6to basico santillana parte 1 - alumno

MAT

EM

ÁTI

CA

6º

Educa

ción B

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XTO

PAR

A E

L ESTU

DIA

NTE

Años

20

09

y 2

01

0

EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

AÑOS 2009 y 2010

Javiera Setz Mena

MATEMATICA 6 31/10/08 13:31 Page 1

MINISTERIO

pags 1 2 mat6 31/10/08 13:45 Page 1

El material didáctico Matemática 6°, para Sexto Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO:Eugenia Águila Garay

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: Viviana López Fuster

EDICIÓN:Viviana López Fuster

AUTORA:Javiera Setz Mena

CORRECCIÓN DE ESTILO:Isabel Spoerer VarelaAstrid Fernández Bravo

DOCUMENTACIÓN:Paulina Novoa VenturinoJuan Carlos Reyes Llanos

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA:Carlota Godoy Bustos

COORDINACIÓN LICITACIÓN:Xenia Venegas Zevallos

DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN:Mariela Pineda GálvezMacarena Cruz Rencoret

ILUSTRACIONES:Martín Oyarce Gallardo

FOTOGRAFÍAS:Archivo Santillana

CUBIERTA:Xenia Venegas Zevallos

PRODUCCIÓN:Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del"Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o

parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella

mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de EdicionesDr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por Quebecor World S.A.

ISBN: Inscripción N°

www.santillana.cl

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JAVIERA SETZ MENALICENCIADA EN MATEMÁTICA,

PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA,

LICENCIADA EN EDUCACIÓN

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

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4 Matemática 6

Presentación del Texto

• EN ESTA UNIDAD PODRÁS...En esta sección conoceráslos principales objetivos que se espera que logres con el desarrollo de la unidad.

Páginas de inicio

Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El texto Matemática 6 te invita a comprenderque la matemática es parte del mundo que te rodea. A través de sus 7 unidades te enfrentarás a diversas situaciones en las que podrás explorar, aprender y construir conceptos relacionadoscon los números y las operaciones, geometría, álgebra, datos y azar. En ellas encontrarás lassiguientes páginas y secciones:

• ¿CUÁNTO SABES?Podrás resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a recordar conocimientos que serán la base para el desarrollo de la unidad.

• ¿QUÉ DEBES RECORDAR?Encontrarás el resumende los principales conceptos trabajadosen años anteriores y quete servirán como apoyopara los aprendizajes que se espera que logres en la unidad.

• CONVERSEMOS DE...Sección que te planteapreguntas relacionadascon la imagen y con los contenidos de la unidad que te permitiránexponer tus ideas, daropiniones y argumentara partir de tus experiencias.

1-7 10/30/08 12:13 PM Page 4

5Presentación del Texto

• PARA DISCUTIRPor medio de preguntas, explorarás el contenido matemático que aprenderás, pondrás en práctica lo que yasabes, compartirás tus ideas y extraerásconclusiones.

• AYUDATe recuerda un contenido o procedimiento.

• EN EQUIPODesarrollarás en grupo entretenidas e interesantes actividades que te permitirán progresar en tu aprendizaje.

• EN TU CUADERNOResolverás variadas actividades para ir de-scubriendo los conceptos y reforzarasí tu aprendizaje.

• NO OLVIDES QUE...Encontrarás explicaciones, descripcioneso definiciones que destacan y precisan loque vas aprendiendo.

Páginas de desarrollo

En estas páginas podrás explorar y construir nuevos conceptos y aplicarlos para resolver diversas situaciones,actividades y problemas.

1-7 10/30/08 12:13 PM Page 5

6 Matemática 6

• ESTRATEGIA MENTAL Encontrarás diversas estrategias de cálculomental e imaginación espacial.

• HERRAMIENTAS TECNOLÓGICASAprenderás a ocupar lacalculadora para resolverdiversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programascomputacionales.

• MI PROGRESO Resolverás actividadesque te permitiránevaluar tu progresoen el logro de losaprendizajes.

• BUSCANDO ESTRATEGIAS Observarás un problema resueltopaso a paso a través de una determinada estrategia. Podrásaprender y practicar la estrategiautilizada y buscar otras que tepermitan encontrar la solución.

1-7 10/30/08 12:13 PM Page 6

7Presentación del Texto

• CONEXIONES A partir de una noticia o tema, desarrollarás enequipo una actividadque te permitiráaplicar lo queaprendiste en launidad. Además, teinvitamos a evaluartu actitud y la decada integrante del grupo para quepuedas mejorar tuforma de trabajar.

• SÍNTESIS Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando un organizador gráfico.Además, aclararás losconceptos trabajadosrespondiendo preguntassobre estos y sus relaciones.

• ¿QUÉ LOGRÉ? Evaluarás y reflexionarássobre los aprendizajesque adquiriste en estaunidad.

• ¿QUÉ APRENDÍ? En estas dos páginas responderás preguntas de selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluar lo que hasaprendido en la unidad.

Páginas de cierre

1-7 10/30/08 12:13 PM Page 7

ÍndiceUUNNIIDDAADD 11:: NNúúmmeerrooss 1100

¿Cuánto sabes? 12

1416182023242628

3031

32343536

UUNNIIDDAADD 22:: PPootteenncciiaass 3388

¿Cuánto sabes? 40

42444648

505152

54

5657

58606162

8 Matemática 6

UUNNIIDDAADD 33:: ÁÁnngguullooss 6644

¿Cuánto sabes? 66

6870747677788083

84868788

UUNNIIDDAADD 44:: PPoorrcceennttaajjeess 9900

¿Cuánto sabes? 92

949698100102103

104106108110

112114115116

Ángulos opuestos por el vérticeÁngulos entre paralelasMedida de los ángulos de un triánguloMedida de los ángulos de un cuadriláteroMi progresoÁngulos en polígonosPolígonos regularesMi progreso

Buscando estrategiasConexionesSíntesis¿Qué aprendí?

RazonesPorcentajes y razonesInterpretación de porcentajeCálculo del 10%, 25% y 50%Cálculo de porcentajesMi progresoAplicaciones del porcentaje: Intereses eimpuestosDescuentos y rebajasGráfico circularMi progreso


Concepto de potenciaDiagrama de árbolPropiedades de las potenciasPotencias de exponente 2 y áreasPotencias de base 10 y descomposición denúmerosMi progresoPotencias de base 10 y grandes númerosMultiplicación de un número natural o decimal por una potencia de baseDivisión de un número natural o decimal poruna potencia con baseMi progreso


Multiplicación de una fracción por unnúmero naturalMultiplicación de fraccionesDivisión de fraccionesOperaciones combinadasMi progresoInterpretación de números decimalesMultiplicación de números decimalesDivisión de números decimalesAproximación en operaciones con númerosdecimalesMi progreso


8-9 10/30/08 12:03 PM Page 8

SOLUCIONARIO 168

BIBLIOGRAFÍA 180

ICONOS

9Índice

UUNNIIDDAADD 55:: EEccuuaacciioonneess 111188

¿Cuánto sabes? 120

122124126128130132133

134136137138

UUNNIIDDAADD 66:: DDaattooss yy aazzaarr 114400

¿Cuánto sabes? 142

144

146148151152154156158160161

162164165166

Población, muestras y variablesMedidas de tendencia central: media aritméticaMediana y modaMi progresoAnálisis de la informaciónExperimentos aleatoriosFrecuencia absolutaFrecuencia relativaProbabilidadMi progreso


¿QUÉ DEBES RECORDAR?

NO OLVIDES QUE…

TRABAJA EN GRUPO

Lenguaje algebraicoIgualdades y ecuacionesEcuaciones con adición y sustracciónEcuaciones con multiplicaciones y adicionesEcuaciones con incógnitas a ambos ladosEstudio de las solucionesMi progreso


8-9 10/30/08 12:03 PM Page 9

UNIDAD

1

10 Unidad 1

Números

• Efectuar multiplicaciones y divisiones de fraccionespositivas utilizando diversos procedimientos.

• Efectuar multiplicaciones y divisiones de númerosdecimales positivos utilizando diversos procedimientos.

• Estimar resultados de multiplicaciones y divisionescon números decimales.

• Redondear cifras decimales y evaluar la pertinenciade las aproximaciones según el contexto.

• Resolver problemas en contextos diversos aplicandolas operaciones con fracciones positivas y númerosdecimales positivos.

EN ESTA UNIDAD PODRÁS...

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 10

11Números

El Índice de Masa Corporal se utiliza como indicador nutricionaldesde principios de 1980 y es el método más práctico para evaluarel grado de riesgo asociado con la obesidad. En adultos, se considera saludable cuando el valor del IMC está entre 18 y 25. Enlos niños y niñas, este valor depende de su edad y sexo. En la tablase destaca la columna que se considera saludable.

Observa las tablas y responde, considerando que el IMC se calculautilizando la siguiente fórmula:

IMC =

1. María tiene 12 años y su IMC es 17,5. ¿Podrías decir que su estado es

saludable?, ¿por qué?

2. Juan tiene 13 años y su IMC es 22,4. ¿Podrías decir que su estado es

saludable?, ¿por qué?

3. ¿Cuál es tu IMC?

4. ¿Qué debes hacer para tener un estado saludable según el cálculo

del IMC?

CONVERSEMOS DE...

Niños Bajo Peso Normal Sobrepeso Obesidad

11 años Menos de 15,0 15,1 a 20,2 20,3 a 21,2 Más de 21,3

12 años Menos de 15,4 15,5 a 21,0 21,1 a 22,1

13 años Menos de 16,0 16,1 a 21,8 21,9 a 23,0

Más de 22,2

Más de 23,1

Niñas Bajo Peso Normal Sobrepeso Obesidad

11 años Menos de 14,9 15,0 a 20,8 20,9 a 22,0 Más de 22,1

12 años Menos de 15,4 15,5 a 21,8 21,9 a 22,9

13 años Menos de 15,9 16,0 a 22,5 22,6 a 23,9

Más de 23,0

Más de 24,0

Descripción de IMC: Wikipedia, tabla de IMC adolescentes: www.inta.cl

peso (kg)altura (m2)

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 11

¿CUÁNTO SABES?

12 Unidad 1

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejerciciosen tu cuaderno.

1. Simplifica las fracciones hasta que sean irreductibles.

a) c) e)

b) d) f)

2. Transforma cada número mixto a fracción impropia.

a) c) e)

b) d) f)

3. Escribe en tu cuaderno cómo se leen los siguientes números decimales:

a) 8,15 c) 3,007 e) 6,214b) 42,8 d) 2,1208 f) 0,05

4. Escribe las siguientes fracciones decimales como números decimales.

a) c) e)

b) d) f)

5. Escribe como fracción decimal los números que aparecen en cada oración.

a) La temperatura máxima fue de 26,8 ºCb) La estatura de mi hermano es 1,72 mc) Un atleta corrió 32,5 kmd) El promedio general de un curso es 5,5e) El valor del dólar es $ 534,7f) El nivel de agua caída las últimas 24 horas es 5,8 mm

6. Completa con el signo <, > o =, según corresponda.

a) 1,25 2,71 c) 35,8 3,58 e) 8,01 8,001b) 9,27 9,162 d) 7,2 7,20 f) 0,99 0,909

145105

12848

4499

4296

321 024

49147

110

10410

2810 000

39100

1071 000

4910

67

4

35

2

45

8

1115

1

79

3

99101

1

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 12


13Números

• Para sumar o restar fracciones, se buscan fracciones equivalentes que tengan igual denominador, de modo de sumar o restar los numeradores.

• Para ordenar fracciones puedes utilizar la relación:

< si y solo si ad = bc

• Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, luego, la parte decimal.

• Para ordenar números decimales debes comparar, primero, la parte entera y, luego, unoa uno los dígitos decimales correspondientes a cada posición en la parte decimal.

• Para sumar y restar números decimales debes ordenar los números de manera que lacoma decimal quede en la misma posición. Luego, sumar o restar como si fuerannúmeros naturales y en el resultado escribir la coma donde corresponde.

7. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de números decimales:

a) 0,2; 1,3; 0,006; 0,8b) 0,5; 0,05; 1,005; 1,00c) 1,25; 0,25; 2,05; 0,75

8. Resuelve las siguientes operaciones:

a) 0,78 + 0,789 + 34 + 42,8b) 500 – 56,89 – 36,008 + 24,9c) 45,3 – 12,5d) 0,6 + 0,8 + 0,06 – 0,006e) 476,25 + 12,879 – 200,05f) 300 – 193,65 + 52,08

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

ab

cd

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 13

Multiplicación de una fracción por un

número natural

Tres tartas de frutas se partieron en 16 partes iguales cada una.Los siguientes diagramas representan las tartas, y la parte pintada,el pedazo que se comió Emilio de cada una. Observa.

14 Unidad 1

¡Observa esta grandiferencia!

PARA DISCUTIR

Una forma de multiplicar un número natural por una fracciónes multiplicar este número por el numerador de la fracción, conservando el denominador. Por ejemplo:

• ¿A qué fracción de una tarta corresponde cada pedazo que se comióEmilio?

• ¿Qué fracción representa el total que se comió Emilio?, ¿cómo lo calculaste?

• Si multiplicas la cantidad de pedazos de tarta que se comió Emilio por la fracción de la tarta que representa cada uno, ¿obtienes elmismo resultado?

1era tarta 2da tarta 3era tarta

37

127

4 • 37

4 • = =

116

1163 = 3 •

Númeromixto

Multiplicaciónde fracciones

4916

316

=

Al multiplicar un número natural (n) por una fracción ( ), se obtiene como producto

otra fracción que mantiene el denominador y cuyo numerador corresponde al producto entre el número natural y el numerador de la fracción.En general:

NO OLVIDES QUE...

ab

n • ab

n • =

ab

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 14

15Números

Unidad 1

1. Calcula y expresa el resultado como fracción irreductible o número mixto, según corresponda.

a) 2 • c) 7 • e) 8 • g) • 10

b) 5 • d) 4 • f) • 18 h) • 2

2. Completa para que se cumpla cada igualdad.

a) • = b) • = 36 c) 8 • =

3. Resuelve las siguientes situaciones y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste.

a) Para hacer una torta se necesita: taza de azúcar, tazas de harina, kg de

crema y kg de manjar. ¿Cuánto necesitas para hacer 3 tortas iguales a la anterior?

b) Marcela utilizó paquetes, de 6 panes cada uno, para preparar completos.

¿Cuántos panes utilizó en total?

c) Lucía compró kg de fruta para su casa. Si al otro día tuvo que comprar nuevamente

esta misma cantidad de fruta, ¿cuánto compró en total?

d) Mónica ha multiplicado la fracción un noveno por un número natural y el resultado es unafracción igual a dos unidades. ¿Por qué número natural ha multiplicado Mónica?

e) Un cuarto de hora equivale a 15 minutos. ¿A cuántos minutos equivalen tres cuartos de hora?

f) En la pizzería de Manuel, cada porción de pizza corresponde a de una pizza grande.

Si Daniel compra doce porciones para compartir con su familia, ¿cuánta pizza compró?

g) Doña Ursula prepara mermelada todos los veranos y la guarda en frascos de de

kilogramo. Si le regaló a su nieta siete frascos, ¿cuánta mermelada en total recibió su nieta?

h) Enrique lleva dos botellas de bebida, de litros cada una, para celebrar el cumpleaños

de su primo. ¿Cuánta bebida lleva?

EN TU CUADERNO

13

26

37

112

45

59

78

141

718

79

273

23

121

122

123 1

4112

132

34

18

38

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 15

16 Unidad 1

Multiplicación de fracciones

En una parcela, la mitad del terreno está sembrado. De esta parte,

están sembradas con maíz. Observa el diagrama que representa

esta situación.

El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador corresponde alproducto de los denominadores, y el numerador es el producto de sus numeradores.En general:

NO OLVIDES QUE...

Como puedes ver, del terreno está ocupado por maíz.Esto se puede calcular mediante el siguiente procedimiento:

Por lo tanto, el sembrado de maíz ocupa las partes del terrenototal.

Azul terreno sembradoMorado terreno sembrado con maíz

123

4

PARA DISCUTIR

• Si la mitad del terreno se divide en cuatro partes iguales, ¿qué fraccióndel terreno del terreno representa la parte que ocupa el maíz?

• Entonces, tres de estas partes, ¿a qué fracción del terreno corresponde? ¿Cómo se relacionan estas fracciones?

12

38

34

34

38

1 • 32 • 4

• = =

ab

cd

a • cb • d

• =

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 16

17Números

Unidad 1

1. Calcula el valor de los siguientes productos. Observa el ejemplo:

a) • c) • e) • •

b) • d) • • f) • •

2. Transforma los números mixtos a fracción impropia y, luego, multiplica.

a) • c) • e) • •

b) • d) • f) • •

3. La familia de Margarita gasta de sus ingresos en alimentación. De esta parte, se utiliza

para los almuerzos del fin de semana.

a) ¿Qué fracción del ingreso familiar se utiliza para los almuerzos de fines de semana?b) Si el ingreso familiar es $ 240 000, ¿cuánto dinero se destina para estos almuerzos?

EN TU CUADERNO

158

45

45

32

3 • 12 • 1

158

• = • = = = 121

32

109

34

35

12

83

311

73

611

328

73

611

455

197

143

212

2102

34

3112 2

52 362 5

77 14

1272

363

136

314543

85 94315

61463

Para multiplicar fracciones, en ocasiones, es más fácil simplificar los factores antes de calcular la multiplicación. Observa:

Es decir, cada fracción se simplifica antes de multiplicar.

Otras veces, se pueden utilizar las propiedades de los números y, luego, simplificar. Observa:

Utiliza la estrategia anterior y calcula mentalmente las siguientes multiplicaciones:

ESTRATEGIA MENTAL

816

525

110

15

12

• = • =

21 • 1033 • 42

21 • 1042 • 33

2133

1042

1033

1033

1066

2142

12

• = = = • = • =

1425

4521

• = 1627

3324

• = 3623

4666

• = 2855

1556

• = 1230

4016

• =

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 17

18 Unidad 1

División de fracciones

Un carpintero tiene una tabla de 6 m de largo para hacer una repisa

y desea cortarla en pedazos de m. Observa cómo lo calculó.

Uno de los procedimientos para:

• dividir un número natural por una fracción es multiplicar el número natural por elrecíproco de la fracción.

Ejemplo:

• dividir una fracción por otra fracción es multiplicar la primera fracción por el recíprocode la segunda.

Ejemplo:

NO OLVIDES QUE...

34

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántos pedazos obtuvo?• ¿De qué otra manera podrías resolver esta situación?

0

1er pedazo 2o pedazo 3o pedazo 4o pedazo 5o pedazo 6o pedazo 7o pedazo 8o pedazo

1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 mdividido en 4partes iguales

Un procedimiento para resolver esta situación es el siguiente:

34

43

38

6 • 43

6 : = 6 • = = = 8

recíproco

23

32

4 • 31

8 • 32

8 : = 8 • = = = 124

1

78

56

56

87

2021

5 • 86 • 7

: = • = = 4

3

Este año utilizaremos el concepto de “recíproco” de

un número. Ejemplo:

su recíproco es

su recíproco es

su recíproco es

34

43

73

37

15

51

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 18

19Números

Unidad 1

43

45

83

17

114

89

98

1720

4513

18

1526

103

107

911

15

13

34

38

310

13

562

134

6153

132

23

215

49

18

1. Determina el recíproco de las siguientes fracciones:

a) b) c) d) e) f)

2. Calcula las siguientes divisiones:

a) 4: = d) 16 : = g) : = j) : =

b) 5: = e) 10 : = h) : = k) : =

c) 8 : = f) : 8 = i) : = l) : =

3. Resuelve y explica cómo lo calculaste en cada caso.

a) ¿Cuántos hay en ? c) ¿Cuántos hay en 12?

b) ¿Cuántos hay en 9? d) ¿Cuántos hay en 3?

4. Lee atentamente y resuelve.

a) ¿Cuántos cuartos de hora hay en medio día?, ¿cómo lo calculaste?

b) Si se corta un alambre de 2 m de longitud en pedazos de m, ¿cuántos pedazos se cortaron?

c) En un campamento scout los jefes reparten los alimentos en forma equitativa. Si el primer

día se repartieron 24 sandías divididas en pedazos de , sin que sobrara nada, ¿cuántas

personas había en el campamento?

d) Si el cociente de una división es y el dividendo es , ¿cuál es el divisor?

e) Si el divisor de una división es y el cociente es 4, ¿cuál es el dividendo?

f) Si una fracción se divide por sí misma, ¿qué resultado se obtiene? Verifícalo con 3 ejemplos.

EN TU CUADERNO

56

89

12

25

18

3

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 19

20 Unidad 1

Operaciones combinadas

Laura y Manuel tienen que resolver el siguiente ejercicio:

Observa cómo lo calculan.Lo hace de dos maneras distintas, ¿cuál es la correcta?

Laura lo hace así: Manuel lo hace así:

• Para resolver ejercicios donde hay más de una operación involucrada, debemos respetar la siguiente prioridad en las operaciones:

1o Paréntesis (si los hay).2o Multiplicación y división.3o Adición y sustracción.

• Si en un ejercicio aparecen operaciones que tengan la misma prioridad, estas se resuelven de izquierda a derecha o según el orden en que aparezcan.

NO OLVIDES QUE...

23

45

215

• +

23

45

215

• + =

23

1215

215

• +

23

1415

2845

•

23

45

215

• + =

815

215+

1015

23=

PARA DISCUTIR

• ¿Cuál de los dos procedimientos es el correcto?, ¿por qué?• ¿De qué otra manera podrías resolver esta situación?

La prioridad de las operaciones es la

misma usada para losnúmeros naturales.

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 20

1. Calcula. Recuerda simplificar cada vez que sea posible.

a) + ( – ) = g) ( – ) : = m) ( – ) • ( + ) =b) + – = h) • + = n) (7 – ) + ( – ) =c) • ( : ) = i) • ( – ) = ñ) 8 – • : + =

d) : ( – ) = j) + • = o) 15 – ( – • ) =

e) – + = k) ( – ) • = p) ( : ) • =

f) + : = l) – + = q) : ( – ) =

2. Resuelve los siguientes problemas.

a) Verónica hizo de su tarea y Andrea solo hizo de lo que hizo Verónica. ¿Qué parte de la

tarea realizó Andrea?

b) De los 150 CD de música que tiene Mauricio, se los prestó a su amiga Daniela.

Pero Daniela perdió de esos CD, ¿cuántos CD le pudo devolver Daniela a Mauricio?

c) En un cumpleaños había tres tortas. Cada una de ellas se dividió en 16 partes iguales. Si en

total se comieron tortas, ¿cuántos pedazos sobraron?

d) Un estanque contiene agua hasta de su capacidad, pero si le agregamos 126 L el agua

llega hasta la mitad. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

e) Pedro y Pablo son conductores de bus y hoy han ido de Santiago a Puerto Montt. En el viaje

de ida, Pedro manejó del camino y Pablo el resto. En el viaje de vuelta, en cambio, ambos

manejaron durante la mitad del camino.

• En total, ¿qué fracción del camino manejó cada uno?• Si un viaje a Puerto Montt dura, en promedio, 14 horas, ¿cuántas horas manejó Pedro?,

¿cuántas horas manejó Pablo?

21Números

Unidad 1

EN TU CUADERNO

13

32

13

14

25

310

45

37

27

45

73

54

34

58

712

712

59

424

35

13

12

37

13

15

23

910

23

12

25

12

59

45

63

23

26

13

24

156

23

15

154

123 1

32 141 3

42

3103 9

1045673

415

320

34

12

516

352

1124 1

4233

231

45

510

12

142

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 21

22 Unidad 1

Usando una planilla de cálculo, resuelve multiplicaciones y divisiones de fracciones. Sigue las instrucciones.

1o En A1 escribe “Fracción 1”, en B1 “Fracción 2”, en C1 “Operación” y en D1 “Resultado”. En las celdas A2 y B2 anota 2/5 y 10/21, respectivamente.

2o Para que las fracciones anotadas aparezcan como fracción propia o número mixto, selecciona todas las celdas (A2 a D3), haz clic con el botón derecho y elige Formato de celdas. Luego elige Fracción, y Hasta tres dígitos.

3o En las celdas correspondientes a “Operación” escribe la operación que se realizará. Para estoobserva la pantalla. Ejemplo: producto de fracción 1 y fracción 2.

4o Luego, marca la celda D2, haz doble clic en ella y anota =A2*B2. Presiona enter. Así aparecerá el producto de la “Fracción 1” con la “Fracción 2”.

5o En D3 escribe =A2/B2. Esto te arrojará el valor del entre la “Fracción 1” y la “Fracción 2”.

1. Escribe una fracción en A2 y otra en B2 y observa los resultados que obtienes.

2. Remplaza distintos valores en cada caso, y a partir de los resultados obtenidos, determina silas siguientes expresiones son verdaderas o falsas.

a) El producto de dos fracciones impropias es una fracción impropia.b) Al dividir una fracción propia por una impropia, el cociente es una fracción impropia.c) El cociente entre dos fracciones propias puede ser una fracción impropia.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 22

23Números

Unidad 1

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 y 2.

1. El valor de + • es:

A. B. 1 C. D.

2. El resultado de ( – ) : es:

A. B. C. D.

3. En el almacén de don Jorge necesitan guardar kg de harina en bolsas de kg.

a) ¿Cuántas bolsas necesitan como mínimo?

b) Si las bolsas fueran de kg, ¿cuántas bolsas llenarían?

4. Florencia ayuda a su mamá a cocinar, ella le pidió que mezclara con una cuchara harinay chocolate para preparar un queque.

a) En un bol puso kg de harina y kg de chocolate en polvo y lo mezcló muy

bien. Si luego le sacó la mitad la mezcla, ¿cuántos kilogramos de chocolate en polvo quedó en el bol?

b) Su mamá le dijo que le faltaba harina, entonces agregó al resto kg de

harina, y mezcló. Al sacar de lo que ahora tiene, ¿cuánto chocolate quedó ahora en el bol?

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto y completa la siguiente tabla:

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste.

MI PROGRESO

23

94

32

1712

115

221

57

37

17

25

13

710

214

13

143

18

34

14

14

15

Criterio Preguntas Respuesta correcta

Calcular operaciones combinadas con fracciones.

1 y 2

Resolver un problema, planteando y calculando divisiones de fracciones.

3

Resolver un problema, planteando y calculando multiplicaciones de fracciones.

4

resp

onde

en

tu cu

ader

no

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 23

24 Unidad 1

1. El Estadio Nacional tiene capacidad, máxima para 65 mil personas. En cambio, el Estadio Monumental tiene una capacidad máxima para 0,045 millones de personas.

a) Al leer estas cantidades, ¿puedes visualizar fácilmente a cuántas personas corresponden?

b) ¿Cómo las expresarías para solucionar esto?

EN TU CUADERNO

Interpretación de números decimales

Lee las siguientes afirmaciones y fíjate en los datos numéricos queallí aparecen:

• Según el último censo, en Chile viven, aproximadamente, 7,6 millones de mujeres (consultado en www.ine.cl).

• Las ciudades de La Serena y Coquimbo se encuentran a una distancia de 10,3 km (consultado en www.vialidad.cl).

• El monito del monte, uno de los mamíferos más pequeños deChile, mide entre 22,8 cm y 24,5 cm.

PARA DISCUTIR

• ¿Qué representa cada uno de estos números decimales?• ¿A qué equivale 6 décimos de un millón?• ¿Cuánto es 10,3 km, expresados en metros?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cómo se interpretan los valores decimales en la altura del monito del

monte?• ¿Puedes comparar la cantidad de mujeres que hay en Chile con la

distancia entre La Serena y Coquimbo?, ¿por qué?• ¿Cuándo crees que es útil escribir medidas expresadas en números

decimales? Justifica.

• La interpretación de un número decimal depende de la unidad de medida asociada a él.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 24

25Números

Unidad 1

2. Para realizar una extensión eléctrica, José compró 6 metros de cable. Al llegar a su casa se diocuenta de que solo necesitaba 4 metros y 30 centímetros.

a) ¿Cuánto cable le sobró?b) Si 1 metro de cable le costó $ 650, ¿cuánto pagó por el cable que compró?c) ¿Cuánto dinero habría ahorrado si hubiese comprado solo lo que necesitaba?

3. El último año en que ocurrió el fenómeno del Niño, el promedio de agua caída en Santiago fue709,3 mm, siendo el promedio normal de 312,5 mm. En cambio, al año siguiente, nos afectó elfenómeno de la Niña, registrándose solo 89,3 mm en Santiago (consultado en www.meteochile.cl).

a) ¿Cuántos milímetros representa el dígito 3 en cada promedio de agua caída?b) ¿Puedes saber en qué año llovió más?, ¿cómo?

4. Observa el ejemplo y luego escribe en tu cuaderno una equivalencia.

2,3 kilogramos 2 kilogramos y 300 gramos

a) 6,8 kilogramos d) 20,5 añosb) 10,3 toneladas e) 27,3 metrosc) 4,2 centímetros f) 0,25 años

5. Considerando que 1 hora es equivalente a 60 minutos y 1 minuto es equivalente a 60 segundos,observa el ejemplo y escribe una equivalencia para cada caso.

2,6 horas 2 horas y 35 minutos

a) 3,2 horas d) 250 minutosb) 0,25 horas e) 11,6 horasc) 10,4 minutos f) 150 segundos

6. Considerando que un metro equivale a 100 cm y 1 cm equivale a 10 mm, decide qué medida esmayor en cada caso.

a) 35 cm 0,3 mb) 140 mm 0,2 mc) 6,7 cm 65,9 mmd) 0,04 m 4 cme) 22,5 mm 2,27 cmf) 4,8 m 475,8 mm

UNIDAD 1 (10-25) 10/30/08 9:53 PM Page 25

26 Unidad 1

Multiplicación de números decimales

Uno de los principales indicadores económicos es la UF (unidad defomento), la cual se reajusta según la variación del IPC (índice deprecios al consumidor).Carolina y Javier deben pagar el dividendo de su departamento, quecorresponde a 4,6 UF. El valor de cada UF es de $ 21 007,16 (al 3 deoctubre de 2008). Observa cómo calculó cada uno cuánto dinerotenían que pagar.

Carolina lo calculó así: Javier lo calculó así:

• Si multiplicamos 21 007 por 4, ¿corresponde al valor total en pesos deldividendo que deben pagar?, ¿por qué?

• Considerando el valor de la UF dado, ¿cuánto deben pagar, en pesos?,¿cuánto pagarían hoy?

• ¿Cuál de las estrategias consideras más sencilla?, ¿por qué?

PARA DISCUTIR

2 100 716100

4610

•

96 632 9361000

96 632,936

Expresando los decimales como fracción

Recuerda que nuestramoneda nacional, el peso,solo considera valoresenteros, por lo tantodebemos aproximar.

A yuda

2 100 7,16 4,6•

96 632,936

12604296+ 8402864

Multiplicando como números reales

Para multiplicar dos números decimales puedes utilizar alguno de estos procedimientos:

• Transformar los números decimales a fracción, multiplicar y, finalmente, escribir elproducto como número decimal.

• Multiplicar como si fueran números naturales y en el producto escribir la coma según lacantidad de cifras decimales que tengan en total ambos factores.

NO OLVIDES QUE...

2 100 716 • 461000

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 26

27Números

Unidad 1

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando los dos procedimientos anteriores.

a) 2,26 • 4 = g) 14,3 • 10 = m) 125 • 0,1 = b) 4,5 • 2,3 = h) 25,68 • 4,26 = n) 42,5 • 0,1 =c) 0,05 • 0,2 = i) 4,12 • 0,15 = ñ) 214 • 0,01 = d) 0,125 • 8 = j) 46,05 • 100 = o) 58,2 • 0,01 =e) 14,2 • 5,21 = k) 84,015 • 2,1 = p) 512 • 0,001 =f) 11,36 • 1,16 = l) 42,5 • 1,12 = q) 413,05 • 0,001 =

2. Resuelve las siguientes situaciones.

a) Si una caja pesa 67,5 kilogramos, ¿cuánto pesan 100 cajas iguales a la anterior?b) Marco recorre en bicicleta 18,9 km en una hora. ¿Cuánto recorrerá en 4 horas?c) Un litro de aceite tiene una masa de 0,92 kg. ¿Cuál es la masa de 8 bidones de 10 litros

cada uno?d) El precio de un barril de petróleo es US$ 69,86. Si una empresa compra 35 barriles, ¿cuántos

dólares se deben cancelar? Si un dólar equivale a $ 538, ¿cuántos pesos se deben pagar?e) Pablo está calculando cuánto deberá pagar cada mes por un crédito de consumo a 10 meses,

de 28,97 UF en total (incluido los intereses). Todas las cuotas deben ser del mismo valor.¿Cuánto es el monto aproximado de cada cuota? Averigua el valor actual de la UF y resuelve.

EN TU CUADERNO

En esta actividad van a practicar un procedimiento para calcular mentalmente multiplicaciones connúmeros decimales. Formen grupos de 4 integrantes y sigan las instrucciones:

1. Observen y obtengan un procedimiento para multiplicar mentalmente los siguiente números:

12 • 0,25 = 12 • 1 : 4 = 12 : 4 = 3

16 • 0,75 = 16 • 3 : 4 = 48 : 4 = 12

2. Confeccionen un dado que tenga escrito en sus caras los números 0,25; 0,5; 0,75; 1,25; 1,5; 1,75. 3. Elaboren 8 tarjetas con los siguientes números: 4, 10, 16, 20, 32, 50, 100 y 1000. 4. Cada integrante, por turno:

1º Saca una tarjeta. 2º Lanza el dado. 3º Calcula lo más rápido posible el resultado del producto entre el número que está en la tarjeta conel número obtenido en el dado. 4º Si responde correctamente recibe 1 punto; si no, pierde un punto.

5. Jueguen hasta que alguno de los integrantes complete 10 puntos.

EN EQUIPO

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 27

División de números decimales

Al dividir dos números decimales se pueden presentar los siguientescasos:

• El dividendo es un número decimal y el divisor es un número entero.Ejemplo:

o bien,

• El dividendo es un número entero y el divisor es un número decimal.Ejemplo:

multiplico ambos números por 10, pues 1,6 tiene una cifra decimal

o bien,

• El dividendo y el divisor son números decimales.Ejemplo:

multiplico ambos números por 100, pues 1,25 tiene dos cifras decimales

o bien,

28 Unidad 1

PARA DISCUTIR

• ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más simple?, ¿por qué?

51,4 : 4 = 12,851134200

51410

41

: 51410

14·= 514

40= = 12,85

4200 : 16 = 262,510040800

420 : 1,6 =

4201

1610

: 420 1016·= 4 200

16= = 262,5

105 : 12 = 8,7590600

10,5 : 1,25

105010

125100

: 1050100

100125·= 10 5000

12 500= = 8,4

Al multiplicar el dividendo y el divisor de una división por una misma potencia de 10, obtienes una división equivalente a la original, la cual tendrá el mismo cociente.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 28

1. Calcula las siguientes divisiones y comprueba multiplicando. Observa el ejemplo.

23,4 : 0,2 = 117, luego, 117 • 0,2 = 23,4

a) 254 : 5 = e) 0,036 : 0,03 = i) 0,869 : 5 =b) 180,48 : 3,76 = f) 2,675 : 0,5 = j) 371,2 : 100 = c) 4,53 : 0,04 = g) 104,4 : 75 = k) 8,208 : 1,71 =d) 129,6 : 36 = h) 67,44 : 5,62 = l) 2,2 : 1000 =

2. Resuelve y explica, paso a paso, la estrategia que utilizaste.

a) Un trozo de cartulina que mide 49 cm de largo y 3 cm de ancho, se usa para confeccionartarjetas de 3,5 cm de largo por 3 cm de ancho cada una. ¿Cuántas tarjetas del tamañoindicado se pueden obtener si se utiliza al máximo la cartulina?

b) Repite la actividad anterior considerando las medidas dadas en la tabla.

3. Alberto lleva en su camión una caja de 75 ladrillos iguales. El peso total de la caja es de 172,5 kg. ¿Cuál es el peso de un ladrillo?

4. Fernanda tiene un rollo de cable de 445,5 m y lo tiene que partir en 15 trozos iguales.¿Cuántos metros medirá cada trozo?

5. Un depósito contiene 225,5 litros de agua y se echa en partes iguales en 5 recipientes.¿Cuántos litros de agua se echan en cada recipiente?

6. Observa lo que ha recibido Pablo en su tienda y luego responde.• 15 sacos iguales de arroz 382,5 kg• 8 sacos iguales de azúcar 158,4 kg• 35 cajas iguales de naranjas 1 606,5 kg• 42 cajas iguales de tomates 1 486,8 kg

a) ¿Cuánto pesa un saco de arroz?b) ¿Cuánto pesa un saco de azúcar?c) ¿Cuánto pesarán 2 cajas de naranjas?d) ¿Cuánto pesarán 3 cajas de tomates?

EN TU CUADERNO

29Números

Unidad 1

Medidas de las tarjetas Medidas de la cartulinaCantidad de tarjetas que

se obtienen

AnchoLargo Largo

1,75 cm 3 cm

3 cm

3 cm

49 cm

2,5 cm 49 cm

2,5 cm 30 cm responde en tu cu

aderno

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 29

Aproximación en operaciones con

números decimales

Pamela obtuvo promedio 6,74 en Sociedad y Andrea, 6,68. Al ver sus resultados finales en la libreta de notas, se dieron cuentade que su profesora había aproximado las notas por redondeo a losdécimos.

Ahora, observa cómo aproximar por redondeo:

Y por truncamiento: eliminamos las cifras decimales para trabajarcon el número entero o con menor cantidad de cifras decimales.

30 Unidad 1

La aproximación por redondeo o truncamiento nos permite estimar cálculos con númerosdecimales, antes de realizar los cálculos exactos.La estrategia más adecuada dependerá de la situación y de los números involucrados.

NO OLVIDES QUE...

PARA DISCUTIR

• ¿Qué diferencia habría en el promedio final de un alumno conpromedio 5,96 si se aproxima por redondeo o truncamiento?Aproxima y compara los resultados.

• ¿Qué alumna obtuvo mejor promedio, originalmente? • Después de aproximar, ¿cómo cambiaron los promedios de las

alumnas?, ¿por qué?• ¿Qué diferencia hay entre redondear y truncar?• ¿Por qué es necesario aproximar cuando trabajas con cifras decimales?• ¿En qué situaciones crees que es más práctico aproximar?

Número Al décimo Al centésimo Al milésimo

Número truncado

23,3456 23,34 23,34523,3

Al décimo Estrategia Al centésimo

4,237 1. Ubicar el valor del dígito a aproximar.

2. Fijarse en el dígito que está a su derecha.3. Si este es mayor o igual que 5, sumas 1 al dígito anterior. Si es

menor que 5, no cambia.

4,237

4,237

4,2

4,237

4,237

4,237

4,244. Eliminas todos los dígitos de su derecha.

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 30

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 y 2.

3. El automóvil de Víctor tiene un rendimiento de 20,3 km por cada litro de bencina, y elprecio de la bencina es de $ 815,51 el litro.a) Si el estanque tiene una capacidad de 30,5 litros, ¿cuánto debe pagar para llenarlo?b) Si decide viajar fuera de la ciudad, y el recorrido total fue de 613,45 km, ¿Cuántos

litros de bencina consumió? ¿Cuánto dinero gastó en bencina en este viaje?


MI PROGRESO

EN TU CUADERNO

1. Aproxima cada número redondeando a las unidades y luego calcula el producto o cociente segúncorresponda.

a) 4,32 • 8,25 = c) 8,25 : 5,1 = e) 10,86 • 11,3 =b) 7,58 • 4,06 = d) 6,54 : 2,4 = f) 14,72 : 1,6 =

• Usa una calculadora para comprobar cómo estuvieron tus aproximaciones.

2. El valor de la UF el día 27 de septiembre de 2008 fue de $ 20 969,55. En cada caso, aproximapara estimar el resultado y luego verifica con una calculadora.

a) Javier tenía $ 300 000 y realizó un depósito en UF ese día, ¿cuántas UF pudo depositar?b) Paulina está postulando a un subsidio para comprar una casa. Si este subsidio corresponde a

150 UF, ¿cuál será la cantidad, en pesos?c) Un casa cuesta 1 500 UF. Si se paga en 20 años, en total se cancela 2,25 veces su valor.

Aproximadamente, ¿cuántas UF se pagarían en esa cantidad de años?

31Números

Unidad 1

1. El valor de 3,12 • 0,13 es: A. 0,4056 B. 0,04056 C. 4,056 D. 40,5616.

2. Al redondear a los décimos el número7,6857 se obtiene: A. 7,6 B. 7,7 C. 7,68 D. 7,69

Indicador Preguntas Respuestas correctas

Calcular el producto de dos números decimales.

Aproximar un número decimal por redondeo

Resolver un problema, planteando y calculando unamultiplicación de números decimales.

Resolver un problema, planteando y calculandomultiplicaciones y divisiones de números decimales.

1

2

3a

3bre

sponde en tu

cuadern

o

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 31

32 Unidad 1

El perro de Matías tiene alergia a las pulgas. Elveterinario le recetó un medicamento. La receta decía:

1. Si los frascos del medicamento traen 20 mL, ¿le alcanza para el tratamiento completo otiene que comprar más de un frasco?

2. ¿Cuánto medicamento debe darle diariamente?

Comprender• ¿Qué sabes del problema?

La cantidad de medicamento indicado en la receta: 2,5 mL cada 4 horas por 5 días.La cantidad que contiene cada frasco: 20 mL

• ¿Qué debes encontrar? La cantidad de medicamento que le da en un día.La cantidad total de medicamento que necesita para los 5 días.Cuántos frascos de medicamento necesita comprar.

Planificar• ¿Cómo resolver el problema?

Para obtener la cantidad de medicamento al día, divide las horas del día por el númerode horas entre cada dosis, y luego multiplícalo la dosis.Y para obtener la cantidad total del medicamento, multiplica la cantidad de días, por lacantidad de medicamento al día.Luego divide el total por la cantidad de medicamento que hay en un frasco, para sabercuántos frascos necesita comprar.

Resolver• 24 : 4 = 6

Debe darle 6 veces en el día el medicamento.• 2,5 • 6 = 15 mL

Matías debe darle a su gato 15 mL de medicamento por día.• 5 • 15 = 75 mL necesita para los cinco días.• 75 : 20 = 3,75

Responder• Debe comprar 4 frascos de medicamento en total, ya que debe tomar 15 mL de

medicamentos por día.

Revisar• Busca junto a tus compañeros y compañeras otra forma de resolver el problema y

verifiquen sus resultados.

BUSCANDO ESTRATEGIAS

Pulguix de 4,5 mg2,5 mL cada 4 horas por 5 días

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 32

33Números

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones:

a) Patricia enfermó de gripe. Su médico le recetó 7 mL de un medicamento que debe tomar 4veces al día durante 7 días. Si el envase del medicamento contiene 50 mL.• ¿Cuántos mL de medicamento debe tomar por día?• ¿Cuántos frascos debe comprar? ¿Cuántos mL le sobran?

b) Joaquín celebrará su cumpleaños. Para cada uno de sus invitados, su mamá repartió bebida de

L y kg de chocolate, además de todas las golosinas que había para servirse. Si Joaquín

invitó a 24 amigos:• La cantidad de bebidas de L que compró su mamá, ¿a cuántas bebidas de 1,5 L son

equivalentes?• Si la mamá de Joaquín compró 3,5 kg de chocolate para repartir, ¿cuánto le sobró?

• Si cada bebida de L le costó $ 200 y cada kilogramo de chocolate le costó $ 1 750,

¿cuánto gastó en total?

2. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) Para una celebración han comprado bebidas de 2 L. Si se sirvieron vasos de L,

¿cuántos vasos alcanzaron?

b) Un paquete de galletas contiene 13,4 gramos de grasa por cada 100 gramos de galletas. Si el paquete de galletas tiene una masa de 500 gramos, ¿cuántos gramos de grasa contieneel paquete?

c) Un sitio tiene 20 metros de largo y 12 metros de ancho. Se construye una casa que ocupa

del ancho y del largo. Con esta información responde:

• ¿Qué fracción del terreno ocupa la casa?• ¿Qué fracción queda de patio?• ¿Cuántos metros cuadrados tienen el sitio, la casa y el patio?

d) El rendimiento de una motocicleta es de 23,8 kilómetros por cada litro de bencina. Si elestanque puede contener 7,5 litros de bencina, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer sinabastecerse de combustible?

14

18

14

14

12

14

23

34

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 33

34 Unidad 1

CONEXIONES

1. Si el 12 de septiembre se vendió 4 532,25 libras de cobre a una fábrica extranjera, ¿cuánto pagó,según el precio del cobre ese día?

2. Si en cambio, lo hubiera comprado el jueves 11, ¿cuánto habría pagado?3. ¿Cuánto es la diferencia entre el valor obtenido en ambos días?4. Don Eduardo tiene 1 000 dólares y quiere comprar cobre, ¿para cuántas libras le alcanzaría (al

valor del 12 de septiembre)?5. Averigüen el precio de la libra de cobre de hoy, ¿ha aumentado o disminuido respecto de los

valores de septiembre?6. Considerando una venta de 3 200 libras, ¿sería más rentable vender hoy o en septiembre?7. Don Eduardo quiere vender hoy las libras que compró.

a) ¿Cuánto le pagarían (en dólares)?b) ¿Cuánto ganó o perdió con la operación (en dólares)?c) Averigüen el precio del dólar de hoy, ¿cuánto le pagarían (en pesos)?

Fuente: www.adnradio.cl/nota.aspx?id=669748 (consultado en septiembre de 2008).

1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, segúncorresponda. Luego comparen y comenten sus respuestas.

2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

Respeté las opiniones de los demás integrantes.

Cumplí con las tareas que se comprometió.

Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO

Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Según informó la Comisión Chilena delCobre (Cochilco), el jueves, el metal se transóen 312,979 centavos de dólar.

En el mercado de futuro a tres meses, laprincipal exportación chilena se vendió a320,055 centavos de dólar, mientras que eljueves fue de 311,437 centavos de dólar

El promedio mensual llegó a 323,067centavos de dólar y el anual a 364,649centavos.

NACIONAL

Una notable alza mostró este viernes 12 de septiembre el precio del cobre en la Bolsa de Metales deLondres, al cerrar las operaciones en 321,869 centavos de dólar la libra.

responde en tu cuaderno

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 34

35Números

Unidad 1SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema, llamado mapa conceptual, que relaciona los principalesconceptos estudiados en la Unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con las palabras de enlaceque indican las relaciones que hay entre los conceptos.

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde.

1. ¿Cómo multiplicas y divides fracciones? Explícalo a través de ejemplos.

2. ¿Cuál es la prioridad de las operaciones al resolver ejercicios con operatoria combinada?

3. ¿De qué dependerá el significado que se dé a una cifra decimal en informaciones numéricas?

4. ¿Qué relación hay entre los factores y el producto, cuando al menos uno de los factores es menorque uno?

5. ¿Qué relación hay entre el dividendo y el divisor, si el cociente es menor que uno?

6. ¿Qué ventajas y desventajas tiene aproximar números decimales por redondeo?, ¿y portruncamiento?

7. ¿Existe alguna regla para descomponer un número entero como una suma de productos entredígitos y potencias de 10? ¿Puedes crear una con tus palabras?

Aproximación

Interpretación

Númerosdecimales

Fracciones

OperacionescombinadasRedondeo Truncamiento

Multiplicación División

Números

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 35

36 Unidad 1

1. El número 543,7689 redondeado a las décimascorresponde a:

A. 543,8B. 543,77C. 543,769D. 543,768

2. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene elmayor producto?

A. 0,1 • 1B. 0,2 • 0,2C. 0,7 • 0,3D. 0,8 • 0,1

3. Al multiplicar 0,2 • 0,05 se obtiene:

A. 0,001B. 0,01C. 0,1D. 1

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. El número de cifras decimales de unproducto depende de las cifras decimalesde los factores.

B. Para resolver divisiones con númerosdecimales los podemos transformar afracción.

C. En todas las operaciones con decimales sedebe considerar la ubicación de la comadecimal.

D. El número de cifras decimales de uncociente depende de las cifras decimales deldividendo y del divisor.

5. Cuatro séptimos de catorce quintos esequivalente a:

A.

B.

C.

D.

6. El resultado de 2 : es

A.

B.

C.

D.

7. La expresión 2,048 • 0,01 es equivalente a:

A. 20,48 • 0,1B. 204,8 • 1,0C. 0,2048 • 0,1D. 0,2048 • 1 000

8. El número decimal que se obtiene al truncar65,034712 a la milésima es:

A. 65,034B. 65,0347C. 65,035D. 65,0357

¿QUÉ APRENDÍ?

Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8.

25

52

58

85

134

16

32

139

119

136

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 36

Unidad 1

1. Marca según tu apreciación.

¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

37Números

9. Miguel ha multiplicado la fracción tres séptimos por un número natural menorque 10 y el resultado es una fracción menor que la unidad. ¿Cuál o cuáles son losnúmeros naturales por el que ha multiplicado Miguel?

10. Un campesino tiene de su terreno destinado a siembra de verduras. Del

terreno destinado corresponden a lechugas. ¿Qué fracción del terreno tiene

lechugas?

11. En una casa se consume, mensualmente, 18,2 m3 de agua potable. ¿Cuántosmetros cúbicos se consumen en un año? Si el precio del metro cúbico de agua es$ 230, ¿cuánto se debe cancelar mensualmente?

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocasteen alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

Multiplicación de fracciones

División de fracciones

Multiplicación de decimales

División de decimales

Operaciones combinadas

Resolución de problemas

2. Reflexiona y responde.

a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?c) Vuelve a la página 10 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste

aprender todo lo que se esperaba? Explica.

15

310

responde en tu cu

aderno

UNIDAD 1 (26-37) 10/30/08 9:54 PM Page 37

UNIDAD

2

38 Unidad 2

Potencias

• Interpretar potencias como multiplicación iterada.• Escribir multiplicaciones como potencias.• Calcular potencias de base y exponente natural.• Multiplicar y dividir por potencias de 10.• Utilizar las potencias de 10 en la escritura de

grandes números.


UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 38

39Potencias

Calcular y expresar cantidades tan grandes como las aproximadamente 120 000 000 000 de estrellas de la Vía Láctea,los 348 000 km que nos separan de la luna, los 6 cuatrillones dekilogramos de la tierra o los 14,7 billones de dólares del presupuesto de Chile sería extremadamente complicado sin laayuda de una importante herramienta de la matemática: las potencias, que nos permiten escribir en forma abreviada estos números.

1. ¿Qué es una estrella? ¿Sabes el nombre de alguna?

2. ¿Cómo crees que se podrían expresar las cantidades anteriores de

manera más simple?

3. Averigua otras unidades de medida que se usen para medir las

distancias en el Universo.

CONVERSEMOS DE...

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 39

¿CUÁNTO SABES?

40 Unidad 2

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejerciciosen tu cuaderno.

1. Escribe el número que corresponde a cada una de las siguientes descomposiciones.

a) 90 000 000 + 4 000 000 + 700 000 + 80 000 + 5 000 + 400 + 20 + 6

b) 9 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90

c) 40 000 000 + 30 000 + 20 + 1

d) 7 000 + 3 000 000 + 3

e) 100 000 + 6 000 000 + 30 000 000 + 60 000

f) 40 + 500 + 7 000 000 + 100 000 000 + 70 000 + 9

2. Escribe en tu cuaderno la descomposición aditiva correspondiente a los siguientes números.

a) 7 987 675 d) 123 456 789 g) 35 909 909

b) 89 890 890 e) 12 323 090 h) 784 231 123

c) 9 345 567 f) 560 670 000 i) 909 990 099

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a) 12 560 • 13 d) 45 390 • 25 g) 112 003 • 32

b) 11 • 234 500 e) 54 • 13 987 h) 65 • 240 070

c) 125 • 1351 f) 98 700 • 345 i) 111 111 • 1111

4. Calcula las siguientes divisiones.

a) 124 : 4 = d) 324 : 6 = g) 380 : 2 =

b) 258 : 3 = e) 120 : 5 = h) 2 550 : 10 =

c) 100 : 5 = f) 1 250 : 5 = i) 10 000 : 10 =

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 40


41Potencias

• Una de las formas de descomponer aditivamente un número consiste en ¨separar¨ cadauno de sus dígitos según su valor posicional, luego obtener su equivalencia a unidadespara relacionarlas a través de la adición.

• Para resolver problemas que tengan más de una operación aritmética, debemos seguirel siguiente orden:

1o Se resuelven las operaciones que están entre paréntesis.2o Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.3o Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

5. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones.

a) 3 • 25 – 40 + 6 • 50 =

b) (121 : 11 + 12) • 2 – 5 • 5 =

c) 80 • 40 + 140 + 16 • 3 =

d) (12 • 12 : 4) : (24 : 4) =

e) 150 : 50 + 240 : 60 + 250 =

f) 85 : 5 + 4 • 6 + 3 • 8 – 16 : 4 + 8 : 8 =

g) 930 – 125 + 80 : 4 =

h) 14 • (45 + 12) • (26 – 5 –1) – 4 • 10 =

i) (18 + 52) – (2 + 17) – 1 + 25 • 4 =

j) (4 • 8 – 6) • 4 – 96 : 24 =

k) (1 025 – 8 • 125) : 5 =

l) 2 420 + (624 • 3 – 36 • 2) • 2 =

6. Escribe como multiplicación y resuelve. Observa el ejemplo.

2 + 2 + 2 + 2 = 4 • 2 = 8

a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

b) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =

c) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10

d) (0,2) + (0,2) + (0,2) + (0,2)


UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 41

abuelaabuelo

base

exponente

Concepto de potencia

Un árbol genealógico es una representación gráfica quemuestra los integrantes de una familia, de forma ordenada. Puede mostrar los antepasados de una personao bien, mostrar los descendientes de una persona.Completa, en tu cuaderno, un árbol genealógico como elsiguiente con los nombres de tus parientes más cercanos.

Todos tenemos un padre y una madre, que son 2 personas.Como cada padre tuvo a su vez un padre y una madre ycada abuelo tuvo a su vez un padre y una madre, entonces calculemos:

2 • 2 • 2 = 8

Luego, todos tenemos ocho bisabuelos.

Observa que la multiplicación anterior tiene el mismo factor (2) tres veces, luego se puede escribir en forma abreviada como 23.

2 • 2 • 2 = 23

Esta forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales se denomina potencia.

42 Unidad 2

PARA DISCUTIR

• ¿Cuántas personas fueron abuelos de tus abuelos?• ¿Qué indica cada número en una potencia?

papámamá

abuelaabuelo

Tu nombre

Una potencia es la multiplicación de un factor repetidas veces por sí mismo. Al factorrepetido le llamamos base y al número de veces que se repite, exponente.Ejemplo: 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81

3 4 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81

n veces valor de la potencia

Para leer una potencia: se nombra la base, se dice ”elevado a” y luego el exponente. Así, la potencia del ejemplo sería “tres elevado a cuatro”.Por convención, el valor de una potencia de exponente 1 es igual a su base.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 42

43Potencias

Unidad 2

1. Escribe cada multiplicación como una potencia. Luego, calcula su valor. Puedes usar calculadora.

a) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 c) 12 • 12 • 12 e) 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3b) 10 • 10 • 10 • 10 d) 5 • 5 • 5 • 5 • 5 f) 10 • 10 • 10 • 10 • 10

2. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor.

a) 25 b) 92 c) 181 d) 37 e) 103 f) 44

3. Escribe la potencia que corresponde y calcula su valor.

a) 3 elevado a 4 b) 2 elevado a 7 c) 5 elevado a 3 d) 12 elevado a 2

4. Andrés lleva, para su campamento, 3 cajas con 3 paquetes de 3 velas cada uno.

a) ¿Cuántas velas lleva en total?b) Si Claudia y Gonzalo también llevan esa cantidad de velas, ¿cuántas velas llevan entre

los tres?

5. Imagina que organizas una campaña solidaria con el fin de recolectar dinero para un hogar deniños. Para ello, le pides a 6 de tus compañeros $ 100 y, a su vez, los comprometes a que cada uno de ellos le pida $ 100 a otras 6 personas diferentes, y así sucesivamente.¿Cuánto dinero se recauda al finalizar el cuarto día, sabiendo que cada día se le pidió dinero a 6 personas?, ¿cómo lo calculaste?

EN TU CUADERNO

En grupos de 2 personas, cada uno calcule el valor de las potencias de la tabla. Luego comparen sus respuestas y respondan las preguntas.

1. Escriban todas las características comunes que tienen las potencias de la tabla.

2. Observen los resultados obtenidos para cada columna de la tabla, ¿qué regularidad observan?Expliquen.

3. Escriban una regla que les permita calcular rápidamente las potencias de múltiplos de 10.

EN EQUIPO

Potencias

101 201 301

102 202 302

103 203 303

104 204 304

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 43

44 Unidad 2

Diagrama de árbol

En nuestro organismo hay un tipo de bacterias que se caracterizaporque cada una de ellas se divide y forman 2 bacterias hijas idénticas. Estas, a su vez, también forman 2 bacterias hijas idénticas,y así sucesivamente. Si se comienza con 1 bacteria y dichas divisionesse producen cada 1 minuto, ¿cuántas bacterias habrá después de 3 minutos?Observa cómo podemos representar gráficamente esta situación.

Un diagrama de árbol es un tipo de representación gráfica que nos permite visualizar distintas situaciones que se resuelven mediante potencias.

NO OLVIDES QUE...

En la situación anterior, como a partir de cada bacteria nacen 2 bacterias hijas idénticas, entonces la cantidad de bacterias que haydespués de cada división corresponde a una potencia de 2. Así, eneste caso, después de 3 minutos hay 23 bacterias, es decir, 8 bacterias.

PARA DISCUTIR

• ¿Por qué podemos calcular la cantidad de bacterias con potencias de 2?• Si las bacterias se dividieran en 3 bacterias hijas idénticas cada vez,

¿cuál sería la base de las potencias?, ¿por qué?• ¿Cómo sería el diagrama de árbol en ese caso?, ¿cuántas ramas

nacerían de cada bacteria?

Minuto 0 Después de 1 minuto 21 = 2

Después de 2 minutos22 = 4

Después de 3 minutos23 = 8

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 44

45Potencias

Unidad 2

1. Dibuja un diagrama de árbol para resolver cada una de las siguientes situaciones.

a) Vicente envió un correo electrónico a dos de sus amigos contándoles acerca de un nuevojuego de estrategias. Al día siguiente, cada uno de ellos envió el correo a otros dos amigosdistintos comunicándoles esta noticia. Si esto se repite sucesivamente todos los días, ¿a cuántos niños les llega el correo el décimo día?

b) En un restaurante se ofrece un menú a elección: un plato de fondo, un agregado,un postre y algo para beber. Considerandolas alternativas que se muestran en la ilustración, ¿cuántos menús diferentes sepueden escoger?

c) En un almacén se venden dos tipos de leche: las que contienen extra calcio y las que no.Estas además pueden tener bajo contenido de grasa o un porcentaje normal. ¿Cuántas variedades puede ofrecer cada tipo de leche, si además pueden ser con y sin sabor?

d) Un juego didáctico para niños trae los siguientes cuerpos: Cada cuerpo tiene 4 tamaños y 4 colores. ¿Cuántas piezas en total tiene el juego? Expresa el resultado en potencia.

EN TU CUADERNO

MEMENÚNÚ

Plato de fondo : Carne, pollo o pescado.

Agregado : Arroz, puré o ensalada.

Postre : Helado, gelatina o fruta.

Para beber : Vino, jugo o bebida.

En esta actividad deberán utilizar un diagrama de árbol para representar una cadena de amistad.Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Elaboren una carta con frases acerca de la importancia de la amistad.2. Cada uno la copia y la envía a tres amigos o amigas (sin repetirlos). Y le pide a cada uno que

no corte la cadena y que se la envíe a otros tres amigos o amigas. Pueden enviar la carta porcorreo electrónico o entregarla por mano.

3. Elaboren un diagrama de árbol que muestre la forma en que se distribuyeron las cartas losprimeros 4 días.

4. Comenten, considerando que las personas que recibieron las cartas son distintas y todos siguieron la cadena de la amistad:• ¿Cuántas personas recibieron las cartas el segundo, tercer y cuarto día?• ¿Cuántas la recibirían el décimo día?

EN EQUIPO

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 45

46 Unidad 2

Propiedades de las potencias

Observar y descubrir propiedades y regularidades de los objetosmatemáticos que estudiamos nos permite conocerlos más y, por lotanto, trabajar de mejor manera. Te invitamos a descubrir algunasregularidades de las potencias.

Desarrolla las siguientes potencias, completa la tabla y observa loque sucede con los resultados:

PARA DISCUTIR

• ¿Cómo son los resultados de las potencias de base 2?, ¿pares o impares?

• ¿Y los resultados de las potencias de base 3?, ¿y base 6?• ¿Qué puedes concluir cuando la base de una potencia es par?• ¿Qué puedes concluir cuando la base de una potencia es impar?

Potencias de base 2 Potencias de base 3 Potencias de base 6

21 = 2 2 31 = 3 3 61 = 6 6

22 = 2 • 2 4 32 = 3 • 3 9 62 = 6 • 6 36

23 = 2 • 2 • 2 8 33 = 3 • 3 • 3 27 63 = 6 • 6 • 6 216

24 = 34 = 64 =

25 = 35 = 65 =

26 = 36 = 66 =

• El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por símisma tantas veces como lo indica el exponente, es decir:

a n = a • a • a • … • a = b

n veces valor de la potencia

• Si la base de una potencia es par, el valor de la potencia, para cualquier exponente, es par.

• Si la base de una potencia es impar, el valor de la potencia, para cualquier exponente,es impar.

NO OLVIDES QUE...

base

exponente

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 46

47Potencias

Unidad 2

Utilizando una planilla de cálculo puedes generar la secuencia de potencias de base 2, 4 y 8, por ejemplo.Para ello realiza los siguientes pasos.

1o En una hoja de ese programa, en A1 ingresa el número 1.2o Luego, con el mouse haz doble clic en A2 y anota “=2*A1”. Así, te calculará el doble del

número anotado en la celda anterior.3o Con el mouse, selecciona la celda A2, anda a su vértice inferior derecho y, cuando aparezca

una cruz negrita, arrastra hasta la celda A20. Así, deberían aparecer todas las potencias debase 2 hasta el exponente 19.

4o Repite de manera similar los pasos anteriores pero para calcular las potencias sucesivas debase 4 y 8. Utiliza las columnas B y C, respectivamente. En estos casos, en la segunda celdade cada columna debes anotar “=4*B1” y “8*C1”, donde B1 y C1 corresponden al número 1.Deberías obtener:

5o Finalmente, compara los números obtenidos en cada columna y responde1. ¿Por qué hay números que se repiten en dos o en las tres columnas, como por ejemplo,

4 096?2. Explica lo anterior escribiendo esos números como potencias. Por ejemplo:

4 096 = 84 = 46 = 212


<> A B C D

1 1 1 1

2 2 4 8

3 4 16 64

4 8 64 512

5 16 256 4 096

6 32 1 024 32 768

7 64 4 096 262 144

8 128 16 384 2 097 152

9 256 65 536 16 777 216

10 512 262 144 134 217 728

11 1 024 1 048 576 1 073 741 824

12 2 048 4 194 304 8 589 934 592

13 4 096 16 777 216 6,8719E + 10

14 … … …

resp

onde

en

tu c

uade

rno

resp

onde

en

tu c

uade

rno

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 47

48 Unidad 2

Potencias de exponente 2 y áreas

Observa los siguientes cuadrados, formados a partir de cuadraditosde lados 1 unidad.

De ellos, se obtiene la siguiente tabla:

Como puedes ver, el total de cuadraditos que forman un cuadradocorresponde al área de dicho cuadrado. Así, por ejemplo, elcuadrado de lados 2 unidades tiene área 4 u2.

Por otro lado, sabemos que el área del cuadrado se calcula multiplicando la medida de su lado por sí misma, lo que podemosanotar usando potencias.

2 • 2 = 22 = 4

Luego, las expresiones 12, 22, 32, 42, etc., se pueden representar geométricamente como el área de un cuadrado de lados 1, 2, 3, 4, etc., respectivamente.

PARA DISCUTIR

• ¿A qué medida geométrica corresponde el total de cuadraditos queforman cada cuadrado formado?

• ¿Cómo puedes expresar dicha medida con potencias?

Lado del cuadradoTotal de cuadraditos

que lo forman

1 1

Expresión numérica asociada

1 • 1

2 4 2 • 2

3 9 3 • 3

4 16 4 • 4

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 48

1. Determina el cuadrado más grande que se puede formar con un número dado de cuadraditos.Además, indica cuántos cuadraditos por lado tendría el cuadrado y cuántos cuadraditos sobran.

Ejemplo: 82 cuadraditos: 81, son 9 cuadraditos por lado y sobra 1

a) 39 cuadraditos c) 2 600 cuadraditos

b) 12 cuadraditos d) 445 cuadraditos

2. Lee la definición de un número cuadrado perfecto y responde.“Al valor que se obtiene al elevar unnúmero al cuadrado se le denomina cuadrado perfecto.

Por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto, pues 52 = 25”.Escribe todos los números naturales cuadrados perfectos menores que 200. ¿Cuántos son?

3. Resuelve en cada caso.

a) Si el área de un cuadrado es 25 cm2, ¿cuánto mide uno de sus lados?

b) Si quieren colocar en un salón 10 filas de 10 sillas cada una, ¿cuántas sillas se necesitarán?

c) Si el lado de un cuadrado mide 3 cm, ¿qué pasará con el área del cuadrado si el lado se duplica?

d) Si el lado de un cuadrado mide 2 cm, ¿qué pasará con el área del cuadrado si el lado se triplica?

49Potencias

Unidad 2

EN TU CUADERNO

Las potencias de exponente 2 se asocian al área de un cuadrado, donde:

• La base de la potencia corresponde a la medida del lado del cuadrado.

• El exponente 2 se asocia a las dos dimensiones del cuadrado: largo y ancho.

Por esta razón, se dice que la base está elevada al cuadrado. Por ejemplo, 3 elevado a 2se dice “3 al cuadrado”.

NO OLVIDES QUE...

Ciertas regularidades matemáticas nos ayudan a calcular fácilmente algunas potencias.Para calcular el cuadrado de un número terminado en 5, sigue los siguientes pasos:

• Multiplica el dígito de las decenas por su sucesor.

• Al resultado de esta operación, colócale el 25 al final del número.

Ejemplo: 352 3 • 4 = 12 352 = 1 225652 6 • 7 = 42 652 = 4 225

ESTRATEGIA MENTAL

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 49

50 Unidad 2

1. Descompón los siguientes números utilizando potencias de 10.

a) 25 532 c) 470 042 000 e) 26 190 000

b) 5 050 100 d) 33 350 f) 1 000 300 200

2. Completa en tu cuaderno con el número correspondiente a cada descomposición.

a) 2 • 103 + 5 • 101 e) 2 • 109 + 1 • 108 + 2 • 106 + 4 • 105

b) 1 • 105 + 2 • 103 + 1 • 101 + 8 • 100 f) 1 • 109 + 3 • 107 + 1 • 106 + 6 • 103

c) 5 • 107 + 2 • 105 + 8 • 104 + 5 • 103 g) 4 • 108 + 5 • 106 + 3 • 105 + 5 • 103

d) 5 • 107 + 5 • 105 + 2 • 102 + 4 • 101 h) 2 • 105 + 1 • 104 + 2 • 103 + 1 • 101

EN TU CUADERNO

Potencias de base 10 y descomposiciónde números

En años anteriores aprendiste a descomponer números de maneramultiplicativa. Así, por ejemplo, al descomponer 452 876 se obtiene:

452 876 = 400 000 + 50 000 + 2 000 + 800 + 70 + 6452 876 = 4 • 100 000 + 5 • 10 000 + 2 • 1000 + 8 • 100 + 7 • 10 + 6 • 1

Como puedes ver, hemos descompuesto el número en términos de100 000, 10 000, 1000, 100, 10 y 1, los cuales corresponden a potencias de 10. Así, podemos escribir la descomposición como:

452 876 = 4 • 105 + 5 • 104 + 2 • 103 + 8 • 102 + 7 • 101 + 6 • 100

Todo número natural se puede descomponer utilizando dígitos y potencias de 10. Por ejemplo:

2 405 = 2 • 103 + 4 • 102 + 0 • 101 + 5 • 100

2 405 = 2 • 103 + 4 • 102 + 5 • 100

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 50

51Potencias

Unidad 2

1. El triple de 37 es:

A. 311 B. 97 C. 38 D. 321

2. ¿A qué número corresponde 3 • 104 + 5 • 102 + 7 • 105 + 4 • 103 + 6 • 101?

A. 374 560 B. 743 065 C. 357 460 D. 734 560

3. Mi tía Eliana tenía una planta muy especial. Primero era solo el tallo. Al año siguiente, del tallo brotaron 4 ramitas, cada una con una flor. Un año después, de cada una de estas ramitas brotaron otras cuatro ramitas, cada una con una flor,y así, sucesivamente. ¿Cuántas flores hubo el séptimo año?

4. Francisca está planificando construir el mosaico cuadrado más grande que pueda,con las 250 baldositas que ha reunido.

a) ¿Cuál es el mosaico cuadrado más grande que puede hacer?

b) ¿Cuántas baldositas sobran?


¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómolo resolviste.

Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.

• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?

• ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómopuedes aprenderlo de manera más sencilla.

MI PROGRESO

Criterio Preguntas Respuesta correcta

Interpretar el concepto de potencia 1

Reconocer un número expresado utilizando descomposición canónica.

2

Resolver un problema, planteando y calculando una potencia con base natural.

3

Resolver un problema, reconociendo el mayor cuadrado perfecto menor que unnúmero dado.

4

resp

onde

en

tu cu

ader

no

UNIDAD 2 (38-51) 10/30/08 10:57 PM Page 51

52 Unidad 2

Potencias de base 10 y grandes números

Pon atención a los siguientes datos:• La masa de la tierra es de 6 cuatrillones de kilogramos, es decir,

6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg.• La distancia que nos separa de la nebulosa Andrómeda es

aproximadamente 95 000 000 000 000 000 000 km, es decir 95 trillones de km.

• La distancia a los confines observables del universo es,aproximadamente, 460 000 000 000 000 000 000 000 000 m, lo quese puede escribir como 4,6 • 1026 m.

Por ejemplo, escribamos el número 21 000 000 usando potencias de 10:21 000 000 = 21 • 106

Como puedes ver, las potencias de base 10 nos ayudan a escribir demanera abreviada grandes cantidades.

• ¿Cómo se podría expresar la masa de la Tierra en gramos?• ¿Cuántos metros nos separan de la nebulosa Andrómeda?• ¿Cómo podríamos escribir más fácilmente números muy grandes

como estos?• ¿Nos ayuda en este caso utilizar las potencias de 10? ¿por qué?

PARA DISCUTIR

Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique elexponente.

Ejemplo: 108 = 100 000 000Esto nos permite expresar grandes cantidades como un producto de un número natural yuna potencia de diez.Ejemplo: 74 300 000 000 = 743 • 100 000 000 = 743 • 108

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 52

53Potencias

Unidad 2

1. Escribe los siguientes números utilizando potencias de base 10.

a) 650 000 000 000 d) 4 000 000 000 000

b) 300 000 000 e) 68 000 000 000 000 000

c) 520 000 000 000 f) 7 240 000 000 000 000

2. Expresa sin utilizar potencias

a) 4 • 105 c) 8 • 105 e) 543 • 106

b) 34 • 107 d) 1010 f) 25 • 108

3. Compara los resultados en cada caso y completa, en tu cuaderno, con <, > o =, según corresponda.

a) 467 • 1021 467 • 1021 e) 98 000 000 000 98 • 106

b) 38 • 1014 38 • 1012 f) 12 • 104 12 567

c) 300 000 000 3 • 108 g) 67 • 1022 6 700 • 1019

d) 525 • 1015 5 250 • 1016 h) 423 • 1012 4 • 1015

4. Ordena de menor a mayor

a) 4 • 106, 4 • 108, 4 • 105, 4 • 107 d) 5 250 • 1016, 25 • 1017, 55 • 1018

b) 678 • 109, 6 834 • 109, 6 721 • 109 e) 473 • 1024, 48 • 1023, 47 • 1 025

c) 23 • 105, 214 • 104, 2 • 106, 22 • 105 f) 98 • 106, 89 • 107, 89 • 106

5. Averigua el significado de los prefijos usados en el sistema métrico decimal. Luego, completa lasiguiente tabla.

Prefijo Número Potencia de 10

Exa (E) 1 000 000 000 000 000 000 1018

Peta (P)

Tera (T)

Giga (G)

Mega (M)

Miria (Ma)

Kilo (K)

Hecta (H)

Deca (D)

EN TU CUADERNO

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 53

1. Calcula.

a) 457 • 100 = h) 100 • 105 =

b) 1 249 • 10 000 = i) 7,3 • 1 000 =

c) 3 • 100 000 = j) 15,29 • 10 000 =

d) 10 000 • 1 000 = k) 0,053 • 100 000 =

e) 542 • 104 = l) 14,328 • 104 =

f) 32 • 106 = m) 5,7902 • 106 =

g) 963 • 103 = n) 6,8211 • 103 =

EN TU CUADERNO

Multiplicación de un número natural odecimal por una potencia con base 10

Joaquín ha hecho un pedido de 10 paquetes de caramelos de anís,100 paquetes de caramelos de miel y 1 000 paquetes de caramelosde frutas. Cada paquete de caramelos cuesta $ 234.

También ha solicitado 10 sobres de 0,25 kg de coco rallado, 100bolsas de 0,125 kg de chocolate en polvo y 1 000 sobres de 0,015 kgde canela molida.

54 Unidad 2

PARA DISCUTIR

• ¿Cuánto paga Joaquín por los caramelos de anís?, ¿cuánto paga por losde miel?, ¿y por los de frutas?

• En total, ¿cuántos kilogramos de coco rallado obtiene?, ¿cuántoskilogramos de chocolate en polvo?, ¿y cuántos de canela molida?

• Si quisiera pedir 106 sobres de canela molida, ¿a cuántos kilogramoscorresponde?

• ¿Existe un procedimiento rápido para multiplicar un número por unapotencia con base 10? Explícalo, paso a paso.

Para multiplicar una potencia con base 10:

• por un número natural, se agrega al número tantos ceros a la derecha como indique elexponente de la potencia.

• por un número decimal, se desplaza la coma tantos lugares a la derecha como indiqueel exponente de la potencia. Si no hay cifras suficientes, se agregan ceros.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 54

2. Observa las figuras y completa en tu cuaderno.

a) b)

10 • 10 = 10 • 10 • 10 =102 = 103 =

3. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado, en cada caso. Verifica tusresultados con tu calculadora.

• ¿Qué observas?

55Potencias

Unidad 2

a b b2 a • b b • a

32 102 Criterio Criterio Criterio



1 430 103 Criterio Criterio Criterio

3,2 103 Criterio Criterio Criterio





resp

onde

en

tu c

uade

rno

resp

onde

en

tu c

uade

rno

resp

onde

en

tu c

uade

rno

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 55

EN TU CUADERNO

1. Calcula.

a) 2 457 : 100 = i) 1 000 : 105 =

b) 623 : 1 000 = j) 2,47 : 100 =

c) 18 249 : 100 000 = k) 9,3 : 1 000 =

d) 5 : 10 000 = l) 25,49 : 10 000 =

e) 1 000 000 : 1 000 = m) 0,073 : 100 000 =

f) 732 : 104 = n) 24,358 : 104 =

g) 971 : 106 = ñ) 4,8902 : 106 =

h) 4 902 : 103 = o) 7,825: 103 =

División de un número natural o decimal

por una potencia con base 10

Ignacia compró un rollo de cordón rojo, de 65 m, otro de cordónverde, de 82 m y otro de cordón amarillo, de 94 m. El cordón rojo locorta en 10 trozos iguales, el verde en 100 trozos iguales y elamarillo en 1 000 trozos iguales.

56 Unidad 2

PARA DISCUTIR

• ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón rojo?• ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón verde?• ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón amarillo?• Si quisiera cortar el cordón amarillo en 105 trozos iguales, ¿cuánto

medirá cada trozo?• ¿Existe un procedimiento rápido para dividir un número por una

potencia con base 10?, ¿lo puedes explicar?

Para dividir un número natural o decimal por una potencia con base 10, se desplaza lacoma tantos lugares a la izquierda como indique el exponente de la potencia. Si no haycifras suficientes, se agregan ceros.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 56

1. El número 325 700 000 escrito utilizando potencias de base 10 es:

A. 3 257 • 105

B. 3 257 • 108

C. 3,257 • 108

D. 32,57 • 105

2. Al dividir 3,6 · 1024 por 108, se obtiene:

A. 3,6 • 103

B. 3,6 • 1016

C. 3,6 • 1032

D. 3,6 • 1012

3. La luz viaja a una velocidad extraordinaria: recorre unos 3 · 105 km en un segundo.¿Cuántos kilómetros recorre la luz en 1 año?


¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómolo resolviste.

Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?• ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómo

puedes aprenderlo de manera más sencilla.

MI PROGRESO

57Potencias

Unidad 2

Preguntas

Representar un número natural en

notación científica.

Dividir un número natural por una

potencia con base 10.

Resolver un problema, dividiendo un

número natural por una potencia con

base 10.

1

2

3

Criterio Respuestas correctas

resp

onde en

tu cu

ader

no

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 57

58 Unidad 2

La distancia de Urano al Sol es de 3 • 1012 m y la distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km.• ¿Cuál es la menor distancia posible entre Urano y la Tierra, en kilómetros?• ¿Y cuál es la mayor distancia posible?


La distancia de la Tierra al Sol es de 150 000 000 km.La distancia de Urano al Sol es de 3 • 1012 mLa mayor distancia posible se produce cuando el Sol está entre los dos planetas, con lostres cuerpos celestes alineados.La menor distancia posible se produce cuando están alineados los dos planetas y el Sol,pero la Tierra se encuentra entre Urano y el Sol.

• ¿Qué debes encontrar? La mayor distancia posible entre Urano y la Tierra, en kilómetros.La menor distancia posible entre Urano y la Tierra, en kilómetros.


Para poder restar o sumar magnitudes, estas deben estar en la misma unidad, luegoprimero divide por 1 000 la distancia entre Urano y el Sol, así queda expresada enkilómetros.Expresa ambos números como un producto de un número natural y una potencia de 10,con el mismo exponente, el mayor posible.Expresados los números de esta manera, si la potencia con base 10 es la misma, pordistribuitividad, basta sumar o restar los números que acompañan a las potencias conbase 10. Finalmente, el resultado se expresa de la mnera más simple posible.

Resolver3 • 1012 : 1 000 = 3 • 109

150 000 000 =15 • 107

Pero 3 • 109 = 3 • 100 • 107 = 300 • 107

Entonces, 300 · 107 + 15 • 107 = (300 + 15) • 107 = 315 • 107

300 · 107 – 15 • 107 = (300 – 15) • 107 = 285 • 107

Responder• La mayor distancia posible entre Urano y la Tierra es 315 • 107 km.• La menor distancia posible entre Urano y la Tierra es 285 • 107 km.


UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 58

59Potencias


a) En Estados Unidos se producen anualmente 1 485 • 108 kg de basura. Si se reciclara, se creeque la cantidad total de basura producida sería 87 • 104 toneladas de basura. Al reciclar,¿cuántas toneladas de basura dejan de producirse anualmente?

b) En un año reciente, el departamento del Tesoro de Estados Unidos informó de la impresión delas siguientes cantidades de billetes en las denominaciones especificadas: 3 500 000 000billetes de US$ 1; 64 000 000 billetes de US$ 10; y 3 200 000 en billetes de US$ 100. Utilizapotencias de 10 para determinar cuánto dinero, en dólares, fue impreso.

c) La Luna está a unos 3 782 • 102 kilómetros de la Tierra. Un satélite orbita alrededor de laTierra, a una altitud de 3 • 104 m. Cuando están alineados los tres, con el satélite entre laTierra y la Luna, ¿cuál es la menor distancia entre el satélite y la Luna?


a) Si se estima la edad de la Tierra en 45 • 108 años y la desaparición de los dinosaurios se estimaque ocurrió hace 65 • 106 años, ¿Cuál era la edad de la Tierra al momento de la desapariciónde los dinosaurios?

b) Si la masa de los primeros cuatro planetas del Sistema Solar corresponde a: masa de Mercurio:33 • 1022 kg, masa de Venus: 487 • 1022 kg, masa de Marte: 642 • 1021 kg, masa de la Tierra:5 983 • 1021 kg, ¿cuánto sería la masa de los cuatro planetas juntos?

c) El Sol es la estrella que tenemos más cerca y está a unos 150 millones de kilómetros. Paraexpresar distancias tan grandes, el kilómetro resulta incómodo, por eso los astrónomostrabajan con otra unidad de longitud mucho mayor: el año luz. Se llama así a la distancia querecorre la luz en un año. La luz viaja a una velocidad extraordinaria: recorre unos 3 • 105

kilómetros en un segundo, y en un año, aproximadamente 946 • 1010 km.

• ¿Un año luz es mayor que diez millones de millones de kilómetros o es menor?, ¿por qué?• ¿9 billones de kilómetros es mayor o menor que un año luz?

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 59

60 Unidad 2

CONEXIONES

Junto a un compañero o compañera:1. Escriban en su cuaderno un googol.2. ¿Cómo se escribiría utilizando potencias de 10? Comenten.3. Averigüen si le han puesto nombres a algún número más grande que un googol.4. Averigüen cuál es el nombre de un googol, según los prefijos griegos habituales (kilo, hecta,

mega, etc.)5. ¿Cómo relacionarían un googol con el infinito? Comenten con su curso.








TECNOLOGÍA

Google y googol

Fuente: http://unmundobinario.wordpress.com/2008/03/13/el-origen-de-google-en-binario/


Los creadores del popular sitio de búsquedaen Internet querían un nombre para sucreación e inspirándose en la historia de laMatemática, lo hallaron en la palabra googol,creada en 1938, cuando el matemáticoEdward Kasner le preguntó a su sobrinoMilton Sirotta que cómo llamaría al número1 seguido de cien ceros, a lo que el niño denueve años respondió googol. Un googol esun número muy largo. No existe un googol de

nada en el universo, ni de estrellas, ni departículas de polvo, ni de átomos.La empresa Google confirma que su nombrese inspira en el googol y precisa que refleja lamisión de la compañía de organizar lainmensa cantidad de información disponibleen la web y en el mundo. La leyenda cuentaque se llama Google y no Googol, por unerror de ortografía al momento de inscribir elnombre.

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 60

Unidad 2SÍNTESIS

MultiplicaciónRepresentación

gráfica

Diagrama

de árbol

Aplicaciones

Potencias de 10

varias veces

61Potencias

A continuación se presenta un esquema, llamado mapa conceptual, que relaciona los principalesconceptos estudiados en la Unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con las palabras de enlaceque indican las relaciones que hay entre los conceptos.


• ¿Qué ventajas tiene el uso de potencias?

• ¿Para qué nos sirve el diagrama de árbol?

• ¿Qué utilidad tienen las potencias de 10 para representar grandes números?

• ¿Cómo multiplicas y divides por potencias con base 10?

• ¿Se puede descomponer cualquier número natural como una suma de productos entre dígitos ypotencias con base 10?

Potencias

Grandes números

Base

Problemas

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 61

62 Unidad 2

1. En una bodega hay 5 torres de 5 cajas quecontienen cada una 5 filas con 5 frascos demiel. ¿Cuántos frascos de miel hay en total?

A. 25B. 125C. 53

D. 54

2. Cierta bacteria se duplica cada 10 minutos. Sien un comienzo había 3 bacterias, ¿cuántas hayal cabo de 30 minutos?

A. 24B. 12C. 8D. 6

3. El número 10 000 000 expresado como unapotencia con base 10 es:

A. 105

B. 106

C. 107

D. 108

4. El número 45 600 000 000 escrito usandopotencias de 10 es:

A. 45,6 • 108

B. 456 • 108

C. 4,56 • 109

D. 456 • 107

5. ¿A qué número corresponde 8 • 104 + 6 • 106 + 2 • 105 + 3 • 103 + 1 • 101?

A. 628 310B. 6 283 010C. 86 231D. 862 010

6. Decide cuál de las siguientes afirmaciones esfalsa:

A. Las potencias de exponente 3 y base par,siempre dan como resultado un númeroimpar.

B. El valor de las potencias de exponente imparno siempre es un número impar.

C. Si la base de una potencia es par, el valor dela potencia, para cualquier exponente, es par.

D. Si la exponente de una potencia es par, elvalor de la potencia, para cualquier base, esimpar.

7. El resultado de 23,85 • 104 es:

A. 95,4 • 10?B. 23 850C. 0,2385D. 238 500

8. El resultado de 485 000 : 104 es:

A. 4 850 000 000B. 48,5C. 4 850D. 121 250

¿QUÉ APRENDÍ?


UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 62

Unidad 2


¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

63Potencias

9. En una fábrica de bandejas para comida se venden bandejas de aluminio, maderay plástico. Las bandejas pueden ser chicas, medianas o grandes y, además, hay deforma rectangular, cuadrada o redonda.

a) Confecciona un diagrama de árbol que muestre todos los tipos de bandejasposibles de fabricar.

b) Indica, como producto, la cantidad total de ramas del árbol.

10. Al lado de mi casa hay 2 edificios que tienen 2 pisos de alto cada uno. Cada pisotiene 2 balcones y de la baranda de cada balcón cuelgan 2 maceteros, uno tieneplantas con flores y el otro no.

a) ¿cuántas plantas hay en total?b) Si se tratara de 3 edificios de 3 pisos, con 3 balcones por piso y 3 maceteros

con plantas en cada balcón, ¿cuántas plantas hay en total?


Concepto de potencia.

Diagrama de árbol.

Propiedades de las potencias.

Potencias de 10 y grandes números.

Multiplicación y división por una potencia de 10.

Resolución de problemas.




responde en tu cu

aderno

UNIDAD 2 (52-63) 10/30/08 9:56 PM Page 63

UNIDAD

3

64 Unidad 3

Ángulos

• Reconocer y obtener la medida de ángulos opuestospor el vértice.

• Reconocer y obtener la medida de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por unatransversal.

• Comprender y obtener la medida de los ángulos interiores y exteriores en un triángulo.

• Conjeturar y comprobar propiedades respecto de la suma de las medidas de ángulos interiores y exteriores, en triángulos, cuadriláteros y polígonos.

• Distinguir los polígonos regulares e irregulares.• Comprender y obtener la medida de los ángulos

interiores y exteriores en un polígono regular.


UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 64

65Ángulos

En el arte del siglo XX, varios artistas han hecho uso delconocimiento de la geometría para pintar sus cuadros. SalvadorDalí, pintor español, tenía una gran biblioteca con libros dematemática y su conocimiento de la geometría se refleja en suscuadros. Picasso hizo uso de la simetría en muchas de sus obras.Entre los pintores chilenos, Roberto Matta también utiliza lageometría en sus cuadros y en la pintura de Matilde Pérez encon-tramos figuras geométricas plenas de significado.• ¿Qué figuras geométricas reconoces?• ¿Qué tipos de ángulos distingues en este cuadro?

CONVERSEMOS DE...

Mat

ilde

Pére

z, C

olla

ge e

n m

ader

a, 1

971.

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 65

¿CUÁNTO SABES?

66 Unidad 3

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios entu cuaderno.

1. Explica con tus palabras lo que entiendes por cada uno de los siguientes conceptos. Luego, haz un dibujo como ejemplo.

a) Una línea recta.b) Líneas paralelas.c) Líneas perpendiculares.d) Un ángulo.e) Un polígono.

2. Copia en tu cuaderno los siguientes polígonos y marca con color azul los lados, conrojo los vértices y con amarillo los ángulos interiores.

3. Escribe el nombre de los siguientes tipos de ángulos.

a) Ángulos iguales a 90º. b) Ángulos menores a 90º.c) Ángulos iguales a 180º.d) Ángulos mayores que 90º y menores que 180º.

4. Con la ayuda de un transportador, mide los siguientes ángulos.

a) c) e)

b) d) f)

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 66


67Ángulos

• Se dice que dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, ocuando son coincidentes.

• Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al intersecarse forman cuatro ángulos iguales.

• Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados,que tienen un origen común, llamado vértice.

• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.

• Un triángulo es un polígono de tres lados.

• Según la medida de sus ángulos interiores, un triángulo se puede clasificar en:

• Acutángulo: sus tres ángulos son agudos.• Obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso.• Rectángulo: uno de sus ángulos es recto.

5. Dibuja en tu cuaderno los siguientes polígonos.

a) Triángulo.b) Hexágono.c) Cuadrado.d) Romboide.

6. Dibuja en tu cuaderno:

a) Un ángulo recto.b) Un ángulo agudo.c) Un ángulo obtuso.


UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 67

Ángulos opuestos por el vértice

Observa la figura. ¿Cómo se puede demostrar que los ángulos 1 y 3tienen igual medida?

Considera el ángulo formado por los ángulos 1 y 2. Mide 180º, por que los ángulos 1 y 2 son adyacentes y los lados que no tienenen común forman una línea recta.De igual forma, el ángulo formado por los ángulos 2 y 3, tambiénmide 180º.

Entonces: �1 + �2 = �2 + �3

Pero como el ángulo 2 es el mismo, se obtiene que �1 = �3

68 Unidad 3

PARA DISCUTIR

• Al coincidir un par de lados, ¿qué ocurre con el otro par de lados?• Si se fijan en los ángulos, ¿cómo son entre ellos?• ¿Ocurrirá siempre así? Repitan el procedimiento en otra hoja de papel

y verifiquen sus respuestas.• ¿Y si las rectas forman ángulos más agudos, también se cumple?,

¿y en el caso de rectas perpendiculares? • Compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras.

¿Qué pueden concluir?

2

34

2

Un ángulo puede nombrarse con un tríode letras mayúsculas, quese refieren a tres puntosdel ángulo; el primero,perteneciente a un lado,el segundo, su vértice, yel tercero, pertenecienteal otro lado.

A yuda

En esta actividad deberán conjeturar y comprobar la relación entre las medidasde los ángulos que se forman por dos rectas secantes. Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Cada uno traza un línea recta en una hoja de papel lustre, de modo que se divida en dos partes de similar tamaño.

2. Luego, trazan otra línea recta, de modo que interseque a la anterior.

3. Plieguen la hoja de papel justo por la intersección de las rectas, de modo de hacer coincidir loslados de alguno de los cuatro ángulos formados por las dos rectas.

4. Observen y comparen los resultados obtenidos.

EN EQUIPO Materiales:• Hojas de papel

lustre de 10 x10 cm

• Lápiz• Regla

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 68

1. Copia la cerca y marca en ella los pares de ángulos opuestos por el vértice.

2. Determina 10 pares de ángulos opuestos por el vértice presentes en la siguiente figura.Luego, responde.

a) Los ángulos BGA y MGI , ¿son opuestos por el vértice? Justifica.b) Si el ángulo FEJ mide 67º, ¿cuánto mide el ángulo IED?

EN TU CUADERNO

69Ángulos

Unidad 3

• Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen un vértice en común y sus lados estánen un par de rectas que se cortan en este vértice, pero no poseen ningún punto interior común.

• Dos ángulos opuestos por el vértice tiene igual medida.

NO OLVIDES QUE...

AB C D

F

E

I

HG

N

LM K J

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 69

70 Unidad 3

Ángulos entre paralelas

La siguiente imagen representa un cruce de líneas férreas. Observalos ángulos que se forman.

Ángulos correspondientes (tienen igual medida).

1 2

5 6

3 4

7 8

11 1215 16

9 1013 14

PARA DISCUTIR

• ¿Qué tienen en común los ángulos 1 y 6?, ¿y el 2 y el 5? ¿Cómo se llaman estos pares de ángulos?

• Si el ángulo 1 mide 65º, entonces ¿cuánto mide el ángulo 2?, ¿cómolo sabes?

• ¿Qué tienen en común los ángulos 5 y 10?, ¿y los ángulos 1 y 14?• Con el transportador mide los ángulos 2 y 10. ¿Qué relación hay entre

ellos?, ¿ocurrirá lo mismo en el caso de los ángulos 5 y 13?• Ahora, mide con el transportador los ángulos 6 y 9. ¿Qué relación hay

entre ellos?, ¿por qué crees que se cumple esto? Justifica.• ¿Qué relación existe entre el ángulo 1 y el ángulo 2?, ¿ocurrirá lo

mismo en el caso de los ángulos 15 y 16?, ¿por qué crees que ocurre esto?

Si dos ángulos tienen un vértice y un lado encomún y los otros ladosforman una recta,entonces se llaman ángulos adyacentes.

� m+ � n = 180°

A yuda

mn

Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta (transversal), se forman ochoángulos, los cuales reciben nombres según su posición. Los ángulos que están marcadoscon el mismo color, en cada caso, son:

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 70

71Ángulos

Unidad 3

Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta (transversal), se forman ochoángulos, los cuales reciben nombres según su posición. Los ángulos que están marcadoscon el mismo color, en cada caso, son:

NO OLVIDES QUE...

Ángulos alternos externos(tienen igual medida).

Ángulos alternos internos(tienen igual medida).

1. Marca en cada letra un par de ángulos que tengan igual medida.

a) b) c)

2. Considerando que L1 // L2 // L3, escribe todos los pares de ángulos pedidos en cada caso.

a) Ángulos alternos internosb) Ángulos correspondientesc) Ángulos adyacentesd) Ángulos alternos externos

EN TU CUADERNO

1 2

7 8

3 4

9 10

5

L1

L4

L2 L3

6

11 12

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 71

72 Unidad 3

3. Cuando una persona sigue una trayectoria, su cambio de dirección se puede relacionar con el ángulo de giro. Por ejemplo: si una persona camina hacia el este por la Alameda y dobla hacia laAvenida Libertad, el ángulo de giro es α en sentido noreste.

Observa el siguiente plano y luego resuelve. Las calles Sargento Rebolledo y Avenida Neptunoson paralelas. Ambas interceptan a la Avenida Pajaritos. Dos personas que caminan hacia eloeste por Avenida Pajaritos, doblan hacia el norte.

a) ¿Cuál es el ángulo de giro que representa a cada una de las personas al doblar? Indica lamedida de cada uno de esos ángulos.

b) ¿Qué relación existe entre este par de ángulos?c) Copia la imagen en tu cuaderno y marca con distintos colores las parejas de ángulos

correspondientes.

4. Observa la siguiente ilustración, luego responde. El pasaje Río Frío y la calle Lago Cochrane sonparalelas y ambas interceptan la calle Lago Yelcho. Leo y Claudia se van a sus casas caminandopor Lago Yelcho en direcciones contrarias.

a) ¿Cuánto mide el ángulo de giro que representa cada uno de los recorridos hechos por Leo y Claudia?

b) ¿Qué tipo de ángulo entre paralelas representan los ángulos anteriores?c) Copia la imagen en tu cuaderno, marca con distintos lápices de colores las parejas de

ángulos alternos externos y alternos internos formados por la intersección de las calles.d) Mide cada uno de los ángulos anteriores y comprueba que tienen igual medida.

Alameda

N

S

O ELibert

ad

α

Avenida Pajaritos

Aven

ida

Nep

tuno

Sarg

ento

Reb

olle

do N

S

O E

Lago Yelcho

Pasa

je Rí

o Fr

ío

Lago

Coc

hran

e

N

S

O E

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 72

73Ángulos

Unidad 3

5. Encuentra la medida de cada ángulo indicado.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

L1 // L2 // L3 L1 // L2 y L3 // L4

L1 // L2 L1 // L2

L1 // L2 L1 // L2

L1 // L2

x

128°z

y

L3

L2

L1

L4

y

x

110° L4

L3

L1 L2

z

55°

y73°

L1

L2

L3

L1

L2

L3

x

80°n

148°

L1

L2

L3

L1

L2

L3

L1 // L2 // L3

L4

L3

L2

L1

L1

L2

L4

L3

55º

128º

35º

x

x

z

y

y

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 73

74 Unidad 3

Medida de los ángulos de un triángulo

En una cartulina dibuja un triángulo acutángulo, uno rectángulo yuno obtusángulo. Luego realiza con cada uno de ellos lo que se observa en la siguiente secuencia:

PARA DISCUTIR

• ¿Qué ángulo forma la unión de los tres ángulos interiores del triángulo?• ¿Qué puedes concluir acerca de las medidas de los ángulos interiores

de cada triángulo?• ¿Se cumple esta propiedad en todo tipo de triángulos?

1

3

2

4

En todo triángulo, la suma de la medida de los ángulos interiores es 180º.

NO OLVIDES QUE...

1. Completa la siguiente tabla.

EN TU CUADERNO

Medida de los ángulos interiores ¿Es posible construir un triángulo?

45º 90º 90º

76º 24º 80º

120º 23º 100º responde en tu cuaderno

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 74

2. Piensa, comenta y responde.

a) ¿Se puede construir un triángulo ubicando adecuadamente dos ángulos rectos?, ¿por qué?b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos obtusos? Explica.c) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos agudos? Da un ejemplo.

3. Copia en una hoja la siguiente figura.

a) Recorta los ángulos exteriores.b) Pégalos en tu cuaderno, como si fuesen ángulos adyacentes.c) ¿Qué puedes concluir respecto de la suma de los ángulos exteriores de este polígono?,

¿ocurrirá siempre lo mismo?d) Repite la actividad para tres triángulos diferentes y verifícalo. Luego, compara tus resultados

con los de tus compañeros y compañeras.

4. Completa el valor que debe tener el tercer ángulo, según sea el caso.

75Ángulos

Unidad 3

La suma de la medida de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º.

NO OLVIDES QUE...

α, β, γ, Ángulos interiores.

α’, β’, γ’ Ángulos exteriores.

α β

γγ’

α’

β’

Ángulos interiores de un triángulo

20º 60º

55º 25º

101º 12º

Ángulos exteriores de un triángulo

120º 150º

140º 170º 50º

161º 90º

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 75

76 Unidad 3

Medidas de los ángulos de uncuadrilátero

Observa los siguientes cuadriláteros:

En el caso del trapecio, podemos ver quese cumple la misma relación utilizando las propiedades de los ángulos entre paralelas. Observa.

Ya que los ángulos alternos internos tiene igual medida, podemos“trasladar” los ángulos interiores de la parte superior a sus respectivos ángulos en la parte inferior. De esta manera, lo que ten-emos son dos ángulos extendidos, es decir, la suma de las medidasde los ángulos interiores de un trapecio es 360º.

En el caso del trapezoide, puedes comprobar que se cumple lamisma relación dibujando un trapezoide en una hoja de papel yluego separando sus ángulos interiores para ordenarlos, tal como lohiciste con los triángulos, en la página 74.

PARA DISCUTIR

• ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un cuadrado?• ¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un

cuadrado?, ¿y de un rectángulo?• Y para los demás cuadriláteros, ¿se cumple lo mismo?, ¿por qué?• ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos exteriores de un rectángulo?• ¿Cuánto es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un

rectángulo?, ¿y de un cuadrado?• Y para los demás cuadriláteros, ¿se cumple lo mismo?, ¿por qué?

cuadrado rectángulo trapecio trapezoide

• La suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

• La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es 360º.

NO OLVIDES QUE...

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 76

77Ángulos

Unidad 3

1. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A. 33ºB. 47ºC. 80ºD. 100º

2. ¿Cuál de los siguientes tríos de ángulos no pueden ser las medidas de los ángulosinteriores de un triángulo?

A. 27°, 35°, 118°B. 80°, 60°, 40°C. 75°, 75°, 30°D. 28°, 49°, 102°

3. ¿Cuántos grados debe variar la recta BC para que sea paralela a la recta AD?


¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Corrígelo y explica a un compañero o compañera cómo lo resolviste.

Piensa y responde según lo que has trabajado hasta aquí.• ¿Qué es lo que más te ha gustado?, ¿por qué?

• ¿Qué consideras más difícil? Comenta con tus compañeros y compañeras cómopuedes aprenderlo de manera más sencilla.

MI PROGRESO

Criterio Preguntas Respuestas correctas

Calcular ángulos 1

Reconocer un trío de medidas de ángulosque no satisface la condición de que susuma sea 180º

2

Resolver problemas, aplicandopropiedades de ángulos entre paralelas.

3

115ºA

D C

B80º

120º

y

L2

L347°

L1

α

L2 // L3

33°

x

responde en tu cu

aderno

UNIDAD 3 (64-77) 10/30/08 9:58 PM Page 77

78 Unidad 3

Ángulos en polígonos

Observa el polígono y los ángulos que se han marcado en él.

Si tomas un vértice cualquiera y lo unes con los otros vértices puedes observar que se forman 3 triángulos.

Entonces, la suma de los ángulos se transforma en:

�1 + �2 + �3 + �4 + �5 = �a + �b + �c + �d + �e + �f + �g + �h + �i

Pero si los agrupamos por los triángulos obtenemos:

�a + �b + �i + �c + �d + �h + �e + �f + �g180º 180º 180º

Podemos ver que la suma de los ángulos interiores de esepentágono es 3 • 180º = 540º.

• Sin utilizar el transportador, ¿puedes calcular la suma de los ángulosinteriores del pentágono de la figura?

• En la segunda figura se trazaron las diagonales desde uno de susvértices. Ahora, ¿puedes calcular la suma de los ángulos interiores deeste pentágono?, ¿cómo lo harías?

PARA DISCUTIR

a

bc

de

f

gh

i

1

2

3

4

5

Desde un vérticecualquiera de unpolígono de nn lados, sepueden trazar ((nn –– 33))diagonales.Un polígono de n lados sepuede dividir en ((nn –– 22))triángulos.

A yuda

1. Sigue la misma estrategia para determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono ycompleta la siguiente tabla.

EN TU CUADERNO

PolígonoNúmero de lados

Número de triángulos en los que se subdividió

Suma de los ángulosinteriores del polígono

Triángulo 3 1 1 • 180 = 180º

Cuadrilátero 4 2 2 • 180 = 360º

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono responde en tu cuaderno

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 78

79Ángulos

Unidad 3

2. También se puede conocer la suma de los ángulos exteriores de un polígono. Considerando quela suma de todos los ángulos exteriores y los interiores de un polígono de n lados es n veces180º, calcula la diferencia entre este valor y la correspondiente suma de ángulos interiores ycompleta la siguiente tabla.

¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un polígono cualquiera? Justifica.

3. Calcula el valor de x en cada caso.

a) b) c)

4. Calcula la suma de los ángulos interiores de cada figura.

a) b) c) d)

PolígonoSuma de

ángulos interiores Suma de

ángulos exteriores

Triángulo 180º 3 • 180º – 180º = 360º

Cuadrado 360º

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

158º 130º

110º

100º

120º

130º

x

x100º

20ºx

110º

• En todo polígono de n lados, la suma de los ángulos interiores está dada por laexpresión: (n – 2) • 180°.

• La suma de los ángulos interiores más los ángulos exteriores es siempre igual a n • 180°(n: número de lados del polígono).

NO OLVIDES QUE...

responde en tu cu

aderno

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 79

Polígonos regulares

Observa los siguientes polígonos:

80 Unidad 3

PARA DISCUTIR

• Mide los lados de cada polígono, ¿qué diferencia hay entre los polígonosubicados a la derecha y los ubicados a la izquierda?

• Ahora mide los ángulos de cada polígono, ¿qué diferencia hay entre lospolígonos ubicados a la derecha y los ubicados a la izquierda?

• En los polígonos ubicados a la derecha, ¿también se cumplen laspropiedades respecto a la suma de sus ángulos? Justifica.

• Sin dibujarlo, ¿puedes calcular la medida de los ángulos interiores yexteriores de un polígono de ocho lados iguales? Explica, paso a paso,cómo lo resolviste.

• Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida desus lados, reciben el nombre de polígono regular.

• Si esto no se cumple, reciben el nombre de polígono irregular.

NO OLVIDES QUE...

Los polígonos se nombranusando los prefijosgriegos según el númerode lados que tengan, porejemplo:

La suma de un ánguloexterior e interior de unpolígono forma un ángulode 180º, es decir sonsuplementarios.

A yuda

Nº de lados

5 lados

6 lados

7 lados

8 lados

9 lados

10 lados

Nombre delpolígono

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Eneágono

Decágono

1. Mide con regla y transportador y determina cuál o cuáles de los siguientes polígonos sonregulares.

a) c) e)

b) d) f)

EN TU CUADERNO

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 80

2. Completa la siguiente tabla. Puedes apoyarte en los valores obtenidos en la tabla de la página 79.

¿Cuánto mide un ángulo interior de un polígono regular de n lados?, ¿y un ángulo exterior?Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.

81Ángulos

Unidad 3

Polígono regular

Triángulo equilátero

Número de ladosiguales

3

Medida del ángulointerior

60º

Medida del ánguloexterior

120º

Cuadrado 4 90º

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Eneágono

Decágono

• Cada ángulo interior de un polígono regular de n lados mide:

• Cada ángulo exterior de un polígono regular de n lados mide:

• Para dibujar un polígono regular, dibuja primero unacircunferencia.

• Ubica en ella los n vértices del polígono, midiendo desde elcentro de la circunferencia el ángulo correspondiente

(que mide ).

• Luego, une todos los vértices del polígono.

NO OLVIDES QUE...En el siguiente polígonose muestran sus ángulosexteriores.

A yuda

responde en tu

cuadern

o

responde en tu

cuadern

o

responde en tu

cuadern

o

(n – 2) • 180ºn

360ºn

360ºn

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 81

82 Unidad 3

Ingresa a la página http://car-regla-y-compas.uptodown.com/, encontrarás el programa Regla y Compáspara realizar la construcción de un pentágono regular. (Puedes consultar el manual de este programa enla misma página).

1o Construye un segmento cualquiera,utilizando el icono .

2o Usando el icono , construye unacircunferencia con centro en uno de lospuntos que forma el segmento y cuyoradio sea la medida del segmentoanterior.

3o Para poder construir los cinco vértices delpentágono, utiliza el icono , paramedir los ángulos con vértice en el centrode la circunferencia circunscrita. Luego deutilizar el icono anterior, debes escribir lamedida del ángulo del centro. En estecaso, 72°.

4o Luego, debes unir los cinco vérticesencontrados para formar el pentágonoregular.Para poder ver de mejor manera elpentágono y su circunferenciacircunscrita, ocultaremos algunoselementos geométricos que antesconstruimos, utilizando el icono .

5o Por último, medimos cada uno de losángulos interiores del pentágono paracomprobar que la suma de sus ángulosinteriores es igual a 540°, usando el icono .

1. Intenta construir un hexágono regular,creando tu propio procedimiento ymidiendo los ángulos interiores.

2. Construye un cuadrilátero cualquiera.Mide sus ángulos interiores. ¿Puedesmedir sus ángulos exteriores?

3. Intenta construir dos polígonos más,uno regular y otro irregular. Mide susángulos interiores.


UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 82

1. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1 080º. ¿De qué polígono se trata?

A. Pentágono. C. Heptágono.B. Hexágono. D. Octágono.

2. Si la medida de cada ángulo exterior de un polígono es 45º. ¿De qué polígono se trata?

A. Pentágono. C. Heptágono.B. Hexágono. D. Octágono.

3. ¿Cuánto mide el ángulo z?

4. ¿Cuánto mide el ángulo x?


MI PROGRESO

83Ángulos

Unidad 3

Criterio Preguntas Respuestas correctas

Reconocer la relación entre el número delados de un polígono regular y la suma de sus ángulos interiores.

1

Reconocer la relación entre el número delados de un polígono regular y la medidade sus ángulos exteriores.

2

Calcular un ángulo interior de polígono,aplicando la suma de las medidas de losángulos interiores de un polígono.

3 y 4

90º

85º50º

160º

140º

80º

110º

z

x

resp

onde

en

tu cu

ader

no

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 83

84 Unidad 3

Supongamos que tenemos un polígono regular de 8 lados, es decir, un octógono regular.¿Cuántas diagonales tiene este polígono?


La diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono.Un octógono regular tiene ocho lados.

• ¿Qué debes encontrar?La cantidad de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices.La cantidad total de diagonales que tiene el polígono.


Primero se debe calcular cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice, paracualquier polígono.Luego, se puede calcular la cantidad total de diagonales que hay en otros polígonosregulares, para así buscar la regularidad.

Resolver• Observando las figuras, se completa la tabla:

Dibujar los siguientes polígonos con sus diagonales:

Luego, en cada vértice de un polígono de n lados se pueden construir n – 3 diagonales.Además, se tienen n vértices, entonces puedo dibujar n • (n – 3) diagonales. Sin embargo,cada vez que se dibujan todas las diagonales posibles desde todos los vértices, se repitedos veces cada diagonal.


Polígono regular

Triángulo equilátero

Número de vérticesNúmero de diagonales

desde un vértice

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

3

4

5

6

0

1

2

3

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 84

85Ángulos

Entonces, la cantidad de diagonales de un polígono de n lados está dada por la expresión

n •

Para el caso de un polígono de 8 lados tenemos:

8 • = = 20

Responder• Por lo tanto, un octógono regular tiene 20 diagonales.

Revisar• Comprueba el resultado obtenido, dibujando en tu cuaderno un octógono y todas sus

diagonales.

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.

a) ¿En cuántos triángulos se puede dividir un hexadecágono regular, es decir, un polígonoregular de 16 lados? ¿Qué pasa en el caso de un tridecágono regular (13 lados)?

b) Calcula la cantidad de diagonales totales de un decágono regular (10 lados) y de unheptadecágono regular (17 lados). Si estos no fueran polígonos regulares, ¿tendrían la mismacantidad de diagonales?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tuscompañeros y compañeras.

3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) Busca una regularidad que te permita saber la cantidad de cuadriláteros en los que se puededividir un polígono con una cantidad par de lados.

b) Busca una regularidad que te permita saber la cantidad de cuadriláteros en los que se puededividir un polígono que tenga un número impar de lados.

(n – 3)2

402

(8 – 3)2

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 85

86 Unidad 3

CONEXIONES

1. ¿En qué situaciones medir con un medidor de ángulos digital es de utilidad?, ¿por qué?2. ¿En que situaciones un transportador es más útil que este medidor de ángulos?, ¿por qué?3. ¿Para qué profesiones u oficios este medidor de ángulos es una herramienta de trabajo?,

¿por qué?








TECNOLOGÍA

Lectura instantánea de ángulos en una ampliapantalla de LCD

Fuente: www.construnario.com/notiweb/titulares_resultado.asp?regi=18159,

(consultado el 12 de octubre de 2008).


Varios fabricantes fabricante de herramientaseléctricas portátiles, añade el nuevo medidor deángulos digital a su gama de herramientas demedición inteligente.Con el este nuevo instrumento puede medir unaamplia escala de ángulos, de 0° a 220°. Lo únicoque se necesita es abrir la pata desplegablehasta la posición deseada y el ángulocorrespondiente aparece al instante en lapantalla de LCD. Esta pata puede ser usada también como regla. Para una nivelaciónconvencional, ya sea vertical u horizontal, la herramienta viene equipada con dos burbujasde nivel.

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 86

87Ángulos

Unidad 3SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptosestudiados en la unidad. Completa con los términos que correspondan.


1. ¿Cómo probarías que un par de ángulos alternos internos tienen igual medida, sin utilizarinstrumentos de medición? Compara tu respuesta con la de tus compañeros y compañeras.

2. ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de 7 lados?

3. ¿Cuántos lados tiene un decágono regular? ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores?,¿y cada uno de sus ángulos exteriores?

Ángulos

Correspondientes

Alternos

entre

pueden ser

Opuestos por elvértice

Suma de las medidasde ángulos exteriores

Suma de las medidasde ángulos interiores

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 87

88 Unidad 3

¿QUÉ APRENDÍ?


A45º

BD

α

E

B D

CA

x

y

65º

40º

L1

L2

L3

y

x

75º

A B

D C

120°45°

80°x

50°

α δ

β γ

150º

110º

108º 88º

D

C

BA

E

1. Si AB // ED, entonces el ��α mide:

A. 35ºB. 145ºC. 135ºD. Falta información.

2. Considera AB // CD y L1 // L2 // L3.¿Cuánto miden x e y?

A. x = 115º, y = 65ºB. x = 40º, y = 40ºC. x = 105º, y = 65ºD. x = 115º, y = 40º

3. Si ABCD es un rectángulo, entonces ��x e ��ymiden:

A. x = 75; y = 150B. x = 105; y = 75C. x = 75; y = 105D. x = 15; y = 105

4. En el paralelogramo de la figura, las medidasde los ángulos δ y γ cumplen la propiedad:

A. Suman 90º.B. Son iguales.C. Suman 180º.D. Ninguna de las anteriores.

5. La medida del ángulo EDC es:

A. 540ºB. 456ºC. 92ºD. 84º

6. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A. 65°B. 185°C. 245°D. 425°

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 88

Unidad 3


¿QUÉ LOGRÉ?

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

89Ángulos

7. Encuentra la medida de los ángulos, sabiendo que L1 // L2.


Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos entre paralelas

Medidas de los ángulos en un triángulo

Medidas de los ángulos en un polígono

Polígonos regulares

Resolución de problemas




responde en tu cu

aderno

65°

64°

72°L1

L2

L3

x

y

z

UNIDAD 3 (78-89) 10/30/08 9:57 PM Page 89

Documents

6to basico santillana parte 1 - alumno