18
7 Flächenberechnungen mit dem Integral - Übungen ================================================================== 1 Nullstellen: f(x) = x 2 + x - 5 16 = 0 x = - 1 ± 1 + 415 16 2 = - 1 ± 3 2 2 x = - 5 4 x = 1 2 Erstes Flächenstück: 1 4 - 5 4 (x 2 + x - 5 16 )dx = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 - 5 16 x 1 4 - 5 4 = = 1 3 1 64 + 1 2 1 16 - 5 16 1 4 - 1 3 ( - 125 64 ) + 1 2 25 16 - 5 16 ( - 5 4 ) = - 1 24 - 25 24 = - 13 12 Also A 1 = 13 12 Zweites Flächenstück: 1 1 4 (x 2 + x - 5 16 )dx = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 - 5 16 x 1 1 4 = 1 3 + 1 2 - 5 16 - - 1 24 = 9 16 Also A 2 = 9 16 Damit ist A = 13 12 + 9 16 = 79 48 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7 Flächenberechnungen mit dem Integral - Übungen · 7 Flächenberechnungen mit dem Integral - Übungen ===== 1 Nullstellen: f(x) = x2 + x − 5

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7 Flächenberechnungen mit dem Integral - Übungen ================================================================== 1

Nullstellen:

f(x) = x2 + x − 5

16 = 0 ⇔ x =

− 1 ± 1 + 4⋅1⋅ 5

16

2 =

− 1 ± 3

2

2 ⇔ x = − 5

4 ∨ x =

1

2

Erstes Flächenstück:

1

4

− 5

4

(x2 + x − 5

16)dx =

1

3x3 + 1

2x2 − 5

16x

1

4

− 5

4

⌠⌡

=

= 1

3⋅ 1

64+ 1

2⋅ 1

16− 5

16⋅ 1

4

1

3⋅( − 125

64) + 1

2⋅ 25

16− 5

16⋅( − 5

4)

= − 1

24− 25

24 = − 13

12

Also A1 = 13

12

Zweites Flächenstück:

1

1

4

(x2 + x − 5

16)dx =

1

3x3 + 1

2x2 − 5

16x

1

1

4

⌠⌡

= 1

3+ 1

2− 5

16

− − 1

24

=

9

16

Also A2 = 9

16

Damit ist A = 13

12+ 9

16 =

79

48

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

π4

− π2

cosxdx = sinx

π4

− π2

= 1

22⌠

⌡ − ( − 1) = 1 + 1

22

π4

0

sinxdx = − cosx

π4

0 = − 1

22 + 1⌠

und damit A1 = 1 + 1

22 − 1 − 1

22

= 2

5π4

π4

(sinx − cosx)dx = − cosx − sinx

5π4

π4

= 1

22 + 1

22

− − 1

22 − 1

22

= 2 2⌠

Also A2 = 2 2

Hat im auf dem Intervall definierte und stetige Funktion f zwischen a und b keine Null-a; b

stelle, dann gilt für den Inhalt der Fläche , die der Graph von f von a bis b mit der x-Ach-Aa(b)

se einschließt

Aa(b) =

b

a

f(x)dx⌠⌡

Liegen zwischen a und b Nullstellen von f, dann müssen die Inhalte die Teilflächen einzeln

bestimmt und addiert werden.

___________________________________________________________________________

3 Flächenberechnungen

a) f(x) = 1

2x3 − 2x = 0 ⇔

1

2x⋅(x2 − 4) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − 2 ∨ x = 2

0

−1

(1

2x3 − 2x)dx =

1

8x4 − x2

0

−1

= ⌠⌡

− 1

8− 1

=

7

8

2

0

(1

2x3 − 2x)dx =

1

8x4 − x2

2

0

= ⌠⌡

2 − 4 = − 2

3

2

(1

2x3 − 2x)dx =

1

8x4 − x2

3

2

= ⌠⌡

81

8− 9

− 2 − 4

= 3

1

8

A−1(3) =

7

8+ 2 + 3

1

8 = 6

b) f(x) = − 2x2 − 2x + 4 = 0 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = − 1 ∨ x = 2

−2

−3

( − 2x2 − 2x + 4)dx = − 2

3x3 − x2 + 4x

−2

−3

= 16

3− 4 − 8

⌠⌡

− 18 − 8 − 12

= − 14

3

2

−2

( − 2x2 − 2x + 4)dx = − 2

3x3 − x2 + 4x

2

−2

= − 16

3− 4 + 8

⌠⌡

− 16

3− 4 − 8

=

16

3

3

2

( − 2x2 − 2x + 4)dx = − 2

3x3 − x2 + 4x

3

2

= ⌠⌡

− 18 − 9 + 12

− − 16

3− 4 + 8

= − 41

3

A−3(3) =

131

3

c) f(x) = 4x

x2 + 3− 1 = 0 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3

1

0

(4x

x2 + 3− 1)dx = 2⋅ln(x2 + 3) − x

1

0

= 2⋅ln4 − 1

− 2⋅ln3 − 0

= 2⋅ln 4

3− 1⌠

3

1

(4x

x2 + 3− 1)dx = 2⋅ln(x2 + 3) − x

3

1

= 2⋅ln12 − 3

− 2⋅ln4 − 1

⌠⌡

= 2⋅ln3 − 2

5

3

(4x

x2 + 3− 1)dx = 2⋅ln(x2 + 3) − x

5

3

= 2⋅ln28 − 5

− 2⋅ln12 − 3

⌠⌡

= 2⋅ln 7

3− 2

A0(5) = − 2⋅ln 4

3− 1

+ 2⋅ln3 − 2

− 2⋅ln 7

3− 2

= 1 + ln

27

28 ≈ 0,9652

d) f(x) = 1

2x3 − 1,5x2 − 2x = 0 ⇔ x3 − 3x2 − 4x = 0 ⇔ x⋅(x2 − 3x − 4) = 0

x = − 1 ∨ x = 0 ∨ x = 4

−1

−2

(1

2x3 − 1,5x2 − 2x)dx =

1

8x4 − 1

2x3 − x2

−1

−2

= 1

8+ 1

2− 1

− 2 + 4 − 4

= − 2

3

8⌠⌡

0

−1

(1

2x3 − 1,5x2 − 2x)dx =

1

8x4 − 1

2x3 − x2

0

−1

= 0 − 1

8+ 1

2− 1

=

3

8⌠⌡

3

0

(1

2x3 − 1,5x2 − 2x)dx =

1

8x4 − 1

2x3 − x2

3

0

= ⌠⌡

81

8− 27

2− 9 = − 12

3

8

A−2(3) = 15

1

8

e) f(x) = 2⋅sin(2x) − 2 ≤ 0

2

−1

(2⋅sin(2x) − 2)dx = − cos(2x) − 2x

2

−1 = − 4 − cos4

− 2 − cos( − 2)

⌡=

= cos2 − cos4 − 6 ≈ − 5,7625

f)

0

−3

0,25⋅ x + 4dx = 1

6(x + 4)

3

0

−3

⌠⌡

= 4

3− 1

6 =

7

6

g) f(x) = 0 ⇔ x = 0,5

0,5

−1

− 2⋅(x − 0,5)⋅ex−x2

dx = ex−x2

0,5

−1

= e0,25⌠⌡

− e−2

1

0,5

− 2⋅(x − 0,5)⋅ex−x2

dx = ex−x2

1

0,5

= e0⌠⌡

− e0,25

A−1(1) = e0,25 − e−2

− 1 − e0,25

= 2⋅e0,25 − e−2 − 1 ≈ 1,43272

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 Flächeneinschluss mit der x-Achse

a)

2

0

[x⋅(4 − x2)]dx =

2

0

(4x − x2)dx = 2x2 − 1

3x3

2

0

= 16

3 ⇒ A = 2⋅ 16

3 = 10

2

3q⌠⌡

⌠⌡

b)

3

1

[(x − 2)2⌠

⌡− 1]dx =

3

1

(x2 − 4x + 3)dx = 1

3x3 − 2x2 + 3x

3

1

= 9 − 18 + 9

1

3− 2 + 3

=⌠

= − 4

3 ⇒ A =

4

3

c)

2

0

( − x2 + 2)dx = − 1

3x3 + 2x

2

0

= − 2

32⌠

⌡+ 2 2 =

4

32 ⇒ A =

8

32

d)

2+ 3

2− 3

(x + 1

x− 4)dx =

1

2x2 + lnx − 4x

2+ 3

2− 3

= ⌠⌡

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5 Flächengleichheit

a)

k

0

( − 0,5x + 2)dx = − 1

4x2 + 2x

k

0

= − 1

4k2 + 2k = 0 ⇒ < x = 0 > ∨ x = 8 ⌠

b)

k

0

(x2 − 2x − 3)dx = 1

3x3 − x2 − 3x

k

0

= 1

3k3 − k2 − 3k = 0⌠

k⋅( 1

3k2 − k − 3) = 0 ⇔ k = 0 ∨ k2 − 3k − 9 = 0 ⇔ k = 0 ∨ k =

3 ± 3 5

2

Sinnvolle Lösung: k = 3

2+ 3

25

c)

k

0

(x3 − 1)dx = 1

4x4 − x

k

0

= 1

4k4 − k = 0⌠

Sinnvolle Lösung: k = 3

4

d)

k

0

(x3 + 3

2x − 2)dx =

1

4x4 − 3

4x

2− 2x

k

0

= ⌠⌡

1

4k4 − 3

4k

2− 2k = 0

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6 Fläche zwischen zwei Graphen

a)

2

−1

(0,1x2 + 2 − x + 1)dx = 1

30x3 − 1

2x2 + 3x

2

−1

=⌠⌡

4

15− 2 + 6

− − 1

30− 1

2− 3

= 7,8

b)

5

e

(lnx − 1

x)dx = ⌠

⌡x⋅lnx − x − 1

x

5

e

= 5⋅ln5 − 5 − 1

5

− e − e − 1

e

= 5⋅ln5 − 5,2 + 1

e ≈ 3,2

c)

4

0

( x + 2 − e−0,2x + 1)dx = 2

3⋅ (x + 2)

3 + 5⋅e−0,2x + x

4

0

= ⌠⌡

= 4 6 + 5e−0,8 + 4

4

32 + 5

≈ 9,16

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7

a) g'(x) = x ⇒ g'(3) = 3

Tangentengleichung: y = 3⋅(x − 3) + 4,5 = 3x − 4,5

Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse: x = 1,5

A1 =

3

0

0,5x2dx = 1

6x3

3

0

= 4,5⌠⌡

A2 = 1

2⋅1,5⋅4,5 =

27

8 = 3,375

A = A1 −A2 = 1,125

b) g'(x) = 4⋅(x − 2)3 ⇒ g'(0) = − 32

Tangentengleichung: y = − 32⋅x + 16

Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse: x = 0,5

A1 =

0

(x − 2)4dx =

1

5⋅(x − 2)

5

2

0

= ⌠⌡

32

5 = 6,4

A2 = 1

2⋅0,5⋅16 = 4

A = A1 −A2 = 2,4

c) g'(x) = − 2⋅x−3 ⇒ g'(0,5) = − 16

Tangentengleichung: y = − 16⋅(x − 0,5) + 3,75 = − 16x + 11,75

Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse: x = 47

64

A1 =

2

0,5

(x−2 − 0,25)dx = − x−1 − 0,25x

2

0,5

= − 1

2− 0,5

− − 2 − 0,125

= 1,125⌠

A2 = 1

2⋅ 15

64⋅ 15

4 =

225

512

A = A1 −A2 = 351

512

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8 Fläche zwischen zwei Graphen

a)

Schnittstellen:

x2 = − x2 + 4x ⇔ 2x2 − 4x = 0 ⇔ 2x⋅(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2

2

0

[x2 − ( − x2 + 4x)]dx =

2

0

(2x2 − 4x)dx = ⌠⌡

⌠⌡

2

3x3 − 2x2

2

0

= − 8

3 ⇒ A =

8

3

b)

Schnittstellen:

x + 0,5x2 = x3 + x2 − 2x ⇔ x3 + 0,5x2 − 3x = 0 ⇔ x⋅(x2 + 0,5x − 3) = 0

⇔ x = 0 ∨ x2 + 0,5x − 3x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − 2 ∨ x = 1,5

0

−2

[(x3 + x2 − 2x) − (x + 0,5x2)]dx =

0

−2

(x3⌠⌡

⌠⌡

+ 0,5x2 − 3x)dx = 1

4x4 + 1

6x3 − 3

2x2

0

−2

=

= 0 − 4 − 4

3− 6

=

10

3

1,5

0

(x3⌠⌡

+ 0,5x2 − 3x)dx = 1

4x4 + 1

6x3 − 3

2x2

1,5

0

= 81

64+ 9

16− 27

8 = − 99

64

A = 10

3+ 99

64 =

937

192 = 4

169

192

c)

Schnittstellen:

1

4⋅(x + 2)⋅(x − 1)

2 = 0,5 ⇔ (x + 2)⋅(x2 − 2x + 1) = 2 ⇔ x3 − 3x + 2 = 2

⇔ x = − 3 ∨ x = 0 ∨ x = 3

3

0

[f(x)⌠⌡

− g(x)]dx =

3

0

(⌠⌡

x3 − 3x)dx = 1

4x4 − 3

2x2

3

0

= 9

4− 9

2 =

9

4

A = 2⋅ 9

4 = 4,5

d)

Schnittstellen:

− 1

x2 = 2,5x − 5,25 ⇒ 2,5x3 − 5,25x + 1 = 0

Erraten: x = 2 → (2,5x3 − 5,25x2 − 1):(x − 2) = 2,5x2 − 0,25x − 0,5

2,5x2 − 0,25x − 0,5 = 0 ⇔ x = − 0,4 ∨ x = 0,5

2

0,5

(2,5x − 5,25 + 1

x2)dx =

5

4x2 − 21

4x − 1

x

2

0,5

= 5 − 10,5 − 0,5

5

16− 21

8− 2

=⌠

= − 1,6875 ⇒ A = 1,6875

e)

Schnittstellen: x = 2 ∨ x = 3

1

0

(x − x2)dx = 1

2x2 − 1

3x3

1

0

= 1

2− 1

3 =

1

6 ⇒ A = 2⋅ 1

6 =

1

3⌠⌡

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9 Flächenstücke

a) Gleichungen der beiden Geraden: und wie angegeben . y = 1

2x − 1

2y = x − 4

Durch Einsetzen lässt sich zeigen, dass , und die "Eckpunkte" des − 1 | 1

3 | − 1

7 | 3

Flächenstücks sind.

A1 =

3

−1

( x + 2 + 1

2x − 1

2)dx =

2

3(x + 2)

3

2 + 1

4x2 − 1

2x

3

−1

⌠⌡

=

= 10

35 + 9

4− 3

2

2

3+ 1

4+ 1

2

=

10

35 − 2

3

A2 =

7

3

( x + 2 − x + 4)dx = 2

3(x + 2)

3

2 − 1

2x2 + 4x

7

3

⌠⌡

=

= 18 − 49

2+ 28

− 10

35 − 9

2+ 12

= 14 − 10

35

A = A1 +A2 = 131

3

b) Tangente: y = 1

2⋅(x − 5) + 1,5 =

1

2x − 1

Parabel: y = 1

8⋅(x − 3)

2 + 1 = 1

8x2 − 3

4x + 27

8

A =

5

0

(1

8x2 − 3

4x⌠

⌡+ 17

8− 1

2x + 1)dx =

5

0

(1

8x2 − 5

4x⌠

⌡+ 25

8)dx =

1

24x3 − 5

8x2 + 25

8x

5

0

=

= 125⋅ 1

24− 1

8+ 1

8

=

125

24 = 5

5

24

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10 Parameterabhängige Fläche

a) A(t) =

2

1

t

x2dx = ⌠

2

1

t⋅x−2dx⌠⌡

= − t⋅x−1

2

1

= − t

2+ t =

t

2

t

2 = 8 ⇒ t = 16

b) Nullstellen: x2 − t2 = 0 ⇔ x = − t ∨ x = t

t

0

(x2 − t2)dt = 1

3x3 − t2x

t

0

= 1

3t3 − t3 = − 2

3t3 ⇒ A(t) = ⌠

⌡4

3t3

4

3t3 = 36 ⇒ t = 3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11 Parabel

a) und damit p(2) = 2⋅(4 − 2) = 4 S 2 | 4

b) A =

4

0

x⋅(4 − x)dx =

4

0

(4x − x2)dx = 2x2 − 1

3x3

4

0

⌠⌡

= 32

3 = ⌠

⌡10

2

3

A − U4

A =

102

3− 6

102

3

= 7

16 = 43,75%

c) s.o.

d) Die Fläche liegt im 4.Quadranten, wenn Steigung der Geraden nichtnegativ und klei-

ner als die Steigung der Tangente an den Graphen von p im Punkt ist O 0 | 0

p'(x) = 4 − 2x ⇒ p'(0) = 4

Es muss also sein, damit die eingeschlossene Fläche kleiner im I.Quadranten liegt. 0 ≤ a < 4

e) Abszissen (= x-Koordinaten) der Schnittpunkte:

4x − x2 = ax ⇔ x⋅(4 − a − x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x ) = a − 4

A(a) =

4−a

0

(4x − x2 − ax)dx = ⌠⌡

4−a

0

[(4 − a)⋅x − x2]dx = ⌠⌡

(4 − a)⋅ 1

2x2 − 1

3⋅x3

4−a

0

=

(4 − a)⋅ 1

2⋅(4 − a)

2 −

1

3⋅(4 − a)

3 =

1

6⋅(4 − a)

3

AOPQ = 4,5

g) A(x) = 1

2⋅x⋅p(x) = 2x2 − 1

2x3 ⇒ A'(x) = 4x − 3

2x2 = 0 ⇒ x = 0 ∨ x =

8

3

A''(x) = 4 − 3x ⇒ A''(8

3) = − 4 < 0

Also liegt für ein Maximum des Flächeninhalts vor. x = 8

3

Wegen erhält man für oder Minima des Inhalts. A(0) = A(4) x = 0 x = 4

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12 Beton

a) Koordinatensystem:

Ansatz für die Gleichung der Parabel: y = a⋅x2

eingesetzt: P 40 | 80

80 = a⋅402 ⇒ a = 1

12

40

0

(80 − 1

20⋅x2)dx = 80x − 1

60x3

40

0

= 6400

3⌠⌡

Querschnittsfläche: A = 100 dm2 − 2⋅ 64

3 dm2 = 57

1

3 dm2

Volumen: V = 5731

3 dm3

Masse: m ≈ 1,32 t

b)

Ansatz für die Gleichung der Parabel: y = 250 − a⋅x2

eingesetzt: P 100 | 0

0 = 250 − a⋅1002 ⇒ a = 1

40

100

0

(250 − 1

40⋅x2)dx = 250x − 1

120x3

100

0

= 50000

3⌠⌡

Querschnittsfläche: A = 14 m2 − 1 m2 − 2⋅ 5

3 m2 = 9

2

3 m2

Volumen: V = 972

3 m3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13 Flächengleichheit

a)

a

0

1

4x2dx = ⌠

4

a

1

4x2dx ⇔

1

12⌠⌡

a3 = 1

12⋅43 −

1

12⋅a3

⇔ a3 = 32 ⇒ a = 2

34

b) 1

4x2 = a ⇒ x = − 2 a ∨ x = 2 a

4

2 a

(1

4x2 − a)dx =

1

12x3 − ax

4

2 a

⌠⌡

= 16 − 4a

4

3a a − 2a a

= 32

16 − 4a + 2

3a a = 32

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

14 Funktionenscharen

a) fa(x) = 1

ax2 − a = 0 ⇔ x2 = a ⇔ x = − a ∨ x = a

b) fa( − x) = 1

a⋅( − x)

2 − a = 1

a⋅x2 − a = fa(x)

ha( − x) = 1

3⋅( − x)

2 − 1

3a2 =

1

3⋅x2 − 1

3a2 = ha(x)

c) ha(x) = 1

3x2 − 1

3a2 = 0 ⇔ x = − a ∨ x = a

d)

a

0

[(1

ax2 − a) − (

1

3x2 − 1

3a2)]dx = ⌠

⌡1

3ax3 − ax − 1

9x3 + 1

3a2x

a

0

= a2

3− a2 − 1

9a3 + 1

3a3 =

= 2

9a3 − 2

3a2

A(a) = 2⋅ 2

9a3 − 2

3a2 = 4

9a3 − 4

3a2

4

9a3 − 4

3a2 = 0 ⇔ a = 0 ∨ a = 3

− ∞ < x < 0 0 < x < 3 3 < x < ∞

4

9a3 − 4

3a2 − − +

d.h. für gilt 0 < a < 3

A(a) = 4

3a2 − 4

9a3 ⇒ A'(a) =

8

3a − 4

3a2 = 0 ⇒ < a = 0 > ∨ a = a = 2

Es liegt ein Maximum des Flächeninhalts vor.

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