5-SC1-RT 2

Sistemas de segundo ordenSistemas de segundo orden

Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden auna ecuación diferencial linea de segundo orden

)()()(

)()()(

212

2

0212

2

0 trbdt

tdrb

dt

trdbtca

dt

tdca

dt

tcda ++=++

Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:

.0,,,1 102210 ====== bbKbapaa .0,,,1 102210 ====== bbKbapaa

Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

)( pss

K

+)(sR )(sC)(sE K

p

dondees una const.que representauna ganancia.

es una const. realrepresenta al polodel sistema.

Su función de transferencia de lazo cerrado es:

Kpss

K

sR

sC

++=

2)(

)(


−−+

−++

=K

ppsK

pps

K

sR

sC

4242

)(

)(22

Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos

1. Reales diferentes si: Kp >4

2

Kp =4

2

Kp <4

2

, 2. Reales iguales si:

3. Complejos si

Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables2nK ω= σζω 22 == np


22

2

2)(

)(

nn

n

sssR

sC

ωζωω

++= forma estándar del sistema

de segundo orden.

donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denominaatenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamientodinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de losparámetros y .ζ

nω

Se analizará la respuesta transitoria ante una entr ada escalón unitario:

nω σζ

Se analizará la respuesta transitoria ante una entr ada escalón unitario:

(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe)10( << ζ )()( sRsC

donde se denomina fracuencia natural amortiguada. Si21 ζωω −= nd

))(()(

)(2

dndn

n

jsjssR

sC

ωζωωζωω

−+++=

)(sR

es una entrada escalón, entonces

ssssC

nn

n

)2()(

22

2

ωζωω

++=


Utilizando fracciones parciales

2222 )()(

1)(

dn

n

dn

n

ss

s

ssC

ωζωζω

ωζωζω

++−

+++−=

y conociendo que

tes

sd

t

dn

n n ωωζω

ζω ζωcos

)( 22

−=

+++1-

L

tsenes

dt

dn

d n ωωζω

ω ζω−=

++ 22)(

1-L

Se obtiene la salida en el tiempo

)0(1

tan1

1)(2

1

2≥

−+−

−= −−

ttsene

tc d

tn

ζζω

ζ

ζω


(2) Caso de amortiguamiento crítico :)1( =ζ

)(sC

sssC

n

n2

2

)()(

ωω

+=

la transformada inversa arroja

en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón es

)0()1(1)( ≥+−= −ttetc n

tn ωω

la transformada inversa arroja


ssssC

nnnn

n

)1)(1()(

22

2

−−+−++=

ζωζωζωζωω

en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para unaentrada escalón, es

(3) Caso sobreamortiguado :)1( >ζ

)(sC

t

t

n

n

e

etc

ωζζ

ωζζ

ζζζ

ζζζ)1(

22

)1(

22

2

2

)1(12

1

)1(12

11)(

−+−

−+−

−−−−

−+−+=

La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es


1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0=ζ

2.0=ζ

4.0=ζ

7.0=ζ8.0=ζ

Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sa1>ζ

ca1=ζ

Figura. Respuesta al escalón de diferentes sistemas de segundo orden.


Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden

22

2

2)(

nn

n

sssC

ωζωω

++=

)10( <≤ ζ )0(11

)( 2

2≥−

−= −

ttsenetc ntn n ζω

ζω ζω

para

Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de )(tc

1−ζ

)1( =ζ

)0(1212

)()1(

2

)1(

2

22

≥−

−−

= −−−−−−teetc

tntn nn ζωζζζωζζ

ζω

ζω

para

)1( >ζ

)0()( 2 ≥= −ttetc

tn

nωω

para


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sa1>ζca1=ζ

0=ζ2.0=ζ

4.0=ζ

7.0=ζ

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.


Definición de los parámetros de la respuesta transi toria

Las características de desempeño de un sistema de control se comparanbasándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característicatransitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad deresponder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. Larespuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientesparámetros.

1.4c(t)

1. Tiempo de retardo

2. Tiempo de crecimiento

3. Tiempo pico

4. Sobreimpulso máximo

5. Tiempo de establecimiento

rt

dt

pt

pM

st

a continuación se definen…0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

c(t)

1

0

st

pM

rt

Tiempo de retardo

, . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.

Sistemas de segundo orden 2.- Tiempo de crecimiento

2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuestaaumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.

rt

El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuaciónEl tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuaciónde respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.

1)1

(cos1)(2

=−

+−= −rdrd

ttsentetc rn ω

ζζωζω

01

cos2

=−

+ rdrd tsent ωζ

ζω


0tan1

1costancos1

cos22

=

−+=

−+ rdrdrdrdrd ttttt ω

ζζωωω

ζζω

o bien

σω

ζζω d

rd t =−−=21

tan

el tiempo de crecimiento es

σωβ

ωβπ

σω

ωd

d

d

drt

11 tan,tan1 −− =−=

−

=

el tiempo de crecimiento es

β

σ

dω


3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance elprimer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuaciónde respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene

pt

01

)(2

=−

− pntnpd etsen

ζω

ζωω

pd sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslostsenω = ,0

dppd

pd

tt

sosobreimpulprimereleligese

sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslostsen

ωππω

πππω

=⇒=

=

.,,3,2,,0

,0

L

Sistemas de segundo ordenSOBREPASO

1)( −= pp tcM

πζπst

4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.

pM

−+−= −

dd

dd sene dn

ωπω

ζζ

ωπωωπζω

2

)(

1cos

( ) ( )πωσπωωζ ddn ee−− ==

( )πζζ 21−−= eM p

st

5.- Tiempo de establecimiento,5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva derespuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido,generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Parasistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2%después de 4 constantes de tiempo:

σζω44

4 ===n

s Tt


Ejemplo : Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema

)34(

75

+ss)(sR )(sC

Desarrollo:Desarrollo:

La función de transferencia de lazo cerrado es

7534

75

)(

)(2 ++

=sssR

sC

Se utiliza la siguiente igualdad

22

2

2 27534

75

nn

n

ssss ωζωω

++=

++


se obtiene

3752 =nω

342 =nζω

375=nω

877876.03752

34 ==ζ

17=σ

A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria

86=dω

A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria

segundostd

r 2849.0=−=ω

βπ.499.0tan 1 radd == −

σωβ

segundostd

p 33876.0==ωπ

( )%315.000315.0 === − πωσ deM p

segundosts 23529.04 ==σ

Nota: Analizar porque prs ttt <<


Ejemplo : De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtenerla función de transferencia.

0.8

1

1.2

1.4c(t)

127

142

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

t00.75

Desarrollo: de la gráfica

1181.0127

127142 =−=pM segundosts 75.0=Estos dosParámetrosSon suficientes


De st

3333.544 ==→=s

st

t σσ

De y conociendo pM σ

( )84335.7

ln=−=→= −

pdp

MeM d

σπωπωσ

EntoncesEntonces

3333.5=σ84335.7=dω

48486.922 =+= dn ωσω56229.0==→=

nn ω

σζσζω

96256.89666.10

96256.89

2)(

222

2

++=

++=

sssssG

nn

n

ωζωω

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