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LEZIONE 5

5.1. Vettori geometrici.

In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti,segmenti (orientati), rette, piani nel piano A2 e nello spazio A3 affini (cioe in cuivalgono gli assiomi della geometria euclidea). A tale scopo il nostro primo passoe quello di algebrizzare la descrizione di tali enti, associando ad essi particolarimatrici.

Per fare questo inizieremo in questo paragrafo ad introdurre la nozione di vettoreapplicato nel piano affine A2 e nello spazio affine A3.

Innanzi tutto ricordiamo cosa si intende per segmento. Siano A e B due puntidi An (se n = 2 sono punti del piano A2, se n = 3 dello spazio A3). Se A 6= Besiste ununica retta r passante per A e B e tali punti dividono r in tre parti: unasemiretta di origine A, una semiretta di origine B, ed una parte limitata di rettaindividuata dai due punti A e B che verra detto segmento di estremi A e B.

Se, invece, A = B la retta r non e piu univocamente individuata e, quindi, nonabbiamo piu due semirette di origine A e B univocamente determinate, mentrepotremo continuare a parlare del segmento di estremi A e B intendendo con ciolunico punto A = B che, invece, continua ad essere univocamente determinato:in questo caso parleremo spesso di segmento degenere, o nullo, di estremi A e B.

In entrambi i casi indicheremo il segmento di estremi A e B con il simbolo AB.Passiamo ora a definire la nozione di vettore.

Definizione 5.1.1. Sia O un punto in An. Un vettore ~v applicato in O e unsegmento, eventualmente degenere, avente un estremo in O, detto estremo vinco-lato. Se P e laltro estremo, detto estremo libero, spesso indicheremo ~v con ilsimbolo ~OP . Se O = P scriveremo ~0 invece di ~OO.

Linsieme di tutti i vettori di An applicati in O verra indicato con il simboloVn(O).

Le scritture ~v o ~OP ricordano che il segmento e orientato, ovvero va percorsoin un ben preciso verso ed ha un punto di applicazione, O, ed un estremo libero, P .In questo senso le due scritture ~OP e ~PO, pur rappresentando lo stesso segmento,rappresentano vettori applicati diversi.

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2 5.1. VETTORI GEOMETRICI

O

Figura 5.1

Ad ogni vettore geometrico rimangono associate alcuni dati importanti.

Definizione 5.1.2. Sia ~OP Vn(O), ~OP 6= ~0. Definiamo direzione di ~v la rettapassante per i punti O e P . Definiamo verso di ~v la semiretta di origine O econtenente il punto P .

Spesso e comodo estendere la nozione di direzione e verso anche al vettore nullo,dicendo che il vettore nullo ha direzione e verso indeterminati.

Definizione 5.1.3. Siano ~OP , ~OQ Vn(O). Diciamo che ~OP e ~OQ sono parallelio linearmente dipendenti se i punti O, P e Q sono allineati. In caso contrariodiremo che i vettori dati non sono paralleli o che sono linearmente indipendenti.

Se ~OP e ~OQ sono paralleli si scrive ~OP ~OQ. Se ~OP ~OQ sono non nulli,diciamo che i due vettori sono concordi se hanno lo stesso verso, discordi se hannoversi distinti.

Siano ~OP , ~OQ, ~OR Vn(O). Diciamo che i tre vettori ~OP , ~OQ e ~OR sonocomplanari o linearmente dipendenti se i punti O, P , Q e R sono complanari. Incaso contrario diremo che i vettori dati non sono complanari o che sono linearmenteindipendenti.

Si noti che la proprieta che tre punti A, B, C non sono allineati o che quattropunti A, B, C, D non sono complanari spesso si riassume dicendo che i punti datisono in posizione generale.

Si noti che se ~OP , ~OQ Vn(O) sono non nulli essi sono paralleli se e solo sehanno la stessa direzione. La nostra definizione si estende anche al caso in cui unodei due sia nullo. Per fissare le idee sia ~OP = ~0: cio significa che P = O, dunquei tre punti O, P e Q risultano ovviamente essere allineati. In particolare, in basealla definizione sopra, ~0 e parallelo ad ogni vettore in Vn(O). Un discorso analogopuo essere fatto per la nozione di complanarita.

E chiaro che di vettori aventi la stessa direzione e verso ne esistono infiniti.Se, pero, introduciamo la nozione di modulo o lunghezza del vettore questa,unitamente a direzione e verso, individua completamente il vettore.

LEZIONE 5 3

Definizione 5.1.4. Sia u ununita di misura fissata in An. Se ~OP Vn(O),indicheremo con | ~OP | (o |OP |) la lunghezza di ~OP (o di OP ) rispetto allunita dimisura u. Tale numero verra anche detto modulo di ~OP (o di OP ). I vettori diVn(O) di lunghezza 1 vengono detti versori.

Si ha che |~v| 0 e risulta |~v| = 0 se e solo se ~v = ~0.Con la convenzione su direzione e verso del vettore nullo, e chiaro che ogni

vettore applicato rimane completamente individuato da direzione, verso e modulo:in particolare due vettori coincidono se e solo se hanno stessa direzione, stessoverso e stessa lunghezza.

Si noti che ogni vettore non nullo ~v Vn(O) ha esattamente due versori ad essoparalleli, uno concorde ed uno discorde. Infatti si considerino sulla retta per O eP i due unici punti U1 e U2 tali che |OU1| = |OU2| = 1: allora ~OU1 e ~OU2 sono iversori cercati.

5.2. Sistemi di coordinate.Passiamo ora ad introdurre la nozione di sistema di riferimento cartesiano

ortogonale nel piano affine A2 e nello spazio affine A3. A tale scopo fissiamouna volta per tutte ununita di misura u in An

Definizione 5.2.1. Un sistema di riferimento (cartesiano ortogonale) O~~ in A2e definito dai seguenti enti.

(SRP1) Un punto O A2 detta origine del sistema di riferimento.(SRP2) Un versore ~ applicato in O.(SRP3) Un versore ~ applicato in O tale che il versore ~ si sovrappone al versore ~

con una rotazione di /2 radianti intorno ad O in senso antiorario.

In figura 5.2 e riportato un esempio di sistema di riferimento nel senso delladefinizione sopra.

O

j

i

Figura 5.2

Le direzioni di ~ e di ~ vengono dette rispettivamente asse delle ascisse (o dellex) e delle ordinate (o delle y). I versi di ~ e di ~ vengono detti rispettivamentesemiasse positivo delle ascisse (o delle x) e delle ordinate (o delle y). I versi oppostia quelli di ~ e di ~ vengono detti rispettivamente semiasse negativo delle ascisse (odelle x) e delle ordinate (o delle y).

4 5.2. SISTEMI DI COORDINATE

Si noti che un sistema di riferimento puo anche essere descritto partendo dagliassi e fissando poi i versori: per questo motivo spesso parleremo di sistema diriferimento Oxy anche se, in questo caso, la notazione e ambigua in quanto non fariferimento allunita di misura u.

Sui due semiassi positivi delle ascisse e delle ordinate abbiamo due punti,rispettivamente Ux ed Uy, a distanza 1 dallorigine O, gli estremi liberi di ~ edi ~ rispettivamente. In questo modo abbiamo una biiezione fra i punti dei dueassi ed i numeri reali, come spiegato nel corso di Analisi I: per esempio i punti adistanza d > 0 sullasse delle ascisse (ne esistono due) corrisponderanno ai numerireali +d (quello che si trova nel semiasse positivo delle ascisse) e d (quello che sitrova nel semiasse negativo delle ascisse), mentre lorigine corrisponde allo 0.

Se ora P A2 e un qualsiasi punto del piano (eventualmente appartenenete agliassi), ad esso si puo associare una coppia ordinata di numeri reali come segue. Siconsiderino le rette rx ed ry passanti per P e parallele rispettivamente allasse delleascisse ed allasse delle ordinate: allora la retta rx intersechera lasse delle ordinatein un punto corrispondente al numero reale yP (detto ordinata di P ), mentre laretta ry intersechera lasse delle ascisse in un punto corrispondente al numero xP(detto ascissa di P ). Assoceremo al punto P la coppia ordinata (xP , yP ).

Tale corrispondenza fra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali ebiunivoca. Per questo motivo, da adesso in poi, identificheremo A2 con linsiemeR2 e utilizzeremo questultimo simbolo per indicare il piano con un fissato sistemadi riferimento cartesiano ortogonale O~~ . Si noti che tale lidentificazione fra A2 eR2 da noi fatta dipende dalla scelta del sistema di riferimento O~~ e dalla sceltadellunita di misura u: lo stesso punto P puo corrispondere a coppie numerichemolto diverse in sistemi di riferimento diversi. Percio la scrittura P = (xP , yP )significa: il punto P A2 che rispetto al sistema di riferimento fissato O~~ haascissa xP ed ordinata yP .

Riportiamo sotto gli assi delle ascisse, delle ordinate ed i punti Ux ed Uy associatial sistema di riferimento introdotto nella Figura 5.2 e le coordinate di un punto P

x

O

y

U

U

x

y

P

xPyP

j

i

Figura 5.3

LEZIONE 5 5

Avere un sistema di coordinate nel piano permette di fare alcuni conti veloce-mente. Per esempio e possibile calcolare la lunghezza |AB| del segmento ABdi estremi A e B in termini di tali coordinate. Infatti siano A = (xA, yA) eB = (xB , yB).

A

B

xx

y

y

A

A

B

B

x

y

C

Figura 5.4

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo ABC, che e rettangolo in C, sideduce che

(5.2.1) |AB| =

(xA xB)2 + (yA yB)2.

Passiamo ora a descrivere il caso dello spazio affine A3.

Definizione 5.2.2. Un sistema di riferimento (cartesiano ortogonale) O~~~k inA3 e definito dai seguenti enti.

(SRS1) Un punto O A3 detta origine del sistema di riferimento.(SRS2) Due versori ~ e ~ applicati in O e fra loro perpendicolari.(SRS3) Un versore ~k applicato in O, perpendicolare al piano contenente ~ e ~ e

tale che la terna~ ,~ ,~k sia orientata come lindice, il medio e il pollice dellamano destra (regola della mano destra).

La regola di orientazione della terna~ ,~ ,~k viene detta regola della mano destra.Ci sono molte altre regole equivalenti (pe

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