Upload
mireya
View
56
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
A hasonlóság elemzés módszerének matematikai elemzése ( A COCO LP feladatai és megoldási lehetőségei). Dr Bánkuti Gyöngyi Kaposvári Egyetem Matematika és Fizika Tanszék, egyetemi docens Dr Pitlik László - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
A hasonlóság elemzés módszerének
matematikai elemzése
(A COCO LP feladatai és megoldási lehetőségei)
Dr Bánkuti Gyöngyi
Kaposvári Egyetem Matematika és Fizika Tanszék, egyetemi docens
Dr Pitlik László
Szent István Egyetem TATA Kiválósági Központ és Informatikai Intézet, Információtechnológiai Tanszék, vezető
Hogy kerül a csizma az asztalra ?
VIII. Alkalmazott Informatika KonferenciaKaposvári Egyetem
2010. január 22.
Gazdaságinformatika szekció II., 48. előadó13:30
Elnök: Dr Bánkuti Gyöngyi
mmj xxxxxx 121 ,,,
mnmnjnnn
mmj
mmj
xxxxx
xxxxx
xxxxx
)1(21
2)1(222221
1)1(111211
mmj xxxxx 121
n
2
1
y
y
y
Bevezetés a COCO alapgondolatába:
y
Független változók: Függő változó:
Vektorosan:n
j IRyx ,
Az adatbázis:
m
n
m – változók száma
n – adataink száma
?
A közismert regresszió egy interpretációja
mmmm xcxcxcxcy 112211
^
......
X1max.
c1
x1
X1max.
yx1
x1
…
…
ci - konstansok
x2
X2max.
c2
x2
X2max.
yx2
c(m-1)
Xm-1X(m-1)max.
Xm-1
X(m-1)max.
yx (m-1)
Xm max.
cm
xm
xmXm max.
yxm
rész becslő függvényekyxi -
Módosítás: Lépcsős függvény multiplikátorok
mmm1m1m1m
222111
^
x)x(cx)x(c
...x)x(cx)x(cy
…
…
c1
x1
x1
yx1
x2
yx2
c2
x2
cm-1
Xm-1
yx(m-1)
Xm-1
cm
xm
xm
yxm
rész becslő függvényekyxi -
ci – lépcsős függvények
Lépcsős függvény multiplikátorok numerikusan
xm
mmmmmmjjj xxcxxcxxc
xxcxxcy
)()(...)(
...)()(
111
222111
^
nm)1m(n3n2n1n
m)1n()1m)(1n(3)1n(2)1n(1)1n(
m3)1m(3333231
m2)1m(2232221
m1)1m(1131211
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc
C
n
Természetesen adódik, hogy n legyen a felosztás száma.
x1
)(ˆ 11 xs
Közelítése lépcsős függvénnyel
Új ötlet! xi - csak változó!
mmmmmmjjj xxcxxcxxc
xxcxcxy
)()(...)(
...)()(
111
22211
^
mmmmmmjjj xxcxxcxxc
xxcxxcxy
)()(...)(
...)()()(
111
222111
^
c1
x11x
1c
111 xcs
ci .xi együttkezelése si - lépcsős függvény!
X 1
s1
)(ˆ 11 xs
)()(...)(
...)()()(
11
2211
^
mmmmjj
i
xsxsxs
xsxsxy
Sm
x1X 1 x2 X m-1
)()(...)(
...)()()(
11
2211
^
mmmmjj xsxsxs
xsxsxy
…
S1(x1)
s1
sm-1
Xm-1
xm
si - lépcsős függvény! xi - k csak változók!
X 2
s2
X m
mmji sssssxy 1211
^
......)(
…… Lépcsők
További ötlet: sorszám transzformáció
mmji sssssxy 1211
^
......)(
xi -k nem változnak ez csak a függő
változókban történő transzformációt jelent!
Ez a modellben hogyan jelentkezik ?
Az alapadatok nagyság szerinti sorba rakása
)()(...)(
...)()()(
11
2211
^
mmmmjj xsxsxs
xsxsxy
!! ( 2010.17.0. 00.06.) !!
Original data
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Adatsor1
Smallest first numbering
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Adatsor1
Bigest first numbering
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Adatsor1
Sorszámozási példa Excelben:
Original data
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Adatsor1
Növekvő sorszámozás
Csak y tengely menti nyújtás zsugorítás
Csökkenő sorszámozás
+ X tengelyre történő tükrözés és eltolás is
A sorszámozás használat okai és elemzése:
- Az Fkeres függvény „könnyebben keres”. Ok.
- „Az LP Solver csak pozitív egész számokat kezel”
- A modellben xij-k kiküszöbölődnek, helyettük + egész számok lesznek !!
- Mj.: Az azonos adatokat azonos sorszámmal jelöli az Excel, a következő sorszám(oka)t kihagyja
)()(...)(
...)()()(
11
2211
^
mmmmjj xsxsxs
xsxsxy
A diszkretizálás használatának problémája
S1(x1) – diszkrét lépcsős függvény
S1(x1)
j j+1Nx1
Sj,1
Sj+1,1
X 1
Melyik (alsó, felső ; bal,jobboldali) értéket vegyük figyelembe a
becslésnél?
S1(x1)
s1
X 1
j… … Nx1312 (n-1) n
…?
Súlyozott átlagot.. ? Az lineáris, nem lépcsős fv.
nmmnnnn
mnmnnnn
mm
mm
mm
sssss
sssss
sssss
sssss
sssss
C
)1(321
)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(
3)1(3333231
2)1(2232221
1)1(1131211
A probléma megjelenése a lépcsők mátrix-ában
X 1
n
n
y
y
y
y
y
1
3
2
1
nmmnnnn
mnmnnnn
mm
mm
mm
sssss
sssss
sssss
sssss
sssss
)1(321
)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(
3)1(3333231
2)1(2232221
1)1(1131211
A becslés hibájának definiálása
m
jj
m
jjn
m
jj
m
jj
m
jj
s
s
s
s
s
11
11
13
12
11
-
-
-
-
- n
n
1
3
2
1
n
ii
1
n
ii
n
i
m
jij ys
11 1
A becslés hibájának definiálása
(célfüggvény)
n
ii
m
jji
n
i
ys11
,1
= min.
Legkisebb négyzetek
A lépcsők mennyire becslik jól yi-ket.
Lineáris hiba =
n
i
m
jjii sy
1
2
1, )( = min.Hiba =
nmmnnnn
mnmnnnn
mm
mm
mm
sssss
sssss
sssss
sssss
sssss
)1(321
)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(
3)1(3333231
2)1(2232221
1)1(1131211
A lépcsők LP feladata
Csökkenő lépcső esetén
Tm
Tn
T
T
T
s
s
s
s
s
1
3
2
1
nmmnnnn
mnmnnnn
mm
mm
mm
sssss
sssss
sssss
sssss
sssss
)1(321
)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(
3)1(3333231
2)1(2232221
1)1(1131211
A lépcsők LP feladata
Csökkenő lépcső esetén
n x m feltételi egyenlet
nmmnnnn
mnmnnnn
mm
mm
mm
sssss
sssss
sssss
sssss
sssss
)1(321
)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(
3)1(3333231
2)1(2232221
1)1(1131211
A lépcsők LP feladata
Vegyes lépcsők esetén
Modell alkotásból adódik
Csökkenő Határozatlan
Növekvő c) d)
?
?
?
?
?
.min11
1....11 121
ys
sssT
nT
nTTT
A lépcsők LP feladata
Növekvő lépcső és lineáris hiba függvény esetén:
Abszolút érték kellene de azt az LP nem tud kezelni. (Solverben nem lineáris modellt kell választani.)
.min)11
....11(1
1
21
nT
nT
TTT
ss
ssy
nn
n
ssss
ssss
132
1321
......
......
nn
n
ssss
ssss
132
1321
......
......
.min11
1....11 121
ys
sssT
nT
nTTT
A lépcsők LP feladata
Növekvő lépcső és lineáris hiba függvény esetén:
.min)1
1....11( 121
nT
nTTT
s
sss
.min)1
1....11( 121
nT
nTTT
s
sss
.max)1
1....11( 121
nT
nTTT
s
sss
A konstans hozzáadása az optimum helyét nem, csak értékét változtatja.
0
0
0
0
1
1
23
12
nn
jj
ss
ss
ss
ss
A megoldandó LP feladat növekvő lépcsők és lineáris hiba függvény esetén
.min11
n
ii
T s
c1
x1
.max11
n
ii
T s
0
0
0
0
1
1
32
21
nn
jj
ss
ss
ss
ss
Primál: (Nem Duál csak más felírás)
A megoldandó LP feladat csökkenő lépcsők és lineáris hiba függvény esetén:
.maxcm
1jij
n
1i
0
0
0
0
1
1
23
12
nn
jj
ss
ss
ss
ss
c1
x1
a.)
0
0
0
0
0
1
1
1
32
21
nn
ii
ii
ss
ss
ss
ss
ss
0
0
0
0
0
1
1
1
32
21
nn
ii
ii
ss
ss
ss
ss
ss
a) b) c) d)
0
0
0
0
0
1
1
1
32
21
nn
ii
ii
ss
ss
ss
ss
ss
Az egyenletek a 4 esetre 0 és 0 feltételekkel:
0
0
0
0
0
1
1
1
32
21
nn
ii
ii
ss
ss
ss
ss
ss
a) b) c) d)
0
0
0
0
0
1
1
1
32
21
nn
ii
ii
ss
ss
ss
ss
ss
0
0
0
0
0
1
1
1
23
12
nn
ii
ii
ss
ss
ss
ss
ss
0
0
0
0
0
1
1
1
32
21
nn
ii
ii
ss
ss
ss
ss
ss
0
0
0
0
0
1
1
1
32
21
nn
ii
ii
ss
ss
ss
ss
ss
Az egyenletek a 4 esetre 0 feltételekkel:
A megoldandó LP feladat vegyes lépcsők és lineáris hiba függvény esetén:
.max11
n
iij
m
j
c
c2
x2
0
0
0
0
0
0
1
32
2
21
1
23
12
bn
bn
bb
bb
an
an
aa
aa
ss
ss
ss
ss
ss
ss
c1
x1
a.)
b.)
LP feladat növekvő lépcsők és lineáris hiba függvény esetén
.max11
n
ii
T s
0
0
0
0
1
1
32
21
nn
jj
ss
ss
ss
ss
Primál:
b
0
0
0
0
0
0
0
0
0
nxnE )1(
I. S11 S21 S31 S41 S51 S61 S71 S81
u11 1 -1
u21 1 -1
u31 1 -1
u41 1 -1
u51 1 -1
u61 1 -1
u71 1 -1
0
0
0
00
00
0000
00002
1
)1(
)1(
)1(
mnxn
nxn
nxn
s
s
s
E
E
E
.miny1s1s1....s1s1 Tm
T1m
T2
T1
T
A „multiplikativ modell LP feladata
nm
m
nxnnxnnxn
y
y
y
c
c
c
XXX
2
1
2
1
21
m
jnxn
x
x
x
x
X
1
1
12
11
1
0000
0000
0000
0000
Az X mátrixok definiciója
im
ij
i
i
i
nxn
x
x
x
x
X
0000
0000
0000
0000
2
1
nm
mn
n
n
n
n
nxn
x
x
x
x
x
X
0000
0000
00
0000
0000
0000
1,
3
2
1
0
0
0
00
00
0000
00002
1
)1(
)1(
)1(
mnxn
nxn
nxn
s
s
s
E
E
E
.miny1s1s1....s1s1 Tm
T1m
T2
T1
T
LP feladat: INDULÓ TÁBLA
m
2
1
m
2
1
m
nxn
2
nxn
1
nxn
y
y
y
s
s
s
YYY
egyenlőséges y becslési feltételek és lineáris hiba függvény
1 2 3 4 5 6 7 8 Sorszám:
X1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
X2 0 0 0 1 0 0 0 0 4
X3 0 0 0 0 0 0 1 0 7
X4 0 1 0 0 0 0 0 0 2
X5 0 0 0 1 0 0 0 0 4
X6 0 0 0 0 0 0 0 1 8
X7 0 0 1 0 0 0 0 0 3
x8 0 0 0 1 0 0 0 0 4
Ynxn=
Ynxn mátrixok képzése
Helyezés:
0
0
0
s
s
s
E
E
E
m
2
1
nx)1n(
nx)1n(
nx)1n(
.miny1s1s1....s1s1 Tm
T1m
T2
T1
T
LP feladat: növekvő lépcső, lineáris hiba függvény
0
0
0
s
s
s
E00
00
000E0
0000E
m
2
1
nx)1n(
nx)1n(
nx)1n(
.miny1s1s1....s1s1 Tm
T1m
T2
T1
T
LP feladat kisebb egyenlő esetén:
mm
m
nxnnxnnxn
y
y
y
s
s
s
YYY
2
1
2
1
21S mo.
0
0
0
s
s
s
E00
00
000E0
0000E
m
2
1
nx)1n(
nx)1n(
nx)1n(
.miny1s1s1....s1s1 Tm
T1m
T2
T1
T
LP feladat nagyobb egyenlő esetén:
m
2
1
m
2
1
m
nxn
2
nxn
1
nxn
y
y
y
s
s
s
YYY
S mo.
S = ( S mo. + S mo.) / 2 ?!
Az egyenlőséges közelitése ..?...
0
0
0
s
s
s
E00
00
000E0
0000E
m
2
1
nx)1n(
nx)1n(
nx)1n(
LP feladat kisebb és nagyobb egyenlő esetén:
m
2
1
m
2
1
m
nxn
2
nxn
1
nxn
y
y
y
s
s
s
YYY
S < >
.miny1s1s1....s1s1 Tm
T1m
T2
T1
T
m
2
1
m
2
1
m
nxn
2
nxn
1
nxn
y
y
y
s
s
s
YYY
A legkisebb négyzetek minimuma hiba célfüggvény elemzése
Kvadratikus programozási feladat:
HA Q pozitív szemidefinit akkor:
A kvadratikus feladat átírható lineárissá:
xQxxcz
bxA
T
21
,0,0,0,0
0
vuyx
vuyx
bvxA
cyuAxQ
TT
TT
n
i
m
jjii sy
1
2
1, )( = min.Legkisebb négyzetek
Hiba =
Routh – Hurwitz kritérium:
(Pozitív aldeterminánsok)
Karush-Kunh-Thucker (KKT) féle feltételek esetén linearizálható:
n
n
y
y
y
y
y
1
3
2
1
nmmnnnn
mnmnnnn
mm
mm
mm
sssss
sssss
sssss
sssss
sssss
)1(321
)1()1)(1(3)1(2)1(1)1(
3)1(3333231
2)1(2232221
1)1(1131211
m
jj
m
jjn
m
jj
m
jj
m
jj
s
s
s
s
s
11
11
13
12
11
-
-
-
-
- 2
21
23
22
21
n
n
n
ii
1
2
n
i
m
j
n
iiij ys
1
2
1 1
)(
A legkisebb négyzetek minimuma hiba célfüggvény elemzése
A legkisebb négyzetek minimuma példa célfüggvény elemzése
.min)( 24321 iiiii yssss
.max)(0 24321 iiiii yssss
11111
11111
11111
11111
11111
1
14
13
12
11
114131211
y
s
s
s
s
yssss
xQxz T 221
0
xQxxcz T 21
2-szeres szorzatok fele-fele
QQ 2Q
A legkisebb négyzetek minimuma példa célfüggvény elemzése
22222
22222
22222
22222
22222
1
14
13
12
11
114131211
y
s
s
s
s
Q
yssss
D1=2
D2=0
D3=0
D4=0
Routh – Hurwitz kritérium:
.max)( 24321 iiiii yssss
Q pozitív szemidefinit!
22222
22222
22
2222
2222
1
11
12
11
1111211
n
n
nn
s
s
s
s
Q
ssss
A kvadratikus célfüggvény pozitív definitásának bizonyítása
D1=1
D2=0
Dn=0
Routh – Hurwitz kritérium:
.max)( 221 iinii ysss
Dn=0
Q pozitív szemidefinit!
Excel Solver
LP és nem lineáris célfüggvényeket (legkisebb négyzetek hiba függvényt is) tud
Kis dimenziós feladatokra jó Max ??? X ???
Iterativ algoritmust használ
Kezdőérték …? Mo = fv(kezdőérték) ? néha Nem multiplikativ 0-ról is indul
Időnként feltételeket sért …?
Jelenleg használatos megoldó eszközök:
LPS Ide
Csak LP megoldó nem lineárist pl. Lkn.-k (legkisebb négyzetek hiba függvényt) multiplikativ modellt, nem tud
Csak pozitiv EGÉSZ ? Eket kezel (probléma transzformációja szükséges)
Az LP feladat típusok összefoglalása
Legkisebb négyzetek hiba - Excel
Feltétel Csak lépcső Lépcső
Becslés = Y
Lépcső
Becslés Y
Lépcső
Becslés Y
Lépcső
Becslés Y
Becslés Y
Cél fv: Lkn.-k Lkn.-k Lkn.-k Lkn.-k Lkn.-k
Megoldás Solverrel Solver de ..? Solver Solver Solver
Tapasztalat Robosztus, jó …?
Nem szokásos
Nem szokásos
Nem megy
Indoklás Indirekt benne van a Becslés = Y
túlhatározott Túlhatározott
Az LP feladat típusok összefoglalása
Lineáris hiba – LPS IDE
Feltétel Csak lépcső
Lépcső
Becslés = Y
Lépcső
Becslés Y
Lépcső
Becslés Y
Lépcső
Becslés Y
Becslés Y
Cél fv: Lin. Lin. Lin. Lin. Lin.
Megoldás Nem használt modell tipus
IDE-ben nincs nem megy
IDE
de egyedül csak a párja nem fut le
IDE
de egyedül csak a párja nem fut le
IDE gyakori (Mo + Mo )/2 átlag…
Tapasztalat - -
Indok Hiányos modell
= feltételt az IDE nem tud
?! matematikailag de intuiciónak jó ..
Az LP feladat típusok összefoglalása
Multiplikativ – Lin. Hiba - Solver
Feltétel Csak lépcső
Lépcső
Becslés = Y
Lépcső
Becslés Y
Lépcső
Becslés Y
Lépcső
Becslés Y
Becslés Y
Cél fv: Lin. Lin. Lin. Lin. Lin.
Megoldás Solver Solver Solver Solver Solver
(Mo + Mo )/2 átlag…
Tapasztalat - -
Indok Hiányos modell
= feltételt az IDE nem tud
?! matematikailag de intuiciónak jó ..
Az LP feladat típusok összefoglalása
Multiplikativ – Lkn.-k hiba - Solver
Feltétel Csak lépcső
Lépcső
Becslés = Y
Lépcső
Becslés Y
Lépcső
Becslés Y
Lépcső
Becslés Y
Becslés Y
Cél fv: Lin. Lin. Lin. Lin. Lin.
Megoldás Solver Solver Solver Solver Solver
(Mo + Mo )/2 átlag…
Tapasztalat - -
Indok Hiányos modell
= feltételt az IDE nem tud
?! matematikailag de intuiciónak jó ..
A Multiplikativ modell bonyolultabb, nem szükséges, mert az additiv is a körül mozog.
Solverben üres lépcsővel nem indul.
Véletlenszerűen változtatott lépcsők esetén is a 0 hiba csak úgy jöhet létre ha teljesül a Becslés = Y feltétel
Megjegyzések
A Multiplikativ modell
Miért nem szükségesek a Becslés = Y feltételek
Az elemzések fontosak a fejlesztendő saját program kialakitásához.
Továbbfejlesztés
Köszönöm figyelmüket!