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1 LIBRO UNI ARITMÉTICA RAZONES ARITMÉTICA I. RAZÓN Es la comparación entre dos cantidades si se realiza mediante una sustracción, se le llama razón aritmética, y si se realiza una división se le llama razón geométrica. Donde: a: antecedente b: consecuente Son los términos de la razón Ejemplo: Un comerciante posee en un recipiente A, 30 litros de vino y en otro recipiente B, 18 litros también de vino. Al comparar: A 30 L 18 L B A. Razón aritmética "El V A excede a V B en 12 L". "El V A es mayor que V B en 12 L". "El V A es 12 L más que V B ". B. Razón geométrica 30L 18L = 5 3 Antecedente Consecuente "V A y V B están en la razón (o relación o proporción) de 5 a 3 (o 5/3) respectivamente". "V A es a V B como 5 es a 3". "V A es a 5 como V B es a 3". "V A es como 5 y V B es como 3". "V A es 5/3 de V B ". "Por cada 5 L que hay en A, hay 3 L en B". Nota: Si A y B están en relación de 5 a 3. A 5 B 3 A = 5k B = 3k Aplicación La edad de María es a 13 como la de José es a 11. Si la diferencia de sus edades es 6 años. ¿Cuánto suman? II. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIV ALENTES Es la igualdad de varias razones geométricas. Ejemplo 1: Donde: Los antecedentes son 30, 15, 9 y 33. Los consecuentes son 40, 20, 12 y 44. 30 y 44 son términos extremos. Ejemplo 2: Al tener: p m n K 3 5 11 , puede decirse que m, n y p están en la relación de 3, 5 y 11 respectivamente. Además:m = 3 K n = 5 K p = 11 K DESARROLLO DEL TEMA

9. Aritmética

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aritmetica libro de teoria para prepararte para la universidad

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Page 1: 9. Aritmética

1LIBRO UNI ARITMÉTICA

RAZONES

ARITMÉTICA

I. RAZÓNEs la comparación entre dos cantidades si se realizamediante una sustracción, se le llama razón aritmética,y si se realiza una división se le llama razón geométrica.

Donde:a: antecedente b: consecuenteSon los términos de la razón

Ejemplo:Un comerciante posee en unrecipiente A, 30 litros de vinoy en otro recipiente B, 18 litrostambién de vino.Al comparar: A

30 L 18 L

B

A. Razón aritmética

"El VA excede a VB en 12 L"."El VA es mayor que VB en 12 L".

"El VA es 12 L más que VB".

B. Razón geométrica

30L18L = 5

3

Antecedente

Consecuente

"VA y VB están en la razón (o relación o proporción)de 5 a 3 (o 5/3) respectivamente"."VA es a VB como 5 es a 3"."VA es a 5 como VB es a 3"."VA es como 5 y VB es como 3"."VA es 5/3 de VB"."Por cada 5 L que hay en A, hay 3 L en B".

Nota:Si A y B están en relación de 5 a 3.

A 5B 3

A = 5kB = 3k

AplicaciónLa edad de María es a 13 como la de José es a 11. Sila diferencia de sus edades es 6 años. ¿Cuánto suman?

II. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICASEQUIVALENTESEs la igualdad de varias razones geométricas.

Ejemplo 1:

Donde:Los antecedentes son 30, 15, 9 y 33.Los consecuentes son 40, 20, 12 y 44.30 y 44 son términos extremos.

Ejemplo 2:

Al tener: pm n K3 5 11

, puede decirse que m, n y

p están en la relación de 3, 5 y 11 respectivamente.

Además:m = 3 Kn = 5 Kp = 11 K

DESARROLLO DEL TEMA

Page 2: 9. Aritmética

2LIBRO UNI ARITMÉTICA

RAZONESExigimos más!

Propiedades de una S.R.G.E.Siendo en general una serie de la forma:

31 2 n

1 2 3 n

aa a a....... K

b b b b

Se cumplirán las siguientes propiedades:

1. (Suma de Antecedentes) K(Suma de Consecuentes)

O sea:

1 31 2 n 4 2

1 2 n 1 3 4 2

a 2aa a ... a a aK

b b ... b b 2b b b

2. r(Producto de Antecedentes) K(Producto de Consecuentes)

Donde "r" indica el número de razones consideradaspara el producto. O sea:

2 2 23 5 1 61 2

1 2 3 5 1 6

a a a aa aK ; K ; K

b b b b b b

Problema 1Tres números A, B, C están en relacióndirecta a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichosnúmeros respectivamente 130, 260 yn, la nueva relación directa es como a13, 17 y 19. Determine n.

UNI 2010 - IIA) 390 B) 650 C) 910D) 1170 E) 1430

Resolución:Ubicación de incógnitaSe pide hallar el valor de n.

Análisis de los datos o gráficosSean:A = 5 k; B = 7 k; C = 11 k

Operación del problemaTal que:

5 k + 13013

7 (5 k + 130)7 13

7 k + 26017

5(7 k + 260)5 17

11 k + n19

11(7 k + 260)11 17

7(11 k + n)7 19

=

=

=

= =

- -

- -

Se obtiene:

910 1300 2860 7n91 85 187 133

390 2860 7n6 54

Conclusión y respuestan 910

Respuesta: C) 910

Problema 2En una biblioteca municipal existen entotal 72 libros de matemática y literatura,los que están en relación de 5 a 3respectivamente. El número de librosde literatura que deben agregarse paraque la relación sea de 9 a 10 es:

UNI 2010 - IA) 21 B) 22 C) 23D) 24 E) 25

Resolución:Ubicación de incógnitaNúmero de libros de literatura que seagregan: "X".

Análisis de los datos o gráficos

# de libros de Matemática : 5 k# de libros de Literatura : 3 k

TOTAL : 8 K = 72

9

Operación del problema

5 9

93 9 x

50 27 x10

x 23

Respuesta: C) 23

Problema 3

Si se cumple: 31 2

1 2 3

aa aK

b b b donde

K es un entero positivo, y que:2 2

2 312 21 2 3

a aa6

b b b

entonces el valor de K es:

UNI 2008 - IA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Resolución:Nos piden "K" ; K

Dato inicial: 31 2

1 2 3

aa aK

b b b

Luego: 2 2

2 312 21 2 3

a aa6

b b b

K + K2 = 6K (K + 1) = 6K = 2 K = –3

K 2 Respuesta: B) 2

3

3 3 31 2 3 2 5 6 231 2 3 2 5 6 2

a a a a a a (a )K ; K ; K

b b b b b b (b )

S.R.G.E. continuas

Tienen la siguiente forma: a b c d Kb c d e

Se observa que:

d = ek ; c = ek2 ; b = ek3 ; a = ek4

2 2ab ak kbc c

3 3bcd bk kcde e

4 4

Relación de términos extremos

abcd ak kbcde e

problemas resueltos

Page 3: 9. Aritmética

3LIBRO UNI ARITMÉTICA

PROPORCIONES

ARITMÉTICA

PROPORCIÓNEs la igualdad de dos razones del mismo tipo.

A. Proporción aritmética

Ejemplo:

ImportanteObservamos que hay 2 antecedentes (30 L y 52 L) aligual que 2 consecuentes (18 L y 40 L).

Interpretación"30 L excede a 18 L tanto como 52 L excede a 40 L""30, 18, 52 y 40 forman una proporción aritmética".

Observación:

Sumade Sumadetérminos términosextremos medios

30 40 52 18

B. Proporción geométrica

Ejemplo:

ImportanteObservamos que hay 2 antecedentes (30 L y 20 L) aligual que 2 consecuentes (18 L y 12 L).

Interpretación"30 L y 18 L están en la misma proporción que 20 Ly 12 L respectivamente"."30 y 18 están en la proporción de 5 a 3 respec-tivamente"."30 y 18 son proporcionales a 5 y 3 respectivamente"."30, 18, 52 y 40 forman una proporción geométrica".

Observación:

Producto de Productode

términos términosextremos medios

30 12 20 18

AplicaciónSi 30, 40, m y 12 forman una proporción geométrica,calcule el valor de m.

Clases de proporciones• Continua: Los términos medios son iguales.• Discreta: Los términos medios son diferentes.

En resumen:

DESARROLLO DEL TEMA

Page 4: 9. Aritmética

4LIBRO UNI ARITMÉTICA

PROPORCIONESExigimos más!

AplicaciónCalcule la diferencia entre la media diferencial de 22 y18 y la tercera proporcional de 32 y 24.

Propiedades de la proporción geométricaSea la proporción:

pmn q

Entonces se pueden formar las siguientes propor-ciones:

Problema 1En una proporción geométrica de razón5/4, la suma de los términos es 45 y ladiferencia de los consecuentes es 4.Halle el mayor de los términos de laproporción.

UNI 2012 - IA) 12 B) 15C) 16 D) 18E) 20

Resolución:Ubicación de incógnitaPide el mayor término de la proporción

geométrica de razón 54 .

Análisis de los datos o gráficos

Datos: Razón = 54

Suma de términos = 45Diferencia de consecuentes = 4

Operación del problema

Sea la proporción: 5a 5b4a 4b

(*)

5a 4a 5b 4b 45 a b 5 a 34a 4b 4 a b 1 b 2

Reemplazando en (*) tenemos:

15 1012 8

Conclusiones y respuestaEl mayor término es 15.

Respuesta: B) 15

Problema 2Se tiene cuatro números, tales que,los tres primeros están en progresióngeométrica y los tres últimos en pro-gresión aritmética de razón seis; sindoel primer número igual al cuarto. Lasuma de los cuatro números es:

UNI 2003-IIA) 22 B) 18C) 14 D) 16E) 20

Resolución:Según enunciado:

a, b, b + 6, b + 12

Luego: a = b + 12 ...

2b a b 6 ....

De en :

2b b 12 b 6 2 2b b 18b 72

18b = – 72

b = – 4; a = 8

Luego: los números son: 8, –4, 2, 8

La suma será: 14

Respuesta: C) 14

Problema 3

Se da la proporción a c kc d con

2b – d 0, además se sabe que:

a 1 c 2b 3 d 6

Entonces K vale:

UNI 1995-II Nivel fácil

A) 1/5 B) 1/4 C) 1

D) 1/2 E) 1/3

Resolución:a c k;2b d 0;a bk;c dkb d

Reemplazando:

a 1 c 2b 3 d 6

bdk + d + 6bk + 6 = bdk + 2b + 3dk + 6

3k(2b – d) = (2b – d)

k = 1/3

Respuesta: E) 1/3

p qm nn q

p qm nm p

2p q2m n3n 3q

3m 2n 3p 2qm n p q

Aplicación

Si x y 11x y 7

, calcule el valor de x/y..

problemas resueltos

Page 5: 9. Aritmética

5LIBRO UNI ARITMÉTICA

MAGNITUDES PROPORCIONALESARITMÉTICA

I. NOCIONES PREVIAS

A. MagnitudEs toda cualidad de la materia que pueda experi-mentar variación, en nuestro caso estudiaremos lamagnitudes matemáticas que serán aquellas sus-ceptibles a medición.

B. CantidadEs el valor que toma una magnitud en un determi-nado instante, generalmente se expresa como unvalor numérico acompañado de cierta unidad demedida.

Ejemplos:

3

4 h ;20minTiempo5 m ;80 kmLongitud37 C ; 300 kTemperatura

Volumen 60 m ; 4Número de alumnos 50 alumnos

Magnitud Cantidad

II. RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDESEn este capítulo estudiaremos el comportamiento dedos magnitudes que guardan cierta relación de depen-dencia entre sí: relación directa o relación inversa.

A. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)Dos magnitudes son directamente proporcionalescuando ocurra que al aumentar o disminuir el valorde una de ellas entonces el valor de la otra aumen-te o disminuya respectivamente en la misma pro-porción. Se cumple que el cociente de sus respec-tivos valores es constante.

Ejemplo:

Andrea compra en la panadería 10 panes con S/. 2,manteniendo el precio del pan constante se podríaafirmar:

Se observa:

En ambos casos varía en la misma proporción.

Luego:

(N panes)(N panes) DP(Costo) K(costo)

K : constante

En el ejemplo:

10 30 15 20 52 6 3 4

constante

En general

Sean las magnitudes A y B:

(Valor de A)A DP B K(valor de B)K : constante

DESARROLLO DEL TEMA

Page 6: 9. Aritmética

6LIBRO UNI ARITMÉTICA

MAGNITUDES PROPORCIONALESExigimos más!

Observación:

El comportamiento de las magnitudes del ejem-plo anterior también se puede representar grá-ficamente.

• La gráfica correspondiente a dos magnitudes di-rectamente proporcionales corresponden a pun-tos sobre una recta que pasa por el origen (si lavariable es discreta) o un segmento de la recta (sila variable es continua).

• En cualquier punto de la recta el cociente entrelos valores de sus coordenadas es constante.

f(x)10 15 20 30 k2 3 4 6 x

constante

Luego:

f(x) = K f(x)=k xx

K :constante Función deproporcionalidad directa

B. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)

Dos magnitudes son inversamente proporcionalescuando ocurra que al aumentar o disminuir el valorde una ellas entonces el valor de la otra disminuyao aumenta respectivamente y la proporción se in-vierta. Se cumple que el producto de sus respecti-vos valores es constante.

Ejemplo:

David es un ciclista que recorre a diario una distan-cia de 60 km como parte de su entrenamiento,con respecto al comportamiento de su velocidad yel tiempo empleado en los últimos cuatro días, sepuede afirmar:

Se observa:

En ambos casos la proporción se invierte.

Luego:

(Velocidad)I.P. (tiempo) (Velocidad) (tiempo) h

h: constante

En el ejemplo:

10 6 30 2 15 4 20 3 60

constante

En general:

Sea las magnitudes M y N.

Valor Valorde M de N

Sean las magnitudes M y N

M IP N h

h : constante

Observación:

El comportamiento de las magnitudes en elejemplo anterior también se puede repre-sentar gráficamente.

La gráfica correspondiente a dos magnitudesinversamente proporcionales corresponde a puntossobre un ramal de hiperbole equilátera (si la variablees discreta) o dicho ramal (si la variable es continua).En cualquier punto del ramal de hiperbole equilátera,el producto de coordenadas es constante.

2 × 30 = 3 × 20 = 4 × 5 = 6 × 10 = x . f(x)

Page 7: 9. Aritmética

7LIBRO UNI ARITMÉTICA

MAGNITUDES PROPORCIONALESExigimos más!

C. PropiedadesSean las magnitudes A, B, M y N.

I.A DP B B DP AM IP N N IP M

II.K K

K K

A DP B A DP B

M IP N M IP N

K Q

III.

1A DP B A IPB1M IP N M DPN

Ejemplo:Sean las magnitudes A, B, C, D y E.• Elegimos "A" como magnitud referencial.• Comparamos "A" con las demás magnitudes.

A DP B; cuando C, D y E son constantes.A IP C; cuando B, D y E son constantes.A IP D; cuando B, C y E son constantes.A DP E; cuando B, C y D son constantes.

• Finalmente la relación será: A C D KB E

constante

III. REGLA DE TRES

A. DirectaLa regla de tres directa es un procedimiento decalculo que consiste en: dadas dos cantidades co-rrespondientes a dos magnitudes directamente pro-porcionales, calcular la cantidad de una de estasmagnitudes que corresponde a una determinadacantidad de la otra magnitud.

a b a ba ' xa ' x

La regla de tres directa se basa en el hecho deque, cuando dos magnitudes son directamenteproporcionales, la razón de dos cantidades de unade ellas es igual a la razón de las dos cantidadescorrespondientes de la otra.

B. InversaLa regla de tres inversa es un procedimiento decálculo que consiste en, dadas dos cantidades co-rrespondientes a dos magnitudes inversamente pro-porcionales, calcular la cantidad de una de estásmagnitudes que corresponde a una determinadacantidad de la otra magnitud.

a b a xa ' ba ' x

La regla de tres inversa se basa en el hecho deque, cuando dos magnitudes son inversamenteproporcionales, la razón de dos cantidades de unade ellas es igual a la razón inversa de dos cantida-des correspondientes de la otra.

C. CompuestaEn la realidad, la relación de proporcionalidad no tie-ne por qué afectar exclusivamente a dos magnitu-des, sino que puede suceder que una magnitudesté relacionada proporcionalmente con otras va-rias.En este caso, los problemas se resuelven median-te la aplicación de la denominada "regla de trescompuesta".La regla de tres compuesta es un procedimientode cálculo cuyo objeto es hallar una cantidad deuna determinada magnitud a partir del conocimientode otras cantidades correspondientes a magnitu-des relacionadas con ella proporcionalmente.La practica de la regla de tres compuesta consisteen la aplicación simultanea de varias reglas de tressimples que puedes ser directas o inversas.

IV. REPARTO PROPORCIONALEste capítulo estudia la forma de repartir una cantidaden forma directamente proporcional o inversamenteproporcional a ciertos valores llamados "índices" deproporcionalidad.

A. Reparto simple directoSe hace de tal manera que las partes resultantessean D.P. a los índices de proporcionalidad. Paraefectuar un reparto directo, se hace lo siguiente:a) Se suman los índices.b) Se divide la cantidad a repartir entre dicha su-

ma, siendo el cociente la "constante" de pro-porcionalidad (K).

c) Los partes se obtienen multiplicando cada "índice"por la constante de proporcionalidad (K).

Ejemplo:

Paso 2: 25 K = 750 K = 30

Paso 3: 6 x 30 = 180 7 x 30 = 210 12 x 30 = 360PropiedadSi a todos los índices de proporcionalidad se lesmultiplica o divide por un mismo número entoncesel reparto no se altera.

Page 8: 9. Aritmética

8LIBRO UNI ARITMÉTICA

MAGNITUDES PROPORCIONALESExigimos más!

Problema 1Para pintar el Estadio Nacional se con-tratan 8 personas que afirman puedenterminar la obra en 10 días, laborando8 horas diarias. Al terminar el quintodía de trabajo se decide incrementarla jornada a 10 horas diarias y contra-tar más personas para culminar el res-to de la obra en 2 días. Calcule la can-tidad de personas que se deben con-tratar en forma adicional.

UNI 2010-IIA) 8 B) 10C) 12 D) 14E) 16

Resolución:Ubicación de incógnitaPiden: Cantidad de personas que sedeben contratar en forma adicional (x)

Análisis de los datos o gráficos

a

8 personas

10 días, 8 h/d

a b

normalmente 8 personas 8h/d

culminarían en 5 días

8 personas5 días

8h/d

(8+x)personas2días

10h/d

Operación del problemaSe cumple para la obra "b":

(8 x) 2 10 8 8 5

Conclusión y respuesta

x 8

Respuesta: A) 8

Problema 2

Tres socios A, B, C deberían repartirseuna utilidad de M dólares proporcional-mente a sus edades, las cuales son xdel socio A, (x – 3) del socio B y (x – 6)del socio C. Como el reparto se realizóun año después, calcule la cantidad querecibe el socio que más se perjudica.

UNI 2009-II

A)M(x 1)3(x 2)

B)

M(x 2)x 1

C)M(x 3)

x 1 D)

M(x 1)x 3

E)M(x 1)2(x 3)

problemas resueltos

Ejemplo:En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6,7 y 12 se obtuvieron como resultado 180, 210 y360… pero… ¿Qué pasaría si se reparte la mismacantidad D.P. a 6 x 2, 7 x 2 y 12 x 2?Veamos…

750 = 6 x 2 12 x 15 180 = =

7 x 2 14 x 15 210= =

12 x 2 =

D.P.

2450k

x 15 360=

Son lasmismaspartes.

50k 750

=k 15=

B. Reparto simple inversoSe hace en forma I.P. a los índices para ello seinvierten los índices y luego se efectúan un repartodirecto, como ya se conoce.

Ejemplo:Repartir 594 en forma I.P. a 2, 3, 6 y 10.

Luego:15 x 18 = 270; 10 x 18 = 180; 5 x 18 = 90; 3 x 18 = 54

C. Reparto compuestoEn este caso se trata de repartir una cantidad enforma D.P. a ciertos números y a la vez en formaI.P. a otros. Se procede de la siguiente manera:

a) Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendolos índices).

b) Se multiplican los índices de las dos relaciones D.P.c) Se efectúan un reparto simple directo con los

nuevos índices.

Ejemplo:Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez enforma I.P. a 3 y 9.

Luego:

12 k = 12 x 36 = 4326 k = 6 x 36 = 216

Page 9: 9. Aritmética

9LIBRO UNI ARITMÉTICA

MAGNITUDES PROPORCIONALESExigimos más!

Resolución:Ubicación de incógnita

Se pide hallar lo que recibe el socioque más se perjudica.

Análisis de los datos o gráficos

El más perjudicado es el socio A, pueses el mayor de todos ellos.

Operación del problema

Dentro de 1 año:

A B C kx 1 x 2 x 5

A B C A(x 1) (x 2) (x 5) x 1

M A3x 6 x 1

M(x 1)A3(x 2)

Respuesta: A) M(x 1)3(x 2)

Problema 3

De las magnitudes Z, W, X, se sabe queZ es directamente proporcional a X2 yW es inversamente proporcional a X2. SiN = Z + W y X = 1 implica que N = 6;X = 0,5, implica que N = 9. DetermíneseN si X 2 .

UNI 2008 - II

A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

Resolución:

Ubicación de incógnita

Nos piden hallar N para X 2 .

Análisis de los datos o gráficos

Dado que Z DP X2, entonces 2

Z aX

2Z ax

Dado que W IP X2, entonces WX2 = b

2bWx

Operación del problema

Además N = Z + W

Para X = 1: 6 = a + b

Para X = 12 : 9 =

a4 + 4b

Resolviendo: a = 4, b = 2

Cuando X 2 , reemplazando:

2

22N 4 2 92

Respuesta: C) 9

Page 10: 9. Aritmética

10LIBRO UNI ARITMÉTICA

TANTO POR CIENTO

ARITMÉTICA

I. REGLA DEL TANTO POR CUANTO

A. Concepto

Es un procedimiento aritmético que nos permitedeterminar que "TANTO" (parte) representa unacantidad con respecto a un todo "CUANTO".

Ejemplo:En cierta panadería, por cada 20 panes que secompra obsequian 3. Si compro 80 panes; ¿cuántosme regalan?

Resolución:Obsequian

3 por cada 20 < > el 3 por 20

En general:aEl a por b de N : Nb

Tanto cuanto

Ejercicios• El 4 por 7 de 63: ...................................

• El 3 por 4 de los 25 de 720 .....................

B. Casos particulares del tanto por cuanto

• Tanto por ciento (%)

a por ciento: aa%100

• Tanto por mil o oo

b por mil: b o oob

1000

II. REGLA DEL TANTO POR CIENTOLa idea consiste en dividir una cantidad en 100 partesiguales y luego tomar de ellas tantas partes como seindique:

aa por ciento : a%100

Ejemplos:

• 20 por ciento: 20% 20 1100 5

• 150 por ciento: 150% 150 3100 2

• 400 por ciento: 400% 400 4100

Observación:

Tanto por Fracción ciento o entero

Ejemplo:

El 20% de 300 es

2020% 300 300 60100

En general

aEl a% de N: a% N N100

Ejercicios• El 40% de 7000: ________________________

______________________________________• El 30% de 80: __________________________

______________________________________• El 20% del 75% del 50% de 16 000: _________

______________________________________

DESARROLLO DEL TEMA

Page 11: 9. Aritmética

LIBRO UNI ARITMÉTICA

TANTO POR CIENTOExigimos más!

A. Equivalencias

1. De tanto por ciento a fracción o entero

10 110% Décima parte100 10

20 120% Quinta parte100 5

25 125% Cuarta parte100 4

50 150% La mitad100 2

100100% 1 Total100

2. De fracción a tanto por ciento

1 1 11 100% 25%4 4 4

7 7 100% 35%20 20

• ¿Qué tanto por ciento es 6 de 15?______________________________________________________________________

• ¿De qué número, 36 es su 80%?______________________________________________________________________

• En un aula hay 24 varones y 16 mujeres,calcule:a) ¿Qué tanto por ciento son los varones

del total?b) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres?c) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres

de los varones?

B. Operaciones con el tanto por cientoAplicados sobre una misma cantidad.

1. Adición

20% A + 30% A = ___________________

120% B + 45% B = ___________________

N + 30% N = ________________________

2. Sustracción

40% A – 10% A = _____________________

N – 25% N = _________________________

C. Aumentos y disminucionesSi a una cantidad se le aumenta el 30% y luego dela nueva cantidad se le disminuye su 20% entoncesse obtiene:

Luego: 130% N – 26% N = 104% NRespuesta: 104% de la cantidad inicial.

Forma prácticaCantidad inicial: "N"Luego del aumento y disminución: + 30% – 20%Queda: N × 130% × 80% = 104% N

Respuesta: 104%

Ejercicios• Un artículo se ofrecía en una tienda en S/. P; si

el vendedor realiza dos rebajas sucesivos del20% y 10%. Calcule la rebaja única equivalentea estas dos rebajas sucesivas.____________________________________________________________________________________________________________

• Calcule el aumento único equivalente a tresaumentos sucesivos del 50%, 20% y 25%.____________________________________________________________________________________________________________

D. Aplicaciones comerciales

Ejemplo:El comerciante Alejandro Chumpitáz adquiere ins-trumentos musicales al por mayor en una fábrica,al verificar el costo de un solo saxofón sería $500;él lleva a su tienda los instrumentos y ofrece elsaxo en $800, pero al momento de la venta realizauna rebaja del 25%. ¿Cuánto ganó dicho comer-ciante en la venta del saxo?

Resolución:

P =500C P =600V P =800F

compra vende ofrece

Ganancia Descuento

G=100 D=25% 800=200

Aumento o incremento:300

Respuesta: ganó $100

Rebaja

11

Page 12: 9. Aritmética

LIBRO UNI ARITMÉTICA

TANTO POR CIENTOExigimos más!

Problema 1Un libro se ofrece en venta recargán-dose el r por ciento del precio del cos-to, pero a un estudiante al comprarlole rebajaron el p por ciento. Si el ven-dedor no ganó ni perdió, ¿cuánto lerebajaron al estudiante?

UNI 2010 - I

A)100

(100 r)

B)r 100100 r

C)(100 r)

r

D) 1

10,01r

E) 1

10,01r

Resolución:Ubicación de incógnitaCuánto le rebajaron al estudiante.

Análisis de los datos o gráficosSe aumentó (r%) y luego le rebajaron(p%), quedando al final:

Precio de costo

Precio de venta

=

S/. X

Operación del problemaEntonces: X = (1 + r%)(1 – p%)X

1 = (1 + r%)(1 – p%)

Operando: 1p10,01r

Nota: La respuesta se asumirá por cada100 unidades monetarias.

Respuesta: 110, 01r

Problema 2Para fijar el precio de venta de un artí-culo se aumentó su costo en 30%.

Al venderse se hizo una rebaja del 10%del precio fijado. ¿Qué tanto por cien-to del costo se ganó?A) 15% B) 12%C) 17% D) 20%E) 7%

Resolución:Sea el precio de costo: 100 K

Se observa: G = 17 K

Nos piden: 17K 100% 17%100K

Respuesta: C) 17%

Problema 3Una tienda vende un producto hacien-do descuentos primero uno de 15% yluego otro de 15%.

Se observa:

C V

F V

C F

P G P

P D P

P (incremento) P

PV: Precio de ventaPC: Precio de costoPF: Precio fijado o precio de lista.

Observaciones:

1. Cuando se mencionen gastos o impuestos.

Ejemplo:

Si en la aplicación planteada mencionaban gas-tos de $30 por mantenimiento, entonces

P =500C P =600V P =800F

G =70Neta Gastos=30 D=200

G =100Bruta

La ganancia líquida sería de $70 y ya no $100.

Neta BrutaG (Gastos) G

2. Cuando la ganancia, perdida o incremento seexpresen en tanto por ciento y no se men-cione respecto de quien, se debe considerarque es respecto del precio de costo.

3. Cuando la rebaja se exprese en tanto por cientoy no se mencione respecto de quien, se debeconsiderar que es respecto del precio de lista.

4. En casos de pérdida (PV < PC).

PV

PérdidaPC

C VP – (Pérdida) P

problemas resueltos

12

Page 13: 9. Aritmética

LIBRO UNI ARITMÉTICA

TANTO POR CIENTOExigimos más!

Una segunda tienda, que tiene el mis-mo producto y al mismo precio de lista,realiza un descuento del 30%. ¿Cuán-to de descuento (en %) o de incre-mento (en %) debe efectuar la segun-da tienda para que en ambas tiendas elproducto tenga el mismo precio final?La respuesta aproximada es:

UNI 2007 - I

A) Descuenta 3,2%

B) Incrementa 3,2%

C) Descuenta 6,4%

D) Incrementa 6,4%

E) Incrementa 5,2%

Resolución:

• Sea el precio del producto: P

1° Tienda:

2 descuentos suceviso del 15% y 15%

• 1F289P 85% 85% P P400

2° Tienda:

Un descuento único del 30%

•2F

7 280P 70% P P P10 400

Como: 2 1F FP P ; entonces debe incre-

mentarse en la 2.a tienda para queambas tiendas tengan el mismo preciofinal.

• 2F280P P400

El incremento sería: 1 2F F

9P P P400

280P 9Px%400 400

x% 3,2%

Respuesta: B) 3,2

13

Page 14: 9. Aritmética

14LIBRO UNI ARITMÉTICA

REGLA DE INTERÉS

ARITMÉTICA

I. DEFINICIÓNEs un procedimiento aritmético que nos permite obtenerla ganancia (interés) generada a partir de cierta suma dedinero bajo ciertas condiciones financieras o comerciales.

Ejemplo: David, luego de recibir su primer sueldo de $500 acude a un banco a depositarlo, en dicho bancole ofrecen devolverle $ 600 si deja su dinero por unaño, analizar e identificar los elementos que intervienen.

Resolución:C : capital t: tiempor% : tasa de interés M: montoI : interés

Se observa:Se gana

r% 20% anual

100 de 500 en un año

A continuación detallaremos con mayor precisión lascaracterísticas de los elementos que intervienen en laregla de interés.

II ELEMENTOSA. Capital (C)

Es la suma de dinero o bien material que se va aprestar, depositar o alquilar por determinado periodode tiempo.

B. Tiempo (t)Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponerel capital.

C. Tasa de interés (r%)Nos indica que tanto por ciento del capital se va aganar al cabo de cierto periodo de tiempo yaespecificado.Ejemplo:20% anual significa que cada año

se va a ganar el 20% del capital.

• Tasas equivalentes

2% mensual4% bimestral6% trimestral

x12 24% anual

x2

x3

D. Interés (I)Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce ogenera el capital al cabo de cierto tiempo y bajociertas condiciones previamente establecidas.

E. Monto (M)Es el acumulado del capital con el interés generado.

M C I

Observación:En este capítulo estudiaremos tres clases de interés:Simple, compuesto y continuo.

III. INTERÉS SIMPLEEs cuando el interés generado no se acumula al capital,sino hasta el final del proceso de préstamo; es decir elcapital permanece constante durante todo el periodode imposición.Se cumple: (Interés) DP (tiempo)

Ejemplo 1:Andrea deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagaráuna tasa del 10% anual. Si ella retira su dinero al cabode 3 años, calcule el interés generado.

Respuesta: _______

Se cumple: I= C × r% × t M = C × (1 + r% × t)

r% y t en las mismas unidades.

DESARROLLO DEL TEMA

Page 15: 9. Aritmética

LIBRO UNI ARITMÉTICA

REGLA DE INTERÉSExigimos más!

Beneficios:Banco A:1,5% libre de mantenimiento, sin con-siderar primeros S/. 500.Banco B:1% y cobra S/. 1 de mantenimiento.

Operación del problemaSea el interés I.I = C x r% x t

PersonajeArnaldoBernaldo

CernaldoDernaldo

Capital

depositado12502130

43207450

Capital

beneficiado7501630

38206950

11,2524,4557,30

104,25

Banco A r =1,5%A

IA

PersonajeArnaldoBernaldoCernaldoDernaldo

Capitalbeneficiado

1250213043207450

12,50 - 1 =11,5021,30 - 1 = 20,3043,20 -1 = 42,2074,50 - 1 = 73,50

Banco B r =1,5% Mant.:S/.1B

I - S/.1B

Comparando las columnas IA; IB – 1 seescoge cuando: IA > IB – 1

Cumplen: Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo.

3 personas.

Respuesta: D) 3

Problema 1En la cuenta de ahorros del banco Ase remuneran los depósitos con 1,5%de interés anual, libre de mantenimien-to, pero no se remuneran los primerosS/. 500 de la cuenta. El banco B paga1% de interés y cobra S/. 1 por man-tenimiento en el mismo periodo. SiArnaldo, Bernaldo, Cernaldo y Dernaldotienen respectivamente S/. 1250, S/. 2130,S/. 4320 y S/. 7450, ¿cuántos de ellosdeberían depositar su dinero en el ban-co A para obtener mayor beneficio enun año?

UNI 2011 - IA) 0 B) 1C) 2 D) 3E) 4

Resolución:Ubicación de incógnitaN = cantidad de personas que les fa-vorece depositar en el banco A.

Análisis de los datos o gráficosCapitales:Arnaldo (A): S/. 1250Bernaldo (B): S/. 2130Cernaldo (C): S/. 4320Dernaldo (D): S/. 7450

Problema 2El plazo (en meses) al que debe impo-nerse un capital a una tasa de interésdel 10% bimestral, capitalizable cuatri-mestralmente, para que se incrementeen un 72,8%, es:

UNI 2010 - IIA) 3 B) 4

C) 6 D) 9

E) 12

Resolución:Ubicación de incógnita

Piden: El plazo (en meses) al que debeimponerse un capital.

Análisis de los datos o gráficos

• Tasa: 10% bimestral < > 20%cuatrimestral.

• Capitalizable cuatrimestralmente.

• Monto = C + 72,8%C = 172,8%C

Operación del problema

Se cumple:

M = C ( 1 + r %)n

172,8%C = C (1 + 20%)n

problemas resueltos

III. INTERÉS COMPUESTOEs cuando el interés generado en cierto periodo detiempo se acumula al capital anterior formando así unnuevo capital, para el periodo siguiente y así suce-sivamente.Dichos periodos se denominan periodos de capitaliza-ción. Cuando se aplique interés compuesto, el capitalno permanece constante pues se va incrementandocon cada capitalización.

Ejemplo 2:Andrea deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagaráuna tasa del 10% anual, capitalizable anualmente.Si ella retira su dinero al cabo de 3 años, calcule elinterés generado.

Respuesta: ________

Se cumple:

tM = C × (1 + r%)

IV. INTERÉS CONTINUOEs un caso particular del interés compuesto, en el cuallos periodos de capitalización se hacen cada vez máspequeños que podría suponerse una capitalizacióninstantánea; es decir el número de periodos tiende ainfinito esto ocurre cuando el tiempo de capitalizacióntiende a cero, por ello que el monto cuando se consi-dere interés continuo se calcula como un límite.

nt

n

r%M C L im 1n

Luego se deduce que el monto con interés continuoque se obtiene al depositar un capital de S/. C a unatasa del r% y durante un tiempo t es:

r% x tM = C × e

Donde:

e base de los logaritmos neperianosr% y t en las mismas unidades.

15

Page 16: 9. Aritmética

LIBRO UNI ARITMÉTICA

REGLA DE INTERÉSExigimos más!

12017281000

100

n

n 3

Conclusión y respuesta3periodos 3 4 12meses

Respuesta: E) 12 meses

Problema 3El monto de un capital durante 1 añoy 3 meses es S/. 2250 y durante 2años y 9 meses es S/. 2790. Hallar latasa de interés anual.A) 30% B) 40%C) 60% D) 20%E) 21%

Resolución:Nos piden la tasa anual: x% anual

Sabemos: M C (1 r% t)

x%2250 C 1 15 ...( )12

x%2790 C 1 33 ...( )12

Al dividir ( ) ( )

x% 20%

Otra formaPor proporciones:

I 540 I 45015 18

C = 2250 – 450 = 1800

En los primeros 15 meses

I = C x r% x tx%450 1800 1512

x% 20%

Respuesta: D) 20% anual

16

Page 17: 9. Aritmética

17LIBRO UNI ARITMÉTICA

REGLA DE DESCUENTO

ARITMÉTICA

I. ELEMENTOS

A. Letra de cambio o pagaréEs un documento comercial, en el cual una persona(deudor) se compromete a pagarle a otra persona(acreedor) un dinero en una determinada fecha(fecha de vencimiento).

B. Valor nominal (Vn)

Es la cantidad de dinero que está escrita y espe-cificada en la letra de cambio; el deudor debe pagaresta cantidad en la fecha de vencimiento.

C. Descuento (D)

Es la cantidad que se le disminuye a la letra decambio, cuando es pagado con anticipación a suvencimiento.

D. Valor actual (Va)

O llamado valor efectivo, es el valor que toma laletra de cambio al momento de ser cancelado.

E. Tiempo de descuento (t)

Es el periodo desde el momento en que se cancelala deuda hasta la fecha de vencimiento.

Esquema

Tenemos: Va Vn – D

Estudiaremos dos formas de hacer el calculo deldescuento.

II. CLASES DE DESCUENTO

A. Descuento comercial (Dc), externo o abusivoSe calcula respecto al valor nominal.

Dc Vn.r%.t ... (I) acV Vn – Dc ... (II)

Vac: valor actual comercial

Al reemplazar (I) en (II):

cVa Vn(1 r%t)

Ejemplo 1:Félix tiene una deuda de S/. 1200, si decide cancelardicha deuda 5 meses antes de su vencimiento auna tasa de descuento del 4% mensual.Identifique los elementos que intervienen y calculeel descuento comercial y cuanto se pagará pordicha letra.

Resolución:Vn = __________t = ____________r% = __________

Esquema

Dc = ___________ VaC = ___________

DESARROLLO DEL TEMA

Page 18: 9. Aritmética

LIBRO UNI ARITMÉTICA

REGLA DE DESCUENTOExigimos más!

B. Descuento racional (DR); interno o matemáticoSe calcula respecto al valor actual (Va)

R R R RD Va .r%.t (I) Va Vn. – D (II)

DR : Descuento racionalVaR : Valor actual racional

Observación:

De (I) y (II) se puede despejar el valor actualracional respecto al valor nominal.(I) : DR = VaR . r% . t(II): VaR = Vn – DR

(I) en (II):

R RVa Vn – Va .r%.t

VaR.(1 + r%t) = Vn

nR

VVa

1 r%t

Ejemplo 2:Si para el ejemplo 1, consideramos descuento racional,calcule el descuento y cuánto se pagó por dicha letra.Esquema

VaR = ____________ DR = _____________

III. PROPIEDADESRelaciona los descuentos para una sola letra de cambio.

VnVac

Dc

r% y t

DR

VaR

Tenemos:

Dc = Vn . r% . t

DR = VaR . r% . t

Propiedad 1: R R cDc D Va Va

Propiedad 2: R RDc – D D .r%.t

Propiedad 3:R

R

Dc.DVn

Dc – D

IV. CAMBIO DE LETRASEs un procedimiento en el cual el deudor cambia unaforma de pago por otra, considerando que no se perju-dique el deudor ni el acreedor en el momento del inter-cambio, se cumple:

Suma de valores Suma de valores actuales del actuales del primer grupo segundo grupo de letras de letras

1.er Grupo 2.o Grupo de letras de letras

1Vn IVn

2Vn IIVn

3Vn

1 2 3 I IIVa Va Va Va Va

II. VENCIMIENTO COMÚNEs un caso especial de cambio de letras con tres condiciones:1. Se cambian varias letras por una sola letra (letra única).2. La suma de valores nominales del grupo de letras

es igual al valor nominal de la letra única.Vn1 + Vn2 + Vn3 = Vn

3. Todos los descuentos son comerciales y a la mismatasa.

Esquema

1 1

2 2

1 2 33 3

Vn tLetra única

Vn t Vn tv=??

Vn = Vn Vn VnVn t r% para todas las letras

Por ser cambio de letras se cumple:Va1 + Va2 + Va3 = Va

Dc1 + Dc2 + Dc3 = Dc

Vn1.r%t1 + Vn2r%t2 + Vn3r% t3= Vn . r% tv

1 1 2 2 3 3v

Vn .t +Vn .t +Vn .tt

Vn

Como Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3

Tenemos:

18

Page 19: 9. Aritmética

LIBRO UNI ARITMÉTICA

Exigimos más!REGLA DE DESCUENTO

Problema 1Indique la alternativa correcta despuésde determinar si cada proposición es verda-dera (V) o falsa (F) según el orden dado:I. La diferencia entre el descuento

comercial y el descuento racionales igual al interés simple que ganael descuento racional.

II. Valor actual de un descuento, esigual al valor nominal más el des-cuento.

III. Descuento es la rebaja que sufreel valor nominal de una transaccióncomercial, al ser efectiva, antes dela fecha de vencimiento.

UNI 2012-IIA) VVV B) VVFC) VFV D) VFFE) FVF

Resolución:Ubicación de incógnitaDar el valor veritativo de las proposi-ciones I, II y III.

Operación del problemaI. Se sabe que:

DC = Vnr%t .....(1)DR = VaR%t .....(2)

Hacemos (1) – (2):DC – DR = Vnr%t – VaRr%tDC – DR = (Vn – VaR)r%tDC – DR = DRr%t (V)

II. Por definición: Va = Vn – DLa proposición dice: Va = Vn + D (F)

III. Considerando que en la transac-ción comercial, el descuento seaplica al documento, rebajándolodel valor nominal, al hacerla efecti-va antes de la fecha de vencimien-to (V).

ResumenI. V II. F III. V

Respuesta: C) VFV

Problema 2Un empresario firma una letra porS/. 48 000 a ser pagada en 8 meses al7% de descuento anual. Luego de trans-curridos 3 meses decide cancelar laletra, pues debe viajar para radicar enAustralia. Calcule la diferencia entre lacantidad que recibió y canceló el em-presario en nuevos soles, sabiendo queel acreedor cobra una comisión del0,2% sobre el valor nominal, si se can-cela al final.

UNI 2011-IIA) 740 B) 742C) 744 D) 746E) 748

Resolución:

Ubicación de incógnita

Análisis de los datos o gráficos

Operación del problema– Aplicación de fórmula, teorema o

propiedad

Va Vn x 1 – R% x t

– Solución del problema

17 8Va 48000 1 – x 45760

100 12

27 5Va 48000 1 – x 46600

100 12

Conclusión y respuesta

Piden: 46600 – 45760 96 744

Respuesta: C) 744

Problema 3Un deudor tiene que pagar al bancotres letras.La primera de S/. 80 000 pagadera den-tro de 30 días; la segunda de S/. 200 000pagadera en 60 días y la tercera deS/. 400 000 con un plazo de 90 días.¿Dentro de qué tiempo (en días) debeser pagada una letra única cuyo valornominal sea la suma de los valores no-minales de las tres letras? Suponga quela tasa de interés es constante.

UNI 2010-IA) 70 días B) 71 díasC) 72 días D) 73 díasE) 74 días

Resolución:

Ubicación de incógnitaTiempo de letra Única (t).

Análisis de los datos o gráficos

Operación del problemaEn vencimiento común, se cumple:

80000x30 200000x60 400 000x90t680000

t 74,11... 74 días (Aproximado)

Respuesta: E) 74 días

problemas resueltos

19

Page 20: 9. Aritmética

20LIBRO UNI ARITMÉTICA

I. MEZCLAEs la unión de dos o más sustancias en cantidades arbi-trarias, conservando cada una de ellas su propia natu-raleza (peso, volumen, densidad, etc).

Las mezclas se realizan generalmente con fines comer-ciales o para alterar la calidad de algunas sustancias.

Ejemplos:

• La gasolina es una mezcla de hidrocarburos.

• Las joyas son la unión de metales preciosos con otroscomponentes que permitiran aumentar su durabi-lidad, pero en algunos casos disminuyen su calidad ycosto (unión de metales "aleación").

• En las bebidas alcohólicas debería verificarse su gradoalcohólico antes de ingerirse pues hasta cierto gradoalcohólico son permisibles para el consumo humano,si sobrepasan este grado podrían resultar dañinas.

II. PRECIO MEDIO (PM)Es el precio de costo por unidad de mezcla, a dichoprecio se le conoce también como "precio de equilibrio"pues no genera ni ganancia ni pérdida.

Ejemplo:

Un comerciante dispone de 3 bolsas que contienencebada, con fines comerciales va a realizar una mezclade las mismas de la siguiente manera:

Luego de mezclarlas, con respecto a los 50 kg de mezclaobtenida, calcule:

A) El precio de costo por kg (precio medio).

B) El precio al cual debería venderse el kg de mezclapara obtener una ganancia del 20%.

Resolución:

A)

Costo total (S/.): 5×6+25×12+20×16 = 650

Cantidad total (kg): 5+25 + 20 = 50

m(costo total)P

(cantidad total)

m650P 13 Pm S /1350

Respuesta: S/. 13

Nota: Si los 50 kg de mezcla se venden a Pm = S/. 13el kg, no se genera ni ganancia ni pérdida; pues se ob-tendría la misma cantidad de dinero, si se vende cadaingrediente por separado.

B) Se considera:

Preciomedio

Preciocosto<>

Nota:El precio medio se obtiene como un promedio pon-derado, es por ello que debe estar comprendido entreel menor y mayor precio.

DESARROLLO DEL TEMA

REGLA DE MEZCLA

ARITMÉTICA

Page 21: 9. Aritmética

Exigimos más!REGLA DE MEZCLA

21LIBRO UNI ARITMÉTICA

Luego:

Pv = 13 + 20% 13 = 15,6

Respuesta: S/ 15,6

Observaciones:

I) Debido a que el precio medio no genera ni gananciani pérdida, debe cumplirse:

Gananciaaparente

Pérdidaaparente=

En el ejemplo:

G. A. = P. A

7(5) + 1(25) = 3(20)

60 = 60

II) En general, si mezclamos "n" ingredientes cuyascantidades y precios son:

C + C + C + ... + C Cantidad totalP P P P P

1 2 3 n

1 2 3 n m

P es el precio ponderado de los precios unitarios

m

m

(Costo total)P

(Cantidad total)=

1 1 2 2 3 3 n nm

1 2 3 n

C P C P C P ... C PP

C C C ... C+ + + +

=+ + +

III. MEZCLA ALCOHÓLICAEs un caso particular de una mezcla, donde las com-ponentes son alcohol puro y agua.

Se considera:

Grado o pureza de un alcohol (G°)El grado alcohólico o pureza nos indica que tanto porciento de una mezcla alcohólica es el alcohol puro.

Ejemplo:I) Se mezclan 12 litros de alcohol puro con 18 litros

de agua. Calcule el grado de pureza de la mezcla.

Resolución:

Respuesta: 40°

En general

En una mezcla alcohólica:

Volumen de alcohol puro

G x100Volumen total de la mezcla

II) Se tienen 80 litros de un alcohol de 70°, entonces:

Volumen de alcohol puro 70% 80 = 56

Volumen de agua 30% 80 = 24

Ejemplo:

Se mezclan 20 litros de un alcohol de 70° con 30litros de otro alcohol de 80°. Calcule el grado alco-hólico de la mezcla resultante:

Resolución:

m70 20 80 30G 76

20 30

Page 22: 9. Aritmética

REGLA DE MEZCLAExigimos más!

22LIBRO UNI ARITMÉTICA

Observaciones:

I) Se mezclan "n" alcoholes cuyos volúmenes.

V1 V2 V3 Vn+ + +...+

G 2G 1 G 3 G n G m

1 1 2 2 3 3 n nm

1 2 3 3

G V G V G V ... G VG

V V V ... V

Se cumple:

Gananciaaparente

Pérdidaaparente=

Además:

Gm

menorgrado

mayorgrado

II) En el ejercicio anterior:

G.A. = P. A.

6° × 20 = 4° × 30 120° = 120°

III) Cuando se mencione alcohol puro o agua sola:

alcoholpuro

100º < > 100%

(agua) 0º < > 0%

ALEACIÓN

Es la mezcla de dos o más metales mediante el proceso defundición (proceso en el cual se unen los metales ya sea enestado líquido o gaseoso); por convención en los metalesse considerará:

Ley o pureza de una aleación

En una aleación la ley nos indica que parte, fracción oporcentaje representa el metal fino en dicha aleación.

Ley =

(Peso metal fino)(Peso total de la aleación)

Ejemplo:

Se funden 12 gramos de plata con 8 gramos de zinc. Calculela ley de la aleación resultante.

Resolución:

Nota: El metal ordinario determina la liga en una aleación,nos mide la "impureza".

En el ejemplo anterior:

8Liga 0, 40 40%20

ObservacionesI) Se funden "n" lingotes, cada uno con su respectiva ley:

Page 23: 9. Aritmética

Exigimos más!REGLA DE MEZCLA

23LIBRO UNI ARITMÉTICA

1 1 2 2 3 3 n nm

1 2 3 n

W L W L W L ... W LL

W W W ... W

Se cumple:

Gananciaaparente

Pérdidaaparente=

Además:

Lm

mayor ley

menor ley

Ley + Liga = 1

II) En los casos en que se mencione metal fino u ordinariopuros:

metal fino

Ley = 1 ó 100% de pureza

metal ordinario

Ley = 0 ó 0 % de pureza

Número de Kilates (k): Indica el tanto por 24 de metalfino que hay en la aleación.

Peso de metal finok 24Peso de aleación

También : k (Ley de milésimas) 24

Ejemplo:

Si se tiene un lingote cuya composición es 15 gramos deoro y 5 gramos de cobre. ¿De cuántos kilates es dicho lingote?

Resolución:

N kilates15Ley20 24

(N° kilates) = 18 Respuesta: 18 k

Problema 1

Se mezclan dos clases de café en laproporción de 1 a 2 y la mezcla se ven-de con un 5% de beneficio. Despuésse mezclan en proporción de 2 a 1 yse vende la mezcla con 10% de bene-ficio. El precio de venta es igual enambos casos. Determine la relación delos precios de las clases de café.

UNI

Nivel fácil

A)1823

B)2023

C)2620

D)2026

E)1223

Resolución:

a 2b 2a b105% 110%3 3

a 20b 23

Respuesta: B) 2023

Problema 2

Una aleación con un peso de 4 kg sefunde con 5 kg de plata pura y resulta 0,9de ley. ¿Cuál es la ley de aleación primitiva?

UNI

Nivel intermedio

A) 0,774

B) 0,775

C) 0,777

D) 0,778

E) 0,779

Resolución:

m4L 5.1L 0, 9

4 5

L = 0,775

Respuesta: B) 0,775

Problema 3¿Cuál es la ley obtenida al fundir 20gramos de oro de 18 kilates, 20 gramosde oro de 800 milésimos, 30 gramos deoro de 6 décimas y 30 gramos de cobre?

UNINivel difícil

problemas resueltos

Page 24: 9. Aritmética

REGLA DE MEZCLAExigimos más!

24LIBRO UNI ARITMÉTICA

A) 12,78 KB) 10,75 KC) 17,90 KD) 11,76 KE) 11,80 K

Resolución:

Recordar: cuando el oro es el metal fino.

(Peso oro puro) (N kilates)Ley(Peso total) 24

Luego:

20 g 20 g 30 g 30 g

Leyes: 1824

=0,75 0,800 0,6 0

+ + + =

Cobre

Lm

m20 0,75 20 0,800 30 0,6 30 0L

20 20 30 30

m(N kilates)L 0, 49

24

(N° kilates) = 11,76 k

Respuesta: D) 11,76 k

Page 25: 9. Aritmética

25LIBRO UNI ARITMÉTICA

ESTADÍSTICA

ARITMÉTICA

I. PARTES DE LA ESTADÍSTICA

A. Estadística descriptiva

Se encarga de recopilar, clasificar, analizar e inter-pretar datos.

B. Estadística inferencial

Llamada también deductiva. Tiene por objetivo deducirleyes de comportamiento de una población a partirdel estudio de una muestra.

II. CONCEPTOS DE TÉRMINOS USADOSEN LA ESTADÍSTICA

A. Población

Conjunto de personas, elementos o unidades que pre-sentan características comunes y observables, a seranalizados o estudiados y de los cuales se desea informa-ción, de acuerdo a un objetivo previamente establecido.

B. Muestra

Subconjunto de datos tomado dentro de la po-blación y que van a ser seleccionados en forma ade-cuada de tal manera que represente en forma ob-jetiva a la población.

C. Variable

Es una característica de la población que interesaal investigador ya que le servirá como un indicadordel objeto de estudio planteado y que puede tomardiferentes valores.

Existen dos tipos:

• Variables cualitativas

• Variables cuantitativas

Ejemplo Nº1En una posta médica de Lima se observa que en elpresente mes se han atendido un grupo de 1200personas de las cuales hemos recopilado una muestrade 20 edades, las cuales mostramos a continuacióny en base a esta información luego procederemos aclasificarlos tomando como variable las mismas:

02; 09; 10; 12; 15; 17; 18; 20; 22; 25; 25; 26; 27;27; 27; 32; 33; 34; 38; 42.

III. ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTA-DÍSTICA

A. Recopilación de datos

Los métodos más usados son los censos, encuestas

y entrevistas.

B. Organización de datos

Se organizan, clasifican y tabulan los datos de modo

que facilite su presentación y posterior interpretación.

C. Presentación de datos

La representación se realiza principalmente a través

de tablas o gráficos.

IV. ELEMENTOS DE UNA TABLA DE DIS-TRIBUCIÓN DE FRECUENCIASPara el ejemplo N° 1:

A. Alcance(A)Intervalo cerrado en la cual se considera como límitesal menor y mayor de los datos.

Ejemplo: A: [02; 42]

límite inferior límite superior

DESARROLLO DEL TEMA

Page 26: 9. Aritmética

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26LIBRO UNI ARITMÉTICA

B. Rango o recorrido (R)Es la amplitud del alcance, se calcula como la dife-rencia del mayor y menor de los datos.Ejemplo: R = 42 – 2 = 40

C. Intervalo de clase (Ii)Es una clasificación de los datos en subgrupos.Ejemplo: Se podría tomar un intervalo I = [10: 20 ,aquí estaran aquellas personas cuyas edades seanmayores o iguales a 10 pero menores que 20.

D. Número de clases (K)Es el número de categorías o intervalos en el quese va a dividir la información.

Regla de Sturges:

1 + 3,322log número de datos

K = nn :

Ejemplo:

K = 1 + 3,322 Log 20 = 5,32

Si K = 5,32, se recomendaría tomar 5 intervalos oun valor cercano que podría ser 4 ó 6.

E. Amplitud o ancho de clase (W)

Es la diferencia entre el límite superior e inferior decada intervalo.

Ejemplo: En I2 = [10: 20 W = 20 – 10 = 10

F. Marca de clase(Xi)

Es el punto medio de cada intervalo.

i(Límite inferior) (Límite superior)

x2

Ejemplo: En I2 = [10: 20

x2= 10 + 20 =15

2

G. Frecuencia absoluta simple(fi)Es el número de datos contenidos en un determi-nado intervalo de clase. Se cumple:

1 2 3 kf f f ... f = n

H. Frecuencia absoluta acumulada (Fi)Es la acumulación ordenada de cada una de las fre-cuencias absolutas simples.

I. Frecuencia relativa simple (hi)Es el cociente de cada frecuencia absoluta entreel número total de datos.

11 1 2 3 k

fh = h + h + h +...+ h = 1

n

J. Frecuencia relativa acumulada (Hi)Es la acumulación de frecuencias relativas."Por lo general las frecuencias la expresamos comoun tanto por ciento".

V. GRÁFICOS O DIAGRAMAS

A. HistogramaSon diagramas de barras o rectángulos, cuyas basesrepresentan los intervalos de clase y las alturas, lasfrecuencias absolutas o relativas.

B. Diagrama escalonadoLas frecuencias absolutas o relativas pero acumu-ladas.

Page 27: 9. Aritmética

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27LIBRO UNI ARITMÉTICA

C. Gráfico Circular

Llamado también de sectores o del Pastel. Se utilizapara comparar las partes con el total.Si de las 20 personas que se atendieron en la posta4 se atienden en dental, 3 en pediatría, 8 en tópicoy los 5 restantes en medicina general.N° de personas <> ángulo <>%20 360° 100%1 18° 5%3 34° 15%

VI. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL(PARTE I)Cuando se estudia el tema de promedios se indicó queera un valor representativo de un conjunto de datos,en esta primera parte en medidas de tendencia cen-tral, estudiaremos algunos de los promedios para da-tos no clasificados y clasificados.

A. Para datos no clasificadosSea un grupo de "n" datos: a1, a2, a3,...an

1. Media aritmética MA, X

1 2 3 na + a + a +...+ aX

n

2. Media geométrica GMG,X

nG 1 2 3 nX = a ×a ×a ×...a

3. Media armónica H(MH, X )

nX =H 1 1 1 1+ + +...+a a a an1 2 3

Ejemplo:Sean números 6; 3 y 12.

6 + 3+12MA = = 73

3MG = 6×3×12 = 6

3 36MH = = 5,141 1 1 7+ +6 3 12

Se observa:

(menor dato) MH MG MA (mayor dato)

B. Para datos clasificados

Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.

1. Media aritmética MA,X

x × fi iX = = x ×hi in

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x f + x f + x f + x f + x fX =

n

2. Media geométrica G(MG, X )

fn iX = XG i

3 51 2 4f ff f fnG 1 4 52 3X = X × X × X × X × X

3. Media armónica HMH, X

i

i

nf

X =H x 31 2 4

5

nff f f

+ + +x x x x1 2 3

Page 28: 9. Aritmética

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28LIBRO UNI ARITMÉTICA

VII.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

A. Media aritmética ( MA , x )Llamada también media o promedio aritmético.

B. Mediana (Me; Xm)Es aquel valor que separa en 2 grupos de igual cantidadde datos.

1. Para datos no clasificadosSe ordena los datos en forma creciente y luego:Si la cantidad de datos es impar, la mediana será eltermino central. Si la cantidad de datos es par, lamediana será el promedio de los dos datos centrales.

2. Para datos clasificadosSe emplea la siguiente relación:

me 1

meme

n F2Me L W

f

C. Moda (Mo)Es el valor que se presenta con mayor frecuenciaen un grupo de datos.

1. Para datos no clasificadosSe considera al valor mas repetitivo, que puedeser uno o mas valores.

2. Para datos clasificadosSe emplea la siguiente relación:

1mo

1 2

dMo L x W

d d

VIII.MEDIDAS DE DISPERSIÓNLas medidas de dispersión consisten en obtener medidas(valores) referenciales de un grupo de datos, que nospermitan medir que tan dispersos o alejados estan losdatos con respecto a este valor de referencia.

A. Para datos no clasificadosSean un grupo de "n" datos:

1 2 3 na , a , a , ..., a

1. Varianza 2 2(s ó )

n

2i

2i 1

n 2 xi 2 x2 i 1 n

x xS S

n

2. Desviación estandar (S ó )

nn 2 2

ii 2i 1i 1xx x

xSS nn

B. Para datos clasificadosSe tiene una tabla de distribución de frecuencias.

Calculamos la media (X).

Luego:

1. Varianza 2 2S ó

n n2 2i i i i 22 2i 1 i 1

x x f x fS S x

n n

2. Desviación estandar (S ó )

n n2 2i i i i 2i 1 i 1

x x f x fS S x

n n

Page 29: 9. Aritmética

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29LIBRO UNI ARITMÉTICA

Problema 1

Indique la alternativa correcta después dedeterminar si cada proposición es verdadera(V) o falsa (F) según el orden dado:

I. La frecuencia relativa es el cocienteentre la frecuencia acumulada deli–ésimo intervalo y el número totalde datos.

II. La mediana de un conjunto de ndatos, es el valor que más vecesse repite.

III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son losdatos que representan las notasde un examen, entonces la des-viación estándar es mayor que 1,7.

UNI 2012-II

A) VVV

B) VVF

C) FVV

D) FFV

E) FFF

Resolución:

I. Falsa

Porque la frecuencia relativa de unintervalo es el cociente entre lafrecuencia absoluta simple del i-ésimo intervalo y el número totalde datos.

ii

fh

n

II. Falsa

Porque la mediana de un conjun-to de n datos es el valor que divi-de al conjunto de datos, previa-mente ordenados, en dos partesiguales.

III. Verdadera

Porque

y tenemos

18 19 16 17 14x 16,85

2 2 2 2 2 218 19 16 17 14 – (16, 8)

5

2,96 1,72046

Donde 1,7

Respuesta: D) FFV

Problema 2

El gráfico de barras representa losmontos de inversión extranjera enmillones de dólares en los últimos 4años. De la información del gráfico sepuede afirmar:

I. El porcentaje de crecimiento anualde la inversión en millones dedólares ha ido disminiyendo.

II. La inversión en millones de dólaresha crecido en un porcentajeconstante.

III. La inversión en el último año hasido más del 100% de la inversiónen el 1er año.

Indique la alternativa que correspondea la verdad o falsedad de lasafirmaciones.

UNI 2011-II

A) VVV

B) VVF

C) VFF

D) VFV

E) FFV

Resolución:

A partir del gráfico, tenemos

I. Verdadero

El porcentaje de crecimiento anualde la inversión en millones dedólares ha ido disminuyendo.

Respecto a lo anterior, se tiene losiguiente:

II. Falso

La inversión en millones de dólaresha crecido en un porcentajeconstante.

III. Verdadero

La inversión en el último año hasido más del 100% de la inversiónen el 1.er año.

Respuesta: D) VFV

Problema 3

La tabla muestra los valores yfrecuencias de las notas de los alumnosde Álgebra. Con la in formaciónmostrada se puede afirmar:

I. La media es menor que la mediana.

II. La moda es mayor que la mediana.

III. La media es mayor a 13.

problemas resueltos

Page 30: 9. Aritmética

ESTADÍSTICAExigimos más!

30LIBRO UNI ARITMÉTICA

UNI 2011-IIA) VVVB) VVFC) VFFD) FFFE) FFV

Resolución:

Recuerda que:

i i

i

f xMedia

f

Donde:fi: frecuenciaxi : valorMediana: valor que ocupa el lugarcentral cuando todos los valores estánordenados.

Moda: valor cuya frecuencia es la mayorde todas.

De la tabla, hallaremos la media ( x ), lamediana (Me) y la moda (Mo) de las notas.

2 5 5 8 8 10 15 12 15 14 25 16 5 18x75

x 13, 47

Me = 14 (de los 75 valores, la medianaes aquel valor que ocupa el lugar 38,el cual corresponde a la nota 14).

Mo = 16 (es el valor cuya frecuencia es

25, la mayor de todas las frecuencias).

I. Verdadero

La media es menor que la mediana

porque x = 13,47 < Me = 14

II. Verdadero

La moda es mayor que la mediana

porque Mo = 16 > Me = 14

III. Verdadero

La media es mayor a 13 porque

x = 13,47

En consecuencia, las tres proposiciones

son verdaderas.

Respuesta: A) VVV

Page 31: 9. Aritmética

31LIBRO UNI ARITMÉTICA

NUMERACIÓN

ARITMÉTICA

El número surge con la necesidad del hombre de expresar oasociar una cantidad a los objetos o elementos que lo rodean.Por ejemplo, la ciencia a comprobado con sus descubrimientosde vestigios prehistóricos, dibujos en piedra con marcas ysímbolos que reflejan una forma de conteo, es decir el hom-bre prehistórico ya tenía una noción de cantidad. Durante eltranscurso de la historia, las culturas, imperios o naciones sehan caracterizado por su particularidad en el estudio y repre-sentación de los números, tanto como su aplicación en lasmatemáticas, que permitieron en gran medida su avancetecnológico, científico, militar, económico; como han sido lacultura romana, egipcia, china, árabe, etc.En nuestro caso desde que somos niños nos enseñan enlos colegios a escribir y pronunciar correctamente las letras(palabras) y los números (numerales), y muchas veces noshemos preguntado ¿para qué?; por ejemplo, elegimos unalumno del aula y le hacemos las siguientes preguntas:• Nombre• Edad• Peso• Estatura• Dirección de domicilio• TeléfonoAhora analizamos, ¿cuántos números habrá utilizado en susrespuestas?

A. NúmeroEs un ente matemático que nos da la idea de cantidad.Sirve para cuantificar los elementos de la naturaleza.

B. NumeralEs la representación gráfica de un número.Ejemplo: XII, 347, .......

C. CifrasEs un símbolo que se utiliza para representar un número.

Cifras: cifras significativas

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...

Analicemos el siguiente diagrama, un niño observa unárbol con catorce manzanas.

• La idea en su mente es el número.• Si él coge una piedra y realiza marcas sobre la tierra

indicando el número de manzanas que observa:

Representación: IIII IIII IIII, XIV, 14, ...

Se pueden utilizar una o más cifras

(Numeral)

Observación:

Vemos la diferencia entre número (idea) y numeral(representación) pero es frecuente que en diversoslibros o exámenes de admisión lo consideren lo mismo,por lo cual los estudiaremos en forma indistinta.

I. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓNEs un conjunto de principios que rigen la correcta re-presentación y escritura de los numerales. Básicamen-te son dos los principios que necesitamos conocer.

A. Principio del orden"Toda cifra en un numeral ocupa un lugar y poseeun respectivo orden".

Ejemplo:

4 3 2 1

DESARROLLO DEL TEMA

Page 32: 9. Aritmética

32LIBRO UNI ARITMÉTICA

NUMERACIÓNExigimos más!

B. Principio de la baseTodo sistema posicional de numeración tiene unadeterminada base, la cual es un número enteroque indica cuantas unidades de cierto orden son nece-sarias para formar una unidad en el orden inme-diato superior.En forma práctica indica de cuanto en cuanto seestán agrupando las unidades simples.En base 10: diez unidades de un determinado ordenformarán una unidad del orden siguiente (superior).

Ejemplo:En el gráfico inicial, si el niño observa catorce manzanas,vamos a representarlas cada una por una bolita y luegopor agrupación expresaremos en las bases diez, ocho,cinco y tres.

Conclusiones

• 2 Base

• 0 Cifra Base

• Cifras usadas en base n:

cifra máxima

0, 1, 2, 3, ..., (n - 2), (n 1)

C. Cambio de base

1. De base 10 a otra base n ( n ≠ 10 )

Ejemplos:• Pasando 25 a la base 7

• Pasando 25 a la base 4

• Pasando 153 a la base 6

2. De base m a base 10 ( m ≠ 10 )

Ejemplos:

6738 = 6000 + 700 + 30 + 8

6738 = 6 x 103 + 7 x 102 + 3 x 101 + 8

4527 = 4 x 72 + 5 x 71 + 2 = 333

24135 = 2 x 53 + 4 x 52 + 1 x 51 + 3 = 358

2001003 = 2 x 35 + 1 x 32 = 495

300004 = 3 x 44 = 768

3. De base m a base n ( m ≠ 10 ∧ n ≠ 10)

Ejemplo:Expresar 24135 en la base 8.

D. Algunos sistemas de numeración

Base Nombre Cifras

2 Binario 0; 1

3 Ternario 0; 1; 2

4 Cuaternario 0; 1; 2; 3

5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4

6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5

7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; ....; 7

9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; .....; 8

10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; .....; 9

11 Undecimal 0; 1; 2; 3; ......; (10)

12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; ..... ; (11)

II. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN

NUMERALCuando se desea denotar a un numeral en forma ge-neral, conociendo alguna información sobre él (ya seacon respecto a las cifras o a la base), se pueden em-plear letras que representen a las cifras.

Page 33: 9. Aritmética

33LIBRO UNI ARITMÉTICA

Exigimos más!NUMERACIÓN

Ejemplos:• ab representa a un numeral de 2 cifras, por ejem-

plo: 10; 11; 12; 13; ...; 99.

• a25 puede estar representando a: 125; 225; 325;425; ...; 925

• Numeral de 3 cifras consecutivas crecientes:

a(a 1)(a 2)

123, 234, 345, 456, 567, 678, 789

• 2a5(a ) = 151; 254; 359.

•6

3m(m 2) = 3026; 3136; 3246; 3356

•7

4(m 1)(m 3) =4407; 4517; 4627

Numeral capicúaSon aquellos numerales cuyas cifras equidistantes, delcentro del numeral, son iguales.

En general: abcdcban

===

Ejemplos:4774; 2528; 19491

7

aba; abba;

mnppnm ; somos

III. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

k 1 k 2 k 3

nk cifras

abc .. pq an bn cn ... pn q

Ejemplos:

nabcd = a × n3 + b × n2 + c × n + d

4aaa = a × 42 + a × 4 + a = 21a

5abba = a×53 + b×52 + b×5 + a = 126a + 30b

5a03a = a × 53 + 3×5 + a = 126a + 15

A. Descomposición polinómica por bloques

n n n

n n n

n n n

n n n

n n n

3

3

4 2

2

3 2

abcde ab n cde

abcde ab n cd n e

abcde a n bc n de

abcde abc n de

abcde ab n c n de

Ejemplos:4758 = 4700 + 58

2abab ab 10 ab 101 ab

4 4 4 43abcabc abc 4 abc 65 abc

6 6 6 63ab0ab ab 6 ab 217 ab

5 5 552ab32 ab 5 32 25 ab 17

IV. PROPIEDADES

A. Bases sucesivas

1c 1d 1e K

1b 1a K e d c b a

Ejemplos:

141214

7

15 7 + 4 + 2 + 4 + 5 = 22

141213

14129

32 = 32(9+2+4+3+2+4)

= 3224 = 3 × 24 + 2 = 74

1213

1(n 1) n

11

= n(n 1)1 2 3 ... n

2

B. Numeral de cifras máximas

Kn

k cifras

(n 1)(n 1)(n 1).....(n 1) n 1

Ejemplos:

Base 10 Base 69 = 10 - 1 5 = 6 - 199 = 102 - 1 556 = 62 - 1999 = 103 - 1 5556 = 63 - 19999 = 104 - 1 55556 = 64 - 1

Base 8 Base 47 = 8 - 1 3 = 4 - 1778 = 82 - 1 334 = 42 - 17778 = 83 - 1 3334 = 43 - 177778 = 84 - 1 33334 = 44 - 1

C. Intervalo de un numeral

k 1 kn

"k" cifrasn abc...de n

Page 34: 9. Aritmética

34LIBRO UNI ARITMÉTICA

NUMERACIÓNExigimos más!

Ejemplos:2 310 abc 10

73 47 abcd 7

35 63 abcdef 3

¿Cuántos numerales de tres cifras hay en base 8?

V. CAMBIO DE BASE ESPECIAL

A. De base n a base nk

Se forman bloques de k en k cifras de derecha aizquierda, luego cada bloque se descompone polinó-micamente y el valor que resulte será una cifra en labase nk.

2n n n n

3n n

(n )

(n )

ab cd ef

abc def

a b c d e f

na b c d e f

Ejemplos:2122113 = (213) (223) (113)9

= (2×3+1)(2×3+2)(1×3+1)9= 7849

121123 = 1(213)(123)9= 1(2×3+1)(1×3+2)9

= 1759

2122113 = (2123)(2113)27

= (2×32 + 1×3 + 2) (2×32 + 1×3 + 1)27

= (23)(22)27

B. De base nk a base nCada cifra de la base nk se lleva por divisiones suce-sivas la base "n" y cada una nos dará "k" cifras en labase n; a excepción de la primera cifra que podríagenerar menor número de cifras.

Ejemplo:Expresar 7849 en base 3.

Problema 1¿En cuántos sistemas de numeración elnúmero 1234 se escribe con tres cifras?

UNI 2010-INivel fácil

A) 23 B) 24 C) 25D) 26 E) 27

Resolución:

Ubicación de incógnitaHalle los valores de la base (n)

Análisis de los datos o gráficos

n1234 abc

Operación del problema (Propiedad)2 3

nn abc n ; 2 3n 1234 n

Desarrollando la desigualdad:3 1234 n 1234

10,... n 35,...

25 valores

n {11, 12, 13, ..., 35}

Respuesta: C) 25

Problema 2

Sabiendo que: (6)a00a bc1,0 es el cero,

a 0 , determine la suma (a + b +c) UNI 2008-II

Nivel intermedioA) 12 B) 13C) 14 D) 15E) 16

Resolución:

Ubicación de incógnita:a + b + c

Operación del problema

(6)aooa bc1

Por descomposición polinómica y redu-ciendo: 217a bc1

ConclusionesPor terminación, se observa que a = 3 217 × 3 = 651 = bc1 a = 3, b = 6, c = 5

a + b + c = 14

Respuesta: C) 14

Problema 3De la igualdad (7) (n)a2b a51 calcule elvalor de: a + b + n.

UNI 2006–INivel difícil

A) 11 B) 12C) 13 D) 14E) 15

Resolución:

* (7) (n)a2b a51

• Por Desigualdad aparente:

7 n 5 n 6

* Ahora: (7) (6)a2b a51

• 2 2ax 7 2 x 7 b a x6 5 x 6 1

13a b 17

1 4

a b n 1 4 6 11

Respuesta: A) 11

problemas resueltos

Page 35: 9. Aritmética

35LIBRO UNI ARITMÉTICA

ANÁLISIS COMBINATORIO

ARITMÉTICA

En este capítulo desarrollaremos métodos para realizar unconteo rápido y poder conocer de cuántas maneras puedeocurrir un acontecimiento; por ejemplo.• ¿Cuántas jugadas se pueden hacer en la TINKA?• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 2

personas en una carpeta de 4 asientos?

I. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DELCONTEOSon dos principios básicos para el conteo:

A. Principio de AdiciónSi un determinado suceso A ocurre de “m” mane-ras diferentes y un suceso B ocurre de “n” manerasdiferentes entonces, el suceso “A o B” (en sentidoexcluyente) se podrá realizar de “m + n” manerasdiferentes.

Aplicación 1:En un centro comercial se desea comprar una ca-misa, esta prenda se vende en:• 13 tiendas del 1.er nivel• 15 tiendas del 2.o nivel¿De cuántas maneras diferentes se puede elegiruna tienda para hacer esta compra?

Rpta.: ________________

Aplicación 2:Mario para viajar de Lima a Chiclayo dispone de 11líneas de transporte terrestre y 5 de transporteaéreo.¿De cuántas maneras diferentes puede elegir elmedio de transporte?

Rpta.: ________________

Aplicación 3:De cuántas maneras diferentes puede ir de A a Bsin retroceder ni repartir ningún tramo.

Rpta.: ________________

B. Principio de MultiplicaciónSi un determinado suceso A ocurre de “m” mane-ras diferentes y por cada uno de estos el suceso Bocurre de “n” maneras diferentes, entonces lossucesos “A” seguido de “B”, o “A” y “B” simultánea-mente ocurre de “m x n” maneras diferentes.

Aplicación 4:Se desea enviar una pareja mixta de nadadores alas olimpiadas y se dispone de 8 varones y 15 da-mas. ¿Cuántas parejas diferentes se podrán for-mar?

Rpta.: ________________

Aplicación 5:Se tienen 3 cajas vacías, de cuántas maneras dife-rentes se pueden distribuir 4 conejos en dichascajas.

Rpta.: ________________

Aplicación 6:¿Cuántos resultados diferentes se pueden obte-ner al lanzar 3 dados?

Rpta.: ________________

Aplicación 7:De 10 alumnos, se desea formar un comité inte-grado por un Presidente, Secretario y Tesorero.¿Cuántos comités se pueden formar?

Rpta.: ________________

DESARROLLO DEL TEMA

Page 36: 9. Aritmética

36LIBRO UNI ARITMÉTICA

ANÁLISIS COMBINATORIOExigimos más!

II. FACTORIAL DE UN NÚMEROSea n se define como factorial de "n" denotado porn! al producto de los enteros consecutivos del 1 al n.Ejemplo:0! = 1 (por convención)1! = 12! = 1 x 23! = 1 x 2 x 34! = 1 x 2 x 3 x 45! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5

También:

• 5! 1 2 3 4 54 !

• 8! 7! 8

5! 4 ! 5 8! 5! 6 7 8

5! 3! 4 5

Técnicas de conteoPermutacióna. Permutación lineal con elementos diferentes

Son todos los ordenamientos que se puedenformar con parte o con todos los elementos queconforman un conjunto.

Ejemplo:Dado el conjunto:

A a,b, c,d,ede cuántas maneras se podrán ordenar sus ele-mentos si los tomamos de:a. 2 en 2b. 3 en 3c. ordenamos todos

Resolución:

a) 5 4 20; pero

5 4

5 4 3! 5! 203! (5 2) !

b) 5 4 0 3 6

5 4 3

5 4 3 2! 5! 602! (5 3)!

c)

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 5! 120

Luego: se tienen "n" elementos diferentesal ordenarlos en "r" en "r" el número demaneras está dado por:

n!P(n, r) 0 r n(n r)!

Observaciónr n P(n,n) Pn n!

Aplicación 8:De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5chicas en una banca para 7, si dos de ellas quierensentarse en los extremos.

Aplicación 9:Se tiene un aula de 25 alumnos 5 de talla alta, 10de talla intermedia y 10 de baja estatura. Decuántas maneras se les podrá ordenar para formaruna batallón de desfile.

b. Permutación con elementos repetidosPermutar las letras: A, A, B, B, B.Luego si se tiene "n" elementos donde hayr1 : elementos de una primera clase.r2 : elementos de una segunda clase.

r3 : elementos de una k-ésima clase.

El número de permutaciones diferentes que sepueden formar con ellos será:

1 2 41 2 3 k

n!p(n,r , r ,....r )r ! r ! r ! ... r !

Donde: 1 2 3 kr r r ... r n

Aplicación 10:Cuántas palabras de 10 letras con sentido o no sepueden formar con las letras de la palabra ARIT-MÉTICA.

c. Permutación circularEs un arreglo u ordenamiento de elementos dife-rentes alrededor de un objeto en estos ordena-mientos no hay primer, ni último elemento, porhallarse todos en un ciclo cerrado imaginario.Ejemplo: De cuántas maneras se pueden or-denar4 elementos alrededor de un objeto.

A B

D C

A AB C

C DD B

A C

B D

A AD D

C BB C

La idea es mantener fijo un elemento y permutarlos restantes. Luego dados "n" elementos, alordenarlos alrededor de un objeto se podrá hacerlode:

0P (n) (n 1)!

Page 37: 9. Aritmética

37LIBRO UNI ARITMÉTICA

Exigimos más!ANÁLISIS COMBINATORIO

Aplicación 12:Se sientan 8 personas alrededor de una mesa, decuántas maneras se podrá ordenar.

Rpta.: ________________

Aplicación 13:5 parejas de novios juegan a la "ronda". ¿Cuántasrondas podrán formar si cada pareja no se separa?

Rpta.: ________________

III. COMBINACIONESSon diferentes "grupos" o subconjunto que se pue-den formar con parte o todos los elementos de unconjunto.Ejemplo:Cuántos subconjuntos se pueden formar con los ele-mentos de:

A a,b, c,d

A. Binarios

a,b , a, c , a, d , b, c , b, d , c, d

B. Ternarios

a,b, c , a,b,d , a, c,d , b, cd

Luego el número de combinaciones (o subconjuntos)que se pueden formar con "n" elementos diferentestomados de "r" en "r", se calcula:

nr

n!c 0 r nr !(n r) !

Observaciones:

• n0c 1

• nnc 1

• n nr n rc c

Aplicación 13:Cuántas rectas se pueden trazar con 10 puntos nocolineales.

Rpta.: ________________

Aplicación 14:Con 8 varones y 3 damas cuántos comités de 4 perso-nas se pueden formar de modo que:A. Hayan 2 varones y 2 damas.

B. Siempre esté Tatiana en el grupo.

C. Haya al menos 2 mujeres.D. Haya a los más tres varones.

Rpta.: ________________

Conclusión:

Permutaciones OrdenamientosCombinaciones Agrupaciones

Problema 1El dueño de un concecionario automo-triz desea vender todos los autos quele quedan, los cuales son de diferentesmodelos, pero en el salón de exhibi-ción tendrán sólo 3 autos, el dueño cal-cula que existen 210 maneras diferen-tes de ordenar la exhibición, ¿cuántosautos le quedan por vender?

UNI 2012-IA) 4 B) 5C) 6 D) 7E) 8

Resolución:

Ubicación de incógnitaHallar el número de autos que quedanpor vender.

Análisis de los datos o gráficosLa cantidad de ordenamientos de "n"autos tomados de 3 en 3 es 210.

Operación del problema

n3

6 57

n!P 210(n 3)!

n (n 1)(n 2) 210

n 7 autos

Método práctico

.......(n autos)

Salónde

exhibición

n x (n-1) x (n-2) = 210 n = 7

Respuesta: D) 7

Problema 2¿De cuántas formas puede ordenarse loselementos del conjunto {V; S; #; *}?

UNI 2008 - IIA) 6 B) 8C) 16 D) 24E) 32

Resolución:

Ubicación de incógnitaNos piden el número de ordenaciones

Análisis de los datos o gráficosDado que hay 4 elementos y tácita-mente nos indica ordenarlos todos.

problemas resueltos

Page 38: 9. Aritmética

38LIBRO UNI ARITMÉTICA

ANÁLISIS COMBINATORIOExigimos más!

Operación del problemaCantidad deordenaciones

= P = 4! =2444

Respuesta: D) 24

Problema 3Determine el número de trayectorias quepermiten ir de A hacia B sólo con despla-zamientos hacia arriba o a la derecha.

A) 196B) 204C) 225

D) 252E) 260

Observación:Para ir de A a B hay tres formas:

En el problema:

Por lo tanto, el número de trayectoriade A hacia B es 252.

Método práctico:

En el problema: m = 5 y n = 5Número de trayectorías

10 9 8 7 6 5!5 5 ! 10!5! 5! 5! 5!

5!

252120

Respuesta: D) 252

Page 39: 9. Aritmética

39LIBRO UNI ARITMÉTICA

SUCESIONES NUMÉRICAS

ARITMÉTICA

I. DEFINICIÓNUna sucesión numérica es una lista de números quetienen un primer número, un segundo número, untercer número, y así sucesivamente, llamados términosde la sucesión. Cada término tiene un orden asignado,es decir, que a cada uno le corresponde un númeroordinal (n).Sea t1, t2, t3,...... Los términos de una sucesión,entonces a cada uno le corresponde un valor “n”, segúnsu posición.Así:

1t 1 primero n

2t 2 segundo n

3t 3 tercero n

En matemática superior se define la sucesión denúmeros (reales) como una función analítica cuyodominio es los números naturales y su rango losnúmeros reales. En notación matemática.

f;

A . Ley de FormaciónEs una expresión matemática, que relaciona laposición o lugar de cada término y el término en sí,de una sucesión, con la cual se puede obtenercualquiera de los términos de la sucesión. Laposición se expresa mediante el número ordinal n.La ley de formación también es llamada; fórmula derecurrencia, término general o término enésimo, yse representa como tn.Ejemplo:Si tn=n2+1Entonces:

211 t 1 1 2 n

222 t 2 1 5 n

233 t 3 1 10 n

244 t 4 1 17

n

La sucesión será: 2,5,10,17,...

Observación:El término serie, en matemática, se refiere a la sumaindicada de los términos de una sucesión numérica.

B . Algunas Sucesiones Númericas Importantes1. Sucesión Polinomial

Es aquella sucesión ordenada en la que cadatérmino a partir del segundo es igual al anterioraumentado en una variable o constantedenominada razón. Si la razón es constante sellama progresión. Toda sucesión aritmética opolinomial tiene por ley de formación unpolinomio, pudiendo ser lineal, cuadrática,cúbico, etc.

Sea la Sucesión polinomial:

n 1 n 1 n 1 n 1n 1 0 1 1 1 2 p 1t t C r C k C ... aC

Sabiendo

Que: ab

a!Ca b !b!

2. Sucesión GeométricaEs una sucesión ordenada en la cual el primertérmino y la razón son diferentes de cero, ycada término a partir del segundo se obtienemultiplicando al anterior por una razón variableo constante. Si la razón es constante sedenomina progresión geométrica.

DESARROLLO DEL TEMA

Page 40: 9. Aritmética

40LIBRO UNI ARITMÉTICA

SUCESIONES NUMÉRICASExigimos más!

Problema 1Considerando la sucesión:

–1; 0; 1; 0; 1; 2; 3; 6; ...el siguiente término es:

UNI 2012 - IIA) 8 B) 10C) 11 D) 12E) 14

Resolución:Piden x.Se tiene la sucesión:

x = 2 + 3 + 6 = 11

Respuesta: C) 11

Sea la sucesión geométrica.

Si 1 2 3q q q .... q (Cte. Razón Geométrica)

n 1n 1 qt t

3. Sucesión de FibonacciEs aquella en la que cada término a partir deltercero es la suma de los dos anteriores.1, 1, 2, 3, 5, 8,..........

n n

n1 1 5 1 5t

2 25

4. Sucesión de LucasEs la sucesión en la forma más general de lasucesión de fibonacci.

n n

n1 5 1 5t

2 2

5. Sucesión de Tribonacci o FerenbergEs aquella en la que cada término a partir delcuarto es la suma de los tres anteriores.1, 1, 2, 4, 7, 13, ....

6. Sucesión ArmónicaEs quella cuyos recíprocos (inversos) de sustérminos forman una progresión aritmética.Ejemplo:

2 2 2 2; ; ; ;...3 7 11 15

1 1 1 1; ; ; ;...3 5 7 9

7. Sucesión de Números PrimosFormada por los números naturales que poseensolo 2 divisores.2, 3, 5, 7, 11; 13; 17;.........

Reto al Ingénio¿Cuál es el término que continua, en la sucesión?8; 27; 125; 343; 1331; ....

Problema 2Indique el número que continúa en lasiguiente sucesión:

75; 132; 363; 726; ...UNI 2012 - I

A) 1180 B) 1254C) 1353 D) 1452E) 1551

Resolución:Nos piden el número que continúa.Analizamos la sucesión:

Respuesta: C) 1353

Problema 3Determine el número que continúa enla sucesión mostrada.

5, 13, 25, 41, 61, ...UNI 2011 - II

A) 77 B) 85C) 92 D) 96E) 109

Resolución:En la sucesión se observa lo siguien-te:

Respuesta: B) 85

problemas resueltos

Page 41: 9. Aritmética

41LIBRO UNI ARITMÉTICA

CUATRO OPERACIONES I

I. ADICIÓNEs una operación matemática, que consiste en reunirdos o más cantidades (sumandos) en una sola cantidad(suma).

a b c S+ + =

sumandos suma

Observación:Se recomienda colocar los sumandos en forma vertical.

4 3 2 +

9 4

5 2 6

1

12 10 2 1

Base 10

3 6 2 +

5 4

4 3 6

1

11 8 3 1

Base 8

8

8

8

Sumas notables• Suma de los "n" primeros enteros positivos.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n

n(n 1)S2+=

• Suma de los "n" primeros pares.S = 2 + 4 + 6 + ... + (2n)

S n(n 1)= +

• Suma de los "n" primeros impares.S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)

2S n=

• Suma de los "n" primeros cuadrados perfectos.S = 12 + 22 + 32 + ... + n2

n(n 1)(2n 1)S6

+ +=

ARITMÉTICA

• Suma de los "n" primeros cubos perfectos.S = 13 + 23 + 33 + ... + n3

2n(n 1)S2

+=

• Suma de: S 1 2 2 3 3 4 ... n(n 1) = + + + + +

n(n 1)(n 2)S3

+ +=

• Suma de: 0 1 2 nS a a a ... a

n 1a 1Sa 1

II. SUSTRACCIÓNOperación que consiste en que dado dos cantidades(minuendo y sustraendo) hallar una tercera cantidad(diferencia) tal que:

M S D– =

Observación:Se recomienda restar en forma vertical.

8 2 5 –

1 6 2

6 6 3

se presta 10Base 10

6 1 4 –

1 5 1

4 4 3

se presta 8Base 8

8

8

8

Propiedades

1. En toda resta se cumple: M S D 2M+ + =

2. Para un numeral de tres cifras:

DESARROLLO DEL TEMA

Page 42: 9. Aritmética

42LIBRO UNI ARITMÉTICA

CUATRO OPERACIONES IExigimos más!

Ejemplos:• 8 1 4 –

4 1 8

3 9 6

• 7 8 1 –

1 8 7

5 9 4

III. COMPLEMENTO ARITMÉTICOEs lo que le falta a una cantidad para ser unidad delorden inmediato superior.Ejemplos:

• CA( 7 ) 10 7 3= – =11 cifra

• CA( 38 ) 10 38 62= – =22 cifras

• CA( 681 ) 10 681 319= – =3

En general: CA( N ) 10 N= –x

x cifras

Observación:En forma práctica se puede calcular restando de 10a la última cifra y las restantes restamos de 9.

CA( 4 8 3 ) 5 1 7=9–4 9–8 10–3

9 10

CA(86 3 ) 137

En generalSi C 0 entonces

CA( abc ) (9 a)(9 b)(10 c)= –– –

IV. MULTIPLICACIÓNEs una operación binaria, donde dados dos elementosM y m llamados multiplicando y multiplicador se le hacecorresponder un tercer elemento P llamado producto.Origen:

m veces

M M M ... M P

M m P =Donde:

M multiplicandofactor

m multiplicador

P :Producto

==

Notas:1. Si se multiplica:

24365

121 5145815795

1er producto parcial2do producto parcialProducto Total

×

3 cifras

2. Si: abc 7 = .......... 6 c = 8

3. Si: abc 4 = .......... 2 c =3

84. Se cumple:

(# impar) (.... 5) = ..... 5

(# par) (... 5) = .......0

5. Se cumple:

n(n + 1) =026

II. DIVISIÓN

Es un caso particular de la división en la que el dividendo,divisor y cociente son números enteros; en este caso se recurrea un cuarto términos llamado residuo.

D d r: residuor q

Puede ser:

A. Exacta (residuo = 0)

En general:

D d D d q0 q

=

B. Inexacta (residuo > 0)

1. Por defecto

En general

+D d D d q r dr q

= +

Donde: 0 < r < d

q : cociente por defecto

r : residuo por defecto

2. Por exceso

En general:

+e e

e e

D d D d q r dr q

= –

Donde: 0 < re< d

qe : cociente por exceso

re : residuo por exceso

Propiedades de la división inexacta

1. qe = q + 1

2. rmax = d – 1

3. rmin = 1

4. r + re = d

Page 43: 9. Aritmética

43LIBRO UNI ARITMÉTICA

CUATRO OPERACIONES IExigimos más!

Problema 1Si (a + b + c)2 = 2 025.Hallar el valor de:

S abc bca cba= + +Nivel fácil

A) 4895 B) 4905C) 4695 D) 4995E) 4 05

Resolución:Se tiene:

(a + b + c)2 = 2 025Entonces:

a + b + c = 45Escribiendo los numerales en formavertical y sumando ordenadamente.

a b c +

b c a

a c b

S = 4 9 9 5

44

Respuesta: D) 4 995

Problema 2

¿Cuántos números de 3 cifras existen talesque sumado con el número que resultade invertir el orden de sus cifras seobtiene un número capicúa de 4 cifras?

Nivel intermedio

A) 8 B) 7C) 9 D) 5E) 10

Resolución:Debemos hallar los números de la formaabc tal que:

a b c +

c b a

x y y x

Si el resultado tiene 4 cifras se deduceque x = 1.En las unidades tenemos: a + c = 11En las decenas: 2b + 1 = ...y < 10Entonces: y = 1 b = 0De la condición anterior tanteamos:

a c 11+ =2 9

{ {

9 2

3 8

Los números son:

8 números

209;308;407;506;605;704;803;902

Respuesta: A) 8 números

Problema 3Calcula la suma de todos los númeroscapicúa de 4 cifras.

Nivel intermedio

A) 935 000B) 444 000C) 143 000D) 480 000E) 495 000

Resolución:Los números son:1001; 1111; 1221; ....; 9779; 9889; 9999a pesar de no formar una progresiónaritmética, podemos observar que:1001+9999=1111+9889=1221+9779=...Las sumas de los términos de la suce-sión que son equidistantes de los ex-tremos, son iguales.Entonces como existen:

a b b a

9.10 =90 números

Se forman 45 parejas, y la suma de

todas ellas es:

45(1001 + 9999) = 495 000

Respuesta: E) 495 000

problemas resueltos

Page 44: 9. Aritmética

44LIBRO UNI ARITMÉTICA

CUATRO OPERACIONES II

ARITMÉTICA

I. MULTIPLICACIÓNEs una operación binaria, donde dados dos elementosM y m llamados multiplicando y multiplicador se le hacecorresponder un tercer elemento P llamado producto.

Origen:

m veces

M M M ... M P

M m P =

Donde:

M multiplicandofactor

N multiplicador

P : Producto

==

Notas:

1. Si se multiplica:x2 4 3

6 51er producto parcial1 2 1 5

1458 2do producto parcial

15795 Producto Total

2. Si: abc 7 = .......... 6 c = 8

3. Si: abc 4 = .......... 2 c =3

84. Se cumple:

(# impar) (.... 5) = ..... 5

(# par) (... 5) = .......0

5. Se cumple:

n(n + 1) =026

II. DIVISIÓNEs un caso particular de la división en la que el dividendo,divisor y cociente son números enteros; en este casose recurre a un cuarto términos llamado residuo.

D d r: residuor q

Puede ser:

A. Exacta (residuo = 0)En general:

D d D d q0 q

=

B. Inexacta (residuo > 0)

1. Por defectoEn general

+D d D d q r dr q

= +

Donde: 0 < r < dq : cociente por defector : residuo por defecto

2. Por excesoEn general:

+e e

e e

D d D d q r dr q

= –

Donde: 0 < re< dqe : cociente por excesore : residuo por exceso

Propiedades de la división inexacta1. qe = q + 12. rmax = d – 13. rmin = 14. r + re = d

DESARROLLO DEL TEMA

Page 45: 9. Aritmética

45LIBRO UNI ARITMÉTICA

CUATRO OPERACIONES IIExigimos más!

Problema 1Si a y b son dígitos tales que:

(a + b)2 = 144Hallar: ab + ba.A) 100 B) 101C) 132 D) 72E) 76

Resolucióna + b = 12.Entonces ab + ba = 132

Respuesta: C) 132

Problema 2Si se aumenta 10 a los dos factores deun producto éste quedará aumentadoen 1100.

¿Cuál será dicho producto si la diferenciade los factores es 20?A) 4800 B) 3500C) 2400 D) 1500E) 6300

Resolucióna.b P

a 10 b 10 P 1100 + + = +a b 100+ =

De : a b 20– =Entonces : a 60=

b 40=P 240 =

Respuesta: C) 2400

Problema 3La suma de dos números es 323. Aldividir el mayor de los números por elotro, se tiene 16 de cociente y residuomáximo. El número mayor es:A) 302 B) 234 C) 305D) 304 E) 243

Resolucióna b 323 + =a 16b b 1 = + –a 17b 1= –entonces 18b 324=

b 18=a 305=

Respuesta: C) 305

problemas resueltos