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7/24/2019 5to-grado algebra .doc

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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 5toGrado de Primaria

LGEBRA

Introduccin

El lgebra, es una rama de las matemticas en la que se usan letras pararepresentar relaciones aritmticas. Al igual que en la aritmtica, las operacionesfundamentales del lgebra son:

RESEA HISTRICA

La historia del lgebra comenz en el antiguo Egipto !abilonia. Losantiguos babilonios resol"#an cualquier ecuacin cuadrtica empleandoesencialmente los mismos mtodos que ho se ense$an.

Los matemticosale%andrinos &ern 'iofantecontinuaron con la tradicin deEgipto !abilonia, aunque ellibro Las aritmticas de'iofante es de bastante msni"el presenta muchassoluciones sorprendentes paraecuaciones indeterminadasdif#ciles. Esta antigua sabidur#asobre resolucin de ecuaciones

encontr, a su "ez, acogida enel mundo islmico, en donde sela llam (ciencia de reduccin equilibrio). *La palabra rabeal-abrque significa +reduccin,es el origen de la palabra lgebra-. En el siglo /, el matemtico al012arizmiescribi uno de los primeros libros rabes de lgebra, una presentacinsistemtica de la teor#a fundamental de ecuaciones, con e%emplos demostraciones incluidas. A finales del siglo /, el matemtico egipcio Abu3amil enunci demostr las lees fundamentales e identidades del lgebra, resol"i problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen

x4 y4 z5 67,x8

4 y8

5 z8

, xz5 y8

.

lgebra 1

Adicin,

Sustraccin,

Multiplicacin,

Divisin yClculo de potencias y races
http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.zelayaconsultores.com/images/logo_pamer.jpg&imgrefurl=http://www.zelayaconsultores.com/&usg=__GnLVFzfFYVnboAPRKqF0aT5yeuU=&h=95&w=132&sz=7&hl=es&start=2&um=1&itbs=1&tbnid=9_JoX4ch0QTIiM:&tbnh=66&tbnw=92&prev=/images%3Fq%3Dpamer%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26tbs%3Disch:1


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EJERCICIOS PARA LA

6. Escribe dos e%emplos de operaciones con su respecti"a solucin, para cadaoperacin del lgebra.

8. 9En qu pueblos en qu poca el hombre inici su conocimientoalgebraico

;. n"estiga sobre el sistema de numeracin egipcio.

uines fueron los ?iete ?abios de @recia

lgebra 2


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NMEROS ENTEROS

ntroduccin

'esde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bamb ode madera para representar los nmeros realizar, en especial, clculoscomerciales de una manera prctica, pero tambin para tratar cuestionesrelacionadas con los aumentos disminuciones de magnitudes, o condistancias recorridas en sentidos opuestosB esos bastoncillos eran negros oro%os segn que representarncantidades positi"as o negati"as.

En Europa medie"al, los rabesdieron a conocer los nmeros negati"os

que aprendieron de los hindes, que enel siglo / utilizaban para representarlas prdidas en cuestiones financieras.

En la Catemtica actual elcon%unto de los nmeros enteros abarcatodos los enteros tanto negati"os comopositi"os, llega hasta el infinito haciaambos lados de una recta numrica.

D?FG? >HE I ALJAIKAI

Dara el ser humano es importante contar lo que tiene, lo que quiere, loque necesita, lo que comparte, lo que da. Esa fue la razn que tu"o para crearnmeros form el con%unto de los nmeros naturales:

I 5 6, 8, ;,


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scar ha ganado O=7 soles.?e escribe: 4 O=7 soles

Jarlos ha gastado P


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EL CONJNTO !E LOS NMEROS ENTEROS "#$

El con%unto de los Imeros Enteros, que en adelante lorepresentaremos por K, est conformado por los nmeros negati"os, el cero los nmeros positi"os.

Sepresentacin

?obre una l#nea recta, ubiquemos un punto de referencia *origen- al quele hacemos corresponder el nmero cero. A partir del cero, ubicamos puntoshacia la derecha hacia la izquierda haciendo corresponder a cada uno losnmeros positi"os negati"os respecti"amente.

IE@AFG? JES D?FG?

Lo% n&'(ro% (n # )u'(nt)n d( i*+ui(rd) ) d(r(c,)

.ALOR ABSOLTO !E N NMERO ENTERO

?e llama "alor absoluto de un nmero entero al nmero cardinal que

resulta deprescindir su signo, tambin se le considera como la distancia delnmero dado al cero. El "alor absoluto de un nmero se eRpresa encerrandoeste nmero entre dos barras.

El "alor absoluto de 4= es =, se escribe T4=T 5 =.El "alor absoluto de 0M es M, se escribe T0MT 5 M.El "alor absoluto de 7 es 7, se escribe T7T 5 7.El "alor absoluto de 46N es UU, se escribe UUUUUUUUU..El "alor absoluto de 0;P es UU, se escribe UUUUUUUUU..

NOTA:

Al "alor absoluto tambin se le llama mdulo.

DHE?F 'E HI IVCES EIFES

El opuesto de un nmero entero es el nmero que tiene el mismo "alorabsoluto, pero diferente signoB por e%emplo:

El opuesto de 0O es 4O.El opuesto de 46= es 06=.El opuesto de 08


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RELACIN !E OR!EN EN #

#es un con%unto ordenado. Esto quiere decir que ha nmeros enterosmaores o menores que otros. Hn nmero entero es menor que otro, si est

colocado a la izquierda de l en la recta numricaB es maor, cuando est asu derecha.

E%emplos:

rdenaremos de menor a maor 4N, 0M, 4< 08.

rdenaremos de maor a menor 06, 48, 4=, 7 0;.

RECER!A/

Fodo nmero entero positi"o es maor que 7.

Fodo nmero entero positi"o es maor que cualquier nmero

Fodo nmero entero negati"o es menor que 7.

Fodo nmero entero negati"o es menor que cualquier nmero UUU..

UUUU

lgebra 6


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EJERCICIOS PARA LA

6. 9Jmo representaban los chinos las cantidades negati"as

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU.

8. 9>uines lle"aron el conocimiento de los nmeros negati"os haciaEuropa


;. 9Dara qu emple los nmeros negati"os, el pueblo hind



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O. Escribe el "alor absoluto de los siguientes nmeros enteros:

a- T0;NT 5

b- T48PT 5

c- T0;7=T 5

d- T0M77PT 5

e- T4876=T 5

P. Escribe el opuesto de los siguientes nmeros:

El opuesto de 08;6 es UUUUU

El opuesto de 4


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6;.El E"erest tiene una altura de OO


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A!ICIN !E NMEROS ENTEROS

Dara sumar dos nmeros enteros deberemos teneren cuenta el siguiente procedimiento:

01 Dara sumar dos nmeros positi"os, se suman sus"alores absolutos al resultado se le antepone el signo ms *4-.

E%emplos:

*4


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SSTRACCIN !E NMEROS ENTEROS

Dara calcular la diferencia de dos nmeros enteros, se debe sumar el

minuendo con el opuesto del sustraendo.

E%emplo:

*4;- Y *Y=- 5 *4;- 4 *4=- 5 UUUUU

*067- Y *4N- 5 *067- 4 *0N- 5 UUUUU

E?JSFHSA ?CDLZJA'A

*4;- 4 *0=- 5 ; Y = 5 UUUUUUUU.

*08- 4 *0O- 5 08 Y O 5 UUUUUUUU.

*4N- 0 *0=- 5 N 4 = 5 UUUUUUUU.

*0;- 0 *0


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EJERCICIOS PARA LA

6. Jalcula representa en larecta numrica:

a- *4;- 4 *4N- 5

b- *0


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MLTIPLICACIN !E NMEROS ENTEROS

Dara multiplicar dos nmeros enteros se presentan tres casos:

01 C)%o.0 Juando los dos factores son positi"os, el producto es positi"o.

E%emplos:*4


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EJERCICIOS PARA LA

6. Jalcula:

a- *4;- . *4N- 5

b- *0


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POTENCIACIN

?e llama potenciacin de un nmero al producto de dos o ms factores igualesa dichos nmeros.

Frminos:

Exponente

a n 5 a R a R a R .............R a

(a) "eces

Base

E%emplo:

E56on(nt(

8 ; 5 8 R 8 R 8 5 O Pot(nci)

B)%(

En:

Rn

5 b

5 *..........................- :[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[

n *..........................- :[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[

7 *..........................- :[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[

lgebra 15


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E%emplos:

a) ;


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C)%o% (%6(ci)8(% d( 8) 6ot(nci)cin

a) E56on(nt( 9 "c(ro$/

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU..

UUUUU

E%emplos:

a) O75 UUU

b) 8N75 UU.

c) P8N75 UU.

b) E56on(nt( 0 "uno$/

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU..

UUUUUU...

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU..U

E%emplos:

d) 8=65 UUU

e) N;65 UU.

f) 66N65 UU.

lgebra 17

b7 5 6 B b 7

b6 5 b


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PROBLEMAS PARA LA CLASE

6- ;


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6M- Jompleta el cuadro:

6N- Jompleta:

n n\ I6 n8 n; n< n= nM

=M


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EJERCICIOS PARA LA

Efecta:

6- N;5

8- 8M5

;- ;=5


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lgebra 21


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RA:# CA!RA!A

La ra#z cuadrada de un nmero es otro nmero que, ele"ado alcuadrado, es igual al primero.

E%emplo:64 5 O porque O85 Mu debemos saber

ENNCIA!O ABIERTO

Es aquel en el que aparece por lo menos una letra o palabra llamada"ariable que al sustituirla por diferentes "alores se transforma en unaproposicin.

E%emplos de enunciados abiertos:

*a- R 5 O *b- R 68 *f- 67 Y R >=

*g- *h- *i-

PROPOSICIONEs una eRpresin de nuestro lengua%e, a la que se puede calificar como

"erdadero o falso. E%emplos:

DSD?JIE? GES'A'ESA? DSD?JIE? ZAL?A?

*a- = >; *b- M >O

*c- Ciguel @rau naci en Diura *d- < es numero impar

*e- La capital de Der es Arequipa *f- ;85 M

*g- 8O : < 5 N *h- = R M 5 ;=

*i- *%-

*X- *l-

lgebra 49


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Dlantear una Ecuacin

Dlantear una ecuacin significa traducir adecuadamente el enunciado deun problema a una eRpresin matemtica mediante una ecuacin.

Fodo enunciado de un problema, siempre nos pide hallar el "alor de(algo). A ese "alor, por el momento desconocido, se le denomina INCGNITAse le representa por una letra *RB B zB etc-. Foda frase en lengua%e comnpuede ser traducida a lengua%e matemtico.

Dor e%emplo:

Enunci)do )7i(rto/

ZSCA GES!AL ZSCA ?C!`LJA

Hn nmero aumentado en u edad tiene mi padre

b) 9Jul es el nmero que disminuido en =8 es igual a ;7

c) 9Jul es el nmero que multiplicado por 66 disminuido en 6= esigual a N;

d) 9Jul es el nmero que aumentado en ;= es igual a =7

e) El doble de la edad de Dedro aumentada en 6; a$os seria 8P a$os.9>u edad tiene Dedro

f) La diferencia entre las edades de un padre su hi%o es ;= a$os laedad del hi%o es 88 a$os. 9>u edad tiene el padre

lgebra 57


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EJERCICIOS PARA LA CASA

a) 'esarrolla las siguientes ecuaciones:

6- R 4 P 5 87

8- n Y67 5 6O

;- 8R 4 8O 5 =8


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PRO!CTOS NOTABLES

?on productos indicados que tiene una forma determinada,de los cuales se puede recordar fcilmente su desarrollo sinnecesidad de efectuar la operacin.

Dor su gran utilidad es con"eniente retenerlos en lamemoria. Los ms importantes son:

lgebra 59

*R 4 -

8

5 [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[*R Y -85 [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[

*R 4 -.*R Y - 5 [[[[[[[[[[[[[[[ *diferencia de cuadrados-

*R 4 a-.*R 4 b- 5 [[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[[


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EJERCICIOS PARA LA CLASE

6- 'esarrolla utilizando las equi"alencias estudiadas.

a) *a 4 b-85

b) *R 4 P-85

c) *N 0 m-85

d) *p 4 q-;5

e) *a 4 ;-.*a 4 8- 5

f) *R 4 P-.*R 4 66- 5g) *R 0 M-85

) *R 4 ;- *R 4 =- 5

i) * P 4 R- *P 0 R- 5

*) * N 4 =- *N 0 =- 5

8- Escribe el producto notable equi"alente.

a- R84 OR 4 6M 5

b- R8Y 88R 4 6685

c- a8Y 6O85

d- R8 4 6MR 4 *P-.*N- 5

e- *R 4 6;-.*R 0 6;- 5

f- m84 PR 4 *=-.*


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;- Jompleta con"enientemente para eRpresar como productonotable

a)

R8

4 68R 5 R8

4 8.*M-.R 2

2

5 *R 4 M-8

b) 8Y 6O 5 8Y 8*P-. 2 2 5 UUUUUUUUUU

c) 6


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EJERCICIOS PARA LA


a) *m 4 =-85

b) * p 0


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lgebra 63


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PRO!CTOS NOTABLES II


a) *m 4 =-85

b) *m 0


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lgebra 65


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EJERCICIOS PARA LA CASA

6- 'esarrollar:

a) *R 0 O-84 6MR 5

b) *R 4 =-8Y 8= Y =R 5

c) *R 4 68- *R 0 68- 4 6


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INECACIONES

Hna inecuacin es una desigualdad denmeros naturales que contiene una o ms"ariables, es decir, cantidades noconocidas.

Sesol"er una inecuacin consiste enhallar el con%unto solucin que satisfaga ladesigualdad propuestaB para ello, esnecesario que se apliquen las diferentespropiedades de las operaciones.

bser"emos los siguientes e%emplos:

6. &allar el "alor de la "ariable en la inecuacin: R 4 ; =

?olucin:R 4 ; = necuacin dadaR 4 ; ; 4 8 definicin de adicinR 8 propiedad de cancelacin

Sespuesta:El con%unto solucin es cualquier nmero menor de 8: J. ?. 5 7,6Q

Jomprobacin:

?ustituendo en la inecuacin dada cualquiera de los "alores delcon%unto solucin tenemos que:

?i: R 5 6B entonces: R 4 ; =6 4 ; =

< =

8. &allar el "alor de la "ariable en la inecuacin: R Y < M

?olucin:

R Y < M necuacin dadaR Y < 67 Y < definicin de sustraccin

R 67 Dropiedad de cancelacin

Sespuesta:El con%unto solucin es cualquier nmero maor de 67:

J.?. 5 66, 68, .....Q

lgebra 67


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Jomprobacin:Seemplazando en la inecuacin dada cualquiera de los "alores del

con%unto solucin:?i: R 5 66B

entonces: R Y < M66 Y < M N M

R(%o8ucin d( in(cu)cion(% (n or')/ 5 ) Q 7

Sesuel"e la siguientes inecuaciones indicando los pasos %ustificando lasrazones

6- R 4 < N

pasos razones

8- R 4 N P pasos razones

;- R 4 = Opasos razones


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N- Y NO 677 pasos razones

O- z Y N 6

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