9.8 距离

9.8 9.8 距离距离点到平面的距离点到平面的距离

直线到与它平行平面的距离直线到与它平行平面的距离

两个平行平面的距离两个平行平面的距离

两条异面直线的距离两条异面直线的距离

P

P

PA

过平面外一点有唯一的一条直线垂直于，

AA

AB为内异于的任一点，△ PAB由是直角三角形可得

BBA设为垂足，

PA PB

一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一个点到这个平面的距离。

可见，连结平面外一点 P 与内一点所得的线段中，垂线段 PA 最短

l

一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。

如果一条直线平行于平面，l 则直线上的各点到平面的垂线段相等，

l

即上各个点到的距离相等。l

在棱长为 a 的正方体 AC1 中找出表示下列距离的垂线段 :

（ 1 ）点 A 到面 BCC1B1 的距离；

（ 2 ） B1D1 到面 ABCD 的距离；

（ 3 ）点 A 到面 BB1D1D 的距离．

a

a2

a2

例 1. 如图 , 已知正三角形 ABC 的边长为 6cm ，点 O到△ ABC 各顶点的距离都是 4cm ，求点 O 到这个三角形所在平面的距离。

A B

C

O

H

E

设 H 为点 O 在平面 ABC 内的射影，延长 AH ，交 BC 于 E ，连结 BH 、CHOA OB OC HA HB HC

即 H 是△ ABC 的中心， AE是边 BC 上的垂直平分线在 Rt BHE△ 中，

13

2BE BC 2 3

cos 30

BEBH

2 2 2 24 (2 3) 2(cm)OH OB BH

即点 O 到平面 ABC 的距离是 2cm解 :

// 平面平面，

A B

A’ B’

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。

直线 AA’、 BB’都是它们的公垂线段

AA B B 四边形是矩形两个平行平面的公垂线段都相等

两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离两个平行平面的距离。

练习练习 P49P49 ：：2. 与已知平面的距离等于 3cm 的所有点的集合是什么图形？3. 已知两平面平行，且两平面距离为 4cm ，与两平面距离相等的所有点集合是什么图形？

1. 零 , 零。

在已知平面两侧且距离为 3的两个平行平面 .

在已知平面之间且距离为 2,平行于已知平面的一个平面 .

4. 045 , ,l A A 已知二面角为点点到棱, .l a A 的距离等于求点到平面的距离

l

A

E

解 : , .A AO O EO过点作于连结OAEO由三垂线定理知就是二面角

l .的平面角0 2 2

45 , , .2 2

AEO AO a A a 到平面的距离为

5. Rt ABC , D AB , AC=6,已知在平面内是斜边的中点B C=8, EC , EC=12cm, EA, EB, ED.求

A

DB

E

C

解 : 连结 CD, ,EC , ,EAC EDC EBC .是直角三角形

6, 12 6 5 ,AC EC EA cm 由

4 13 , 13 .EB cm ED cm 同理得

6. 如图 , 正三角形 ABC 的中心为点 O, 边长为 2cm.OH⊥ 平面 ABC, 且 OH=2cm, 求点 H 到这个正三角形各边的距离 .

A

H

OCB

解 :

D

连结 AO 并延长 AO 交 BC 于 D, 连 HD.

33, ,

3AD OD 则

, ( )AD BC BC DH 三垂线定理

2 2 39, .

3Rt HOD DH OH OD cm 在中

39, , .

3H AB AC cm同理到的距离是

异面直线的距离异面直线的距离在正方体中，棱 AA’ 和 BC 所在直线是异面直线，直线 AB 和它们都垂直相交。和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直两条异面直线的公垂线线的公垂线。

任意两条异面直线有几条公垂线？

直线 AB 就是两异面直线 AA’ 和 BC 的公垂线

a’

b

c

M

a

任意两条异面直线有且只有一条公垂线

A

B

A’

B’P

Q

证：设 a 、 b 是两条异面直线在 b 上任取一点 P ，过 P 引 a’//a ，设 b 、 a’ 确定平面，则 a// 在 a 上任取一点 Q ，过 Q 引QM ，垂足为 M ，设 a 和 QM 确定的平面与平面相交于直线 c ，

c 与 b 相交于点 B 。

在内作 BA // MQ ，交 a 于点 A ，则

b aAB AB AB ，，a//a AB a a bAB 又因，所以，是、的公垂线段

a b

b a

AB如果还有直线也是、的

AB AB公垂线，则，

aA B A B 于是，//

a b

A B AB A B AB 所以，和共面，即、共面

a b这与、是异面直线矛盾，因此两条异面直线的公垂线只有一条

a

b

A

B

可见，直线 AB 就是异面直线 a 、 b 的公垂线两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。

（即线段 AB 就是异面直线 a 、b 的公垂线段）

两条异面直线的公垂线段长是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。

两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。

1AC练习：在正方体中说出下列各对棱所在直线的距离：

① 1 1AB与 BC ；② 1AB CC与；③ 1AD BB与；④1 1DC BC与

A B

CD

A1 B1

C1D1

(1)|BB1|

(2)|BC|

(3)|AB|

(4)|CC1|

异面直线间距离的求法：a b

m n d

E F已知两条异面直线所成的角为，在直线、上分别取、，AE AF EF l AA已知＝，＝，＝，求公垂线段的长。

a

b

a’

A’

E

AF

m

d

n

EF EA A A AF ��

解： 22

EF EA A A AF ��

2 2 2EA A A AF ��

AA EA AA AF ��

，, ( )EA AF

��或

l

22 22 ' 2l EA AA AF EA AF ��

2 2 2 2 cosm d n mn

2 2 2 2 cosd l m n mn

2 2 2EA A A EA AF A A AF ��

1. // 6cm

3cm

A B AB

AB

已知平面平面，且点，，＝，在平面内的投影为，求两平行平面的距离。

A

B

A’

A AA A AB分析：过点作，垂足为，连结

A B AB AB 3则为在平面内的射影，则＝

2 2 2 2

t

6 3 3 3

R AA B

AA AB A B

△在中，

＝

3. 已知一空间四边形 OABC 个边及对角线长都是 1 ，D 、 E 分别是边 OA 、 BC 的中点，连结 DE 。

（ 1 ）求证 DE 是异面直线 OA 和 BC 的公垂线段 ;

O

A

B

C

D

E

证明一：连结 DB 、 DC

OABC 1空间四边形个边及对角线的长都是

AOB△ △ AOC 1和都是边长为的正三角形DB DC △ AOB △ AOC而、为和的中线

DB DC E BC而点为的中点

DE BC DE AO同理，

DE OA BC 是异面直线和的公垂线段



O

A

B

C

D

E

证明二：连结 OE 、 AE

OABC 1空间四边形个边及对角线的长都是OB△ C △ ABC 1和都是边长为的正三角形

OE AE △ ABC △ BOC而、为和的中线

, ,OE BC AE BC E BC而点为的中点

DE BC DE AO同理，DE OA BC 是异面直线和的公垂线段

.BC AEO 平面



O

A

B

C

D

E

证明三：

DE BC

DE AO同理，

DE OA BC 是异面直线和的公垂线段

DE DO OC CE ��

( ) 0DE BC DO OC CE BC ��

(2) 计算 DE 的长；(3) 求点 O 到平面 ABC 的距离 OH ．

O

A

B

C

D

E


23

2

2 11 DB=DC 1解：由（）可知＝－＝

2

2 22 2 3 1

2 2DE DB BE

＝

DE BC且

2

2＝

33 O OF AB F, OF ,

2 过作于

1 3FH FC ,

3 6

2 2 6OH OF FH .

3

HF

3 ．已知一空间四边形 OABC 各边及对角线长都是1 ， D 、 E 分别是边 OA 、 BC 的中点，连结 DE ．(1) 求证 DE 是异面直线 OA 和 BC 的公垂线段；(2) 计算 DE 的长；(3) 求点 O 到平面 ABC 的距离 OH ．

O

C

B

A

D

H E 1 1 12 DE OE OD OB OC OA

2 2 2

��

2 2 2 21| DE | (| OB | | OC | | OA |

41

2OB OC 2OB OA 2OC OA)2

��

��

2

2DE

4 ．已知正方体 ABCD—A′B′C′D′ 的棱长为 1 ，求直线 DA′ 与 AC 的距离．

B’

C’

D’

A

B C

D

'A

O

O’

E

: AC, AC/ / ACD,解如图连则面 BD, DC, DO, BD,连

O OE OD E,过作于 AC BBDD,面

OE OD, OE ACD.又面

AC OE,

OE DA AC .是即为直线和的距离OO D Rt , OE OD=ODOO,在中 .

3OE=可求得

3

5 ．已知直线 AB 与平面 α 所成的角为 30° ，直线 AC 与平面 α 所成为 60° ， AB ＝ 6cm ， AC ＝ 8cm ，且斜线段 AB 和 AC 在平面 α 内的射影 AB′ 和 AC′ 互相垂直，求 BC ．

A

BC

BCBB B A AC C C.

��( ) :法一解

:BC提示o) : AB 6 cos 30 3 3, (法二解法二

oAC 8cos 60 4, B C 16 27 43

B BC CC N,过作的平行线交于则3, BN=BC, CN=CC-BB=4 3

2 2

RtNC B

B C 43 (4 3 3) 100 24 3

2

在中

BN= NC

习题 P50 .6. 已知二面角 , 点 A 和点 B 分060PQ 为别在平面和平面内 , 点 C 在棱 PQ 上 , ACP= BCP=∠ ∠ 300,CA=CB=a.(1) 求证 :AB PQ;(2)⊥ 求点 B 到平面的

距离 ;(3) 设 R 是线段 CA 上一点 , 直线 BR 与平面所成角是450, 求线段 CR 的长 .解 :(1) 作 BN PQ⊥ 于 N, 连 AN.

0, 30 .AC BC a ACP BCP .BCN ACN 即 AN PQ,⊥ 故 AB PQ.⊥

(2) ∵α⊥ 面 ABN, 过 B 作 BH AN⊥ 于 H.0, , 60 ,

2

aBH BN BNA 则又

0 3sin 60 ,

2 4

aBH a

P

B

A R

QNHC

300,CA=CB=a

习题 P50 .6. 已知二面角 , 点 A 和点 B 分060PQ 为别在平面和平面内 , 点 C 在棱 PQ 上 , ACP= BCP=∠ ∠

(3) 设 R 是线段 CA 上一点 , 直线 BR 与平面所成角是 450, 求线段 CR 的

长 .解 :

连结 HR, 因 BH ⊥ 故∠ BRH 是 BR与所成的角 . 由已知 , BRH=45∠ 0,

3 6, , , .

4 4 2

a aBH a BR a AB BN=AN=因故

2

2 2 2 2 cos .BRD BR BC RC BC RC BCR 在中

5 1.

4 2CR a CR a 或

P

B

A R

QNH

C

2 2 2 7cos ,

2 8

BC AC ABABC BCR

BC AC

,在中

2 28 14 5 0CR aCR a 整理得

1, .

2CR CA a CR a

7. 在 1200 二面角的棱长，有两个点 A 、 B ， AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于 AB 的线段，已知 AB ＝ 4cm ， AC ＝ 6cm ， BD ＝ 8cm ，求 CD 的长。

C

A

B D

解：∵直线 AC 与直线 BD 是异面直线且 AB AC⊥ ， AB BD⊥∴ 线段 AB 为异面直线 AC 与 BD 的公垂线段

2 2 2 06 4 8 2 6 8cos 60 164

CD CA AB BD ��

2

CD CA AB BD CA AB BD ��

2 2 22 2 2CA AB BD CA AB CA BD AB BD

��

CA AB AB BD ��

， 0 0 0, 180 120 60CA BD ��

2 2 2 2 02 cos 60CD CA AB BD CA BD ��

2 41CD ��

8. 设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是 1m ，所成的角是 600 ，这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂足都是 10cm ，求这两点的距离。

a

b

a’

A’

A

E

F

a b AA解：设这两条异面直线为、，为它的公垂线， EF为所求两点的距离

060

EF EA A A AF ��

2

EF EA A A AF EA A A AF ��

2 2 22

2 2

EA A A AF EA A A

EA AF A A AF

��

��

AA EA AA AF ��

， 0 0, 60 120EA AF ��

或

22 2 2 1

10 1 10 2 10 102

EF

��

2 2 2 2 02 cos 60EF EA A A AF EA AF ��

101 301 cmEF ��

或（）

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