8. Gráficas y. Funciones

8/16/2019 8. Gráficas y. Funciones

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8. Gráficas y

funciones



Matemáticas 3º ESO

274

1. Gráfica Proceso

2. Proceso Gráfica

3. Ecuaciones

4. Modelos funcionales

Rectas Parábolas Proporcionalidad inversa

5. Problemas deproporcionalidad



Gráficas y funciones

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1. Gráfica Proceso

MERIENDA EN EL CAMPO

Ana ha quedado con sus amigos para merendar en el campo. Sale de casa y tiene que entrar en latienda a comprar coca-cola; después va al lugar donde han quedado y espera a que llegue el resto dela panda. Por fin, ya están todos, y se van al río a merendar. Después de pasar la tarde, vuelve acasa haciendo un alto para despedirse de sus amigos.

a) ¿Qué distancia hay de casa de Ana a la tienda?. ¿Y entre ésta y el lugar de la cita?. ¿A quédistancia está el río?.

b) ¿Cuánto tiempo pasa en la tienda?. ¿Cuánto están en el río?.

c) Si sale de la tienda a las 4 h 15’, ¿dónde está a las 4 h 40’?. ¿Y a las 6 h?. ¿A qué hora salió decasa?. ¿A qué hora regresó?.

CAPACIDAD PULMONAR

Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones se hace una prueba que consiste en inspirar almáximo y después espirar tan rápido como se pueda en un aparato llamado “espirómetro”. Esta curvaindica el volumen de aire que entra y sale de los pulmones mientras se realiza una “espirometría”.




276

a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial?.

b) ¿Cuánto tiempo duró la observación?.

c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones de esta persona?.

d) ¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba?.

AUTOMÓVILES O TRACTORES

Cierta empresa tiene capacidad para montar automóviles o tractores. Según los recursos que dediquea la fabricación de unos, puede destinar el resto a la fabricación de los otros. En la gráfica serepresenta la relación existente.

1) Construye una tabla como la siguiente con algunos valores. Observa el sentido de crecimiento dedichos valores.

TRACTORES X 0 AUTOMÓVILES Y 800

Dominio de una función es el conjunto de valores de x para los que está definida la función;es decir, para los que existe gráfica. Se representa por Dom (f).

Imagen o Recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la y para cada unode los puntos de su dominio. Se representa por Im (f).

Una función es decreciente si al aumentar la x, la y disminuye; es decir, al recorrer la gráficade izquierda a derecha, la gráfica baja.

Una función es creciente si al aumentar la x, la y aumenta; es decir, al recorrer la gráfica deizquierda a derecha, la gráfica sube.

2) Esta gráfica, ¿es creciente o decreciente?. ¿Cuál es su dominio?. ¿Cuál es su recorrido?.




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PRECIOS DEL PETRÓLEO

En la siguiente gráfica se muestra la evolución de los precios del petróleo, en dólares por barril, desde1972 hasta 1983. Comenta la gráfica. ¿A qué puede deberse el cambio brusco de crecimiento que seproduce en 1979?.

CURACIONES

Para el tratamiento de una enfermedad cardiaca se está experimentando, en un laboratorio, unmedicamento en distintas dosis para comprobar sus efectos favorables. La gráfica C muestra elporcentaje de curaciones que se obtienen con una dosis de x miligramos.

Por otra parte, se ha observado que este medicamento produce efectos secundarios que perjudicanel hígado. El porcentaje de enfermos afectados depende también de la dosis administrada y apareceen la gráfica E.

¿Cuál es la dosis que consideras más adecuada?.






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BOTELLAS

Tomamos una botella y la vamos llenando de agua vaso a vaso. Cada vez que echamos un vaso deagua medimos la altura que alcanza el agua en el interior de la botella y anotamos los resultados:

nº de vasos echados nivel alcanzado

1) Aquí tenemos cuatro botellas y sus correspondientes gráficas. Asigna a cada una la suya.




280

2) Dibuja la gráfica correspondiente a esta botella.

MONTAÑISMO

Las siguientes gráficas nos muestran la marcha de seis montañeros:

a) Describe el ritmo de cada uno. ¿Cuáles de estas gráficas te parecen menos realistas?.

b) ¿Quién recorre más camino? ¿Quién camina durante menos tiempo?.




281

TIERRA Y LUNA

Lanzamos un objeto hacia arriba desde una cierta altura y con la misma velocidad en la Tierra y en laLuna. Representamos gráficamente la relación entre la altura alcanzada y el tiempo empleado del

modo siguiente:

Describe cada uno de los recorridos, indicando desde dónde se lanza, la altura máxima que alcanza,los tiempos empleados en subir y bajar. ¿Qué gráfica corresponde a la Tierra y cuál a la Luna?.

Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando el valor de la función endicho punto es el mayor de su dominio. El máximo es relativo si el valor de la función endicho punto es mayor que en los puntos cercanos. En un punto de máximo relativo lafunción pasa de ser creciente a ser decreciente.




282

PÉNDULO

Si separamos un péndulo de su posición de equilibrio y lo soltamos, éste irá alternando su posición entorno a dicho punto del modo que se describe en la siguiente gráfica:

1) ¿Cuántos máximos tiene esta gráfica?. ¿Cuántos mínimos?. Intenta calcular, lo másaproximadamente que puedas, las coordenadas de estos puntos extremos.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto si el valor de la función en dicho punto esmenor que en los puntos cercanos. En un punto de mínimo relativo, la función pasa de serdecreciente a ser creciente.

Una función tiene un máximo relativo en un punto si el valor de la función en dicho punto esmayor que en los puntos cercanos. En un punto de máximo relativo, la función pasa de sercreciente a ser decreciente.

Un extremo local de una función es un punto de máximo o mínimo relativo.

2) Estudia las regularidades de la gráfica. ¿Es simétrica la gráfica?.

3) Dibuja una gráfica simétrica que esté sugerida por la forma de esta curva e interpreta elfenómeno que dicha función define.




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OSCILÓGRAFO

Interpreta la imagen que ves en un oscilógrafo.

Una función es periódica si sus valores coinciden cada cierto intervalo de valores de x. Unafunción es periódica de período P si el trozo de gráfica correspondiente a un intervalo devalores de x de longitud P se repite indefinidamente a la izquierda y a la derecha.

UNA NORIALos cestillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es larepresentación gráfica de la función tiempo – distancia al suelo de uno de los cestillos:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?.

b) Observa cuál es la altura máxima y di cuál es el radio de la noria.

c) Explica cómo podríamos calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar lagráfica.




284

UNA EXCURSIÓN

Un turista hace una excursión a la cima de un monte famoso y tarda desde su residencia a la cima 2horas 30 minutos. La gráfica muestra con detalle las velocidades que ha llevado durante la excursión:

1) ¿En qué vehículo pudo viajar la primera hora y media?. ¿Y en la última media hora?. ¿Crees queen algún período de tiempo fue andando?. ¿Estuvo en algún momento parado?.

2) ¿Indica la gráfica cuándo cambia el medio de locomoción. ¿Qué particularidad presenta la gráficaentonces?.

3) ¿En qué períodos aumenta o disminuye la velocidad?. ¿Cómo dirías que es la función en esosintervalos?.

4) ¿A qué hora alcanzó la velocidad máxima?.

5) ¿Cuántos kilómetros recorre en la última hora?.

Se dice que una función es continua en un punto si la gráfica de dicha función no presentasaltos en dicho punto. La gráfica de una función continua se puede dibujar sin levantar ellápiz del papel.

Una función es discontinua en un punto si en dicho punto la gráfica presenta un salto. Paradibujar la gráfica de una función discontinua hay que levantar el lápiz del papel.

GOLOSINAS

En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta gráfica se ve la cantidad de dinero

que hay en su caja a lo largo de un día.




285

a) ¿A qué hora empiezan las clases de la mañana?

b) ¿A qué hora es el recreo?. ¿Cuánto dura?.

c) El puesto se cierra a mediodía y el dueño se lleva el dinero a casa. ¿Cuáles fueron los ingresosesta mañana?.

d) ¿Cuál es el horario de tarde en el colegio?.

e) ¿Es ésta una función continua o discontinua?.

CARTERA DE PEDIDOS

La siguiente gráfica muestra la evolución de la cartera de pedidos y los “stocks” en la industriaespañola durante los años 70 – 74.

a) ¿En qué momentos hay un equilibrio entre pedidos y stocks?.

b) ¿En qué años alcanzan los pedidos su valor máximo y / o mínimo?. ¿Qué ocurre con los stocks?.

c) Comenta, a la vista de estas gráficas, la evolución de los stocks y los pedidos a lo largo de esosaños.




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2. Proceso Gráfica

EXCURSIÓN

Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la salida,cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos.

Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido.

a) Representa la gráfica tiempo – distancia a su casa.

b) ¿Lleva la misma velocidad antes y después de la parada?. (Suponemos que la velocidad esconstante en cada etapa).

TIOVIVO

Un tiovivo acelera durante 2 minutos hasta alcanzar una velocidad de 10 km/h. Permanece a estavelocidad durante 7 minutos y decelera hasta parar en 1 minuto. Tras permanecer 5 minutos parado,comienza otra vuelta.

Dibuja la gráfica tiempo – velocidad.

APARCAMIENTO

El aparcamiento de un centro comercial tiene la siguiente tarifa de precios:

PRECIO DESDE LAS 9 HORAS HASTA LAS 22 HORAS

Las dos primeras horas.................. gratuito3ª hora o fracción y sucesivas....... 1 euroMáximo diario............................... 10 euros

Representa la gráfica de la función tiempo de aparcamiento – coste.




287

ASCENSOR

En las playas españolas se han construido en los últimos años grandes rascacielos con potentesascensores. La siguiente tabla nos da la altura que alcanza uno de estos ascensores, desde su puntomás bajo, según el tiempo que está subiendo.

Tiempo (segundos) 0 1 2 3 4 5 6 7 Altura (metros) -6 -3 0 3 6 9 12 15

a) ¿Qué variables se relacionan?.

b) ¿Qué significan los números negativos?. Haz la gráfica correspondiente.

c) ¿Qué escala has elegido en los ejes?.

d) ¿Es continua o discontinua esta gráfica?. ¿Es creciente o decreciente?. Explica tu respuesta.

e) ¿Cuánto tiempo empleará en llegar al último piso (situado a 75 m del suelo)?. ¿A qué altura delsuelo llega a los 20 segundos?.

f) Explica la tendencia de esta gráfica en cuanto a su crecimiento. Intenta hacer la gráfica de esteascensor cuando baja.

AUTOESCUELA

En una autoescuela las tarifas son las siguientes:

Precio de cada clase............ 22 eurosPrecio matrícula carné........ 250 euros

a) He utilizado los servicios de esta autoescuela y con 5 clases me han dado el carné. ¿Cuánto hepagado?.

b) ¿Cuánto hubiese pagado con 6 clases?. ¿Y con 7 clases?.

c) Haz la gráfica en la que relaciones lo que cuesta obtener el carné según el número de clasesrecibidas.




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3. Ecuaciones

DESCUBRE LA REGLA

Se trata de “adivinar” la regla pensada para asociar un número a otro número. Uno de lo s jugadores,papel que irá rotando, piensa la regla e irá indicando el número asociado a cada uno de los númerosiniciales que propongan los otros jugadores por turnos. Quién descubra la regla se anotará un punto.Pueden decidirse normas particulares:

a) Poner un tope al número de preguntas.

b) Asignar distinta puntuación según el número de datos utilizados. Etc.

Aunque inicialmente expreses las reglas encontradas de forma oral, es necesario que utilices letraspara representar un número de forma general.

Algunas posibles reglas a utilizar son:

1) nn2 2) n n - 2 5 3) n 3 n 4) n 3 n +5

5) n 2 n-1 6) n 2 n +32

7) n1n

8) n3n

DESCUBRE EL NÚMERO

Es un juego similar al anterior, pero dando la “regla” seguida y el número final. En este caso se tratade determinar el número inicial. Se puede jugar en parejas o en grupos y se necesita una calculadora.

El jugador A (que irá rotando) piensa una regla y elige un número al que aplica la transformaciónelegida. El jugador B conociendo la regla y el número hallado, tiene que encontrar el de partida. Si larespuesta es correcta, se anota B un punto; en caso contrario, se lo anota A.

El juego puede ser abierto o más dirigido si se proporciona previamente un listado con las “reglas”que tienen que utilizar los jugadores.

Para obtener el número inicial, puedes utilizar diferentes tipos de estrategias:

Por tanteo, ensayo y error. Probando de manera arbitraria con distintos números,aplicándoles la “regla” y observando el resultado final.

Efectuar un tanteo más sistemático y ordenado

Aplicar a los resultados finales las operaciones inversas a las dadas en las “reglas” y enorden inverso a como actúan.

Las reglas que se pueden utilizar son del mismo tipo que en la actividad anterior.




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VOLVER AL PRINCIPIO

Introduce el número que quieras en tu calculadora. A continuación pulsa la siguiente secuencia deteclas:

x 3 + 2 =¿Qué secuencia de teclas habrás de pulsar para, partiendo del resultado final, volver a obtener elnúmero inicial?.

Haz lo mismo con las siguientes secuencias de teclas:

: 2 + 3 = 5 = x 7 =

+ 3 = : 5 = 3 : 4 =

x 5 2 =

Investiga qué ocurre con otras secuencias parecidas. Invéntate algunas e intenta “volver al principio”en cada una de ellas.

INFORMACIÓN CONDENSADA

Expresa lo más concisamente que puedas cada una de las siguientes informaciones:

1) La edad de Roberto es cinco años menos que la de Alfonso.

2) Antonio tiene 2000 pesetas más que Juan.

3) Carmen supera a Concha en 3 años.

4) Marisa tiene triple dinero que Eva.

5) En una reunión hay dos chicos por cada tres chicas.

6) El precio de una bombilla eléctrica de 25 w es de 1,25 euros. ¿Cuál será el precio de variasbombillas, si hay que añadir el 12% de IVA?.

7) El precio de cinco tornillos es de 32 céntimos. ¿Cuál será el precio de varios tornillos?.




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EMPAREJA

Empareja cada frase con su expresión simbólica:

1) El número par que sigue al que ocupa la posición n. a) 2 l = 5 b

2) El perímetro de un triángulo isósceles b) x3

y

3) Tengo dos bolígrafos por cada cinco lápices. c) a b = 30

4) La diferencia de dos números dividida entre 3. d) 2 a + b

5) La tercera parte de un número, menos otro. e) 2 n + 2

6) El área de un rectángulo es 30 unidades cuadradas

7) El área de un rectángulo son 10 unidades cuadradas

8) La edad de Victoria es tres años menos que la de Ana

9) Tengo tres bolis por cada dos lápices

10) Pagué 150 euros por dos CD’s y 3 DVD’s

11) La suma de dos números consecutivos es 21

f) x - y

3

g) 2b = 3l

h) n + (n + 1) = 21

i) a b = 10

j) v = a – 3

k) 150 = 2 d + 3 c

¿CUÁNTO VALE X?En cada una de las fórmulas siguientes hay un número desconocido que representamos por la letra x.

Ahora, x puede ser cualquiera de los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, ó 6. ¿Qué valores puede tomar x encada uno de los casos que siguen?,

a) x + 1 = 5 b) x – 2 = 4 c) 3 x = 6

d) x / 2 = 1 e) x + 1 = x f) x x = 1

g) x / 4 = 4 h) x (3 – x) = 2 i) 2 x = 12

j) 12 = 8 x – 4 k) 7 + 7 x = 49 l) (6 – x) 7 x = 0

En cada una de las expresiones anteriores aparece una letra x, cuyo valor no conocemos, yel signo =. Estas expresiones son ecuaciones.

Hay ecuaciones de diversos tipos:

De primer grado, en las que la incógnita o incógnitas están elevadas a la unidad: 7+7 x = 49.

De segundo grado, en las que la incógnita o las incógnitas están elevadas al cuadrado. Porejemplo: 2x 2 -3x+5=0, (6 – x) 7 x = 0.

De tercer grado, de cuarto, etc: x 3-1=0, x 4-2x+1=0. También existen ecuaciones de otros

tipos.




291

Las dos partes del signo igual, se llaman miembros de la ecuación. Los números quemultiplican a las incógnitas se llaman coeficientes.

Una solución de una ecuación es un valor numérico que al sustituir a la incógnita hace ciertala igualdad. Resolver una ecuación es determinar la o las soluciones de la misma, es decir,buscar el valor o los valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad.

Hay ecuaciones muy raras que no tienen ninguna solución. Por ejemplo, la ecuación 0 x = 5.Intenta explicar, con tus palabras, por qué esta ecuación no tiene solución. Escribe otrasecuaciones sin solución.

Hay, sin embargo, otras ecuaciones que tienen varias soluciones. Por ejemplo, la ecuacióna (a – 1)=0, cuyas soluciones son a = 0 y a = 1. Otro ejemplo, la ecuación (x + 5) (x – 3) (2 x

– 4) = 0, cuyas soluciones son x = 5, x = 3 y x = 2.

1) Halla seis soluciones distintas de la ecuación a + b = 10. ¿Cuántas soluciones crees que tiene

esta ecuación?.2) Busca algunas soluciones de la ecuación 2 b = a.

3) Comprueba que x = 0 y x = 3 son soluciones de la ecuación: 2 x x x + 32 .

4) Comprueba que x = 0 no es solución de la ecuación x x + 3 = 02 4 . ¿Es x = 1 solución de estaecuación?. ¿Y x = 3 ?. Explica las razones de tu decisión.

5) Inventa tres ecuaciones cuya solución sea x = 2. Inventa 3 ecuaciones cuya solución sea a = 1

2.

6) Resuelve las siguientes ecuaciones: x

39 ; a -102 = 11 ; 27 y = 1 8 ; 2 b + 3 = 9 .

BUSCA LO QUE FALTA

La siguiente igualdad es cierta si x = 2: 2 x + 7 = 11

En las que siguen has de rellenar el rectángulo con operaciones y números para que sean ciertastambién para x = 2.

a) 2 x + 7 + 3 = 11 b) 3 (2 x + 7) = 11

c) 2 x + 75

11 d) (2 x + 7) + 3 x = 11

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.Las ecuaciones x - 3 = 2 yx + 1 = 6 son equivalentes ya que tienen como solución x = 5.

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o una mismaexpresión, la ecuación que resulta es equivalente a la dada.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distintode cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada.




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ECUACIONES Y BLOQUES

Indica cuál es el valor de las expresiones que se preguntan en cada ecuación.

a) 3 x + 7 = 28 ................................................................................... ¿3 x?.

b) x2

4 12 .................................................................................... ¿ x

2?.

c) 2 (x – 3) = 20 .............................................................................. ¿x – 3?.

d) x +14

5 ....................................................................................... ¿x + 1?.

e) x + 24

1 7 ................................................................................. ¿ x + 24

?. ¿x + 2?.

CALCULA X

Puedes comprobar que la siguiente ecuación se cumple para x = 4.

2 x + 3 = 5 x – 9

Averigua cuál es el valor de x en cada una de estas ecuaciones:

a) 5+9-x5=5+3+x2 b) 12-9-x5=123+x2

c) 9-x57=3+x27 d)4

9-x5 =

43+x2

e) 2

1+x3+x3

2 f)2+x1+x

43

CON DENOMINADORES

Para resolver la ecuación x3

x -12

x-139

, utilizar emos un método que consiste en “efectuar

la operación inversa de aquella que nos molesta”. Así, procedemos de la siguiente forma:

Nos molesta el 9; multiplicamos toda la ecuación por 9:

9 9 9 3 x3

x -12

x-139

x - 9x -1

2x-13 .

Nos molesta el 2; multiplicamos todo por 2:

2 3 2 6 2 x - 2 9 x -12

x -13 x - 9 x -1 x -13 .

Observa que hemos multiplicado por 18=9 2, que es el mínimo común múltiplo de losdenominadores. De esta forma hemos quitado denominadores.

Nos molestan los paréntesis; quitamos paréntesis: 6x-9x+9=2x-26 .

Agrupamos las x, restando 2x en ambos miembros:

6x- 9x +9 -2x= 2x- 26-2x -5x+9=-26

Pasamos el 9 al segundo miembro, restando 9 en ambos miembros:

-35=-5x9--26=9-9+x 5 De donde: x = 7.




293

Observa en general, que: “lo que esta sumando pasa al otro miembro restando; lo queestá restando pasa sumando; lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que estádividiendo pasa al otro miembro multiplicando”. Si dominas estas reglas básicas, junto

con las operaciones de quitar denominadores y quitar paréntesis, podrás resolverfácilmente cualquier ecuación de primer grado.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 105

2x=x

15x b)

94+x

31-x

93-2x

+x12 c) 6

32+x

-x

d) 3-x5

4-6x-5 e)

413

4x

8x

4x

2x f)

105-x

157-x

5x-21 5

82

EDADESDos niños, A y B, tienen, respectivamente, 8 y 2 años. ¿Al cabo de cuántos años la edad del primeroserá el doble que la del segundo?

SUMA Y DIFERENCIA

Halla dos números sabiendo que su suma es 100 y su diferencia es 20.

INTERCAMBIO DE SOLARES

Una persona posee un solar de 30 metros de fachada y otro de 500 m 2 de área. Otra persona lepropone cambiarlo por un solar de 50 metros de fachada, en la misma calle. Todos los solares tienenla misma profundidad. ¿Cuánto ha de valer ésta para que el intercambio sea equitativo?.




294

CARNE Y PESCADO

El otro día en el mercado compré carne y pescado gastándome 1080 ptas. Sabiendo que el precio dela carne fue el doble que el del pescado, ¿cuánto me costó la carne?.

DEPÓSITOS

a) En una casa tenemos un depósito de agua. Se baña mi padre y consume la mitad; luego lo hacemi madre y gasta las tres quintas partes. Para mí sólo quedan 40 litros. ¿Qué capacidad tienenuestro depósito?.

b) Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3 partes, el martes se gastan 2/5 delo que quedaba y el miércoles 300 litros. Si aún quedó 1/10, ¿cuál es su capacidad?.

4. Modelos funcionales

En las actividades que siguen, analiza algunos de los tipos de “reglas” q ue surgen con másfrecuencia en situaciones reales. Se trata de estudiar la “regla” en sí, como una máquina

procesadora que genera una salida a partir de una entrada:

ENTRADA FÓRMULA SALIDA

Busca en cada caso regularidades y pautas de comportamiento generales.

Si x es la entrada y f es la fórmula, entonces a la salida se le representa por f(x) y se llamaimagen de x.

Si y es la salida y f es la fórmula, entonces a la entrada se le representa por f -1 (y) y sellama antimagen de y.




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FUNCIÓN LINEAL

Estudia la regla x x + 0'5 2 , siguiendo el siguiente proceso:

1) Analiza la regla 0'5+x2x2x 0'5Sumar 2por r Multiplica .

¿Cómo transforma a los números que entran?.

Si x es muy grande y positivo, ¿cómo es la imagen?.

¿Y si se acerca a 0?.

¿Y si es negativo?. ¿La imagen será siempre negativa?.

1) Haz la representación gráfica de la función 0'5+xx 2 en unos ejes coordenados.

2) Estudia el perfil obtenido: Al pasar x de 3 a 4, ¿qué ocurre en la gráfica?. ¿Y de 4 a 5?. ¿Y de – 1 a 0?. ¿Y de n a

n+1?.

¿Es posible siempre encontrar un número cuya imagen sea un número dado?.

3) Modifica los parámetros:

Cambia 0’5 Cambia 2

¿Qué ocurre con los números negativos?. ¿Y al aumentar o disminuir su valor?.

Representa las nuevas gráficas superpuestas en los mismos ejes de coordenadas. Comparadichas gráficas, observando los cambios que se producen al variar uno u otro parámetro ena x + b :

Al cambiar b: se mantiene la dirección: Se trata de una traslación.

Al cambiar a: cambia la dirección: más o menos inclinada, creciente o decreciente.

4) Punto de corte:

Halla las coordenadas del punto de corte utilizando un método gráfico o por tanteo, einterpreta el significado de dicho punto.




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PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Ejemplo.- Un kilo de jamón cuesta 20 euros, un kilo de queso cuesta 10 euros y 4 kilos deazúcar cuestan 10 euros. Completa la siguiente tabla y represéntala gráficamente:

PESOCOSTE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

JAMÓNQUESO

AZÚCAR

Halla las funciones que dan el coste de cada producto según el peso.

El coste de cada producto es directamente proporcional a su peso. Las funciones que danestas proporcionalidades son las siguientes:

JAMÓN y = 2 xQUESO y = x

AZÚCAR y = 14

x

Observa que cada proporcionalidad tiene su gráfica:

La función de proporcionalidad y = m x tiene por representación gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas (0, 0). El número m se llama constante de proporcionalidad o pendiente y mide la inclinación de la recta. Cuanto mayor sea la constante de proporcionalidad, mayor es la pendiente de la recta, es decir más inclinada está.

Si m>0, la recta está inclinada de izquierda a derecha.

Si m<0, la recta está inclinada de derecha a izquierda.




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Observa las siguientes rectas:

La pendiente de una recta es la variación (positiva o negativa) que experimenta la y cuandola x aumenta una unidad. Para hallarla se divide la variación de la y por la variación de la xentre dos puntos.

1) Un grifo abierto durante 5 minutos hace que el nivel de un depósito suba 20 cm. ¿Cuánto subiráel nivel si se abre el grifo durante 15 minutos?

2) En una población, durante el año pasado, nacieron 28 bebés semanales de media. ¿Cuántosbebés se esperan para el próximo trimestre?

3) Una máquina fabrica 20 piezas en una hora. ¿Cuántas piezas fabricará en una jornada de 8horas? ¿Cuánto tardará en fabricar 15 piezas? ¿Y 150 piezas?

4) Un coche ha tardado 4 horas en recorrer una distancia de 280 km. ¿Cuántos kilómetrospodemos suponer que recorrerá en 5 horas? ¿Cuánto tardará en recorrer 420 km?

5) Tres cajas de cereales pesan dos kilos y cuarto. ¿Cuánto pesarán cinco cajas iguales a lasanteriores?

6) Una fábrica de automóviles ha producido 8100 vehículos en 60 días. Si se mantiene el ritmo deproducción, ¿cuántas unidades fabricará en un año?




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ECUACIONES DE RECTAS I

Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:

SEÑALES DE TRÁFICO

Interpreta el significado de las siguientes señales de tráfico:

ORDENADA EN EL ORIGEN

Ejemplo.- El alquiler de un coche cuesta 10 euros más 5 euros por cada hora. Escribe lafórmula de la función tiempo transcurrido precio. Representa gráficamente dicha función.

Si x es el tiempo transcurrido en horas e y el precio (en euros), la función pedida es y = 10 +5 x . La representación gráfica de esta función es una recta que no pasa por el origen decoordenadas:




299

La ecuación y = m x + n representa una recta de pendiente m que no pasa por el origen decoordenadas y corta al eje de ordenadas (eje de las y) en el punto (0, n). El número n sellama ordenada en el origen y representa la distancia del origen de coordenadas al punto decorte de la recta con el eje de las y.

1) La cuota de abono mensual de un teléfono individual de Telefónica es de 12 euros, y cada pasocuesta 0,04 euros. Halla la ecuación de la recta y represéntala gráficamente.

2) La tarifa de los taxis en una ciudad es de 100 ptas por la bajada de bandera y 40 pesetas porkilómetro recorrido. Haz una tabla que exprese el precio del viaje según los kilómetros quehagamos. Halla la función que relaciona los kilómetros recorridos (x) con el precio del viaje (y).Representa gráficamente dicha función.

3) La facturación mensual de la luz, cuando la potencia contratada es de 5’5 kw, es de 14,58 euros,y además por cada kilovatio-hora consumido hay que abonar 0,15 euros. Halla la ecuación de lafunción consumo precio y represéntala gráficamente. ¿Cuál será el importe de un recibocorrespondiente a un mes en el que se consumieron 1125 kwh?.

4) Dibuja las gráficas de las funciones: a) y = 53

x b) y = 53

x+5. ¿Qué relación existe entre

dichas gráficas?. ¿Cómo son sus pendientes?.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.




300

RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

a) Dibuja las rectas de ecuaciones: a) y=4, b) y= 3, c) y=2

5. ¿Cómo son todas ellas?

Las rectas horizontales tienen una ecuación de la forma y=b, siendo b un número.

b) ¿Cuáles son las ecuaciones de las siguientes rectas?

Las rectas verticales tienen por ecuación x=a, siendo a un número.

c) ¿Cuáles son las ecuaciones de los ejes de coordenadas?

ECUACIONES DE RECTAS II

1) Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:




301

2) Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:

a) Pasa por los puntos A( 2, 3) y B(5, 4)

b) Pasa por el punto P

253

, y su pendiente es 2

3

c) Pasa por el punto A(2, 2) y su ordenada en el origen vale 5

d) Pasa por el punto B(1, 5) y es paralela a la recta de ecuación y=2x

PUNTOS DE CORTE

1) Observa las siguientes rectas. Escribe las coordenadas de los puntos de corte de cada recta conlos ejes de coordenadas.

Observa que todos los puntos de corte con el eje de abcisas tienen su ordenada igual a0. En general, los puntos de corte de una función y = f x con el eje de abcisas se

obtienen haciendo y = 0 en la fórmula de la función y averiguando los correspondientesvalores de x.

Observa que todos los puntos de corte con el eje de ordenadas tienen su abcisa igual a0. En general, el punto de corte de la función y = f x con el eje de ordenadas se obtienehaciendo x = 0 en la fórmula de la función y hallando el correspondiente valor de y.

2) Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de las siguientes rectas:

a) y = 3 x + 2 b) y = - 3 x – 7 c) y = 1

3x+2 d) y = - x + 9

LA GRANJAa) En una granja hay gallinas y conejos. En total hay 30 animales y hemos contado 100 patas.

¿Cuántos conejos y gallinas hay?




302

Sea x = número de gallinas. Sea y = número de conejos. El enunciado expresado en

ecuaciones es:100y4x2

30yx .

A un conjunto de varias ecuaciones que deben verificarse simultáneamente, lo llamaremossistema de ecuaciones. El anterior es un sistema de ecuaciones de primer grado con dosincógnitas, pero pueden haber sistemas de tres o más incógnitas y ecuaciones, e incluso, puede que sean de grado 2 o superior.

Resolver un sistema es encontrar los valores de las incógnitas que verifican todas lasecuaciones. Existen tres métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones de primergrado con dos incógnitas:

Método de reducción.

Consiste en multiplicar las ecuaciones por números adecuados y después sumarlas con el

objetivo de eliminar una incógnita:

100y4x2

30yx . Multiplicamos la primera por 2.

100y4x2

60y2x2 . Sumamos las dos igualdades, obteniendo: 2 y = 40, de donde

202

40y . Para hallar el valor de x, sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos

ecuaciones dadas, o volvemos a aplicar el método de reducción para eliminar la incógnita y.Comprueba que x = 10.

Método de sustitución.Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir el valorobtenido en la otra ecuación para obtener el valor de la otra incógnita.

100y4x2

30yx. Despejamos x en la primera ecuación: x = y + 30

Sustituimos esta expresión de x en la segunda ecuación: 100y430y2 Resolvemos esta ecuación. Quitando paréntesis: 100y460y2 . De donde: 2 y = 40

Luego: 202

40y . Sustituimos este valor de y en la ecuación x = y + 30, obteniendo: x=10

Método de igualación.

Consiste en despejar una misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar lasexpresiones obtenidas. De esta forma se obtiene una ecuación en la otra incógnita que podemos resolver.

100y4x2

30yx . Despejamos x en las dos ecuaciones:y250x

y30x

Igualando las dos expresiones obtenidas: y250y30 . De donde: 3050yy2 .Luego: y = 20.

Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones obtenemos x = 10.




303

b) En otra granja de la competencia hay, entre gallinas y conejos, un total de 55 animales y 176patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay?.

MÉTODO GRÁFICO

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas a x + b y = c representa una recta. Luegocada una de las ecuaciones de un sistema de primer grado con dos incógnitas representauna recta:

srecta f eydx

r recta cbyax

Por lo tanto, un método que puedes usar para resolver un sistema de dos ecuaciones condos incógnitas consiste en dibujar, en unos mismos ejes, las gráficas de las rectas r y s querepresentan las dos ecuaciones. Se pueden presentar tres casos:

r y s se cortan en un punto r y s son coincidentes r y s son paralelas

sistema con solución única infinitas soluciones sistema sin solución

Un sistema con solución única se dice que es compatible determinado.

Un sistema con infinitas soluciones se dice compatible indeterminado.

Un sistema sin solución se dice que es incompatible.

Utiliza el método gráfico para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, indicando si soncompatibles o incompatibles, determinados o indeterminados:

a)3yx

5yx b)

1y14x

215y6x

0 c)

106 2yx

5y3x




304

SISTEMAS

1) Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:

a)153y3x

5y6x b)

17yx

93yx c)72y5x

295y3x

2) Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

a)2yx

13y2x b)163y5x

293y4x c)102y3x

24y5x

EL GITANO Y EL BURRO

Un gitano compró un burro por 17000 ptas. Lo vendió por 18000 ptas. Lo volvió a comprar por 19000ptas y de nuevo lo vendió por 20000 ptas. ¿Crees que el gitano ha hecho un buen negocio?.

UNA BOTELLA DE VINO

Una botella de vino cuesta 100 pesetas. El vino vale 90 pesetas más que la botella. ¿Cuánto vale la

botella?.

EL CABALLO Y EL MULO

Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas?. Si yo te toma ra un saco,mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía”.

Decidme, doctos matemáticos, ¿cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo?.




305

CONSTRUCCIÓN DE POZOS

Una empresa A que se dedica a construir pozos ofrece el siguiente presupuesto:

Maquinaria y mano de obra: 200 euros. Cada metro perforado: 50 euros.

¿Cuál será el coste de un pozo en función de los metros que haya sido necesario perforar hastaencontrar agua?. Dibuja la gráfica que muestre cómo varía el precio según los metros.

Otra empresa B, del mismo ramo, cobra sólo por metro perforado: 100 euros. Si un estudio previopronostica la presencia de una corriente subterránea de 5 ó 6 metros de profundidad, ¿cuál de lasdos empresas interesa elegir?. ¿Y si el pronóstico es de 10 metros?.

GASOLINA Y GASOLEO

Un coche de gasolina, de marca A, cuesta 17000 euros y consume 12 litros cada 100 km. El preciode la gasolina es 1,08 euros / l. Calcula el gasto, G, en función del número, x, de kilómetrosrecorridos. Otro coche de gasóleo, de marca B, cuesta 20000 euros y consume 7 litros cada 100 km.el litro de gasóleo cuesta 0,70 euros. Calcula el gasto, G’, en función del número, x, de kilómetrosrecorridos.

Representa gráficamente las funciones G y G’, que dan el gasto en función del número de kmrecorridos. ¿A partir de cuántos kilómetros recorridos empieza a resultar más barato el de gasóleoque el de gasolina?.

CONTRATO DE TRABAJO

En el contrato de trabajo a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas:

A: Sueldo fijo mensual de 1000 euros.

B: Sueldo fijo mensual de 800 euros más el 20% de las ventas que haga.

a) Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes según la modalidad del contrato. Tomacomo variable independiente las ventas que haga y como variable dependiente el sueldo.

b) ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades delcontrato?. ¿Cuáles son esas ganancias?. ¿Qué modalidad de contrato le interesa más?.




306

ENTRENAMIENTO CICLISTA

Un ciclista realiza su entrenamiento diario para la próxima Vuelta Ciclista. El entrenamiento consisteen un recorrido de varios kilómetros por una carretera recta y horizontal, una breve parada parareponer fuerzas y la subida a una montaña cercana, con una nueva parada en la cima paradescansar y posterior bajada de regreso a casa. Su entrenador ha ido anotando los tiempos endiferentes tramos y ha realizado el siguiente gráfico del recorrido en un día cualquiera.

a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido hoy el ciclista? ¿Cuánto tiempo ha empleado en cada parada?¿Qué distancia ha subido y ha bajado?

b) ¿Cuál es la velocidad media en los primeros 30 minutos? ¿Y en los 10 primeros minutos? ¿Yentre el minuto 20 y el 30? Recuerda que la velocidad media es el cociente entre el espaciorecorrido y el tiempo empleado en dicho recorrido.

c) Calcula la velocidad media en los siguientes intervalos de tiempo, expresados en minutos: [40,50][50, 60], [50, 70], [80, 90], [90, 120], [90, 100], [100, 120].

d) ¿Por qué la velocidad media del ciclista no es constante mientras sube o baja la montaña?




307

PENDIENTE DE UNA CARRETERA

El perfil de la ladera de una montaña de una zona pirenaica se indica en la siguiente gráfica. En ellafiguran las altitudes de distintos pueblos, B, C, D, E, del recorrido y sus distancias horizontalesrespecto de un pueblo del valle, A, situado a 900 m de altura.

a) Calcula la variación de altura cada 5 km del recorrido.

b) ¿Cuál es la variación de altura cada dos pueblos?

c) Calcula la pendiente de un posible tramo recto de carretera que uniera los pueblos A y B, y otroque uniera B y C, otro C y D, y un último que uniera D y E.

d) La pendiente máxima autorizada para estos tramos es del 7%. El tramo que une C y D, ¿tiene lapendiente máxima autorizada?

Dada una función x f(x), llamamos tasa de variación media de dicha función en el

intervalo a, b al cociente: a-bf(a)-f(b)

ba,f tvm

En un diagrama sagital, la tasa de variación media viene dada como un cociente desegmentos paralelos.

En un diagrama cartesiano, la tasa de variación media viene dada como un cociente de

segmentos perpendiculares (uno vertical y otro horizontal).




308

PARÁBOLAS

Dibuja la gráfica de la función 2xy , construyendo previamente una tabla de valores. Recuerda quela variable x puede tomar tanto valores positivos, cero, como negativos.

a) Estudia el perfil obtenido. ¿Para qué valores de x es creciente?. ¿Y decreciente?. ¿Tienemáximo?. ¿Tiene mínimo?. ¿Podrías obtener toda la gráfica con sólo tener media parte?.¿Cómo?.

La gráfica de la función 2 x y es una curva llamada parábola y tiene las siguientes propiedades:

Es simétrica respecto del eje de ordenadas (eje OY), es decir, al doblar el papel pordicho eje coinciden las dos ramas de la curva. Esto significa que al cambiar x por x enla fórmula de la función, la y no cambia. Se dice que la función es par.

El punto más bajo (origen de coordenadas) es el vértice de la parábola. A la izquierda delvértice la función es decreciente, y a la derecha creciente.

b) Utilizando cartulina resistente construye una plantilla con el perfil de la gráfica anterior y usa dichaplantilla para dibujar las gráficas de las siguientes parábolas:

1) 3xy 2 2) 4xy 2 3) 24xy 4) 23xy

Para ello te servirá de ayuda comparar las tablas de valores de estas funciones con la de 2xy .

c) Utiliza la plantilla de 2xy para dibujar las siguientes parábolas:

1) 2xy 2) 3xy 2 3) 4xy 2 4) 24xy 5) 23xy

d) Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las siguientes funciones:222

0'5xy ,2xy ,xy . ¿Puedes utilizar ahora la plantilla de2

xy ?. ¿Qué relación existeentre las tres gráficas?.

La gráfica de la función 2pxay es una parábola cuyo vértice es el punto decoordenadas V(p, 0) y es simétrica respecto de la vertical x = p que pasa por el vértice. Elvértice de la parábola es un mínimo si a>0 y es un máximo si a<0.

La gráfica de la función 2pxay se obtiene desplazando la gráfica de la parábola2 xa y , p unidades hacia la derecha.

La gráfica de la función qxay 2 es una parábola cuyo vértice es el punto decoordenadas V(0, q) y es simétrica respecto del eje vertical. El vértice de la parábola es unmínimo si a>0 y es un máximo si a<0.




309

La gráfica de la función qxay 2 se obtiene desplazando la gráfica de la parábola2 xa y , q unidades hacia arriba.

Para localizar el vértice de cualquier parábola basta considerar dos puntos simétricos A(a, b) y B(c, d) de la misma. Observa la figura.

La abcisa x del vértice es la media aritmética de a y c,2

ca x

. La ordenada y del vértice

se obtiene sustituyendo este valor de x en la fórmula de la parábola.

El problema es... ¿cómo obtener dos puntos simétricos de la parábola?. Con un poco desuerte podrás verlos en la misma tabla de valores.

e) Localiza el vértice de las siguientes parábolas y represéntalas gráficamente:

1) 7xy 2 2) 25xy 3) 32xy 2

4) 4x2

y 23

5) 65xxy 2 6) 3210xxy 2

f) Averigua cuál es la fórmula que corresponde a cada una de las siguientes parábolas:




310

g) Dada la parábola 83xy 2 ,

¿Para qué valor de x es y = 35 ?. ¿Es único?.



¿Para qué valor de x es y = 5 ?. ¿Qué ocurre?.

¿Hay algún valor de x para el que y = 0 ?.

¿Cuál es el conjunto imagen de esta función?.

h) Dada la parábola 22x3y ,




¿Para qué valor de x es y = 5 ?. ¿Qué ocurre?.

¿Hay algún valor de x para el que y < 0 ?.

¿Cuál es el conjunto imagen de esta función?.




311

DUPLICACIÓN

Si en un círculo duplicamos el perímetro, ¿se duplica el área también?

¿Puede ser una recta la gráfica de perímetro área? Dibuja la gráfica correspondiente.

BOLÍGRAFOS

Un comerciante ha comprado una partida de bolígrafos a 100 ptas. unidad. Por lo que ha ocurridootras veces, el comerciante sabe que, si los pone a la venta a 150 ptas. no vendería ninguno; pero,reducir sus ganancias haría aumentar su venta. Si los pone a la venta a 145 ptas. vendería 200 deellos y, por cada 5 ptas. que rebaje, aumentaría su venta en 200 unidades.

¿Cuál de las gráficas que siguen será la adecuada para presentar la relación Precio de venta Beneficios?.

Justifica tu elección y estudia a qué precio le interesaría vender cada bolígrafo para conseguir unosbeneficios máximos.

NARANJAS

Tenemos 200 kg de naranjas que hoy se venderían a 0,40 euros / kg. Cada día que pase seestropeará 1 kg y el precio aumentará 0,01 euros/kg.

a) ¿Cuándo hemos de vender las naranjas para obtener el máximo beneficio?

b) ¿Cuál sería ese máximo beneficio?




312

LA PALANCA

La palanca es un dispositivo mecánico que consiste en una barra rígida apoyada sobre un eje,alrededor del cual puede girar.

Si el brazo largo es de longitud doble que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto esdoble que el que levanta el brazo largo.

Si el brazo largo es de longitud triple que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto estriple que el que levanta el brazo largo.

a) En general, si a y b son las longitudes de cada brazo de la palanca, y m y n los pesos respectivosen sus extremos, escribe la relación que hay entre a, b, m y n.

b) Imagina que a=1 metro y m= 1 kg. Escribe la relación entre b y n. Dibuja una gráfica que muestrela variación de n al variar b. ¿Toca la gráfica a los ejes de coordenadas?.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

1) Dibuja la gráfica de la funciónx1x

en unos ejes coordenados, construyendo previamente una

tabla de valores. Da a x valores tanto positivos como negativos.

¿Cuál es el dominio de esta función?. ¿Qué ocurre cuando x se aproxima a 0?. ¿Y en el punto0?. ¿Qué ocurre cuando x toma valores positivos cada vez más grandes?. ¿Y cuando x tomavalores cada vez más negativos?.

¿Es creciente?. ¿Es decreciente?. ¿Es simétrica?.

2) Dibuja la gráfica de la función x3x

en unos ejes coordenados, construyendo previamente

una tabla de valores. Da a x valores tanto positivos como negativos.

¿Cuál es el dominio de esta función?. ¿Qué ocurre cuando x se aproxima a 0?. ¿Y en el punto0?. ¿Qué ocurre cuando x toma valores positivos cada vez más grandes?. ¿Y cuando x tomavalores cada vez más negativos?.

¿Es creciente?. ¿Es decreciente?. ¿Es simétrica?.




313

3) Dibuja la gráfica de la función xx

2 en unos ejes coordenados, construyendo previamente

una tabla de valores. Da a x valores tanto positivos como negativos.

Haz un estudio de esta función, de forma análoga a las de los apartados anteriores.

¿Qué relación existe entre las funciones xax

con a > 0 y con a < 0 ?.

Las funciones del tipo xax

se llaman hipérbolas y tienen las siguientes propiedades:

1) Su dominio es todos los números, salvo x = 0.

2) Es creciente si a < 0 y decreciente si a > 0.

3) Es simétrica respecto del origen de coordenadas , es decir, al doblar el papel por los dosejes de coordenadas, consecutivamente, coinciden las dos ramas de la curva.

4) Cuando x se acerca a 0, los valores de la función se hacen cada vez más grandes(positivos o negativos). Se dice que la recta x = 0 (eje de ordenadas o eje de las y) es unaasíntota vertical de la curva.

5) Cuando x se hace cada vez más grande (positiva o negativa), los valores de la función sehacen cada vez más cercanos a 0. Se dice que la recta y = 0 (eje de abcisas, o eje de las x) es una asíntota horizontal de la curva.

Asíntota de una curva es una recta hacia la que se acerca la curva cada vez más y más, sinllegar nunca a tocarla.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

1) Supongamos que un coche puede circular a velocidad constante durante todo un viaje. Si ladistancia a recorrer es de 480 km, ¿cuánto tardará si circula a 60 km/h?. ¿Y si lleva una velocidadde 90 km/h?. Haz una tabla que exprese la duración del viaje según las distintas velocidades quedesarrolla. ¿Cuánto vale el producto de la velocidad por el tiempo en todos los casos?.




314

2) El área de un rectángulo es 18 cm 2. ¿Qué valores pueden tener la base y la altura?. Construyeuna tabla con los posibles valores de base y altura y represéntala gráficamente. ¿Cuánto vale elproducto de base por altura en todos los casos?.

Si el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes x e y es constante, sedice que dichas magnitudes son inversamente proporcionales y se cumple: x y = k

o bien y =k x

.

La representación gráfica de una proporcionalidad inversa es una hipérbola.

INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Averigua cuáles de las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales:

1) Número de obreros y tiempo que tardan en hacer una valla.

2) Espacio recorrido por un móvil y tiempo empleado en recorrerlo.

3) Número de grifos de una bañera y tiempo que tarda en llenarla.

4) Tiempo que se tarda en limpiar un monte y número de personas que realizan la limpieza.

5) Número de kilos de manzanas compradas y precio que se abona.

6) Tiempo que se tarda en hacer un viaje en avión y velocidad del mismo.

7) Número de litros de aceite que se pueden comprar con 5000 ptas y precio del litro.

8) El coste del agua de una garrafa y el volumen de agua que contiene.




315

FABRICACIÓN DE CAMISETAS

El coste por unidad de fabricación de una camiseta es 2002000

n, donde n representa el número de

camisetas fabricadas de ese modelo.

Describe cómo varía el precio / camiseta, si varía el número de camisetas confeccionadas y dibujauna gráfica aproximada que presente esa variación. ¿Cuántas camisetas se deberían encargar paraque salieran a 3 euros.?. ¿Y a 1,50 euros?

UN PRODUCTO

El producto de dos números es 20. ¿Cuáles pueden ser estos números?.

Busca algún procedimiento general para hallar uno de los factores conociendo el otro.

¿Qué forma tendrá la gráfica de la relación factor 2º factor er 1 ?.

ÁNGULOS EN UN POLÍGONO REGULAR

En un polígono regular la medida de los ángulos central e interior varía según el número de lados.

Dibuja las gráficas correspondientes a:

a) nº de lados ángulo central b) nº de lados ángulo interior.

ÁREA CONSTANTE

Se quiere construir un gran ventanal rectangular de 26 m 2 de luz. Manteniendo constante su área, simodificamos su base variará también la altura:

Base (en metros) 36 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1 Altura (en metros)

Completa la tabla, dibuja la gráfica correspondiente y coméntala.




316

5. Problemas de proporcionalidad

ELECCIONES

Las últimas elecciones al ayuntamiento de Castrópolis, con 21 concejales, han arrojado los siguientesresultados:

Partido Regular.........................................5600 votosPartido Natural..........................................3650 votosUnión de Fuerzas Locales........................1250 votos

Expresa por medio de fracciones y porcentajes los votos de cada candidatura. Si el reparto deconcejales se hiciese por el sistema proporcional, ¿cuántos concejales deberían adjudicarse a cadacandidatura?.

TRES SOCIOS

Para formar el capital de un pequeño negocio se reúnen tres socios, que aportan, respectivamente,1000, 1500 y 2000 euros. Al cabo de un año los beneficios han sido de 500 euros. ¿Cuántocorresponderá a cada socio, si desea repartir el beneficio de forma directamente proporcional alcapital aportado por cada uno?.




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ANTENA COLECTIVA

Dos comunidades de vecinos deciden instalar una antena de televisión colectiva cuyo coste es de1560 euros. Si en cada comunidad viven 75 y 55 vecinos, respectivamente, y deciden pagarproporcionalmente, ¿cuánto deberá pagar cada comunidad?. ¿Y cada vecino?.

LOTERÍA

a) Dos amigos, Virgilio y Basilio, compran un décimo de lotería que cuesta 30 euros. Virgillio paga20 euros y Basilio 10 euros. El décimo resulta premiado con 15000 euros y deciden repartirse losbeneficios de forma proporcional. ¿Cuánto corresponde a cada uno?.

b) Tres amigos juegan un décimo de lotería en Navidad, que resulta premiado con 60000 euros.Calcula cuánto corresponde a cada uno, sabiendo que el primero juega el doble que el segundo yéste el triple que el tercero.

TRANSPORTE

Para enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de distancia, una empresade transporte me ha cobrado 13,50 euros. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 15 kilos a 200km de distancia?.




¡VAYA TELA!

Una pieza de tela de 2’5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 5000 ptas. ¿Cuánto costará otra piezade tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1’20 m de ancha?.

CINE

Un cine, dando dos sesiones diarias, puede dar entrada a 18000 personas en 30 días. ¿A cuántaspersonas podrá recibir este local en 45 días si amplia su oferta a tres sesiones diarias?

PINTORES

Si 4 pintores, trabajando 8 horas diarias durante 12 días han pintado 8 viviendas, ¿cuántos pintoresse necesitarán para que, trabajando 6 horas al día, pinten 15 viviendas en 10 días?.

Documents

8. Gráficas y. Funciones