15
7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1

Page 2: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 2

Menawarkan peningkatan efisiensi dan keakuratan perhitungan

Menggunakan langkah-langkah yg sama dgn primal simpleks

Perbedaan hanya pd perhit. Variabel masuk dan keluar.

Standar model LP dalam matriksMaks/min z = CX

Terhadap

(A,I)X=b

X ≥ 0

Page 3: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 3

I = matriks identitas

X = (x1, x2, …, xn)T dan C = (c1, c2, …, c3)

a ... a a

a a a

a a a

m-nm,m2m1

m-n2,2221

m-n1,1211

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=ΜΜΜ

Κ

Κ

A⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

mb

bb

bΜ 2

1

Contoh 1:

Maksimumkan z = 2x1+3x2+4x3

Terhadap

x1+x2+x3 ≥ 5

x1+2x2 = 7

5x1-2x2+3x3 ≤ 9

x1,x2,x3 ≥ 0

Page 4: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 4

Bentuk standar matriks

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxx

( )0 M,- M,- 0, 4, 3, 2, z =nmaksimumka

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

terhadap

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

975

0 0 0 3 2- 51 0 0 0 2 10 1 1- 1 1 1

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxx

xj ≥ 0 dimana j = 1, 2, …, 7

Page 5: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 5

X = (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7)T, C = (2, 3, 4, 0, -M, -M, 0),

b= (5, 7, 9)T

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

1 0 00 1 00 0 1

I ,0 3 2- 50 0 2 11- 1 1 1

A

Solusi dasar dan basis

•Titik ekstrim solusi dasar

•Secara matematis : ∑=

=n

jjj xPXIA

1),(

• Pj vektor kolom (A,I)

• Sembarang vektor Pj independen linear akan berhub dgnsolusi dasar (A,I)X=b dan oleh karenanya merupakan titikekstrim ruang solusi. Dalam hal ini, m vektor yg terpilihmembentuk basis dimana matriks kuadrat yg sesuai pastinonsingular.

Page 6: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 6

Menggunakan contoh 1 di atas:

m=3 dan n=7, maka basis 3 (m) vektor dengan 4 (n-m) variabel.

Vektor :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

301

,2

21

,511

321 PPP

Bersesuaian dengan x1, x2 dan x3 akan membentuk basis jikadan hanya jika: singular

3 2- 50 2 11 1 1

),,( 321⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛== PPPB

Krn determinan B ≠0 (-9), kondisi dipenuhi dan solusi persamaan:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

975

3 2- 50 2 11 1 1

3

2

1

xxx

Page 7: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 7

Tabel simpleks dalam bentuk matriks:

Basic XI XII

z CBB-1A-CI CBB-1-CII

B-1

CBB-1bXB B-1A B-1b

XII elemen X yg merupakan basis awal B=I

CI = koefisien tujuan XI, CII = koefisien tujuan XII

CB = koefisien tujuan basis

XB = variabel basis

Def Im=(e1, e2, …, em)

Page 8: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 8

Langkah-langkah metode Revised (primal) simpleks:

1. Penentuan vektor masuk (Pj), untuk setiap Pj non-basic hit:

zj-cj=Ypj-cj

pilih Pj yang mempunyai nilai zj-cj positif terbesar jikaminimisasi dan negatif terbesar jika maksimisasi

2. Penentuan vektor keluar (Pr), hit:

•hitung nilai variabel basis XB = B-1b

•Koefisien pembatas variabel masuk αj = B-1Pj

•Vektor keluar berhub dgn ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

>=−

0,min1

jkj

k

kk

bBα

αθ

jkα( )kbB 1− dan adalah elemen ke-k dari B-1b dan αj

Page 9: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 9

jrα

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+

=

jr

jm

jr

jr

jj

r

j

αα

α

αα

αα

ξ

Μ

Μ

1

2

1

2. Penentuan basis berikutnya, hit:

Dimana E = (e1, …, er-1, ξ, er+1, em)

11 −− = EBBnext

adalah perpotongan vektor masuk dan keluar

Elemen pivot pd primal simpleks

Page 10: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 10

Contoh 2:

Maksimumkan z = 3x1+2x2

Terhadap

x1+2x2 ≤ 6; 2 x1+x2 ≤ 8; - x1+x2 ≤ 1, x2 ≤ 2, x1,x2 ≥ 0

Penyelesaian

Solusi awal :

XB = (x3, x4, x5, x6)T, CB = (0, 0, 0, 0), B = (P3, P4, P5, P6) = I, B-1 = I

654321 P P P P P P

0 1 0 0 1 1-0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 2 1

↓↓↓↓↓↓

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=A

Page 11: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 11

Iterasi 1:

• Penentuan vektor masuk, untuk P1 dan P2 hit: zj – cj = Ypj- cj

Y=CBB-1 = (0, 0, 0, 0)I = (0, 0, 0, 0)

(z1-c1, z2-c2)=Y(P1,P2)-(c1, c2)=

=(-3, -2), maka vektor masuk adalah P1

penentuan vektor keluar : XB = B-1b=Ib=b = (6 8 1 2)T

α1 = B-1P1=IP1= P1

θ = min {6/1, 8/2, _, _), berhub dgn x4, maka vektor keluaradalah P4

( ) )2,3(

1 01 1-1 22 1

0,0,0,0 −

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

Page 12: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 12

Penentuan Inverse basis berikutnya:

Karena P1 menggantikan P4 dan α1=(1, 2, -1, 0)T, maka:

( ) ⎟⎟

⎜⎜

⎛−=⎟⎟

⎜⎜

⎛−−

+−

=0 2121

21

2021

2121

ξ dan

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛==

== −−

1 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1

11

E

EIEBBnext

Basis berikutnya adalah XB = (x3, x1, x5, x6) dan CB=(0, 3, 0, 0)

Page 13: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 13

Iterasi-2

•Penentuan vektor masuk, untuk vektor non basic P2 dan p4.

( ) ( )0,0,2/3,01 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1

0,0,3,01 =⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=−BCB

( ) ( ) ( ) ( )2/3,2/10,20 10 11 10 2

0,0,2/3,0, 4422 −=−⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=−− czcz

P2 adalah vektor masuk

•Penentuan vektor keluar, diberikan P2 sebagai vektor masuk:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

2542

2186

1 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1

BX

Page 14: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 14

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛== −

12/32/12/3

1112

1 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1

212 PBα

3412,

235,

214,

232min =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=θ bersesuaian dengan x3, mk vektorkeluar adalah P3

•Penentuan basis berikutnya. Karena P2 menggantikan P4 danα2=(3/2,1/2,3/2,1)T, maka:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎟

⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−+

=32

131

32

2/312/32/32/32/1

2/31ξ

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=−

1 0 1/3 2/3-0 1 1 1-0 0 2/3 1/3-0 0 1/3- 2/3

1 0 0 00 1 1/2 00 0 1/2 00 0 1/2- 1

1 0 0 2/3-0 1 0 1-0 0 1 1/3-0 0 0 2/3

1nextB

Page 15: 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 1hotniars.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/22370/... · 7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar

7/30/2005 Simpleks yagn direvisi, created by Hotniar Siringoringo 15

Basis baru berhubungan dengan XB = (x2,x1,x5,x6) danCB=(2,3,0,0)Iterasi-3•Penentuan vektor masuk

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3/4,3/10,00 00 01 00 1

0,0,3/4,3/1,

0 0, 4/3, ,3/11 0 1/3 2/3-0 1 1 1- 0 0 2/3 1/3-0 0 1/3- 3/2

0,0,3,2

4433

1

=−⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=−−

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛== −

czcz

BCY B

Karena zj-cj > 0, maka solusi optimal sudah diperoleh, yaitu:

( ) 3/383/2

33/10

3/40,0,3,2

3/23

3/103/4

2186

1 0 1/3 2/3-0 1 1 1- 0 0 2/3 1/3-0 0 1/3- 2/3

1

6512

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛==

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛==

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

BB XCz

bBxxxx