46
A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése (A COCO LP feladatai és megoldási lehetőségei) Dr Bánkuti Gyöngyi Kaposvári Egyetem Matematika és Fizika Tanszék, egyetemi docens Dr Pitlik László Szent István Egyetem TATA Kiválósági Központ és Informatikai Intézet, Információtechnológiai Tanszék, vezető

A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

  • Upload
    mireya

  • View
    56

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése ( A COCO LP feladatai és megoldási lehetőségei). Dr Bánkuti Gyöngyi Kaposvári Egyetem Matematika és Fizika Tanszék, egyetemi docens Dr Pitlik László - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A hasonlóság elemzés módszerének

matematikai elemzése

(A COCO LP feladatai és megoldási lehetőségei)

Dr Bánkuti Gyöngyi

Kaposvári Egyetem Matematika és Fizika Tanszék, egyetemi docens

Dr Pitlik László

Szent István Egyetem TATA Kiválósági Központ és Informatikai Intézet, Információtechnológiai Tanszék, vezető

Page 2: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Hogy kerül a csizma az asztalra ?

VIII. Alkalmazott Informatika KonferenciaKaposvári Egyetem

2010. január 22.

Gazdaságinformatika szekció II., 48. előadó13:30

Elnök: Dr Bánkuti Gyöngyi

Page 3: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

mmj xxxxxx 121 ,,,

mnmnjnnn

mmj

mmj

xxxxx

xxxxx

xxxxx

)1(21

2)1(222221

1)1(111211

mmj xxxxx 121

n

2

1

y

y

y

Bevezetés a COCO alapgondolatába:

y

Független változók: Függő változó:

Vektorosan:n

j IRyx ,

Az adatbázis:

m

n

m – változók száma

n – adataink száma

?

Page 4: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A közismert regresszió egy interpretációja

mmmm xcxcxcxcy 112211

^

......

X1max.

c1

x1

X1max.

yx1

x1

ci - konstansok

x2

X2max.

c2

x2

X2max.

yx2

c(m-1)

Xm-1X(m-1)max.

Xm-1

X(m-1)max.

yx (m-1)

Xm max.

cm

xm

xmXm max.

yxm

rész becslő függvényekyxi -

Page 5: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Módosítás: Lépcsős függvény multiplikátorok

mmm1m1m1m

222111

^

x)x(cx)x(c

...x)x(cx)x(cy

c1

x1

x1

yx1

x2

yx2

c2

x2

cm-1

Xm-1

yx(m-1)

Xm-1

cm

xm

xm

yxm

rész becslő függvényekyxi -

ci – lépcsős függvények

Page 6: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Lépcsős függvény multiplikátorok numerikusan

xm

mmmmmmjjj xxcxxcxxc

xxcxxcy

)()(...)(

...)()(

111

222111

^

nm)1m(n3n2n1n

m)1n()1m)(1n(3)1n(2)1n(1)1n(

m3)1m(3333231

m2)1m(2232221

m1)1m(1131211

ccccc

ccccc

ccccc

ccccc

ccccc

C

n

Természetesen adódik, hogy n legyen a felosztás száma.

Page 7: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

x1

)(ˆ 11 xs

Közelítése lépcsős függvénnyel

Új ötlet! xi - csak változó!

mmmmmmjjj xxcxxcxxc

xxcxcxy

)()(...)(

...)()(

111

22211

^

mmmmmmjjj xxcxxcxxc

xxcxxcxy

)()(...)(

...)()()(

111

222111

^

c1

x11x

1c

111 xcs

ci .xi együttkezelése si - lépcsős függvény!

X 1

s1

)(ˆ 11 xs

)()(...)(

...)()()(

11

2211

^

mmmmjj

i

xsxsxs

xsxsxy

Page 8: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Sm

x1X 1 x2 X m-1

)()(...)(

...)()()(

11

2211

^

mmmmjj xsxsxs

xsxsxy

S1(x1)

s1

sm-1

Xm-1

xm

si - lépcsős függvény! xi - k csak változók!

X 2

s2

X m

mmji sssssxy 1211

^

......)(

…… Lépcsők

Page 9: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

További ötlet: sorszám transzformáció

mmji sssssxy 1211

^

......)(

xi -k nem változnak ez csak a függő

változókban történő transzformációt jelent!

Ez a modellben hogyan jelentkezik ?

Az alapadatok nagyság szerinti sorba rakása

)()(...)(

...)()()(

11

2211

^

mmmmjj xsxsxs

xsxsxy

!! ( 2010.17.0. 00.06.) !!

Page 10: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Original data

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Adatsor1

Smallest first numbering

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Adatsor1

Bigest first numbering

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Adatsor1

Sorszámozási példa Excelben:

Original data

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Adatsor1

Növekvő sorszámozás

Csak y tengely menti nyújtás zsugorítás

Csökkenő sorszámozás

+ X tengelyre történő tükrözés és eltolás is

Page 11: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A sorszámozás használat okai és elemzése:

- Az Fkeres függvény „könnyebben keres”. Ok.

- „Az LP Solver csak pozitív egész számokat kezel”

- A modellben xij-k kiküszöbölődnek, helyettük + egész számok lesznek !!

- Mj.: Az azonos adatokat azonos sorszámmal jelöli az Excel, a következő sorszám(oka)t kihagyja

Page 12: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

)()(...)(

...)()()(

11

2211

^

mmmmjj xsxsxs

xsxsxy

A diszkretizálás használatának problémája

S1(x1) – diszkrét lépcsős függvény

S1(x1)

j j+1Nx1

Sj,1

Sj+1,1

X 1

Melyik (alsó, felső ; bal,jobboldali) értéket vegyük figyelembe a

becslésnél?

S1(x1)

s1

X 1

j… … Nx1312 (n-1) n

…?

Súlyozott átlagot.. ? Az lineáris, nem lépcsős fv.

Page 13: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

nmmnnnn

mnmnnnn

mm

mm

mm

sssss

sssss

sssss

sssss

sssss

C

)1(321

)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(

3)1(3333231

2)1(2232221

1)1(1131211

A probléma megjelenése a lépcsők mátrix-ában

X 1

Page 14: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

n

n

y

y

y

y

y

1

3

2

1

nmmnnnn

mnmnnnn

mm

mm

mm

sssss

sssss

sssss

sssss

sssss

)1(321

)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(

3)1(3333231

2)1(2232221

1)1(1131211

A becslés hibájának definiálása

m

jj

m

jjn

m

jj

m

jj

m

jj

s

s

s

s

s

11

11

13

12

11

-

-

-

-

- n

n

1

3

2

1

n

ii

1

n

ii

n

i

m

jij ys

11 1

Page 15: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A becslés hibájának definiálása

(célfüggvény)

n

ii

m

jji

n

i

ys11

,1

= min.

Legkisebb négyzetek

A lépcsők mennyire becslik jól yi-ket.

Lineáris hiba =

n

i

m

jjii sy

1

2

1, )( = min.Hiba =

Page 16: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

nmmnnnn

mnmnnnn

mm

mm

mm

sssss

sssss

sssss

sssss

sssss

)1(321

)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(

3)1(3333231

2)1(2232221

1)1(1131211

A lépcsők LP feladata

Csökkenő lépcső esetén

Tm

Tn

T

T

T

s

s

s

s

s

1

3

2

1

Page 17: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

nmmnnnn

mnmnnnn

mm

mm

mm

sssss

sssss

sssss

sssss

sssss

)1(321

)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(

3)1(3333231

2)1(2232221

1)1(1131211

A lépcsők LP feladata

Csökkenő lépcső esetén

n x m feltételi egyenlet

Page 18: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

nmmnnnn

mnmnnnn

mm

mm

mm

sssss

sssss

sssss

sssss

sssss

)1(321

)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(

3)1(3333231

2)1(2232221

1)1(1131211

A lépcsők LP feladata

Vegyes lépcsők esetén

Modell alkotásból adódik

Csökkenő Határozatlan

Növekvő c) d)

?

?

?

?

?

Page 19: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

.min11

1....11 121

ys

sssT

nT

nTTT

A lépcsők LP feladata

Növekvő lépcső és lineáris hiba függvény esetén:

Abszolút érték kellene de azt az LP nem tud kezelni. (Solverben nem lineáris modellt kell választani.)

.min)11

....11(1

1

21

nT

nT

TTT

ss

ssy

nn

n

ssss

ssss

132

1321

......

......

Page 20: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

nn

n

ssss

ssss

132

1321

......

......

.min11

1....11 121

ys

sssT

nT

nTTT

A lépcsők LP feladata

Növekvő lépcső és lineáris hiba függvény esetén:

.min)1

1....11( 121

nT

nTTT

s

sss

.min)1

1....11( 121

nT

nTTT

s

sss

.max)1

1....11( 121

nT

nTTT

s

sss

A konstans hozzáadása az optimum helyét nem, csak értékét változtatja.

Page 21: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

0

0

0

0

1

1

23

12

nn

jj

ss

ss

ss

ss

A megoldandó LP feladat növekvő lépcsők és lineáris hiba függvény esetén

.min11

n

ii

T s

c1

x1

.max11

n

ii

T s

0

0

0

0

1

1

32

21

nn

jj

ss

ss

ss

ss

Primál: (Nem Duál csak más felírás)

Page 22: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A megoldandó LP feladat csökkenő lépcsők és lineáris hiba függvény esetén:

.maxcm

1jij

n

1i

0

0

0

0

1

1

23

12

nn

jj

ss

ss

ss

ss

c1

x1

a.)

Page 23: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

0

0

0

0

0

1

1

1

32

21

nn

ii

ii

ss

ss

ss

ss

ss

0

0

0

0

0

1

1

1

32

21

nn

ii

ii

ss

ss

ss

ss

ss

a) b) c) d)

0

0

0

0

0

1

1

1

32

21

nn

ii

ii

ss

ss

ss

ss

ss

Az egyenletek a 4 esetre 0 és 0 feltételekkel:

0

0

0

0

0

1

1

1

32

21

nn

ii

ii

ss

ss

ss

ss

ss

Page 24: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

a) b) c) d)

0

0

0

0

0

1

1

1

32

21

nn

ii

ii

ss

ss

ss

ss

ss

0

0

0

0

0

1

1

1

23

12

nn

ii

ii

ss

ss

ss

ss

ss

0

0

0

0

0

1

1

1

32

21

nn

ii

ii

ss

ss

ss

ss

ss

0

0

0

0

0

1

1

1

32

21

nn

ii

ii

ss

ss

ss

ss

ss

Az egyenletek a 4 esetre 0 feltételekkel:

Page 25: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A megoldandó LP feladat vegyes lépcsők és lineáris hiba függvény esetén:

.max11

n

iij

m

j

c

c2

x2

0

0

0

0

0

0

1

32

2

21

1

23

12

bn

bn

bb

bb

an

an

aa

aa

ss

ss

ss

ss

ss

ss

c1

x1

a.)

b.)

Page 26: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

LP feladat növekvő lépcsők és lineáris hiba függvény esetén

.max11

n

ii

T s

0

0

0

0

1

1

32

21

nn

jj

ss

ss

ss

ss

Primál:

b

0

0

0

0

0

0

0

0

0

nxnE )1(

I. S11 S21 S31 S41 S51 S61 S71 S81

u11 1 -1            

u21   1 -1          

u31     1 -1        

u41       1 -1      

u51         1 -1    

u61           1 -1  

u71             1 -1

Page 27: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

0

0

0

00

00

0000

00002

1

)1(

)1(

)1(

mnxn

nxn

nxn

s

s

s

E

E

E

.miny1s1s1....s1s1 Tm

T1m

T2

T1

T

A „multiplikativ modell LP feladata

nm

m

nxnnxnnxn

y

y

y

c

c

c

XXX

2

1

2

1

21

Page 28: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

m

jnxn

x

x

x

x

X

1

1

12

11

1

0000

0000

0000

0000

Az X mátrixok definiciója

im

ij

i

i

i

nxn

x

x

x

x

X

0000

0000

0000

0000

2

1

nm

mn

n

n

n

n

nxn

x

x

x

x

x

X

0000

0000

00

0000

0000

0000

1,

3

2

1

Page 29: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

0

0

0

00

00

0000

00002

1

)1(

)1(

)1(

mnxn

nxn

nxn

s

s

s

E

E

E

.miny1s1s1....s1s1 Tm

T1m

T2

T1

T

LP feladat: INDULÓ TÁBLA

m

2

1

m

2

1

m

nxn

2

nxn

1

nxn

y

y

y

s

s

s

YYY

egyenlőséges y becslési feltételek és lineáris hiba függvény

Page 30: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

1 2 3 4 5 6 7 8 Sorszám:

X1 1 0 0 0 0 0 0 0 1

X2 0 0 0 1 0 0 0 0 4

X3 0 0 0 0 0 0 1 0 7

X4 0 1 0 0 0 0 0 0 2

X5 0 0 0 1 0 0 0 0 4

X6 0 0 0 0 0 0 0 1 8

X7 0 0 1 0 0 0 0 0 3

x8 0 0 0 1 0 0 0 0 4

Ynxn=

Ynxn mátrixok képzése

Helyezés:

Page 31: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

0

0

0

s

s

s

E

E

E

m

2

1

nx)1n(

nx)1n(

nx)1n(

.miny1s1s1....s1s1 Tm

T1m

T2

T1

T

LP feladat: növekvő lépcső, lineáris hiba függvény

Page 32: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

0

0

0

s

s

s

E00

00

000E0

0000E

m

2

1

nx)1n(

nx)1n(

nx)1n(

.miny1s1s1....s1s1 Tm

T1m

T2

T1

T

LP feladat kisebb egyenlő esetén:

mm

m

nxnnxnnxn

y

y

y

s

s

s

YYY

2

1

2

1

21S mo.

Page 33: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

0

0

0

s

s

s

E00

00

000E0

0000E

m

2

1

nx)1n(

nx)1n(

nx)1n(

.miny1s1s1....s1s1 Tm

T1m

T2

T1

T

LP feladat nagyobb egyenlő esetén:

m

2

1

m

2

1

m

nxn

2

nxn

1

nxn

y

y

y

s

s

s

YYY

S mo.

S = ( S mo. + S mo.) / 2 ?!

Az egyenlőséges közelitése ..?...

Page 34: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

0

0

0

s

s

s

E00

00

000E0

0000E

m

2

1

nx)1n(

nx)1n(

nx)1n(

LP feladat kisebb és nagyobb egyenlő esetén:

m

2

1

m

2

1

m

nxn

2

nxn

1

nxn

y

y

y

s

s

s

YYY

S < >

.miny1s1s1....s1s1 Tm

T1m

T2

T1

T

m

2

1

m

2

1

m

nxn

2

nxn

1

nxn

y

y

y

s

s

s

YYY

Page 35: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A legkisebb négyzetek minimuma hiba célfüggvény elemzése

Kvadratikus programozási feladat:

HA Q pozitív szemidefinit akkor:

A kvadratikus feladat átírható lineárissá:

xQxxcz

bxA

T

21

,0,0,0,0

0

vuyx

vuyx

bvxA

cyuAxQ

TT

TT

n

i

m

jjii sy

1

2

1, )( = min.Legkisebb négyzetek

Hiba =

Routh – Hurwitz kritérium:

(Pozitív aldeterminánsok)

Karush-Kunh-Thucker (KKT) féle feltételek esetén linearizálható:

Page 36: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

n

n

y

y

y

y

y

1

3

2

1

nmmnnnn

mnmnnnn

mm

mm

mm

sssss

sssss

sssss

sssss

sssss

)1(321

)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(

3)1(3333231

2)1(2232221

1)1(1131211

m

jj

m

jjn

m

jj

m

jj

m

jj

s

s

s

s

s

11

11

13

12

11

-

-

-

-

- 2

21

23

22

21

n

n

n

ii

1

2

n

i

m

j

n

iiij ys

1

2

1 1

)(

A legkisebb négyzetek minimuma hiba célfüggvény elemzése

Page 37: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A legkisebb négyzetek minimuma példa célfüggvény elemzése

.min)( 24321 iiiii yssss

.max)(0 24321 iiiii yssss

11111

11111

11111

11111

11111

1

14

13

12

11

114131211

y

s

s

s

s

yssss

xQxz T 221

0

xQxxcz T 21

2-szeres szorzatok fele-fele

QQ 2Q

Page 38: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A legkisebb négyzetek minimuma példa célfüggvény elemzése

22222

22222

22222

22222

22222

1

14

13

12

11

114131211

y

s

s

s

s

Q

yssss

D1=2

D2=0

D3=0

D4=0

Routh – Hurwitz kritérium:

.max)( 24321 iiiii yssss

Q pozitív szemidefinit!

Page 39: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

22222

22222

22

2222

2222

1

11

12

11

1111211

n

n

nn

s

s

s

s

Q

ssss

A kvadratikus célfüggvény pozitív definitásának bizonyítása

D1=1

D2=0

Dn=0

Routh – Hurwitz kritérium:

.max)( 221 iinii ysss

Dn=0

Q pozitív szemidefinit!

Page 40: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Excel Solver

LP és nem lineáris célfüggvényeket (legkisebb négyzetek hiba függvényt is) tud

Kis dimenziós feladatokra jó Max ??? X ???

Iterativ algoritmust használ

Kezdőérték …? Mo = fv(kezdőérték) ? néha Nem multiplikativ 0-ról is indul

Időnként feltételeket sért …?

Jelenleg használatos megoldó eszközök:

LPS Ide

Csak LP megoldó nem lineárist pl. Lkn.-k (legkisebb négyzetek hiba függvényt) multiplikativ modellt, nem tud

Csak pozitiv EGÉSZ ? Eket kezel (probléma transzformációja szükséges)

Page 41: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Az LP feladat típusok összefoglalása

Legkisebb négyzetek hiba - Excel

Feltétel Csak lépcső Lépcső

Becslés = Y

Lépcső

Becslés Y

Lépcső

Becslés Y

Lépcső

Becslés Y

Becslés Y

Cél fv: Lkn.-k Lkn.-k Lkn.-k Lkn.-k Lkn.-k

Megoldás Solverrel Solver de ..? Solver Solver Solver

Tapasztalat Robosztus, jó …?

Nem szokásos

Nem szokásos

Nem megy

Indoklás Indirekt benne van a Becslés = Y

túlhatározott Túlhatározott

Page 42: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Az LP feladat típusok összefoglalása

Lineáris hiba – LPS IDE

Feltétel Csak lépcső

Lépcső

Becslés = Y

Lépcső

Becslés Y

Lépcső

Becslés Y

Lépcső

Becslés Y

Becslés Y

Cél fv: Lin. Lin. Lin. Lin. Lin.

Megoldás Nem használt modell tipus

IDE-ben nincs nem megy

IDE

de egyedül csak a párja nem fut le

IDE

de egyedül csak a párja nem fut le

IDE gyakori (Mo + Mo )/2 átlag…

Tapasztalat - -

Indok Hiányos modell

= feltételt az IDE nem tud

?! matematikailag de intuiciónak jó ..

Page 43: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Az LP feladat típusok összefoglalása

Multiplikativ – Lin. Hiba - Solver

Feltétel Csak lépcső

Lépcső

Becslés = Y

Lépcső

Becslés Y

Lépcső

Becslés Y

Lépcső

Becslés Y

Becslés Y

Cél fv: Lin. Lin. Lin. Lin. Lin.

Megoldás Solver Solver Solver Solver Solver

(Mo + Mo )/2 átlag…

Tapasztalat - -

Indok Hiányos modell

= feltételt az IDE nem tud

?! matematikailag de intuiciónak jó ..

Page 44: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Az LP feladat típusok összefoglalása

Multiplikativ – Lkn.-k hiba - Solver

Feltétel Csak lépcső

Lépcső

Becslés = Y

Lépcső

Becslés Y

Lépcső

Becslés Y

Lépcső

Becslés Y

Becslés Y

Cél fv: Lin. Lin. Lin. Lin. Lin.

Megoldás Solver Solver Solver Solver Solver

(Mo + Mo )/2 átlag…

Tapasztalat - -

Indok Hiányos modell

= feltételt az IDE nem tud

?! matematikailag de intuiciónak jó ..

Page 45: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

A Multiplikativ modell bonyolultabb, nem szükséges, mert az additiv is a körül mozog.

Solverben üres lépcsővel nem indul.

Véletlenszerűen változtatott lépcsők esetén is a 0 hiba csak úgy jöhet létre ha teljesül a Becslés = Y feltétel

Megjegyzések

A Multiplikativ modell

Miért nem szükségesek a Becslés = Y feltételek

Az elemzések fontosak a fejlesztendő saját program kialakitásához.

Továbbfejlesztés

Page 46: A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése

Köszönöm figyelmüket!