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GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR

MATEMÁTICAE D U C A C I Ó N B Á S I C A

JAVIERA SETZ MENALICENCIADA EN MATEMÁTICA,LICENCIADA EN EDUCACIÓN,PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

ROSSANA HERRERA CONCHA PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO

FRANCISCO ROJAS SATELERPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

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El material didáctico Guía para el ProfesorEducación Matemática, para Octavo Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativasde Editorial Santillana, bajo la dirección de

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

Coordinación del Proyecto:EUGENIA ÁGUILA GARAY

Coordinación Área Matemática:VIVIANA LÓPEZ FUSTER

Edición:JAVIERA SETZ MENA

ÁNGELA BAEZA PEÑA

MARCIA VILLENA RAMÍREZ

Autores:JAVIERA SETZ MENA

ROSSANA HERRERA CONCHA

FRANCISCO ROJAS SATELER

Corrección de estilo:ISABEL SPOERER VARELA

Documentación:PAULINA NOVOA VENTURINO

MARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES

La realización gráfica ha sido efectuadabajo la dirección de

VERÓNICA ROJAS LUNA

con el siguiente equipo de especialistas:

Coordinación gráfica:CARLOTA GODOY BUSTOS

Coordinación gráfica Licitación:XENIA VENEGAS ZEBALLOS

Diagramación:ALFREDO GALDAMES CID

XIMENA MONCADA LOMEÑA

FERNANDA PARDO LAGOS

LORETO FIGUEROA LIZANA

Cubierta:XENIA VENEGAS ZEVALLOS

Producción:GERMÁN URRUTIA GARÍN

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del"Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o

parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella

mediante alquiler o préstamo público.

© 2006, by Santillana del Pacífico S.A. de EdicionesDr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por World Color Chile S.A.

ISBN: 956 - 15 - 1264 - 5Inscripción N° 159.848

www.santillana.cl

[email protected]

Referencias del Texto Matemática 8, Educación Básica, Proyecto Futuro, de los autores: Cristián Vergara Bize, Jaime Ávila Hidalgo, Lorna Jiménez Martínez, Ana Rojas Fernández.

Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2003.

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Índice 3

Índice

Fundamentación 4

Ejes del proyecto 4

Marco curricular 6

Objetivos Fundamentales Verticales para NB6 6

Contenidos Mínimos Obligatorios NB6 6

Objetivos Fundamentales Transversales

para la Educación Básica 8

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA) 10

Presentación 14

Organización del texto para el estudiante 14

Estructura de la guía para el profesor 16

Orientaciones didácticas 18

Unidad 1 18

Unidad 2 30

Unidad 3 40

Unidad 4 50

Unidad 5 64

Unidad 6 72

Unidad 7 84

Unidad 8 100

Unidad 9 110

Solucionario 124

Bibliografía 126

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Ejes del proyecto

4 Fundamentación

Fundamentación

1Contexto educacional actual

Esta serie de textos ha sido elaborada sobre la base de los siguientes ejes:

El año 2007 el Ministerio de Educación hizo una revisión del currículum, para responder adiversos requerimientos sociales y para mantener su vigencia y relevancia. En estecontexto, el Ministerio ha elaborado un Ajuste Curricular que tiene como propósito:mejorar la definición curricular nacional para responder a problemas detectados, así comoa diversos requerimientos sociales y a los cambios en el mundo productivo y tecnológico.No se trata de una nueva Reforma Curricular, ya que el currículum sigue manteniendo suenfoque y está orientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudesque son relevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos en lasociedad actual.

Este Ajuste considera que el aprendizaje de la Matemática debe buscar, consolidar,sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnasposeen. Busca promover el desarrollo de formas de pensamiento y de acción queposibiliten a los y las estudiantes procesar información proveniente de la realidad y asíprofundizar su comprensión acerca de ella; el desarrollo de su confianza en las propiascapacidades para aprender; la generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de laMatemática; apropiarse de formas de razonar matemáticamente; adquirir herramientasque les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y desarrollar la confianza yseguridad en sí mismos, al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad.

La presente propuesta didáctica para Matemática 8 aborda el conjunto de ObjetivosFundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivel establecidos en elAjuste Curricular aprobado por el Consejo Superior de Educación (CSE) el año 2009, eintegra y articula el tratamiento de Objetivos Fundamentales Transversales con loscontenidos y actividades centrales, dando énfasis especialmente a los siguientes:aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, de género,condición física, opinión u otras; respeto a la vida, conciencia de la dignidad humana y delos derechos y deberes de todas las personas; preservación de la naturaleza y cuidado delmedioambiente; desarrollo de habilidades de pensamiento.

Tanto el texto para el estudiante Matemática 8 como la Guía para el profesor seorganizan a partir de los cuatro ejes temáticos: Números, Álgebra, Geometría y Datos yAzar, considerando como eje transversal el de razonamiento que incluye tanto laresolución de problemas, exploración de caminos alternativos y modelamiento desituaciones o fenómenos, como el desarrollo del pensamiento creativo, analógico y críticopara la formulación de conjeturas, búsqueda de regularidades y patrones y, discusión dela validez de las conclusiones.Si desea saber más sobre el Ajuste Curricular visite: www.curriculum–mineduc.cl/ayuda/ajuste–curricular/

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Fundamentación 5

Este es uno de los ejes fundamentales de esta nueva propuesta, que pone énfasis en laexplicitación de los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales; en laformalización de los mismos; y en la ampliación y profundización de estos, cuando seapertinente.Los contenidos se desarrollan de una manera secuencial, desde los conceptos generales a losparticulares, apelando en primer lugar a la experiencia (cotidianidad) de los niños y niñas, yluego al análisis y desarrollo de los contenidos.

En los textos de esta serie se promueve el trabajo sistemático e intencionado de algunos delos Objetivos Fundamentales Transversales planteados para la Educación Básica, mediante eltrabajo y la generación de distintas situaciones de aprendizaje, que favorecen la formaciónética de los estudiantes, su autoconocimiento, desarrollo personal, y la capacidad pararelacionarse con los demás y con su entorno, de una manera apropiada.

Para obtener información respecto de cómo evoluciona el aprendizaje de los estudiantes,resulta fundamental evaluar durante todo el proceso. Por esta razón, en los textos sepresentan actividades que pueden convertirse en instancias de evaluación antes, durante ydespués del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto permite mantener informados tanto aldocente como al estudiante, de sus respectivos progresos y debilidades, permitiendo asítomar a tiempo las decisiones que sean pertinentes.

Esta propuesta ofrece materiales prácticos y útiles de apoyo al proceso de enseñanza-aprendizaje. Estos recursos entregan tanto al profesor(a) como al alumno(a), una mayorpotencialidad para trabajar con el texto.

2Trabajo con los conocimientos previos de los alumnos

3Metodología

4Trabajo con la transversalidad

5Evaluación permanente

6Variedad de recursos

Los textos consideran como punto de partida para el desarrollo de los contenidos, losconocimientos previos y la experiencia de los estudiantes, a partir de los cuales van a adquirirnuevos conocimientos y experiencias que serán la base de los aprendizajes que seguiránconstruyendo en el transcurso de toda su vida escolar.

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6 Marco curricular

Marco curricular

1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros.2. Utilización estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural,

determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva yexponente natural.

3. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones através de ellas.

4. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemasen diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.

5. Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, reconocer algunas desus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichastransformaciones.

6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utilizar los conceptos de perímetro deuna circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conosrectos, en la resolución de problemas en contextos diversos.

7. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utilizareste tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes.

8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central,ampliando al caso de datos agrupados en intervalos.

9. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización deinferencias, y utilizar medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra dedatos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan.

10. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios conresultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales.

11. Emplear formas simples de modelamiento matemático, verificar proposiciones simples, para casosparticulares, y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos ysignificativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados parafundamentar opiniones y tomar decisiones.

Objetivos Fundamentales Verticales para NB6 (8º año básico)

Números1. Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número

natural por un número entero negativo y extensión de dichosprocedimientos a la multiplicación de números enteros.

2. Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a ladivisión de números enteros. Discusión y aplicación de dichoalgoritmo.

3. Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican eluso de potencias de base entera y exponente natural, determinacióny aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división depotencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión apotencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponentenatural.

Contenidos Mínimos Obligatorios NB6 (8º año básico)

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Marco curricular 7

4. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos queinvolucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros,potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva yexponente natural, enfatizando en el análisis crítico de losprocedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Álgebra:5. Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos

variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisisdel comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas ygráficos.

6. Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entrevariables dependientes e independientes en ellas e identificación desus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso einterpretación de la notación de funciones.

7. Reconocimiento y representación como una función de las relacionesde proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, encontextos significativos. Comparación con variables relacionadas enforma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia conel caso proporcional.

8. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudesproporcionales como no proporcionales, mediante el uso desoftware gráfico.

9. Resolución de problemas en diversos contextos que implican el usode la relación de proporcionalidad como modelo matemático.

Geometría:10. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras

geométricas planas a través de construcciones con regla y compás yempleando un procesador geométrico, discusión acerca de lasinvariantes que se generan al realizar estas transformaciones.

11. Construcción de teselaciones regulares y semirregulares yargumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadasen dichas teselaciones.

12. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugaresgeométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista eidentificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.

13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitudde una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia yestimación del área del círculo por medio de polígonos regularesinscritos en la circunferencia.

14. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumendel cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro ycono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de unprocesador geométrico.

15. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucranel cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, lasuperficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono.

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8 Marco curricular

Datos y Azar:16. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar

información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados enintervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados medianteexperimentos o encuestas.

17. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados enintervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas,a partir de diversos contextos y determinación de la mediaaritmética y moda en estos casos.

18. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar enalgunos experimentos aleatorios para inferir sobre las característicasde poblaciones, ejemplificación de casos.

19. Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversoscontextos, usando medidas de tendencia central y argumentaciónacerca de la información que ellas entregan.

20. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados sonequiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatoriosmediante el uso de herramientas tecnológicas.

21. Identificación del conjunto de los resultados posibles enexperimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventoso sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principiomultiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y delos sucesos o eventos.

22. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de unevento en un experimento aleatorio, con un número finito deresultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.

Marco curricular

En relación a la formación ética:

• Ejercer de modo responsable grados crecientes de libertad y autonomía personal y actuar habitualmentecon generosidad y solidaridad, en el marco del reconocimiento y respeto por la justicia, la verdad,los derechos humanos y el bien común.

• Respetar y valorar las ideas y creencias distintas de las propias y reconocer el diálogo como fuentepermanente de humanización, de superación de diferencias y de aproximación a la verdad.

• Reconocer, respetar y defender la igualdad de derechos esenciales de todas las personas, sin distinción desexo, edad, condición física, etnia, religión o situación económica.

En relación con el crecimiento y autoafirmación personal:

• Promover y ejercitar el desarrollo físico personal en un contexto de respeto y valoración por la vida y elcuerpo humano; desarrollar hábitos de higiene personal y social y de cumplimiento de normas de seguridad.

• Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica.• Promover el interés y la capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y seleccionar información

relevante.

Objetivos Fundamentales Transversales para la Educación Básica

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Marco curricular 9

• Ejercitar la habilidad de expresar y comunicar las opiniones, ideas, sentimientos y convicciones propias, conclaridad y eficacia.

• Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje.• Promover una adecuada autoestima, la confianza en sí mismo y un sentido positivo ante la vida.

En relación con la persona y su entorno:

• Participar responsablemente en las actividades de la comunidad y prepararse para ejercer en plenitud losderechos y cumplir los deberes personales que reconoce y demanda la vida social de carácter democrático.

• Comprender y apreciar la importancia que tienen las dimensiones afectivas y espirituales y los principios ynormas éticas y sociales para un sano y equilibrado desarrollo sexual personal.

• Apreciar la importancia social, afectiva y espiritual de la familia y de la institucionalidad matrimonial.• Proteger el entorno natural y promover sus recursos como contexto de desarrollo humano.• Reconocer y valorar las bases de la identidad nacional en un mundo cada vez más globalizado e

interdependiente.• Desarrollar la iniciativa personal, el trabajo en equipo y el espíritu emprendedor, y reconocer la

importancia del trabajo como forma de contribución al bien común, al desarrollo social y al crecimientopersonal, en el contexto de los procesos de producción, circulación y consumo de bienes y servicios.

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10 Marco curricular

Marco Curricular

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a disposición del sistema escolar losMapas de Progreso del Aprendizaje, que son un instrumento de apoyo al docente para monitorear el progresoen el aprendizaje de sus alumnos(as), identificando distintos niveles de logro.Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnos(as), y le ayudarán asaber cuántos de sus estudiantes han alcanzado aprendizajes que les permitirán abordar bien los aprendizajesdel nivel siguiente, cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciandoese proceso.Ya sabemos que todos somos distintos y por lo mismo no todos aprendemos de la misma manera o al mismoritmo, por esto, el conocer el nivel en el que se encuentra cada uno de sus alumnos(as)le servirá para atender ladiversidad de estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender y orientarlos a avanzar.De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organización de nuestra propuesta fueron considerados los nivelesde logro de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que promuevanel logro de los aprendizajes en forma gradual, y se proponen evaluaciones en las distintas etapas del proceso deaprendizaje, para conocer los avances de los estudiantes respecto de los contenidos y habilidades esperados enel nivel.En este sentido, en nuestra propuesta las evaluaciones diagnósticas están ideadas para observar si losestudiantes tienen las competencias descritas en el nivel 3, de modo que el docente puedan complementar susdestrezas, previo al desarrollo de cada unidad. De igual forma, los contenidos y actividades están diseñadospara que todos los alumnos(as) cumplan satisfactoriamente los aprendizajes descritos en el nivel 4, y tambiénpara que ellos alcancen algunas o todas las competencias descritas en el nivel 5.

A continuación, se presentan los niveles 3, 4 y 5, (correspondientes a los niveles de 5º y 6º Básico, 7º y 8º Básico,y 1º y 2º Medio, respectivamente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados hasta el momento porla Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de los ejes: Números y Operaciones, Álgebray Datos y Azar.

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Marco curricular 11

Nivel 5

Nivel Descripción

Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posibleresolver problemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como unconjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten soluciónen los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpretapotencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos,establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realizaoperatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica endiversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias que implicandescomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas.Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos paraverificar la validez o falsedad de conjeturas.

Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico en donde se puedenresolver problemas que no admiten solución en los números naturales, reconoce suspropiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuantificar magnitudes. Estableceproporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional.Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros. Utiliza raícescuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva,decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos.Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se debenestablecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturasformuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos yrelaciones matemáticas.

Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores.Comprende el significado de potencias de base y exponente natural, y las aplica ensituaciones diversas. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas paraordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Comprende el significado de porcentaje yestablece equivalencias entre estos y fracciones o números decimales, para calcularporcentajes. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números positivos escritostanto en forma decimal como fracción y en forma mental y escrita. Resuelveproblemas y formula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar lainformación disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia oconjetura planteada.

Nivel 4

Nivel 3

Mapa de Progreso de Números y Operaciones

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones, progresan considerando tresdimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada:• Comprensión y uso de los números.• Comprensión y uso de las operaciones.• Razonamiento Matemático.

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12 Marco curricular

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan considerando tres dimensiones quese desarrollan de manera interrelacionada:• Comprensión y uso del lenguaje algebraico. • Comprensión y uso de relaciones algebraicas. • Razonamiento Matemático.

Mapa de Progreso de Álgebra

Nivel 5

Nivel Descripción

Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal, afín, exponencial,logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos yalgebraicamente. Transforma expresiones algebraicas de forma entera y fraccionariahaciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales enforma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran composición defunciones, modelos lineales y afines o sistemas de ecuaciones lineales. Justifica lapertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.

Traduce expresiones desde el lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa.Reduce expresiones algebraicas por medio de la aplicación de propiedades de lasoperaciones. Resuelve problemas en diferentes contextos que involucran ecuaciones deprimer grado con la incógnita en ambos lados de la igualdad, utilizando propiedades yconvenciones del álgebra. Reconoce funciones en contextos cotidianos y sus elementosconstituyentes, distinguiendo entre variables independientes y dependientes. Resuelveproblemas que involucran aplicar el modelo de variación proporcional, explicando larelación entre las variables. Justifica la pertinencia de los procedimientos aplicadosaludiendo a la situación que modela.

Comprende que en las expresiones algebraicas las letras pueden representar distintosvalores de acuerdo al contexto. Reconoce las expresiones algebraicas que representanlas propiedades de las operaciones e interpreta expresiones algebraicas querepresentan la generalización de una operación matemática. Comprende que unamisma expresión tiene distintas representaciones algebraicas equivalentes. Resuelveecuaciones de primer grado donde la incógnita se encuentra a un solo lado de laigualdad, utilizando estrategias informales. Justifica sus soluciones explicitando lasestrategias utilizadas.

Nivel 4

Nivel 3

Marco Curricular

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Marco curricular 13

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarrollan considerando cuatrodimensiones que se interrelacionan:• Procesamiento de datos. • Interpretación de información. • Comprensión del azar.• Razonamiento matemático.

Mapa de Progreso de Datos y Azar

Nivel 5

Nivel Descripción

Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos defrecuencia acumulada. Extrae e interpreta información haciendo uso de medidas dedispersión y de posición. Compara dos o más conjuntos de datos usando medidas dedispersión y posición. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igualtamaño, desde una población finita, el promedio de las medias aritméticas muestralesse aproxima a la media de la población. Asigna probabilidades mediante el modelo deLaplace o bien las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones delexperimento. Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usandodiagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma yproducto de las probabilidades.

Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones, ventajas ydesventajas de distintos tipos de representación. Extrae e interpreta información desdetablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Comprende los conceptos derepresentatividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusiones einferencias acerca de una población determinada. Comprende que a través del modelode Laplace es posible predecir el valor de la probabilidad de ocurrencia de un eventosimple, sin realizar el experimento aleatorio. Resuelve problemas simples deprobabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y tambiénlas frecuencias relativas.

Reconoce aquellas variables que aportan información relevante para resolver unproblema y organiza datos en gráficos de línea, circulares y barras múltiples. Extraeinformación respecto de situaciones o fenómenos presentados en los gráficosanteriores y calcula medidas de tendencia central. Comprende los conceptos depoblación y muestra y la conveniencia de seleccionar muestras al realizar estudios paracaracterizar poblaciones. Evalúa la posibilidad de ocurrencia de un evento encontextos cotidianos como posible, imposible, probable o seguro, a partir de suexperiencia y la observación de regularidades en experimentos aleatorios simples.Conjetura acerca de las tendencias que se desprenden desde un gráfico, desde lalectura de medidas de tendencia central o de los resultados de un experimentoaleatorio simple, justificando en base a la información disponible.

Nivel 4

Nivel 3

Extraído de: Mapas de progreso del aprendizaje. Ministerio de Educación. Marzo de 2009. www.mineduc.cl/biblio.Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que ingrese a:

www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/

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14 Presentación

Presentación

1. Páginas de inicio de unidad. Su función es motivar. Considera losconocimientos previos y los que aprenderán en la unidad.

2. Páginas de desarrollo de contenidos. En estas páginas se desarrollanlos contenidos y se presentan situaciones problemáticas resueltas.Incluyen tres grandes secciones: Explora, Practica y En equipo.

Título de la unidad

Necesitas recordarSe proponen actividades para repasar y recordar aspectos importantesrelacionados con los contenidos, antes de iniciar el trabajo de la unidad.

Actividades iniciales

¿Qué aprenderás?Se señalan los principales objetivos de la unidad.

Conexión con los objetivos fundamentales transversales (OFT)Trabaja con los OFT pertinentes al tema de la unidad.

ExploraSe presenta la situación problema resuelta y se resaltan losprocedimientos fundamentales involucrados, al igual que losconceptos.

PracticaActividades para adquirir, reforzar, razonar y consolidar los contenidosde la sección anterior.

En equipoSe invita a los alumnos a trabajar en equipo para el desarrollo deactividades relacionadas con los contenidos revisados, y así enriquecermediante la discusión el trabajo cooperativo y colaborativo.

Sección que invita a los estudiantes a ingresaral hipertexto donde encontraran recursos y actividades interactivasque complementan el aprendizaje.

3. Más problemas. Presenta un problema resueltopaso a paso; la compresión del problema, laplanificación, la resolución y su revisión.Se deja en evidencia la estrategia utilizada y sedan actividades para ejercitar la estrategiapresentada.

Organización del texto para el estudiante

El texto Matemática 8 se organiza en 9 unidades, dos talleres de evaluación y actividades de ejercitación.A continuación se describen los tipos de páginas y secciones de las unidades.

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Presentación 15

4. Cálculo mental. Se entregan distintas estrategias pararealizar cálculos de una manera más rápida y ágil.

5. Uso de la calculadora. Se pone a disposición de losestudiantes la utilización de la calculadora como unaherramienta tecnológica que podrán incorporar a suvida diaria.

6. Síntesis. Este es un espacio donde los alumnosencontrarán un resumen de los conceptos y definicionestratados en la unidad. Además se les propone lacreación de su propio mapa conceptual.

7. Uso del computador. Oportunidad para conocer diversos programas yconectar los contenidos trabajados en la unidad con una herramientatecnológica.

8. Evaluación. Páginas con preguntas de alternativa y dedesarrollo orientadas a evaluar el aprendizaje de loscontenidos trabajados en la unidad. Al finalizar seencuentra la sección ¿Cómo trabajé? para que losalumnos(as) puedan autoevaluarse.

9. Solucionario. Se dan las respuestas a las principalesactividades formuladas en el texto.

¿Cómo trabajé?

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16 Presentación

Presentación

1. Cuadro sinóptico. Este cuadro resume el marco curricular de la unidadpara cada momento pedagógico, que corresponden a diferentes tiposde páginas del texto del alumno(a): inicio de unidad, desarrollo decontenidos, resolución de problemas, cálculo mental, uso de lacalculadora, uso de la tecnología, juegos. Para cada uno de estosmomentos se detallan los contenidos de la unidad, los ContenidosMínimos Obligatorios (CMO), los aprendizajes esperados y los ObjetivosFundamentales Transversales (OFT). Estos últimos se indican solo cuandoel objetivo es trabajado explícitamente en la unidad, no obstante,debido a su carácter transversal, estos objetivos pueden ser trabajados,si el docente lo estima, en otras instancias dentro de la unidad.

• : Icono que indica cuales son las páginas, del texto delalumno, en donde se trabaja con el hipertexto.

2. Propósito de la unidad. Luegode ser presentado el cuadrosinóptico, se entrega elpropósito de la unidad, siendoesta una instancia deintroducción de los temas atratar. Para enriquecer la visióndel docente en los contenidosde esta unidad, esta secciónconsta de un esquema querelaciona los conceptos clavede la unidad.

La Guía para el profesor del texto Matemática 8, es un material creado como apoyo al proceso de enseñanza-aprendizaje para el subsector de Educación Matemática. Esta propuesta de guía incorpora material concretode apoyo a la labor docente, a través de diversos elementos que se desarrollan en el interior de sus páginas.

En cada unidad se distinguen los diversos elementos, que se especifican a continuación:

Estructura de la guía para el profesor

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Presentación 17

3. Orientaciones didácticas. Una vez contextualizada la unidad en elmarco curricular, se entregan orientaciones didácticas para cadamomento pedagógico. Las páginas de desarrollo de contenidos setrabajan por contenido, considerando las siguientes secciones:

• Actividades previas. Se proponen actividades de motivación para introduciry/o aproximar a los(as) alumnos(as) al contenido que se va a trabajar.

• Actividades complementarias. Se plantean variadas actividades cuyopropósito es ejercitar, reforzar, ampliar y/o profundizar los contenidostrabajados.

• Información para el docente. Esta sección está destinada al profesor,cuyo objetivo es entregar información anexa que profundiza ycomplementa la entregada en el texto. En algunos casos, se sugierendirecciones de Internet, datos curiosos relacionados con el contenido,o sugerencias para erradicar los preconceptos más comunes en losestudiantes.

• Tarea. Se sugieren actividades para trabajar en la casa, que permitenreforzar y/o ampliar el contenido tratado, o bien enlazarlo con eltema siguiente.

4. Evaluación. En estas páginas se presenta un material complementariode evaluación de los contenidos de la unidad, para que el docenteutilice según los requerimientos del grupo curso.Para cada evaluación del texto del alumno se presentan los objetivosevaluados y criterios de logro.

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UNIDAD

Unidad 118

Cuadro sinóptico

1Números positivos y negativos

CMO

• Páginas de inicio. (Págs. 8 y 9)

• Páginas de desarrollo decontenidos. (Págs. 10 - 19)

• Más problemas.(Págs. 20 y 21)

• Cálculo mental. (Pág. 22)

• Uso de la calculadora. (Pág. 22)

• Síntesis. (Pág. 23)

• Evaluación. (Págs. 24 y 25)

Contenidos de la unidadEstructura de la unidad

– Adiciones y sustracciones combinadas de númerospositivos y negativos. (Págs. 10 y 11)

– Multiplicación de números positivos y negativos.(Págs. 12 y 13)

– División de números positivos y negativos.(Págs. 14 y 15)

– Multiplicaciones y divisiones combinadas denúmeros positivos y negativos. (Pág. 16 y 17)

– Operatorias combinadas. (Págs. 18 y 19)

• Operaciones combinadas de números positivos ynegativos.

• Multiplicación de números positivos y negativos.

• Operaciones combinadas de números positivos ynegativos.

• Empleo de procedimientos decálculo para multiplicar unnúmero natural por un númeroentero negativo y extensión dedichos procedimientos a lamultiplicación de númerosenteros.

• Extensión del algoritmo de ladivisión de los númerosnaturales a la división denúmeros enteros. Discusión yaplicación de dicho algoritmo.

• Resolución de problemas encontextos diversos ysignificativos que involucran las4 operaciones aritméticas connúmeros enteros, […]enfatizando en el análisis críticode los procedimientos deresolución y de los resultadosobtenidos.

UNIDAD

U1 21/10/09 10:16 Página 18

Números positivos y negativos 19

Aprendizajes esperados OFT

• Participar responsablemente en lasactividades de la comunidad.

• Desarrollar la capacidad de resolverproblemas, la creatividad y lascapacidades de autoaprendizaje.

• Desarrollar el pensamiento crítico yreflexivo y el sentido de crítica yautocrítica.

• Resuelven adiciones y sustracciones de números positivos y negativos.

• Resuelven multiplicaciones de números positivos y negativos.

• Resuelven divisiones de números positivos y negativos.

• Resuelven multiplicaciones y divisiones de números positivos y negativos.

• Operan con números positivos y negativos en cualquier contexto y decualquier orden de magnitud interpretando adecuadamente los resultados.

• Interpretan situaciones en las que se involucran números positivos ynegativos, y realizan operaciones con ellos.

• Usan números positivos y negativos en la vida diaria.• Comparan números positivos y negativos.• Resuelven operatorias con números positivos y negativos.

U1 21/10/09 10:16 Página 19

Unidad 120

Propósito de la unidad

En esta unidad se profundiza el estudio de los números negativos, realizado en años anteriores, mediantelas propiedades y operatoria de la multiplicación y división, de esta manera se incorporan elementos quepermitirán al alumno resolver y comprender nuevos problemas. Desde esta perspectiva, se presentansituaciones en contextos cercanos a los alumnos, que representan un desafío para las habilidadescognitivas de los estudiantes pues trascienden a la simple memorización y reproducción de ciertas reglas,especialmente en lo referido a la operatoria con números positivos y negativos.

Orientaciones didácticas

• Presentar la siguiente información, luego responden las preguntas.– La fosa submarina más profunda del mundo es la fosa de las Marianas,

cercana a Guam, en el noroeste del océano Pacífico, que alcanza unaprofundidad de 11 033 m. En cambio, la cumbre más alta del mundo esel monte Everest, en la cordillera del Himalaya, con una altura de 8848metros sobre el nivel del mar.¿Qué distancia hay entre la cima del monte Everest y el fondo de la fosade las Marianas?

• Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen otras preguntas y las respondan.

Páginas de inicio (páginas 8 y 9)

Actividades complementarias

Mapa conceptual

Números positivos y negativos

Operatoria

Aplicaciones

Operatoria combinada

Adición Sustracción Multiplicación División

U1 13/10/09 12:39 Página 20


• Visitar http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/es_confboye.htm en dondeaparece información sobre la historia de los números negativos. Podráencontrar además aspectos sobre su utilización, los obstáculos para lacomprensión, y un apartado especial que trata del problema específicode la regla de los signos para el producto. Esto le servirá comocomplemento a su quehacer docente y le ayudará en el desarrollo eimplementación de sus prácticas pedagógicas.No olvidar que las páginas o su contenido pueden cambiar.

Información para el docente

• Completar las cadenas siguiendo las operaciones en el sentido que indicala flecha.

Adiciones y sustracciones combinadas (páginas 10 y 11)


–47–2,3 +6,7 –(–8) –34

(7,8)+(–13)

–78,5

+(–1,9) –41

+22,9

–23 +(–9,9) +7,8 –35,4¿ ?

• Es muy importante para el desarrollo del pensamiento matemático delalumno(a), trabajar no solo con números enteros, sino también condecimales positivos y negativos. Este tipo de trabajo aumenta la capacidad deabstracción, facilita la rapidez de cálculo y la interpretación de soluciones.

• Es conveniente discutir con los(as) alumnos(as) las propiedades de losnúmeros enteros, aunque no de una forma explícita. Trabajar con elloslas propiedades de clausura, asociatividad y conmutatividad de formaaritmética (nunca algebraica) esto permite una mayor comprensión decómo y para qué se usan estos números, y poco a poco irán entendiendosu estructura.


• Analizar con los(as) alumnos(as) las siguientes situaciones:Al sumar dos números positivos el resultado de ellos es siempre mayorque cada una de las partes, ya sean estas naturales o racionales.¿Ocurrirá esto cuando se suman números positivos con negativos?¿O números negativos con negativos?Explorar las posibles respuestas que ellos puedan dar sobre estasobservaciones, para luego, al final de la sección, comparar los resultados.

Actividades previas

U1 20/10/09 10:51 Página 21

Unidad 122


• Es interesante observar cómo los(as) alumnos(as) están acostumbrados aasumir que el producto es mayor que cada uno de los factores, estodebido al trabajo con números enteros positivos. El dilema se les producecuando se incorporan los números decimales, pues el producto de dosnúmeros entre cero y uno es menor que cada factor. Por este motivo seplantea la secuencia de las actividades previas, para superar la ideaencasillada de que el producto es siempre mayor que los factores, puesesto tampoco ocurre al multiplicar números positivos y negativos entre sí,o números negativos entre sí.

Posibles dificultades

• Plantear las secuencias siguientes y responder las preguntas que seplantean.

3 • 2,5; 3 • 1,25; 3 • 0,625 ¿Qué ocurre con el último productorespecto del factor 3?

0,7 • 2,2; 0,7 • 1,4; 0,7 • 0,6 ¿Qué ocurre con el último productorespecto de los otros dos factores?

¿Puedes describir qué va pasando a medida que se desarrollan las secuencias?

Agregar otras secuencias semejantes para complementar, y ademáspreguntar: ¿Qué ocurriría si uno de los factores pasa a ser negativo?

Multiplicación de números positivos y negativos (páginas 12 y 13)

Actividades previas

• Completar la siguiente tabla de regularidades.Actividades complementarias

Factores

Productos

Factores

Productos

Factores

Productos

5 • 6 5 • 4 5 • 2 5 • 0 5 • –2 5 • –4

4,8 • 16 2,8 • 8 0,8 • 4 –1,2 • 2 –3,2 • 0 –5,2 • –2

10 • –4 4 • –4 0 • –4 –4 • –4 –10 • –4 –16 • –4

• Es muy importante aclarar que los números negativos no “existen” en elmundo real y que solo sirven como representación de fenómenosconcretos. Es conveniente para ello hacer un paralelo entre el “mundoreal” y el “mundo matemático” en donde en el primero, por ejemplo5 °C bajo cero, puede ser expresado como –5 en el segundo, y por lotanto, hablar de “menos cinco” solo tiene sentido en la matemáticay no en la realidad.También es importante señalar que los números los usamos comomedidas, que son siempre positivas, por lo que –5 metros no tieneningún sentido, si no se ocupa como representación y ligado a unreferente, como por ejemplo, el nivel del mar.


U1 13/10/09 12:39 Página 22


• Es muy importante trabajar con los(as) alumnos(as) diversos métodos deregularidades, pues las demostraciones algebraicas o abstractas escapana su pensamiento aún concreto. El descubrir este tipo de propiedades tanimportantes por sus propios medios les ayuda a construir ese concepto enforma más significativa.


División de números positivos y negativos (páginas 14 y 15)

• Completar la siguiente tabla de regularidades.Actividades complementarias

División

Cociente

División

Cociente

División

Cociente

6 : 5 4 : 5 2 : 5 0 : 5 –2 : 5 –4 : 5

4,8 : 16 2,4 : 8 0,8 : 4 –1,2 : 2 –3,2 : 0 –5,2 : –2

10 : –4 4 : –4 0 : –4 –4 : –4 –10 : –4 –16 : –4

• Completar.Actividades complementarias

–5

7

• 7

10

–5

: 2

: –5

• –1

• 4

+15

+3

+2

• Basándose en el trabajo con multiplicaciones y divisiones, discutir cuálesson las diferencias entre ellas en cuanto a la operatoria, los resultados ylos signos.

Multiplicaciones y divisiones combinadas (páginas 16 y 17)

Actividades previas

U1 13/10/09 12:39 Página 23

Unidad 124


• Lo más importante de la operatoria combinada entre multiplicaciones ydivisiones es que los(as) alumnos(as) comprendan y apliquen el conceptode inverso multiplicativo, y que al fin de cuentas, el multiplicar (o dividir)por un cierto numero, es equivalente a dividir (o multiplicar) por elinverso. Lo importante es desarrollar la reversibilidad de losprocedimientos, lo cual contribuye a desarrollar la habilidad de revertirprocesos, que influye directamente en los procesos cognitivos y lógicosde los estudiantes.


• Discutir las relaciones que hay entre la adición y la multiplicación, y lasustracción y la división. Lograr que los(as) alumnos(as) generen suspropias conclusiones y solo después de eso formalizar el contenido.

Operatorias combinadas (páginas 18 y 19)

Actividades previas

• Señalar los pares de secuencias de operaciones que son equivalentes.

a. –37 + 48 : 4 – 56 + 51 • 2b. 124 + 57 • (2 – 34) : 16c. (1348 : 4 – 37) : 100 • 7d. (378 – (–24) – 2) : 4


• Los(as) alumnos(as) resuelven la siguiente situación:Un grupo de 7 amigos está jugando cartas y anotan sus puntajes en cadajugada.


Jugadas

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

Juan

–3

2

–3

7

5

Ignacia

1

1

0

–2

5

Pedro

0

–6

–1

–4

5

Claudio

5

–4

0

0

–6

Carolina

–5

6

–3

6

–2

Francisco

–2

9

–9

2

1

Ruth

–8

2

–4

8

2

• Decidieron que el ganador o ganadora sería el que obtuviera el máximopuntaje realizando las siguientes operaciones sobre los puntajesobtenidos en cada jugada:(1ª jugada) • (2ª jugada) + (3ª jugada) – ((4ª jugada – (5ª jugada))¿Quién obtuvo el primer lugar?, ¿quién obtuvo el último lugar?

U1 20/10/09 10:52 Página 24


Resolución de problemas (páginas 20 y 21)

• Conversar con los(as) alumnos(as) sobre las estrategias que usan a la horade enfrentarse a un problema y tratar de resolverlo. Luego describir unlistado con las destrezas necesarias para llegar a “buen puerto” en laresolución de un determinado problema.

Actividades previas

• Resolver el siguiente problema.– Matías, al ir de la escuela a su casa, siempre inventa un juego, pues se va

caminando.Esta vez decidió que por cada 7 baldosas de la vereda por la que camina,iba a retroceder 3, a lo cual llamó una jugada. Si cada baldosa escuadrada y mide 13 cm de lado, ¿cuánto avanza si lleva 5 jugadas? ¿Cuáles la distancia entre su escuela y su casa, si para llegar de una a otradebe realizar 150 jugadas?


• Es muy importante trabajar con los estudiantes la resolución deproblemas, pues desarrolla en ellos habilidades cognitivas que les seránútiles en cualquier aspecto de su vida. Un autor que se dedicó ainvestigar la resolución de problemas fue George Polya, quien desarrollóun método heurístico de resolución de problemas. Podrá encontrar másinformación al respecto enhttp://www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/polya.htm .No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.


• El manejo aritmético con números positivos y negativos, decimales o no,es decir, con los números racionales, es un objetivo importante alfinalizar octavo año, pues este es un curso terminal del ciclo básico, peroa la vez es preparatorio para el ciclo medio. Empezar con este tema nosda el tiempo suficiente para aproximarnos al nivel de comprensión yaplicación que los(as) alumnos(as) lograrán de este tema, lo cual permiteguiar mejor las prácticas pedagógicas y apoyar de mejor forma a los(as)alumnos(as) en procesos de aprendizaje.


• Pedir a los(as) alumnos(as) que inventen un problema que pueda serresuelto mediante la siguiente secuencia de operaciones:

[(44 – 22) : 11] • 3

Tarea

U1 13/10/09 12:39 Página 25

Unidad 126


• Algunos aspectos por los cuales el cálculo mental puede ser muy valiosopara los(as) alumnos(as):

– Contribuye a la comprensión y sentido del número, al hacer uso de laforma en que está constituido.

– Puede ser un dominio para contrastar las concepciones de los estudiantessobre los procedimientos de cálculo y su disponibilidad, ya que haceemerger procesos cognitivos.

– Contribuye a enriquecer y flexibilizar la experiencia y comprensiónalgorítmica.

– Estimula la búsqueda de soluciones por caminos alternativos.– Es una ayuda para el cálculo estimado predictivo y un estilo de

comprobación de determinados resultados.– Interviene en el desarrollo de las capacidades cognitivas.– Estimula el análisis de situaciones numéricas.– Da una visión participativa de las matemáticas.– Puede ser lúdico, rehabilitador del cálculo y motivador.


• Resolver los siguientes ejercicios calculando mentalmente.

a. 53 + 11 + (–10) – 3 + 10 + (–1) – (–63) + 1b. 25 • –4 : 100 • –2 • –25 + (–50) – 2 c. 41 • 6 : –41 • –2 • –3 + 82 – 3 d. 5 • –7 • –8 : –5 : –8 : 7 + 50 • 2e. 6 • 59 : –3 • (–50) • 6 • 50 : –6 • 9


• Comentar con los(as) alumnos(as) los cálculos mentales que se hacen endiversas situaciones de la vida cotidiana, como por ejemplo, al ir decompras, al calcular promedios de notas, etc.Comentar las estrategias que surjan de la conversación y sistematizarlasen la pizarra, para lograr una mayor conciencia de ellas por parte delos(as) alumnos(as).

Cálculo mental (página 22)

Actividades previas

U1 13/10/09 12:39 Página 26


• Usar números positivos y negativos en la vida diaria. (Preguntas 1, 3, 5, 6 y 8; pág. 24; y pregunta 3, pág. 25)• Comparar números positivos y negativos. (Preguntas 2 y 7; pág. 24)• Resolver operatorias con números positivos y negativos. (Pregunta 4, pág. 24; y preguntas 1 y 2; pág. 25)

Evaluación (páginas 24 y 25)

Objetivos evaluados

• Preguntas 1, 3, 5, 6 y 8; pág. 24; y pregunta 3, pág. 25: responden correctamente al menos cuatro de las seispreguntas planteadas.

• Preguntas 2 y 7; pág. 24: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas.• Preguntas 4, pág. 24; y preguntas 1 y 2, pág. 25: responden correctamente al menos dos de las tres

actividades planteadas.

Criterios de logro

• Escribir en la calculadora las siguientes secuencias de teclas y observar ladiferencia entre los resultados, a pesar de que están presentes losmismos números y las mismas operaciones. Explicar por qué sucede esto.

Uso de la calculadora (página 22)


• La calculadora y el computador no solo son instrumentos para larealización de cálculos, sino que se convierten en potentes recursosdidácticos que permiten trabajar con los números de una forma máscómoda, ágil y autónoma (por ejemplo, las fracciones). Realizarestimaciones, cálculos aproximados y reconocimiento de regularidades enconjuntos numéricos, permite al alumno(a) enfocarse más en el conceptotratado que en la operatoria. Esto no implica necesariamente finalizarcon el uso de la calculadora, también se puede empezar con ella, paraluego comprobar conjeturas realizadas con el cálculo operatoriohabitual.


12 + ( 24 : 2 ) =

( 12 + 24 ) : 2 =

( 12 + 24 : 2 ) =

U1 13/10/09 12:39 Página 27

28 Unidad 1

Marca la alternativa correcta

1. ((500 – 3000) + 2000) – 500 es igual a:

A. 1000B. –100C. –1000D. –2500

2. Al calentar un compuesto, aumenta sutemperatura en 0,5 ºC cada 2 minutos. Si a las 8de la mañana registró una temperatura de –12 ºC,¿cuál será la temperatura a las 9:00 de lamañana?

A. 48 ºCB. 15 ºCC. 3 ºCD. –6 ºC

3. Dada la siguiente secuencia numérica: a, –7, –3, c,5, 9, b, 17, determina el valor opuesto de(a + b + c)

A. 3B. 2C. –2D. –3

4. Se triplica el doble de un número resultando 42.¿Cuál es el número?

A. –7B. 7C. 14D. 21

5. Una cuenta de ahorro tiene un saldo en contra de$10 000. ¿Cuánto se debe depositar para que elmonto de la cuenta quede en la situación opuesta?

A. –$20 000B. –$10 000C. $10 000D. $20 000

6. x vale –5 e y es equivalente al valor de xaumentado en 8. z es igual al producto de x por ydividido por 10. ¿Cuál es la relación correcta dex, y y z?

A. x < z < yB. x < y < zC. z < y < xD. y < z < x

7. 10 • ((–1,5 + 3,5) : 4 + (5) • (–2)) es igual a:

A. –105B. –95C. –80D. 115

8. ¿Cuál es el número que dividido por (–5) es iguala 10?

A. 50B. 2C. –2D. –50

9. Determina el valor de W para que el resultado enla siguiente expresión sea cero. 10 – (10 + W – 50)

A. 50B. 20C. 0D. –50

Evaluación 1

U1 13/10/09 12:39 Página 28

29Números positivos y negativos

10. Cada vez que ingresa un número a una unidadprocesadora que calcula en tres etapas, se obtieneun número de salida. ¿Qué número de salida seobtiene si ingresa el número –10?

Entrada D T M Salida

D = DuplicaT = Triplica y M = Calcula el valor absoluto

A. 10B. 20C. 30D. 60

11. Si a • (–6) = 30 y –10 • b = –40 ¿Cuál es el valorde a + b?

A. –9B. –1C. 1D. 9

12. 9 + 3 • (7 – 8) – 4 : (–4) – (9 + 12) : (1 – 4) esigual a:

A. 20B. 14C. 18D. 54

13. –27 : (–81 : –9) es igual a:

A. 3B. 1C. –1D. –3

14. + 3 es igual a:

A. –105B. –32C. 38D. 104

15. Si a un número le añades 23, al resultado lequitas 41 y esta diferencia la multiplicas por 2obtienes 132. ¿Cuál es el número original?

A. 96B. 79C. 84D. 282

16. Si P = –4; Q = 8 y R = 10, entonces el valoropuesto del resultado de R – P – Q es:

A. –6B. –2C. 6D. 14

17. La temperatura en la mañana era 12ºC y ascendió2ºC por cada 30 minutos. Al cabo de 4 horas, ¿quétemperatura se registró?

A. 28ºCB. 26ºCC. 20ºCD. 18ºC

18. El antecesor y sucesor de –5 son respectivamente:

A. –4 y –6B. –4 y –3C. –6 y –4D. –6 y –7

–15 • (3) • 7(–9)

U1 13/10/09 12:39 Página 29

UNIDAD

Unidad 230

Cuadro sinóptico

2Ecuaciones de primer grado

CMO

• Páginas de inicio.(Págs. 26 y 27)








– Igualdades y ecuaciones. (Págs. 28 y 29)

– Lenguaje algebraico. (Págs. 30 y 31)

– Ecuaciones con adiciones y sustracciones.(Págs. 32 y 33)

– Ecuaciones con multiplicaciones. (Págs. 34 y 35)

– Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones.(Págs. 36 y 37)

– Ecuaciones con la incógnita en ambos lados.(Págs. 38 y 39)

– Estudio de las soluciones. (Págs. 40 y 41)

• Resolución de ecuaciones de primer grado.

• Resolución de ecuaciones de primer grado.

• Planteamiento de ecuacionesque representan la relaciónentre dos variables ensituaciones o fenómenos dela vida cotidiana y análisisdel comportamiento dedichos fenómenos a través detablas y gráficos.

UNIDAD

U2 20/10/09 10:54 Página 30

Ecuaciones de primer grado 31


• Ejercitar la habilidad de expresar ycomunicar las opiniones, ideas ysentimientos y convicciones propias.

• Desarrollar el pensamiento reflexivo ymetódico y el sentido de crítica yautocrítica.

• Desarrollar la capacidad de resolverproblemas.



• Promover una adecuada autoestima y laconfianza en sí mismo.

• Desarrollar la capacidad de resolverproblemas.

• Reconocen una ecuación como una igualdad.

• Traducen enunciados verbales al lenguaje algebraico.

• Resuelven ecuaciones con adiciones y sustracciones.

• Resuelven ecuaciones con multiplicaciones.

• Resuelven ecuaciones con multiplicaciones y adiciones.

• Resuelven ecuaciones con incógnita en ambos lados.

• Estudian las soluciones de las ecuaciones.

• Resuelven problemas aplicando una estrategia de resolución.

• Traducen enunciados verbales al lenguaje matemático.• Plantean y resuelven ecuaciones.• Resuelven problemas usando ecuaciones.

U2 20/10/09 10:54 Página 31

Unidad 232


• Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen numéricamente las siguientesexpresiones y luego calculen.

– El doble de veinte.– El cuádruple de seis.– El doble de ocho, aumentado en dos.– El triple de cuatro, disminuido en doce.– Un medio de dos, elevado a ocho.– Tres cuartos de veinte, aumentado en uno.


Actividades previas

La presente unidad entrega nuevas herramientas relacionadas con la generalización de situaciones,mediante la utilización del lenguaje algebraico, de esta manera el alumno podrá resolver problemas máscomplejos, en los cuales la solución no se puede obtener de manera directa. Muchas de las situacionesplanteadas están relacionadas con contextos geométricos, de este modo el alumno descubrirá una gamade aplicaciones del lenguaje algebraico, especialmente en la resolución de ecuaciones. Por otra parte, sepretende desarrollar el razonamiento de los alumnos, para esto se incorporan páginas destinadasespecialmente a estudiar la pertinencia de las soluciones obtenidas e interpretar los resultados.


Mapa conceptual

Ecuaciones de primer grado

Resolución de ecuaciones

Estudio de las soluciones

Ecuaciones conmultiplicaciones

Ecuaciones con incógnitaen ambos lados

Ecuaciones con adicionesy sustracciones

Igualdades Lenguajealgebraico

U2 13/10/09 12:40 Página 32


• Determinar si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.

a. + 4 • (–1) = 2 • (–2) + 2–1 c. 20 : 2,5 + 4 = 7 • (–1) – � �0

b. 0,3 – • 10 = 2,7 + d. –3 • (–4) + = 2 • 6 • 1 + 6

8

3

4

1

2

1

5

1

2


• Escribir en la pizarra:

3x + 4 = 16 5 + 4 = 12 4y – 5 = 20 ¥ – 6 = 21

Luego preguntar: ¿Cuál de estas expresiones es una ecuación? ¿Por qué?Aclare que una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay unnúmero desconocido, llamado incógnita o variable, y que se verifica(se cumple) para determinado valor numérico de ella.En conjunto verifican que las expresiones anteriores son todas“ecuaciones”, porque cumplen con la definición.

Igualdad y ecuaciones (páginas 28 y 29)

Actividades previas

• Calcular el valor de las siguientes expresiones, para los siguientes valores.

a = 4, b = 3, c = (–1), d = y e = (–2)

a. 3a + b – 2c = d. a2 + 3c – 4e =

b. 4b – c + 2e = e. 5e – a • b + d–1 =

c. 5a – 2b + c – 3e = f. 3c5 + 4d – e + b =

1

2


• Escribir en lenguaje corriente las siguientes expresiones matemáticas.

a. 5x – 3 =

b. 2y + =

c. – 2 =

d. 5p + p = 3

4

m

3

1

2

Lenguaje algebraico (páginas 30 y 31)


• Ecuación significa “igualación”. Proviene del latín aequáre, que quieredecir “igualar”, derivado del adjetivo aéquus, que es “igual”. De aquí larelación que se hace de una ecuación y una balanza.


U2 13/10/09 12:40 Página 33

Unidad 234


• Recordar a los(as) alumnos(as) lo que sucede cuando se tiene uncoeficiente a un costado de la igualdad y se desea despejar la incógnita.Puede ejemplificarlo de la siguiente manera:

5 x = 3 2,3 n = 14 12 = 3 y

Ecuaciones con multiplicaciones (páginas 34 y 35)

Actividades previas

• Resolver las siguientes ecuaciones. Luego comparan sus resultados.

a. 4 x = 20 d. 140 = 4z

b. 12 b = 18 e. 35 = 7a

c. 2,5 y = 200 f. = 3m3

4


•

••

•

••

•

••

• Resolver las siguientes ecuaciones.

a. 4x + x = 20 d. 14 + 3 = 4z

b. 2b – 6 = 12 e. 35 – 12 = 3a

c. 5y – 2y = 21 f. 3 + 4 = 5m + 4

Ecuaciones con adiciones y sustracciones (páginas 32 y 33)


• Al presentar ecuaciones a sus alumnos(as), no utilice siempre la mismavariable, por ejemplo “x”, ya que esto produce fijación. Además, almomento de plantear ecuaciones léalas en voz alta, esto permite unamayor comprensión del concepto de ecuación y plantear de maneracorrecta las ecuaciones en lenguaje no matemático.


• Acostumbre al alumno(a) a plantear y resolver ecuaciones con unaincógnita tanto en el costado derecho de la igualdad, como en elcostado izquierdo.Por su nivel cognitivo, el alumno(a) resuelve correctamente y con mayorfacilidad ecuaciones que tienen incógnita en el costado izquierdo de laigualdad; en el otro caso, tienen dificultades con los signos.


U2 13/10/09 12:40 Página 34


• Leen y luego resuelven.– El doble de un número, menos cuatro veces el mismo, es igual al número

aumentado en doce unidades.

Tarea

• Escribir la ecuación correspondiente, luego resolver interpretando lasolución.

a. Francisco es 3 años menor que Mónica, pero siete años mayor queRosario. Si la suma de las edades es 38, ¿qué edad tiene cada uno?

b. El triple de la cantidad de dinero que tiene Felipe, aumentado en$ 1200 es igual a la misma cantidad pero disminuida en $ 450.¿Cuánto dinero tiene Felipe?

c. El largo de un rectángulo excede al ancho en 6 cm. Si cada medida seaumenta en 3 cm, el área aumentaría en 57 cm2. ¿Cuáles son lasmedidas de los lados del nuevo rectángulo?

Estudio de las soluciones (páginas 40 y 41)


• Resolver las siguientes ecuaciones. Luego, comprobar los resultados.

a. 144x + 22x = 12,6 d. 6,3 • 2 + 3 = 4z

b. 210b + 6 = 12 • 4 e. 3,5 • 12 = 30a

c. 15y – 12y = 23 • 2 f. 315 • 4,0 = 1,5m

• Escogen 2 ecuaciones de las anteriores e inventan un problema quepueda ser resuelto utilizando las ecuaciones escogidas.

Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones (páginas 36 y 37)


• Resolver las siguientes ecuaciones. Comparan sus respuestas con uncompañero(a).

a. 1220 + 221x = 20x e. 6,3 • 2n + 233 = 4054

b. 1320y – 680y = 18 • 4 f. 3,5 • 1,2 = 3068a

c. 1102 – 120z = 212 • 4 g. 31,5 • 1235 = 2b

d. 2350 + 3,5 m = 120 h. 2455k • 0,4 = 21

Ecuaciones con la incógnita en ambos lados (páginas 38 y 39)


U2 13/10/09 12:40 Página 35

Unidad 236


• Es importante aclarar que una ecuación es una función proposicional,por lo cual tiene definido un dominio y un recorrido. Es importantecomprobar que la solución (conjunto solución) satisface la ecuaciónoriginal y que pertenece al domino de ella. La comprensión de esto es básico para evitar dificultades en lasecuaciones de segundo grado, como se muestra en el siguiente ejemplo:

X2 = 1

X = ��1 , luego se dice x = +– 1. Sin embargo, al graficar la ecuación(mostrar su dominio), se observa solo una solución.


• Leer las siguientes situaciones y plantear una ecuación para resolverlas.

– A las 9 a.m. sale un auto de un punto A, con una velocidad de80 km/h. Dos horas más tarde sale una camioneta del punto A, enpersecución del auto, con una velocidad de 120 km/h. ¿A quédistancia del punto A lo alcanza?

– Entre dos bidones A y B de igual capacidad, se distribuyen en partes

desiguales 10 litros de agua. El bidón A se llenará si se vierten los

del agua contenida en el B, y este se llenaría si se le agrega la mitaddel agua contenida en A. ¿Cuánta agua contiene cada bidón y cuál essu capacidad?

¿Puedes resolver los problemas anteriores sin el planteamiento de unaecuación? Explica tu estrategia de resolución.

2

3

Más problemas (páginas 42 y 43)


• Resolver mentalmente las siguientes ecuaciones.

a. 4x = 20 d. 280 = 4q

b. 12y = 144 e. 350 = 7r

c. 2,5z = 2000 f. 1002 = 2m



• En los problemas anteriores no será fácil para los(as) alumnos(as)plantear una ecuación, de hecho, las estrategias de resolución a lascuales acudirán serán principalmente de carácter gráfico. Por ello esimportante plantear variados tipos de problemas en los que no sea tanevidente la formulación de una ecuación.


U2 13/10/09 12:40 Página 36


• Utilizando la calculadora, resuelven las siguientes ecuaciones:

a. 4x = 12,45 d. 134,5 – x = 245,67

b. 3y = 3,01 e. 3y – 3,45 = 85,9

c. 6,3 + z = 21,4 f. 342,5 + 89,7 = 3z


• La siguiente página tiene excelentes enlaces, programas y calculadoraspara descargar; recursos educativos clasificados según nivel, actividades,juegos matemáticos, etc. www.matematicas.net/paraiso/online.php .No olvidar que las direcciones o su contenido pueden variar.


• Pedirles que examinen sus calculadoras y se familiaricen con cada una delas teclas y funciones que realiza, haga notar que hay calculadoras en lasque primero se introducen los datos y luego la operación.


Actividades previas

• www.edu.aytolacoruna.es . Web educativa del Ayuntamiento de LaCoruña, España, que tiene acceso a un aula virtual, donde se tratantemas de diferentes áreas de estudio. En los recursos de matemática hayacceso a temas teóricos, enlaces de interés, juegos, anécdotas, etc.No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.

• www.escolares.com.ar/ . Sitio argentino que presenta una sección decontenidos por área. En el área de Matemática se pueden encontrarcontenidos de álgebra, geometría y estadística, además de juegos yproblemas de ingenio.No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.

Comentarios

• Traducir enunciados verbales al lenguaje matemático. (Preguntas 5, 6 y 10; pág. 46)• Plantear y resolver ecuaciones. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9; pág. 46)• Resolver problemas usando ecuaciones. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6; pág. 47)


Objetivos evaluados

• Preguntas 5, 6 y 10; pág. 46: responde correctamente dos de los tres ejercicios formulados.• Preguntas 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9; pág. 46: responde correctamente al menos cinco de las siete preguntas

formuladas.• Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6; pág. 47: responde correctamente al menos tres de las seis preguntas formuladas.

Criterios de logro

U2 13/10/09 12:40 Página 37

38

Evaluación 2

Unidad 2


1. Un cuarto de veintiocho, disminuido en dos terciosde nueve, se puede representar por la expresión:

A. 4 • 28 – • 9

B. – 28 – • 9

C. • 28 – � • 9�

D. – 28 – + 9

2. Siete veces dos quintos de la cuarta parte de m esigual a la mitad de m disminuida en m. Expresadoen lenguaje algebraico es igual a:

A. 7 • • = – m

B. 7 • : = – m

C. 7 • • = m –

D. • • = – m

3. En la ecuación 4 • 20 – 2y = 5 – 3y, el valor de y es:

A. 75B. 15C. –15D. –75

4. En la ecuación • k – (5 – k) = 1 – k, el valor de k

es de:

A.

B.

C.

D.

5. En la ecuación 3h – 4(h – 4) = • (h – 10h), elvalor de h es:

A.

B. –

C.

D. –

6. Si p = –1; q = 1 y r = 0, entonces, en la siguienteecuación el valor de m es igual a:

3p – q + 4r – 2m = m – r + 6p + 2q

A. 2B. pC. qD. r

8013

8013

1380

1380

25

2514

157

45

152

45

m2

m4

25

17

m2

m4

25

m2

m4

25

m2

m4

25

23

14

23

14

23

14

23

U2 13/10/09 12:40 Página 38

39Ecuaciones de primer grado

7. Los siete tercios de las cuatro quintas partes de x,disminuido en cuatro, es igual al opuesto de x,aumentado en tres. Expresado en lenguajealgebraico es igual a:

A. 7 • – 4 = –x + 3

B. • • x – 4 = – + 3

C. • • x – 4 = –x + 3

D. • • x – 4 = + 3

8. La ecuación • m – 2 = + 3 • � – m�, expresada en lenguaje natural es:

A. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, esigual a tres veces m, aumentado en tres vecesnueve cuartos, disminuidos en m.

B. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, esigual a un tercio de m aumentado en tresveces nueve cuartos, disminuidos en m.

C. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, esigual a m dividida en tres, aumentado en tresveces nueve cuartos, disminuidos en m.

D. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, esigual a tres dividido en m, aumentado en tresveces la diferencia entre nueve cuartos y m.

9. En una carnicería existe una balanza que disponede pesos de 200, 300 y 500 gramos. Si una señoradesea comprar 4,5 kilos de carne, el carnicerodebe colocar en la balanza:

A. 5 pesos de 200 g, 7 de 300 g y 3 de 500 gB. 4 pesos de 300 g, 4 de 200 g y 5 de 500 gC. 3 pesos de 500 g, 7 de 200 g y 2 de 300 gD. 5 pesos de 300 g, 4 de 500 g y 3 de 200 g

10. Si dos tercios de la edad de mi tío Panchodisminuido en dos séptimos de 49 es igual a 20,¿Qué edad tendrá mi tío en 9 años más?

A. 60 añosB. 30 años C. 40 añosD. 50 años

11. En la construcción de un muro se utilizaronladrillos de 30 cm de largo, 7 cm de alto y 15 cmde ancho. Si el muro tiene 2,86 m de largo y0,70 m de alto y una separación entre ladrillosde 2 centímetros, ¿cuántos ladrillos se ocuparánen el muro?

A. 73B. 72C. 71D. 70

12. En hacer una tarea de 120 ejercicios deecuaciones, un alumno ha demorado 2 horas en90 de ellos. Si quiere terminar en 15 minutos máspara ver un programa de televisión, ¿cuánto sedebería demorar, en promedio, por cada ejercicioque le queda por resolver?

A. 30 segundosB. 15 segundosC. 2 segundosD. 0,8 segundos

13. El doble de la suma de un número y 5, es igual a24. ¿Cuál es el número?

A. 7B. 5C. 9 D. 12

94

3m

58

1x

45

73

45

73

1x

45

73

x4

13

U2 13/10/09 12:40 Página 39

UNIDAD

Unidad 340

Cuadro sinóptico

3Geometría


CMO



– Ángulos entre paralelas cortadas por unatransversal. (Págs. 50 a 53)

– La circunferencia y sus elementos.(Págs. 56 y 57)

– Poligonos regulares.(Págs. 58 y 59)

• Construcción y propiedades de paralelogramos.

• Paralelismo y propiedades de figuras geométricas.

• Caracterización de lacircunferencia y el círculocomo lugares geométricos ysu representación mediantelenguaje conjuntista eidentificación de suselementos: arco, cuerda,secante y tangente.

• Definición del número piy su relación con el diámetroy la longitud de unacircunferencia. Cálculo de lalongitud de unacircunferencia y estimacióndel área del círculo pormedio de polígonosregulares inscritos en lacircunferencia.

• Resolución de problemas ensituaciones significativas queinvolucran el cálculo de lalongitud de la circunferencia,el área del círculo, […].

– Ángulos en polígonos. (Págs. 54 y 55)



• Uso del computador.(Pág. 62)


UNIDAD

U3 21/10/09 10:19 Página 40

Geometría 41


• Reconocen e identifican ángulos entre paralelas.



• Reconocen ángulos en polígonos.

• Reconocen y construyen circunferencias y sus elementos.


• Construyen y calculan elementos de poligonos regulares.


• Calculan ángulos entre rectas paralelas. • Calculan ángulos en diversas figuras. • Resuelven problemas relativos a circunferencias.

U3 13/10/09 12:41 Página 41

Unidad 342


AB

H

N

G

M L K J

E

FD

C

I


• Pedir a los(as) alumnos(as) que en la siguiente figura identifiquendiferentes tipos de cuadriláteros y triángulos, siendo AMJF un rectángulo.


La tercera unidad es la primera destinada al estudio de la geometría, en ella se tratan elementos talescomo ángulos entre paralelas, ángulos en polígonos, circunferencia y sus elementos y polígonos regulares.Esta unidad es muy importante en el aprendizaje de la geometría, en tanto permite construir losconceptos y relaciones básicas que los alumnos utilizarán para resolver situaciones más complejas.En cuanto a la resolución de problemas, las estrategias se orientan hacia la búsqueda de regularidadesgeométricas, por ejemplo, aquellas referidas a los ángulos interiores de polígonos regulares.


Mapa conceptual

Geometría

Ángulos Polígonos Circunferencia y círculo

Elementos

Radio Diámetro

Segmentocircular

Sectorcircular

Polígonosregulares

Ángulos enpolígonos

Suma deángulos

exteriores

Suma deángulos

interiores

Alternosinternos

Alternosexternos

Correspon-dientes

Rectas en lacircunferencia

ArcoCuerda

Tangente

Secante

U3 13/10/09 12:41 Página 42

Geometría 43

Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal (páginas 50 a 53)

• Es importante que los(as) alumnos(as) se familiaricen con una geometríaconceptual, más que en las formas y medidas concretas; ello favorece elaprendizaje de los conceptos más fundamentales, y no tanto el cálculo,que se puede dejar para la resolución de problemas, de manera de darlesentido y contexto a las medidas que puedan aparecer en undeterminado ejercicio.


• Observando un plano del barrio del colegio, identificar las callesparalelas, no paralelas, y si hay o no diagonales que las intercepten.Analizar la correspondencia de ángulos entre las avenidas principales ylas calles secundarias. A partir de esto inventan una ruta alrededor delcolegio dando indicaciones que involucren seguir una trayectoria yrealizar rotaciones angulares en diferentes esquinas.

• Dada la figura, completar la tabla para los distintos valores dados.


• Detectar en los(as) alumnos(as) las ideas previas que tienen sobreparalelismo, para ello puede formular las siguientes preguntas:

– ¿Qué entienden por paralelo?– ¿En qué situaciones han escuchado esa palabra? – ¿Qué sería algo no paralelo? – ¿Han escuchado lo que es perpendicular? – ¿En qué situaciones podrían decir que existen elementos

perpendiculares?

Actividades previas

A B C D E F G

80º 50º

30º 70º

60º 40º

D

C

E F

B G

C

A

L1

L2

L1 // L2

U3 13/10/09 12:41 Página 43

Unidad 344


• Al hablar de ángulos y sumas de ángulos hay que establecer,constantemente, la diferencia entre lo que es el ángulo y lo que es lamedida del ángulo. Los(as) alumnos(as), al ejercitar, lo que realmentehacen es sumar las medidas de los ángulos, no los ángulos, por lo que esmuy relevante que ellos tengan presente esta diferencia.


• Preguntar a los(as) alumnos(as): – Si observamos nuestro entorno cotidiano, ¿dónde vemos circunferencias

y círculos?– ¿Se observan realmente objetos con forma de circunferencia? – ¿Es lo mismo la circunferencia que el círculo? Justifíca.

Actividades previas

La circunferencia y sus elementos (páginas 56 y 57)

• Es muy importante que los(as) alumnos(as) distingan los conceptos decircunferencia y círculo, pero no de una forma abstracta, sino de maneraconcreta con ejemplos en la realidad. Mostrar ejemplos decircunferencias que no puedan ser confundidas con círculos, y viceversa.Diferenciar en un mismo objeto, las circunferencias y círculos que estánpresentes en él, esto permite comprender mejor el concepto.


• Dibujar una circunferencia de radio 4 cm e indicar un punto A en ella. Acontinuación con un transportador, marcar puntos cada 10° alrededor dela circunferencia empezando en el punto A. Cada uno de estos puntos esel centro de otra circunferencia que pasa por A, como se muestra en lafigura. ¿Puedes adivinar cuál será la forma de la figura resultante?


A

U3 13/10/09 12:41 Página 44

Geometría 45

• En el trabajo con polígonos, es muy conveniente aplicar un métodoinductivo en lo que se refiere a: planteamiento de fórmulas relacionadascon ángulos interiores, cantidad de diagonales y suma de ángulosinteriores. El establecimiento de patrones por medio de tablas le permiteal alumno deducir por sus propios medios estas fórmulas, dando asímayor significado a su aprendizaje.


Polígonos regulares (páginas 58 y 59)

• Dibujar tres hexágonos regulares como los de la figura. Cortarlos por laslíneas punteadas de manera que con las trece piezas resultantes se formeun hexágono regular más grande que los tres originales.


• Las construcciones con regla y compás son prácticas que refuerzan eldominio de todas las propiedades de las figuras que se construyen. Porejemplo, para construir dos rectas paralelas, se debe saber que esequivalente a construir la recta perpendicular a la perpendicular de larecta inicial. El manejo de las propiedades se puede lograr haciendoanálisis de los objetos geométricos que se van a construir desde distintospuntos de vista. Para indagar más sobre construcciones con regla ycompás puede visitar la página http://wims.unice.fr/wims/en_home.htmldonde encontrará ejemplos y problemas de construcción. No olvidar quelas direcciones o su contenido pueden cambiar.



• Construir con regla y compás dos rectas paralelas, un triánguloequilátero, un rombo y un hexágono regular.


Uso del computador (páginas 62)

• Dar a los(as) alumnos(as) algún tiempo en los computadores parafamiliarizarse con los elementos geométricos que puede facilitar unprocesador de textos como Word (herramientas de dibujo, planillas,tablas, etc.).

Actividades previas

U3 13/10/09 12:41 Página 45

Unidad 346


• En la página www.santillana.cl/ebasica/mat8 aparecen dibujados variosgrupos de rectas paralelas cortadas por otros grupos de rectas paralelasformando paralelogramos y triángulos. Si mueves los puntos P, Q, R o Spodrás estudiar y analizar las propiedades de estas figuras.

a. ¿Cómo son entre sí los ángulos de los triángulos grises?b. ¿Cómo son entre sí los triángulos grises?c. Si mides todos los ángulos posibles, ¿cuántas medidas distintas

tendrías?d. ¿Qué relación hay entre los triángulos grises y los triángulos blancos?e. ¿Qué sucede si sigues trazando rectas paralelas? ¿Qué ocurre con

el plano?

• Trabajando en el programa Cabri – géomètre II los(as) alumnos(as) debeninvestigar cuáles son sus aplicaciones y luego construir algunas de lasfiguras que se han aprendido en esta unidad, como por ejemplo, rectasparalelas, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares, circunferencias,coronas circulares, etc.A continuación deben exponer algunos de sus resultados, como semuestra en la figura.


U3 13/10/09 12:41 Página 46

Geometría 47

• Entre los programas para trabajar la geometría, Cabri es uno de los másaccesibles para los(as) alumnos(as) del segundo ciclo básico. Es menosalgebraico y agudiza la intuición. También existen programas másexploratorios, como lo es PolyPro, (que muestra los diferentes cuerposgeométricos), The Geometer’s Sketchpad, GrafEq, Graphmatica, Maple 6,entre otros.


• Calcular ángulos entre rectas paralelas. (Preguntas 1, 2, 3, 4; pág. 64)• Calcular ángulos en diversas figuras. (Preguntas 5, 6; pág. 64)• Resolver problemas relativos a circunferencias. (Preguntas 1, 2; pág. 65)


Objetivos evaluados

• Preguntas 1, 2, 3, 4; pág. 64: responden correctamente al menos tres de las cuatro preguntas planteadas.• Preguntas 5, 6; pág. 64: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas.• Preguntas 1, 2; pág. 65: realizan correctamente al menos una de las 2 actividades planteadas.

Criterios de logro

U3 13/10/09 12:41 Página 47

48

Evaluación 3

Unidad 3


1. ¿Cuánto vale x?

A. 30ºB. 60ºC. 70ºD. 80º

2. La figura muestra dos triángulos rectánguloscongruentes con vértice común en C. ¿Cuántovale x?

A. 30ºB. 60ºC. 120ºD. 150º

3. ¿Cuál es el valor de x?

A. 60º L1 // L3 y L2 // L4B. 80ºC. 100ºD. 150º

4. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de unpolígono convexo regular de 7 lados?

A. 700ºB. 900ºC. 1260ºD. 1800º

5. ¿Cuál es el número de lados que tiene unpolígono, si la suma de los ángulos interioreses 4140º?

A. 22B. 23C. 24D. 25

6. Determina la suma total de ángulos de giro querealiza un móvil desde A hasta B, sabiendo quelos ángulos x corresponden a ángulos interioresde un hexágono regular.

A. 840ºB. 700ºC. 600ºD. 564º

7. Determina el valor del ángulo x, si la figuracorresponde a dos hexágonos regulares.

A. 50ºB. 60ºC. 80ºD. 100º

80º

60º

80º

60º

x

x

B

A

x

x

E

D

x

L1

L2

L3

L4

C

B

A

20º

x

x

U3 13/10/09 12:41 Página 48

49Geometría

8. La figura es un romboide. Determina el valor delos ángulos 2x y x + 30 respectivamente.

A. 30º y 30ºB. 45º y 45ºC. 60º y 60ºD. 120º y 120º

9. Determina el valor de x, si la figura es unpentágono regular.

A. 18º L1 // L2B. 25ºC. 36ºD. 72º

10. Determina el ángulo de vértice ABC, si el ángulode centro AOC mide 105º.

A. 37,5ºB. 52,5ºC. 75,ºD. 85,5º

11. Determina el valor de x, si las rectas L1 y L2 pasanpor el centro de la circunferencia.

A. 22ºB. 44ºC. 56ºD. 68º

12. Determina la medida del ángulo AOB. Se sabeque el triángulo ABC es equilátero y O es centrode la circunferencia.

A. 150ºB. 120ºC. 60ºD. 30º

13. Determina el valor de x e y, respectivamente.

A. x = 90º, y = 90ºB. x = 60º, y = 60ºC. x = 90º, y = 60ºD. x = 60º, y = 90º

14. Si L1 // L2 determina el valor de x.

A. 40ºB. 60ºC. 80ºD. 140º

L1

L1

L1

L2

L2

L2

60º2x

x + 30

x

OC

A

B

40º

80º

60º

x

x

O

C

A

x

y

O CA

B

B

108º

U3 13/10/09 12:41 Página 49

UNIDAD

Unidad 450

Cuadro sinóptico

4Medición


CMO




– Áreas y perímetros de polígonos compuestos.(Págs. 68 y 69)

– Áreas y perímetros de polígonos regulares.(Págs. 70 y 71)

– Perímetro de la circunferencia. (Págs. 72 y 73)

– Área del círculo. (Págs. 74 y 75)

– Medición del volumen. (Págs. 78 y 79)

• Cálculo de volúmen de cuerpos redondos.

• Cálculo de áreas en un geoplano.

• Formulación de conjeturasrelacionadas con el cálculodel volumen del cilindro ycono; cálculo del área de lasuperficie del cilindro y cono,y verificación, en casosparticulares, mediante el usode un procesadorgeométrico.

• Resolución de problemas ensituaciones significativas queinvolucran el cálculo de […]la superficie del cilindro,cono y pirámides y elvolumen del cilindro y cono.

– Áreas y perímetros de figuras compuestas.(Págs. 76 y 77)



• Páginas de desarrollo decontenidos. (Págs. 68 – 87)

UNIDAD

– Área y volumen de pirámides. (Págs. 80 y 81)

– El cilindro. (Págs. 82 y 83)

– Red del cono recto. (Págs. 84)

– Área del cono recto. (Págs. 85)

– Volumen de cuerpos redondos. (Págs. 86 y 87)

U4 13/10/09 12:41 Página 50

Medición 51


• Calculan áreas y perímetros de polígonos compuestos.


• Promover el interés y la capacidad deconocer la realidad, utilizar el conocimientoy seleccionar la información relevante.


• Promover una adecuada autoestima y laconfianza en sí mismo.

• Calculan el perímetro de una circunferencia.

• Calculan áreas de cilindros.

• Calculan áreas y perímetros de polígonos regulares.

• Calculan áreas y perímetros de figuras compuestas.

• Miden volúmenes.

• Calculan áreas y volúmenes de una pirámide.

• Reconocen el cilindro.

• Construyen un cono.

• Calculan volúmenes de cuerpos redondos.

• Calculan áreas de un cono recto.

• Resuelven problemas utilizando una estrategia de resolución.


• Calculan el área de un círculo y el perímetro de una circunferencia. • Calculan el área y el perímetro de figuras compuestas. • Calculan el área y el volumen de algunos cuerpos geométricos.

U4 13/10/09 12:41 Página 51

Unidad 452



• Pedir a los(as) alumnos(as) que dibujen dos figuras que tengan el mismoperímetro y dos figuras que tengan igual área. Comparan sus respuestascon un compañero(a).

Preguntar: ¿Pueden coincidir en un cuadrado la medida del área y la delperímetro? Explica.


En esta unidad se estudian y profundizan conceptos de geometría plana, tales como: polígonoscompuestos, circunferencia y círculo; y de geometría en el espacio, como: pirámides, cilindros y conos,poniendo mayor énfasis en el cálculo de áreas y volúmenes. Respecto a la búsqueda de regularidades, elestudiante podrá descubrir la representación geométrica del número Pi,lo cual será de utilidad para la comprensión de las fórmulas correspondientes para el cálculo de perímetrode la circunferencia y el área del círculo. En cuanto al desarrollo de habilidades, esta unidad pretendemotivar al estudiante a desarrollar el interés por descubrir y observar las formas y relaciones existentesen el entorno en que vivimos, y por otra parte, reforzar estrategias de trabajo y de manejo conceptual,especialmente aquellos relativos a áreas y volúmenes.


Mapa conceptual

Medición

Polígonos Círculo

Cono Cilindro

ÁreaPerímetro

Circunferencia Pirámides

Volumen

PolígonosFigurascompuestas

Figurascompuestas

Cuerposgeométricos

Cuerposredondos

Cuerpospoliedros

Cuerpospoliedros

Cuerposredondos

Polígonosregulares

Pirámides

U4 13/10/09 12:41 Página 52

Medición 53

• Seguramente en la pregunta anterior, los(as) alumnos(as) tratarán debuscar una relación numérica que les permita responder la pregunta;darán algunos valores y calcularan su área y su perímetro, sin embargo,no pensarán en la expresión global que significa calcular áreas(producto) y perímetros (suma). Para inducir a la relación correcta,plantee las expresiones en términos algebraicos, es decir:

Área de un cuadrado de Perímetro de un cuadrado de

lado x x2lado x x + x + x + x = 4x

Preguntar: ¿Es posible que algún número entero satisfaga la siguienteecuación?

x2 = 4x

Esta ecuación tiene solución 0 y 4, luego la única posibilidad decoincidencia se dará si el cuadrado tiene lado 4 unidades.


• Pedir a los(as) alumnos(as) que midan las siguientes figuras y luegocalculen el área y el perímetro, por medio de descomposiciones.


• ¿Pueden coincidir en un rectángulo la medida del área y la del perímetro?Explica.

Tarea

Áreas y perímetros de polígonos compuestos (páginas 68 y 69)

• Los(as) alumnos(as) calculan áreas y perímetros de triángulos ycuadriláteros.

Actividades previas

2 cm

3 cm 5 cm

5 cm 6,4 cm

X cm8 m

2 m

U4 13/10/09 12:41 Página 53

Unidad 454


• Durante años los(as) profesores(as) hemos reducido el estudio delperímetro y el área a una serie de cálculos algorítmicos olvidando lagénesis de estos conceptos: la medición. En la práctica se acostumbra darejercicios con medidas previamente establecidas (dadas), de modo quelos(as) alumnos(as) nunca tengan que medir.


Perímetro de la circunferencia (páginas 72 y 73)

Actividades previas

Áreas y perímetro de polígonos regulares (páginas 70 y 71)

Preguntar: ¿Cuál es la diferencia entre un polígono y un polígono regular? Presente en la pizarra un pentágono regular, luego pregunte a susestudiantes de qué forma se podría descomponer para calcular su áreay perímetro, y si es recomendable descomponerlo en rectángulos ytriángulos, tal como se vio en las páginas anteriores.

Actividades previas

• Determinar el área de la parte sombreada en cada figura.1. a =12 cm 2. a = 18 cm

b =10 cm b = 21 cmρ1 = 8 cm ρ1 = 15 cmρ2 = 7 cm h = 17 cm


• Es posible que sus estudiantes interpreten ρ como la distancia entre elcentro del polígono regular y uno de sus vértices, lo que no es cierto.Enfatice que se trata de la distancia entre dicho punto y uno de los ladosdel polígono, que corresponde a la altura del triángulo central, formadopor dos vértices consecutivos del polígono y su centro.

• Enfatice que los alumnos y alumnas remplacen correctamente lasmedidas en la ecuación correspondiente, especialmente en lasactividades donde se presentan dos polígonos distintos. Si tienen dudas,sugiera que pueden observar las figuras para relacionar los datos, porejemplo, si un polígono está dentro de otro, necesariamente sus medidasserán menores.


• Medir usando un cordel la longitud de distintos objetos circulares, luegocompletar la tabla.

Longitud de la Longitud Razón � �circunferencia (lc) del diámetro (ld)

lcld

ab

ρ2

ρ1

a

b hρ1

U4 20/10/09 10:56 Página 54

Medición 55

• Presente en la pizarra las siguientes figuras, luego pregunte cuál de ellasson circunferencias y cuáles son círculos. Explican por qué.

Plantee las siguientes proposiciones. Los(as) alumnos(as) determinarán sison verdaderas o falsas, de acuerdo a las respuestas dadas anteriormente.

Podemos calcular: – El perímetro de una circunferencia.– El perímetro de un círculo.– El área de una circunferencia.– El área de un círculo.– El perímetro y el área de una circunferencia.– El perímetro y el área de un círculo.

Actividades previas

Área del círculo (páginas 74 y 75)

• Calcular el perímetro de cada circunferencia dado el radio. Considerarπ = 3,14.

a. r = 3 cm c. r = m

b. r = 2,4 cm d. r = 0,6 m

• Calcular el radio de cada circunferencia dado su perímetro. Considerarπ = 3,14.

a. P = 7 cm c. P = 150,72 mb. P = 62,8 cm d. P = 0,314 km

34


• En la actividad 29 de la página 73 del texto del alumno(a), se pidecalcular el perímetro de una corona circular. Haga notar al alumno(a)que debe calcular el perímetro y no el área (suma de los contornos), yaque esta figura, por ser utilizada generalmente para el cálculo de áreas,genera cierta fijación, al igual que cualquier figura achurada, y elalumno(a) simplemente aplica una fórmula sin darse cuenta de lo que sele está preguntando.


Preguntar: ¿Cómo se llama la razón entre la longitud de unacircunferencia y la medida de su diámetro? (Explicar que corresponde alvalor numérico de π).

U4 13/10/09 12:41 Página 55

Unidad 456


Actividades previas

Áreas y perímetros de figuras compuestas (páginas 76 y 77)

• Determinar el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de suárea. Considerar π = 3,1.

a. A = 12 cm c. A = 40 mb. A = 31,4 cm d. A = 0,3 km

• Calcular la medida de los siguientes sectores circulares.

a. b. c. d.


• La actividad previa le permitirá aclarar a sus alumnos(as) las propiedadesque cumplen tanto la circunferencia (lugar geométrico de los puntos queequidistan a igual distancia de un centro, esa distancia es llamada radio)como el círculo (superficie plana definida por una circunferencia).


60ºO O 45º 120º

O O

• Presentar a los(as) alumnos(as) formas geométricas como las siguientes,para que determinen las figuras que las componen.

a. c.

b. d.

U4 13/10/09 12:41 Página 56

Medición 57

• Calcular el área del sector circular generado por una taza y su platillo.Tarea

• Es importante recordar las equivalencias entre distintas unidades demedida. Para ello, presentar las siguientes relaciones, luego completar.

1 dm3 es el volumen de un cubo de arista 1 dm.

1 km3 es el volumen de un cubo de arista .

1 m3 .

1 cm3 .


• Calcular el área achurada y el perímetro total de la figura, dada lasiguiente información.

a. b. c.


Rectángulo de lado mayor 6 cmy lado menor 4 cm.Circunferencias congruentes.

Circunferencias congruentesde radio 4 cm.

Circunferencias pequeñascongruentes de diámetro 1 cm.Circunferencia mayor: radio 3 cm.

• Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación:

– ¿Cuántos cm3 tiene un vaso de de litro? Analizar las respuestas y las

estrategias utilizadas en la resolución del problema.

18

Actividades previas

Medición del volumen (páginas 78 y 79)

x 1000

÷1000

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

x 1000

÷1000

x 1000

÷1000

x 1000

÷1000

x 1000

÷1000

x 1000

÷1000

V = 1 cm3

U4 13/10/09 12:41 Página 57

58


Unidad 4

• Pedir a los(as) alumnos(as) que formen grupos de tres; con una redconstruyen una pirámide y luego establezcan alguna relación que lespermita calcular su área y su volumen. Comparan sus conjeturas con lasde otro grupo.

Actividades previas

Área y volumen de pirámides (páginas 80 y 81)

– Llenar con arena el prisma y luego vaciarlo en el cilindro. ¿Qué conclusiónpueden obtener?

– Establecer algebraicamente la relación encontrada.

• Calcular el volumen de las siguientes pirámides.Actividades complementarias

• Pedir a los(as) alumnos(as) que formen grupos de tres, armen el prisma yel cilindro y realicen la siguiente actividad. (Ambos deben tener la mismaárea basal e igual altura).

– Comprobar que el prisma y el cilindro tienen igual altura.

Actividades previas

El cilindro (páginas 82 y 83)

h

2 m

4 m4 m

2 m 2 m

3 m 2 m

2 m

2 m

rBB

U4 13/10/09 12:41 Página 58

59Medición

Diámetro = 4 cm Diámetro = 8 cm Diámetro = 12 cmAltura = 12 cm Altura = 8 cm Altura = 6 cm

• Calcular el volumen de los siguientes cilindros dado el diámetro y laaltura.


• En la actividad anterior haga notar a los alumnos(as), que los datos quese están entregando no son aplicables directamente a una fórmula.Deben darse cuenta de que primero hay que calcular el radio de cadacilindro, el cual está dado por el diámetro, para luego aplicar la fórmulaque les permite determinar el volumen de un cilindro.


• Calcular el volumen real de un envase en forma de cilindro. Luegocomparar la medida obtenida con el contenido que se indica en el envase.Tener en cuenta la unidad de volumen usada para poder comparar lasmediciones.

Tarea

• Pedir a los(as) alumnos(as) que se organicen en parejas y realicen lasiguiente actividad. Luego responden las preguntas. (Para la actividadnecesitan un palito de maqueta, papel lustre, tijeras y pegamento).

– Toman un palito de maqueta y un triángulo rectángulo de papel lustre. – Pegan el triángulo al palito de maqueta por uno de sus catetos.– Luego lo hacen girar.

¿Qué cuerpo se observa al hacer girar el palito de maqueta, en el mismosentido?¿Podrían explicar cómo se genera un cono y qué figuras lo forman?

Actividades previas

Red del cono recto (página 84)

U4 13/10/09 12:41 Página 59

60


Unidad 4

• El cono circular recto es el cuerpo de revolución engendrado por untriángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos.La hipotenusa del triángulo es la generatriz g del cono. El cateto sobre elcual se gira es la altura h. El otro cateto es el radio r, de la base. El desarrollo de la superficie de un cono en el plano da lugar a un sector

circular de radio g y ángulo αα = .r • 360º

g


• Escribir en la pizarra los nombres de diversos cuerpos geométricos,poliedros y cuerpos redondos, luego preguntar cuáles son cuerposredondos y cómo calcular sus volúmenes.

Actividades previas

Volumen de cuerpos redondos (páginas 86 y 87)

Área del cono recto (página 85)

• Lee y luego resuelve.

a. ¿Cuánto debe medir el ángulo del sector circular de un cono de radio3 cm y generatriz 5 cm?

b. ¿Cuánto debe medir la generatriz para construir un cono de radio7 cm y α = 90º?

c. Construye un cono cuyo perímetro basal sea 8 π cm y generatriz 11 cm.


• Calcular el área de un cono, dado su radio y su generatriz. Consideraπ = 3,14.

a. r = 2 cm, g = 6 cm d. r = 2,6 cm, g = 6,4 cm

b. r = 4 cm, g = 8 cm e. r = 5 cm, g = 10,2 cm

c. r = 3,5 cm, g = 10 cm f. r = 3,6 cm, g = 8 cm


U4 13/10/09 12:41 Página 60

61Medición

1. 2. 3.

Radio = 2 cm Radio = 2 cm Radio = 2 cmAltura = 8 cm Altura = 6 cm Altura = 10 cm

• Calcular el volumen de los siguientes cuerpos redondos.Actividades complementarias

r

h r

r

hh

• Motive a sus alumnos(as) para que siempre busquen al menos dosestrategias de resolución para un mismo problema (si es que las hay).Esto les permite desarrollar sus habilidades y observar que un mismoproblema puede tener diversos caminos de solución.



• En la siguiente dirección web encontrará un geoplano interactivo, que lepermitirá realizar la actividad en concreto con sus alumnos(as), podránde una manera más didáctica descubrir las regularidades presentes en laactividad.www.santillana.cl/ebasica/mat8 .


Uso del computador (página 90)

• Calcular el área de un círculo y el perímetro de una circunferencia. (Preguntas 1, 2; pág. 92)• Calcular el área y el perímetro de figuras compuestas. (Preguntas 3, 4, 8; pág. 92. Preguntas 1, 2, 3; pág. 93)• Calcular el área y el volumen de algunos cuerpos geométricos. (Preguntas 5, 6, 7; pág. 92. Pregunta 4; pág. 93)


Objetivos evaluados

• Preguntas 1, 2; pág. 92: responden correctamente los ejercicios formulados.• Preguntas 3, 4, 8; pág. 92 y preguntas 1, 2, 3; pág. 93: responden correctamente al menos cuatro de las

seis preguntas formuladas.• Preguntas 5, 6, 7; pág. 92 y pregunta 4, pág. 93: responden correctamente al menos tres de las cuatro

preguntas planteadas.

Criterios de logro

U4 13/10/09 12:41 Página 61

62

Evaluación 4

Unidad 4


Para tus cálculos considera π = 3

1. Calcula el área del siguiente polígono.

A. 70 m2

B. 78 m2

C. 86 m2

D. 150 m2

2. Calcula el área pintada de la figura.

A. 37,5 m2

B. 64,3 m2

C. 225 m2

D. 274,75 m2

3. ¿Cuál de las siguientes corresponde al volumende la mitad de una esfera de radio 3 cm.

A. 36 m3

B. 27 m3

C. 56,52 m3

D. 216 m3

4. ¿Cuál es el área de un hexágono regular cuyolado mide 6 cm y cuyo apotema mide 5 cm?

A. 105 cm2

B. 90 cm2

C. 60 cm2

D. 45 cm2

5. Un cuadrado de lado 32 m, tiene inscritas4 circunferencias. Calcula el área pintada.

A. 64 m2

B. 220,16 m2

C. 768 m2

D. 1024 m2

6. Determina el volumen de la pirámide de basecuadrada.

A. 576 cm3

B. 480 cm3

C. 356 cm3

D. 278 cm3

7. Calcula el perímetro de la figura pintada.

A. 6 + 9π cmB. 54 - 9π cm2

C. 6 + 6π cmD. 18 + 9π cm

45º

10 mO

6 m

32 u

12 cm

10 c

m

87

7

444

444

4

4

22

CE, EG, HJ y JB son arcos de

circunferencia.

El rectángulo ADFI mide 9 cm

de largo y 6 de ancho.

A B C

J

D

E

I H G F

U4 13/10/09 12:41 Página 62

63Medición

di

de

d

h

L

r

2 3

C

A B

8. Calcula el volumen de acero inoxidable que senecesita para elaborar una cañería cuyasdimensiones son:

diámetro externo (de) = 12 cmdiámetro interno (di) = 10 cmLargo ( L ) = 100 cm

A. 3454 cm3

B. 6000 cm3

C. 7500 cm3

D. 10 800 cm3

9. El área y el perímetro de una figura formada porun triángulo isósceles de altura 4 metros y unasemicircunferencia de diámetro 6 metros es:

A. área = 39 m2; perímetro 28 mB. área = 26,13 m2; perímetro 19,42 mC. área = 25,5 m2; perímetro 28 m D. área = 39 m2; perímetro 19 m

10. Un automóvil se desplaza 1200 metros.Determina el radio de las ruedas, sabiendo quedieron 400 vueltas en el total del trayecto.

A. 3 mB. 2 mC. 1 mD. 0,5 m

11. ¿Cuál es el área que se obtiene al armar una redde una pirámide cuadrada cuyo lado de la basemide 4 cm y sus caras laterales corresponden atriángulos equiláteros?

A. 16 (1 + ) cm2

B. cm2

C. 16 cm2

D. cm2

12. Un tarro de pelotas de tenis tiene 4 pelotasperfectamente calzadas en su interior. Determinael volumen del tarro cuya forma es cilíndrica,sabiendo que el diámetro de cada pelota es12 cm.

A. 1296 cm3

B. 5426 cm3

C. 3888 cm3

D. 15 552 cm3

13. Un círculo ubicado en el vértice C de un triánguloequilátero rueda por el lado CB. ¿Qué radio debetener el círculo para que justo de una vuelta,desde el vértice C al vértice B, sabiendo que ellado del triángulo mide 6 cm?

A. 3 mB. 2 mC. 1 mD. 0,5 m

2323

2

3323

3

U4 13/10/09 12:41 Página 63

UNIDAD

Unidad 564

Cuadro sinóptico

5Funciones

CMO



– Noción de función. (Págs. 96 y 97)

– Variables dependientes e independientes. (Págs. 98a 101)

– Representación de una función. (Págs. 102 y 103)

– Imagen y preimagen. (Págs. 104 y 105)

– Recorrido de una función. (Pág. 107)

• Reconocimiento de funcionesen diversos contextos, distinciónentre variables dependientes eindependientes en ellas eidentificación de sus elementosconstituyentes: dominio,recorrido, uso e interpretaciónde la notación de funciones.

– Dominio de una función. (Pág. 106)


• Uso de computador (Pág. 110)

• Síntesis (Pág. 111)


• Páginas de desarrollo decontenidos. (Págs. 96 a 107)

UNIDAD

• Representación de una función

• Representación de una función

U5 13/10/09 12:42 Página 64

Funciones 65


• Determinan cuándo dos variables están relacionadas por una función.



• Reconocen funciones en diversos contextos

• Calculan el valor de la imagen y de la preimagen de un número bajo unafunción.

• Determinan el dominio de una función.

• Determinan el recorrido de una función.

• Representan algebraicamente una función. • Aplican el concepto de imagen y preimagen. • Evalúan una función. • Aplican la noción de función. • Representan gráficamente una función.

• Reconocer la importancia del trabajocomo forma de desarrollo personal,familiar y social.

• Reconocen y resuelven problemas que involucran variables dependientes eindependientes.

• Desarrollar las habilidades intelectualesrelacionadas con la clarificación,evaluación y generación de ideas.

U5 13/10/09 12:42 Página 65

66



• Resuelve las siguientes ecuaciones

a. 4x – 3 + 7 = 2xb. 7x + 2x – 5 = 20 – xc. 12x – 4 = 28 – 2xd. 9x – 18 = 3x – 30e. 3y – 14 + 7y = 4y – 1y + 16f. –4x + 2x + 6 – 2 = 4x + 12


La presente unidad entrega nuevas herramientas relacionadas con la representación de relaciones,mediante la utilización del concepto y la notación de funciones, de esta manera el alumno podrá resolverproblemas más complejos, en los cuales necesita representar una relación entre dos variables, porejemplo, una relación proporcional. Muchas de las situaciones planteadas están relacionadas consituaciones cotidianas, de este modo el alumno descubrirá una gama de aplicaciones de las funciones,tanto mediante su representación algebraica como mediante su gráfica. Por otra parte, se pretendedesarrollar el razonamiento de los alumnos, para esto se incorporan páginas destinadas especialmente aestudiar los conceptos involucrados en la noción de función.


Mapa conceptual

Noción Representación

Variableindependiente

Variabledependiente

Gráfica Algebraica

Tabla de valores

Preimagen Imagen

RecorridoDominio

Aplicaciones

Funciones

Unidad 5

U5 20/10/09 10:57 Página 66

Funciones 67

• Es fundamental que sus estudiantes distingan una función de algunaotra relación entre dos variables, es necesario que para cada uno de losvalores posibles de x, le corresponda un único valor de y (y no dosvalores distintos). Enfatice la idea de que la unicidad se refiere al valorde y que está relacionado con cada valor de x, de modo que no seconfunda con la idea de que todos los valores de y deben ser el mismo.


• Determinar en cada caso si la relación entre las variables corresponde auna función o no.

1. Un número cualquiera y su inverso multiplicativo.2. La longitud del lado de un hexágono regular y su área.3. El número de pisos de un edificio y la cantidad de escaleras que tiene.4. La longitud del lado de un triángulo cualquiera y su perímetro.5. El número de teléfono y una persona.6. El tiempo de conexión a Internet y el valor.7. Un joven y sus primos.


Noción de función (páginas 96 y 97)

Variables dependientes e independientes (páginas 98 a 101)

• Describe la relación entre las siguientes variables, en cada caso justifica.

a. Cantidad de pintura utilizada para pintar una pared, y el tamaño dedicha pared. ¿Cuál es la variable dependiente, la cantidad de pinturao el tamaño de la pared?

b. Consumo de metros cúbicos de agua en una oficina, y el precio de lacuenta del agua. ¿Cuál es la variable independiente, el consumo deagua o el precio de la cuenta?

c. Sueldo de una persona y horas de trabajo. ¿Cuál es la variabledependiente?

d. Dinero de la deuda total e intereses de una deuda. ¿Cuál es lavariable independiente?


• Es importante tener en cuenta que el concepto de dependencia eindependencia entre las variables es fundamental. Por este motivo, sedebe recalcar la idea que a cada valor de x le corresponde un único valorde y.


• Determina si las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F).

a. 8 + 2 • (–2) = –8 : –2b. –16 • (–3) + 20 = –14 + 6 • 7c. –40 : 8 – 10 = – 3 • 8 + 9d. 9 – 0,25 • 20 – 3,5 = 8 : 8 – 1e. 32 : 4 – 7 = – 4,2 • 4 + 3,2f. 24 • (–2) + 48 = (–6 + 8) • 7 – 14

U5 13/10/09 12:42 Página 67

68


•Completa la siguiente tabla:Actividades complementarias

Imagen y preimagen (páginas 104 y 105)

Representación de una función (páginas 102 y 103)

• Un acuario se puede llenar vaciando 12 bidones de 15 litros cada uno,por lo que con bidones de 5 litros se deben ocupar 36 bidones, para elmismo fin.

a. ¿Cuál es la función que modela estos valores?b. Construye el gráfico correspondiente.c. Observando la gráfica anterior, ¿cuántos bidones de 30 L se necesitan

para llenar el acuario? ¿Y bidones de 6 L?, ¿y de 20 L?


Unidad 5

• Recuérdeles a sus alumnos(as) las características que debe tener el gráficode una función: Asignar la variable independiente al eje X y laindependiente al eje Y e identificarlas, establecer la escala necesaria paracada eje y escribir sus números. Enfatice el orden correcto de las variablesen un par ordenado y la forma de ubicar los puntos en el gráfico.


Función Imagen de 0 Imagen de 5 Preimagen de 65 Preimagen de 0

f(x)= 3x – 5

g(x)= 12x + 9

h(x)= –3 – 7

• Comprender el concepto de imagen y preimagen de uno o más valoresbajo una función es el paso previo para comprender el dominio yrecorrido de la función, por lo que compruebe que los alumnos(as)calculan correctamente la imagen y preimagen, y que pueden decidircuándo no existen, en cada caso, antes de continuar con la unidad.


• Determina una función f(x) para cada una de las situaciones que sepresentan a continuación, y el dominio de la función en cada caso.a. Se dice que una coneja a partir del segundo año de vida, tiene 28

hijos por año; Si x es la edad de la coneja, ¿qué función entrega lacantidad de hijos que ha tenido?

b. Un automóvil rinde 12 km por cada litro de bencina cuando recorre laciudad. ¿Qué función indica el gasto de bencina cuando se hanrecorrido x kilómetros?

c. Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada 5 minutos; ¿Quéfunción nos da la cantidad de bacterias que hay después de x minutossi al comienzo había 7 bacterias?


Dominio de una función (página 106)

U5 13/10/09 12:42 Página 68

Funciones 69

• Determina una función f(x) para cada una de las situaciones que sepresentan a continuación y el recorrido de la función en cada caso.a. Cantidad de pintura utilizada para pintar una pared, y el tamaño de

dicha pared. ¿Cuál es la variable dependiente, la cantidad de pinturao el tamaño de la pared?

b. Consumo de metros cúbicos de agua en una oficina, y el precio de lacuenta del agua. ¿Cuál es la variable independiente, el consumo deagua o el precio de la cuenta?


Recorrido de una función (página 107)


• Se recomienda que cada vez que los alumnos se enfrenten a unproblema matemático ponga énfasis en la comprensión del problema,discriminación de los datos, uso de estrategias, el resultado que se debeobtener y la interpretación del resultado obtenido en función delcontexto. Para ello les puede plantear las siguientes preguntas:- ¿Cómo resolviste el problema?, ¿qué procedimientos utilizaste?- ¿La respuesta obtenida es válida para el contexto del problema? A continuación es recomendable generar un debate acerca de lasdiferentes maneras de resolver un problema, de modo que los alumnospuedan compartir diversas estrategias que se pueden utilizar pararesolver una misma situación.


Uso de computador (página 110)• Es importante hacer notar a los alumnos y alumnas la importancia de

poder utilizar un software computacional, ya que este recursotecnológico permite una mejor visualización del comportamiento de lasdiferentes funciones estudiadas.

• Para un mejor desarrollo de las actividades propuestas en esta página, esfundamental destacar la importancia de comprender cada uno de losconceptos trabajados en la unidad.


• Representar algebraicamente una función. (Pregunta 1; pág. 112 y pregunta 3 de pág. 113)• Evaluar afirmaciones que involucran conceptos tratados en la unidad (Preguntas 2 y 5; pág.112)• Aplicar el concepto de imagen y preimagen. (Pregunta 3, 4 y 7; pág.112 y pregunta 2 de pág. 113)• Evaluar una función. (Pregunta 6; pág. 112)• Aplicar la noción de función. (Pregunta 8; pág.112)• Representar gráficamente una función. (Pregunta 1; pág. 113)


Objetivos evaluados

• Preguntas 1, 2, 5 y 8; pág. 112: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas.• Preguntas 3, 4, 6 y 7; pág. 112: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas.• Preguntas 1 y 2; pág. 113: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas.

Criterios de logro

U5 13/10/09 12:42 Página 69

70

Evaluación 5


1. La imagen de 27 en la función f (x) = 2x + 7 es:A. 20B. 47C. 54D. 61

2. La preimagen de 33 en la función f (x) = 6x – 9es:A. 5,5B. 5C. 4D. 7

3. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta?

A. El recorrido de una función es el conjunto de todas sus preimágenes.

B. La variable dependiente corresponde a la variable y.

C. El recorrido de la función y = 4x está compuesto por los números pares.

D. La preimagen de 13 bajo la función y = 2x – 1 es 6.

4. El valor de la función f (x) = 25 – 5x cuando x = 5es:A. 0B. –50C. 20D. 30

5. En una confitería se envasan 24 bombones en cadacaja. ¿Cuál es la función que modela el númerototal de bombones envasados?

A. y = 24 – xB. y = x + 24C. y = 24xD. x = 24y

6. Según la pregunta anterior, la variableindependiente, ¿a qué corresponde?

A. A la cantidad de bombones en cada caja.B. A la cantidad de cajas. C. Al total de bombones.D. Ninguna de las anteriores.

7. ¿Cuál de las siguientes frases se relaciona con lafunción f (x) = 30 – 12x?

A. La imagen de 3 es 6.B. La preimagen de 42 es 1.C. La imagen de 0 es 18.D. La preimagen de 6 es 2.

8. Matilde elaboró 240 alfajores y quiere envasarlosen cajas que contengan la misma cantidad deunidades. En este contexto, ¿cuál de las siguientesfrases es falsa?

A. La función que modela esta situación es y =

B. La variable dependiente es la cantidad de alfajores que se envasan en cada caja.

C. 120 pertenece al recorrido de la función.D. 60 pertenece al dominio de la función.

9. Según la pregunta anterior, ¿cuál de las siguientesfrases es verdadera?

A. El dominio de la función son todos los números naturales.

B. El dominio de la función es igual a su recorrido.

C. El recorrido de la función son todos los números enteros entre 1 y 240.

D. Ninguna de las anteriores.

Unidad 5

x240

U5 13/10/09 12:42 Página 70

71

10. El valor de la función f (x) = 3x + 18 cuandox = 6 es:

A. 36B. 18C. 54D. 111

11. ¿Cuál de las siguientes frases es falsa?

A. El dominio de una función es el conjunto de todas sus preimágenes.

B. La variable x corresponde a la variable dependiente.

C. La preimagen de –15 bajo la función y = 30 – 9x es 5.

D. La imagen de 7 bajo la función y = 4x – 5 es 23.

12. ¿Cuál de las siguientes relaciones no correspondea una función?

A. El área de una mesa rectangular y la longitud de su ancho.

B. La longitud del radio de una circunferencia y su área.

C. La edad de una persona y la cantidad de hijos e hijas que tiene.

D. La longitud de un lado de un triángulo y su altura.

13. ¿Cuál es la función que modela los valores de lasiguiente tabla?

A. y = 22 – 5xB. y = 20 – 3xC. y = 2x + 15D. Ninguna de las anteriores.

14. La única afirmación falsa con respecto a la

función f(x) = es:

A. f(–1) = –1

B. f(–3) =

C. f� � =

D. f(3) = 5

15. Con respecto a la función g(x) = se afirmaque:

I. g(6) no existe.II. g(3) es un entero negativo.

III. g � � es negativo.

De las afirmaciones son verdaderas:

A. Solo I B. Solo II C. I y IIID. II y III

16. ¿Cuál es la función que modela los valores de lasiguiente tabla?

A. y = 4x – 2B. y = x2 – 2C. y = 2x + 2D. Ninguna de las anteriores.

12

–12

Funciones

x

y

1

17

2

14

3

11

4

8

5

5

6

2

x – 1

2

6

x – 6

x

y

1

2

2

6

3

11

4

18

5

27

6

38

x2 + 1

–5

5

2x – 1

U5 13/10/09 12:42 Página 71

UNIDAD

Unidad 672

Cuadro sinóptico

6Relaciones proporcionales

CMO



– Razones y proporciones. (Págs. 120 y 121)

– Variaciones proporcionales y no proporcionales.(Págs. 122 y 123)

– Proporcionalidad directa. (Págs. 124 a 127)

– Proporcionalidad inversa. (Págs. 128 a 131)

– Escala. (Págs. 134 y 135)

– Porcentajes. (Págs. 136 y 137)

– Aplicaciones del porcentaje en el comercio.(Págs. 138 y 139)

– El impuesto al valor agregado: IVA.(Págs. 140 y 141)

• Aplicación y cálculo de escalas.

• Reconocimiento yrepresentación como unafunción de las relaciones deproporcionalidad directa einversa entre dos variables, encontextos significativos.Comparación con variablesrelacionadas en forma noproporcional y argumentaciónacerca de la diferencia con elcaso proporcional.

• Análisis de diversas situacionesque representan tantomagnitudes proporcionalescomo no proporcionales,mediante el uso de softwaregráfico.

• Resolución de problemas endiversos contextos que implicanel uso de la relación deproporcionalidad como modelomatemático.

– Semejanza y proporcionalidad. (Págs. 132 y 133)







UNIDAD

• Cálculo de porcentajes.


• IVA.


U6 20/10/09 11:02 Página 72

Relaciones proporcionales 73


• Reconocen razones y proporciones. • Desarrollar las habilidades intelectualesrelacionadas con la clarificación,evaluación y generación de ideas.







• Reconocen y resuelven problemas que involucran proporcionalidad directa.

• Reconocen y resuelven problemas que involucran proporcionalidad inversa.

• Resuelven problemas que involucran semejanza y proporcionalidad.

• Resuelven problemas que involucran cálculo de escalas.

• Calculan porcentajes en contextos concretos.

• Calculan porcentajes en contextos concretos.• Encuentran el referente inicial a partir de una cantidad que incluye un

porcentaje.

• Resuelven problemas de cálculo de impuestos. • Encuentran el referente inicial a partir de una cantidad que incluye un

porcentaje.

• Resuelven problemas usando proporcionalidad directa. • Resuelven problemas usando proporcionalidad inversa.• Aplican el concepto de razón.• Aplican el concepto de escala.• Resuelven problemas aplicando porcentajes.• Resuelven situaciones relacionadas con el comercio.• Aplican porcentaje correspondiente al IVA.

• Reconocen y resuelven problemas que involucran variaciones proporcionalesy no proporcionales.


U6 20/10/09 11:02 Página 73

Unidad 674



• Discutir con los(as) alumnos(as) en cuáles de los siguientes problemas lasmagnitudes varían proporcionalmente.

a. Al comprar 3 kilos de pan, Juan paga una cantidad de dinero queasciende a $750, y al comprar 5 kilos paga $1250.

b. Pedro manda una cadena de e-mails a tres compañeros, y cada unode ellos a su vez manda este e-mail a tres amigos más y asísucesivamente.

c. Dos amigos se toman una bebida de 3 litros en una hora, en cambio,seis amigos se toman esta misma cantidad en media hora.


El concepto de proporcionalidad no es desconocido para los alumnos, pues ha sido estudiado en SéptimoAño Básico. Desde esta perspectiva, la unidad se ha estructurado dando importancia a la distinción entresituaciones en las cuales se presente una variación proporcional, y otras en las que no se presente. Delmismo modo, las actividades requieren de una reflexión respecto de la dinámica de las variacionesproporcionales, ya que más que propiciar el entendimiento de la mecánica propia para resolver diversassituaciones, lo que se busca es que visualicen la manera cómo se relacionan las variables. En cuanto a laaplicación de la proporcionalidad se trabaja la semejanza de figuras planas, el diseño de dibujos a escala yde manera muy especial porcentajes, utilizando para este último, ejemplos de contextos reales como elcomercio.


Mapa conceptual

Relaciones proporcionales

Razón

Proporción

Directa Inversa

Porcentaje

IVA

Aplicaciones

Descuentos Aumentos porcentuales

Escala

Semejanza yproporcionalidad

Variacionesproporcionales y no

proporcionales

U6 20/10/09 11:02 Página 74


• Es importante hacer ver a los(as) alumnos(as) las diferencias que sepresentan entre fracción y razón. La primera de estas es una relaciónparte – todo, en cambio, la segunda es una relación parte – parte. Esrelevante hacer notar que la razón puede comparar cantidades de lamisma magnitud, y cantidades de magnitudes distintas.


• Determinar la constante de proporcionalidad en los siguientesproblemas.

a. Los ángulos interiores de un pentágono irregular están en la razón1 : 2 : 1,5 : 3 : 0,5.

b. Una persona, viajando en automóvil, se percata de que por cadakilómetro que avanza, aumenta su velocidad en 0,5 km/h.


Razones y proporciones (páginas 118 y 119)

• Determinar si las siguientes relaciones representan una fracción o unarazón.

a. Cantidad de alumnos(as) del 8° A y la cantidad de alumnos del colegio.b. Cantidad de mujeres de Chile y la cantidad de hombres de Chile.c. Cantidad de adultos mayores respecto de la población total del país.d. Cantidad de basura que produce un hogar con respecto a la cantidad

promedio de personas que viven en un hogar.

Actividades previas

Variaciones proporcionales y no proporcionales (páginas 120 y 121)

• Mostrar a los alumnos y alumnas esquemas de figuras que seanproporcionales y no proporcionales. Luego, pedir que realicen lasmediciones necesarias para determinar si las figuras dadas son o noproporcionales. Por ejemplo,


a.

b.

U6 20/10/09 11:02 Página 75

Unidad 676


• Construir una tabla y su gráfico correspondiente para dar respuesta a lasiguiente situación: Un automóvil debe recorrer una distancia de 360 km.¿Cuáles son los tiempos y las velocidades que puede alcanzar este auto,de manera de recorrer la distancia indicada?

• Resuelve los siguientes problemas.a. Con mi dinero puedo comprar 25 dulces a $ 30 cada uno. Si suben a

$ 35, ¿cuánto podré comprar?b. Si 50 telares producen cierta cantidad de tela en 240 horas. ¿Cuántas

horas demoran 120 telares iguales en producir la misma cantidad detela?

c. Dos ruedas dentadas están engranadas. Tienen 12 y 24 dientesrespectivamente. ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda, cuando laprimera ha dado 144 vueltas?

d. Una casa se pinta en 20 días con 40 hombres. ¿Cuántos hombres senecesitarían si se quiere pintar en 80 días?

e. En los piques de clasificación, el auto líder demoró 2,5 minutos endar una vuelta a la pista a 250 km/h. Si el segundo auto demoró2,8 minutos, ¿a qué velocidad promedio dio la vuelta a la pista?


Proporcionalidad inversa (páginas 126 a 129)

• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿En qué situaciones cotidianasencuentran magnitudes o variables donde si una aumenta, la otradisminuye, y viceversa?

Actividades previas

Proporcionalidad directa (páginas 122 a 125)

• Construir una tabla de valores y el gráfico correspondiente paraencontrar la respuesta a la siguiente situación:

– Una impresora hace 60 copias por minuto. Si se necesita fotocopiar unaenciclopedia de 3600 páginas, ¿cuánto tiempo se demora la máquina enhacerlas?

• Resuelve los siguientes problemas.a. Doce metros de género cuestan $ 2400. ¿Cuánto cuestan 5 metros?b. Diez obreros cavan, en cinco horas, una zanja de 60 m de longitud.

¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 42 obreros trabajandoen las mismas condiciones?

c. Si una persona de 1,85 m de altura proyecta una sombra de 1,35 m delongitud, calcula la altura de un árbol que en el mismo instanteproyecta una sombra de 20 metros.


• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿En qué situaciones cotidianas encuentranmagnitudes o variables que aumenten o disminuyan a la vez?

Actividades previas

U6 20/10/09 11:02 Página 76


Para alumnos más avanzados:• Ingresar a la página www.descartes.cnice.mec.es y seleccionar Unidades

Didácticas. Allí encontrarán una serie de temas, de los cuales eligenSemejanza y Homotecia. A partir de lo que ahí descubran y al realizar lasactividades que se plantean, contestan las siguientes preguntas:


• Preguntar a los(as) alumnos(as): – ¿Un cuadrado pequeño y uno grande, son iguales o parecidos? – ¿Y dos circunferencias? – ¿En qué se diferencia una circunferencia pequeña de una grande?

Semejanza y proporcionalidad (páginas 130 y 131)

Actividades previas

Para alumnos más avanzados:• Construir una tabla e identificar la proporcionalidad en cada uno de los

siguientes problemas:

a. Si tres secretarias pueden digitar seis manuscritos en doce días,¿cuántos días tomaría a dos de ellas digitar tres de esos documentos?

b. Si 10 ardillas comen 10 nueces en 10 días, ¿Cuántas nueces come unaardilla en un día? Intuye la respuesta y luego compruébala.

c. Para llenar un estanque se necesitan dos llaves (A y B). Estandoabierta la llave A, el estanque se llena en 2 horas, y estando abierta lallave B el estanque se llena en una hora y media. ¿Cuánto demora enllenarse estando abiertas las dos llaves?


• Lo más relevante del trabajo con proporcionalidad compuesta es laidentificación de cada uno de los tipos de proporcionalidad que estáninvolucrados en los problemas. Pero esta identificación se dificulta por elpoco contacto que tienen los alumnos con las magnitudes que serelacionan de una u otra forma en la realidad; en su vida cotidianamanejan muy pocas magnitudes como para que puedan determinar lostipos de proporcionalidad en problemas de enunciados verbales. Es poresto que el profesor debe ejercitar el manejo de magnitudes, y que losalumnos(as) experimenten concretamente con ellas.

Comentario

• Los alumnos tienden a pensar que si dos variables aumentan odisminuyen a la vez se tiene una proporción directa, mientras que alenfrentarse a dos variables en la cual una aumenta y la otra disminuye setiene una proporción inversa.

Se debe aclarar que el comportamiento de las variables en ambos casosdebe ser proporcional.


U6 20/10/09 11:02 Página 77

Unidad 678


• El porcentaje, al ser una razón de consecuente cien, también está ligadoal campo de las fracciones. Es importante que los(as) alumnos(as)comprendan la equivalencia de significado que existe entre porcentajes yfracciones, además de su equivalencia numérica. Por ejemplo, decir el

50% de un cierto número, o decir del número, o decir “la mitad” del12


• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Cuáles son las situaciones en que hanescuchado hablar de porcentaje? ¿Qué representa un porcentaje? ¿Puedetener relación con las fracciones?

Porcentaje (páginas 134 y 135)

Actividades previas

• Asocia cada porcentaje con la fracción (o expresión) que le es equivalente.Actividades complementarias

25%Un tercio33,333...%

50% 13

310

12

La mitadLa cuarta parte

30%

• Para medir y cambiar escalas el instrumento más usado es el escalímetro. Esbueno que los(as) alumnos(as) se familiaricen con este tipo de instrumentos,pues observan en la realidad cómo aplicar los conocimientos que vanaprendiendo de forma teórica. Otro instrumento interesante para mostrar ymanipular es el pantógrafo, el cual permite construir polígonos semejantes auno determinado, fijando previamente la razón de proporcionalidad.


– ¿Qué es una homotecia? – ¿Qué se obtiene de ella al ser aplicada a un polígono?– ¿Qué es el centro de homotecia?– ¿Qué significa que la razón de homotecia k sea positiva mayor que 1?

¿Sea positiva menor que 1? ¿Sea negativa mayor que –1? ¿Sea negativamenor que –1? ¿Qué significa que sea cero?Si en la figura de la casa se hace variar el centro de homotecia “O”,¿qué sucede con la figura?Si en la misma figura se hace variar solo la razón de homotecia k,¿qué sucede con la figura?

No olvidar que las páginas web o su contenido pueden variar.

Escala (páginas 132 y 133)

U6 21/10/09 10:21 Página 78


Aplicaciones de porcentajes en el comercio (páginas 136 y 137)

• Determinar el porcentaje final de ganancia o pérdida en cada uno de lossiguientes problemas.

– Una persona compra un artículo en $80 000 y lo vende con un 10% deganancia. En seguida el artículo se vuelve a vender pero ahora con un10% de pérdida. ¿El artículo queda en el precio original?

– Una librería vende los libros con un 20% de descuento si la venta es aplazo; pero si es al contado hace además un 5% de descuento adicionalcalculado sobre el precio de venta a plazo. Si un libro está marcado con$n, ¿cuánto dinero se pagará por él, si el pago es al contado?

¿Los cálculos confirman la intuición? ¿Por qué?


El impuesto al valor agregado: IVA (páginas 138 y 139)


• Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación.

– En el kiosco del colegio de Manuel se compran periódicamente losproductos que después se venden a los alumnos. Manuel le ayuda a donJosé, el dueño del kiosco, a ordenar las facturas que le pasan los distintosproveedores. Él observa que a lo que cuesta cada producto se le agregaun valor más, siendo el total de esta cantidad lo que debe pagar donJosé. Manuel mira una de las facturas y observa que el monto final es$243 000 pero que el costo de los productos es $196 830.

Averiguar cuánto más pagó don José y a qué porcentaje corresponde delcosto inicial y a qué porcentaje corresponde del monto final. Compararestos porcentajes. ¿Qué pueden concluir?


• Realizar el siguiente desafío con un(a) compañero(a), anotando todos lospasos que siguieron para llegar al resultado final. Comentar elprocedimiento seguido con tu profesor(a).

– Matías depositó en una cuenta de ahorros $100 000 con una tasa deinterés mensual de 3,5%. Después de algún tiempo, Matías quiso invertirsu dinero pero encontró que había más del que había depositado.Construye una tabla para que Matías entienda cómo fue que aumentó sucapital inicial y por qué sucedió.


número, son expresiones que no solo arrojan un valor numérico equivalente,sino que su carga de significado también lo es, esto le permitirá comprendermejor el campo de problemas que abarcan los porcentajes.

U6 20/10/09 11:02 Página 79

Unidad 680


• Utilizar la calculadora para determinar rápidamente los aumentos y losdescuentos en las siguientes situaciones que suelen presentarse en elcomercio.

a. ¡Oferta! Lleve tres y pague 2. ¿Cuál es el porcentaje de descuento porproducto, si el pago total es $1650?



• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Cuáles son los beneficios de usar lacalculadora en los procedimientos de resolución de problemas? ¿Quédesventajas tiene este uso? ¿Siempre es conveniente usarla?

Actividad previa


• Calcular mentalmente las siguientes relaciones porcentuales.

a. el 50% de 40 es g. 8 es el 12% de

b. el 25 % de 70 es h. 33 es el 30% de

c. el 35% de 200 es i. 20 es el % de 100

d. el 15% de 300 es j. 45 es el % de 90

e. 5 es el 20% de k. 80 es el % de 40

f. 23 es el 50% de l. 44 es el % de 440


• Es muy importante incentivar cálculo mental en situaciones o problemasreferidos a relaciones proporcionales, pues ya no es solo el cálculo el quese está ejercitando, sino que además se está llevando a un plano superiorde comprensión las mismas relaciones que involucran a ciertas variables.El cálculo mental aquí también cumple una de sus tareas fundamentales,que es hacer trabajar a los(as) alumnos(as) las combinaciones aditivas ymultiplicativas básicas que le permiten encontrar con mayor rapidez unarespuesta.


• En el proceso de resolución de problemas es muy importante lavalidación de las respuestas en el contexto en que se circunscribe elproblema. Este punto va más allá de verificar si los cálculos estáncorrectos; va en el sentido de dar significado al problema y analizar si elproblema tenía sentido en sí mismo. Este tipo de análisis genera en elalumno(a) la habilidad de cuestionar, que es estrictamente necesaria enmatemáticas y en la resolución de problemas en general.


U6 20/10/09 11:02 Página 80


• Resolver problemas usando proporcionalidad directa. (Preguntas 1, 2 y 3; pág. 146)• Resolver problemas usando proporcionalidad inversa. (Pregunta 4; pág. 146)• Resolver problemas usando proporcionalidad compuesta. (Pregunta 5; pág.146)• Aplicar el concepto de razón. (Preguntas 6 y 7; pág.146)• Aplicar el concepto de escala. (Pregunta 7; pág.146)• Resolver problemas aplicando porcentajes. (Preguntas 8, 9, 10, 11 y 12; pág.146)• Resolver situaciones relacionadas con el comercio. (Pregunta 1; pág.147)• Aplicar porcentaje correspondiente al IVA. (Preguntas 2 y 3; pág.147)


Objetivos evaluados

• Preguntas 1, 2, 3 y 4; pág. 146: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas.• Preguntas 5, 6 y 7; pág. 146: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.• Preguntas 8, 9, 10, 11 y 12; pág. 146: responden correctamente al menos tres de las cinco preguntas

planteadas.• Preguntas 1, 2 y 3; pág. 147: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.

Criterios de logro

b. Un producto se vende sin IVA y cuesta $8 735. ¿Cuánto cuesta con elimpuesto incorporado?

c. Si se desea calcular el 13% de aumento en el precio de un productoque cuesta $467, ¿se puede multiplicar este precio por 1,13 paraobtener la respuesta? Inténtalo.

d. Si se desea calcular la disminución del 8% en el precio de un producto(que cuesta 800 pesos), ¿se puede multiplicar por 0,92 para obtener ladisminución efectiva? Inténtalo.

• Otra vía para aplicar el concepto de porcentaje es la utilización en elsueldo o salario al tener un contrato de trabajo.Para esto se puede trabajar con una planilla de sueldos, para lo cual esnecesario saber los porcentajes de descuento. El sueldo bruto sedescompone en sueldo líquido (80,1%), cotización de AFP (12,5%),cotización de salud (7%) y seguro de cesantía (0,4%).

Utilizando la información anterior, completar la siguiente tabla:

Sueldo Sueldo AFP Salud Segurobruto líquido de cesantía

$ 259 000 $ $ $ $

$ $ 155 000 $ $ $

$ $ $ $ 9550 $

$ $ $ $ $ 3040

U6 20/10/09 11:02 Página 81

82

Evaluación 6

Unidad 6


1. ¿Cuál es el valor de x en la siguiente proporción?

=

A. x = 8B. x = 5C. x = 3D. x = 2

2. En la figura hay dos rectángulos semejantes.Determina el largo del rectángulo mayor (x).

A. 11 centímetrosB. 12 centímetrosC. 14 centímetrosD. 21 centímetros

3. Una secretaria escribe en promedio 1500 palabrasen 15 minutos. ¿cuántas palabras escribe en 1hora?

A. 3000B. 6000C. 9000D. 15 000

4. Si debes leer un libro de 50 páginas y te demoras5 páginas por hora. ¿Cuántos días demoras si sololees 2 horas diaramente?

A. 1 díaB. 5 días C. 10 díasD. 15 días

5. Isabel midió la sala de clases, y esta tiene 15 metrosde largo y 5 de ancho. Si debe dibujar un planode su sala usando una escala de 1 : 25, ¿cuáles sonlas medidas en centímetros del plano de la sala?

A. Largo 80 cm; ancho 40 cmB. Largo 60 cm; ancho 20 cmC. Largo 10 cm; ancho 50 cmD. Largo 10 cm; ancho 30 cm

6. Diego e Isabel se reparten 36 dulces enproporción a sus edades, que son 3 y 9 añosrespectivamente. ¿Cuántos dulces le correspondena cada uno?

A. 8 y 28 dulcesB. 9 y 27 dulces C. 10 y 26 dulcesD. 12 y 24 dulces

7. El sueldo de Carlos es de $250 000 y seráreajustado en un 25% pero como tiene unadeuda equivalente al 25% de su sueldo inicial conla empresa, se la van a descontar el primer mes.¿cuánto recibe el primer y segundo mes?

A. 1º mes = $250 000; 2º mes = $312 500B. 1º mes = $150 000; 2º mes = $312 500C. 1º mes = $215 000; 2º mes = $230 000D. 1º mes = $200 000; 2º mes = $215 000

8. El 50% de un número es 29. ¿Cuál es el número?

A. 14B. 25C. 32D. 58

1015

x12

2 cm

6 cm

x cm

7 cm

U6 20/10/09 11:02 Página 82

83Relaciones proporcionales

9. ¿Cuánto vale X, si A es directamente proporcionala B?

A 9 X

B 3 15

A. 45B. 9C. 15D. 5

10. ¿Cuánto vale Y, si A es inversamente proporcionala B?

A 9 Y

B 15 3

A. 5B. 9C. 15D. 45

11. El precio con IVA de un producto es $35 000,¿cuál es el precio sin IVA aproximadamente?

A. $41 300B. $28 700C. $29 412D. $17 000

12. Mauricio ha depositado $1.000.000 en el bancodurante 6 meses. Cada mes ganó 1% de interés.¿Qué monto tiene el cabo del 6º mesaproximadamente?

A. $1 600 000B. $1 060 000C. $1 061 520D. $1 051 010

13. Un colegio abrió sus puertas con 300 alumnosinscritos. Al año siguiente las matrículasaumentaron en un 30% y este año creció en un50% ¿cuántos alumnos hay en la actualidad?

A. 585B. 540C. 495D. 740

14. Un campamento tiene provisiones para 24 niñosdurante 16 días. Si los niños aumentan a 48¿cuántos días durarán las provisiones?

A. 10 días B. 8 díasC. 16 díasD. 32 días

15. 12 alumnos pintan 3 cuadros en 4 días. ¿Cuántoscuadros pintan 24 alumnos en 20 días?

A. 35 cuadrosB. 18 cuadrosC. 30 cuadrosD. 9 cuadros

16. Don Juan fabrica y vende volantines enseptiembre. Este año estimó que vendería350 unidades. Si el costo de fabricación es $21 000y la ganancia la define como el equivalente al60% del costo. ¿A qué precio debe vender cadavolantín para obtener esa ganancia?

A. $145 el volantínB. $115 el volantínC. $84 el volantínD. $96 el volantín

U6 20/10/09 11:02 Página 83

UNIDAD

Unidad 784

Cuadro sinóptico

7Potencias


CMO



– Potencias de exponente natural. (Págs. 150 y 151)

– Multiplicación de potencias de igual base.(Págs. 152 y 153)

– División de potencias de igual base.(Págs. 154 y 155)

– Multiplicación y división de potencias de igualexponente. (Págs. 158 y 159)

– Crecimiento exponencial. (Págs. 160 – 162)

– Decrecimiento exponencial. (Págs. 163 – 165)

– Potencias de base 10. (Págs. 166 y 167)

• Regularidades en el cálculo de potencias.

• Cálculo de potencias.

• Cálculo de potencias.

• Utilización de estrategias decálculo mental y escrito queimplican el uso de potenciasde base entera y exponentenatural, determinación yaplicación de propiedadesrelativas a la multiplicación ydivisión de potencias quetienen base entera yexponente natural, yextensión a potencias de basefraccionaria o decimalpositiva y exponente natural.

• Resolución de problemas encontextos diversos ysignificativos que involucran[…] potencias de base entera,fraccionaria o decimalpositiva y exponente natural,enfatizando en el análisiscrítico de los procedimientosde resolución y de losresultados obtenidos.

– Potencias de exponente negativo. (Págs. 156 y 157)






UNIDAD

U7 20/10/09 11:06 Página 84

Potencias 85


• Interpretan y calculan problemas de potencias de exponente entero.

• Desarrollar la iniciativa personal y eltrabajo en equipo.

• Promover el interés y la capacidad deconocer la realidad, utilizar elconocimiento y seleccionar informaciónrelevante.



• Resuelven problemas de multiplicación de potencias de igual base.

• Resuelven problemas de división de potencias de igual base.

• Interpretan y resuelven problemas de potencias de exponente negativo.

• Resuelven multiplicaciones y divisiones de potencias de igual exponente.

• Interpretan y resuelven problemas que involucren crecimiento exponencial.

• Interpretan y resuelven problemas que involucren decrecimientoexponencial.

• Resuelven problemas de potencias de base 10.

• Resuelven problemas utilizando una estrategia de resolución, la describen yla justifican de acuerdo al contexto del problema.

• Desarrollan potencias de bases enteras y fraccionarias.• Aplican propiedades de las potencias. • Comprenden y calculan potencias. • Resuelven problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial.• Calculan potencias de base 10.

U7 20/10/09 11:06 Página 85

Unidad 786



• Una vez realizadas las actividades de estas páginas plantear a los(as)alumnos(as) las siguientes situaciones que serán resueltas por medio dela estrategia de resolución de problemas, llamada diagrama de árbol.

– Francisca y Maximiliano juegan lanzando una moneda tres veces, si salendos o más caras gana Maximiliano, si salen tres resultados iguales ganaFrancisca. ¿Quién tiene más posibilidades de ganar?


En Séptimo Año Básico, los alumnos aprendieron la notación de potencia y la utilizaron para expresargrandes cantidades de manera reducida, en las cuales el exponente y la base correspondían a númerospositivos. En esta unidad se generaliza el concepto de potencia a exponentes tanto positivos comonegativos. El énfasis de esta unidad está en la comprensión y deducción de las propiedades de laspotencias mediante regularidades y estudio de patrones, así como su aplicación en el estudio defenómenos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Por otra parte, se trabaja la resolución deproblemas a lo largo de toda la unidad dando especial importancia a la búsqueda de estrategiasapropiadas para diferentes tipos de situaciones.


Mapa conceptual

Potencias

Aplicaciones

Exponente natural

Multiplicación

Operatoria con potencias

Exponente negativo

División

Crecimiento exponencial Decrecimiento exponencial

Base 10

U7 20/10/09 11:06 Página 86

Potencias 87

Potencias de exponente natural (páginas 148 y 149)

• El diagrama de árbol es una estrategia de resolución de problemas quepermite comprender visualmente el proceso matemático que se estádesarrollando. Haga consciente al alumno de la importancia de un ordencorrecto de la información, ya que la mayor dificultad se presentacuando los(as) alumnos(as) consideran más de una vez una mismainformación. Un árbol genealógico, que considere, padres, abuelos,bisabuelos y tatarabuelos, puede ser una buena manera de practicar estaestrategia.


c c

cc cs sc ss

ccc ccs csc css scc scs ssc sss

– Pablo y Karina juegan lanzado dos dados, si el producto de los númeroses mayor que 12 gana Pablo, si no, gana Karina.¿Quién tiene más posibilidades de ganar?

• Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan la siguiente situación,recomiende la utilización de un diagrama de árbol. Luego comparan susresultados.

– Felipe está interesado en participar en una cadena solidaria por e-mail.Esta consiste en que cada vez que una persona reciba un e-mail, al díasiguiente lo reenvía a dos personas, y así sucesivamente, es decir, cadadía hay el doble de e-mails que el día anterior. Si Felipe comienza lacadena enviando dos e-mails:


1

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

2

1 2 3 4 5 6

2 4 6 8 10 12

3

1 2 3 4 5 6

3 6 9 12 15 18

4

1 2 3 4 5 6

4 8 12 16 20 24

5

1 2 3 4 5 6

5 10 15 20 25 30

6

1 2 3 4 5 6

6 12 18 24 30 36

U7 20/10/09 11:06 Página 87

Unidad 788


• Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan las siguientes situaciones.Luego comparan sus resultados y estrategias utilizadas.

– Florencia busca una tenida para la fiesta del fin de semana, aún nodecide si usar jeans, pantalón de tela, polera azul, negra, lila o verde.¿Cuántas posibles combinaciones puede realizar Florencia?

– Una gelatería ofrece una promoción especial en sus copas de helado:tres sabores distintos más una salsa. ¿Cuántas distintas combinacionesde copas de helado ofrece la gelatería si los sabores de helado y lassalsas son los siguientes?

Sabor de helado Salsa

- chocolate - chocolate

- café - manjar

- piña - frutilla

- frutilla

- vainilla

- menta chips


a. ¿Cuántas personas recibirán un e-mail al quinto día?b. ¿Qué día se recibieron 1.024 e-mails?

• Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen en forma de potencia lassiguientes operaciones:

a. 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2b. 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4c. 6 • 6 • 6 • 6 • 6d. 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7e. 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10f. 13 • 13 • 13 • 13

Multiplicación de potencias de igual base (páginas 150 y 151)

• Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen como factor de potencias deuna misma base, los siguientes productos:

a. 32 = 2 • 4 • 4 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25

b. 81 =

c. 256 =

d. 125 =

e. 216 =

f. 10 000 =

Actividades previas

U7 20/10/09 11:07 Página 88

Potencias 89

• Pedir a los(as) alumnos(as) que escriban como una potencia y luegocalculen el valor.

a. 62• 64

• 61 = d. � �6

• � �1

=

b. 24• 27

• 23• 22 = e. (0,3)5

• (0,4)4 • (0,4)2 =

c. (–1)2 • (–1)4 • (–1)6 • (–1)3 = f. (2,3)4 • (2,3)4 • (2,3)4 =

12

12


• Plantear a los(as) alumnos(as) que la mecánica utilizada para resolverproblemas que involucren división de potencias de igual base, no esnecesario saberla de memoria. Recuérdeles que ellos poseen otrasherramientas que pueden utilizar al momento de enfrentar estosproblemas, por ejemplo, la simplificación.

Este tipo de actividades le permitirá ver el grado de conocimiento de susalumnos(as); si son capaces de formular y resolver un problema demanera correcta, quiere decir que existe una apropiación del contenido.En este caso, tome en cuenta que el problema no necesariamente debeser formulado en forma de potencia, lo importante es que en laresolución del problema se utilice la división de potencias. Puede tomarcomo ejemplo la situación problemática planteada al inicio de la página154 del texto del alumno(a).


División de potencias de igual base (páginas 152 y 153)

• Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan los siguientes ejercicios:

a. 64 : 62 = d. (–4)6 : (–4)2 =

b. � �6

: � �4

= e. � �10

: (0,25)6 =

c. (–5)9 : (–5)7 = f. � �7

: (0,2)3 =

• Pedir a los(as) alumno(as) que en parejas formulen un problema que seanecesario resolver por medio de la división de potencias de igual base,este debe cumplir los siguientes requisitos:

– Debe estar escrito en lenguaje natural. (Juan quiere pintar una sala, si ellargo mide ...)

– Deben formular el problema en lenguaje matemático. (Sea x el largo ...)– Deben especificar la estrategia utilizada. (Hacer un diagrama).

210

14

12

12

U7 20/10/09 11:07 Página 89

Unidad 790


• Pedir a los(as) alumnos(as) que unan las expresiones equivalentes.

a. (4)7 : (4)7 �– �

b. � �8

: � �7

c. (0,2)6 : (0,2)5 46 : 46

d. � �2

: (2)2 1

e. � �9

: (0,5)8 � �13

12

105

13

13

210


• Para introducir este contenido utilice las regularidades, escriba en lapizarra las siguientes potencias y guíe a sus alumnos(as), por medio deuna conversación, a que ellos mismos se den cuenta de lo que sucedecuando un exponente de una potencia tiene valor negativo.

25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16

23 = 2 • 2 • 2 = 8

22 = 2 • 2 = 4

21 = 2 = 2

Potencias de exponente negativo (páginas 154 y 155)

Variante metodológica

• Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan los siguientes ejercicios. Luegoformular las siguientes preguntas:

a. 104 : 103 = d. (–1)3 : (–1)2 =

b. �– �6

: �– �6

= e. � �10

: (0,5)10 =

c. (0,6)8 : (0,6)7 = f. �– �9

: �– �8

=

– ¿Observas alguna regularidad en los valores que encontraste?– ¿Cómo son los exponentes de las potencias que obtuviste como

resultado?– ¿Cómo expresas una potencia elevada a uno?, ¿qué quiere decir?– ¿Cómo expresas una potencia elevada a cero?, ¿qué quiere decir?

63

84

12

15

15


0,5

U7 20/10/09 11:07 Página 90

Potencias 91

• Es de suma importancia trabajar regularidades con los(as) alumnos(as),pues las demostraciones algebraicas o abstractas escapan a supensamiento aún concreto. Estas deben ser expuestas del tal forma quesea el alumno(a) quien descubra dicha regularidad, ello le permitirá unaapropiación del contenido, un entendimiento real de la naturaleza eimportancia de los nuevos conocimientos.


• Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen dos secuencias distintas queinvolucren potencias, luego la comparten con un compañero(a) ydiscuten la regularidad presente.

Tarea

• Resuelve lo siguiente.

a. 32 = d. (1,1)–3 =

b. 2–1 = e. (0,4)–5 =

c. (–1)–4 = f. �– �–6

= 13


20 = 1 = 1

2–1 = = � �1

=

2–2 = = � �2

=

2–3 = = � �3

=

Se espera que los(as) alumnos(as) se den cuenta de que los valores de laspotencias se van dividiendo por dos, y que cuando el exponente esnegativo este se convierte a fracción. Repita el mismo procedimiento para potencias de base 5 y 10.

Una vez que sus alumnos(as) logren comprender esto, introduzca lamecánica.

18

18

?

?

?

Multiplicación y división de potencias de igual exponente (páginas 156 y 157)

• Plantear a los(as) alumnos(as) las siguientes preguntas. Luego establecenconclusiones en relación con el producto y el cociente de potencias dedistinta base e igual exponente.

– ¿Cuál es el área de un rectángulo, cuyo largo es 64 y ancho 24?– ¿Cuál es el largo de otro rectángulo de igual área que el anterior y de

ancho 24?


U7 20/10/09 11:07 Página 91

Unidad 792


• Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen y resuelvan un problema quesea posible desarrollar por medio de potencias elevadas a un exponente.

Tarea

• Las propiedades de las potencias se prestan mucho para realizar tablasde regularidades y hacer que los(as) alumnos(as) busquen los patrones decomportamiento en los distintos elementos que la tabla presenta. Puedeplantear una tabla que muestre la variación en el perímetro de unafigura geométrica dada la medida de sus lados en potencias.


• Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen el siguiente ejercicio enpotencias, luego lo resuelven utilizando las propiedades de las potencias.

[(64 • 1) : 8] • 512

Tarea

Crecimiento exponencial (páginas 158 a 160)

• Preguntar a los(as) alumnos(as) qué entienden por crecimientoexponencial.¿Qué se imaginan que es? ¿En qué situaciones y bajo qué contexto lohan escuchado?

Actividad previa

• Es muy importante recordar las propiedades de potencias trabajadashasta este minuto (multiplicación de potencias de igual base, división depotencias de igual base, potencias de exponente 1 y 0, potencias deexponente negativo), para que el alumno(a) tenga una visualización delo aprendido en la unidad.


• Calcular las siguientes potencias elevadas a un exponente.

a. �52�5= d. (1,54)–3 =

b. (–13)7 = e. �� 5�

2

=

c. (0,54)2 = f. (0,22)–6 =

12


– ¿Cuáles pueden ser las dimensiones de otros rectángulos que tenganigual área que el rectángulo inicial?

• Pedir a los(as) alumnos(as) que determinen cuánto mide el ancho de unrectángulo:

– Si el área mide 105 y el largo del rectángulo es 105.– Si el área es 1012 y su largo también mide 1012.– Si el área y el largo miden 73.– Si el área y el largo miden lo mismo.

U7 22/10/09 16:46 Página 92

Potencias 93

• Plantear las siguientes situaciones:

– Se observa que en determinadas condiciones de laboratorio elcrecimiento experimentado por un cultivo de bacterias corresponde aldoble del día anterior.

– El señor Liberona observa que durante una semana de primavera y bajobuenas condiciones climáticas, su planta preferida muestra dos nuevosbrotes cada día.

a. Luego, interpretan la información confeccionando una tabla quemuestre el aumento de cada población (bacterias y plantas).

b. Buscan un patrón numérico que se repita en este aumento sucesivo ylo asocian a una potencia de base 2 (caso de las bacterias).

c. Comparan ambos crecimientos y asocian el aumento en el cultivo debacterias como un crecimiento de carácter exponencial,diferenciándolo del aumento aditivo que representan los brotes de laplanta. Por último, confeccionan un gráfico simple para cada situacióny comparan con sus compañeros(as).


• Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación:

– Una empresa está liquidando sus productos, por cierre de local. Según losregistros, cada semana se vende la mitad del stock, y debido a que no secontinuará con el negocio no se repone el stock. Un local de la competencia,se encuentra en la misma situación, pero cada semana se venden 30productos y al igual que el local anterior, tampoco repone el stock.

Luego, realizar una tabla para representar la cantidad de productos quequedan en el stock en cada uno de los locales. (Para ello establezca unnúmero determinado de productos al inicio de las ventas).Realizar un gráfico que muestre el descenso de la cantidad de productosen stock de cada local.Analizar el comportamiento del descenso de la cantidad de productos.Diferenciar los dos tipos de decrecimiento y asociar al decrecimientoexponencial y lineal respectivamente.


Decrecimiento exponencial (páginas 161 a 163)

• Plantear una situación de la vida real en que se observe undecrecimiento exponencial.

Tarea

• Hacer preguntas que permitan a los(as) alumnos(as) comprender lanecesidad de establecer una nueva representación para los números degrandes cifras. Por ejemplo:

Potencias de base 10 (páginas 164 y 165)

Actividades previas

U7 20/10/09 11:07 Página 93

94


Unidad 7


– ¿Cuál es el número finito mayor que ustedes conocen? (Seguramenteindicarán alguno con bastantes ceros)

– ¿Cómo escribimos ese número en la pizarra?– ¿Y si deseamos sumar ese número con otro de igual extensión, qué

dificultad se nos presenta?

• Pedir a los(as) alumnos(as) que interpreten la información entregada enla siguiente tabla, ella presenta la longitud del diámetro de cada uno delos planetas del Sistema Solar y la distancia al Sol, expresadas enkilómetros.

Planeta Diámetro Distancia al Sol

Júpiter 1,4 • 103 km 777,7 millones de km

Marte 6,8 • 103 km 228 millones de km

Mercurio 0,49 • 104 km 57 850 000 km

Neptuno 4,85 • 104 km 4,5 miles de millones de km

Saturno 1,21 • 103 km 1 428 000 000 km

Tierra 1,27 • 104 km 149,5 millones de km

Urano 5,1 • 104 km 2,87 miles de millones de km

– ¿Cuál de los planetas tiene mayor diámetro?, ¿cuál tiene menordiámetro?

– Entre Saturno y Júpiter, ¿cuál está más alejado del Sol? ¿Por qué?– En el caso del diámetro de la Tierra, ¿qué representa el 104? ¿A cuántos

kilómetros corresponde dicha longitud?


• La resolución de problemas es una estrategia que se logra a través de unproceso sistemático progresivo, determinado por etapas en las que sevan desarrollando, gradualmente, las habilidades y conocimientosnecesarios para alcanzar dicho contenido.Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida de las personas.Los(as) alumnos(as) se ven enfrentados frecuentemente a resolverproblemas. Pensar el pensar se denomina en psicología metacognición.George Polya (1887-1985), matemático de origen húngaro, dedicó granparte de su trabajo a desarrollar una teoría para la resolución deproblemas en matemática y a dar descripciones detalladas de varios


U7 20/10/09 11:07 Página 94

95Potencias

métodos heurísticos. Propone un modelo que permite encarar lassituaciones problemáticas especialmente en el área matemática, la que seha denominado “la propuesta de Polya”.En un plan de cuatro pasos, Polya sintetiza su visión acerca de cómoactuar al resolver un problema:

– Comprender el problema.– Crear o configurar un plan.– Ponerlo en práctica.– Examinar la solución obtenida.

Según Polya, para resolver un problema, proceso muy importante en laformación matemática de los(as) alumnos(as) y para el desarrollo de sucapacidad de reflexión, es conveniente plantearse algunas preguntas conrespecto al problema, en cada una de las etapas o pasos de la resolución.A continuación se ejemplifican algunas:

– ¿Entiendes todo lo que se dice? – ¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras? – ¿Distingues cuáles son los datos?– ¿Sabes a qué quieres llegar? – ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se

define como un artificio ingenioso que conduce a un final). – Ensayo y error (Conjeturar y probar la conjetura). – Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar

completamente el problema o hasta que la misma acción te sugieratomar un nuevo curso.

– ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en elproblema?

– ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?


• Antes de realizar un cálculo mental, explique a sus alumnos(as) que lariqueza de la actividad está focalizada en no utilizar un registroalgebraico. Indíqueles que fijen su atención en lo que se les estápreguntando antes de resolver el problema.

Actividad previa

Actividades complementarias • Calcular mentalmente.

a. (1)9 = d. (–5)1 =

b. (–1)7 = e. � �3

=

c. (–2)2 = f. � �–1

= 12

12

U7 20/10/09 11:07 Página 95

96


Unidad 7

Actividades complementarias • Utilizando la calculadora, resuelven los siguientes problemas:

a. 74 = d. (–10)5 =

b. 4–7 = e. (0,4)3 =

c.(0)–8 = f. (0,9)–6 =

Pedir que realicen los mismos ejercicios, como multiplicación iterada, esdecir, la potencia 74, la calculan como: 7 x 7 x 7 x 7, luego reflexionanacerca de la notación y la utilización de esta herramienta.


• Pedir a los(as) alumnos(as) que investiguen sus calculadoras y sefamiliaricen con cada una de las teclas y funciones que realiza. Haganotar que hay calculadoras en que primero se introducen los datos yluego la operación.

Actividades previas

• Calcular mentalmente las siguientes operaciones

a. � : 3�–2 e. �2 • �3

b. �– + �6 f. �1 + �–1

c. � – 1�–1 g. (–5 + 0,4 • 10 + 5)–2

d. (0,4 + 0,5)2 h. �2 – 4 – + 4�–3

• Es importante mostrar a los niños que los números se pueden asociar demanera tal que permiten hacer más fácil el cálculo mental. Se podríahacer referencia a la asociatividad.

• Pedir a los(as) alumnos(as) que identifiquen en otras secciones del texto,qué ejercicios son factibles de hacer mediante cálculo mental.Pregúnteles: ¿qué condiciones debe cumplir un ejercicio para ser resueltopor medio del cálculo mental?

12

13

15

210

15

34

14

• En la página http://www.saber.golwen.com.ar/hcalculadora.htmencontrará una pequeña reseña sobre la historia de la calculadora. Laprimera máquina sumadora la inventó el matemático francés BlaisePascal (1623-1662).No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.


U7 20/10/09 11:07 Página 96

97Potencias

• Escribir potencias. (Pregunta 1, pág. 173)• Aplicar propiedades de potencias. (Preguntas 3, 6, 7, 8, 9; pág. 172 y pregunta 3, pág. 173)• Comprender y calcular potencias. (Preguntas 1, 2, pág. 172 y pregunta 2, pág. 173)• Resolver problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial. (Pregunta 4, pág. 172 y pregunta 4, pág. 173)• Calcular potencias de base 10. (Pregunta 5, pág. 172)


Objetivos evaluados

• Pregunta 1, pág. 173: responde correctamente la pregunta formulada.• Preguntas 3, 6, 7, 8, 9; pág. 172 y pregunta 3, pág. 173: responde correctamente al menos 4 de las 6

preguntas planteadas.• Preguntas 1, 2; pág. 172 y pregunta 2, pág. 173: responde 2 de las 3 preguntas formuladas.• Pregunta 4, pág. 172 y pregunta 4, pág. 173: responde correctamente las preguntas formuladas.• Pregunta 5, pág. 172: responde correctamente la pregunta formulada.

Criterios de logro

U7 20/10/09 11:07 Página 97

98

Evaluación 7

Unidad 7


1. El producto 20• 21

• 22• 23 es igual a:

A. 16B. 32C. 64D. 128

2. 82 + 43• 22 es igual a:

A. 64B. 116C. 132D. 320

3. ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?“Menos cinco elevado al cuadrado, multiplicadopor menos cinco elevado al cuadrado”.

A. –100B. –625C. 100D. 625

4. Una máquina realiza las siguientes operaciones:

Cuando ingresa un valor, este se multiplica por3–2 (A), luego multiplica por 103 (B) y finalmentedivide por 3 que corresponde a la operación (C).Si ingresa el valor 0,027 ¿cuál es el valor de lasalida?

Entrada A B C Salida

A. –2B. 1C. 2D. 9

5. El área de un terreno cuadrado es de 160 000 m2.Si se desea cercar el terreno y solo hay alambrepara cercar 103 m, ¿cuánto alambre falta?

A. 200 mB. 600 mC. 1000 mD. 2000 m

6. Si A = 2–2, B = –2–2 y C = (–2)–2, el valor deA • B • C es igual a:

A. –

B. –

C. –

D.

7. Un restaurante de lujo puso todos sus precios enformato de potencia para atraer más clientes.Observa el anuncio y determina el valor quedeben cancelar Francisca y Federico al consumir:

Francisca: Plato premiun y bebidaFederico: Ensalada, plato especialidad de la casa,bebida y postre

Precio ($)

Ensalada 3 • 102

Plato Ejecutivo 22• 102

Plato Especialidad de la casa 3 • 22• 103

Plato Premiun 32• 2 • 103

Bebida 52• 10

Postre 103

A. $34 500B. $31 800C. $18 250D. $16 250

164

164

18

116

U7 20/10/09 11:07 Página 98

99Potencias

8. �� –1�2

• �� 0�2

es igual a:

A.

B.

C.

D.

9. Una camioneta transporta 1000 bandejas. Cadabandeja contiene 10 compartimientos, y en cadacompartimiento hay 10 sobres, ¿cuántos sobrestransporta la camioneta?

A. 105 sobresB. 104 sobresC. 103 sobresD. 102 sobres

10. (0,02)5 • � �4

• �(10)2�4

es igual a:

A. 2 000 000B. 20 000C. 0,02D. 0,0002

11. El triple de 3 • 104, amplificando 9 veces ydividido por 103, es igual a:

A. 10B. 81C. 810D. 27 000

12. �(–1)120• �(–1)121

• 1111�� : (–1)3 es igual a:

A. –1B. 0C. 1D. 3

13. ¿Cuántos cuadrados de lado 24 cm puedenobtenerse de una cartulina que mide 24 cmy 27 cm?

A. 4 cuadradosB. 8 cuadrados C. 27 cuadradosD. 28 cuadrados

14. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base ABmide 32

• 22• 102 cm y la altura CD mide

0,000009 cm?

A. 0,081 cm2

B. 0,012 cm2

C. 0,0162 cm2

D. 0,324 cm2

15. � �–2

es igual a:

A. 1B. 2C. 8D. 16

16. El año 1900 a través del censo se registró en unaciudad una población de 20 000 personas, el año1930 fue de 60 000; 30 años después de 180 000personas. Si el aumento se mantiene constante,entonces, para el año 2020 se puede estimar unapoblación de:

A. 540 000 personasB. 720 000 personas C. 1 440 000 personasD. 1 620 000 personas

�(–2)4 • 8–2• 23�2

(2–1 • 8–1)–1

48

254

252

425

225

48

52

U7 20/10/09 11:07 Página 99

UNIDAD

Unidad 8100

Cuadro sinóptico

8Movimientos en el plano

CMO



– Transformaciones geométricas. (Págs. 176 y 177)

– Traslación. (Págs. 178 y 179)

– Reflexión. (Págs. 180 y 181)

– Teselaciones. (Págs. 184 y 185)

• Realización de traslaciones,reflexiones y rotaciones defiguras geométricas planas através de construcciones conregla y compás y empleandoun procesador geométrico,discusión acerca de lasinvariantes que se generan alrealizar estas transformaciones.

• Construcción de teselacionesregulares y semirregulares yargumentación acerca de lastransformaciones isométricasutilizadas en dichasteselaciones.

– Rotación. (Págs. 182 y 183)



• Uso del computador. (Pág. 190)



UNIDAD

– Usando un software geométrico.

– Uso de un software geométrico. (Págs. 186 y 187)

– Aplicación de transformaciones isométricas.

U8 20/10/09 11:13 Página 100

Movimientos en el plano 101


• Caracterizan transformaciones de figuras geométricas planas y reconocenalgunas de sus propiedades.



• Desarrollar la capacidad para resolverproblemas, la creatividad y lascapacidades de autoaprendizaje.

• Efectúan traslaciones de figuras geométricas planas.

• Efectúan reflexiones de figuras geométricas planas.

• Efectúan rotaciones de figuras geométricas planas.

• Aplican transformaciones isométricas sucesivas para construir teselaciones.

• Reconocer la aplicación de transformaciones isométricas. Caracterizartransformaciones isométricas realizadas a figuras geométricas.

• Desarrollar la iniciativa personal y eltrabajo en equipo.

• Utilizan un software geométrico para construir transformacionesisométricas.

U8 20/10/09 11:13 Página 101

Unidad 8102



• Maurits Cornelius Escher (1898-1972) es uno de los artistas gráficos másreconocidos en el mundo. Sus trabajos articulan la geometría con sufascinación por el infinito. Algunas de las más famosas obras de esteartista pueden encontrarse en diferentes sitios webs, por ejemplo:http://www.mcescher.com Además, sus obras se pueden apreciar enalgunas de sus publicaciones, tales como el libro: Estampas y dibujos,(Editorial Taschen, 2000).


En años anteriores, los alumnos y alumnas estudiaron diferentes tipos de polígonos, sus características yclasificaciones (según la medida de sus lados y según la medida de sus lados y ejes de simetría). El objetivode esta unidad es que los estudiantes apliquen los conocimientos geométricos adquiridos en cursosanteriores para identificar, reconocer y construir transformaciones isométricas de figuras planas(traslaciones, reflexiones, y rotaciones). Con el objetivo de lograr mejores aprendizajes, se incluyen actividades relacionadas con la utilización desoftwares geométricos para realizar diferentes transformaciones isométricas, especialmente teselaciones,facilitando la visualización de las transformaciones realizadas, vinculando de esta manera la matemática yla tecnología.


Mapa conceptual

Movimientos en el plano

Teselaciones

Polígonos regulares Polígonos irregulares

Centro derotación

Ángulo derotación

Transformaciones no isométricas

Transformaciones isométricas

Vector detraslación

RotacionesTraslaciones Reflexiones

Eje de simetría

U8 20/10/09 11:13 Página 102


Transformaciones geométricas (páginas 174 y 175)

• En los ejercicios se pide a los alumnos que midan ángulos utilizandotransportador, es posible que algunos alumnos no sepan o no recuerdencómo medir ángulos utilizando este instrumento. Para evitar esteproblema, previo al desarrollo de los ejercicios, sería convenienterecordar el uso del transportador.


• Antes de comenzar a estudiar los diferentes tipos de transformacionesisométricas, es necesario que sus alumnos y alumnas sepan identificar unatransformación isométrica y una transformación no isométrica. Parareforzar esta diferenciación se propone la siguiente actividad previa.


• Pedir a los alumnos que realicen la siguiente actividad:

- A cada una de las siguientes figuras aplica una transformación isométrica y una transformación no isométrica.

Actividades previas

• Para continuar motivando a los alumnos(as) muestre otras imágenes enlas cuales se puedan reconocer transformaciones de figuras geométricas.Para guiar el trabajo puede plantear las siguientes preguntas:

- ¿Qué figuras observas en la imagen?- ¿Se repiten algunas de estas figuras?- ¿Qué elementos de las imágenes variaron al repetirlas?


- Indica qué cambió y qué se mantuvo en cada una de las transformaciones realizadas.

- Intercambia las transformaciones que realizaste con tu compañero(a). ¿En qué se diferencian las transformaciones realizadas por ambos?

U8 21/10/09 10:22 Página 103

Unidad 8104

• Una reflexión, también denominada simetría axial, es unatransformación isométrica en la cual cada punto de la figura reflejada seasocia a otro punto llamado imagen. El punto imagen tiene lassiguientes características:

- El punto y su imagen están a igual distancia de una línea recta llamadaeje de simetría.

- El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje desimetría.

Reflexión (páginas 178 y 179)


• Para ayudar a los alumnos(as) que presentan mayor dificultad, sepropone entregar papeles cuadriculados con algunas figuras dibujadas yluego pedirles que realicen lo siguiente:

- Mueve la figura 5 cuadraditos al norte.- Mueve la figura 3 cuadraditos al oeste.- Mueve la figura 1 cuadradito al este.- Mueve la figura 6 cuadraditos al sur.

Para la realización de la actividad anterior es recomendable repasar con losalumnos la posición de cada punto cardinal (utilización de la rosa de losvientos).


Traslación (páginas 176 y 177)

• Para introducir este contenido es recomendable realizar una indagaciónacerca de las ideas previas que presentan los alumnos respecto a latraslación. Para esto se sugiere realizar y discutir acerca de las siguientespreguntas:

- ¿Qué significa para ti trasladar una figura?- ¿Crees que al trasladar una figura esta cambia?, ¿qué cambia?

Actividad previa

• Pedir a los alumnos(as) que revisen las reflexiones realizadas en lasección “Practica” utilizando un espejo. Para esto es recomendableexplicar a los estudiantes qué procedimiento deben realizar.

Tarea


U8 20/10/09 11:13 Página 104


• Pida a los estudiantes que recorten un triángulo cualquiera, luego pidaque intenten cubrir una superficie dada utilizando solo triángulos deiguales medidas al recortado. Pida a los alumnos que evalúen si fueposible realizar la actividad anterior, ¿qué dificultades tuvieron?

Teselaciones (páginas 182 y 183)

Actividades previas

• Para profundizar el contenido, plantee lo siguiente:

- Al rotar una figura, ¿se mantiene el paralelismo entre sus segmentos?- Al rotar una figura, ¿se mantienen las medidas de sus ángulos?- Al rotar una figura, ¿se mantienen las medidas de sus segmentos?


• Para que sea posible realizar una teselación regular, la medida del ángulointerior del polígono regular debe ser un divisor de 360º. Los polígonos regulares con los cuales siempre es posible realizar unateselación son: el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular.


Rotación (páginas 180 y 181)

• Para trabajar el concepto de rotación explicar a los alumnos(as) que laslongitudes de los arcos dependen de la distancia al centro de giro y quela medida de un ángulo no depende de la longitud del arco.

• Es importante mencionar que una rotación cuyo ángulo de giro es 180ºen torno a un centro de rotación también se conoce como simetríacentral.


• Es importante hacer notar a los alumnos y alumnas la importancia depoder utilizar un software computacional, ya que este recursotecnológico permite una mejor visualización del comportamiento de lasdiferentes transformaciones isométricas estudiadas.

• Para un mejor desarrollo de las actividades propuestas en estas páginas,es fundamental destacar la importancia de comprender cada uno de losconceptos trabajados en la unidad, como también haber realizado losdiferentes tipos de transformaciones isométricas en forma manual.

• Existen varios softwares geométricos de uso gratuito, estos pueden serdescargados desde Internet, por ejemplo, GeoGebra, es muy sencillo deusar, y puede ser descargado desde el sitio http://www.geogebra.org

Usando un software geométrico (páginas 184 y 185)


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• Reconocer las características de una transformación isométrica, tales como traslaciones, reflexiones yrotaciones, identificando qué cambia y qué se mantiene al aplicar cada una de ellas. (Preguntas 1, 2, 3, 4 y 5; pág. 192).

• Identificar los polígonos con los cuales es posible construir una teselación. (Preguntas 6, 7; pág. 192

y pregunta 8; pág. 193).

• Construir una teselación con ciertos criterios dados. (Pregunta 9; pág. 193).

Objetivos evaluados

Unidad 8106



• Se recomienda que cada vez que los alumnos se enfrenten a unproblema matemático ponga énfasis en la comprensión del problema,discriminación de los datos, uso de estrategias, el resultado que se debeobtener y la interpretación del resultado obtenido en función delcontexto. Para lo anterior les puede plantear preguntas como lassiguientes:

- ¿Cómo resolviste el problema?, ¿qué procedimientos utilizaste?, ¿podrías explicarlos?

- ¿La respuesta obtenida es válida para el contexto del problema?

A continuación es recomendable generar un debate acerca de lasdiferentes maneras de resolver un problema, de modo que los alumnospuedan compartir diversas estrategias que se pueden utilizar pararesolver una misma situación.



• Para poder trazar segmentos en el geoplano trabajado en esta página, sedebe hacer clic en los puntos que lo determinan. Del mismo modo, paraconstruir un polígono se deben seleccionar con el mouse cada uno de losvértices que lo forman, una vez seleccionados, automáticamenteaparecerá el color (este puede ser cambiado en el extremo inferiorizquierdo).


• Pida a los alumnos(as) que impriman las teselaciones realizadas, puedenintercambiarlas y compararlas con las realizadas por sus compañeros(as),determinando cuál es el patrón de cada una de ellas.



U8 20/10/09 11:13 Página 106


• Preguntas 1, 2, 3, 4 y 5; pág. 192: responde correctamente tres de los cinco ejercicios formulados.

• Preguntas 6, 7; pág. 192 y pregunta 8; pág. 193: responde correctamente dos de los tres ejerciciosformulados.

• Pregunta 9; pág. 193: responde correctamente el ejercicio formulado.

Criterios de logro

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108

Evaluación 8

Unidad 8


1. Indica cuál de las siguientes alternativas nocorresponde a una transformación isométrica.

A. Traslación.B. Ampliación.C. Rotación.D. Reflexión.

2. ¿Qué transformación isométrica se realizó a lasiguiente figura?

A. Rotación.B. Reflexión.C. Traslación.D. Ninguna de las anterirores.

3. Se puede teselar un plano usando:

A. Pentágonos regulares.B. Circunferencias.C. Triángulos equiláteros.D. Heptágonos regulares.

4. ¿Con cuál de las siguientes figuras es posibleteselar el plano?

A. B.

C. D.

5. ¿Cuál de los siguientes polígonos tiene dos ejesde simetría?

A. Un triángulo equilátero.B. Un cuadrado. C. Un rectángulo.D. Un trapecio isósceles.

6. Una teselación semirregular está formada por:

A. Un polígono regular.B. Un polígono regular y otro no regular.C. Dos polígonos regulares.D. Un polígono cualquiera.

7. La transformación isométrica que se muestra acontinuación corresponde a:

A. Una rotación. B. Una traslación.C. Una reflexión.D. No es transformación isométrica.

D E

F

D´ E´

F´

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109Movimientos en el plano

8. La transformación isométrica que se muestra acontinuación corresponde a:

A. Una rotación.B. Una traslación.C. Una reflexión.D. No es una transformación isométrica.

9. La siguiente figura se trasladó:

A. Dos cuadrados hacia el norte y tres cuadros hacia el este.

B. Dos cuadrados hacia el norte y tres hacia el oeste.

C. Dos cuadrados hacia el sur y tres cuadros haciael este.

D. Otra traslación.

10. ¿Cuál de la siguientes corresponde a unatransformación geométrica, pero no a unatransformación isométrica?

A. Una simetría.B. Una rotación.C. Una reducción.D. Un giro.

11. De las siguientes características no corresponde auna rotación:

A. Todos los puntos de la figura se mueven en torno a un punto fijo.

B. Se realiza respecto a un ángulo.C. La figura no cambia su forma.D. Es posible que la figura cambie su forma.

12. Las teselaciones regulares pueden:

A. Estar compuestas por cualquier polígono regular.

B. Ser deformaciones del triángulo equilátero.

C. Estar formados por dos o más polígonos regulares.

D. Estar formadas por hexágonos regulares.

13. Las siguientes imágenes corresponden a:

A. Una rotación. B. Una teselación regular.C. Una teselación semiregular.D. Una teselación no regular.

o

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UNIDAD

Unidad 9110

Cuadro sinóptico

9Tratamiento de la información

CMO Contenidos de la unidadEstructura de la unidad

• Tablas de frecuencia absoluta.

– Interpretación de gráficos. (Págs. 194 y 195)

– Interpretación de tablas. (Págs. 196 a 198)

– Construcción de tablas para datosagrupados. (Pág. 199)

– Media aritmética y moda para datosagrupados. (Págs. 200 y 201)

– Censo (Págs. 202 y 203)

– Muestreo (Págs. 204 y 205)

– Análisis de encuestas. (Págs. 206 a 209)

– La probabilidad. (Págs. 210 y 211)

– Sucesos equiprobables. (Págs. 212 y 213)

– Regla de Laplace (páginas 214 y 215)

• Lectura e interpretación de gráficos.

• Construcción de gráficos.

• Resolución de problemas en los cualeses necesario interpretar información apartir de tablas de frecuencia con datosagrupados en intervalos, tomados dediversas fuentes o recolectadosmediante experimentos o encuestas.

• Construcción de tablas de frecuenciacon datos agrupados en intervalos, enforma manual y mediante herramientastecnológicas, a partir de diversoscontextos y determinación de la mediaaritmética y moda en estos casos.

• Discusión respecto de la importancia detomar muestras al azar en algunosexperimentos aleatorios para inferirsobre las características de poblaciones,ejemplificación de casos.

• Análisis del comportamiento de unamuestra de datos, en diversos contextos,usando medidas de tendencia central yargumentación acerca de la informaciónque ellas entregan.

• Análisis de ejemplos en diversassituaciones donde los resultados sonequiprobables, a partir de la simulaciónde experimentos aleatorios mediante eluso de herramientas tecnológicas.

• Identificación del conjunto de losresultados posibles en experimentosaleatorios simples (espacio muestral) yde los eventos o sucesos comosubconjuntos de aquél, uso del principiomultiplicativo para obtener lacardinalidad del espacio muestral y delos sucesos o eventos.

• Asignación en forma teórica de laprobabilidad de ocurrencia de unevento en un experimento aleatorio,con un número finito de resultadosposibles y equiprobables, usando elmodelo de Laplace.

UNIDAD


• Páginas de desarrollo decontenidos. (Págs. 194 a 215)

• Más problemas. (Págs. 216 y 217)


• Síntesis. (Págs. 219)


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Tratamiento de la información 111


• Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico yel sentido de crítica y autocrítica.

• Desarrollar la capacidad de juicio yaplicar criterios morales a problemas del medioambiente, económicos, sociales y de la vida diaria.


• Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criteriosmorales a problemas del medio ambiente,económicos, sociales y de la vida diaria.

• Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criteriosmorales a problemas del medio ambiente,económicos, sociales y de la vida diaria.

• Reconocer la importancia del trabajo como formade desarrollo personal, familiar y social.


• Desarrollar la capacidad de juicio yaplicar criterios morales a problemas del medioambiente, económicos, sociales y de la vida diaria.


• Desarrollar la capacidad de resolver problemas, lacreatividad y las capacidades de autoaprendizaje.

• Analizan críticamente información estadística, identifican lasfuentes y opinan sobre la representatividad de las muestras.

• Analizan críticamente información estadística, identifican lasfuentes y opinan sobre la representatividad de las muestras.

• Construyen tablas de datos agrupados según informaciónentregada en distintas situaciones contextualizadas.

• Analizan situaciones en las que la información se obtienemediante un censo.

• Infieren características de una población a partir de una muestra

• Leen y analizan críticamente resultados de encuestas de opinión.

• Analizan ejemplos en diversas situaciones a partir deexperimentos aleatorios.

• Analizan ejemplos en diversas situaciones a partir deexperimentos aleatorios, donde los resultados son equiprobables.

• Asignan en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de unevento en un experimento aleatorio, usando regla de Laplace.

• Obtienen información a partir de un conjunto de datos.

• Trabajan con las medidas de tendencia central.

• Interpretan distintos tipos de gráficos.

• Trabajan con frecuencias absolutas y relativas.

• Leen, analizan y obtienen información a partir de tablas paradatos agrupados.

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Unidad 9112


• Después de un día de ventas en un almacén, don Pepe, su dueño, realizael recuento de algunos productos vendidos. Durante el día vendió 5 kgde azúcar, 20 kg de pan, 3 litros de aceite, 10 botellas de bebida y 6panes de margarina. Construye una tabla y ayúdale a Don Pepe a ordenar el registro de su venta.


Actividad previa

En esta última unidad del texto se pretende formalizar algunas técnicas acerca del manejo de lainformación, tales como el registro de datos a través de un proceso ordenado (recolección, conteo,tabulación y representación gráfica). Para esto se profundiza en el estudio e interpretación de diferentestipos de gráficos y tablas.Dado que el manejo de la información es un elemento latente en la cotidianidad de los alumnos, seplantean elementos necesarios para que ellos puedan analizar encuestas, utilizando para esto informaciónverídica extraída de diversas fuentes. Respecto al uso del computador, se incluyen actividades utilizandouna planilla Excel, de manera que los alumnos pongan la tecnología al servicio de sus aprendizajes.


Mapa conceptual

Tratamiento de la información

Interpretación de gráficos Interpretación de tablas

Gráficode barras

Gráficocircular

Pictograma Histograma Frecuenciarelativa

Frecuenciarelativa

porcentual

Frecuenciaabsoluta

ProbabilidadSucesos equiprobables

Regla de Laplace

Promedio

Moda

Censo Muestreo

Análisis de encuestas

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• Trabajar y discutir con los(as) alumnos(as) el siguiente problema:Carlos obtuvo en una prueba los siguientes puntajes: 7, 3, 8, 2 y 5.¿Puedes compensarlos para saber cuál es el puntaje medio que obtuvo?El objetivo de este problema es introducir el concepto de mediaaritmética a través de la compensación.

• En un campeonato de fútbol se recabó la siguiente información:– La cantidad de partidos jugados en las distintas fechas fueron:

4, 3, 2, 2, 4 y 1.– La cantidad de goles por partido fueron los siguientes:

3, 4, 6, 2, 1, 0, 6, 3, 2, 1, 6, 3, 2, 1, 7 y 4.– Los jugadores expulsados por partido fueron:

0, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 1, 1 y 2.Contesta las siguientes preguntas: ¿Cuál es la media de los goles porpartido? ¿Cuál es la moda de los jugadores expulsados?¿Qué explicacióndas a la mediana de la cantidad de partidos jugados?


• Comentar con los(as) alumnos(as) las siguientes preguntas: ¿Conocenalgún tipo de gráfico? ¿Dónde los han visto? ¿Para qué sirven?

Interpretación de gráficos (páginas 194 y 195)

Actividades previas

• Los diferentes medios de registro de información (tablas y gráficos) sonmuy útiles para la comprensión de los sucesos que se miden. El registroen tablas permite organizar por categorías la cantidad de sucesos quecorresponden a aquella categoría, lo cual da una idea parcial de lo queocurre con cada una de ellas. Además, es muy conveniente, pues facilitael proceso de construcción de gráficos.

• Más allá del cálculo de las diferentes medidas de tendencia central, lorelevante es que los(as) alumnos(as) puedan usarlas para interpretar yexplicar algún determinado fenómeno de la realidad. Por ello esimportante relacionar estas medidas entre sí, y no dejarlas aisladas en elanálisis. Si se desea ir más allá, es conveniente analizar qué ocurre con lamedia cuando hay datos extremos en la muestra (sensible a datosextremos) y comparar con la mediana (más estable que la media cuandohay datos extremos en la muestra). En esa línea es conveniente señalar que la moda representa el suceso de mayor frecuencia, pensando enconectarlo con lo que viene más adelante, específicamente en lo que serefiere a tablas y gráficos.


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Unidad 9114


• En la siguiente tabla se muestra la cantidad de alumnos y alumnasseleccionados en diversos talleres culturales de un colegio.

Interpretación de tablas (páginas 196 a 198)


Taller

Artesanía

Guitarra

Pintura

Flauta

Grabado

Canto

Cantidad de alumnos (as)

28

45

15

18

29

13

• En siete empresas distintas se realizó una encuesta que abordaba lapercepción del clima laboral. El gráfico presenta los porcentajes que seobtuvieron en cada una.

Analízalo y contesta las preguntas que se plantean a continuación.– ¿Qué título le pondrías al gráfico? ¿Cómo designarías el eje vertical y el

horizontal?– ¿Cuáles son las empresas en donde la mayoría de la gente percibe un

mejor y peor clima laboral?– ¿En qué empresa es más alto el porcentaje de empleados que considera

tener un clima laboral medio?– ¿En cuántas empresas, más de la mitad de los empleados consideran

tener un clima laboral bueno?– ¿En cuántas empresas, solo entre el 10% y 50% de los empleados

considera tener un clima laboral medio?


Empresa 1 Empresa 2 Empresa 3 Empresa 4 Empresa 5 Empresa 6 Empresa 7

100%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

0%

Buen clima laboral Clima laboral medio Mal clima laboral

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• El rango es un buen indicador de la dispersión de los datos cuando sepresentan dos valores que se alejan demasiado de los otros valores, puesen esta caso se podría pensar erróneamente que los datos están muydispersos, cuando en realidad no lo están.

• Es importante trabajar con los estudiantes preguntas de análisis como lasplanteadas al terminar este contenido.

Construcción de tablas para datos agrupados (página 199)


A partir de esta información, ¿cuántos alumnos y alumnas quedaronseleccionados en talleres relacionados con la música? ¿Y cuántos entalleres relacionados con otras expresiones artísticas?

• Los siguientes datos corresponden a la duración, en horas, del usocontinuo de 50 ampolletas iguales, para ser sometidas a un control decalidad.

a. ¿Cuál es el rango de este conjunto de datos?b. Si se agruparan en siete intervalos, ¿cuál sería el tamaño del intervalo

correspondiente?c. Construye una tabla de frecuencias, con los datos agrupados en siete

intervalos, considerando la frecuencia absoluta, frecuencia acumulada y frecuencia relativa.

d. ¿Cuántas ampolletas tienen una duración de menos de 576 horas?e. ¿Cuántas ampolletas tienen una duración de 700 horas o más?


480 496 724 780 801570 802 795 886 714775 712 683 830 560826 560 794 676 760890 590 750 489 725666 746 668 880 570830 452 810 720 680680 660 490 895 660720 793 870 715 708710 679 762 793 751

Media aritmética y moda para datos agrupados (páginas 200 y 201)

• Utilizando los datos acerca del control de calidad de las ampolletas: a. Construye una tabla de frecuencias, con los datos agrupados en siete

intervalos, considerando la frecuencia absoluta y la marca de clase correspondiente.

b. Calcula su media aritmética y su moda.


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116


Unidad 9

• Junto con el trabajo de obtener el valor de la media aritmética y lamoda, mediante las fórmulas presentadas, es esencial saber interpretarestos valores en la situación plateada.

• En la fórmula para obtener el valor de la moda, recordar que el tamañode cada intervalo debe ser el mismo, de no ser así no se puede utilizaresta fórmula.


Censo (páginas 202 y 203)

• El censo más conocido en Chile es el censo de población y vivienda, sinembargo se sugiere aclarar a sus estudiantes que no es el único. Porejemplo, existe el censo agropecuario y forestal, que se realizó porúltima vez el año 2007, y tiene por finalidad conocer obtenerantecedentes más estables en el tiempo acerca de las principalescaracterísticas agrícolas, ganaderas y forestales del país.

• El Instituto Nacional de Estadísticas de Chile publicó un libro sobre lahistoria de los censos en Chile, llamado “Retratos de nuestra identidad:Los Censos de Población en Chile y su evolución histórica hacia elBicentenario”. Esta publicación presenta a través de un enfoque sencilloy pedagógico un balance cronológico de la evolución del ejercicio censal.El libro cuenta con el patrocinio de la Comisión Bicentenario y tienecomo objetivo central determinar cómo los censos reflejan la realidadchilena. Puede acceder al libro a través de Internet, en la dirección:http://www.ine.cl/canales/usuarios/cedoc_online/flip_ine/


Muestreo (páginas 204 y 205)1. Decide en cada caso si es más conveniente estudiar una muestra o la

población, es decir, si es necesario realizar un censo. Justifica tu decisión.a. La vida útil de las ampolletas que fabrica cierta empresa.b. La estatura promedio de los estudiantes entre 10 y 12 años en Chile.c. El color de pelo de un grupo de siete personas.d. El deporte favorito de los estudiantes de un colegio.e. Los efectos de un medicamento para cierta enfermedad.


• Es importante aclarar a sus estudiantes que para que los resultadosobtenidos a partir del estudio de una muestra sean válidos para toda lapoblación, es decir, para que podamos concluir aspectos sobre lapoblación a partir de los resultados de la muestra, esta debe serrepresentativa de la población. Para determinar si una muestra esrepresentativa, se deben cumplir ciertos requisitos, por ejemplo, se debedeterminar el tamaño de muestra necesario para el estudio. Para que susestudiantes comprendan mejor esto puede comentar con ellos lasiguiente situación:


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• Comentar con los(as) alumnos(as): ¿Alguna vez han contestado unaencuesta? ¿De qué temas tratan? ¿Son largas o cortas? ¿Qué medios seutilizan para realizar encuestas (papel, teléfono, páginas Web)?

Análisis de encuestas (páginas 206 a 209)

Actividades previas

• En grupos de tres, los(as) alumnos(as) deben elaborar una encuestaque plantee ciertas preguntas clave sobre temas como medio ambiente,cultura, deportes, etc. La encuesta debe contener los indicadores de sexoy edad, y tendrán que aplicarla a 30 personas. Es importante que laformulación de las preguntas se haga de manera clara y precisa, paraque las respuestas sean predecibles y clasificables, y sea fácil tabular losresultados de cada una (las preguntas no deben ser más de 10). Evitar lasrespuestas abiertas, pues su tabulación es más compleja y subjetiva quelas preguntas de respuesta cerrada.Cada grupo de respuestas se debe organizar en tablas de frecuencias ygráficos circulares (porcentuales) o de barras. Finalmente los(as)alumnos(as) expondrán sus trabajos al curso con conclusiones claras yrelevantes respecto de las preguntas iniciales que se plantearon.


– Se desea saber el número de horas que los y las estudiantes de 8º Básico en Chile dedican a hacer deporte, para esto se selecciona una muestra que considera los alumnos de 8º Básico de tres colegios distintos de la Región Metropolitana.

En este ejemplo, esta muestra no es representativa, ya que no se puedeinferir sobre el número de horas que los y las adolescentes de Chilededican a hacer deportes con los resultados obtenidos de solo losalumnos (varones) de tres colegios. Además, es necesario que la muestraabarque todo el territorio nacional, ya que puede que existan diferenciassignificativas entre los y las adolescentes que viven tanto en diferentesregiones de Chile, como en condiciones distintas, por ejemplo, si viven enzonas urbanas o rurales.

• La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente,con el tamaño de esta, sino con la capacidad de reproducir a pequeñaescala las características de la población. Si los individuos que componenel universo son muy distintos entre ellos tenderemos a tomar unamuestra de tamaño más grande que en el caso de que los individuos quecomponen el universo sean similares.

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118


Unidad 9

• Buscar información sobre el último censo realizado en Chile (año 2002) yanalizar los resultados sobre la cantidad de población respecto del censoanterior, realizado el año 1992. En la siguiente página encontrará lainformación necesaria para desarrollar la tarea: www.ine.cl . No olvidarque las direcciones o su contenido pueden variar.

Tarea

• Las encuestas son utilizadas para distintos tipos de estudios estadísticos,como los censos y los estudios de marketing. Los censos los realizanlos países para recopilar información sobre la población que vive allí,sus hábitos de vida, de consumo, etc. Los estudios de marketing losrealizan las empresas para saber cómo están siendo usados sus productosen el mercado, y cuál es la percepción de los consumidores respecto deellos.Para realizar un buen análisis de las encuestas hay que contraponer lashipótesis planteadas con los resultados que arroja, de manera deobservar qué ocurre con el fenómeno que se está midiendo.


• Como este contenido no ha sido revisado en cursos anteriores, estrascendental que el docente comience con actividades lúdicas ymotivantes. Pueden ser las siguientes:- Llevar una bolsa con varias bolitas de colores y hacer apuestas con los

alumnos: ¿qué bolita crees que sacaré? ¿A qué color de bolita apuestas? Pedir que fundamenten todas sus respuestas.

- La misma actividad anterior invita a la formalización de la terminologíade probabilidad (términos que son revisados en estas páginas), tales como seguro, imposible, casi posible, etc. Se propone dar ejemplos de la vida cotidiana de acontecimientos que se clasifiquen según seguro, casi seguro, bastante seguro, bastante probable, probable, poco probable, casi imposible e imposible.

La probabilidad (páginas 210 y 211)


• Algunos de los términos pueden ser encontrados con diferentesnombres, esto dependerá de la bibliografía revisada, por ejemplo,experimento determinístico o suceso determinístico o eventodeterminístico. Experimento aleatorio, suceso aleatorio o eventoaleatorio. Todos ellos responden a las mismas características.

• Los conceptos de frecuencias relativa y absoluta han sido trabajados enel contenido de estadística, por lo que tienen ideas previas de lo quepuede significar. La relevancia de tratar estos conceptos, está entre otras,en sustentar de manera empírica el cálculo de probabilidad. Para esto serecomienda trabajar con material concreto: monedas, dados, etc.Lo importante es que los alumnos logren hacer tablas, calcular las

Tarea

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frecuencias y concluir regularidades.• Es significativo que los estudiantes manejen distintas representaciones de un

número racional, de esta manera, la probabilidad puede ser interpretada dediferentes formas, y no solo como un porcentaje. Esto permitirá lacomprensión de la cuantificación de la probabilidad (cuantificación de lacerteza). Ejemplificación con actividades intuitivas para los alumnos, comopor ejemplo, al lanzar una moneda, quiero que salga cara. ¿Quéposibilidades de ganar tengo? Tenemos un 50% ó ó 0,5.1

2

• En general, para trabajar todas las actividades planteadas en estaspáginas, hay que enfatizar que dos o más sucesos son equiprobables solocuando tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo, si en unaurna hay 4 bolitas rojas y 7 bolitas negras, y me preguntan: ¿qué color debolita es la que tiene la mayor probabilidad de ser extraída?, claramentetiene mayor probabilidad de salir, una bolita negra que una roja. Estasituación podría llevar a pensar que no son sucesos equiprobables, sinembargo, hay que recalcar que si bien las bolitas de color negro tienenmayor probabilidad de salir, la equiprobabilidad está dada porque cadabolita, independiente del color, tienen la misma probabilidad de serextraídas.

• La aclaración anterior es fundamental para entender el porqué se aplicala Regla de Laplace para este tipo de eventos.

Sucesos equiprobables (páginas 212 y 213) y Regla de Laplace (páginas 214 y 215)


• Las siguientes actividades pueden ser planteadas para aquellos estudiantesque no presentan mayor dificultad con el contenido de probabilidad.a. Al lanzar 2 monedas el aire simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad

que salga al menos un sello? - Una moneda tiene 2 posibilidades de resultado (espacio muestral del

lanzamiento de una moneda) al ser lanzada: “sale cara” o “sale sello”.

- Simbolizaremos de la siguiente manera: C: cara, S: selloMoneda 1: {C , S} Moneda 2: {C , S}

- Por lo tanto, al ser lanzada dos monedas simultáneamente se dan las siguientes combinaciones: {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)}. Es decir, 4 posibilidades (espacio muestral del lanzamiento de dos monedas).

- Luego, se pregunta la probabilidad de que salga al menos un sello. Observando el espacio muestral de ambas monedas contamos 3 posibilidades que salga sello, de un total de 4.

- Entonces, al ser lanzada dos monedas simultáneamente la probabilidad de obtener un sello es de

b. Se lanzan dos dados, uno rojo y otro verde. ¿Qué resultado es el que tiene mayor probabilidad?

Actividad complementaria

34

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Unidad 9120


• La resolución de problemas en estadística requiere de habilidades queapuntan a la reflexión y análisis de los datos obtenidos. No basta concomprobar la solución, como podría suceder en los problemas de planteoy resolución de ecuaciones, sino además se deben interpretar y organizarlos resultados, de modo tal que al comunicarlos sean entendibles porcualquier tipo de público, los gráficos simples y claros son muyimportantes en este proceso.


• El curso de Felipe realizó un estudio sobre las costumbres alimenticiasque tienen sus profesores. Los resultados fueron los siguientes:

¿Cómo puede saber Felipe con qué grafico es mejor resumir lainformación que está en la tabla?



Comida casera

Comida rápida

Ensaladas

Carnes

Hombres

10

25

5

20

Mujeres

15

10

30

15

Interesa observar al producto del puntaje obtenido en los dados, es decir, A: producto del puntaje de los dados. Los posibles resultados se muestran en la tabla:

Luego, la probabilidad de que ocurra el evento A dado, es:

P(A = 1) = 1/36 0,028 P(A = 8) = 2/36 0,06 P(A = 18) = 2/36 0,06

P(A = 2) = 2/36 0,06 P(A = 9) = 1/36 0,028 P(A = 20) = 2/36 0,06

P(A = 3) = 2/36 0,06 P(A = 10) = 2/36 0,06 P(A = 24) = 2/36 0,06

P(A = 4) = 3/36 0,08 P(A = 11) = 4/36 0,11 P(A = 25) = 1/36 0,028

P(A = 5) = 2/36 0,06 P(A = 15) = 2/36 0,06 P(A = 30) = 2/36 0,06

P(A = 6) = 4/36 0,11 P(A = 16) = 1/36 0,028 P(A = 36) = 1/36 0,028

Como se puede observar, la mayor probabilidad corresponde a P(A = 6) yP(A = 12), es decir, obtener como resultado del producto 6 ó 12.

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 10 12

3 3 6 9 12 15 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 36

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

U9 13/10/09 12:45 Página 120

• Copiar la siguiente tabla en una planilla Excel y obtener la mediautilizando la fórmula que este programa tiene incorporada. Cadacolumna representa la cantidad de poleras de color que tienen 3integrantes de una familia.

– ¿Cuál es la media correspondiente a las poleras de color amarillo? ¿Y de color blanco?

– ¿Cuál es la media correspondiente a las poleras de color azul? ¿Y de color verde?

– ¿Qué quiere decir que la media obtenida en las poleras de color negro sea 3?


• Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Qué programas computacionalesconocen? ¿Cuáles manejan con mayor facilidad? ¿Saben la diferenciaentre un procesador de textos y una planilla de cálculo?


Actividades previas


Papá

Mamá

Hijo

Azul

3

2

4

Amarillo

1

5

6

Verde

1

0

8

Blanco

0

2

1

Negro

2

1

6

• Que los(as) alumnos(as) investiguen en Excel cuáles son los distintos tiposde gráficos que tiene incorporado, de qué forma están agrupados losdatos y cómo se lee la información que entregan.

Tarea

• Obtener información a partir de un conjunto de datos. (Preguntas 1, 2 y 3; pág. 220)• Interpretar distintos tipos de gráficos. (Preguntas 5 y 6; pág. 220. Preguntas 1 y 2; pág. 221)• Trabajar con frecuencias absolutas y relativas. (Preguntas 4, 7 y 8; pág. 220)


Objetivos evaluados

• Preguntas 1, 2 y 3; pág. 220: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.• Preguntas 5 y 6; pág. 220. Preguntas 1 y 2; pág. 221: responden correctamente al menos tres actividades

planteadas.• Preguntas 4, 7 y 8; pág. 220: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.

Criterios de logro

• Es importante reforzar aquellos ítems que no fueron logrados por losalumnos. Sería recomendable pedir a cada uno que revise y detecte suserrores y luego invente dos preguntas similares a las que resolvióerróneamente.

Reforzamiento

U9 22/10/09 16:59 Página 121

122

Evaluación 9

Unidad 9


Los resultados corresponden a una encuesta acercade la preferencia de ganador para un reality detelevisión. Observa los datos y luego responde laspreguntas 1, 2, 3, 4 y 5.

L, R, R, X, L, X, X, F, H, L, X, F, R, H, F, X, X, X, L, X, X,R, R, L, X, R, H, X, R, F

(L) Leonardo, (R) Rodolfo, (X) Ximena, (F) Félix,(H) Hernán

1. ¿Cuál es el total de personas encuestadas?

A. 40 personasB. 35 personasC. 30 personasD. 25 personas

2. ¿cuál de los postulantes obtuvo más votos?

A. LeonardoB. RodolfoC. XimenaD. Félix

3. ¿Cuál es el que menos votos registró?

A. LeonardoB. RodolfoC. XimenaD. Hernán

4. ¿Cuántos votos más obtuvo Ximena que Rodolfo?

A. 5 votosB. 4 votosC. 3 votosD. 2 votos

5. ¿Qué tabla resume la información anterior demanera correcta?

A. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality?

Nombre Conteo

Leonardo /////Rodolfo ///////Ximena 11Félix ////Hernán ///

Total 30

B. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality?

Nombre Conteo

Leonardo 5Rodolfo 7Ximena 10Félix 3Hernán 3

Total 30

C. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality?

Nombre Preferencia


Total 30

D. Nombre Conteo


Total 30

U9 13/10/09 12:45 Página 122


Observa la tabla que muestra las edades de un grupoque asiste a clases de guitarra. Luego responde laspreguntas 6 y 7.

Variable estadística (edad) Frecuencia

2 – 6 1

6 – 10 5

10 – 14 10

14 – 18 18

18 – 22 8

6. La media de las edades es:

A. 10,57 añosB. 12,57 añosC. 14,57 añosD. 16 años

7. La mediana y la moda respectiva de las edades delas personas del grupo están en el intervalo:

A. 14 – 18 añosB. 10 – 14 añosC. 6 – 10 añosD. 2 – 6 años

8. Si tu intención en el trimestre es sacarte un 6,0 depromedio en Matemática, ¿cuánto debes sacarteen la prueba final, que pondera un 30%, si lasnotas que tienes son: 6,2; 5,5 y 5,8?

A. 6,1B. 6,2C. 6,4D. 6,5

Observa la tabla y luego responde las preguntas9, 10 y 11.

Circulación y distribución del diario“El Metropolitano” en 1999

Región Unidades Región Unidadesvendidas vendidas

I 580 VII 720

II 430 VIII 1200

III 340 IX 600

IV 500 X 410

V 1500 XI 380

RM 38 640 XII 100

VI 600

9. ¿Qué cantidades de diarios se vendió en todo elpaís en 1999?

A. 38 000B. 42 000C. 46 000D. 48 000

10. Respecto al total, ¿Qué porcentaje se vendió en laRegión Metropolitana?

A. 60%B. 75%C. 80%D. 84%

11. En las tres regiones de menor venta, ¿cuánto sevendió en total?

A. 910 unidadesB. 890 unidadesC. 850 unidadesD. 820 unidades

U9 13/10/09 12:45 Página 123

124 Solucionario

Solucionario

1. C

2. C

3. D

4. B

5. D

6. A

7. B

8. D

9. A

10. D

11. B

12. B

13. D

14. C

15. C

16. C

17. A

18. C

Evaluación 1

Evaluación 2

Evaluación 3

1. C

2. A

3. D

4. C

5. D

6. D

7. C

8. D

9. B

10. A

11. B

12. A

13. A

Evaluación 4 1. D

2. D

3. C

4. B

5. B

6. B

7. C

8. A

9. B

10. D

11. D

12. B

13. C

1. B

2. C

3. C

4. B

5. D

6. C

7. B

8. C

9. C

10. B

11. D

12. B

13. A

14. A

Evaluación 5 1. D

2. D

3. B

4. A

5. C

6. B

7. D

8. B

9. B

10. A

11. B

12. C

13. B

14. C

15. A

16. D

Soluc Pág/112-114 13/10/09 12:46 Página 124

125Solucionario

1. B

2. C

3. C

4. A

5. C

6. C

7. C

8. C

9. A

10. C

11. D

12. D

13. C

Evaluación 7

1. C

2. C

3. D

4. B

5. C

6. C

7. A

8. C

9. C

10. D

11. D

Evaluación 9

Evaluación 6 1. A

2. D

3. B

4. B

5. B

6. B

7. A

8. D

9. A

10. D

11. C

12. C

13. A

14. B

15. C

16. D

Evaluación 8

1. C

2. D

3. D

4. B

5. B

6. C

7. B

8. B

9. A

10. C

11. C

12. C

13. B

14. C

15. D

16. D

Soluc Pág/112-114 13/10/09 12:46 Página 125

126

Sitios web

Bibliografía

Bibliografía

• Artigue, M. (1994). Una introducción a la didáctica de la matemática, en Enseñanza de la Matemática.Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE.

• Bermeosolo, J. (1994). Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción. Santiago: Documentos deapoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767.

• Brousseau, Guy. (1993). Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Traducción realizada porDilma Fregona (FaMAF), Universidad de Córdoba, y Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados, UNC,Argentina.

• Chevallard Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado, Buenos Aires, Aique.

• Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza yaprendizaje. Barcelona, Horsori.

• Figueroa, Lourdes. (2001). Para qué sirve medir. Cuadernos de Pedagogía, Nº 302, España.

• Flavell, John (1985). El desarrollo cognitivo y el aprendizaje. Madrid: Visor.

• Guzmán R., Ismenia. (2002). Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia UniversidadCatólica de Valparaíso, Chile.

• Mateos, Mar (2001). Metacognición y educación, Buenos Aires, Aique.

• MINEDUC. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica, Ministeriode Educación de Chile, 2001.

• National Council of Teachers of Mathematics (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática.Sevilla: Sociedad Andaluza.

• Novak, J. (1988). Aprendiendo a aprender. Barcelona: Ediciones Martínez Roca S.A.

• Ontoria A. (1993). Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España.

• Pozo, J.L. (1990). Teorías cognitivas del aprendizaje. Madrid: Morata.

• Rencoret, María del Carmen. (2002). Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza.Editorial Andrés Bello, Santiago, Chile.

• Saldaña, D., Aguilera, A. (2000). La evaluación de los procesos metacognitivos: estrategias y problemáticaactuales, En Rivero, A. (Comp) (2003): Estudios de Psicología, 189-204, Madrid, Universidad Autónoma deMadrid.

• Sternberg, R., Apear-Swerling L. (1996). Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España.

• Vygotski, L. (1995). El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Barcelona: Libergraf, S.A.

• Educación: www.educarchile.cl• El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net • Geometría: www.geometriadinamica.cl • Servicio Nacional del Consumidor: www.sernac.cl• Instituto Nacional de Estadísticas: www.ine.cl

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Mapas de Progreso:algunas ideas para su uso como apoyo al mejoramiento continuo del aprendizaje

Los textos escolares son una importante herramienta para la implementación delcurrículum en la sala de clases. En conjunto con los Programas de Estudio y los Mapas deProgreso, buscan apoyar el trabajo que se realiza en los establecimientos educacionalespara que los estudiantes logren mayores aprendizajes, en base a las definiciones queestablece el Marco Curricular nacional.

En el siguiente esquema se presenta la pregunta orientadora que busca responder cadauno de los instrumentos curriculares:

Los Mapas de Progreso describen resumidamente los conocimientos, habilidades y comprensiones que caracterizan cada uno de los 7 niveles en que se desarrolla el aprendizaje de una determinada competencia o dominio clave. Son una herramienta curricular no obligatoria, que complementa a los Programas de Estudio y los Textos escolares, y pueden ser utilizados de diversas formas.

A continuación, se describen dos de ellas, que pueden ser de utilidad para apoyar eldesarrollo del aprendizaje que promueve este texto de estudio:

1. Reflexión conjunta sobre la progresión de los aprendizajes que promueve el currículum para mejorar la articulación entre profesores del sector.

Si se hace una lectura de los siete niveles de los Mapas ya pueden ser un interesanteaporte, debido a que muestran una visión sintética de lo que se espera se logre comoaprendizaje en los 12 años de escolaridad. Su estructura concisa describe una panorámica de todo el trayecto escolar, aportando una mirada longitudinal, quefavorece la reflexión pedagógica entre profesores de distintos cursos.

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Por ejemplo, a partir de la revisión de un Mapa de Progreso, puede hacerse unareflexión conjunta respecto de la manera en que progresa el aprendizaje, estableciendoun análisis general, entre profesores del sector y la jefatura técnica, en relación a ¿cómo estamos entendiendo la progresión del aprendizaje respecto de este referente?Los profesores y profesoras pueden revisar y analizar en conjunto los aprendizajes constitutivos de una determinada competencia, y definir acciones a seguir que seancoherentes con el logro de dichos aprendizajes, en base a preguntas como: ¿de quéforma estamos ordenando el trabajo y organizándonos en conjunto para ir progresandoen el logro de estos aprendizajes de nuestros alumnos y alumnas?

Los Mapas favorecen la articulación dentro y entre los ciclos de enseñanza de unestablecimiento educacional, promoviendo una comprensión común respecto al aprendizaje y aportando claves para observar su progresión. Ello propicia la responsabilidad compartida en entre docentes y el trabajo en equipo dentro delestablecimiento.

2. Reflexión conjunta sobre los trabajos de alumnos y alumnas, para monitorear elprogreso de su aprendizaje en relación a la expectativa que describe el Mapa.

Los Mapas de Progreso definen el crecimiento del aprendizaje de los estudiantes, através de descripciones de sus distintas etapas, y de trabajos de alumnos en cada una deestas. Con el fin de apoyar la observación del aprendizaje, los Mapas presentan tareas,estímulos o motivaciones que se utilizaron para recoger evidencias del aprendizaje, buscando observar el desempeño de los alumnos y alumnas en la competencia descritaen el Mapa.

El docente puede aplicar estas tareas, las que puede encontrar en los anexos de cadauno de los Mapas (www.curriculum-mineduc.cl ) u otras que el equipo docente puededesarrollar, para luego analizar la evidencia del desempeño de sus estudiantes e inferirel nivel de aprendizaje en relación a las descripciones realizadas por el Mapa.

Es importante que esta observación y análisis de los trabajos de alumnos y alumnas seadesarrollado en conjunto por los profesores del sector, de modo de reflexionar entrepares y desarrollar una visión compartida respecto a cómo progresa el aprendizaje desus alumnos en las distintas competencias claves.

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Documents

88278362 8-basico-matematica-santillana-profesor-1