7 « nuances de gris

Embed Size (px)

Text of 7 « nuances de gris

  • Ressources pour la classe de premiregnrale et technologique

    Mathmatiques Srie STD2A

    Nuances de gris

    Ces documents peuvent tre utiliss et modifis librement dans le cadre des activits d'enseignement scolaire, hors exploitation commerciale.Toute reproduction totale ou partielle dautres fins est soumise une autorisation pralable du Directeur gnral de lenseignement scolaire.La violation de ces dispositions est passible des sanctions dictes larticle L.335-2 du Code la proprit intellectuelle.

    24 octobre 2011

    MENJVA/DGESCO eduscol.education.fr/progResso

    urces

    pour

    le lyc

    e g

    nral

    et te

    chno

    logiqu

    eduSCOL

  • Fonctions, nuances de gris et dgrads

    ThmeLe codage de la luminosit et des niveaux de gris, et les transformations qui peuvent y tre appliques.

    Objectifs Associer les dgrads de gris et les fonctions de [0;1] dans [0;1] . Consolider la matrise des fonctions mathmatiques de rfrence.

    Situation daccrocheA quoi servent les fonctions mathmatiques pour le traitement des images ?

    PrrequisActivit Cube des couleurs

    Documents supports Photographies en noir et blanc

    Domaines du programme Fonctions de rfrence, capacits :

    Connatre la reprsentation graphique de la fonction racine carre. Comparer les rels x , x 2 et x pour un rel x de [0;1].

    Codage des couleurs

    OutilsLogiciel de gomtrie dynamique GeoGebraLogiciel de traitement dimages (XnView, The Gimp, ...)

    AuteursJean-Marc DuquesnoyRobert Cabane

    CrditsLes photographies sont issues des collections personnelles des auteurs.

    Ministre de l'ducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO) Page 1 sur 11Mathmatiques STD2A>eduscol.education.fr

  • Fonctions, nuances de gris et dgrads

    1. Brve introductionLes notions physiques relatives la lumire figurent dans le programme de Sciences Physiques et Chimiques de la srie STD2A (BOEN spcial n3 du 17 mars 2011). On pourra consulter les manuels de photomtrie pour avoir les dfinitions des units physiques correspondantes : candela, lumen, lux.

    Dans ce document et les activits proposes nous ne nous occuperons que de lumire dite blanche . La discussion sur ce quest un vrai blanc relve de la Physique1 ; nous partirons dune source lumineuse suppose blanche , clairant une surface rceptrice (lil, un cran, le capteur dun appareil photo numrique voire une feuille darbre). Lclairement reu par cette surface se mesure en lumen (ou lux.m2). Si on dsire rduire cet clairement, on dispose un diaphragme qui permettra de nobtenir quune fraction de lclairement initial ; nous associons lclairement ainsi obtenu des nuances de gris2.

    On convient de dsigner les gris par un pourcentage : le gris moyen ou gris 50% correspond une attnuation du blanc initialement retenu par un diaphragme occultant la moiti de la source lumineuse ; aux extrmes, le gris 0% est simplement le blanc initial et le gris 100% nest autre que le noir, absence de lumire3. Le dgrad reprsent ci-dessous correspond ces conventions.

    2. Le codage informatique et son abstractionDun point de vue informatique (ou infographique) les niveaux de gris sont cods sous forme de nombres entiers compris entre 0 et 255, pour la simple raison quavec huit chiffres binaires (bits) un maximum de 256=28 valeurs distinctes de lintensit lumineuse peuvent tre atteintes. La valeur 0 reprsente la couleur noire, et la valeur 255 la couleur blanche (voir l'activit Cube des couleurs qui a permis de dfinir l'axe achromatique).

    Certains logiciels proposent des curseurs allant de 0 255 (ou de 00 FF en reprsentation hexadcimale), dautres restent sur un pourcentage. Mathmatiquement parlant, il est commode dassocier ces grandeurs aux nombres rels de lintervalle [0;1] tout en sachant que, dans une image numrique, le nombre effectif de niveaux de gris distincts reste fini..

    1 Cest une question de tempratures !2 Si la source lumineuse est une image dj numrise, forme de ses composantes rouge, verte et bleue, on peut

    convertir cette image en une image en niveaux de gris en assignant chaque point une nuance de gris (luminosit) gale une moyenne pondre des valeurs des composantes R, V et B.

    3 La terminologie en usage en colorimtrie nomme les nuances de gris en sens inverse daprs le principe de synthse soustractive des couleurs ; cest ainsi que la couleur nomme Gris 10% correspond une intensit lumineuse 0,9=90%, donc la valeur 230, approximation de 0,9 255.

    Ministre de l'ducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO) Page 2 sur 11Mathmatiques STD2A>eduscol.education.fr

  • En rsum :

    0 reprsente le noir, =50% reprsente le gris moyen et 1=100% reprsente le blanc.On passe de la reprsentation mathmatique la reprsentation informatique par la formule ENT(255*g), g dsignant le niveau de gris dans [0;1] .Le passage inverse se fait par une division par 2554.

    3. Comparer deux dgradsPrenons le cas du passage au ngatif dune photo (exemple ci-contre). On voit bien que le blanc et le noir sont changs, le gris moyen conserv (voir sur le pilier droit de larche).

    Question : comment passe-t-on de lun lautre ?

    Rponse : pour chaque point ( pixel ) de limage ayant une couleur (plutt un niveau de gris) x [0;1] , le niveau de gris de limage en ngatif sera 1x .5

    Nous pouvons donc abstraire ce procd en figurant cte cte les deux dgrads :

    labscisse x on trouve (en bas) le gris de valeur x . cette mme abscisse on a (en haut) la valeur du dgrad transform par le passage en ngatif6, qui est 1 x . On peut donc dire que le dgrad du haut est une sorte de reprsentation visuelle (graphique ?) de la fonction f dfinie par f (x )=1x .

    4. Un peu de pratiqueUne premire exprimentation avec une figure dynamique dj prte permettra l'lve de prendre par la suite des initiatives pour trouver les associations entre dgrads de gris et fonctions mathmatiques.

    Comment peut-on, l'aide de Geogebra, associer une fonction (ici, la fonction racine carre) lvolution de la couleur de remplissage d'un polygone ? La solution passe par un curseur et par lassignation de couleurs dynamiques au remplissage du carr.

    4 Il convient de faire attention aux erreurs darrondi, une formule plus adquate serait ARRONDI(255*g;0).5 Cette transformation est fort simple quand on se sert de la reprsentation binaire ou hexadcimale, il suffit

    dchanger les bits 0 et 1, ou les chiffres hexadcimaux 0 et F, 1 et E, 2 et D etc.6 galement nomm inversion vido .Ministre de l'ducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO) Page 3 sur 11Mathmatiques STD2A>eduscol.education.fr

  • N Dgrads Fonctions de x

    1 2 fois la distance entre 12

    et x

    2 x

    3 x2

    4 1x

    5 x

    6 4 x(1x )

    7 2 x sur [0;12] et 22 x sur [

    12

    ;1]

    8 Inconnu ou x3

    9 Inconnu ou 6 x2(1 x)

    8. Le seuillageLe seuillage consiste mettre 0 (noir) tous les pixels ayant un niveau de gris infrieur une certaine valeur. Il permet de mettre en vidence des formes ou des objets dans une image.

    C'est encore une fois l'occasion d'crire un algorithme dans lequel l'instruction conditionnelle

    SI ALORS SINON 12 sera utile.

    Question : quoi ressemble le dgrad correspondant la fonction seuil ? Prolongement : seuillage haut et bas .

    9. Lassombrissement/claircissementOn cherche assombrir une photo numrique (en niveaux de gris) trop claire. On commence par faire un cahier des charges :

    Pour assombrir la photo, il faut agir sur les niveaux de gris des pixels de sorte que :

    le noir reste noir le blanc reste blanc le gris final doit tre plus sombre que le gris initial respect des contrastes : si la zone A initiale est plus fonce que la zone B initiale, alors la

    zone A finale doit tre plus fonce que la zone B finale

    12 IF THEN ELSE selon les langages Ministre de l'ducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO) Page 6 sur 11Mathmatiques STD2A>eduscol.education.fr

  • Sur cette image, on applique la transformation associe =4 . On obtient l'image suivante :

    La compose des deux transformations permet de revenir une image dont les niveaux de gris sont apparemment identiques ceux de l'image initiale. Comme la mise en uvre voque prcdemment ncessite le recours la fonction partie entire, une premire fois pour claircir, puis une seconde fois pour assombrir, des erreurs darrondi surviennent. On peut le vrifier en crant limage diffrence : elle contient des nombres trs petits (compris entre 0 et 4), assimils du noir, mais en normalisant le rsultat on peroit trs bien le bruit li la discrtisation.

    Ministre de l'ducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO) Page 11 sur 11Mathmatiques STD2A>eduscol.education.fr