A New Cartesian Controller for Robot Manipulators

8/15/2019 A New Cartesian Controller for Robot Manipulators

1/7

2 0 0 5

I E E E / R S J I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n I n t e l l i g e n t R o b o t s a n d S y s t e m s

A New

C a r t e s i a n

C o n t r o l l e r f o r R o b o t M a n i p u l a t o r s

P a b l o S a i n c h e z - S a n c h e z

F

C .

E .

\

P o s g r a d o

e n A u t o m a t i z a c i o n

A u t o n o m o u s

U n i v e r s i t y

o f

P u e b l a

P u e b l a , MEXICO

l e p a b l e @ e c e . b u a p . m x

A b s t r a c t - T h e m a i n

o b j e c t i v e o f

t h i s

p a p e r i s

t o p r o p o s e

a

new

c o n t r o l l e r f o r

r o b o t

m a n i p u l a t o r s

o n C a r te s i a n C o o r d i n a t e s

w i t h

f o r m a l

c o n f i r m a t i o n

o f s t a b i l i t y , t o

v e r i f y

i t s

p e r f o r m a n c e

c o m p a r i n g

i t w i t h t h e C a r t e s i a n

PD

C o n t r o l l e r .

I n

t h i s

p a p e r

we d e s c r i b e a n

e x p e r i m e n t a l

C a r t e s i a n r o b o t f o r

r e s e a r c h a n d

d e v e l o p m e n t o f r o bo t c o n t r o l a l g o r i t h m s .

T h i s

s y s t e m a l l o w s t h e

d e v e l o p m e n t

a n d

e a s y

t e s t

o f

C a rt e si a n C o n tr o l

s t r a t e g i e s o n

t h r e e

d e g r e e s

o f f r e e d o m .

T h e f u n c t i o n a l i t y o f t h i s

s y s t e m

i s

e x p l a i n e d

v i a

r e a l - t i m e


r e s u l t s

o f a

new

p o s i t i o n

C a r t e s i a n

C o n t r o l

a l g o r i t h m

w i t h

g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f

t h e

c l o s e d - l o o p s y s t e m .

I n d e x Terms-

C a r t e s i a n

C o n t r o l l e r , J a c o b i a n

T r a n s p o s e d

C o n t r o l l e r ,

E n e r g y

S h a p i n g , A r t i f i c i a l

P o t e n t i a l

E n e r g y ,

DRILL-

B O T , P e r f o r m a n c e I n d e x .

I . INTRODUCTION

I n d u s t r i a l

r o b o t s a r e b a s i c a l l y

p o s i t i o n i n g

a n d h a n d l i n g d e -

v i c e s .

A

u s e f u l r o b o t i s o n e

t h a t

i s a b l e t o c o n t r o l i t s

m o v e m e n t a n d t h e

f o r c e s i t

a p p l i e s t o

i t s

e n v i r o n m e n t . T o

c o n t r o l

r e q u i r e s

t h e

k n o w l e d g e

o f a m a t h e m a t i c a l m o d e l

a n d

o f s o m e s o r t o f e x p e r i e n c e

t o a c t o n t h e m o d e l .

T h e

m a t h e m a t i c a l

m o d e l

i s

o b t a i n e d

f r o m

t h e b a s i c

p h y s i c a l

l a w s

g o v e r n i n g

t h e r o b o t ' s

d y n a m i c s

[ 1 ] .

T h i s w o r k i s f o c u s e d

i n

t h e

P o s i t i o n C o n t r o l

f o r r o b o t s

m an i p u l at o rs u s i ng

C a r t e s i a n C o n t r o l l e r s , b e c a u s e t h e r o b o t


move

f r e e l y

i n t h e i r w o r k

s p a c e w h i c h i s

i n t e r -

p r e t e d b y t h e

u s e r l i k e C a r t e s i a n

S p a c e ,

t h e

g o a l

o f

p o s i t i o n

c o n t r o l i s

t o

move t h e

m a n i p u l a t o r ' s

e n d - e f f e c t o r f r o m

i n i t i a l

p o s i t i o n

q o

t o a

f i x e d d e s i r e d

t a r g e t

q d

( c o n s t a n t

i n

t i m e ) .

T h e J o i n t

C o n t r o l i s

u s e d t o

d e t e r m i n e t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f

t h e C a r t e s i a n C o n t r o l

u s i n g

t h e J a c o b i a n

T r a n s p o s e d

M a t r i x

J ( q ) T ,

c o n t r i b u t i o n o f S . A r i m o t o

i n

1 9 8 1 , e l i m i n a t i n g

t h e

p o s s i b l e

s i n g u l a r i t y

[ 2 ] .

R o b o t


o f f e r

i n t e r e s t i n g

t h e o r e t i c a l a n d

p r a c t i -

c a l

c h a l l e n g e s

t o c o n t r o l

r e s e a r c h e r s

d u e t o n o n l i n e a r a n d

m u l t i v a r i a b l e

n a t u r e

o f

t h e i r

d y n a m i c a l

b e h a v i o r . From a

p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w ,

t h e r e a l t i m e

i m p l e m e n t a t i o n

o f r o b o t

c o n t r o l l e r s

c a n

b e

a n

e x p e n s i v e p r o j e c t

a n d a t i m e

c o n s u m i n g

a c t i v i t y

i f

a n

a d e q u a t e

t e s t

s y s t e m

i s n o t a v a i l a b l e

[ 3 ] .

A

g r e a t

a m o u n t o f w o r k s

i n

c a r t e s i a n c o n t r o l

a l g o r i t h m s

f o r

r o b o t

F e r n a n d o R e y e s - C o r t e s

F C .

E .

\ P o s g r a d o

e n A u t o m a t i z a c i o n

A u t o n o m o u s

U n i v e r s i t y

o f

P u e b l a

P u e b l a ,

MEXICO

f r e y e s

@

e c e .

b u a p . m x


i l l u s t r a t e

t h e i r r e s u l t s b y s i m u l a t i o n s a n d o n l y

a f e w h a v e

b e e n a c c o m p l i s h

w h i t


r e s u l t s [ 3 ] .

I n

t h i s w o r k

we

d e s c r i b e a p r o t o t y p e

f o r

r e s e a r c h

a n d


o f

r o b o t

c a r t e s i a n c o n t r o l

a l g o r i t h m s

w i t h

o p e n

a r c h i t e c t u r e

w h i c h a l l o w s t h e


a n d e a s i l y e x p e -

r i m e n t a l t e s t o f c a r t e s i a n

c o n t r o l

s t r a t e g i e s o n

a

s e r v o m o t o r

c a r t e s i a n

r o b o t

m a n i p u l a t o r w i t h

t h r e e

d e g r e e s o f f r e e d o m .

B e s i d e

e x p e r i m e n t a l s y s t e m , we

p r e s e n t a

t h e o r e t i c a l

r e s u l t ,

we

p r o p o s e

a p a r t i c u l a r c a s e o f n o n l i n e a r c a r t e s i a n c o n t r o l l e r

f o r

p o s i t i o n

c o n t r o l . T h i s

c o n t r o l l e r p r e s e r v e s

g l o b a l

a s y m p -

t o t i c

s t a b i l i t y

o f t h e c l o s e d l o o p

s y s t e m ,

i t

i s s u p p o r t e d b y

a

r i g o r o u s s t a b i l i t y a n a l y s i s i n c l u d i n g t h e f u l l L a g r a n g i a n r o b o t

d y n a m i c s

i n t h e

c l o s e d

l o o p .

T h i s

p a p e r i s o r g a n i z e d a s

f o l l o w s .

S e c t i o n

2

d e s c r i b e s

t h e

d y n a m i c s

o f r i g i d

r o b o t s a n d

i t s m a i n p r o p e r t y .

I n

S e c t i o n

3

we d e s c r i b e a

p r o p o s e d

c o n t r o l l e r ,

t h e c o n t r o l

p r o b l e m

f o r m u l a t i o n

a n d t h e

m a i n

s t a b i l i t y

a n a l y s i s .

T h e

e x p e r i m e n -

t a l

s y s t e m

d e s c r i p t i o n

a n d


r e s u l t s

o n

a t h r e e

d e g r e e s

o f

f r e e d o m

i n

S e c t i o n

4 .

F i n a l l y ,

we

o f f e r

s o m e

c o n c l u d i n g

r e m a r k s

i n

S e c t i o n

5 .

I I . ROBOT

DYNAMICS

F o r

C a r t e s i a n C o n t r o l d e s i g n p u r p o s e s , a n d t o d e s i g n

b e t t e r

c o n t r o l l e r s ,

i t

i s

n e c e s s a r y

t o

r e v e a l

t h e

d y n a m i c

b e h a v i o r

o f t h e r o b o t

v i a

a m a t h e m a t i c a l m o d e l o b t a i n e d f r o m b a s i c

p h y s i c a l

l a w s . We

u s e L a g r a n g i a n D y n a m i c s

[ 4 ]

t o

o b t a i n

t h e

d e s c r i b i n g


e q u a t i o n s .

We

b e g i n

o u r


w i t h t h e

g e n e r a l L a g r a n g e

e q u a -

t i o n

o f

m o t i o n

[ 1 ] , [ 5 ] , [ 6 ] ,

[ 7 ] , [ 8 ] .

C o n s i de r t h en

L a g r a n g e ' s

e q u a t i o n s

f o r a c o n s e r v a t i v e

s y s t e m

a s

g i v e n b y :

d

[ L ( q , 0

1 _

-

L ( q ,

T - f ( T , q )

( 1 )

w h e r e

q ,

q

C

R T h X l

a r e v e c t o r s

o f

j o i n t d i s p l a c e m e n t s

a n d

v e l o c i t i e s

r e s p e c t i v e l y , f ( T , x )

c

R T h x l

i s

t h e

f r i c t i o n

v e c t o r

a n d t h e

L a g r a n g i a n

C ( q ,

4 )

i s t h e d i f f e r e n c e

b e t w e e n

t h e

k i n e t i c

a n d

p o t e n t i a l e n e r g i e s

[ 1 ] , [ 5 ] , [ 6 ] , [ 7 ] , [ 8 ] , [ 9 ] ,

1 2 ( q ,

C )

k ( q , C ) - 1 1 ( q ) .

( 2 )

0 - 7 8 0 3 - 8 9 1 2 - 3 / 0 5 / 2 0 . 0 0

© 2 0 0 5

I E E E

3 5 3 6


2/7

I t i s

w e l l known t h a t i n t h e a b s e n c e o f

f r i c t i o n

a n d

o t h e r

d i s t u r b a n c e s ,

t h e

d y n a m i c s o f

a s e r i a l

n - l i n k

r i g i d

r o b o t

c a n

b e w r i t t e n

a s [ 1 0 ] , [ 1 1 ] , [ 1 2 ] :

M ( q )

f

+ C ( q ,

q ) q

+

g ( q )

T

( 3 )

w h e r e

q ,

q ,

C

R

x l

a r e

v e c t o r s

o f

j o i n t

d i s p l a c e m e n t s ,

v e l o c i t i e s a n d

a c c e l e r a t i o n

r e s p e c t i v e l y , M ( q )

C

R X T

i s

t h e

s y m m e t r i c

p o s i t i v e d e f i n i t e

m a n i p u l a t o r

i n e r t i a l

m a t r i x ,

C ( q , q )

c

R X '

i s t h e m a t r i x o f

C e n t r i p e t a l

a n d C o r i o l i s

t o r q u e s

a n d

g ( q )

C

RX

1

i s t h e

v e c t o r

o f

g r a v i t a t i o n a l t o r q u e s

o b t a i n e d a s

t h e

g r a d i e n t

o f t h e

r o b o t

p o t e n t i a l e n e r g y .

T h e

e q u a t i o n s

( 9 )

a r e c a l l e d t h e H a m i l t o n i a n

e q u a t i o n s

o f

M o t i o n [ 1 4 ] . T h e

f o l l o w i n g e n e r g y

b a l a n c e

i m m e d i a t e l y

f o l l o w s f r o m ( 9 ) :

d & H

( q ,

P )

=

( & ( ( q ,

T )

+

( 1

H

( q p ) T

d t

O q

O11p

g i v e n t h e r e s u l t

[ 1 4 ] :

W

=

dH

( q ,

p )

=

_T T

d t

( 1 0 )

( 1 1 )

I n v e r s e k i n e m a t i c s i s one o f t h e f u n c t i o n s

b a s i c t o r o b o t m a-

n i p u l a t o r c o n t r o l

s y s t e m s .

C a r t e s i a n

p o s i t i o n

a n d o r i e n t a t i o n

x

o f

t h e e n d - e f f e c t o r

i s

d e s c r i b e d a s a f u n c t i o n

f

o f t h e

j o i n t

v a r i a b l e

q [ 1 3 ] :

x

f

( q ) .

( 4 )

V a r i o u s

a p p r o a c h e s

t o s o l v e t h e i n v e r s e

p r o b l e m

o f

( 4 )

h a v e

b e e n

i n t r o d u c e d ,

e i t h e r

b y d e t e r m i n i n g

f - 1 s y m b o l i c a l l y :

q

f - ( x ) ,

( 5 )

o r

b y

u t i l i z i n g t h e p a r t i a l

d e r i v a t i o n

o f

( 4 ) :

x=

J ( q ) q ,

( 6 )

we

o b t a i n e d

t o t h e i n v e r s e

J a c o b i a n

m a t r i x :

q

J ( q )

1

x

( 7 )

A f t e r s o m e

o p e r a t i o n s

we c a n r e l a t e t h e

J o i n t

s p a c e

w i t h

t h e

C a r t e s i a n

s p a c e , o b t a i n i n g

t h e

t a b l e I .

T AB LE I

J O I N T COORDINATED TO CARTESIAN

E x p r e s s i n g

t h a t

t h e i n c r e a s e

i n

e n e r g y

o f t h e

s y s t e m

i s

e q u a l

t o t h e

s u p p l i e d

w o r k

( c o n s e r v a t i o n

o f

e n e r g y ) .

When

f o r c e s

a c t

o n

a

m e c h a n i s m ,

w o r k

( i n

t h e t e c h n i c a l

s e n s e )

i s d o n e

i f

t h e

m e c h a n i s m

m o v e s

t h r o u g h

a

d i s p l a c e m e n t [ 1 5 ] .

Work

i s

d e f i n e d a s

a

f o r c e

a c t i n g t h r o u g h

a d i s t a n c e a n d i s

a

s c a l a r w i t h u n i t s

o f

e n e r g y .

S i n c e w o r k h a s

u n i t s

o f

e n e r g y

i t m u s t b e t h e

s a m e m e a s u r e d

i n

a n y

s e t

o f

g e n e r a l i z e d

c o o r d i n a t e s . S p e c i f i c a l l y ,

we

c a n

e q u a t e

t h e

w o r k

d o n e

i n

C a r t e s i a n t e r m s w i t h

t h e

w o r k d o n e i n

j o i n t s p a c e

t e r m s

[ 1 5 ] .

I n

t h e

m u l t i d i m e n s i o n a l

c a s e ,

w o r k

i s

t h e

d o t

p r o d u c t

o f a

v e c t o r f o r c e o r

t o r q u e

a n d a v e c t o r

d i s p l a c e m e n t

[ 1 5 ] .

W

=F± ( 1 2 )

t o r e l a t e

e q u a t i o n ( 6 ) , ( 1 1 )

a n d

( 1 2 )

we o b t a i n e d :

T

J ( q )

T

( 1 3 )

w h e r e

T

i s t h e

v e c t o r

o f

a p p l i e d t o r q u e s , J ( q )

i s t h e J a c o b i a n

M a t r i x a n d

S

i s t h e F o r c e

a p p l i e d

a t t h e

e n d - e f f e c t o r . T h e

e q u a t i o n

( 1 3 )

i s

c a l l e d

J a c o b i a n

T r a n s p o s e d

C o n t r o l l e r

[ 2 ] .

R e p l a c e m e n t

t h e

J a c o b i a n

T r a n s p o s e d

C o n t r o l l e r ,

e q u a t i o n

( 1 3 ) ,

o n t h e

D y n a m i c

M o d e l , e q u a t i o n ( 3 ) ,

a n d

u s i n g

t h e

e q u a t i o n s d e s c r i b e d

i n t h e T a b l e

I ,

we o b t a i n :

J o i n t

C o o r d i n a t e d

C a r t e s i a n

C o o r d i n a t e d

::

J q -4j

:

J ( q )

4

= : :

J ( q )

- 1 v c

_

J ( q )

- 1

j ( q )

J ( q )

-

1 -

xc: : : =

J ( q )

q

+

J ( q )

q

W h e r e a s t h e

H a m i l t o n

s y s t e m

a n d

t h e

v e c t o r

o f


momenta

p

[ P I , . . .

P k ] ,

d e f i n e d f o r

a n y

L a n g r a n g i a n

1 ( q , q) a s p =

( q

i

[ 1 4 ] ,

i s

s i m p l y g i v e n b y :

p

= M ( q ) C ,

( 8 )

a n d

b y d e f i n i n g

t h e s t a t e

v e c t o r ,

[ q 1 , .

c.

P 1

, . . .

k,

t h e

k s e c o n d o r d e r

e q u a t i o n

( 1 )

t r a n s f o r m

i n t o 2 k

f i r s t - o r d e r

e q u a t i o n s :

[ a 7 H ( q , p ) ]

=

a I ( q ,

q ) +

O U ( q )

=

M ( q ) - 1 p

=

7 H ( q ,

p )

+

( 9 )

Oq

w h e r e

1 t ( q ,

p )

i s t h e t o t a l

e n e r g y

o f

t h e

s y s t e m .

M ( x ) x

+

C ( x ,

x ) x

+

g ( x ) T x , ( 1 4 )

w h e r e :

M ( x )

= J ( q ) - ' M ( q )

J ( q )

- '

( 1 5 )

C ( x ,

x )

= J ( q )

- T [ C J - 1

- M ( q ) J - 1 J J - 1 ]

( 1 6 )

g ( x )

J ( q ) - T g ( q )

( 1 7 )

T x

=

( 1 8 )

we o b t a i n e d a

D y n a m i c

M o d e l

r e p r e s e n t a t i o n

o n

J a c o b i a n

T r a n s p o s e d

t e r m s .

I t

i s

i m p o r t a n t

t o

k e e p

i n m i n d t h a t we

a s s u m e

t h a t t h e

m a n i p u l a t o r ' s e n d - e f f e c t o r

i n t e r a c t s w i t h

a n

i n f i n i t e l y

s t i f f

e n v i r o n m e n t

h e n c e ,

i t s m o t i o n i s c o n s t r a i n e d

t o

a

s m o o t h

( n

-

m )

d i me n si o n al s u b ma n i f ol d

1 ,

d e f i n e d

b y

q ( q )

O

w h e r e

t h e f u n c t i o n

:

Rn

> Rm

i s a t

l e a s t t w i c e

c o n t i n u o u s l y

d i f f e r e n t i a b l e

t h i s

way

we a s s u m e t h a t t h e r e

e x i s t s a n

o p e r a t i n g r e g i o n

Q

c R T

d e f i n e d

a s Q

Q 1

x

Q 2 ,

3 5 3 7


3/7

w h e r e

Q ,

i s a

c o n v e x

s u b s e t

o f R'-', Q 2 i s a n

o p e n

s u b s e t

o f

R'.

We a l s o

a s s u m e

t h e e x i s t e n c e

o f

a f u n c t i o n

k ,

:

Q ,

> -

R m

t w i ce c on t i n uo sl y

d i f f e r e n t i a b l e , k 1

C

C 2 ,

s u c h a s

O ( q 1 , k ( q 1 ) )

0 f o r a l l q l

C

Q l .

U n d e r

t h e s e

c o n d i t i o n s , t h e

v e c t o r

q 2

c a n

b e

u n i q u e l y

d e f i n e d

b y t h e

v e c t o r

q I

s u c h

t h a t

q 2

k ( q 1 )

f o r

a l l

q l

C

Q l .

N o t i c e

t h a t

u n d e r

t h i s a s s u m p t i o n t h e

J a c o b i a n

J ( q ) i s n o n

s i n g u l a r

o n l y

V

q

c Q t h a t

i s t o s a y

J ( q ) - 1

3 V

q

c Q [ 1 6 ] .

A l t h o u g h t h e

e q u a t i o n

o f

m o t i o n ( 1 4 )

i s c o m p l e x , i t

h a s

s e v e r a l

f u n d a m e n t a l p r o p e r t i e s w h i c h c a n

b e e x p l o i t e d

t o

f a -

c i l i t a t e c o n t r o l s y s t e m d e s i g n . We

u s e

t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t

p r o p e r t i e s :

P r o p e r t y

1 : C o n s i d e r i n g a l l

r e v o l u t e j o i n t s , t h e i n e r t i a l

m a t r i x M(x)

i s l o w e r

a n d

u p p e r b o u n d e d b y

[ 1 4 ] :

( 1 9 )

w h e r e

I

s t a n d s

f o r

t h e m

x

n

I d e n t i t y

m a t r i x .

We s h o u l d

c o n s i d e r

t h a t

M(x)

i t

i s s y m m e t r i c

p o s i t i v e

d e f i n i t e

i n e r t i a l

m a t r i x

b e c a u s e t h i s

d e f i n e d i n t h e way Q T A Q

w h e r e

A

i s

s y m m e t r i c a l

m a t r i x

a n d

Q

J ( q ) - 1

[ 1 7 ] .

P r o p e r t y

2 :

T h e m a t r i x

J T

[ M ( x )

-

2 C m ( x ,

x ) ] x

_0

i s s k e w - s y m m e t r i c , t h a t i s [ 1 4 ] ,

We

u s e t h e

f o l l o w i n g C a rt e si a n c o n t r o l

s c h e m e :

T x=

V 1 ( k p , ; )

-

f v ( k V ,

x )

g ( x ) f

( T x ,

x )

( 2 4 )

w h e r e

x i s t h e p o s i t i o n e r r o r i n

C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s ,

l ( k p ,

x v ) i s

t h e

A r t i f i c i a l

P o t e n t i a l E n e r g y d e s c r i b e d b y :

( 2 5 )

1 ( k , f ~ )

_ f ( D ) T k p f

( x )

2

a n d t h e t e r m f

( k r ,

± ) i s t h e D e ri v a t i v e A c t i on .

We u s e t h e

f o l l o w i n g

L y a p u n o v s c h e m e :

V ( x , x )

2 T M ( X )

+

( k x x ) .

2

T h e E n e r g y S h ap i n g M e t h o d o l o g y c o n s i s t i n

f o u n d a

l ( k x ,

x v )

f u n c t i o n t o f u l f i l l t h e n e x t

L y a p u n o v ' s

c o n d i t i o n s :

V ( 0 , 0 )

0

V±, x =

0

V ( x , x ) >

O V

x ,

x

v 4

0

( 2 7 )

a n d

t o

d o

t h e

d e r i v a t i o n

o f

t h e

L y a p u n o v

e q u a t i o n

[ 2 0 ]

we

o b t a i n ,

± T J 2 I _

) _

& l ( k p , d ~ ) T

V( ± ) ±TM(X)i + i 1( l

) t r 2

± ' ( k ,

, 2 8 )

f u l f i l l t h e c o n d i t i o n :

( 2 6 )

M(x)

=

C ( x ,

x )

+ C ( x , X ) T

( 2 0 )

F u r t h e r m o r e , t h e m a t r i x C ( x ,

x )

i s l i n e a r

o n

x

a n d

b o u

o n

x ,

h e n c e

f o r

s o m e

k ,

c

R+

[ 1 4 ] :

J j C ( x ,

x )

<

k c ( x )

I I ± Q .

P r o p e r t y

3 :

T h e


g r a v i t a t i o n a l

f o r c e s

v e c t o r

g ( x )

_ l ( x )

O x

s a t i s f i e s

[ 1 4 ] :

( 2 2 )

& g ( x )

<

k

Ox

f o r s o m e

k g

C

R + ,

w h e r e 1 ( x ) i s

t h e p o t e n t i a l

e n e r g y

e x p r e s s e d

i n

t h e c a r t e s i a n

s p a c e

a n d i s s u p p o s e d t o b e

b o u n d e d

f r o m b e l o w

[ 1 4 ] .

I I I .

CARTESIAN CONTROLLERS

I n

t h i s s e c t i o n we p r e s e n t o u r m a i n

r e s u l t c o n c e r n i n g

t h e

s t a b i l i t y a n a l y s i s

o f t h e

p r o p o s e d

C a r t e s i a n

c o n t r o l l e r s . Now

we

a r e

i n

p o s i t i o n

t o

f o r m u l a t e

t h e

C a r t e s i a n

c o n t r o l

p r o b l e m .

T y p i c a l l y

we

p r o p o s e


u s i n g

t h e E n e r g y

S h a p i n g

o n J o i n t C o o r d i n a t e s

[ 3 ] , [ 1 0 ] , [ 1 1 ] , [ 1 2 ] ,

[ 1 4 ] , [ 1 8 ] , [ 1 9 ] ,

[ 2 0 ] ,

n ow we u s e

t h i s m e t h o d o l o g y

o n C a r t e s i a n S p a c e .

T h e

E n e r g y

S h a p i n g i s a

c o n t r o l l e r

m e t h o d d e s i g n , t h i s m e t h o d

c o n s i d e r a t e t h e

D y n a m i c

M o d e l w i t h o u t

f r i c t i o n

a n d o t h e r s

d i s t u r b a n c e s

[ 9 ] ,

[ 1 0 ] , [ 1 1 ] ,

[ 1 2 ] , [ 1 8 ] , [ 1 9 ] , [ 2 0 ] , [ 2 1 ] .

V ( x , x )

<

O ,

v e r i f y a s y m p t o t i c a l

s t a b i l i t y

w i t h

L a S a l l e

t h e o r e m :

V ( x ,

x )

<

0 .

( 2 1 )

C o n s i d e r t h e n e x t c a r t e s i a n c o n t r o l l e r s

s c h e m e s .

( 2 9 )

( 3 0 )

A . C a r t e s i a n

PD

C o n t r o l l e r

, T x

JT[KPX

K,]

+

g ( x )

+

f ( T x ,

x )

( 3 1 )

w h e r e

x

d e n o t e s

t h e

p o s i t i o n e r r o r o n

C a r t e s i a n C o o r d i n a t e s ,

K p ,

K ,

a r e t h e p r o p o r t i o n a l a n d

d e r i v a t i v e

g a i n s .

T h e c o n -

t r o l

p r o b l e m

c a n

b e s t a t e d

a s

t h a t o f

s e l e c t i n g

t h e

d e s i g n

m a t r i c e s

K p

a n d

K ,

s u c h

t h a t

t h e p o s i t i o n e r r o r x v a n i s h e s

a s y m p t o t i c a l l y ,

i . e .

l i m t O j i ( t )

0

c

R T n .

T h e c l o s e d - l o o p

s y s t e m

e q u a t i o n o b t a i n e d b y c o m b i n i n g

t h e C a rt e si a n r o b ot

m o d e l , e q u a t i o n

( 1 4 ) ,

a n d

c o n t r o l s c h e m e ,

e q u a t i o n ( 3 1 ) , c a n

b e w r i t t e n a s :

d

[ 2

_

[ - x

d t

[ J H [ M ( x ) -

[ K p x ; - - K v X ~ -

C ( x ,

x ~ x ] (

w h i c h i s

a n a u t o n o m o u s

d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

a n d t h e o r i g i n

o f t h e s t a t e

s p a c e

i s i t s

u n i q u e e q u i l i b r i u m

p o i n t .

T o c a r r y o u t t h e s t a b i l i t y a n a l y s i s o f e q u a t i o n ( 3 2 ) ,

we

p r o p o s e d t h e

f o l l o w i n g

L y a p u n o v f u n c t i o n c a n d i d a t e

b a s e d

3 5 3 8

1 - t i ( X ) - l

< -

M ( X )

< -

1 - t 2 ( X ) - l


4/7

i n

t h e

E n e r g y S h a p i n g

M e t h o d o l o g y [ 1 2 ] , [ 2 0 ] o r i e n t e d

o n

C a r t e s i a n s p a c e :

i n t h e E n e r g y

S h a p i n g M e t h o d o l o g y [ 1 2 ] , [ 2 0 ] o r i e n t e d

o n

C a r t e s i a n

s p a c e :

V ( x , x ) =T

)

2)

+

T 2

( 3 3 )

T h e

f i r s t

t e r m o f

V ( x ,

x r )

i s

a

p o s i t i v e

d e f i n i t e

f u n c t i o n

w i t h

r e s p e c t t o x

b e c a u s e

M ( x ) i s

a

p o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i x . T h e

s e c o n d o n e

o f

L y a p u n o v

f u n c t i o n c a n d i d a t e

( 3 3 )

i s a

p o s i t i v e

d e f i n i t e

f u n c t i o n w i t h

r e s p e c t

t o

p o s i t i o n

e r r o r

x ,

b e c a u s e

K p

i s a p o s i t i v e d e f i n i t e

m a t r i x . T h e r e f o r e

V ( x , x r )

i s

a

g l o b a l l y

p o s i t i v e d e f i n i t e

a n d

r a d i a l l y u n b o u n d e d f u n c t i o n .

T h e

t i m e d e r i v a t i v e o f

L y a p u n o v


( 3 3 )

a l o n g t h e

t r a j e c t o r i e s

o f t h e

c l o s e d - l o o p ( 3 2 ) ,

X AXX~ ~ 4

V ( x , ( x )

+

2

+

( 3 4 )

a n d a f t e r s o m e

a l g e b r a

a n d

u s i n g

t h e

p r o p e r t y

2 i t

c a n b e

w r i t t e n a s :

V ( x ,

x )

=-xTKV_

<

0 ,

( 3 5 )

w h i c h i s a

g l o b a l l y

n e g a t i v e

s e m i d e f i n i t e

f u n c t i o n a n d t h e r e -

f o r e

we

c o n c l u d e

s t a b i l i t y

o f t h e

e q u i l i b r i u m p o i n t .

I n

o r d e r t o

p r o v e a s y m p t o t i c

s t a b i l i t y

we

e x p l o i t

t h e a u t o n o m o u s

n a t u r e

o f

c l o s e d - l o o p

( 3 2 )

t o

a p p l y

t h e L a S a l l e

I n v a r i a n c e

P r i n c i p l e :

V ( x ,

x )

<

0 .

I n t h e

r e g i o n :

Q

=

{ [ J c

R n :

V ( ; r ± ) 0

}

t h e

u n i q u e

i n v a r i a n t

i s

[

± T ]

T

0 c

R 2 T .

B .

C a r t e s i a n

f 9

C o n t r o l l e r

( 3 6 )

( 3 7 )

T x

J T

[ K , 3

K , 1 ]

+

g ( x )

+

f

( T x ,

x )

( 3 8 )

w h e r e

x

d e n o t e s t h e

p o s i t i o n

e r r o r

o n

C a r t e s i a n

C o o r d i n a t e s ,

K p ,

K ,

a r e t h e

p r o p o r t i o n a l

a n d

d e r i v a t i v e

g a i n s ,

a n d

X x

=

s i n h ( x r )

/ 1 -

t a n h ( x v ) ,

X x =

s i n h ( )

/ 1

-

t a n h ( x ) .

T h e


s y s t e m

e q u a t i o n

o b t a i n e d

b y

c o m b i n i n g

t h e

C a r t e s i a n r o b o t

m o d e l ,

e q u a t i o n ( 1 4 ) ,

a n d

c o n t r o l

s c h e m e ,

e q u a t i o n ( 3 8 ) ,

c a n

b e

w r i t t e n a s :

d t

[ H

[ M ( x ) - l

[ K p _

- K v 4 -

C ( x , ± ) l

3 9

w h i c h i s a n a u t o n o m o u s d i f f e r e n t i a l

e q u a t i o n

a n d t h e

o r i g i n

o f t h e s t a t e

s p a c e

i s i t s

u n i q u e

e q u i l i b r i u m

p o i n t .

T o

c a r r y

o u t t h e

s t a b i l i t y

a n a l y s i s

o f

e q u a t i o n ( 3 9 ) ,

we

p r o p o s e d

t h e

f o l l o w i n g L y a p u n o v

f u n c t i o n

c a n d i d a t e

b a s e d

M ( X ) ±

+

kXX

2

1 / / n ( c o s h ( d x v

) )

1 T

1 / l n ( c o s h ( d x 2 ) )

- V

l - n ( c o s ~ h ( x n )

( 4 0 )

V I

n ( c o s h ( ) )

1

1 4

n ( c o s h ( d x 2 ) )

V

l n ( c ~ o s h ( - ; x n ) )

t h e f i r s t t e r m o f

V ( x , x r )

i s

a

p o s i t i v e

d e f i n e f u n c t i o n w i t h

r e s p e c t

t o x

b e c a u s e

M ( x )

i s

a

p o s i t i v e

d e f i n i t e

m a t r i x .

T h e

s e c o n d o n e

o f

L y a p u n o v

f u n c t i o n

c a n d i d a t e

( 4 0 )

i s

a

p o s i t i v e

d e f i n i t e f u n c t i o n w i t h

r e s p e c t

t o

p o s i t i o n

e r r o r

x ,

b e c a u s e

K p

i s

a

p o s i t i v e

d e f i n e m a t r i x . T h e r e f o r e

V ( x ,

x r )

i s a

g l o b a l l y

p o s i t i v e

d e f i n i t e a n d

r a d i a l l y

u n b o u n d e d

f u n c t i o n .

T h e

t i m e

d e r i v a t i v e

o f

L y a p u n o v


( 4 0 )

a l o n g

t h e

t r a j e c t o r i e s

o f t h e


( 3 9 ) ,

V ( x

x V

= T M ( x ) y

+ 2

~/ l n ( c o s h ( x l ) )

l

+ 1 / n ( c o s h ( d ; i ) )

1

1 V n ( c o s h ( d n 2 ) )

1

l n ( c ~ o s h ( - ; ~ ) )

a n d a f t e r s o m e

a l g e b r a

w r i t t e n

a s :

V ( ± , f P z ) = -

T K V

( 4 1 )

[

tanh

]

a n d

u s i n g

t h e

p r o p e r t y

2

i t c a n b e

s i n h ( x ±

1 - t a n h 2 ( x l )

s i n h ( ± 2 )

2 1 - t a n h

( x 2 )

s i n h ( ± n )

a1-

tanh2

( ±)


5/7

I n t h e

r e g i o n

{

[

C

V ( x i i , x )

=

0}

44)

t h e

u n i q u e i n v a r i a n t

i s

[T

± T ]

T

0 c R 2 T .

I V .

EXPERIMENTAL SYSTEM DESCRIPTION

We h a v e

d e s i g n e d

a n d

b u i l d

an

e x p e r i m e n t a l s y s t e m f o r

r e s e a r c h

o f C a r t e s i a n

r o b o t

c o n t r o l a l g o r i t h m s

a n d c u r r e n t l y

i t

i s

a t u r n k e y

r e s e a r c h

s y s t e m f o r d e v e l o p i n g

a n d v a l i d a t i o n

o f

C a r t e s i a n c o n t r o l

a l g o r i t h m s

f o r

r o b o t

m a n i p u l a t o r s .

T h e


s y s t e m i s a

s e r v o m o t o r r o b o t m an i p u l a to r w i t h

t h r e e d eg re es o f

f r e e d o m m o v i n g i n t h e t h r e e

d i m e n s i o n a l

space as

i t i s

s h o w n

i n

t h e

f i g u r e

1 .

F i g .

1 .

E x p e r i m e n t a l

P r o t o t y p e .

D R I L L - B O T'

T h e

s t r u c t u r e a r e

m a d e

o f s t a i n l e s s

i r o n ,

d i r e c t d r i v e s h a f t

w i t h s e r v o m o t o r s

f r o m R e l i a n c e E l e c t r o n i c s .

A d v a n t a g e s

o f

t h i s

t y p e

o f

d r i v e s h a f t

i n c l u d e

h i g h

t o r q u e .

T h e

s e r v o m o t o r

h a s a n I n c r e m e n t a l E n c o d e r f r o m

H e w l e t t

P a c k a r d .

T h e m o t o r s

u s e d i n t h e


c a r t e s i a n

r o b o t a r e

t h e

m o d e l

E450

[ 4 5 0 o z

-

i n . ] .

T h e s e r v o s

a r e o p e r a t e d

i n

t o r q u e

m o d e ,

s o t h e

m o t o r s

a c t s a r e f e r e n c e

i f

t o r q u e s i g n a l .

P o s i t i o n

i n f o r m a t i o n

i s

o b t a i n e d

f r o m

i n c r e m e n t a l

e n c o d e r s l o c a t e d o n

t h e

m o t o r s ,

w h i c h

h a v e a r e s o l u t i o n o f

1 0 2 4 0 0 0

p

\ r e v .

A . E x p e r i m e n t a l R e s u l t s

T o s u p p o r t o u r t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s ,

t h i s s e c t i o n p r e s e n t s

a n


c o m p a r i s o n

o f t w o

p o s i t i o n c o n t r o l l e r s

o n

C a r t e s i a n C o o r d i n a t e s

o n

t h r e e

d e g r e e s

o f

f r e e d o m

C a r t e s i a n

r o b o t m a n i p u l a t o r . T o i n v e s t i g a t e t h e

p e r f o r m a n c e among

c o n t r o l l e r s ,

t h e y

h a v e b e e n

c l a s s i f i e d a s

TPD

f o r

t h e

s i m p l e

PD

c o n t r o l l e r

a n d

T p

r e p r e s e n t o u r p r o p o s e c o n t r o l l e r , b o t h

o n C a r t e s i a n

s p a c e .

T h e e x p e r i m e n t a l

c o m p a r i s o n c o n s i s t s

i n f i n d i n g w h i c h i s

t h e

b e t t e r p e r f o r m a n c e among

e v a l u a t e d


b y u s i n g t h e s c a l a r - v a l u e d

£ 2

n o r m . A

s m a l l e r

£ 2

r e p r e s e n t s l e s s e r

p o s i t i o n

e r r o r a n d t h u s

i s

t h e b e t t e r

p e r f o r m a n c e [ 2 2 ] ,

[ 2 3 ] , [ 2 4 ] ,

[ 2 5 ] .

An

e x p e r i m e n t

o f

p o s i t i o n c o n t r o l h a s b e e n d e s i g n e d

t o

c o m p a r e

t h e

p e r f o r m a n c e o f

t h e c o n t r o l l e r s

o n

a C a r t e s i a n

r o b o t .

T h e

e x p e r i m e n t a l c o n s i s t o f

m o v i n g t h e


e n d - e f f e c t o r

f r o m i t s i n i t i a l

p o s i t i o n t o

a f i x e d

d e s i r e d

t a r g e t .

F o r t h e p r e s e n t a p p l i c a t i o n t h e d e s i r e d

c a r t e s i a n p o s i t i o n s

w e r e c h o s e n a s :

[ x d 1 ,

X d 2 ,

x d 3 1 T

[ 0 . 7 8 5 ,

0 . 6 1 5 ,

0 * 3 4 9 ] T

[ m e t e r s ] ,

w h e r e

X d l ,

X d 2 a n d X d 3

r e p r e s e n t

t h e

x , y a n d

z

a x e s o f t h e

p r o t o t y p e .

T h e

i n i t i a l

p o s i t i o n s

a n d v e l o c i t i e s

w e r e

s e t t o z e r o

( f o r

e x a m p l e

a h o m e p o s i t i o n ) . T h e f r i c t i o n

p h e n o m e n a

w e r e

n o t

m o d e l l e d

f o r

c o m p e n s a t i o n

p u r p o s e .

T h a t i s , a l l

t h e

c o n t r o l l e r s d i d

n o t

s h o w a n y

t y p e o f

f r i c t i o n

c o m p e n s a t i o n . N e v e r t h e l e s s ,

i n

s p i t e o f t h e p r e s e n c e o f

t h e f r i c t i o n ,

p h e n o m e n o n

t h a t d o e s n ' t h a v e

a


s t r u c t u r e t o

b e m o d e l l e d . T h e

e v a l u a t e d c o n t r o l l e r s

h a v e

b e e n

w r i t t e n i n C

l a n g u a g e .

T h e

s a m p l i n g r a t e w a s e x e c u t e d

a t 2 . 5

m s .

T h e C a r t e s i a n

P 9 C o n t r o l l e r

d e s i r e d p o s i t i o n i s d e p i c t e d

i n f i g u r e 2 , t h e

d e s i r e d

p o s i t i o n s

i n

t h i s e x p e r i m e n t a r e

X d l

0 . 7 8 5 ,

x d 2 0 . 6 1 5

a n d

X d 3 0 . 3 4 9 .

We

c a n

o b s e r v e

t h a t

t h e

p o s i t i o n

e r r o r g e t t o z e r o i n s m a l l e r t i m e , t h a t i s t o

s a y ,

t h e

c o n t r o l l e r

o b t a i n s t h e d e s i r e d

p o s i t i o n , f i g u r e

3 .

T h e

g o a l

o f

p o s i t i o n

c o n t r o l i s t o move t h e


e n d -

e f f e c t o r

f r o m

i n i t i a l

p o s i t i o n

x o

t o a f i x e d d e s i r e d

t a r g e t x d

( c o n s t a n t

i n

t i m e ) ,

t h a t i s t o

s a y ,

t o m a k e t h e

p o s i t i o n

e r r o r

x

0 .

B .

P e r f o r m a n c e

I n d e x

R o b o t m a n i p u l a t o r s a r e

v e r y

c o m p l e x m e c h a n i c a l s y s t e m ,

d u e t o t h e n o n l i n e a r a n d

m u l t i v a r i a b l e

n a t u r e

o f t h e

d y n a m i c

b e h a v i o r . F o r

t h i s

r e a s o n ,

i n t h e r o b o t i c s

c o m m u n i t y t h e r e

a r e n o t

w e l l - e s t a b l i s h e d

c r i t e r i a f o r

p r o p e r

e v a l u a t i o n o f

c o n t r o l l e r s f o r r o b o t s .

H o w e v e r ,

i t i s

a c c e p t e d

i n

p r a c t i c e

t o

c o m p a r e

t h e


o f c o n t r o l l e r s

b y u s i n g

t h e s c a l a r -

v a l u e d

£ 2

norm

a s

a n

o b j e c t i v e

n u me r i c al m e a s u r e

f o r

a n

e n t i r e e r r o r c u r v e . T h e

£ 2

[ X ]

norm m e a s u r e s t h e r o o t - m e a n -

s q u ar e a v er a g e

o f t h e

x p o s i t i o n

e r r o r ,

w h i c h i s

g i v e n b y :

t

£ 2

[ X ] = t

2 d t ( 4 5 )

to

w h e r e

t o ,

t

c

R +

a r e t h e

i n i t i a l

a n d f i n a l

t i m e s , r e s p e c t i v e l y .

3 5 4 0


6/7

A s m a l l e r

£ 2

r e p r e s e n t s

l e s s e r

p o s i t i o n

e r r o r a n d i t i n d i -

c a t e s t h e b e s t


o f t h e e v a l u a t e d

c o n t r o l l e r .

0 1

2 3 4

5

6

7

8

9

F i g . 2 .

P o s i t i o n o f

t h e

C a r t e s i a n

b

C o n t r o l l e r G r a p h i c .

0 7

0. 6

0 . 5

0 A 4

0. 3

0, 2

0 . 1 -

[

[ I n ]

X' 2

0

1

2

3 4

F i g . 3 . P o s i t i o n E r r o r

o f

t h e C a r t e s i a n b C o n t r o l l e r

G r a p h i c .

T o

a v e r a g e

o u t s t o c h a s t i c

i n f l u e n c e s , t h e d a t a p r e s e n t a t i o n

i n

t h i s

f i g u r e r e p r e s e n t s t h e mean

o f r o o t - m ea n - s q u a r e p o s i t i o n

e r r o r v e c t o r n o r m

o f

t e n r u n s . F o r c l a r i t y , t h e d a t a

p r e s e n t e d

i n f i g u r e 4 a r e c o m p a r e d w i t h r e s p e c t t o t h e

£ 2

norm

o f

PD c o n t r o l l e r . T h e

r e s u l t s f r o m o n e r u n t o a n o t h e r w e r e

o b s e r v e d

t o

b e

l e s s

1 o f

t h e i r

m e a n ,

w h i c h

u n d e r s c o r e

t h e

r e p e a t a b i l i t y

o f t h e

e x p e r i m e n t s . I n g e n e r a l ,

t h e p e r f o r m a n c e

o f t h e

PD

c o n t r o l l e r i s i m p r o v e d r o u g h l y

2 1 . 6 % b y

i t s

c o u n t e r p a r t , t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r a s

s h o w i n

f i g u r e 4 . TPD

h a s a

2 [ f p P D

=

0 . 2 1 6

[ d e g r e e s ]

o v e r

t h e

r a n g e o f t h e

e x p e r i m e n t a l r e s u l t s ,

w h i l e t h e

p e r f o r m a n c e i n d e x e s

f o r

T p

a r e

0 . 1 2 3

[ d e g r e e s ] .

T o a c c o m p l i s h t h e e x p e r i m e n t s

we c o n s i d e r

t h e f o l l o w i n g

d e s i r e d p o s i t i o n s :

[ x d j ,

X d 2 , x d 3 1 ] T [ 0 . 7 8 5 ,

0 . 6 1 5 ,

0 . 3 4 9 ] T

[ m e t e r s ] . A s b e f o r e , t h e s e

i n d e x e s

r e p r e s e n t t h e

m e a n s o f

t e n

r u n s . F i g u r e

4

c o n f i r m s

t h a t t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r

i m p r o v e s

t h e

p e r f o r m a n c e o b t a i n e d b y

PD


V .

CONCLUSION

I n

t h i s p a p e r we h a v e d e s c r i b e d a n e x p e r i m e n t a l

e q u i p m e n t

f o r

t e s t i n g

c a r t e s i a n r o b o t

c o n t r o l l e r s w i t h

o p e n a r c h i t e c t u r e

w h i c h

a l l o w s

t h e

p r o g r a m m i n g

o f

a

g e n e r a l

c l a s s

o f c a r t e s i a n

r o b o t

c o n t r o l l e r s . T h e

g o a l

o f t h e t e s t

s y s t e m

i s t o s u p p o r t

t h e r e s e a r c h a s

w e l l

a s t o d e v e l o p

new

c a r t e s i a n

c o n t r o l

a l g o r i t h m s

f o r

r o b o t m a n i p u l a t o r s .

O u r t h e o r e t i c a l

r e s u l t s

a r e

t h e

p r o p o s e o f c a r t e s i a n

c o n t r o l l e r s . We

h a v e

s h o w n

g l o b a l

a s y m p t o t i c

s t a b i l i t y

f o r

L y a p o u n o v

f u n c t i o n s .

E x p e r i m e n t s

o n

c a r t e s i a n

r o b o t m a n i p u l a t o r h a v e

b e e n c a r r i e d o u t t o s h o w t h e

s t a b i l i t y

a n d


f o r t h e c a r t e s i a n c o n t r o l l e r s .

A

t h o r o u g h a n a l y s i s o f o bt ai n e d e x p e r i m e n t a l d a t a s u g g e s t s

t h e

f o l l o w i n g :

TPD

T

C a r t e s i a n C o n t r o l l e r s

F i g .

4 . P e r f o r m a n c e I n d e x .

T h e o v e r a l l

r e s u l t s

a r e

s u m m a r i z e d i n

F i g u r e

4

w h i c h

i n -

c l u d e s t h e


i n d e x e s

f o r

t h e

a n a l y z e d

c o n t r o l l e r s .

.

N o t

t h a t

t h e new

a l g o r i t h m

i m p r o v e s

t h e


o b t a i n e d

b y

PD


T h e

f a m i l y

o f

p r o p o s e d

c o n t r o l l e r

e f f e c t i v e l y e x p l o i t s

i t s

e x p o n e n t i a l

c a p a b i l i -

t y

i n o r d e r

t o e n h a n c e t h e

p o s i t i o n e r r o r ,

h a v i n g

a

s h o r t

t r a n s i e n t

p h a s e

a n d a

s m a l l

s t e a d y - s t a t e

e r r o r .

F a s t

c o n v e r g e n c e c a n b e o b t a i n e d ( f a s t e r r e s p o n s e ) .

C o n s e q u e n t l y ,

t h e c o n t r o l


i s

i n c r e a s e d i n

c o m p a r i s o n

w i t h t h e a f o r e m e n t i o n e d


.

N e v e r t h e l e s s ,

i n

s p i t e

o f

t h e

p r e s e n c e

o f

t h e

f r i c t i o n ,

p h e n o m e n o n

t h a t d o e s n t

h a v e

a m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e

t o

b e

m o d e l l e d , s i g n a l s

o f

p o s i t i o n

e r r o r a r e

a c c e p t a b l y

s m a l l

f o r

t h e

p r o p o s e d

f a m i l y .

T h e

p r o b l e m o f

p o s i t i o n

c o n t r o l

f o r

r o b o t m a n i p u l a t o r s

c a n

c o r r e s p o n d

t o t h e

c o n f i g u r a t i o n

o f a

s i mp l e p i ck

a n d

p l a c e

r o b o t . F o r

e x a m p l e ,

w h e n t h e

r o b o t

r e a c h e s t h e d e s i r e d

p o i n t ,

i t

c a n

r e t u r n

t o

t h e i n i t i a l

p o s i t i o n .

I f

t h i s

p r o c e s s

i s

r e p e t i t i v e

( r o b o t p l u s c o n t r o l l e r ) ,

t h e n

i t

w o u l d

b e a

s i m p l e

p i c k

a n d

p l a c e r o b o t

u s e d f o r

m a n u f a c t u r i n g s y s t e m s .

O t h e r

3 5 4 1

[ D e r g e e . s ]

0 . 5

n

x

04-

( D

0 3-

0

C

0 2 -

M 0 . 2 0 -

0 . 2 1 6

0 . 1 2 3


7/7

a p p l i c a t i o n s c o u l d b e : p a l l e t i z i n g m a t e r i a l s , p r e s s

t o

p r e s s

t r a n s f e r , w i n d s h i e l d g l a s s

h a n d l i n g ,

a u t o m o t i v e components

h a n d l i n g , c o o k i e a n d b o t t l e p a c k i n g .

I n

t h o s e a p p l i c a t i o n s ,

t h e t i m e s p e n t t o t r a n s f e r a w o r k p i e c e f r o m one s t a t i o n t o

n e x t i s s t i l l h i g h . I n

t h e

c a s e

o f

our p r o t o t y p e ,

D R I L L - B O T ,

i t

b e c o m e s

e v i d e n t t h e

use

o f

t h e

p o s i t i o n c o n t r o l

d u e

t o

t h e c o o r d i n a t e s

i n

w h i c h a b o r e

i s

d e s i r e d . I t

i s

i m p o r t a n t t o

o b s e r v e

t h a t a f t e r e a c h

p e r f o r a t i o n c a r r i e d

o u t

b y t h e r o b o t

i t r e t u r n s t o t h e i r I n i t i a l p o s i t i o n .

V I . ACKNOWLEDGMENT

T h e

a u t h o r

w o u l d l i k e

t o t h a n k t h e

CONACyT

s u p p o r t

g r a n t e d

t h r o u g h

t h e S c h o l a r s h i p

f o r

S t u d i e s o f

M a s t e r

1 7 7 1 6 7. A l so

t o t h a n k

t h e

D r . F e r n a n d o R e y e s

C o r t e s

t h e i r

v a l u a b l e s u p p o r t

i n

t h e e l a b o r a t i o n o f t h e p r o t o t y p e

d e s c r i b e d

i n

t h i s p a p e r .

REFERENCES

[ 1 ]

A . K . B e c j z y ,

R o b o t

Ar m D y n a m i c s a n d C o n t r o l

( P a s a d e n a , C A :

T e c h n i c a l

Memo 3 3 - 6 6 9 , NASA J e t P r o p u l s i o n L a b o r a t o r y , 1 9 7 6 ) .

[ 2 ]

M . T a k e g a k i a n d S . A r i m o t o ,

A

Ne w F e e d b a c k M e t h o d f o r D y n a m i c

C o n t r o l o f

M a n i p u l a t o r s ,

J o u r n a l

o f D y n a m i c

S y s t e m s ,

M e a s u r e m e n t ,

a n d

C o n t r o l ,

1 0 2 ( 2 ) ,

1 9 8 1 ,

1 1 9 - 1 2 5 .

[ 3 ]

F .

R e y e s ,

J . C i d a n d C . C a m p u z a n o, D e v e l op m e nt o f a n

E x p e r i m e n t a l

P l a tf o r m w i t h

o p e n

a r c h i t e c t u r e f o r R o b o t s

M a n i p u l a t o r s , P r o c e e d i n g s

o f

t h e

IASTED

I n t e r n a t i o n a l

C o n f e r e n c e

M o d e l i n g

a n d

S i m u l a t i o n ,

P h i l a d e l p h i a , P e n n s y l v a n i a , U S A , 1 9 9 9 , 7 7 - 8 0 .

[ 4 ]

A .

L o r i a , R .

K e l l y ,

R . O r t e g a

a n d

V .

S a n t i b a i e z ,

On

O u t p u t F e e d b a c k

C o n t r o l

o f

E u l e r - L a g r a n g e

s y s t e m s

u n d e r

i n p u t

c o n s t r a i n t s ,

IEEE

T r a n s a c t i o n s

o n

C o n t r o l , 4 2 ( 8 ) , 1 9 9 6 , 1 1 3 8 - 1 1 4 2 .

[ 5 ]

H . G o l d s t e i n , C l a s s i c a l

D y n a m i c s

( R e a d i n g : MA .

A d d i s o n - W e s l e y ,

1 9 5 0 ) .

[ 6 ]

A .

B a r r i e n t o s ,

L .

P e n i i n ,

C .

B a l a g u e r

a n d

R .

A r a c i l ,

F u n d a m e n t o s d e

R o b 6 t i c a ( M a d r i d : McGraw H i l l ,

1 9 9 7 ) .

[ 7 ]

L . S c i a v i c c o a n d B.

S i c i l i a n o ,

M o d e l i n g

a n d

C o n t r o l o f

R o b o t

Ma-

n i p u l a t o r s ( N a p o l e s :

McGraw

H i l l , 1 9 9 6 ) .

[ 8 ]

R .

K e l l y ,

R .

H a b e r ,

R . H a be r - G u e rr a a n d F .

R e y e s , L y a p u n o v

S t a b l e

C o n t r o l

o f

R o b o t

M a n i p u l a t o r s :

A

F u z z y S e l f - T u n n i n g

P r o c e d u r e ,

I n t e l l i g e n t

A u t o m a t i o n a n d

S o f t

C o m p u t i n g ,

5 ( 4 ) , 1 9 9 9 ,

3 1 3 - 3 2 6 .

[ 9 ]

R .

R e y e s - R u i z ,

F .

R e y e s - C o r t 6 s

a n d

P . S a n c h e z - S a n c h e z ,

A

Ne w

P o s i t i o n

R e g u l a t o r

f o r R o b o t

M a n i p u l a t o r , P ro ce ed i n gs o f

t h e


S y m p o s i u m

o n R ob ot i c s

a n d A u t o m a t i o n .

Q u e r 6 t a r o ,

M 6 x i c o , 2 0 0 4 ,

3 4 4 - 3 4 6 .

[ 1 1 ] R . K e l l y , V . S a n t i b a n e z a n d

F .

R e y e s ,

On

S a t u r a t e d - p r o p o r t i n a l

d e r i v a t i v e

f e ed b ac k w i t h

a d a p t i v e g r a v i t y c o m p e n s a t i o n o f r o b o t m a -

n i p u l a t o r s , I n t e r n a t i o n a l J ou r na l o f A d ap t i v e C o n t r o l a n d S i g n a l

P r o c e s s i n g , 1 0 ( 4 - 5 ) , 1 9 9 6 , 4 6 5 - 4 7 9 .

[ 1 2 ]

R .

K e l l y , R e gu l at i on o f

M a n i p u l a t o r s i n G e n e r i c T a s k S p a c e : An E -

n e r g y S h a p i n g P l u s D a m p i n g

I n j e c t i o n A p p r o a c h ,

IEEE

T r a n s a c t i o n s

o n R o b o t i c s

a n d

A u t o m a t i o n ,

1 5 ( 2 ) ,

1 9 9 9 , 3 8 1 - 3 8 6 .

[ 1 3 ] G . S ch r ei b er

a n d

G . H i r z i n g e r , S i n g u l a r i t y C o n s i s t e n t I n v e r s e

K i n e -

m a t i c s b y e n h a n c i n g t h e J a c o b i a n

T r a n s p o s e ,

A d v a n c e s

i n

R o b o t

K i n em a ti c s : A n a l ys i s a n d C o n t r o l . W o l f g a n g s e e , G e r m a n y , 1 9 9 8 , 2 0 9 -

2 1 6 .

[ 1 4 ] A .

L o r i a

a n d

R . O r t e g a ,

F o r c e / P o s i t i o n R e g u l a t i o n

f o r

R o b o t

M a n i -

p u l a t o r s

w i t h

U n m e a s u r a b l e

V e l o c i t i e s a n d U n c e r t a i n G r a v i t y , A u t o -

m a t i c a , 3 6 ( 6 ) , 1 9 9 6 ,

9 3 9 - 9 4 3 .

[ 1 5 ] J . J . C r a i g , I n t r o d u c t i o n t o R o b o t i c s

M e c h a n i c s a n d C o n t r o l

( N e w

Y o r k : A d d i s o n - W e s l e y , 1 9 8 9 ) .

[ 1 6 ] P . S a n c h e z - S a n c h e z , F . R e y e s - C o r t 6 s a n d

R .

R e y e s - R u i z ,

C a r t e s i a n

C o n t r o l l e r s

f o r R o b o t

M a n i p u l a t o r s , P r o ce e di n g s o f

t h e


S y m p o s i u m

o n R o b o t i c s

a n d

A u t o m a t i o n .

Q u e r 6 t a r o ,

M 6 x i c o ,

2 0 0 4 ,

3 4 7 - 3 5 1 .

[ 1 7 ]

A .

G . K u r o s c h , C u r s o

d e

A l g e b r a S u p e r i o r

( M o s c u :

M I R , 1 9 6 8 ) .

[ 1 8 ]

F . R e y e s

a n d R .

K e l l y , E x p e r i m e n t a l

E v o l u t i o n

o f

I d e n t i f i c a t i o n

S c h e m e s

o n

a D i r e c t

D r i v e

R o bo t , P r o ce ed i n gs o f

t h e

1 9 9 8 IEEE

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e

o n

R o b o t i c s

a n d

A u to ma ti o n, L e u v e n ,

B e l -

g i u m , 1 9 9 8 ,

2 3 2 7 - 2 3 3 2 .

[ 1 9 ] F . R e y es a n d

R . K e l l y ,

On P a r a m e t e r I d e n t i f i c a t i o n o f R o bo t M a ni -

p u l a t o r , P r o ce e di n g s o f

t h e 1 9 9 7

IEEE


C o n f e r e n c e

o n

R o b o t i c s

a n d A u t o m a t i o n ,

A l b u q u e r q u e ,

Ne w M e x i c o , 1 9 9 9 ,

1 9 1 0 -

1 9 1 5 .

[ 2 0 ] R .

K e l l y ,

a n d

V .

S a n t i v a n e z ,

A

c l a s s o f

g l o b a l

r e g u l a t o r s

w i t h b o u n d e d

a c t i o n s

f o r

r o b o t

m a n i p u l a t o r s ,

P r oc e ed i ng s o f

t h e

3 5 t h

C o n f e r e n c e

o n

D e c i s i o n

a n d

C o n t r o l ,

K o b e ,

J a p a n , 1 9 9 6 ,

3 3 8 2 - 3 3 8 7 .

[ 2 1 ]

R .

K e l l y ,

V .

S a n t i b a n e z

a n d F .

R e y e s ,

A

C l a s s

o f A d a p t i v e

R e g u l a t o r s

f o r R o b o t

M a n i p u l a t o r ,

I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l

o f A d a p t i v e

C o n t r o l a n d

S i g n a l

P r o c e s s i n g .

1 2 ( 1 ) , 1 9 9 8 ,

4 1 - 6 2 .

[ 2 2 ]

L . L .

W h i t c o m b ,

A .

A .

R i z z i

a n d

D .

E .

K o d i t s c h e k , C o m p a r a t i v e

e x p e r i m e n t s

w i t h

a

new

a d a p t i v e

c o n t r o l l e r f o r

r o b o t

a r m s ,

IEEE

T r a n s a c t i o n o n R o b o t i c s a n d A u t o m a t i o n ,

9 ( 1 ) ,

1 9 9 3 , 5 9 - 6 9 .

[ 2 3 ]

H .

B e r g h u i s ,

H .

R o e b b e r s

a n d H . N i j m e i j e r ,

E x p e r i m e n t a l c o m p a r i s o n

o f

p a r a m e t e r

e s t i m a t i o n

m e t h o d

i n

a d a p t i v e

r o b o t

c o n t r o l , A u t o m a t i c a ,

3 1 ( 9 ) , 1 9 9 5 ,

1 2 7 5 - 1 2 8 5 .

[ 2 4 ]

A .

J a r i t z

a n d M.

S p o n g ,

An

e x p e r i m e n t a l c o m p a r i s o n

o f

r o b u s t

c o n t r o l

a l g o r i t h m s

o n

a

d i r e c t

d r i v e

m a n i p u l a t o r ,

IEEE T r a n s a c t i o n o n C o n t r o l

S y s t e m s

T e c h n o l o g y ,

4 ( 6 ) ,

1 9 9 6 ,

3 6 3 - 3 6 8 .

[ 2 5 ]

B. De

J a g e r

a n d J .

B a n e n s ,

E x p e r i m e n t a l e v a l u a t i o n s

o f

r o b o t

c o n -

t r o l l e r s ,

P r o ce e di n g s o f

t h e

3 3 r d

C o n f e r e n c e

o n

D e c i s i o n

a n d

C o n t r o l .

L a k e B u e n a

V i s t a ,

F l ,

U S A ,

1 9 9 4 ,

3 6 3 - 3 6 8 .

[ 1 0 ]

F .

R e y e s

a n d C .

C a m p u z a n o ,

P D - T y p e

C o n t r o l l e r w i t h

N o n l i n e a r

P r o -

p o r c i o n a l

G a i n f o r R o b o t

M a n i p u l a t o r s ,

XX

C o n g r e s o

I n t e r n a c i o n a l

A c a d e ' m i c o

d e

I n g e n i e r i a E l e c t r 6 n i c a , P u e b l a , M 6 x i c o ,

1 9 9 8 ,

3 5 7 - 3 6 0 .

3 5 4 2

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A New Cartesian Controller for Robot Manipulators