MODUL VII

DISTRIBUSI BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIK

Ruang sampel adalah gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan

statistika dan dinyataan dengan lamabang S. Sedangkan himpunan bagian dari sampel

adalah kejadian. Definisi peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya

ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel.

Contoh 1.

Misalkan sebuah mata uang dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah ={gambar,

angka} atau dengan M = angka, dan B = gambar. Maka suatu kejadian yang

mungkin terjadi adalah {M} atau {B}.

Contoh 2.

Misalkan sebuah dadu dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah {1,2,3,4,5,6},

Suatu kejadian yang mungkin terjadi adalah {1} atau {2} atau … atau {6}.

Penulisan ruang sampel seperti diatas tidak praktis, maka didefinisikan peubah acak,

umumnya dinotasikan sebagai x, y, z, sebagai fungsi dengan daerah asal ruang sampel

dan daerah definisinya bilangan real. Pada contoh 1 kita bisa representasikan suatu

peubah acak diskrit x = {0,1} atau {-1, 1} dengan 0 /-1 menyatakan angka (M) dan 1/1

menyatakan gambar (B).

Pada contoh 1 dan 2, peubah acak diatas (x dan y) adalah peubah-peubah acak yang

diskrit. Contoh-contoh peubah acak yang kontinu adalah yang berasal dari ruang sampel

yang mengukur seperti berat badan, tinggi badan, temperatur dan lain-lain. Dimana

pengukurannya tersebut tidak eksak (tepat sekali). Contoh Tinggi badan= 170 cm berarti

bukan mutlak tingginya 170 cm mungkin 169,999cm atau 170,005 cm.

A. Distribusi Binomial

Pada kasus dalam distribusi bertipe diskrit seperti binomial, kejadian yang diamati

hanya dikelompokkan dalam 2 kategori, yaitu sukses dan gagal. Bentuk fungsi

kepadatan peluang (fkp) binomial adalah:

46

Dimana :

Dengan x adalah variabel acak, n adalah banyaknya data yang diuji/eksperimen dan p

adalah peluang terjadinya kejadian x. Sedangkan fungsi distribusinya :

Atau disebut juga Fungsi distributif kumulatif.

Contoh :

Misalkan x peubah acak berdistribusi binomial dengan banyak data n dan peluang

terjadinya kejadian x adalah p, atau ditulis:

bersdistribusi atau

Untuk peubah acak x yang diketahui fkp-nya, biasanya dapat dihitung ekspetasi dan

variansinya, dan masing-masing didefinisikan sebagai berikut:

Ekspetasi dari adalah nilai harapan / rataan dari x.

Variansi dari

dengan :akar positif dari variansi adalah simpangan baku /standar

deviasi, yang menyatakan variansi data disekitar rata-rata. Untuk distribusi binomial:

(bisa dibuktikan sebagai latihan ) dan dengan

.

Catatan : bedakan rataan dan variansi dalam distribusi data /statistika deskriptif

dengan rataan dan variansi disini.

Perintah-perintah padaMinitab

Langkah-langkah memasukkan data yang berdistribusi binomial secara random dalam

Minitab.

1. Pilih Calc > Random Data > Binomial

2. Pada kotak dialog seperti pada gambar masukan banyaknya data yang diinginkan

pada kolom Generate, contohnya 100.

3. pada kolom store in column(s) masukkan C1.

4. Isikan peluangnya pada Number of Trials

47

5. Isikan probability sucses contoh 0.95.

6. Kemudian klik OK.

Gambar 7.1 Kotak dialog distribusi Binomial

Probability Density Function

Untuk mencari fungsi kepadatan peluang atau fungsi peluang distribusi binomial

dengan n dan p ditentukan dari kolom Ci yang hasilnya disimpan di kolom Cj.

.

Sebagai ilustrasinya sebuah mata uang logam yang simetri dilantunkan sebanyak 10

kali. Jika dimisalkan X = jumlah muncul muka. Tentukan:

a. Fungsi kepadatannya untuk setiap kejadian (x) yang mungkin

b. Hitung kemungkinan muncul muka lebih dari 5 kali tapi kurang dari 9 kali!

Langkah-langkahnya pada Minitab antara lain:

1. Input data pada kolom C1dari 0 : 10

2. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial

3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Probability

4. Pada Number of Trial, masukkan 10 yang menunjukkan banyaknya pengamatan.

5. Pada Probability of Succses, masukkan 0.5 yang menunjukkan peluang muncul

muka dalam 1 kali lantunan.

6. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C2.

7. Kemudian klik OK.

48

Gambar 7.2 Kotak Dialog Probability Density Function

a. Fungsi kepadatannya untuk setiap kajadian (x) yang mungkin terdapat pada

kolom 2 ditunjukkan dalam gambar 7.3

Gambar 7.3 Probability Density Function

b.

Cumulatif Distibution Function

Untuk mencari fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial dengan n dan p

ditentukan dari kolom Ci yang hasilnya diletakkan di kolom Cj. Perhatikan contoh

berikut lebih lanjut.

49

Misalkan peluang suatu obat x dapat menyembuhkan seseorang dari sakit flu

adalah 70%. Setiap hari diasumsikan ada 10 orang yang sakit flu dan membeli

obat tersebut.

a. tentukan fkp dan fungsi distribusinya (FD)

b. Berapakah peluang bahwa yang tidak sembuh sembuh dari sakit flu adalah 3

orang?

c. Bagaimana kejadian yang mungkin terjadi untuk 20 hari yang lainnya.

Untuk menjawab pertanyaan diatas lakukan perintah-perintah berikut pada Minitab:

1. Masukkan data pada kolom C1 dari 0 : 10

2. Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dengan cara seperti di atas dan

masukkan 10 pada kotak number of trial, dan 0.7 pada kotak Probability of

success. Simpan pada kolom C2.

Untuk mencari fungsi kumulatif distribusi:

3. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial

4. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability

5. Pada Number of Trial, masukkan 10 yang menunjukkan banyaknya ruang

sampel.

6. Pada Probability of Succses, masukkan 0.7

7. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3.

8. kemudian klik OK.

Gambar 7.4 Kotak Dialog Culmulatif Distribution Function

a. Output fungsi kepadatan peluang dan kumulatif distribusi ditunjukkan

pada gambar berikut:

50

Gambar 7.5 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi Kumulatif

b. Ditanyakan peluang untuk 3 orang yang tidak sembuh..

Karena peluang obat x yang membuat orang sembuh adalah 70%, dan sisanya

30% adalah untuk yang tidak sembuh. Maka dengan p = 30% = 0.3, akan dicari

peluang untuk 3 orang yang masih sakit, atau P(Z = 3) =?

Caranya : Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dan distribusi kumulatifnya

dengan cara seperti di atas dan masukkan 10 pada kotak number of

trial, dan 0.3 pada kotak Probability of success. Simpan pada kolom

C4.

Gambar 7.6 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi Kumulatif

Dari gambar di atas diketahui bahwa peluang yang tidak sembuh dari dari flu

adalah 3 orang sebesar 0.266828 = 26.68%

51

c. Kejadian yang mungkin terjadi selama 20 hari (untuk obat x yang

mempunyai peluang menyembuhkan orang = 70%)

Caranya : Random data binomial sebanyak 20 pada kolom C4 dengan nilai n = 10

dan p = 0.7. Hasilnya dapat ditunjukkan pada tabel berikut:

Tabel 7.1 Data random berdistribusi Binomial

B. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi binomial digunakan bila penarikkan sampel dilakukan dengan

pengembalian. Untuk kasus penarikan tanpa pengembalian, digunakan distribusi

hipergeometrik. Misalkan 52 kartu bridge yang terdiri dari 26 kartu merah dan 26

kartu hitam. 5 kartu diambil secara acak dan ingin diketahui peluang menarik 3 kartu

merah dari 26 kartu merah dan 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam. Ada cara

menarik 3 kartu merah dan cara mengambil 2 kartu hitam. Jadi banyaknya cara

mengambil 3 kartu merah dan 2 kartu hitam dalam lima kali penarikkan ialah

. Banyaknya cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 kartu bridge ialah

. Jadi peluang mengambil 5 kartu tanpa pengembalian, 3 diantaranya merah dan 2

hitam, diberikan oleh:

C45 87 66 86 47 48 49 66 78 79 9

52

Percobaan hipergeometrik dapat disimpulkan sebagai berikut:

Misalkan ada n benda yang terdiri dari k benda yang diberi nama sukses dan sisanya,

n-k diberi nama gagal. Ingin dicari peluang memilih x sukses dari sebanyak k yang

tersedia, bila sampel acak berukuran n diambil dari N benda. Percobaan seperti ini

dikenal dengan nama percobaan hipergeometrik. Distribusi peluang peubah acak

hipergeometrik dinotasikan sebagai berikut:

Dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah:

Contoh:

Suatu panitia 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 kimiaawan dan 5 fisikawan.

Hitunglah distribusi peluang banyaknya kimiawan dalam panitia tersebut.

Jawab:

Misalkan peubah acak x yang menyatakan banykanya kimiawan dalam panitia,

dengan N =8, n = 5, k = 3. Distribusi peluang untuk x adalah:

Sehingga:

C. Latihan

1. Buat model distribusi binomial dengan n = 12, dan p = 0.45

Jawablah

a. P(x = 6), P(x = 8)?

b.

53

2. Seorang insinyur pengawas lalu lintas melaporkan bahwa 755

kendaraan yang melintasi suatu daerah pemeriksaan berasal dari DKI. Buat

programnya dan cari outputnya, tentukan:

a. Peluang paling sedikit 3 dari 5 kendaraan yang

lewat berasal dari luar DKI

b. Peluang ada 2 dari 10 kendaraan yang lewat berasal

dari DKI

3. Suatu bursa buku murah memiliki 100 buku cerita dan 300 buku

umum. Seorang anak membeli 10 buku secara acak. Tentukan peluangnya bila 4

buku diantaranya adalah buku cerita?

4. Misalkan Y suatu peubah acak, memiliki peluang sukses p = 2/3

dalam n kali pengulangan dari suatu percobaan.

5. Dari kotak berisi 12 peluru, diambil 4 secara acak dan kemudian

ditembakkan. Bila kotak itu mengandung tiga peluru cacat yang tidak akan

meledak. Buat programnya dan jawab berapa peluangnya:

a. Keempatnya meledak

b. Paling banyak 2 yang tidak meledak

c. Tepat 2 meledak atau minimal 3 tidak meledak.

54