intuitivni osećaj u ponovljivu tehničku metodologiju. Upravo zbog toga prikazane su osnovne relacije vezane za značajne parametre prave kupe i njene mreže (sl. 135, 135a).

U slučaju kose kupe stvari su osetno drugačije. Kontura omotača nije više segment kruga, već je u pitanju složena kriva smeštena između graničnih izvodnica. Kao i kod većine zadataka gde je teško pronaći egzaktno rešenje, pribegava se diskretizaciji problema. Taj postupak se u matematici odnosi na numeričke metode, u geodeziji na triaKGulaciju prostora, kod proračuna čvrstoće na metodu konačnih elemanata. Suštinski, nepoznata ili teško opisiva forma usitnjava se na skup susednih i povezanih diskretnih elemenata koji su po obliku, veličini i svojstvima potpuno definisani. Povezivanjem i uklapanjem ovih elemenata zida se konačna forma koja možda neće biti idealno oblikovana, ali će biti komponovana od detaljno proučenih gradivnih jedinica.

Shodno opisanoj ideji diskretizacije izvešće se deoba obodne kružnice osnove kose kupe na dvanaest jednakih segmenata (sl. 136). Broj segmenata može se slobodno izabrati, ali je poželjno da to bude jednostavno izvodiv zahvat, sa dovoljno malim korakom, koji će garantovati bolje približenje egzaktnoj formi. Iz svake od tačaka osnove polazi jedna izvodnica, čija se PV dobija rotacijom do paralelnog položaja F ravni (sl. 136). Redoslednim i pojedinačnim povlačenjem PV izvodnica iz vrha mreže (sl. 136a) i njihovim sukcesivnim presecanjem sa segmentima osnove formiraće se kompletan omotač. Mrežu upotpunjuje i pridodata kružna osnova.

Algoritamski opis razvijanja mreže kose kupe nalazi se u prilogu (sl. 137).

1. Segmentacija kružne

osnove u 12 jednakih delova

i numeracija

2. Definicija PV izvodnica

1 ... 12, rotacijom

3. Formiranje obodne

konture omotača presecanjem

sukcesivnih izvodnica i

segmenta osnove

4. Docrtavanje osnove

sl. 137 Algoritamski opis razvijanja mreže kose kupe

CILINDAR

Smatrajući da je mreža pravog cilindra suviše elementaran problem da bi se posebno razmatrao, preći ćemo na razvijanje površine kosog cilindra. Kod rešavanja ovog zadatka kombinovaćemo znanja i iskustva stečena razvijanjem kose prizme, odnosno kose kupe.

Pošto se radi o kružnoj osnovi, prvo ćemo izvesti diskretizaciju obodne konture u 12 jednakih segmenata. Potom će se postaviti pomoćna ravan 1 paralelno izvodnicama i transformisati lik figure u ravan 1 (sl. 138). Sledeća pomoćna ravan 2 biće upravna na izvodnice 1 ... 12, i u njoj će se pojaviti ZP cilindra. Segmentacija u ZP otkriće međusobno rastojanje paralelnih izvodnica, koje će se pojaviti i u mreži (sl. 138a). Udaljenost diskretnih tačaka gornje osnove od referentne ravni 2 (l , l

1 2, ...),

definisaće obodnu konturu omotača smeštenu između graničnih izvodnica. Mreža se kompletira docrtavanjem donje i gornje kružne osnove.

Algoritamski opis postupka nalazi se na sledećoj slici (sl. 139):


1. Segmentacija osnove u

12 jednakih delova i numeracija

O2. Pom. r. 1 // O

3. Transf. →

O 14. Pom. r. 2 ⊥ O

5. Transf. →

(ZP )

6. Formiranje mreže iz

elemenata i

sl. 139 Algoritamski opis razvijanja mreže kosog cilindra

Usložnjavanje opisanog zadatka moguće je izvesti zarubljivanjem posmatranog kosog cilindra dodatnom kosom ravni 4. Postupak rešavanja mreže zarubljenog kosog cilindra tekao bi identično, s tim što bi eliptična forma gornje osnove povezivala prodorne tačke izvodnica kroz KR 4, a omotač bi bio definisan setom izvodnica (1 ... 12) nejednake dužine (11 2, 2 , ...).

Index

Documents

5. Principi Konstruktivne geometrije - MASINAC.org geometrija/predavanja... · Konstruktivna geometrija 41 ** Pojedini, značajni stavovi koji se budu pominjali u daljem tekstu, nosiće