A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)

Continuum and Digital Computer

(An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.

A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)

Discrete and Continuous: Two sides of the same?

László Lovász Microsoft Research, One Microsoft Way, Redmond, WA 98052



Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből:

A matematikai problémák fő külső forrása a tudomány. A hagyományos szemlélet szerint a tér és az idő folytonos.A matematikai analízis a tudomány kemény magja.




Van-e értelme az elemi események közötti időpontnak?Lehetséges, hogy a világnak folytonos vagy (óriási) diszkrét rendszer-ként valóleírása egyenértékű?




A számítógépek világa diszkrét.Azt hiszem, hogy a problémák valódi megértése a diszkrét és a foly-tonos szintézisét igényli.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em.

A számítógépet használó épí-tész számára a folytonos és a diszkrét leírás különbözősége markánsan jelentkezik pl. a folytonos görbék raszter kép-ernyőn való megjelenítése során.


A digitális számítógépek diszkrét jellegének alpvető kö-vetkezménye, hogy velük tulajdonképpeni valós számok nem fejezhetők ki. Nevezetesen bármely két valós szám között vannak további valós számok, a véges hoszszú-ságú regiszterekben történő számábrázolás esetén azon-ban ez nem valósulhat meg:

“fixpontos számok”

“lebegőpontos számok”

. . .“véges regiszterek”


Kiséreljük meg valamely két-méretű kontinuum egy véges részének és az ezen értelmez-hető görbéknek egy kombi-nált, diszkrét-folytonos vizs-gálatát. Tekintsük a pi,j disz-krét elemek egy kétméretű vé-ges elrendezését. A diszkrét e-lemek mindegyike feleljen meg a véges síkrész egy-egy egység-négyzetének, „pixelé-nek”.

.1 ,1 jyjixi


Diszkrét görbe diszkrét elemek sorszámozással ellátott olyan sorozata, ahol az egymást követő elemek szomszédosak:

Két diszkrét elem szom-szédos ha csak az egyik indexük különbözik, s a különbség 1. Más szóval, két pixel szomszédos, ha egy oldaluk közös.

.1 és

vagy, és 1

,

11

11

,1, 11

kkkk

kkkk

jikjik

jjii

jjii

pfpfkkkk

. ,..., , ,..., , 110 rkk fffff


Diszkrét görbe megadható a hozzátartozó pixelek felsoro-lásával. Célszerűbb csak a

Egy diszkrét görbe repre-zentálja mindazokat a foly-tonos görbéket, amelyeket le-fed. Bármely folytonos gör-bének megfelel egy diszkrét görbe, amely éppen lefedi.

kezdőpixelt megadni és a bejárás lépéseit felsorolni:i 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10,11,11,11,12,13,14,14,...j: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,14,14,15,14,14,14,14,13,...(1,4),+y, y,+x, y, x, y, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, x, x, y, –y, x, x, x, y,...


A diszkrét görbéket az oszlopa-ik első pixeleivel is jellemez-hetjük. Ha a diszkrét görbének van(nak) nem monoton oszlo-pa(i), akkor a teljes jellemzés-hez még ezek határoló pixe-le(i) is hozzáértendő(k).

A zölddel jelölt (i’,j’) és (i,j) pixelek különbsége az interval-lum-aritmetika szabályai szerint a következő négy pixel együttese: (i’-i, j’-j), (i’-i+1, j’-j), (i’-i, j’-j+1), (i’-i+1, j’-j+1). (Zölddel keretezve.)


A diszkrét elemek kü-lönbségnek képzésére be-mutatott „négypixeles” szabály a diszkrét elemek körében maradva is iga-zolható a diszkrét elrende-zések (képek) finomításá-val és a kivonás és a fino-mítás felcserélhetőségé-nek megkövetelésvel.


A diszkrét elemek különbségnek képzésénél, ha i > i’ vagy j > j’ (vagy mindkettő), szükség van a diszkrét elrendezések ki-terjesztésére.


A függvényoszlopok különbsége pixeleik kü-lönbségeinek összes-sége. Az oszlopkülönbségek kifejezésére „vonaljele-ket” is használhatunk, amelyek a kivonandó oszlopában megjelölik a különbség sorait. E jelö-lés akkor egyértelmű, ha hozzátesszük az id=i’-i értéket.


Az oszlopkülönségeket az id értékek szerint differen-cia-osztályokba sorolva vonaljeleikkel jellemezhetjük.


Az oszlopkülönbségek helyett elegendő az oszlopjel-lemző pixelek különbségeit tekinteni, ebből az előb-biek rekonstruálhatók. Valamennyi id differenciaosz-tályhoz tartozó ilyen elrendezés együttesen az

oszlopokhoz rendezett differenciál.


Az oszlopkülönbsé-gek vonaljeleit a ki-vonandó oszlopjel-lemző pixel sorában is elhelyezhetjük, azon képoszlopokat jelölve meg, amelyekkel azo-nos sorszámú sorokat foglalja el az illető oszlopkülönbség.


Az oszlopjellemző pixelek különbsé-geinek vonaljeleit szintén áthelyez-hetjük a képsorok-ba. Ez a

sorokhoz rendezett

differenciál.


A diszkrét görbék néhány alaptípusa.

1. Az állandó

Állandó az a diszkrét görbe, amelyben a négy lehetséges lépés-irány közül csak az egyik fordul elő, más-szóval valamennyi lépésirány azonos.



2. Az egyenes

Egyenes az a diszkrét görbe, amelynél a dif-ferenciál minden osz-tályában van a különb-ségi vonaljelekre il-leszkedő állandó.



3. A parabola

Parabola az a diszkrét görbe, amelynél az oszlopokhoz rendezett differenciál minden osztályában van a különbségi vonaljelekre illeszkedő (pixel-)egyenes.

4. Az exponenciális diszkrét görbe

Exponenciális diszkrét görbe esetén a sorokhoz rendezett differenciál minden osztályában van a különbségi vonaljelekre illeszkedő egyenes.


A bemutatott diszkrét görbék elemi összefüggése a megfelelő folytonos függvénnyel.

Az y = ax + b egyenes esetén ( y’ = C )dy = a(x + dx) + b - (ax + b) = a.dx .

Az y = ax2 + bx + c parabola esetén ( y’ = A.x + B )dy = a(x + dx) 2 + b(x + dx) + c - (ax2 + bx + c ) =

= 2.a.dx.x + b.dx.

Az y = ax exponenciális függvény esetén ( y’ = C.y )

dy = ax+dx - ax= ax.adx - ax = ax (adx -1) = (adx-1).y .


A diszkrét differenciálok bemutatott rendszerét vessük egybe egy példán a folytonos függvényekkel kapcso-latban használatos véges differencia módszerrel.

Az y = ax exponenciális függvényt meghatározó diffe-renciálegyenlet y’ = C.y . Az ezt (az x temgely vala-mely n.dx hosszúságú szakaszán) közelíteni kívánó legegyszerűbb differenciaegyenlet-rendszer az alábbi:

( yi+1 - yi ) / dx = C. yi ( i = 0, 1, ... n-1).A diszkrét differenciálok segítségével ezt a differencia-egyenlet-rendszert mintegy „minden lehetséges” dx ér-tékre szimultán vizsgáljuk. Így az eredmény bizonyos értelemben „pontos”.


A diszkrét differenciálok és a korábban publikált V&AA rend-szerben szereplő additív algoritmusok kapcsolatát az összeren-dezett sorozatpárok adják. Monoton diszkrét görbék bejárása-kor az x ill. y lépések ugyanúgy következnek, ahogyan az e-gyesített sorozatban a két részsorozatból származó tagok.

U1, U2, ... Uk , ... egyesített monoton sorozat

I1, I2, ... I, ... az x lépések monoton sorozata

J1, J2, ... J, ... az y lépések monoton sorozata


A V&AA rendszer egy R értéknek az i,j egész számpárok-hoz való hozzárendelésén alapul, a monoton diszkrét gör-bét azon pixelek alkotják amelyeknek a négy sarkában kü-lönböző előjelű R értékek találhatók. Az R az összerende-zett sorozatpár alapján számítható:

R = R0 +(I1 + I2 + ... +Ii ) - (J1 + J2 + ... +Jj ).

Az összerendezett sorozatpárok például: - egyenest állítanak elő, ha mindkét részsorozat számtani, - parabolát, ha az egyik első, a másik másodrendű számtani, - n-ed rendű parabolát, ha az egyik első, a másik n-ed rendű

számtani, - exponenciális diszkrét görbét, ha az egyik számtani, a másik mér- tani, stb. (Ez utóbbi megállapítás gyakorlati haszna korlátozott.)


A V&AA rendszerrel készült ábrán két forgásfelület áthatása látható. Mindkét meridiángör-be egyenlete

c1x3 + c2x2y + c3xy2 + c4y3 ++ c5x2 + c6xy + c7y2 ++ c8x + c9y + c10 = 0

típusú. Az ábra teljes egészé-ben egész számok összeadásán alpuló diszkrét módszerekkel készült, igy minden részletében „garantált pontosságú”.

Documents

A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés)