A

Einfuhrung in Mathematica

A.1 Erste Schritte

Mathematica ist ein umfassendes Programmpaket, das sowohl symbolisch als auchnumerisch rechnen kann. Im einfachsten Fall kann es wie ein Taschenrechner verwen-det werden. Geben wir zum Beispiel 3+5 ein und drucken danach die ENTER-Tastebeim Ziffernblock (oder alternativ auch SHIFT+RETURN):

In[1]:= 3 + 5

Out[1]= 8

Ein Strichpunkt am Ende einer Anweisung unterdruckt die Ausgabe. Sie konnenmehrere Anweisungen auf einmal eingeben, indem Sie diese durch Strichpunkte tren-nen:

In[2]:= x = 5; 3 ∗ xOut[2]= 15

Das Multiplikationszeichen ∗ muss nicht geschrieben werden, ein Leerzeichen genugt.Vergessen Sie aber auf dieses Leerzeichen nicht – das kann namlich einen großen Un-terschied machen, wie das folgende Beispiel zeigt:

In[3]:= xy + x y

Out[3]= xy + 5y

xy ohne Leerzeichen wird also als Variable mit zwei Zeichen aufgefasst. Auch Groß-/Kleinschreibung wird von Mathematica unterschieden:

In[4]:= X + x

Out[4]= 5 + X

Sie haben bereits gesehen, dass jede Eingabe und jede Ausgabe mit einer Nummerversehen werden. Sie konnen auf den jeweiligen Ausdruck jederzeit zuruckgreifen:

In[5]:= Out[1]/2Out[5]= 4

Die unmittelbar vorhergehende Ausgabe erhalten Sie mit einem Prozentzeichen:

484 A Einfuhrung in Mathematica

In[6]:= % + 3

Out[6]= 7

Momentan ist x mit dem Wert 5 belegt:

In[7]:= 1/(1− x) + 1/(1 + x)

Out[7]= − 1

12

Mit Clear konnen Sie diese Belegung loschen:

In[8]:= Clear[x]Nun ist x wieder unbestimmt:

In[9]:= 1/(1− x) + 1/(1 + x)

Out[9]=1

1− x+

1

1 + x

Zur Vereinfachung eines Ausdrucks konnen Sie den Befehl Simplify verwenden. Ver-einfachen wir beispielsweise die letzte Ausgabe:

In[10]:= Simplify[%]

Out[10]=− 2

−1 + x2

Vielleicht ist Ihnen aufgefallen, dass Mathematica Ausdrucke in einer gut lesbarenForm ausgibt, also beispielsweise eine Potenz in der Form x2 anstelle von x 2. Auchwir konnen Bruche, Potenzen usw. entweder mit den ublichen Symbolen /, ˆ usw.eingeben, oder wir konnen die entsprechenden Symbole mit der Maus aus einer Pa-lette auswahlen. So kann etwa der Bruch

In[11]:= (x + 1)/x 2;mit der Maus uber die Palette BasicInput (zu finden im Menupunkt File ->Palettes) auch in der Form

In[12]:=x + 1

x2;

eingegeben werden. Der Strichpunkt am Ende der Eingabe bewirkt, dass die Aus-gabe unterdruckt wird (der Ausdruck wird aber naturlich ausgewertet und auf dasErgebnis kann mit % oder Out[] zugegriffen werden).

Hilfe zu Mathematica-Befehlen finden Sie im Menu unter Help-> Help Browseroder mit dem Befehl ?Befehl, z.B:

In[13]:= ?SinOut[13]= Sin[z] gives the sine of z. More . . .

Ubung: Versuchen Sie, die Bezeichnung fur die Zahl π in Mathematica herauszu-finden.

A.2 Funktionen 485

A.2 Funktionen

Mathematica kennt eine Vielzahl von mathematischen Funktionen. Diese Funktio-nen beginnen immer mit einem Großbuchstaben. Die Argumente werden in eckigenKlammern angegeben. Einige der eingebauten Funktionen sind:

Sqrt[x] Wurzelfunktion√

xExp[x] Exponentialfunktion ex

Log[x] (Naturlicher) Logarithmus ln(x)Log[a,x] Logarithmus loga(x)

Sin[x], Cos[x] Sinus- und KosinusfunktionAbs[x] Absolutbetrag |x|

Zum Beispiel konnen wir die Wurzel aus 4 berechnen:

In[14]:= Sqrt[4]Out[14]= 2

Wenn wir aber etwa Sin[1] eingeben, so erhalten wir:

In[15]:= Sin[1]Out[15]= Sin[1]

Das ist vermutlich nicht das Ergebnis, das Sie erwartet haben! Mathematica wertetden Ausdruck hier symbolisch (und nicht numerisch) aus. Und da es fur Sin[1] sym-bolisch keinen einfacheren Wert gibt, wird er unverandert ausgegeben (so, wie manja auch π schreibt anstelle von 3.141 . . .). Wir weisen Mathematica an numerischzu rechnen, indem wir das Argument mit einem Komma versehen (in Mathematicawird das Komma als Punkt eingegeben):

In[16]:= Sin[1.]Out[16]= 0.841471

Eine zweite Moglichkeit ist die Verwendung des Befehls N[ ]. Lassen wir uns zumBeispiel damit einen numerischen Wert fur π ausgeben:

In[17]:= N[Pi]Out[17]= 3.14159

oder fur die Eulersche Zahl:

In[18]:= N[E]Out[18]= 2.71828

Naturlich konnen wir auch eigene Funktionen definieren:

In[19]:= f[x ] := x2 + Sin[x] + a

Der Unterstrich in x teilt Mathematica mit, dass x in diesem Ausdruck die un-abhangige Variable ist. Die Verwendung von := weist Mathematica an, die rechteSeite jedes Mal neu auszuwerten, wenn f aufgerufen wird. Daher haben wir hierauch kein Out[...] bekommen. Nun kann die neue Funktion f wie jede eingebaute

486 A Einfuhrung in Mathematica

Funktion verwendet werden (solange, bis Sie Mathematica beenden):

In[20]:= f[2]Out[20]= 4 + a + Sin[2]

In[21]:= f[x]Out[21]= a + x2 + Sin[x]

In[22]:= x = 3; f[x]Out[22]= 9 + a + Sin[3]

Achtung: Man kann Funktionen auch nur mit einem = anstelle eines := definieren.Dann wird die rechte Seite zuerst ausgewertet (mit allen aktuellen Belegungen, er-gibt also hier z. B. mit x=3 den Wert a + 9 + Sin[3]). Dieser Wert wird dann (einfur alle Mal) als Funktionswert zugewiesen:

In[23]:= g[x ] = x2 + Sin[x] + a

Out[23]= 9 + a + Sin[3]

g ist damit eine konstante Funktion, d.h., wir erhalten immer denselben Funktions-wert, unabhangig vom Argument:

In[24]:= g[2]Out[24]= 9 + a + Sin[3]

Zusammenfassend gibt es also zwei Moglichkeiten: Funktionen von vornherein mit:= definieren oder vor der Definition mit = sicherstellen, dass die unabhangige Va-riable nicht mit einem Wert belegt ist, also

In[25]:= Clear[x]; g[x ] = x2 + Sin[x] + a

Out[25]= a + x2 + Sin[x]

In[26]:= g[2]Out[26]= 4 + a + Sin[2]

Mit Plot konnen Funktionen leicht gezeichnet werden:

Plot[f[x], {x, xmin, xmax}] zeichnet f als Funktion von x im Inter-vall von xmin bis xmax

Zeichnen wir zum Beispiel die Funktion Sin[x] im Intervall von 0 bis 2π:

In[27]:= Plot[Sin[x], {x, 0, 2π}];

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Meist ist der von Mathematica dargestellte Ausschnitt der y-Achse passend. Man

A.3 Gleichungen 487

kann ihn aber auch selbst mit PlotRange festlegen. Wahlen wir zum Beispiel furLog[x] das y-Intervall von −4 bis 4:

In[28]:= Plot[Log[x], {x, 0, 10}, PlotRange → {−4, 4}];

2 4 6 8 10

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Mathematica enthalt neben den eingebauten Funktionen auch eine Reihe vonStandard-Zusatzpaketen (Algebra, Graphik, diskrete und numerische Mathematik,Zahlentheorie, Statistik, . . . ), die viele zusatzliche Funktionen bereithalten. Bei Be-darf wird das entsprechende Zusatzpaket geladen:

<<dir‘ initialisiert alle Pakete aus dem Verzeichnis dir<<dir‘package‘ liest das Paket package aus dem genannten Verzeichnis ein

Alternativ konnen Pakete auch mit Needs["dir‘"] bzw. Needs["dir‘package‘"]geladen werden. (Achtung auf die Verwendung der richtigen Anfuhrungszeichen!)

Ubung: Zeichnen Sie die Funktion y = 1x−1 im x-Intervall von 0 bis 2 und im

y-Intervall von −20 bis 20.

A.3 Gleichungen

Eine Gleichung wird in Mathematica mit einem doppelten Gleichheitszeichen einge-geben

In[29]:= Sin[x]2 + Cos[x]2 == 1

Out[29]= Sin[x]2 + Cos[x]2 == 1

Mit Simplify kann man versuchen die Gleichheit zu uberprufen:

In[30]:= Simplify[%]Out[30]= True

Unsere Gleichung ist also richtig (True bzw. False sind die englischen Worter furwahr bzw. falsch).

Die quadratische Gleichung

In[31]:= gleichung = (x2 − 2x− 4 == 0);kann mit dem Befehl Solve gelost werden:

In[32]:= loesung = Solve[gleichung, x]Out[32]= {{x → 1−√

5}, {x → 1 +√5}}

Mathematica liefert dabei die Losung in Form von so genannten Ersetzungsregeln

488 A Einfuhrung in Mathematica

x→ wert. Der Vorteil dabei ist, dass dadurch x nicht automatisch mit wert belegtwird, man aber trotzdem leicht mit der Losung weiterrechnen kann. Zum Beispielkonnen wir die beiden Losungen in unsere Gleichung einsetzen und mit Simplifydie Probe machen:

In[33]:= Simplify[x2 − 2x− 4 /. loesung]Out[33]= {0, 0}Mit dem Ersetzungsoperator /. wird durch ausdruck /. x → wert uberall inausdruck die Variable x durch wert ersetzt.

Falls es, wie in unserem Fall, mehrere Losungen gibt, so kann man auf eineeinzelne Losung mit dem Befehl

In[34]:= loesung[[1]]Out[34]= {x → 1−√

5}zugreifen. Allgemein wird in Mathematica ein Ausdruck der Form

In[35]:= {a, b, c, d, e};als Liste bezeichnet. Man kann auf den n-ten Teil einer Liste list mit list[[n]]zugreifen:

In[36]:=%[[3]]Out[36]= c

Zusammenfassend gilt:

Solve[a == b, x] lost die Gleichung a==b mit x als Unbekannteausdruck /. loesung setzt loesung in ausdruck ein

loesung[[n]] gibt den n-ten Eintrag der Liste loesung aus

Mathematica kann naturlich auch Systeme aus mehreren Gleichungen mit einer odermehreren Variablen losen, wie zum Beispiel:

In[37]:= Solve[{x + y == a, x− y == 0}, {x, y}]Out[37]= {{x → a

2, y → a

2}}

Ubung: Losen Sie die quadratische Gleichung x2 − x − 12 = 0.

A.4 Programme

Mathematica ist nicht nur ein Mathematikprogramm, sondern auch eine vollwerti-ge Programmiersprache. Insbesondere stehen die ublichen Kontrollstrukturen undSchleifen zur Verfugung:

A.4 Programme 489

If[test, befehl1, befehl2] Ist test wahr, so wird befehl1ausgewertet, ansonsten befehl2(befehl2 ist optional)

Do[befehl, {j, jmin, jmax, dj}] fuhrt befehl mitj=jmin,jmin+dj,...,jmax aus

For[start, test, inkrement, befehl] fuhrt einmal start und dannsolange befehl und inkrementaus, bis test falsch ist

While[test, befehl] fuhrt befehl aus, solange testwahr ist

(Das Inkrement dj in der Do-Schleife ist optional mit Defaultwert dj=1). Beispiel:Der Befehl PrimeQ uberpruft, ob eine Zahl nur durch sich selbst oder eins teilbar,also eine Primzahl (siehe Abschnitt 2.6) ist:

In[38]:= PrimeQ[7]Out[38]= True

Mit diesem Befehl und einer Do-Schleife konnen wir eine Liste von Primzahlen kleinergleich einer vorgegebenen Zahl erzeugen. Lassen wir uns zum Beispiel alle Primzah-len kleiner gleich 10 ausgeben:

In[39]:= Do[If[PrimeQ[n], Print[n]],

{n, 1, 10}];

2357

Mit dem Befehl Module konnen mehrere Befehle ubersichtlich zusammengefasst wer-den:

Module[{var1=wert1, ...}, befehle] fuhrt die befehle mit lokalenWerten fur die aufgelistetenVariablen aus

Die einzelnen Befehle werden durch Strichpunkte getrennt. Das Ergebnis des letztenBefehls wird als Ergebnis des Blocks zuruckgegeben.

Zum Beispiel konnen wir eine Funktion definieren, die die erste Primzahl ausgibt,die großer oder gleich einer vorgegebene Zahl ist:

In[40]:= FindPrime[n ] := Module[{p = n},While[!PrimeQ[p], p++];p]

Dabei wird zuerst p mit n initialisiert. Dann wird p solange um eins erhoht (p++ istaquivalent zu p=p+1), wie der Primzahltest fehlschlagt (das Rufzeichen negiert denTest: aus wahr wird falsch und aus falsch wahr; hier wird also p um 1 erhoht, solange

490 A Einfuhrung in Mathematica

PrimeQ[p] falsch ist). Am Ende wird der gefundene Wert von p ausgegeben.

In[41]:= FindPrime[1000]Out[41]= 1009

Ubung: Verbessern Sie FindPrime, indem Sie berucksichtigen, dass Primzahlen (mitder Ausnahme von 2) immer ungerade sind (mit EvenQ[n] bzw. OddQ[n] konnen Sietesten, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist).

B

Losungen zu den weiterfuhrenden Aufgaben

B.1 Logik und Mengen

1. Die Wahrheitstabelle ergibt, dass nur B als Morder in Frage kommt. Logischgleichwertig ist die Formel (V ∧S)∨ (N ∧F ) (Das sieht man durch Vergleich derWahrheitstabellen fur alle 16 Kombinationen der Eingangsvariablen S, F, V, N).

2. a) A∪U b) K\(A∪U) = A∩U c) K\(A∪U ∪G) = A∩U ∩G d) A∩U3. a) A ∩ B b) B4. a) b b) 1 c) b5. Verneinung beider Seiten der DNF und Anwendung der de Morgan’schen Regeln

liefert die KNF fur die Verneinung von f und damit auch fur f (da f fur eine be-liebige Funktion steht). Man erhalt die KNF auch, wenn man das Dualitatsprin-zip auf die DNF anwendet und dabei alle Nullen (auch im Funktionsargument!)durch Einsen ersetzt und umgekehrt.

6. c1 = a + b, c2 = a · b, c3 = 1, c4 = a, c5 = b, c6 = a + b und c7 = a + b7. if(t, a, b) = t · a + t · b8. Die Regeln konnen leicht durch eine Wahrheitstabelle mit den drei Zeilen a < b,

a = b und a > b und den Spalten a ∨ b, a ∨ b usw. nachgewiesen werden.

B.2 Zahlenmengen und Zahlensysteme

1. a) ja b) ja2. Tipp: Gehen Sie analog wie fur

√2 vor.

3. –4. –5. –6. a) (51.25)10 b) (101100111.0011)2 c) (21422)8 d) (43981)107. exakt: x = 2d = 205117922, y = 2c = 83739041

abgerundet: x = d = 102558961 und y = c = 41869520.5aufgerundet: ad − bc = 0, also keine Losung

492 B Losungen zu den weiterfuhrenden Aufgaben

B.3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie

1. –2. –3. x = 1, y = 2.4. Ja.5. Nein, denn das Assoziativgesetz gilt nicht.6. x = 12 und y = 8.7. 38. Bei der Wahl m1 = 97, m2 = 98 und m3 = 99 folgen fur 203+125 bzw. 203 ·125

die Darstellungen (37, 34, 31) bzw. (58, 91, 31).9. –

10. –11. Durch Probieren: x = 3 und x = 7.12. 52, 9, 17, 52

B.4 Polynomringe und endliche Korper

1. 7x5 + 4x3 + x2 + 2 = ( 73x2 − 2

9 )(3x3 + 2x) + (x2 + 49x + 2)

2. x2 + 2x − 33. a) nicht kongruent b) kongruent4. Der Rest ist in beiden Fallen x2 + 1.5. kein Korper6. x4 + x2 + 17. 2x4 + 2x3 + x2 + x + 28. x3 + x + 1 und x3 + x2 + 1 sind irreduzibel. Die ubrigen sechs Polynome sind

reduzibel. Tipp: Die Nullstellen eines reduziblen Polynoms helfen bei der Suchenach den irreduziblen Faktoren.

9. m(x) = x3 + x + 1 oder m(x) = x3 + x2 + 110. irreduzibel11. a) 1101 b) 1111

B.5 Relationen und Funktionen

1.reflexiv symm. antisymm. asymmetrisch transitiv

< nein nein ja ja ja> nein nein ja ja ja≤ ja nein ja nein ja≥ ja nein ja nein ja= ja ja ja nein ja�= nein ja nein nein nein

2. –3. nein4. nein; y =

√4 − x2 und y = −√

4 − x2

B.8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen 493

5. streng monoton fallend fur (−∞, 0] und streng monoton wachsend fur [0,∞);beschrankt

6. [0,∞) oder (−∞, 0]7. –8. –

B.6 Folgen und Reihen

1. a) ∞ b) −∞ c) 47

2. a) ∞ b) −∞ c) 03. Kn+1 = Kn + Kn−1; divergent4. Fur negativen Startwert a1 konvergiert die Folge gegen −√

x.5. Verwenden Sie den gleichen Trick wie fur die Teilsummen der geometrischen

Reihe.6. 1423

3307. a) konvergent b) konvergent fur alle x ∈ R

8. 1

B.7 Kombinatorik

1. a) 308915776 b) 165765600 c) 712882560 d) 6854640002. a) 1024 b) 120 c) 56 d) 10133. 346504. 1265. a) 22n

b) 32n

6. –7. a) Anzahl der Host-IDs:

Klasse A: 224−2 = 16 777 214 Klasse B: 216−2 = 65 534 Klasse C: 28−2 = 254b) Anzahl der Net-IDs:Klasse A: 27 = 128 Klasse B: 214 = 16 384 Klasse C: 221 = 2097 152c) Anzahl der IP-Adressen: 27·(224−2)+214·(216−2)+221·(28−2) = 3 753 869 056

8. 25 · 23 · · · 3 · 1 Moglichkeiten. Faktor ca. 5.1 · 1013.

B.8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen

1. an = (−2) · 3n + 3 · 2n

2. an = 3n(1 + n)3. an = 2n+1 sin(nπ

2 )4. a) ja b) nein c) nein d) ja

5. fn = 1√5

(1+

√5

2

)n

− 1√5

(1−√

52

)n

6. a) an = −2n + 3n + 2 b) an = 3n + 27. an = 2n + 5n 2n + 3n+2

8. –

494 B Losungen zu den weiterfuhrenden Aufgaben

9. Tipp: Da die homogene Rekursion konstante Koeffizienten hat, ist mit sn auchdie verschobene Folge sn−k eine Losung.

10. a) b = 1 b) b = 2 c) b = 2 d) b = 111. richtig

B.9 Vektorraume

1. (xC , yC) = (3, 2) + n 1√5(2, 1)

2. linear unabhangig, daher Basis; Koordinaten k1 = −1, k2 = −2, k3 = 33. Aus a,b ∈ U1 ∩ U2 folgt sofort a + b ∈ U1 ∩ U2 und ka ∈ U1 ∩ U2. Fur U1 =

LH{(1, 0)} und U2 = LH{(0, 1)} gilt (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) �∈ U1 ∪ U2.4. ja5. (a1, a2) = k1(2, 1) + k2(3, 5) fur k1 = 1

7 (5a1 − 3a2) und k2 = − 17 (a1 − 2a2).

6. a) Teilraum; eine Basis ist zum Beispiel (0, 1)b) Teilraum; eine Basis ist zum Beispiel (1,−1)

7. a) dim(U) = 2 b) a �∈ U c) b ∈ U8. C ist ein Teilraum, da C abgeschlossen bezuglich Addition und Multiplikation

mit einem Skalar ist. Die Dimension von C ist 2, eine Basis ist zum Beispiel(0, 0, 1, 1) und (0, 1, 0, 1).

9. Basis; a = a1 + a2 + a3

10. ja11. dim(U) = 112. –

B.10 Matrizen und Lineare Abbildungen

1. Tipp: Verwenden Sie Rechenregeln, um den Aufwand zu verkleinern.2. x = −3, y = 2 bzw. x = 7, y = −23. a) ja b) ja4. (y1, y2) ist gleich (3800, 1200), (3660, 1340) bzw. (3562, 1438) nach einem, zwei

bzw. drei Jahren. Die Verteilung konvergiert gegen die fixe Verteilung (3333, 1667)(gerundet).

5. Das Endergebnis hangt von der Reihenfolge der linearen Abbildungen ab, dennAB �= BA.

6. Drehmatrix um den Winkel α + β

7. F (x) = Ax mit A =(

4 −3−2 5

).

8. –9. –

B.11 Lineare Gleichungen

1. x = −2, y = 3, z = 4, t = 52. x = 2 + 3t, y = 4 − 5t, z = 3, t beliebig

B.14 Eigenwerte und Eigenvektoren 495

3. nicht losbar4. –5. x1 = t, x2 = 1 + t, x3 = t mit t = 0, 16. dim((Kern(A)) = 17. dim(Bild(A)) = 28. det(A) = 309. −7

10. λ /∈ {0,±√2}

11. a) x = (5.50374, 3.17215, 4.71797) b) x = (12.7895, 5.22699, 13.6938)

B.12 Lineare Optimierung

1. Minimale Kosten (740 000e) ergeben sich bei Montage von 100 PKWs und 200LKWs in Osterreich und 400 PKWs in Deutschland.

2. Beim Kauf von 4 Flugzeugen vom Typ A und von 1 Flugzeug vom Typ B wirddie Anzahl der gleichzeitig transportierbaren Pakete maximiert (1600 Pakete).

3. Der zulassige Bereich ist zwar unbeschrankt, der Simplex-Algorithmus liefertaber trotzdem den billigsten Mix 1 kg SG und 1 kg TH (zum Preis von 0.7e).Einen teuersten Mix gibt es nicht (warum?).

4. Minimale Kosten von 47 000e ergeben sich bei Transport von 40 t von L1 nachP1, 30 t von L1 nach P2, 0 t von L2 nach P1 und 30 t von L2 nach P2.

B.13 Skalarprodukt und Orthogonalitat

1. a‖ = 1725 (4, 3), a⊥ = 1

25 (−18, 24)2. 6√

5; 1√

5(x + 2y) = 0

3. 1√305

(15x − 4y + 8z) = ± 12

4. –5. ja6. a) nein b) nein c) ja7. –8. –9. u1 = 1√

2(1, 0, 1), u2 = 1√

6(1, 2,−1), u3 = 1√

3(−1, 1, 1)

10. x = (2t + 2,−t), t ∈ R

11. Der Fehler ist 1√6.

12. –

B.14 Eigenwerte und Eigenvektoren

1. –2. Die Eigenwerte sind konjugiert komplex λ1,2 = 1 ± i und die zugehorigen (nor-

mierten) Eigenvektoren lauten u1,2 = 1√2(±i, 1).

3. A =(−5 3

3 3

).

496 B Losungen zu den weiterfuhrenden Aufgaben

4. Tipp: Schreiben Sie die Eigenwerte λ1,2 als die Nullstellen des charakteristischenPolynoms an (Losung einer quadratischen Gleichung).

5. A8 =(

128 −128−128 128

)6. Normalform: 6y2

1 + y22 = 1. Tipp: Stellen Sie die Kurve in der Form xT Ax dar

und wahlen Sie A so, dass sie symmetrisch wird.7. Normalform: 4y2

1 − 6y22 = 1

8. Die Eigenwerte sind 3, 2, 0 und die zugehorigen (normierten) Eigenvektorenu1 = 1√

3(1, 1, 1), u2 = 1√

6(1,−2, 1), u3 = 1√

2(−1, 0, 1).

9. –10. –

B.15 Grundlagen der Graphentheorie

1. G und S sind aquivalent2. Kn enthalt

(n2

)Kanten

3. a) kein Eulerzug moglich b) Eulerzug moglich4. Tipp: Starten Sie im ersten und enden Sie im zweiten ungeraden Knoten.5. –6. –7. Hinweis: In einem beliebigen Graphen hat jede Flache mindestens 3 Kanten und

jede Kante gehort zu 2 Flachen.

B.16 Baume und kurzeste Wege

1. –2. minimale Miete: 213. Der Dijkstra-Algorithmus mit Start in z liefert den aufspannenden Baum mit

den Kanten ze, zf , fd, dc, db, ba, bs.4. a) 5! mogliche Routen

b) Start des NN-Verfahrens in a ergibt die Rundreise a, c, d, b, e, f , a mitWeglange 88. Start des NN-Verfahrens in d ergibt die Rundreise d, b, e, f , c, a,d mit Weglange 87. Das Optimum ist ubrigens a, b, e, f , d, c, a mit Weglange80 (mit Mathematica berechnet).

5. Start des NN-Verfahrens in F ergibt die Rundreise F , B, K, D, W , A, F mitWeglange 658. Start des NN-Verfahrens in K ergibt die Rundreise K, B, D, W ,A, F , K mit Weglange 702.

6. a) Start des DNN-Verfahrens in F ergibt dieselbe Rundreise wie das NN-Verfahren bei Start in F .b) Start des DNN-Verfahrens in K ergibt die Rundreise F , W , D, K, B, A, F ;Weglange: 689.(Das Optimum ist F , B, K, A, D, W , F mit Weglange 617.)

7. 1) minimaler aufspannender Baum: BK, DW , DK, AK, BF ;2) Euler-Zug (z. B.): F , B, K, D, W , D, K, A, K, B, F ;3) Hamilton-Kreis (Start der Konstruktion bei F im obigen Euler-Kreis): F , B,

B.17 Flusse in Netzwerken und Matchings 497

K, D, W , A, F (gleicher Hamilton-Kreis wie mit NN bzw. DNN mit Start derKonstruktion in F ).

B.17 Flusse in Netzwerken und Matchings

1. –2. Es ergibt sich ein maximaler Gesamtfluss 16. Die Kapazitaten entlang der Kanten

qa, ac, bc konnten auf 8, 3 bzw. 1 verringert werden.3. 200 mal; der Algorithmus trifft diese Wahl nicht (warum?).4. a) Ford-Fulkerson liefert den maximalen Gesamtfluss 11, bei dem beide zu s

fuhrenden Kanten voll ausgelastet sind. Also kann die Nachfrage gedeckt werden.b) Ford-Fulkerson liefert nun den maximalen Gesamtfluss 12. Die Kanten zu ssind nicht voll ausgelastet, daher kann die Nachfrage nicht mehr gedeckt werden.

5. –6. maximales Matching: {CA, BN , EL, HZ, OD, PG} (Anfangsbuchstaben stehen

fur Professoren bzw. Vorlesungstitel)7. –

Literatur

Mathematische Vorkenntnisse

1. A. Adams et al., Mathematik zum Studieneinstieg, 4. Auflage, Springer, Berlin,2002.

2. K. Fritzsche, Mathematik fur Einsteiger, 2. Auflage, Spektrum, Heidelberg, 2001.3. A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, 5. Auflage, Vieweg, Braunschweig,

2002.4. W. Purkert, Bruckenkurs Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler, 4. Auflage,

Teubner, Stuttgart, 2001.5. W. Timischl und G. Kaiser, Ingenieur-Mathematik I-IV, E. Dorner, Wien, 1997–

2001.

Mathematik fur Informatiker

6. M. Brill, Mathematik fur Informatiker, 2. Auflage, Carl Hanser, Munchen, 2005.7. W. Dorfler und W. Peschek, Einfuhrung in die Mathematik fur Informatiker, Carl

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2004.

Mathematik fur Technik oder Wirtschaft

9. T. Ellinger et al., Operations Research, 6. Auflage, Springer, Berlin, 2003.10. E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8. Auflage, John Wiley, New

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son, Munchen, 2004.14. J. Tietze, Einfuhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, 10. Auflage,

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Diskrete Mathematik und Lineare Algebra – einfuhrend

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500 Literatur

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Diskrete Mathematik und Lineare Algebra – weiterfuhrend

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Kryptographie und Codierungstheorie

28. J. Buchmann, Einfuhrung in die Kryptographie, Springer, Berlin, 1999.29. G.A. Jones und J.M. Jones, Information and Coding Theory, Springer, London,

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33. R.E. Maeder, Computer Science with Mathematica, Cambridge UP, Cambridge,2000.

34. S. Wolfram, The Mathematica Book, 5th edition, Wolfram Media, 2003.

Popularwissenschaftliches

35. E. Behrends, M. Aigner (Eds.), Alles Mathematik – von Pythagoras zum CD-Player, 2. Auflage, Vieweg, 2002.

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Verzeichnis der Symbole

∀ . . . All-Quantor, 5∃ . . . Existenz-Quantor, 5∧ . . . logisches UND, 2∨ . . . logisches ODER, 3xor . . . logisches eXklusives ODER, 3|A| . . . Machtigkeit einer Menge, 11A ∩ B . . . Durchschnitt von Mengen, 12A ∪ B . . . Vereinigung von Mengen, 12A\B . . . Differenz von Mengen, 13A . . . Komplement einer Menge, 13A × B . . . kartesisches Produkt, 14∅ . . . leere Menge, 11∈ . . . Element von, 10⊆ . . . Teilmenge, 11|x| . . . Absolutbetrag, 39f ◦ g . . . Hintereinanderausfuhrung, 154(a, b) . . . offenes Intervall, 39(a, b] . . . halboffenes Intervall, 39[a, b) . . . halboffenes Intervall, 39[a, b] . . . abgeschlossenes Intervall, 39n! . . . Fakultat, 46(nk

). . . Binomialkoeffizient, 204

A−1 . . . inverse Matrix, 281AT . . . transponierte Matrix, 276A∗ . . . adjungierte Matrix, 277‖a‖ . . . Norm (Lange), 254〈a,b〉 . . . Skalarprodukt, 353a ⊥ b . . . orthogonale Vektoren, 356a × b . . . Kreuzprodukt, 361a‖ . . . orthogonale Projektion, 356a⊥ . . . orthogonales Komplement, 356z . . . zu z konjugiert komplexe Zahl, 43

502 Verzeichnis der Symbole

arccos . . . Arcuskosinus, 161arcsin . . . Arcussinus, 161Bild . . . Bild einer Matrix, 319C . . . Menge der komplexen Zahlen, 41C(n, k) . . . Anzahl von Kombinationen, 203cos . . . Kosinus, 161cosh(x) = 1

2 (ex + e−x) Kosinus hyperbolicuscot(x) = cos(x)

sin(x) Kotangensdet . . . Determinante, 324diag . . . Diagonalmatrix, 278div . . . ganzzahliger Anteil der Division, 57e . . . Euler’sche Zahl, 181exp(x) = ex Exponentialfunktion, 159ggT . . . großter gemeinsamer Teiler, 57i =

√−1 imaginare Einheit, 41Im . . . Imaginarteil, 42inf . . . Infimum, 40In . . . Einheitsmatrix, 278K . . . Korper, 85K[x] . . . Polynomring uber K, 86Kern . . . Kern einer Matrix, 321lim . . . Grenzwert, 174LH{...} . . . lineare Hulle, 261loga . . . Logarithmus zur Basis a, 159ln = loge naturlicher Logarithmus, 159max . . . Maximum, 41min . . . Minimum, 41mod . . . Rest modulo, 57, 71N = {1, 2, . . .} naturliche Zahlen, 33N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}o(f) . . . Landausymbol, 234O(f) . . . Landausymbol, 234∏

. . . Produktzeichen, 46P (n, k) . . . Anzahl von Permutationen, 202ϕ(n) . . . Euler’sche ϕ-Funktion, 100R . . . Menge der reellen Zahlen, 37rang . . . Rang einer Matrix, 314, 318Re . . . Realteil, 42sign . . . Vorzeichenfunktion, 153sin . . . Sinus, 161sinh(x) = 1

2 (ex − e−x) Sinus hyperbolicus∑. . . Summenzeichen, 44

sup . . . Supremum, 390tan(x) = sin(x)

cos(x) Tangenstr . . . Spur einer Matrix, 319Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} ganze Zahlen, 34Zm = Z mod m, 77Z∗

m = {n ∈ Zm | ggT(n, m) = 1}, 83Zp[x]m(x) . . . Restklassenring, 120

Index

Abbildung, 15, siehe Funktionaffine, 289lineare, 286

abelsche Gruppe, 84abgeschlossen, 262abhangige Variable, 152Absolutbetrag, 39, 43Absorptionsgesetze, 16Abstand, 39

Ebene vom Ursprung, 361Gerade vom Ursprung, 358Punkte im Rn, 252

abzahlbar, 143additives Inverses, 78adjazent, 411Adjazenzmatrix, 415

gerichteter Graph, 416aquivalent

Aussagen, 8Graphen, 412

Aquivalenz, 9Aquivalenzklasse, 142Aquivalenzrelation, 140AES, 128Algebra, 87algebraische Geometrie, 87algebraische Vielfachheit, 389Algorithmus

Breadth-First, 420Depth-First, 421Dijkstra, 447Euklid, 91Fleury, 423Ford-Fulkerson, 463Gauß, 309Huffman, 440

Kruskal, 444Prim, 446RSA, 96Suchbaum-, 438

All-Aussage, 5All-Quantor, 5alternierender Weg, 470Analysis, 87Anfangsbedingung, 215Angebot-Nachfrage-Problem, 467Arcusfunktionen, 162Asmuth-Bloom Schema, 104Assoziativgesetz, 13, 16, 84Attraktor, 221aufspannen, 262aufspannender Baum, 437Aussage, 1Aussageform, 4Austauschschritt, 344Authentifizierung, 98

Basis, 258Koordinaten bezuglich einer, 258

Baum, 435aufspannender, 437binarer, 438minimaler aufspannender, 444

Baumdiagramm, 198beschrankt

Folge, 173Funktion, 160Menge, 40, 337

bestimmt divergent, 178Betrag, 39Beweis, 9

indirekter, 10

504 Index

vollstandige Induktion, 47Widerspruchs-, 10

bijektiv, 151Bijunktion, 7Bild, 150

lineare Abbildung, 319Matrix, 319

Bildmenge, 150binare Variable, 15Binarsystem, 49Binarzahl, 50binarer Baum, 438Binomialkoeffizient, 204Binomischer Lehrsatz, 204bipartiter Graph, 467Blatt, 438Boole’sche Algebra, 17Boole, George, 17Breadth-First-Algorithmus, 420Breitensuche, 420

Caesar-Verschlusselung, 79Cauchy-Produkt, 184Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 358Chaos, 222charakteristische Gleichung, 228charakteristisches Polynom, 387Chinesischer Restsatz, 100Codewort, 294Cramer’sche Regel, 326CRC, 124

De Morgan’sche Regeln, 13, 16De Morgan, Augustus, 14Defekt, 323Definitionsbereich, 150Depth-First-Algorithmus, 421DES, 128Determinante, 324Dezimalsystem, 48Dezimalzahl, 48Diagonalelemente, 274Diagonalmatrix, 278Differentialgeometrie, 87Differenz von Mengen, 13Differenzengleichung, siehe Rekursiondigitale Authentifizierung, 98digitale Signatur, 98digitaler Fingerabdruck, 77Digraph, 414Dimension

Matrix, 273

Vektorraum, 259diophantische Gleichung, 91disjunkt, 12Disjunktion, 3diskrete Kosinustransformation, 373diskrete Mathematik, 87Distributivgesetz, 13, 16, 85divergent

Folge, 176Reihe, 183

Division mit Rest, 57Drehmatrix, 293Dreiecksmatrix, 277Dreiecksungleichung, 39, 43, 254Dualitatsprinzip, 16, 17Dualsystem, 49Dualzahl, 50Durchschnitt von Mengen, 12dynamisches System, 219

EAN, 89Ecke, 410Eckpunkt, 336EFM, 217Eigenraum, 390Eigenvektor, 386Eigenwert, 386Einheitsmatrix, 278Einheitsvektor, 252Einskomplement, 78Einwegfunktion, 95EKONS, 89elementare Spaltenumformungen, 310elementare Zeilenumformungen, 310elementfremd, 12ENIGMA, 212Entscheidungsprobleme, 443Entwicklungskoeffizienten, 258erweiternder Weg, 471Euklid, 36, 56Euklid’scher Algorithmus, 91

erweiterter, 92fur Polynome, 117fur Polynome, erweiterter, 118

Euler’sche ϕ-Funktion, 100Euler’sche Zahl, 37, 181Euler-Graph, 423Euler-Mascheroni Konstante, 184Euler-Zug, 422Existenz-Aussage, 5Existenz-Quantor, 5

Index 505

Exponent, 35, 52Exponentialfunktion, 159

Fakultat, 46Fast Fourier Transformation, 239Fehler

absoluter, 53relativer, 53

Festkommadarstellung, 51Fibonacci-Folge, 194, 244Fixpunkt, 225

Iteration, 220Flip-Flop, 23Fluss

Gesamt-, 460maximaler, 462zulassiger, 460

Folge, 171alternierende, 172beschrankte, 173bestimmt divergente, 178divergente, 176Grenzwert, 174konvergente, 174monotone, 173rekursiv definierte, 172

Formel von Euler, 432Fundamentalsatz der Algebra, 127Funktion, 15, 149

beschrankte, 160bijektive, 151injektive, 151monotone, 157surjektive, 151

Funktionalanalysis, 87Funktionswert, 152Fuzzy-Logik, 30

Galois-Korper, 127ganze Zahlen, 34Gauß’sche Zahlenebene, 42Gauß-Algorithmus, 309Geburtstagsparadoxon, 76GENAU-DANN-Verknupfung, 7Generatormatrix, 294Generatorpolynom, 124geometrische Reihe, 185geometrische Vielfachheit, 390geordnetes Paar, 14gewichteter Graph, 441gleichstufige Stimmung, 56Gleichungssystem

homogenes, 307inhomogenes, 307lineares, 307

Gleitkommadarstellung, 52normalisierte, 52

Godel, Kurt, 1Google, 395Grad

Knoten, 411Polynom, 113, 153

Graph, 410Abbildung, 151bipartiter, 467gerichteter, 414gewichteter, 441planarer, 411vollstandiger, 441zusammenhangender, 420

Greedy-Algorithmus, 445Grenzwert

Folge, 174Reihe, 182

Groß-O, 234Gruppe, 84

Halbordnung, 144Hamilton-Kreis, 424harmonische Zahlen, 183Hashfunktion, 74

Einweg, 77Hashverfahren, 74Hashwert, 75Hauptachsentransformation, 398Hauptdiagonale, 274Heron’sche Folge, 181Heuristik, 442

DNN, 456MST, 456NN, 456

Hexadezimalsystem, 50hinreichend, 8Hintereinanderausfuhrung, 154homogene Koordinaten, 289Householdertransformation, 381Hulle

reflexive, 145symmetrische, 145transitive, 145

Huffman-Algorithmus, 440Hybridverfahren, 98Hyperebene, 362

506 Index

Ideal, 87Identitatsrelation, 139imaginare Einheit, 41Imaginarteil, 42Implikation, 8Induktionsprinzip, 47Infix-Notation, 440Inflation, 232injektiv, 151Inklusions-Exklusions-Prinzip, 200inneres Produkt, 353Input-Output-Analyse, 317Intervall, 39Intervallarithmetik, 55inverse Funktion, 155inverse Matrix, 282inverses Element, 84Involution, 156inzident, 411Inzidenzmatrix, 416

gerichteter Graph, 304, 432ungerichteter Graph, 431

IP-Adressen, 211irrationale Zahlen, 37irreduzibel, 125ISBN, 74, 89isomorph, 412Iteration, 215

Jordan’sche Normalform, 392JPEG-Verfahren, 374

Kante, 410Mehrfachkante, 411

Kantenzug, 418Kapazitat, 459Kardinalzahl, 143kartesisches Produkt, 14Kegelschnitt, 399Kern, 321Kirchhoff’sche Regeln, 315Kirchhoff’sches Gesetz, 460Klavierbau, 56Klein-O, 234Knoten, 410

gepaarter, 468isolierter, 411

Knuth, Donald, 234Koeffizient

Polynom, 113Koeffizientenmatrix, 280, 308Konigsberger Bruckenproblem, 422

Korper, 85Kollision, 75Kombination, 203kommutative Gruppe, 84Kommutativgesetz, 12, 16, 84Komplement

Menge, 13orthogonales, 357

komplexe Zahlen, 41Komplexitatsklasse, 443Komplexitatstheorie, 233Komponente, 420kongruent, 71

Polynom, 119konjugiert komplex, 43Konjunktion, 2Kontrollbit, 294Kontrollmatrix, 294Kontrollpolynom, 124konvergent

Folge, 174Reihe, 182

Koordinaten, 247, 258Kosinus, 161Kredit, 231Kreis, 418Kreiszahl, 38Kreuzprodukt, 361Kronecker Delta, 278

LangeKantenzug, 418Vektor, 254Wurzelbaum, 438

Landau, Edmund, 234Landausymbol, 234Laplace’scher Entwicklungssatz, 324LCD-Anzeige, 23Leontjef-Inverse, 317Leontjef-Matrix, 318LIFO, 441linear

abhangig, 256unabhangig, 256

lineare Abbildung, 286lineare Algebra, 87lineare Hulle, 261lineare Klassifikation, 364lineares Optimierungsproblem, 338Linearfaktor, 117Linearkombination, 255

Index 507

LISP, 440Logarithmusfunktion, 159Logikfunktion, 18logischer Schluss, 8logistisches Wachstumsmodell, 219

Machtigkeit, 11, 143Majorantenkriterium, 187Mantisse, 52Markov-Matrix, 394Markov-Prozess, 303, 394Maschinengenauigkeit, 53Matched-Filter, 363Matching, 468

maximales, 469Matrix, 273

ahnlich, 386Addition, 275adjungierte, 277diagonalisierbare, 391invertierbare, 282Koeffizienten, 273komplementare, 326Multiplikation, 278Multiplikation mit einem Skalar, 275orthogonale, 372quadratische, 274regulare, 282singulare, 282symmetrische, 277transponierte, 276tridiagonale, 401

Matrixmultiplikation, 278Matrixnorm, 275maximales Matching, 469Maximum, 41Maxterm, 19MD5, 77Menge, 10

beschrankte, 40, 337Element, 10leere, 11unendliche, 11

minimaler aufspannender Baum, 444Minimum, 41Minterm, 18Modul, 57, 71monoton

Folge, 173Funktion, 157

Multigraph, 411

multiplikatives Inverses, 80

n-Tupel, 14Nachbar, 411Nachbarschaftsliste, 417Nachfolger, 437NAND-Verknupfung, 18naturliche Zahlen, 33Negation, 2negativ definit, 400Netzwerk, 459neuronales Netz, 364neutrales Element, 84NOR-Verknupfung, 18Norm, 254Normalform

disjunktive, 19, 22Ebene, 361Ellipse, 399Gerade, 359Hyperebene, 362konjunktive, 19lineares Optimierungsproblem, 343

NormalvektorEbene, 361Gerade, 359

normierter Raum, 254normiertes Polynom, 113notwendig, 8NP -vollstandig, 443Nullfolge, 175Nullmatrix, 274Nullstelle, 153Nullvektor, 248, 253

O-Notation, 234ODER-Verknupfung, 3Ohm’sches Gesetz, 316Oktalsystem, 50Oktave, 56optimale Losung, 338optimaler Punkt, 338Ordnung, 143

partielle, 144strikte, 144totale, 144

orthogonalMatrix, 372Projektion, 357Vektoren, 356

Orthonormalbasis, 367Orthonormalsystem, 367

508 Index

Ortsvektor, 249

PageRank, 398parallel, 356Parallelogrammgleichung, 381Paritatskontrollcode, 124Partition, 142Pascal’sches Dreieck, 205Permutation, 201Pivotelement, 344Pivotspalte, 343Pivotzeile, 344Polynom, 113, 153Polynomdivision, 115Polynomring, 87, 114positiv definit, 400Postfix-Notation, 441Potenz, 35Potenzfunktion, 158Potenzmenge, 11Potenzreihe, 188Pradikatenlogik, 4Prafix-Notation, 440Primfaktor, 56Primzahl, 55private key, 95Produktregel, 198, 199Projektion, 357Projektor, 375Prufziffer, 74, 87Pseudozufallszahlen, 193public key, 95Public Key Verschlusselung, 95

QR-Zerlegung, 377quadratisch Erganzen, 153quadratische Form, 399Quelle, 459Quint, 56Quotientenkriterium, 187

RangGleichungssystem, 314Matrix, 318

rationale Funktion, 153rationale Zahlen, 34Ray-Tracing, 364Realteil, 42reduzibel, 125Reed-Solomon-Code, 128reelle Zahlen, 37Reihe, 182

absolut konvergente, 183divergente, 183geometrische, 185harmonische, 183konvergente, 182Teilsumme, 182

Rekursion, 215Anfangsbedingung, 215autonome, 215homogene, 222Losung, 215lineare, 222Ordnung, 215

Relation, 137n-stellige, 146antisymmetrische, 139asymmetrische, 139binare, 146Identitat, 139inverse, 138leere, 138rechtseindeutige, 151reflexive, 139symmetrische, 139transitive, 139Verkettung, 138

relationale Algebra, 147relationales Datenmodell, 146Rente, 231Rest modulo m, 57Restklasse, 72

Polynom, 119Restklassenring, 121RGB-Farbmodell, 284Rijndael, 128Ring, 86ROT13, 80Router, 449RPN, 441RSA-Algorithmus, 96Ruckwartskante, 461Rundung, 53Rundungsfehler, 53Russell’sches Paradoxon, 10Russell, Bertrand, 10

Satz, 6Chinesischer Restsatz, 100Euler, 100Fermat, 99Pythagoras, 36

Index 509

Schaltkreis, 21Schaltvariable, 15Schlussel

offentlicher, 95privater, 95

Schlinge, 411Schlupfvariable, 340Schranke, 40, 160seed, 193selbstinvers, 156Senke, 459SHA, 77Simplex-Algorithmus, 343Simplextableau, 343Singularwerte, 407Sinus, 161Skalar, 247, 253Skalarprodukt, 353spaltenorthogonal, 375Spaltenvektor, 274Sparkassenformel, 231Spatprodukt, 381Spiegelung, 290Spur, 390SQL, 147Standardbasis, 258Stirling, James, 238Stirling-Formel, 238stochastische Matrix, 394Streckung, 290Subjunktion, 7Summenregel, 197Superpositionsprinzip, 227Supremum, 40surjektiv, 151symmetrische Gruppe, 203

teilbar, 55Teiler, 55

großter gemeinsamer, 57großter gemeinsamer, Polynom, 117Polynom, 116

teilerfremd, 57Polynom, 117

Teilfolge, 174Teilgraph, 410Teilmenge, 11Teilraum, 262Theorem, 6Tiefensuche, 421Traveling Salesman Problem, 441

triviale Losung, 256, 309TSP, siehe Traveling Salesman ProblemTupel, 14Turingmaschine, 443

Umkehrfunktion, 155unabhangige Variable, 152UND-Verknupfung, 2ungerichteter Weg, 461Ungleichung

lineare, 335System linearer, 336

Unterbaum, 438Untergruppe, 84Untervektorraum, 262Urbildmenge, 150

Vandermonde’sche Identitat, 205Variation, 201Vektor, 247, 253

Betrag, 252Lange, 252, 254Multiplikation mit einem Skalar, 248Summe, 248

Vektorraum, 253Basis, 258Dimension, 259komplexer, 253normierter, 254reeller, 253unendlichdimensionaler, 259

Verbesserungsweg, 471Vereinigung von Mengen, 12Verkettung, 138, 154Verneinung, 2Verschlusselung

asymmetrische, 95symmetrische, 95

Verteilte Geheimnisse, 103Volldisjunktion, 19Vollkonjunktion, 18vollstandige Induktion, 47vollstandiger Graph, 431, 441Vorganger, 437Vorwartskante, 461

Wahrheitstabelle, 3Wald, 435Weg, 418

kurzester, 446WENN-DANN-Verknupfung, 7Wertebereich, 150

510 Index

Wiederholungscode, 125Winkel

Ebene und Gerade, 362Ebenen, 362Geraden, 362

Wochentagsformel, 73Wurzelbaum, 437Wurzelfunktion, 38

XOR-Verknupfung, 3

YIQ-Farbmodell, 284YUV-Farbmodell, 285

Zeilenstufenform, 313

reduzierte, 313Zeilenvektor, 274Zielfunktion, 338Zinsrechnung, 231Zinssatz

ISMA Methode, 232US Methode, 232

Zufallszahlen, 193zulassiger Bereich, 336zulassiger Punkt, 336zunehmender Weg, 461Zusammenhangskomponente, 420Zweikomplement, 78zyklischer Code, 124