6) Relações de Ordenamento 6.1) Conjuntos Parcialmente Ordenados (Posets) 6.1) Conjuntos Parcialmente Ordenados (Posets) 6.2) Extremos de Posets 6.2) Extremos

6) Relações de Ordenamento6) Relações de Ordenamento 6.1) Conjuntos Parcialmente Ordenados (Posets)6.1) Conjuntos Parcialmente Ordenados (Posets) 6.2) Extremos de Posets6.2) Extremos de Posets 6.3) Reticulados6.3) Reticulados 6.4) Álgebras Booleanas Finitas6.4) Álgebras Booleanas Finitas 6.5) Funções Booleanas6.5) Funções Booleanas

INE5403 - Fundamentos de Matemática INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a ComputaçãoDiscreta para a Computação

Elementos extremos de posetsElementos extremos de posets

DefiniçãoDefinição: Considere o poset (A,: Considere o poset (A,) com a ordem parcial ) com a ordem parcial . Então:. Então:a) Um elemento aa) Um elemento aA é chamado de um A é chamado de um elementoelemento maximalmaximal de A se não existe c de A se não existe cA tal que a<c (aA tal que a<c (ac, ac, ac).c).b) Um elemento bb) Um elemento bA é chamado de um A é chamado de um elementoelemento minimalminimal de A se não existe c de A se não existe cA tal que c<b (cA tal que c<b (cb, cb, cb).b).

ExemplosExemplos: : 1. (1. (ZZ++,,): elemento minimal: 1, maximal: não tem): elemento minimal: 1, maximal: não tem2. (2. (RR,,): elemento minimal: não tem, maximal: não tem): elemento minimal: não tem, maximal: não tem3. ({1,2,3,4},3. ({1,2,3,4},): elemento minimal: 1, maximal: 4): elemento minimal: 1, maximal: 44. ({1,2,3,4},4. ({1,2,3,4},): elemento minimal: 4, maximal: 1): elemento minimal: 4, maximal: 1


ExemploExemplo: Considere o poset A com o diagrama de Hasse : Considere o poset A com o diagrama de Hasse abaixo:abaixo:

a2

b1 b2

a1

a3

b3

• a1, a2 e a3 são elementos a1, a2 e a3 são elementos maximaismaximais de A de A• b1, b2 e b3 são elementos b1, b2 e b3 são elementos minimaisminimais de A de A

Elementos extremos de posetsElementos extremos de posetsExemploExemplo: Quais elementos do poset ({2,4,5,10,12,20,25},|) : Quais elementos do poset ({2,4,5,10,12,20,25},|)

são maximais e quais são minimais?são maximais e quais são minimais?

• Elementos maximais: 12, 20 e 25.Elementos maximais: 12, 20 e 25.• Elementos minimais: 2 e 5.Elementos minimais: 2 e 5.• Note que um poset pode ter mais do que um elemento Note que um poset pode ter mais do que um elemento

maximal e mais do que um elemento minimal.maximal e mais do que um elemento minimal.

20

2

12

4 10

5

25


TeoremaTeorema: Seja (A,: Seja (A,) um poset finito e não vazio com ) um poset finito e não vazio com ordem parcial ordem parcial . Então A tem pelo menos um . Então A tem pelo menos um elemento maximal e ao menos um elemento minimal.elemento maximal e ao menos um elemento minimal.

ProvaProva: : – Seja aSeja aA. Se a não é maximal, então pode-se achar aA. Se a não é maximal, então pode-se achar a11A A

com a<acom a<a11. . – Se aSe a11 não é maximal então pode-se achar a não é maximal então pode-se achar a22A com aA com a11<a<a22. . – Este argumento não pode ser continuado indefinidamente, Este argumento não pode ser continuado indefinidamente,

pois o conjunto A é finito.pois o conjunto A é finito.– Assim, eventualmente será formada a seguinte cadeia:Assim, eventualmente será formada a seguinte cadeia:

a < aa < a11 < a < a2 2 < a< a3 3 < ...< ... < a< ak-1 k-1 < a< akk

– Não é possível encontrar mais algum bNão é possível encontrar mais algum bA tal que aA tal que akk<b.<b.– Logo, aLogo, akk é um elemento maximal de (A, é um elemento maximal de (A,).).

5

Algoritmo para ordenação topológica de Algoritmo para ordenação topológica de posetsposets• Com o conceito de elementos minimais, pode-se estabelecer Com o conceito de elementos minimais, pode-se estabelecer

um um algoritmoalgoritmo para encontrar uma ordenação topológica de para encontrar uma ordenação topológica de um dado poset finito (A,um dado poset finito (A,).).

Algoritmo SORTAlgoritmo SORT::1. I 1. I 1 12. S 2. S A A3. Enquanto S 3. Enquanto S

a. Escolha um elemento minimal a do conjunto Sa. Escolha um elemento minimal a do conjunto Sb. SORT[I] b. SORT[I] a ac. I c. I I+1 I+1d. S d. S S - {a} S - {a}

• O algoritmo abaixo produz um vetor chamado O algoritmo abaixo produz um vetor chamado SORTSORT que que satisfaz: SORT[1] satisfaz: SORT[1] << SORT[2] SORT[2] << ... ...

• A relação A relação << sobre A definida desta forma é uma sobre A definida desta forma é uma ordenação ordenação topológica topológica de (A,de (A,).).

Algoritmo para ordenação topológica de Algoritmo para ordenação topológica de posetsposets

ExemploExemplo: Seja A={a,b,c,d,e} e seja o diagrama de Hasse : Seja A={a,b,c,d,e} e seja o diagrama de Hasse de de sobre A dado por: sobre A dado por:

a b

c

ed

SORT


Exemplo (cont.)Exemplo (cont.): Seja A={a,b,c,d,e} e seja o diagrama : Seja A={a,b,c,d,e} e seja o diagrama de Hasse de de Hasse de sobre A dado por: sobre A dado por:

SORT

d

Passo 1:

a b

c

e



SORT

d e

Passo 2:

a b

c



a b

SORT

d e c

Passo 3:

10



a SORT

d e c b

Passo 4:



SORT

d e c b a

Passo 5:a

b

c

e

d


DefiniçãoDefinição: Seja o poset (A,: Seja o poset (A,). Então:). Então:1) Um elemento a1) Um elemento aA é chamado de um A é chamado de um maior maior

elementoelemento de A se b de A se ba a para todopara todo b bAA2) Um elemento a2) Um elemento aA é chamado de um A é chamado de um menor menor

elementoelemento de A se a de A se ab b para todopara todo b bA.A.

NotaNota: Dado um poset (A,: Dado um poset (A,), um elemento a), um elemento aA é um A é um maior (ou menor) elemento se e somente se ele é um maior (ou menor) elemento se e somente se ele é um menor (maior) elemento do poset dual (A,menor (maior) elemento do poset dual (A,).).

Elementos extremos de posetsElementos extremos de posetsExemploExemplo: Determine se os posets representados por : Determine se os posets representados por

cada um dos diagramas de Hasse abaixo possuem cada um dos diagramas de Hasse abaixo possuem um maior elemento e um menor elemento.um maior elemento e um menor elemento.

a b

c

ed

a b

c

d

a

b c

d

a

b c

e

d

(A): menor elemento é a, não tem maior elemento(A): menor elemento é a, não tem maior elemento(B): não tem menor nem maior elemento(B): não tem menor nem maior elemento(C): não tem menor elemento, maior elemento é d(C): não tem menor elemento, maior elemento é d(D): menor elemento é a, maior elemento é d(D): menor elemento é a, maior elemento é d

(A) (B) (C) (D)

Elementos extremos em posetsElementos extremos em posetsExemploExemplo: Seja A um conjunto. Determine se há um maior : Seja A um conjunto. Determine se há um maior

elemento e um menor elemento no poset (P(A),elemento e um menor elemento no poset (P(A),).).

ExemploExemplo: Há um maior elemento e um menor elemento no poset (: Há um maior elemento e um menor elemento no poset (ZZ++,|)?,|)?

SoluçãoSolução::– O menor elemento é o conjunto vazio, pois O menor elemento é o conjunto vazio, pois T para T para

qualquer subconjunto T de A.qualquer subconjunto T de A.– O próprio conjunto A é o maior elemento deste poset, pois T O próprio conjunto A é o maior elemento deste poset, pois T

A sempre que T é um subconjunto de A. A sempre que T é um subconjunto de A.

SoluçãoSolução::– o inteiro 1 é o menor elemento, pois 1|n sempre que n é um o inteiro 1 é o menor elemento, pois 1|n sempre que n é um

inteiro positivo.inteiro positivo.– Não há maior elemento, pois não existe inteiro que seja Não há maior elemento, pois não existe inteiro que seja

divisível por todos os inteiros positivos.divisível por todos os inteiros positivos.

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Elementos extremos em posetsElementos extremos em posets

DefiniçãoDefinição: Sejam um poset (A,: Sejam um poset (A,) ) e um subconjuntoe um subconjunto B BA. A. Então:Então:a) um elemento aa) um elemento aA é chamado de uma A é chamado de uma cota superiorcota superior (“upper bound”) de B, se: (“upper bound”) de B, se:b b a, para todo b a, para todo bBBb) um elemento ab) um elemento aA é chamado de uma A é chamado de uma cota inferiorcota inferior (“lower bound”) de B, se: (“lower bound”) de B, se:a a b, para todo b b, para todo bB.B.


ExemploExemplo: Seja o poset A={a,b,c,d,e,f,g,h} com o diagrama : Seja o poset A={a,b,c,d,e,f,g,h} com o diagrama de Hasse abaixo. Ache todas as cotas superiores e de Hasse abaixo. Ache todas as cotas superiores e inferiores dos seguintes subconjuntos de A:inferiores dos seguintes subconjuntos de A:a) Ba) B11 = {a,b} = {a,b} b) Bb) B22 = {c,d,e} = {c,d,e}

a

f g

h

b

c

d e

• B1 não tem cotas inferiores• suas cotas superiores são: c,d,e,f,g,h

• as cotas superiores de B2 são:

f,g,h• suas cotas inferiores são: c,a,b


ExercícioExercício: Encontre as cotas superiores e inferiores : Encontre as cotas superiores e inferiores dos subconjuntos {a,b,c},{j,h} e {a,c,d,f} no poset dos subconjuntos {a,b,c},{j,h} e {a,c,d,f} no poset cujo diagrama de Hasse é dado por:cujo diagrama de Hasse é dado por:

• cotas superiores de {a,b,c}:e,f,j,h

• única cota inferior: a

• não há cotas superiores de {j,h}• suas cotas inferiores são: a,b,c,d,e,fb

g f

h

c

d e

j

a• cotas superiores de {a,c,d,f}:

f,h,j• sua cota inferior é: a


ObservaçõesObservações::• Note que um subconjunto B de um poset pode ou não Note que um subconjunto B de um poset pode ou não

ter cotas inferiores ou superiores (em A).ter cotas inferiores ou superiores (em A).• Além isto, uma cota superior ou inferior de B pode ou Além isto, uma cota superior ou inferior de B pode ou

não pertencer ao próprio B.não pertencer ao próprio B.

Menor cota superior / Maior cota Menor cota superior / Maior cota inferiorinferiorDefinição (1)Definição (1): : • Um elemento x é chamado de Um elemento x é chamado de Menor Cota SuperiorMenor Cota Superior (LUB - (LUB -

“Least Upper Bound”) de um subconjunto A se x é uma cota “Least Upper Bound”) de um subconjunto A se x é uma cota superior menor do que qualquer outra cota superior de A.superior menor do que qualquer outra cota superior de A.– ou seja, x será a menor cota superior de A se:ou seja, x será a menor cota superior de A se:

a a x para todo a x para todo aA eA ex x z para todo z que seja uma cota superior de A z para todo z que seja uma cota superior de A

Definição (2)Definição (2): : • Um elemento y é chamado de Um elemento y é chamado de Maior Cota InferiorMaior Cota Inferior (GLB - (GLB -

“Greatast Lower Bound”) de A se y é uma cota inferior de A e “Greatast Lower Bound”) de A se y é uma cota inferior de A e z z y para todo z que seja uma cota inferior de A y para todo z que seja uma cota inferior de A

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Menor cota superior / Maior cota Menor cota superior / Maior cota inferiorinferiorExemploExemplo: Seja o poset A={a,b,c,d,e,f,g,h} com o diagrama : Seja o poset A={a,b,c,d,e,f,g,h} com o diagrama

de Hasse abaixo. Ache todos os LUBs e GLBs de:de Hasse abaixo. Ache todos os LUBs e GLBs de:a) Ba) B11 = {a,b} = {a,b} b) Bb) B22 = {c,d,e} = {c,d,e}

• Como B1 não tem cotas inferiores, também não terá GLBs• LUB(B1) = c• Como as cotas inferiores de B2 são c,a,b, temos que GLB(B2) = c• As cotas superiores de B2 são f,g,h - então, como f não é comparável com g, concluímos que B2 não tem LUB

a

f g

h

b

c

d e

Menor cota superior / Maior cota Menor cota superior / Maior cota inferiorinferiorExercícioExercício: Encontre a LUB e a GLB de {b,d,g}, se elas : Encontre a LUB e a GLB de {b,d,g}, se elas

existirem, no poset cujo diagrama de Hasse é:existirem, no poset cujo diagrama de Hasse é:

• as cotas superiores de {b,d,g} são:

g,h• então, como g<h, g é a menor cota superior (LUB)

• as cotas inferiores de {b,d,g} são:

a,b• então, como a<b, b é a maior cota inferior (GLB)

b

g f

h

c

d e

j

a

Menor cota superior / Maior cota Menor cota superior / Maior cota inferiorinferiorExemploExemplo: Encontre a menor cota superior e a maior cota inferior dos : Encontre a menor cota superior e a maior cota inferior dos

conjuntos {3,9,12} e {1,2,4,5,10}, se elas existirem, no poset (conjuntos {3,9,12} e {1,2,4,5,10}, se elas existirem, no poset (ZZ++,|).,|).

• SoluçãoSolução::• GLBs (maiores cotas inferiores): GLBs (maiores cotas inferiores):

– um inteiro é uma cota inferior de {3,9,12} se 3,9, e 12 um inteiro é uma cota inferior de {3,9,12} se 3,9, e 12 forem divisíveis por este inteiro forem divisíveis por este inteiro os únicos inteiros deste tipo são 1 e 3 os únicos inteiros deste tipo são 1 e 3 então, como 1|3, 3 é a então, como 1|3, 3 é a maior cota inferiormaior cota inferior de {3,9,12} de {3,9,12}

– a única cota inferior do conjunto {1,2,4,5,10} é o 1a única cota inferior do conjunto {1,2,4,5,10} é o 1 portanto, 1 é a portanto, 1 é a maior cota inferiormaior cota inferior para {1,2,4,5,10} para {1,2,4,5,10}

Menor cota superior / Maior cota Menor cota superior / Maior cota inferiorinferiorExemplo (cont.)Exemplo (cont.): Encontre a menor cota superior e a maior cota inferior : Encontre a menor cota superior e a maior cota inferior

dos conjuntos {3,9,12} e {1,2,4,5,10}, se elas existirem, no poset dos conjuntos {3,9,12} e {1,2,4,5,10}, se elas existirem, no poset ((ZZ++,|).,|).

• LUBs (menores cotas superiores): LUBs (menores cotas superiores): – um inteiro é uma cota superior de {3,9,12} sse ele for divisível por um inteiro é uma cota superior de {3,9,12} sse ele for divisível por

3, 9 e 12.3, 9 e 12. os inteiros com esta propriedade são aqueles divisíveis pelo mmc os inteiros com esta propriedade são aqueles divisíveis pelo mmc de 3, 9 e 12, que é 36. de 3, 9 e 12, que é 36. então, 36 é a então, 36 é a menor cota superiormenor cota superior de {3,9,12} de {3,9,12}

– um inteiro é uma cota superior para o conjunto {1,2,4,5,10} sse ele um inteiro é uma cota superior para o conjunto {1,2,4,5,10} sse ele for divisível por 1,2,4,5,10for divisível por 1,2,4,5,10 os inteiros com esta propriedade são aqueles divisíveis pelo mmc os inteiros com esta propriedade são aqueles divisíveis pelo mmc de 1,2,4,5,10, que é 20. de 1,2,4,5,10, que é 20. então, 20 é a então, 20 é a menor cota superiormenor cota superior de {1,2,4,5,10} de {1,2,4,5,10}


TeoremaTeorema: Seja (A,: Seja (A,) um poset. Então um subconjunto B ) um poset. Então um subconjunto B qualquer de A tem no máximo um LUB e um GLB.qualquer de A tem no máximo um LUB e um GLB.

TeoremaTeorema: Suponha que (A,: Suponha que (A,) e (A’,) e (A’,’) são posets isomorfos sob ’) são posets isomorfos sob o isomorfismo f:Ao isomorfismo f:AA’. Então tem-se que:A’. Então tem-se que:a) se a é um elemento maximal (minimal) de (A,a) se a é um elemento maximal (minimal) de (A,), então f(a)), então f(a) é um elemento maximal (minimal) de (A’, é um elemento maximal (minimal) de (A’,’);’);b) se a é o maior (menor) elemento de (A,b) se a é o maior (menor) elemento de (A,), então f(a)), então f(a) é o maior (menor) elemento de (A’, é o maior (menor) elemento de (A’,’);’);c) se a é uma cota superior (inferior) de um subconjunto B dec) se a é uma cota superior (inferior) de um subconjunto B de A, então f(a) é uma cota superior (inferior) do subconjunto A, então f(a) é uma cota superior (inferior) do subconjunto f(B) de A’ f(B) de A’d) se todo subconjunto de (A,d) se todo subconjunto de (A,) tem LUB (GLB), então todo) tem LUB (GLB), então todo subconjunto de (A’, subconjunto de (A’,’) tem um LUB (GLB).’) tem um LUB (GLB).

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Elementos extremos de posetsElementos extremos de posetsExemploExemplo: Mostre que os posets (A,: Mostre que os posets (A,) e (A’,) e (A’,’), cujos diagramas de ’), cujos diagramas de

Hasse estão mostrados abaixo, Hasse estão mostrados abaixo, não são isomórficosnão são isomórficos..

a' b'

c'b c

a

SoluçãoSolução: Os 2 posets não são isomórficos porque (A,: Os 2 posets não são isomórficos porque (A,) ) possui um maior elemento a, enquanto que (A’,possui um maior elemento a, enquanto que (A’,’) não ’) não possui um maior elemento.possui um maior elemento.– Também se pode argumentar que eles não são Também se pode argumentar que eles não são

isomórficos porque (A,isomórficos porque (A,) não tem um menor ) não tem um menor elemento enquanto que (A’,elemento enquanto que (A’,’) tem.’) tem.

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6) Relações de Ordenamento 6.1) Conjuntos Parcialmente Ordenados (Posets) 6.1) Conjuntos Parcialmente Ordenados (Posets) 6.2) Extremos de Posets 6.2) Extremos