7_ Modelovanje susenja vazduhom.pdf

8/19/2019 7_ Modelovanje susenja vazduhom.pdf

1/53

118

7. MODELOVANJE SUŠENJA VAZDUHOM

Sušenje je glavni postupak za konzerviranje prehrambenih proizvoda. Kada se vlagauklanja iz nekog materijala dovođenjem toplote, koje je praćeno isparavanjem vode, reč

je o termičkom sušenju materijala. Ako se kao nosioc potrebne energije za isparavanjevlage i istovremeno medijum koji prihvata vlagu, koristi neki gasoviti agens koji struji okomaterijala, za takvo termičko sušenje se koristi termin konvektivno sušenjene (Valent,2001). Najčešće korišćen agens za sušenje, posebno u prehrambenoj tehnologiji,

je nezasićen vazduh.

7.1 Ravnotežni sadržaj vlage u materijalu

Dva su uobičajena načina definisanja sadržaja vlage u nekom materijalu. Jedan je:maseni odnos vlage i suve materije, tj. količina vlage (kg) na 1 kg suve materije:

sm

w

m

m X = (7.1a)

−smw

mm , masa prisutne vlage u materijalu i odgovarajuća masa

suve materije

i naziva se vlažnost u odnosu na suvu osnovu (dry basis moisture content ). Drugi je: maseni udeo vlage u vlažnom materijalu , tj. količina vlage (kg) na 1 kg materijala:

( )10


2/53

119

• relativne vlažnosti vazduha, definisane kao količnik parcijalnog pritiska vlage uvazduhu i napona pare vode na datoj temperaturi.

• Kao vlažan materijal mi ovde posmatramo neku tečnu ili čvrstu prehrambenunamirnicu (voće, povrće, sokovi, mleko, žitarice, različiti proizvodi ).

U slučaju tečne namirnice, pod pretpostavkom da se ona ponaša kao

termodinamički idelan rastvor, odnos ravnotežnih koncentracija vode u vazduhu i unamirnici opisan je Raulovim zakonom:

p

T p

x

y w

w

w )(0

= (7.2)

ili,

)(0 T p x p y p wwww == (7.2a)

gde su: − pT , temperatura i pritisak vazduha, K, Pa

0w

p - napon pare vode, Pa

−w x molski udeo vode u namirnici, -

−w

y molski udeo vodene pare u vazduhu, -

−w p parcijalni pritisak vodene pare u vazduhu, Pa

Aktivnost vode u namirnici

Za realne rastvore neophodno je korigovati Raulov zakon (7.2a) množenjem sa

koeficijentom aktivnosti vode u rastvoru wγ :

0wwww

p x p γ= (7.3)

pri čemu za koeficijent aktivnosti, koji zavisi od temperature i sastava rastvora važigranična vrednost:

1lim1

=γ→

w xw

(7.3a)

Zavisnost koeficijenta aktivnosti vode u tečnoj namirnici od njenog sastava se možeopisati jednostavnom jednoparametarskom jednačinom (Toledo, 1991):

( )21ln ww xk −−=γ (7.4)

Proizvod wa , molskog udela vode i njenog koeficijenta aktivnosti se naziva aktivnost

vode u namirnici:

www xa γ= (7.5)


3/53

120

i njena veza sa parcijalnim pritiskom vodene pare u vazduhu u stanju ravnoteže je prema(7.3):

0www

pa p = (7.6)

Jednačina (7.6) se, u istom obliku, primenjuje i na čvrste namirnice. Tako,

aktivnost vode u nekoj čvrstoj namirnici direktno dobijamo mereći relativnu vlažnostvazduha, ϕ koji je u ravnoteži sa namirnicom, jer iz (7.6) sledi:

ϕ==0w

ww

p

pa (7.7)

Aktivnost vode je važna veličina stanja namirnice jer se sa njenim porastomintenzifikuju procesi kvarenja hrane (opširnije Toledo, 1991 i Vereš, 2004)

Sorpciona izoterma

Na konstantnom pritisku i temperaturi, ravnotežni sadržaj vlage (suva osnova) unekom materijalu

s X (sadržaj vlage kada je materijal zasićen vlagom - saturated ) se

menja sa promenom relativne vlažnosti ϕ okolnog vazduha po krivoj koju zovemosorpciona izoterma.Sorpciona izoterma se praktično dobija tako što se postepeno, počevod suvog vazduha )0( =ϕ menja relativna vlažnost vazduha konstantnog pritiska (običnoatmosferski) i temperature. Za svaku vlažnost vazduha meri se, pošto se uspostaviravnoteža (tj. ne menja se više sa vremenom masa uzorka hrane), masa uzorka i iz razlikemasa vlažnog i suvog uzorka određuje sadržaj vlage s X za tu relativnu vlažnost vazduha.

Izgled sorpcione izoterme za neku namirnicu dat je dijagramom na na slici 7.1. Onaima oblik slova S . Na krivoj se mogu locirati tri karakteristične tačke: A,B i C, koje

izotermu dele na tri oblasti u kojima se razlikuje mehanizam sorpcije.Tačka C odgovara maksimalnoj higroskopnoj vlažnosti date namirnice:

60.0, =maxs X . Neki materijal može sadržati i više vlage od te maksimalne higroskopne i

taj višak vlage predstavlja slobodnu vlagu, koja nije vezana nikakvim sorpcionim nitiznačajnijim kapilarnim silama za skelet materijala. Ona ispunjava makrokapilare umaterijalu i pokriva njegovu površinu. Na datom dijagramu slobodnoj vlagi odgovara dužCD. Energija za uklanjanje slobodne vlage, koja se prvo uklanja u procesu sušenja,

jednaka je latentnoj toploti isparavanja vode.

Tačka A predstavlja prevojnu tačku sorpcione krive. U oblasti 0A (na datomdijagramu joj odgovara interval relativne vlažnosti: 28.00 ≤ϕ≤ ), vlaga je vezana umonomolekulskom sloju za površinu kapilara u materijalu, adsorpcionim silama. Dakle,nema vlage u tečnom stanju. Monomolekulska adsorpcija vlage je egzoterman proces, satoplotom adsorpcije reda veličine kgkJ 310 . Energija potrebna za odstanjivanje ove vlage

jednaka je zbiru latentne toplote isparavanja vode i toplote adsorpcije vlage.

U oblasti AB (na dijagramu: 75.028.0 ≤ϕ< ), vlaga je vezana za skelet materijalakapilarnom kondenzacijom i polimolekulskom (višeslojnom) adsorpcijom. Molekulivode u slojevima su vezani silama koje potiču od polarnosti molekula vode za prethodnoformiran monosloj. Kako su sorpcione sile u ovoj oblasti znatno slabije nego u


4/53

121

prethodnoj i toplota potrebna za odstanjivanje ove vlage u znatno manjem iznosuprevazilazi latentnu toplotu isparavanja vode.

U oblasti BC, u kojoj se zapaža povećanje nagiba izoterme, kondenzovana vlagaispunjava makrokapilare i mali deo te vode je vezan kapilarnim silama, pa je toplotapotrebna za njeno uklanjanje neznatno veća od latentne toplote isparavanja vode. Prisušenju namirnica, obično se uklanja samo ova, slabo vezana vlaga, s obzirom da jeoblast AB obično oblast najveće stabilnosti namirnice u pogledu kvarenja (Toledo,1991).

Slika 7.1. Sorpciona izoterma

Formule koje približno opisuju sorpcione izoterme namirnica

Mogu se izdvojiti dve formule koje, bar u ograničenom opsegu relativne vlažnostivazduha ϕ , tj. aktivnosti vode ( ϕ=

wa ), uspešno fituju eksperimentalne podatke o

sorpcionim izotermama:

1. Bruner- Emmet – Teller (BET) jednačina i

2. Guggenheim-Anderson-de Boer (GAB) jednačina.

Pošto imaju teorijsku osnovu, one omogućuju procenjivanje vrlo važnog parametram

x -

količine vlage po kilogramu suve materije, koja je vezana u monomolekulskom sloju.Ako sadržaj vlage u namirnici padne ispod

m x , raste oksidacija lipida, jer nema dovoljno

vlage da bi se formirao zaštitini monomolekulski sloj. Zato je ta informacija bitna zaodređivanje potrebnog stepena sušenja namirnice kao i uslova njenog skladištenja.


5/53

122

BET jednačina

Ova dvoparametarska formula predstavlja linearizovani oblik sorpcione izoterme iglasi:

{ {

w

mmw

w a

C x

C

C xa X

a y

nagibakcodse

11

)1(

−+=

−

=

(

(7.8)

i uspešno opisuje oblast 0A sorpcione izoterme. Parametar C je u vezi sa toplotomadsorpcije vlage.

GAB jednačina

Ova troparametarska jednačina ,

)1)(1( www

wm

Ckakaka

Cka x X

+−−

= (7.9)

je novija i bolje fituje eksperimentalne podatke od BET jednačine. Primenljiva je u širemopsegu i uspešno opisuje i OA i AB oblast izoterme. Smisao parametra C je sličan onom uBET jednačini, dok treći parametar k omogućuje uzimanje u obzir prisustva tečne vlage(pored adsorbovane) u materijalu. Ostavljamo čitaocu da pokaže da se jednačina (7.9)može transformisati u formulu linearnu po parametrima - polinom 2. stepena po aktivnostivode :

2

210

)1(21w

b

m

w

b

m

b

m

w aC x

C k a

C x

C

Ck x X

a y

43 4213 213 21

−+

−+== (7.10)

Pošto se linearnom MNK (Dodatak D) odrede parametri 210 i, bbb , iz tri jednačine sa tri

nepoznate:

210

)1(,

2,

1b

C x

C k b

C x

C b

Ck x mmm=

−

=

−

=

se dobijaju parametri izoterme: k C xm i, . Ako izjednačimo izraze za m x dobijene iz prve,

druge i treće jednačine dobijamo produženu jednakost,

C b

C k

C b

C

Ckb x

m 210

)1(21 −=

−== (7.11a)

iz koje slede dve nezavisne jednačine po nepoznatim parametrima C k i :

0

22

0

1 )1(,2b

bC k

kb

bC =−+= (7.11b)

Smena izraza za C u drugu jednačinu daje kvadratnu jednačinu po k ,


6/53

123

00

2

0

12=++

b

bk

b

bk

čiji pozitivan koren predstavlja traženu vrednost parametra k :

−

+−=

0

2

2

0

1

0

1 421

bb

bb

bbk (7.12)

Vrednost parametra C dobijamo smenom izraza (7.12) u prvu od jednačina (7.11b).Konačno,

m x dobijamo smenom dobijenih vrednosti k i C u jedan od izraza u produženoj

jednakosti (7.11a).

Opisivanje segmenta BC sorpcione izoterme

Pošto se uticaj čvrste faze može zanemariti u oblasti BC, eksperimentalni podaci utoj oblasti se mogu uspešno fitovati jednoparametarskim izrazom (7.4) koji važi za

tečne namirnice (Toledo, 1991).

PRIMER 7.1. Dati su eksperimenatalni podaci o sorpcionoj izotermi krompira nanormalnom pritisku i temperaturi C 025 (Toledo, 2007, E12.3).

wa : 0.112 0.201 0.327 0.438 0.529 0.577 0.708 0.753 0.843 0.903

s X : 0.035 0.057 0.080 0.105 0.130 0.145 0.190 0.204 0.270 0.370

Izračunati parametre k C xm

i, u GAB izotermi i proveriti kvalitet fitovanja. (Rešenje u

Mathcadu -P 7.1)

PRIMER 7.2. Pored BET i GAB jednačine, u literaturi se mogu naći empirijske jednačine koje, bar u ograničenom intervalu aktivnosti vode, uspešno opisujueksperimentalne ravnotežne podatke (Toledo, 1991). Jedna od njih je i Haslijeva ( Hasley)

jednačina:

−=

b

m

sw

x

X

T

aa exp , gde su: T – apsolutna temperatura; a, b - parametri

a) Proveriti da li se podaci iz prethodnog primera mogu fitovati Haslijevom jednačinom.

b) Ukoliko se Haslijeva jednačina može prihvatiti, izračunati parametre ba i , uzimajućizam

x vrednost izračunatu u prethodnom primeru.Uporediti kvalitet fitovanja sa onim

ostvarenim GAB jednačinom.

Da bi smo grafički proverili adekvatnost Haslijeve jednačine, izvršićemolinearizaciju. U tom cilju ćemo jednačinu prikazati u obliku:

b

sw cX a −= exp


7/53

124

gde je parametar c:

0>=b

mTx

ac

i dva puta logaritmovati obe strane jednačine:

{

x y

w

b

w

X bca

cX a

lnlnlnlnln

+=

−=

43421

U drugom koraku je neophodno uzeti apsolutne vrednosti, jer logaritam negativnihbrojeva nije definisan. Pokazuje se da jednačina korektno opisuje date eksperimentalnepodatke pod uslovom da se za oblasti 125.0 i 125.0 ≥<

ss X X odrede posebne vrednosti

parametara ba i .Rezultat fitovanja datih podataka je:

≥

−

<

−

=−

−

125.0za 1.414

exp

125.0 za 3.300exp

789.1

9493.0

s

m

s

s

m

s

w

X x

X

T

X x X

T

a

(Rešenje u Mathcadu - P 7.2)

Desorpciona izoterma i histerezis

Sorpciona izoterma koju smo diskutovali, dobijena je eksperimentalnopovećavanjem vlažnosti vazduha i merenjem uspostavljenog ravnotežnog sadržaja vlageu materijalu, pa se ona može nazvati i adsorpciona izoterma. Ako bi smo sorpcionuizotermu definisali merenjem vlažnosti pri postepenom smanjivanju relativne vlažnostivazduha od 100% do 0%, dakle pri sušenju materijala mogli bi je nazvati desorpcionaizoterma.

Slika 7.2. (Ad)sorpciona i desorpciona izoterma

C

s X

desorpcija

adsorpcija

maxs, X

0 1ϕ=a


8/53

125

Eksperimentalna je činjenica da se adsorpciona i desorpciona izoterma ne poklapaju,pri čemu je desorpciona izoterma iznad (ad)sorpcione (Slika 7.2), odnosno za jednu isturelativnu vlažnost vazduha, uzuzimajući φ = 0 i φ = 1, daje veći ravnotežni sadržaj vlage nego adsorpciona izoterma. Dakle postoji histerezis i površina ograničena adsorpcionom idesorpcionom izotermom naziva se površina histerezisa (Valent, 2001; Vereš, 2004). Ovapojava se može objasniti promenom strukture materijala. Na primer, primanjem vlage

skrob bubri, dok se otpuštanjem vlage bubrenje smanjuje.Treba napomenuti da se i adsorpciona i desorpciona izoterma namirnica opisuju

istim, prethodno diskutovanim jednačinama. Imajući u vidu međusobni položajadsorpcione i desorpcione izoterme, jasno je da se ravnotežni podaci, koji se koriste priproračunima procesa sušenja, dobijeni iz desorpcione izoterme smatraju relevantnijim.

7.2 Promene svojstava vazduha u toku procesa sušenja

U različitim proračunima procesa sušenja, koriste se sledeća fizička svojstva -

veličine stanja vlažnog vazduha:• intenzivna:

- stepen zasićenja ili relativna vlažnost ( percentage relative humidity) , (-)

- pritisak vazduha, Pa

- temperatura vazduha (temperatura suve kugle termometra- dry bulbtemperature), K

- temperatura rose (dew point ), K

- temperatura vlažne kugle termometra (wet bulb temperature), K

- temperatura adijabatskog zasićenja (adiabatic saturation temp.) , K

• ekstenzivna:

- sadržaj vlage, kg

- zapremina, 3m

- toplotni kapacitet, K J

- entalpija, J

Ekstenzivne veličine stanja se prevode u intenzivna, tako što se računaju po kilogramusuvog vazduha. Takav izbor osnove proračuna za ekstenzivna svojstva je pogodan jerolakšava materijalne bilanse, s obzirom da u procesu sušenja količina (maseni protok)

suvog vazduha ostaje nepromenjena, dok se ukupan maseni protok (vlažnog) vazduhamenja, zbog povećanja sadržaja vlage u vazduhu tokom sušenja.

Vlažnost i relativna vlažnost vazduha

Vlažnost vazduha (apsolutna), χ ( kgkg ) definiše se kao količina vlage na 1 kg suvog vazduha. Ako je vazduh zasićen vlagom, u pitanju je vlažnost zasićenog vazduha,


9/53

126

0χ .Pošto i parcijalni pritisak pare u vlažnom vazduhu,

w p takođe predstavlja meru

sadržaja vlage, može se izvesti veza između w piχ . Uz pretpostavku da se vazduh ponaša

kao smeša idealnih gasova, molski odnos vlage i suvog vazduha u proizvoljnoj zapremini,biće jednak odnosu njihovih parcijalnih pritisaka:

w

w

sv

w

p p

p

n

n

−

= (7.13)

Kako vlažnost predstavlja maseni odnos vlage i suvog vazduha, imamo:

w

w

sv

w

sv

w

sv

w

p p

p

M

M

n

n

m

m

−===χ

29

18 (7.14)

Relativna vlažnost vazduha, ϕ ili stepen zasićenja vazduha vlagom, definisana jekao odnos aktuelnog parcijalnog pritiska vodene pare u vlažnom vazduhu, temperature T , inapona vodene pare na toj temperaturi:

)(0 T p

p

w

w=ϕ (7.15)

i obično se izražava u procentima.

U zasićenom vazduhu ( %100=ϕ ), parcijalni pritisak vodene pare tačno je jednak naponu pare na temperaturi vazduha. Tako se za vlažnost zasićenog vazduha iz jedn.(7.14) dobija:

)(

)(

29

18)(

0

00

T p p

T pT

w

w

−=χ (7.16)

Iz jednačina (7.14-7.16) dobijamo vlažnost u funkciji temperature vazduha i njegoverelativne vlažnosti, tj jednačinu familije krivih ),( ϕχ T u dijagramu χ−T vlažnogvazduha ( p = const.). Iz (7.14) i (7.16) za odnos vlažnosti vazduha temperature T ipritiska p i vlažnosti vazduha, koji bi na toj temperaturi i pritisku bio zasićen, dobijamo:

ϕ⋅ϕ−

−=

−

−=

χ

χ

0

0

0

0

0w

w

w

w

w

w

p p

p p

p

p

p p

p p

pa je:

.,)(

)()(),(

0

00

const pT p p

T p pT T

w

w=ϕ

⋅ϕ−

−χ=ϕχ (7.17)

gde je funkcija )(0 T χ definisana jednačinom (7.16). Dakle, vlažnost kao intenzivnaveličina stanja, određena je sa druge tri intenzivne veličine : temperaturom, rel. vlažnošćui pritiskom. To je u skladu sa Gipsovim pravilom faza, prema kome je broj stepenislobode f , tj. broj nezavisnih intenzivnih svojstava jednak:


10/53

127

π−+= 2C f (7.18)

C – broj komponenata u sistemu

π - broj faza u sistemu, koje su u ravnoteži

Ovde je broj komponenata 2 (vazduh i vodena para), a broj faza za nezasićen vazduh je 1,

pa se iz (7.18) dobija: 3=

f . Ako je međutim u pitanju zasićen vazduh ( 2=π ), brojstepeni se svodi na 2= f . Zaista, tada χ postaje 0χ , a ono prema (7.16) zavisi od dvaintenzivne veličine stanja: temperature i pritiska.

Da zaključimo generalno, da ćemo pomoću dijagrama za vlažan vazduh (koji važisa konstantan pritisak), ili računskim postupkom, iz bilo koje dve zadate, međusobnonezavisne intenzivne veličine stanja nezasićenog vazduha, moći da odredimo bilo kojuod preostalih.

PRIMER 7.3. Relativna vlažnost vazduha temperature K 300 i pritiska bar 1 je 25%.Izračunati:

a) parcijalni pritisak pare u vazduhu

b) vlažnost

c) zapreminu vazduha po kg suvog vazduha (humid volume)

a) Prema (7.15), parcijalni pritisak dobijamo množenjem napona pare na K 300 ,relativnom vlažnošću:

kPakPa p pK ww

891.025.056.3,3000

=⋅=ϕ⋅=

b) Vlažnost računamo pomoću jednačina (7.16) i (7.17) :

3

0

105.5

25.056.325.033.101

56.333.1010226.0,0226.056.333.101

56.3

29

18

−

×=χ

⋅−

−=χ=

−=χ

Date su skice određivanja vlažnosti u χ−T dijagramu ( psyhrometric cart ) i u dijagramuvlažnost - entalpija po kg suvog vazduha ( h−χ ), poznatom pod nazivom Molierovdijagram (ili xi − dijagram, gde x označava vlažnost, a i entalpiju). Sami dijagrami sudati u Dodatku H.

c) Zapreminu vazduha po kg suvog vazduha – humid volume (zapremina vlažnog vazduha,koja sadrži 1 kg suvog vazduha) računamo iz jednačine idealnog gasnog stanja. To je

tačno ona zapremina koju zauzima 1kg suvog vazduha na svom parcijalnom pritisku usmeši suvi vazduh-vodena para:

kgm M p p

T Rv

svw

g 3856.0)( =

−

=


11/53

128

Skice uz Primer 7.3 b)

Temperatura rose

Temperatura rose vlažnog vazduha je ona temperatura do koje treba ohladiti (prikonstantnom pritisku) vazduh, da bi započela kondenzacija vode, tj. da bi on postaozasićen. Znači da je to ona temperatura na kojoj je napon pare tačno jednakaktuelnom parcijalnom pritisku pare u datom vazduhu.

Treba primetiti da, uz pretpostavku da je zadat pritisak, temperatura rose ivlažnost nisu međusobno nezavisne, te iz jedne od njih možemo odrediti drugu. Zaistaako znamo temperaturu rose, možemo da odredimo parcijalni pritisak pare u vazduhu, kaonapon pare za tu temperaturu, a onda iz jedn. (7.14) vlažnost. Obratno, iz zadate vlažnosti,računamo pomoću jedn (7.14), parcijalni pritisak pare, a onda iz njega temperaturu rose,kao onu temperaturu na kojoj je napon pare jednak tom pritisku.

PRIMER 7.4. Vazduh (normalan pritisak) ima temperaturu rose C 040 i relativnuvlažnost %50 . Odrediti vlažnost vazduha i njegovu temperaturu.

Date su skice rešavanja problema pomoću χ−T i Moliereovog dijagrama.

Skice uz Primer 7.4

%25=ϕ

0.0055

χ

h

T

300K

0.0055

χ %25=ϕ

T =300K

h

T =40

)2(

)1(

%100=ϕ

χ

)2(

)2( )1(

)1(

%100=ϕ

53.6 C 0 40 C 0

0.0487

χ

T

%50=ϕ

0.0487

%50=ϕ

T =53.6


12/53

129

Rešenja navedena na skici su dobijena sledećim računskim postupkom:

Iz tablica za vodenu paru (Smith i Van Ness, 1987), čitamo napon pare za zadatutemperaturu: kPa p

w375.70 = i to je parcijalni pritisak pare u zasićenom vazduhu. Iz (7.14)

onda dobijamo sadržaj vlage (vlažnost):

0487.0375.733.101 375.72918=

−=χ

Iz parcijalnog pritiska pare i relativne vlažnosti računamo napon pare na(nepoznatoj) temperaturi vazduha:

kPakPa p

p ww

75.145.0

375.70==

ϕ=

U tablicama za vodenu pare nalazimo da je na temperaturi C 053 , napon pare 14.29 kPa ana C 054 , njegova vrednost je 15.00kPa. Linearnom inverznom interpolacijom dobijamotraženu temperaturu:

C T 06.53=

Temperatura vlažne kugle termometra

Ako nezasićen vazduh struji velikim protokom preko vlažne kugle temometra, zbogisparavanja vode sa njene površine, temperatura vlažne kugle

wT će biti niža od

temperature dolazećeg vazduha, T . Energetski bilans za stacionarno strujanje će biti:

Ako, imajući u vidu veliki protok vazduha i malu površinu kugle, zanemarimo promenetemperature i vlažnosti vazduha (temperatura i vlažnost vazduha nakon kontakta savlažnom kuglom praktično su jednake temperaturi i vlažnosti vazduha pre kontakta)bilans se može formulisati na sledeći način:

4 43 4 42143 421

ispQ

wwispw

Q

w A M N h AT T ∆=−α )( (W ) (7.19)

gde su,

−α koeficijent prelaza toplote, K mW 2 ,

A – površina vlažne kugle termometra, 2m

isp

wh∆ - latentna toplota isparavanja vode, kg J

Toplota koja seprenese sa vaz-duha na vlažnupovršinu u jed.vremena (Q)

=Toplota utrošenaza isparavanje vodeu jed. vremena (Qisp)

=Latentna toplotaisparavanja vode

×

Fluks vlage savlažne površineu vazduh


13/53

130

−w

N gustina fluksa vodene pare sa površine u vazduh, 2msmol ⋅

Gustina fluksa vodene pare je data formulom za prelaz mase (vidi Tab 2.2):

w

wwww

M

cc N

−β=

0

gde su,−β

wkeficijent prelaza vodene pare sa površine kugle u vazduh, sm ,

−wc koncentracija vlage u struji vazduha,3

mkg

−

0w

c koncentracija vlage u zasićenom vazduhu, uz samu površinu, 3mkg

Ako, uz pomoć jednačine idealnog gasa, koncentracije vodene pare izrazimo prekoparcijalnih pritisaka, za fluks pare imamo:

( )wwg

ww p p

T R N −

β=

0 (7.20)

gde je 0w p napon vodene pare na temperaturi površine wT . Dalje, pomoću jedn. (7.14) i

(7.16) izražavamo parcijalne pritiske vodene pare preko vlažnosti:

000, χ=χ=w

svsvw

w

svsvw

M

M p p

M

M p p

gde 0 u eksponentu označava zasićeno (ravnotežno) stanje. Iz poslednje dve jednačinedobijamo za razliku parcijalnih pritisaka:

( )χ−χ≈−00

w

svsr

svww M

M

p p p (7.21)

gde je sr sv

p neki “srednji“ parcijalni pritisak suvog vazduha, između 0 isvsv

p p . Smenom

(7.21) u (7.20) dobijamo:

( ) ( )χ−χρβ=χ−χβ= 00sv

w

wsr

sv

w

sv

g

ww

M p

M

M

T R N (7.22)

gde je svρ gustina suvog vazduha na temperaturi T i srednjem parcijalnom pritiskusr

sv p .

Konačno, smenom dobijenog izraza (7.22) u jedn. (7.19), dobijamo:

( )χ−χ∆ρβ=−α 0)( ispwsvww

hT T

i odatle:

( )w

w

isp

w

w T T T h

T T −∆

γ=ϕχ−χ

)(),()(0 , p=const. (7.23)

gde je,


14/53

131

svwρβ

α=γ (7.23a)

a funkcije ),(i)(0 ϕχχ T T su definisane jednačinama (7.16) i (7.17). Vrednost parametraγ se ne razlikuje značajno od jedinice:

kgK

kJ 1≈γ (7.23b)

Jednačina (7.23) zajedno sa jedn. (7.16) i (7.17) definiše temperaturu vlažnekugle termometra,

wT u funkciji od temperature vazduha,T i njegove relativne

vlažnosti. Pri tom pritisak (treća nezavisna intenzivna veličina) smatramo poznatim. Iz njese jasno vidi, da će, uz aproksimaciju 1=γ , linije konstantne temperature vlažne kugle

termometra ( .const T w = ), u χ−T dijagramu, biti prave linije.

PRIMER 7.5. Vazduh u sušnici, normalnog pritiska i temperature C 071 , ima

temperaturu vlažne kugle C 054 . Odrediti: vlažnost i relativnu vlažnost.

Date su skice rešavanja problema u χ−T i h−χ dijagramu vlažnog vazduha.

54== wT T

%5.43=ϕ

0.101

h

χ

%100=ϕ

C T w

054=

71 C 0

0.101

χ

T

%5.43=ϕ

%100=ϕ

71=T

Skice uz Primer 7.5.

Dati rezultati na skici, su dobijeni pomoću sledećeg računskog postupka. Najpre ćemo iz jednačine (7.23) izračunati vlažnost iz prethodno izračunate vlažnosti zasićenog vazduhana temperaturi vlažne kugle )(0 wT χ i poznate temperature vazduha T . Za )(

0wT χ nam

treba napon pare na C 054 , i u tabeli svojstava zasićene vodene pare (Smith i Van Ness,

1987) nalazimo kPaC pw 00.15)54(00

=

.

1079.0)(

)(

29

180

00

=−

=χT p p

T p

w

w

Treba nam i latentna toplota isparavanje vode na istoj temperaturi, iz iste tabele,kgkJ h isp

w2.2373=∆ . Konačno računamo χ , uz )(1 kgK kJ =γ :


15/53

132

( ) 101.01007.0)(

)(0 ≈=−∆

γ−χ=χ w

w

isp

w

w T T T h

T

Da bi izračunali relativnu vlažnost, iz vlažnosti dobijamo parcijalni pritisak vodenepare,

kPa

p

pw 15.1429181

=

χ+

=

i delimo ga naponom pare na temperaturi C 071 , kPa pw 53.320= :

%5.434348.00 ≈==ϕw

w

p

p

PRIMER 7.6. Za podatke iz Primera 7.4. odrediti temperaturu vlažne kugle.

Računski postupak za rešavanje ovog problema je iterativan: potrebno je numeričkirešiti jedn. (7.23) po wT , za poznate vrednosti T iϕ . Za to su nam potrebne analitički

definisane funkcije za napon pare i latentnu toplotu isparavanja vode, )(),(0 T hT p ispww ∆ .Rezultati dati na skici su dobijeni rešavanjem jednačine (7.23) sa kubnim splajnovima zanapon pare i toplotu isparavanja, dobijenim iz tabele svojstava zasićene vodene pare(Smith i Van Ness, 1987).

Najpre je, radi rešavanja jedn.(7.23), neophodno odrediti temperaturu vazduha, T iz zadaterelativne vlažnosti. To je ona temperatura na kojoj je napon pare jednak:

ϕ=

w

w p p

0

Aktuelni parcijalni pritisak pare jednak je naponu pare na temperaturi rose, pa imamo:

kPakPaC p

p ww 75.145.0

375.7)40( 000==

ϕ=

%100=ϕ

53.6 C 0 40 C 0

0.0487

χ

T

%50=ϕ

C T w07.41=

Skica uz Primer 7.6


16/53

133

Inverznom interpolacijom u tabeli temperatura – napon pare, kao u Primeru 7.4, ilirešavanjem po T jednačine,

kPaT pw

75.14)(0 =

za temperaturu vazduha dobijamo: .6.53 0 C T = Konačno, rešavanjem jedn. (7.23) po wT ,

dobijamo C T w0

7.41=

. Računski postupak u Mathcad-u, dat je u mcd. fajlu: Vlazanvazduh.

Temperatura adijabatskog zasi ćenja. Kriti č na vlažnost materijala

Pri adijabatskom vlaženju vazduha, početne temperature T , sve do zasićenog stanja,toplota potrebna za isparavanje vode se dobija hlađenjem vazduha do neke temperature,koju nazivamo temperatura adijabatskog zasićenja

sT .Toplotni bilans po 1kg suvog

vazduha glasi:

),()()( 0 ϕχ−χ∆=− T T hT T cs

isp

ws p (7.24)

gde je pc toplotni kapacitet vlažnog vazduha, računat po kg suvog vazduha. Opisani

proces se događa pri prolazu vazduha kroz izolovani sloj vlažnog zrnastog materijala u sušnici, pod uslovom da je površina kontakta materijala i vazduha prekrivena filmomvode..

Toplotni kapacitet vlažnog vazduha, računat po kg suvog vazduha, jednak je zbiru:

χ+=

kgK

kJ ccc w psv p p ,, (7.25)

gde su.

sv pc , - specifična toplota suvog vazduha, )(kgK J

−w pc , specifična toplota vodene pare, )(kgK J

Za brojne vrednosti pc i parametra γ (jedn. 7.23a, b), imajući u vidu da je 1


17/53

134

U proračunima procesa sušenja čvrstih zrnastih materijala, aproksimacija (7.27) jeprimenljiva samo ako tokom procesa sušenja površina zrna ostaje vlažna (što znači dabrzinu sušenja određuje brzina prenosa toplote sa vazduha na površinu, kao najsporijiproces), pa važi jednačina (7.19). Iz prethodne diskusije sledi da za takav proces,

• temperatura materijala nakon sušenja je (približno) jednaka temperaturivlažne kugle termometra za ulazni vazduh,

ulw

T ,

.

• tačka u dijagramu, koja definiše stanje izlaznog vazduha, leži na linijiadijabatskog vlaženja vazduha, odnosno na liniji konstantne temperaturevlažne kugle termometra, ulww T T ,=

Za duža vremena trajanja sušenja, to nije tačno, jer vlaga biva uklonjena sapovršine zrna (ne važi više jedn. 7.19), a sušenje postaje kontrolisano difuzijom vlagekroz pore u zrnu, kao najsporijim procesom. Granična vlažnost materijala, ispod kojeviše ne važi opisana aproksimacija, naziva se kritična vlažnost.

PRIMER 7.7. Odrediti temperaturu materijala na izlazu iz sušnice, ako izlazi savlažnošću većom od kritične, a izlazni vazduh ima temperaturu C 0100 i sadržaj vlage

kgkg0135.0 .

Pošto je vlažnost materijala veća od kritične, važi aproksimacija (7.27), pa jetemperatura materijala jednaka temperaturi vlažne kugle termometra za ulazni vazduh,koja je jednaka temperaturi vlažne kugle izlaznog vazduha (promena stanja vazduha seodvija u χ−T dijagramu duž prave .const T w = ). U Molierovom dijagramu, stanja

ulaznog i izlaznog vazduha leže na liniji .const h = (adijabatski proces), pa temperaturuvlažne kugle termometra dobijamo kao temperaturu zasićenog vazduha date entalpije,dakle u preseku linija %100=ϕ i .const h =

Skice uz Primer 7.7.

Numeričkim rešavanjem jedn. (7.23) po wT , za zadato T iχ , dobijamo: C T w05.36=

( Mathcad fajl : Vlazan vazduh).

PRIMER 7.8. Vazduh normalnog pritiska, temperature )7.26(80 00 C F i relativne

vlažnosti %50 se zagreva do )200(392 00 C F i uvodi u sprej sušnicu, iz koje izlazi sa

temperaturom )95(203 00 C F . Uz pretpostavku da se u sušnici vazduh adijabatski vlaži,odrediti njegovu vlažnost i relativnu vlažnost na izlazu.

χ 5.36== wT T

C T 0

100=

0.0135

%100=ϕ

h%100=ϕ

100 C 0

0.0135

χ

T

C T w05.36=

.const h =


18/53

135

Vrednosti na skici su dobijene sledećim računskim postupkom, u kome sukorišćeni kubni splajnovi za napon pare i latentnu toplotu isparavanja vode. Stanjaulaznog i izlaznog vazduha leže na liniji adijabatskog zasićenja, tj. u skladu saaproksimacijom (7.27) na liniji .const T w = Zato ćemo, rešavanjem jedn. (7.23), da

odredimo temperaturu vlažne kugle termometra za ulazni vazduh, čija je temperaturaC

0200 , a vlažnost jednaka vlažnosti polaznog vazduha, temperature C 07.26 i relativnevlažnosti %50 . Tako, najpre iz jednačina (7.16) i (7.17) (ili postupkom primenjenim uPrimeru 7.3), najpre izračunavamo vlažnost polaznog vazduha: 011.0=χ . Zatim,

rešavanjem jedn. (7.23), powT , sa C T

0200= , 011.0=χ , dobijamo: C T w05.47= .

Pošto istu temperaturu vlažne kugle ima i izlazni vazduh, sa C T C T w

00 95,5.47 ==

izračunavamo njegovu relativnu vlažnost i vlažnost. To se može izvesti numeričkimrešavanjem jedn.(7.23) po ϕ , a onda izračunavanjem χ iz jednačine (7.17), ili postupkomopisanim u Primeru 7.5. Rezultati su: 0549.0,0974.0 =χ=ϕ . Računski postupak uMathcad-u dat je u fajlu: Vlazan vazduh.

PRIMER 7.9. U 4-stepenu sušnicu, uvodi se vazduh temperature K 325 , koji sadrži i0.005 kg vode po 1kg suvog vazduha. Svaki od stupnjeva, vazduh napušta sa relativnomvlažnošću od 60% i pre ulaska u naredni stupanj se zagreva na K 325 . Pod pretpostavkomda u svakom stupnju materijal koji se suši dostiže temperaturu vlažnog termometraodrediti:

a) Temperaturu materijala i vazduha nakon svakog stupnja

b) Ukupnu količina uklonjene vode iz materijala ( skg ) u sušnici, ako iz sušnice

izlazi sm35 vazduha.

a) Računski postupak je dat u fajlu: Vlažan vazduh. Da bi smo izračunali količinuuklonjene vlage potrebna nam je vlažnost vazduha na izlazu iz 4. stupnja. Stanja vazduhana izlazu iz 1, 2, 3 i 4 stupnja, prikazana su na skici tačkama, označenim odgovarajućimbrojem. Ulazno i izlazno stanje vazduha za svaki od stupnjeva leže na liniji Tw=const,definisanoj izračunavanjem temperature vlažne kugle termometra za ulazno stanje

2

1

0.055

95 C 0

%100=ϕ

200 C 0 26.7 C

0

0.011

χ

T

%50=ϕ

C T w05.47=

Skica uz Primer 7.8

%7.9=ϕ

1- stanje ulaznog vazduha

2- stanje izlaznog vazduha


19/53

136

(temperatura i vlažnost), numeričkim rešavanjem jedn. (7.23). Temperatura materijala naizlazu iz nekog stupnja upravo je jednaka temperaturi vlažne kugle, wT za taj stupanj.

Izlazna temperatura vazduha izračunava se izw

T i zadate relativne vlažnosti na izlazu,

rešavanjem jedn. (7.23), a onda iz temperature, pomoću jedn. (7.17), određuje i izlaznavlažnost.

b) Uklonjenu količinu vlage dobijamo množenjem masenog protoka suvog vazduha,razlikom vlažnosti vazduha na izlazu iz poslednjeg stupnja i ulaznog vazduha u prvistupanj. Prethodno odredimo maseni protok suvog vazduha, deljenjem zapreminskogprotoka vlažnog vazduha )( 3 sm na izlaznim uslovima, zapreminom vlažnog vazduha,

koja na tim uslovima sadrži 1 kg suvog vazduha (humid volume, kgm3 ):

Skica uz Primer 7.9

( ) kgm

M T p p

T R

M p p

T Rv

svw

g

svw

g3

40

44 935.029)066.86.033.101(

315314.8

)()( =

⋅⋅−

⋅=

⋅ϕ−=

−=

skgkgm

sm

v

F

msv 347.5935.0

53

3

===

( ) skgmm svw 14.0)005.0031.0(347.504 =−⋅=χ−χ=

301

301

T w = 295

312

308

0.005

0.031

0.027 0.022

43

2

1

0

325

%100=ϕ

0.015

χ

T,K

%60=ϕ

315

305

307


20/53

137

Entalpija vlažnog vazduha

Entalpija vlažnog vazduha je neophodna u energetskim bilansima procesa sušenja.Računata po kilogramu suvog vazduha, ako zanemarimo toplotni efekat pri mešanjuvazduha i pare, ona se dobija kao je zbir specifične entalpije suvog vazduha )( kgkJ ientalpije prisutne vodene pare, na datoj temperaturi i pritisku :

χ+=

kg

kJ hhh wsv (7.28)

svh - specifična entalpija suvog vazduha, kgkJ

wh - specifična entalpija vodene pare, kgkJ

Kako vazduh i vodenu paru smatramo idealnim gasovima, pritisak je irelevantan.Uzimajući da su referentne entalpije jednake nuli, entalpije wsv hh i dobijamo kao

dovedene (odvedene) količine toplote pri promeni njihovog stanja od referentnog do

posmatranog. Kao referentno stanje za vazduh se uzima stanje idealnog gasa nareferentnoj temperaturi C T 00 0= , a za vodu, tečno stanje na istoj temperaturi 0T .Kako opisana promena stanja vode obuhvata i isparavanje vode, entalpije suvog vazduhai pare se računaju kao:

dT T ch

T

T

sv psv ∫ =0

)(, (7.29a)

43 421

43 421

pare zagrevanje

,

vodeeisparavanj

0.

0

)()( dT T cT hhT

T

w p

isp

ww ∫ +∆= (7.29b)

gde su )( i)( ,, T cT c w psv p funkcije po kojima se, sa temperaturom, menjaju specifične

toplote vazduha i pare.U proračunima su korišćene sledeće funkcije (Smith i Van Ness,1987):

−+=

kgK

kJ

T T

M

RT c

sv

g

sv p 2,

1210000145.047.3)( (7.30a)

−+=

kgK

kJ

T T

M

RT c

w

g

w p 2,

1600000575.0355.3)( (7.30b)

−g R univerzalna gasna konstanta, 8.314 )(kgK kJ ,

T - temperatura u K

PRIMER 7.10. U grejač vazduha (kalorifer) se uvodi struja vazduha (3) nastala mešanjemstruje svežeg vazduha (1) ( 5.0,25 1

01 =ϕ= C T ) i struje iskorišćenog vazduha (2)

( 8.0,50 10

2 =ϕ= C T ) u odnosu količina (kg) suvog vazduha u strujama, 3:1 . U grejaču


21/53

138

se vazduh zagreva do C 080 . Izračunati parametre (vlažnost, temperatura i entalpija)ulazne struje (3) i izlazne struje (4).

Opisani proces se može rasčlaniti na dva stupnja: I- adijabatsko mešanje struja (1) i(2) i II- zagrevanje rezultujuće struje (3). Najpre ćemo izračunati vlažnosti struja (1) i (2),iz jednačine (7.17), a onda i njihove entalpije iz jedn. (7.28-7.30b):

kgkJ hkgkJ h 7.223,15.50,067.0,10851.9 2123

1 ===χ×=χ −

Bilans vlage i enegetski bilans za adijabatsko mešanje struja su:

3212211

3212211

)(

)(

hmmhmhm

mmmm

+=+

χ+=χ+χ

gde su 21 i mm maseni protoci suvog vazduha u strujama (1) i (2).Uzimajući u obzir da je

12 3mm = , iz gornjih jednačina dobijamo:

kgkJ hhh 18075.025.0,0527.075.025.0 213213 =+==χ+χ=χ

Temperaturu rezultujuće struje (3) dobijamo numeričkim rešavanjem jedn. (7.28-7.30b)po T za zadatu entalpiju i vlažnost. Rezultat je: C T 03 2.44= . Temperatura i vlažnost

nakon zagrevanja struje (3) su : C T 0434 80, =χ=χ , i sa tim vrednostima iz jedn. (7.28-

7.30b) izračunavamo entalpiju izlazne struje: kgkJ h 2204 = . Rešenje u Mathcadu, dato je u fajlu: Vlazan vazduh.

Idealna i realna sušnica

Za idealnu sušnicu se pretpostavlja da se sva toplota dovedena vazduhu upredgrejaču koristi samo za isparavanje vlage iz materijala, tj da je promena stanjavazduha u kontaktu sa materijalom adijabatska - ne menja se njegova entalpija.. Tako jeutrošena toplota za sušenje u idealnoj sušnici tačno jednaka razlici entalpija izlaznog iulaznog vazduha.

Utrošak toplote u realnoj sušnici dobijamo kada na toplotu koja bi bila utrošena da je ona idealna dodamo toplotu utrošenu za zagrevanje materijala koji se suši,transportne opreme, zidova sušnice, kao i gubitke toplote u okolinu (Valent, 2001,Pavlov i sar., 1979)

PRIMER 7.11. Za 4-stepeni proces sušenja, opisan u Primeru 7.9, izračunati ukupnu

utrošenu toplotu (W ), za zagrevanje vazduha, pod pretpostavkom da je sušnica idealna.Razmenjena toplota u jedinici vremena, pri nekoj izobarskoj promeni stanja

strujećeg vlažnog vazduha, jednaka je proizvodu promene njegove entalpije )( kgkJ imasenog protoka suvog vazduha. U 4- stepenom procesu sušenja toplota se dovodi prizagrevanju vazduha pre uvođenja u 2., 3. i 4. stupanj, pa je ukupna promena entalpije

jednaka zbiru:

[ ] [ ] [ ]),(),(),(),(),(),( 333022201110 χ−χ+χ−χ+χ−χ=∆ T hT hT hT hT hT hh


22/53

139

gde su indeksi oznake pojedinih stanja, tj. tačaka u dijagramu na skici uz Primer7.9. Međutim, promena stanja vazduha na svakom od stupnjeva idealne sušnice jeadijabatska, pa važi:

1. stupanj:43 42143 421

izlaz

11

ulaz

00 ),(),( χ=χ T hT h 2. stupanj:43 42143 421

izlaz

22

ulaz

10 ),(),( χ=χ T hT h

3. stupanj:43 42143 421

izlaz

33

ulaz

20 ),(),( χ=χ T hT h 4. stupanj:43 42143 421

izlaz

44

ulaz

30 ),(),( χ=χ T hT h

što ukupnu promenu entalpije u posmatranom procesu svodi na razliku entalpija izlaznog iulaznog vazduha.

)(),(),( 0044 kgkJ T hT hh χ−χ=∆

pa je tražena toplota jednaka:

[ ] )(),(),( 0044 W T hT hmQ sv χ−χ=

U Mathcad-u su izračunate entalpije vazduha na ulazu i na izlazu svakog odstupnjeva (Fajl: Vlazan vazduh). Rezultati dati sa 4 značajne cifre su:

84.65),(,27.65),( 1100 =χ=χ T hT h 47.90),(,18.90),( 2210 =χ=χ T hT h

3.108),(,1.108),( 3320 =χ=χ T hT h 0.122),(,0.122),( 4430 =χ=χ T hT h

Međusobna odstupanja izračunatih entalpija vazduha na ulazu i izlazu iz sekcije, rezultatsu aproksimacija koje su navedene u tekstu po naslovom: ’Temperatura adijabatskogzasićenja’ i potpuno su prihvatljiva u inženjerskim proračunima.

Konačno, za utrošak toplote u 4-stepenom procesu, dobijamo:

[ ] kW T hT hmQsv

5.303),(),( 0044 =χ−χ=

PRIMER 7.12. Za 4-stepeni proces sušenja, opisan u Primeru 7.9, rešiti problem b)koristeći uslov jednakosti entalpija ulazne i izlazne struje vazduha za idealan stupanjsušenja, tj. postupak koji se sprovodi u Molierovom dijagramu. Izračunati utrošenu toplotuza zagrevanje vazduha.

Ulazna i izlazna stanja vazduha za neki stupanj leže na liniji h = const. Takoproračun počinjemo izračunavanjem entalpije ulaznog vazduha u prvu sekciju iztemperature i vlažnosti, pomoću odgovarajuće Mathcad funkcije: kgkJ h 27.65= (Fajl: Vlazan vazduh). Izlaznu temperaturu dobijamo numeričkim rešavanjem jednačine:

hT h =ϕ),(

po T , za dato 6.0=ϕ . Rezultat je C T T 01 3.28== i iz temperature, pomoću jedn. (7.12),

odnosno odgovarajuće Mathcad funkcije izračunavamo izlaznu vlažnost: 0145.01 =χ .

Entalpiju vazduha u drugom stupnju, kgkJ h 78.89= dobijamo zamenjujući u

odgovarajuću funkciju, vrednosti: K T 325i1 =χ=χ za vlažnost i temperaturu. Sada


23/53

140

računamo izlazno stanje iz drugog stupnja analogno proračunu prvog stupnja, itd.Poređenje rezultata dobijenih u ovom i u Primerima 7.9 i 7.11 (uklonjena vlaga i utrošenatoplota) pokazuje da relativna odstupanja ne prelaze 1%.

Skica uz Primer 7.12.

PRIMER 7.13. Materijal se suši od 60% do 25% vlage (vlažna osnova) u idealnoj sušnicisa recirkulacijom vazduha. Za zagrevanje vazduha se koristi suvozasićena para, pritiska2 bar . Protok svežeg vazduha, temperature C 025 i vlažnosti 0.01 iznosi 10000 hkg

suvog vazduha, a protok povratnog vazduha je 21000 hkg suvog vazduha. Vazduh

napušta sušnicu sa temperaturom C 043 i relativnom vlažnošću od 70%.

Izračunati

a) Kapacitet sušnice ( hkg ) po ulaznom materijalu koji se suši;

b) Potrošnju pare

2

Sušnica

hkg21000

7.0,430 =ϕC

13

Kaloriferhkg10000

01.0,250 =χC 4

0.027

K 315

χ

0.031

3

4

2 1

0

h

0.0150.005

.const h =

%60=ϕ

K T 325=

kgkJ h 122=

kgkJ h 3.65=

K 301

K 308

K 312

0.021


24/53

141

c) Temperaturu vazduha na ulazu u sušnicu

a) Kapacitet sušnice, definisan kao količina materijala koja se u jedinici vremenauvodi u sušnicu, )( hkgG

ul u vezi je sa količinom vlage )( hkgm

w koja se ukloni datom

količinom suvog vazduha )( hkgmsv . Da bi formulisali tu vezu, napisaćemo ukupni bilans

za materijal koji se suši i bilans suve materije u njemu:

)1()1( izizulul

wizul

xG xG

mGG

−=−

+=

gde suizul

x x i sadržaji vlage u polaznom i osušenom materijalu. Iz druge jednačine,

iz

ululiz

x

xGG

−

−

=

1

1

što nakon smene u prvu i rešavanja poul

G daje,

iz

ul

wul

x

x

mG

−

−

−

=

11

1

Potrebno je izračunatiwm iz protoka ulaznog suvog vazduha (struja 3) i razlike njegove

vlažnosti na izlazu (struja 4) i ulazu. Veličine stanja ulaznog vazduha (struje 3): vlažnost ientalpiju dobijamo iz materijalnog i energetskog bilansa za mešač povratne struje (2) istruje svežeg vazduha (1):

332211

332211

213 31000

hmhmhm

mmm

hkgmmmmsv

=+

χ=χ+χ

=+==

Tako vlažnost ulazne struje dobijamo kao:

3

22113

m

mm χ+χ=χ

Pošto nije data vlažnost povratne struje, računamo je iz relativne vlažnosti odgovarajućomMathcad funkcijom, definisanom prema jedn (7.17): 0394.02 =χ i iz gornje formule

dobijamo 0299.03 =χ (fajl: Vlažan vazduh). Sada možemo da izračunamo količinuuklonjene vlage:

hkgmmmw

9.293)()( 323343 =χ−χ=χ−χ=

i iz nje traženi kapacitet:


25/53

142

hkg

x

x

mG

iz

ul

wul 630

11

1=

−

−

−

=

b) Potrošnju suvozasićene pare dobijamo kao količnik utrošene toplote i latentnetoplote kondenzacije pare zadatog pritiska.Utrošenu toplotu u idealnoj sušnici dobijamo iz

razlike entalpija izlazne struje, 4. i ulazne struje, 3. Iz energetskog bilansa mešača strujadobijamo za entalpiju ulazne struje:

kgkJ m

hmhmh 3.114

3

22113 =

+=

pri čemu smo prethodno izračunali entalpije struja odgovarajućom Mathcad-funkcijom izpoznatih temperatura i vlažnosti: kgkJ hkgkJ h 7.144,53.50 21 == . Entalpija izlazne

struje jednaka je entalpiji povratne struje: 24 hh = , pa za utrošenu toplotu dobijamo:

( ) hkJ hhmQ 5323 10417.9 ×=−=

Pošto raspolažemo Mathcad funkcijom za izračunavanje latentne toploteisparavanja vode na zadatoj temperaturi, neophodno je da odredimo temperaturusuvozasićene pare iz zadatog pritiska, numeričkim rešavanjem jednačine:

bar pT p ssw 2)(0

==

po sT , gde je za napon pare u funkciji temperature formirana Mathcad funkcija u obliku

splajna. Rezultat je: C T s

02.120= . Za tu temperaturu, izračunata toplota kondenzacije je

kgkJ hc 2202= , pa je traženi utrošak pare:

hkghQmcs 428==

c) Temperaturu vazduha na ulazu u sušnicu dobijamo iz entalpije vazduha, koja je jednaka entalpji izlaznog vazduha, 4h i poznate vlažnosti vazduha 3χ=χ , rešavanjem

jednačine:

43),( hT h =χ

i rezultat je: C T 09.65=

7.3 Difuzija vlage kroz sloj materijala pri sušenju vazduhom

Izvešćemo jednačinu jednodimenzione nestacionarne difuzije vlage kroz slojporozne čvrste materije, površine A, koji je izložen sušenju vazduhom. Pri tom, nećemouzeti u obzir promenu debljine sloja (kontrakcija) u toku sušenja, jer je to veomakompleksan problem. Analogno izvođenju jednačine nestacionarnog prenosa toplote kroz


26/53

143

ravan zid (Pogl. 4.), posmatramo element sloja, beskonačno male debljine dx, normalanna pravac difuzije (Slika 7.3.)

A

izw M , ulw M ,

dx x + x x0

o

Slika 7.3. Skica uz izvođenje jednačine difuzije

Ukupan maseni fluks vlagew

M , kroz površinu A, normalnu na pravac difuzije, dat

je Fikovim zakonom, primenjenim na pseudo-homogen medijum (porozni sloj):

)( skg A x

c D M w

ww∂

∂−= (7.31)

gde su:−w

c masena koncentracija vlage, 3mkg

−w D efektivni koeficijent difuzije vlage, sm2 (vidi jedn. 2.15b)

U daljem tekstu ćemo umesto termina efektivni koeficijent difuzije vlage kroz porozni slojkoristiti jednostavno termin koeficijent difuzije vlage kroz porozni sloj. Ako zapreminuposmatranog elementa (Sl.7.3) u kome je sadržaj vlage X , označimo sa V ( AdxV = ) ,

masena koncentracija vlage u tom elementu će biti:

X X V

m

V

mc

smsmw

w ρ=== (7.32)

smρ - gustina suve supstance u materijalu, 3mkg

Sada možemo maseni fluks vlage da izrazimo preko sadržaja vlage smenjujući (7.32) u(7.31):

A x

X

V

m D M smw

w∂

∂−= (7.33)

Dakle, ulazni maseni fluks vlage difuzijom ulw M , , u posmatrani element sloja biće dat

jednačinom (7.33). Izlazni fluks izw M , će biti jednak zbiru ulaznog fluksa i njegovog

priraštaja, tj. diferencijala (pošto dx 0→ ):

{{ 2

2

,2

2

,

prirastaj

,, x

X m D M Adx

x

X

V

m D M dM M M

smwulw

V

smw

ulwwulwizw∂

∂−=

∂

∂−=+=


27/53

144

Tako za članove u masenom bilansu vlage,

Ulaz – Izlaz = Akumulacija (7.34)

imamo:

Ulaz – Izlaz = 2

2

x

X

m DdM smww ∂

∂

=−

Akumulacija =dt

dX m

dt

X md

dt

dmsm

smw==

)(

i njihovom smenom u (7.34) dobijamo traženu diferencijalnu jednačinu difuzije vlage:

2

2

x

X D

dt

dX w∂

∂= (7.35)

Uočavamo potpunu analogiju sa jednačinom nestacionarnog prenosa toplote kroz sloj

(4.2).

Profil sadržaja vlage u sloju

Da bi smo dobilii profil sadržaja vlage ),( t x X po debljini sloja, koji je od nekogmomenta, t = 0 sa obe strane izložen dejstvu vazduha za sušenje, pretpostavićemo presvega uniformno temperaturno polje (izotermičnost). Inače, problem bi bio vrlokompleksan jer bi zahtevao simultano rešavanje (integraciju) jednačine nestacionarnogprenosa toplote (4.2) i jednačine difuzije (7.35) sa odgovarajućim početnim i graničnimuslovima.

Neophodni su nam početni i granični uslovi uz jedn. (7.35). Pretpostavimo da jeotpor spoljašnoj difuziji vlage (prelaz vlage sa površine sloja u struju vazduha) mnogomanji od otpora unutrašnjoj difuziji (kroz sloj), tj. da je Biot-ov difuzioni broj DBi ,

w

w

D

Lβ= BiD (7.36)

L – poludebljina sloja ( Sl. 7.3)

koji je analogan Biot -ovom kriterijumu kod prenosa toplote (jedn. 4.12), vrlo veliki,( )∞→BiD . To znači da se u procesu spoljašnje difuzije uspostavlja termodinamičkaravnoteža (vidi Pogl.2.5), tj. da je koncentracija vlage na spoljašnjim površinama sloja

jednaka ravnotežnoj koncentraciji vlage s X u posmatranom materijalu, za daturelativnu vlažnost (stepen zasićenja vlagom) vazduha za sušenje. Ako pretpostavimouniformnu vlažnost materijala pre izlaganja sušenju, možemo da skiciramo profile

),( t x X (Sl.7.4) i formulišemo početni i granične uslove uz jednačinu (7.35).

p X x X t == )0,(:0 (7.37a)

0:0 =∂

∂=

x

X x (uslov ekstrema, ili simetričnosti profila) (7.37b)


28/53

145

12 t t >

s X

p X 01 >t

0

L

∞=t

x

0=t

Slika 7.4. Profili sadržaja vlage u sloju koji se suši

s X t L X L x == ),(: ( )∞→BiD

(7.37c)

Uvođenjem novih, bezdimenzionih promenljivih θτ i, z smenama:

L

x z = ,

2 L

t Dw=τ ,

s p

s

X X

X X

−

−=θ (7.38)

analognim onima koje smo primenili u diskusiji modela prenosa toplote (4.22a,b i 4.26), jednačinu (7.35) prevodimo u bezdimenzioni oblik, identičan bezdimenzionoj jednačiniprenosa toplote (4.27):

)10(2

2


29/53

146

( ) )(,),( 2 s pws X X Lt D L x X t x X −⋅θ+= (7.41)

U praktičnim proračunima, za veće vrednosti bezdimenzionog vremena (Furijeovog broja)τ , 2.0>τ dovoljno je uzeti samo prvi ( 0=i ) od beskonačno mnogo sabiraka sume(7.40):

2.02

exp2

cos4

),(2

>τ

τ

π−⋅

π

π≈τθ

z z (7.42)

a za 2.005.0


30/53

147

( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )[ ]

( ) [ ] [ ]π+τπ+−

π+

−=

=π+⋅τπ+−

π+

−=

=π+τπ+−

π+

−=

=π+τπ+−

π+

−

∫

∫

)5.0(sin)5.0(exp5.0

)1(

)5.0(sin)5.0(exp5.0

)1(

)5.0(cos)5.0(exp5.0

)1(

)5.0(cos)5.0(exp5.0

)1(

22

22

10

22

22

1

0

22

1

0

22

iii

ziii

dz ziii

dz ziii

i

i

i

i

pa je integral beskonačnog reda (7.42) , tj. tražena srednja vlažnost (7.44):

( ) [ ] [ ]π+τπ+−

π+

−=τθ ∑

∞

=

)5.0(sin)5.0(exp5.0

)1(2)(

0

22

22 ii

ii

i

Konačno, imajući u vidu da je

[ ] ( ) ,...2,1,01)5.0(sin =−=π+ ii i

za srednju bezdimenzionu vlažnost dobijamo beskonačni red:

( )∑∞

= π+

τπ+−=τθ

022

22

5.0

)5.0(exp2)(

i i

i (7.46)

Za veće vrednosti bezdimenzionog vremena (Furijeovog broja) τ , 2.0>τ približnuvrednost X dobijamo kao prvi sabirak reda (7.46):

( )2.0,

4

4exp2)(

2

2

>τπ

τπ−≈τθ (7.47)

ili u funkciji originalnog vremena t :

2.0,4

exp8

)(22

2

2 >

π−

π≈θ

L

t Dt

L Dt ww (7.48)

a za manje vrednosti τ od praktičnog interesa, dovoljna su prva tri ili najviše četirisabirka. Logaritmujući jedn (7.48), dobijamo pravolinijsku zavisnost logaritma srednjebezdimenzione vlažnosti od vremena :

( ) t L

Dw2

22

48lnln π

−π=θ (7.49)

pa iz nagiba prave u eksperimentalno dobijenom dijagramu θ−v

lnt , možemo daizračunamo efektivni koeficijent difuzije vlage w D .


31/53

148

Višedimenziona difuzija vlage

U prethodnom poglavlju smo diskutovali matematički model jednodimenzioneizotermske difuzije kroz porozni sloj materijala koji se suši. Jednodimenzioni model dajedobre procene u slučaju da se u fluidizovanom sloju suše komadi materijala u obliku vrlotankih listića. Ako bi komadići bili u obliku paralelopipeda dimenzija )( cba ×× pri čemu

ne važi da je jedna od tri dimenzije mnogo manja od ostale dve (kao kod pravougaonoglista), morao bi se primeniti trodimenzioni model, ili eventualno dvodimenzioni (slučajpravougaonog dugačkog štapa).

Dvo- i tro- dimenzione profile koncentracije vlage možemo da definišemokombinovanjem jednodimenzionih profila, pomoću principa superpozicije, koga smoprimenili da bi definisali višedimenzione temperaturne profile (vidi jedn. 4.45- 4.47).Tako, trodimenzioni izotermski profil koncentracije vlage u poroznom komadu oblikaparalelopipeda, dimenzija )( cba ×× dobijamo, imajući u vidu simetričnost, iz sledećeg

profila za njegovu osminu - paralelopiped dimenzija )2()2()2( cba ×× (Vidi Sl.7.5):

20,20,20),,,(),,(),,(),,,( slojslojsloj c zb ya xct zbt yat x X X X t z y x X

s p

s≤≤≤≤≤≤θ⋅θ⋅θ=

−

−

(7.50)

pri čemu funkcije na desnoj strani jednačine dobijamo, ako je dominantan otpor unutrašnjedifuzije vlage, iz formule (7.40), uvodeći umesto bezdimenzione koordinate z , redom:

2,

2,

2 c

z

b

y

a

x z = (7.50a)

a umesto bezdimenzionog vremena τ , redom:

222 )2(,

)2(,

)2( c

t D

b

t D

a

t Dwww

=τ (7.50b)

Ako bi za sva tri pravca bio zadovoljen uslov 2.0>τ , kao funkcije na desnoj strani jedn.(7.50) bi uzeli aproksimativno jednodimenziono rešenje (7.42), što bi nakon smene isređivanja dalo:

)51.7(111

expcoscoscos4),,,(

2222

3

++π−

π

π

π

π=

−

−t

cba D

c

z

b

y

a

x

X X

X t z y x X w

s p

s

u oblasti: .20,20,20 c zb ya x ≤≤≤≤≤≤ U najopštijem slučaju trodimenzionog profila koncentracije vlage u nekom telu, srednjisadržaj vlage, matematički se dobija kao zapreminski integral:

∫∫∫ =V

dxdydzt z y x X V

t X ),,,(1

)( (7.52)

i kao što smo već napomenuli, jednak je količniku ukupne mase vlage u telu i mase suve


32/53

149

materije. U slučaju da telo ima oblik paralelopipeda, dimenzija )( cba ×× , zahvaljujućisimetriji određujemo srednji sadržaj vlage kao srednju vlažnost njegove osmine, dimenzija

)2()2()2( cba ×× (Sl. 7.5), pa imamo:

∫ ∫ ∫ =2

0

2

0

2

0

),,,(8

)(a b c

dxdydzt z y x X

abc

t X (7.53)

Slika 7.5. Osmina paraleolopipeda, za koju se dobija profil koncentracije vlage primenomprincipa superpozicije

Pokazaćemo sada da se formula (7.53), u slučaju jednodimenzionog profila vlage),( t x X svodi na formulu (7.43).:

====

===

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2),(

1),(

2),(

22

8

),(8

),(8

)(

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

a Ldxt x X

Ldxt x X

adxt x X

cb

abc

dzdydxt x X abc

dxdydzt x X abc

t X

Laa

cbaa b c

Primenjujući formulu (7.53) na približan bezdimenzioni koncentracijski profil, definisan jednačinom (7.51), nije teško izvesti formulu:

++π−

π=

−

−=θ t

cba D

X X

X t X t w

s p

s

2222

3

2

111exp

8)()( (7.54)

koja se direktno može dobiti sa formulom (7.48) za jednodimenzion slučaj, primenjujući

princip superpozicije na srednji bezdimenzioni sadržaj vlage :

4 4 4 3 4 4 4 214 4 4 3 4 4 4 214 4 4 3 4 4 4 21

pravcu-u

2

2

2

pravcu-u

2

2

2

pravcu-u

2

2

2exp

8exp

8exp

8)(

z

w

y

w

x

w t

c Dt

b Dt

a Dt

π−

π⋅

π−

π⋅

π−

π=θ

Ona, kao i jedn. (7.51), važi ako su:

a

z

y

xc

b


33/53

150

2.0)2(

,)2(

,)2( 222

>

c

t D

b

t D

a

t D www (7.54a)

Za dvodimenzioni koncentracijski profil, formula (7.52) za srednji sadržaj vlage sesvodi na površinski integral:

∫∫∫ =S

dxdyt y x X S

t X ),,(1)( (7.55)

po površini poprečnog preseka štapa, S . Primena (7.55) na bezdimenzioni koncentracijskiprofil, u dugom štapu pravougaonog preseka, dimenzija ba× , ili direktna primenaprincipa superpozicije daje,:

+π−

π=

−

−=θ t

ba D

X X

X t X t w

s p

s

222

2

2

11exp

8)()( (7.56)

ako su zadovoljena prva dva uslova u jedn (7.54a). Dakle, sadržaj vlage u materijalu kojise suši, prema (7.56) opada eksponencijalno sa vremenom, pri čemu je to opadanje bržeukoliko je veći koeficijent difuzije vlage kroz materijal.

Polazeći od logaritmovanih jednačina (7.56) ili (7.54) možemo, iz nagiba prave ueksperimentalno dobijenom dijagramu θ−

v

lnt , da izračunamo efektivni koeficijentdifuzije vlage, analogno već opisanom postupku u slučaju jednodimenzione difuzije vlage.

PRIMER 7.14. Radi određivanja koeficijenta difuzije vlage pri sušenju, mereni susadržaji vlage u komadićima nekog voća, oblika dugih pravougaonih štapića, sadimenzijama poprečnog preseka: cmcm 5.11 × , od momenta kada je sadržaj vlage svedenna 1.8 kg vl./ kg s.m. (Tabela). Relativna vlažnost vazduha za sušenje je bila 5%.Desorpciona izoterma voća koje se suši je dobro opisana Hendersenovom jednačinom:

( )bsw aX a −−= exp1

sa parametrima: 7131.0,471.4 == ba . Pretpostavka je da su u toku merenja zadovoljeniuslovi: izotermičnost, dominantan otpor unutrašnjoj difuziji vlage, dovoljno velikiFurijeovi brojevi da bi se primenila aproksimativna formula za srednji sadržaj vlage ufunkciji od vremena sušenja. Proceniti koeficijent difuzije vlage tokom sušenja voća.

Tabela uz Primer 7.14

t, min 10 20 30 40 50

s X 0.78 0.47 0.26 0.18 0.10

(Mathcad, P 7.14)

PRIMER 7.15. (Toledo, 2007, E12.4). Komadići jabuke oblika dugih pravougaonihštapića sa dimenzijama poprečnog preseka : cmcm 5.25.1 × sušeni su u vazduhu, relativnevlažnosti 5% )002.0( =s X . Za momenat u kome je izmereni srednji sadržaj vlage

komadića iznosio sm.5.1 kgkg , iz eksperimentalnih merenja je određena i brzina sušenja,

računata po kilogramu suve materije: ( )ssmvl.1033.8 4 ⋅× − kgkg .


34/53

151

a) Proceniti iz datih podataka koeficijent difuzije vlage kroz tkivo jabuke

b) Koristeći procenjen koeficijent difuzije, izračunati sadržaj vlage u sušenimštapićima jabuka, ako je sušenje trajalo još 1h posle momenta u kome je izmeren sadržajvlage kgkg5.1 sm, kao i brzinu sušenja po kg suve materije na kraju sušenja.

a) Da bi smo mogli da rešimo postavljen problem, pretpostavićemo:

1. izotermičnost procesa sušenja,

2. vrlo veliki Biot –ov difuzioni broj (7.36),

3. dvodimenzinu difuziju vlage, s obzirom na dimenzije komadića koji se suše,

4. dovoljno velike Furijeove brojeva za oba koordinatna pravca, da bi mogli dakoristimo aproksimativno rešenje.

Poćićemo od jednačine za srednji bezdimenzioni sadržaj vlage (7.56). Ako jelogaritmujemo, dobijamo pravolinijsku zavisnost::

t

ba

Dt w

+π−π−=θ

22

2 11ln48ln2)(ln

čije diferenciranje daje:

+π−=

θ22

2 11ln

ba D

dt

d w

(7.57)

Diferenciranjem relacije,

u X X

X X

u

s p

s lnlnln =

−

−=θ

43421

koristeći pravilo diferenciranja složene funkcije, dobijamo:

dt

X d

X d

du

X X

X X

dt

du

X X

X X

dt

du

udt

d

s

s p

s

s p

−

−=

−

−==

θ 1ln

i pošto je,

s p X X X d

du

−

=

1

konačno:

dt

X d

X X dt

d

s−

=θ 1ln

(7.58)

Nakon smene (7.58) u (7.57) i rešavanja po w D , dobijamo:

( ) 222 11)( π+−−=

ba X X

dt X d D

s

w (7.59)


35/53

152

Raspolažemo svim vrednostima, koje figurišu na desnoj strani jedn. (7.59), jer izvoddt X d nije ništa drugo do brzina sušenja računata po kilogramu suve materije, sa

negativnim predznakom,. Tako, imamo:

141033.8,5.1,002.0 −−×−=== sdt X d X X s

(Mathcad, P 7.15)

7.4 Kinetika konvektivnog termi č kog sušenja materijala

Proces konvektivnog termičkog sušenja je veoma složen za matematičko opisivanje jer uključuje:

• istovremeni prenos mase i toplote,

• promenu faze (isparavanje vode),

•

površinske pojave u poroznom materijalu (adsorpcija i desorpcija vlage),• kapilarne pojave (kapilarna kondenzacija, kretanje vode kroz materijal pod

dejstvom kapilarnih sila),

• promene strukture poroznog materijala u toku sušenja,

itd. Nešto uprošćen proces sušenja se može dekomponovati (pogl. 2.5) na sledećeelementarne procese:

1. Unutrašnja difuzija kondenzovane vlage,

2. Promena faze (isparavanje) vlage,

3. Unutrašnja difuzija gasovite vlage,

4. Spoljašnja difuzija vlage - prelaz pare sa površine materijala u okolni vazduh,5. Unutrašnji prenos toplote (provođenje kroz materijal),

6. Prelaz toplote sa vazduha na površinu materijala.

Pri tom su prva četiri elementarna stadijuma konsekutivna, mada se stadijumi 1. i 2.mogu odvijati i paralelno.Stadijumi 5. i 6. su međusobno konsekutivni i paralelni sa prvačetiri elementarna procesa. Međutim, opisanim dekomponovanjem ne pojednostavljuje seproblem matematičkog modelovanja, jer su toplotni fluksevi (5. i 6. stadijum) uinterakciji sa prva četiri stadijuma. Tako, isparavanje vlage sa površine materijalaizaziva hlađenje površine, koje uslovljava prenos toplote iz mase vazduha na površinu.Dalje, efektivna provodljivost toplote zavisi od sadržaja vlage, a efektivni koeficijentidifuzije pare i vode zavise od temperature, pa su difuzioni i toplotni fluksevi umeđusobnoj interakciji.

Najvažniji praktičan rezultat matematičkog modelovanja procesa sušenja bi bio izrazza brzinu sušenja, u zavisnosti od srednjeg sadržaja vlage u materijalu (matematičkidefinisanog jednačinom 7.52), temperature i vlažnosti agensa za sušenje. Brzina sušenja r se definiše kao promena srednjeg sadržaja vlage X u jedinici vremena i to kaopozitivna veličina:


36/53

153

( )1−−= sdt

X d r (7.60)

Do izraza za brzinu sušenja se može doći metodom limitirajućeg stadijuma (Pogl. 2.5)pod uslovom da neki, izrazito spor elementarni stadijum, kontroliše brzinu sušenja

U eksperimentalnim istraživanjima su uočeni sledeći periodi ili faze u procesusušenja kapilarno-poroznih materijala (Valent, 2001; Toledo, 2007):

1. Period konstantne brzine sušenja;

2. Prva faza opadajuće brzine sušenja;

3. Druga faza opadajuće brzine sušenja.

U prvoj fazi sušenja, spoljnja površina materijala je prekrivena filmom vode(slobodna vlaga, čija je aktivnost 1=wa , vidi duž CD na Sl.7.1) koja isparava i brzina

sušenja je limitirana brzinom prelaza toplote sa vazduha na materijal. Ona traje dokvlažnost materijala ne padne na vrednost koja se naziva kritična vlažnost, ispod kojepovršina materijala nije više potpuno prekrivena filmom vode. U periodu konstantne

brzine sušenja, temperatura materijala je jednaka temperaturi adijabatskog zasićenja,odnosno temperaturi vlažne kugle termometraw

T vazduha za sušenje, tj. sva dovedena

toplota se troši na isparavanje vode.

Ispod kritične vlažnosti počinje druga faza sušenja, u kojoj brzina sušenja opada savremenom, tj. sa smanjenjem vlažnosti materijala. I dalje je voda u materijalu slobodna ( 1=wa ), ali njena difuzija ka površini postaje limitirajući stadijum u složenom procesu

sušenja. Temperatura materijala je nešto viša od temperature vlažne kugle termometraza vazduh. Ova faza traje dok vlažnost materijala ne opadne do maksimalne higroskopnevlažnosti (tačka C na Sl.7.1), koja se naziva i druga kritična vlažnost.

Ispod druge kritične vlažnosti, brzinu sušenja ograničava difuzija vlage koja jebila vezana višeslojnom adsorpcijom i kapilarnom kondenzacijom, pri čemu vlagapretežno difunduje u parnom stanju. Kako je difuzija vezane vlage sporija od difuzijeslobodne vlage, u ovoj fazi brzina sušenja brže opada sa opadanjem sadržaja vlage umaterijalu, nego u prethodnom periodu. U ovoj trećoj fazi sušenja, temperatura materijala se približava temperaturi vazduha za sušenje.

Konačno, brzina sušenja pada na nultu vrednost kada se uspostavitrermodinamička ravnoteža tj. kada se vlažnost materijala svede na onaj nivo koji je uravnoteži sa relativnom vlažnošću vazduha za sušenje (tačka na sorpcionoj izotermi).

Radi ispitivanja kinetike sušenja, mere se sadržaji vlage u materijalu u pojedinimmomentima tokom sušenja i zamišljena kriva koja prolazi kroz eksperimentalne tačke,odnosno najbliže njima (u skladu sa principom najmanjih kvadrata, dodatak D) naziva sekriva sušenja. U skladu sa definicijom (7.60), brzine sušenja u pojedinim momentimadobijamo diferenciranjem raspoloživih podataka. Na Slici 7.6, dati su eksperimentalnipodaci za sušenje kriški jabuka u nezasićenom vazduhu (Toledo, 2007, E12.12).Zapažamo da prvih 5 eksperimentalnih tačaka na slici približno leže na pravoj, tj. da upočetnom periodu vlažnost opada linearno sa vremenom. To znači da je, u skladu sadefinicijom (1), brzina sušenja u tom periodu konstantna - ne zavisi od sadržaja vlage.Njenu vrednost

cr procenjujemo izračunavanjem nagiba prave provučene najbliže tim

tačkama, metodom najmanjih kvadrata.


37/53

154

Slika 7.6. Sadržaji vlage (kg po kg suve materije)u toku sušenja kriške jabuke

Konstantna brzina sušenja

U periodu konstantne brzine sušenja,c

r r = , ona je određena brzinom prelaza toplote

sa vazduha na površinu materijala i može se izračunati iz toplotnog bilansa: količinatoplote utrošena na isparavanje slobodne vode sa površine, tačno je jednaka fluksu prelaza

toplote sa vazduha temperature vT na površinu temperature wT :

( ) )(W AT T hV r hmr wv

isp

wsmc

isp

wsmc −α=∆ρ=∆ (7.61)

gde su,

−c

r brzina sušenja, )( skgkgsmw

⋅

−sm

m masa suve supstance u materijalu, kg

−V zapremina materijala, 3m

smρ - gustina suve supstance u materijalu, 3mkg

−∆ isp

wh latentna toplota isparavanja vode na temperaturi površine,

kg J

− A spoljnja površina materijala, izložena dejstvu vazduha, 2m

Iz (7.61) dobijamo traženu konstantnu brzinu sušenja:

0 10 20 30 40 50 60 700

2

4

6

X

t

Vreme t u min


38/53

155

( )isp

wsm

wvc

h

T T sr

∆ρ

−α= (7.62)

−= V As specifična površina sušenja, 1−m

Ako se temperatura vazduha T v menja duž površine od T v,1 do T v,2, kao temperaturna

razlika u broiocu, koristi se srednja logaritamska razlika temperatura:

wv

wv

wvwv

sr

T T

T T

T T T T T

−

−

−−−=∆

2,

1,

2,1,

ln

)()( (7.62a)

Izrazi za specifičnu površinu sušenja za tela pravilnog geometrijskog oblika, zaslučaj da su sa svih strana izložena dejstvu vazduha za sušenje, dati su u Tabeli 7.1

Tabela 7.1.- Specifične površine

Telo: Specifična površina sušenja:

Kocka, ivice L

Ls

6=

Lopta, prečnika R

Rs

3=

Kratak cilindar, poluprečnika R i visine H

+=

H

R

Rs 1

2

Dugi cilindar, poluprečnika R

Rs

2=

Kvadar, dimenzija cba ××

++=

cbas 1112

Sloj materijala velike površine idebljine L L

s2

=

U slučaju da materijal nije izložen dejstvu vazduha sa svih strana, potrebno jekorigovati date formule, množenjem sa udelom površine izložene sušenju u ukupnojspoljnjoj površini materijala. Recimo, ako je sloj materijala, debljine L izložen sušenjusamo sa jedne strane, specifična površina sušenja će biti,

L Ls 12

21

==

PRIMER 7.16. Kriške jabuka se suše u sloju debljine in5.0 . Izmerena nasipna gustina

vlažnog sloja pri sadržaju vlage od 87% (vlažna osnova) je 35 3 ft lb . Sloj se suši sa obe

strane vazduhom temperature F T v

0170= , čija je temperatura vlažne kugle termometra,

F T w

0100= . Vazduh, normalnog pritiska, struji paralelno sa površinom sloja, brzinom od


39/53

156

sm65.3 . Za koeficijent prelaza toplote sa vazduha na površinu sloja, pri njegovomstrujanju paralelno sa slojem važi korelacija (Toledo, 1991):

)(,31.14 28.0 K mW G=α

gde je G masena brzina strujanja u )( 2smkg . Latentna toplota isparavanja vode na

F 0100 je lb BTU 1037 . Proceniti brzinu sušanja. (Mathcad P 7.16)

Opadaju ća brzina sušenja u prvom i drugom periodu

Pogonska sila za proces sušenja je razlika aktuelnog sadržaja (srednjeg) vlage umaterijalu i ravnotežnog sadržaja vlage, koji zavisi od temperature i relativne vlažnostivazduha za sušenje (prema sorpcionoj izotermi). Tako bi se, u skladu sa pravilimakinetike, izraz za brzinu sušenja mogao potražiti u obliku, koji važi za proces n-togreda:

( )ns X X k r −= (7.63)

i on se pokazao prihvatljivim, tj. u skladu sa rezultatima eksperimenata (Valent, 2001). U jednačini (7.63), X ne predstavlja lokalni sadržaj vlage (u nekoj tački u sloju materijalakoji se suši) već 'ukupni', tj. srednji sadržaj vlage u materijalu: X X = . Konstanta brzine k

je funkcija temperature sloja (srednje temperatura sloja). Eksperimenti su pokazali da je zatanke i rastresite porozne slojeve, red procesa sušenja približno jednak jedinici,

1≈n (Valent, 2001), tj. da je brzina sušenja linearna funkcija vlažnosti:

( ) mkX kX kX X X k r ss +=−=−= (7.64)

Pošto u ovoj fazi sušenja, brzinu sušenja limitira unutrašnja difuzija vlage,teorijski bi se mogao izvesti izraz za brzinu sušenja diferenciranjem funkcije )(t X ,dobijene iz rešenja matematičkog problema nestacionarne difuzije vlage u poroznomsloju materijala koji se suši vazduhom. Radi pojednostavljenja izvođenja, poćićemo od

jednodimenzione difuzije vlage u sloju, jedn. (7.40-7.47), tj. od funkcije (7.45):

)()()( 2 s pws X X Lt D X t X −⋅θ+=τ

3 21

gde je,

( )

∑∞

=

π+

τπ+−=τθ

0

22

22

5.0

)5.0(exp2)(

i i

i

Za veća bezdimenziona vremena τ , funkcija )(τθ se može aproksimirati prvim članomreda:

( )2.0,

4

4exp2)(

2

2

>τπ

τπ−≈τθ


40/53

157

što za srednju vlažnost u funkciji od vremena daje:

( )s p

ws X X t

L

D X t X −

π−

π+=

2

2

2 4exp

8)(

Preostaje da poslednji izraz diferenciramo:

( ) ( )84

8

4exp

4

8 2

2

2

22

2

2

2

2

π

−

−π−

π−=

π−

π−−

π=

s p

sws p

wws p

X X

X X

L

D X X t

L

D

L

D X X

dt

X d

( ) ( )ss

w X X k X X L

Dr

dt

X d −=−

π

==− 2

2

4 (7.65)

Dobili smo dakle izraz (7.64) i pokazali da je on konzistentan sa teorijom unutrašnjedifuzije vlage. Za konstantu brzine teorijski smo izveli:

2

2

4 L

Dk

wπ

= (7.66)

Nakon što srednji sadržaj vlage u materijalu padne ispod druge kritične vlažnosti(maksimalne higroskopne vlažnosti) mehanizam difuzije vlage u materijalu se menja, štokao rezultat ima nižu vrednost efektivnog koeficijenta difuzije,

w D . Znači da se nagib i

odsečak u pravolinijskoj zavisnosti (7.64) menjaju u posmatranoj kritičnoj tački i to takošto se nagib tj. konstanta brzine sušenja smanjuje a odsečak povećava (smanjuje poapsolutnoj vrednosti). Promena nagiba tj. konstante brzine se može obrazložiti i na osnovuanalogije sa hemijskom kinetikom, tj. na bazi Arenijusovog zakona:

)exp(0 g RT E k k −= (7.67)

U drugom periodu opadajuće brzine sušenja, počinje da se uklanja vlaga koja je vezanaadsorpcionim silama, što znači povećanje energije aktivacije E za oslobađanje vlage, a toprema (7.67) znači smanjenje konstante brzine k .

Procenjivanje parametara u linearnom izrazu za brzinu sušenja (7.64) u prvom idrugom periodu opadajuće brzine iz eksperimentalnih podataka o krivoj sušenja (vidi Sl.7.6) zahteva sledeće korake:

1. Diferenciranje eksperimentalnih podataka koji pripadaju periodu opadajuće brzinesušenja (dakle izuzimamo tačke koje pripadaju peridu konstantne brzine sušenja),radi izračunavanja brzina sušenja u pojedinim momentima;

2. Formiranje tabele: vlažnost - brzina sušenja i ucrtavanje tačaka iz tabele udijagram;

3. Uočavanje 'tačke preloma' linearnog trenda, tj. približno lociranje druge kritičnetačke;

4. Izračunavanje traženih parametara: nagiba i odsečaka pravih koje fitujudobijene podatke o brzinama u prvom i drugom periodu opadajuće brzinesušenja


41/53

158

'Kritičan' korak u opisanom postupku je diferenciranje eksperimentalnih podataka,koje je veoma osetljivo na greške merenja i odabrani postupak (vidi Dodatak B). Da bi seu što većoj meri smanjio uticaj grešaka merenja, neophodno je na neki način 'uglačati'(smooth) polazne podatke, tj. eliminisati u izvesnoj meri eksperimentalne greške. Jedannačin da se to postigne je:

1. Fitovanje podataka u oblasti opadajuće brzine sušenja, metodom

najmanjih kvadrata, polinomom odabranog stepena, odnosno definisanje jednačine krivesušenja u toj oblasti u obliku polinoma )(t Pm

2. Izračunavanje traženih brzina diferenciranjem dobijenog polinoma.

Postoji neki optimalan stepen polinoma. Naime, ako je stepen polinoma suvišemali, biće nizak kvalitet fitovanja, što će kao rezultat imati loše vrednosti izvoda. Ako jepak stepen polinoma suviše velik (mala razlika broja tačaka i stepena polinoma), onpočinje da se ponaša slično interpolacionom polinomu tj. da 'vijuga' (vidi Dodatak B), štokao rezultat opet ima loše procene izvoda. Kao kriterijum za izbor optimalnog stepenapolinoma može se usvojiti grafički kriterijum: u kojoj su meri izračunate tačke udijagramu vlažnost - brzina sušenja u skladu sa prihvaćenim matematičkim modelom

(7.64) za brzinu sušenja. Opisanom obradom podataka datih na slici 7.6 , uz korišćenjepolinoma 5. stepena za fitovanje podataka u periodu opadajuće brzine sušenja, dobijene sutačke i odgovarajuće linije brzina sušenja, prikazane na Sl.7.7.

Slika 7.7. Brzine sušenja kriški jabuka dobijene iz eksperimentalnih podataka datih naSlici 7.6.


42/53

159

PRIMER 7.17. Date su izmerene vlažnosti kriški jabuka u toku sušenja vazduhom(Toledo, 2007, E12.12).

a) Proceniti brzinu sušenja u periodu njene konstantne vrednosti.

b) Odabrati opisanim postupkom optimalan stepen polinoma koji fituje eksperimentalnetačke u periodu opadajuće brzine sušenja (Mathcad, P 7.17)

Tabela uz Primer 7.17.

)(mint )( smw kgkg X )(mint )( smw kgkg X )(mint )( smw kgkg X

0 5.78 25 1.90 50 0.63

5 5.08 30 1.51 55 0.50

10 4.25 35 1.15 60 0.41

15 3.40 40 0.99 65 0.34

20 2.55 45 0.79 70 0.28

Na Slici 7.8 , skiciran je dijagram zavisnosti brzine sušenja od sadržaja vlage, premaizloženom matematičkom modelu. Označene su karakteristične tačke na pravimlinijama. U preseku produžetka prave linije, koja opisuje opadajuću brzinu u prvomperiodu 1r , sa apscisnom osom, dobija se prva rezidualna vlažnost 1,r X , u kojoj bi

brzina sušenja postala jednaka nuli. U preseku produžetka prave linije za opadajućubrzinu sušenja 2r u drugom periodu i apscisne ose dobija se druga rezidualna vlažnost

2,r X , koja je teorijski jednaka ravnotežnoj vlažnošti s X .

Slika 7.8. Brzina sušenja u funkciji od sadržaja vlage.

−0 X početna vlažnost, −1,c X prva kritična vlažnost, −2,c X druga kritična vlažnost,

−1,r X prva rezidualna vlažnost, −2,r X druga rezidualna vlažnost

222 )( m X k X r +=

111 )( m X k X r +=

2,r X 1,r X 1,c X 0 X

cr

X

02,c X

r


43/53

160

U intervalu 01, , X X c , gde je 0 X početni sadržaj vlage, brzina je opisana

horizontalnom pravom: cr r = . U intervalu ograničenom prvom i drugom kritičnom

tačkom, 1,2, , cc X X važi opadajuća linearna zavisnost sa nagibom 1k i konačno, u

intervalu 2,2, , cr X X , važi opadajuća linearna zavisnost sa nagibom 12 k k < . Preko

karakterističnih tačaka, izrazi za brzine sušenja se mogu formulisati na sledeći način:

Period konstantne brzine sušenja,

01,., X X X zaconst r r cc ≤


44/53

161

Tre

Documents

7_ Modelovanje susenja vazduhom.pdf