A PONTSZERŰ ÉS KITERJED TESTEK MOZGÁSA

Mechanikai mozgások

Pont Kiterjedt test

Pálya szerintiIdőbeli lefolyás

szerinti

Pontszerű test mozgása

Egyenes vonalú

Görbe vonalú

Kiterjedt test mozgása

Haladó (transzlációs)

Forgó

A levegőben a tömegközéppont (súlypont) körülTámasz vagy fogáspont körül

Transzlációs és forgómozgás az izületekben

Transzláció

Forgás

Transzláció+ forgás = gördülés

A haladó és forgó mozgás kombinációja kiterjedt test esetén

A testszegmentek, a szegmentek súlypontjának (tömegközéppontjának) és a rendszer súlypontjának mozgása

A kiterjedt test egy idealizált, elméletileg meghatározott pontja, amelyben a testszegmensek súlyerejének

forgatónyomatéka nulla.

A kiterjedt test egy idealizált, elméletileg meghatározott pontja, amelyben a testszegmensek súlyerejének

forgatónyomatéka nulla.

A merev test forgása, forgástengelyének helye, ha a talajjal érintkezésben van

Forgáspont, forgástengely

A fogáspont körül

A levegőben a tömegközéppont (súlypont) körül, vagy a súlyponton átmenő tengely(ek) körül

Levegőben

Vízben

Súlyerő

Felhajtóerő

Elmozdulás

r Út

Az elmozdulásvektor és az út

Időbeli lefolyás szerint

Egyenletes Nem egyenletes

Nem változó

Változó

Egyenletesen változó

Nem egyenletesen változó

Egyenletes Nem változó

Pl. egyenesvonalú egyenletes mozgás

Egyenletes Változó

A sebességvektor iránya állandóan változik

Nem egyenletes

Egyenletesen változó

Az egyenlő idők alatt megtett útak hossza nem egyenlő

Nem egyenletesen változó

A gyorsulás állandó

A gyorsulás változó

Mozgástörvények

Út (s)

Sebesség (v)

Gyorsulás (a)

Szögváltozás ()

Szögsebesség ()

Szöggyorsulás ()

A kinematikában használt, a mozgások leírására szolgáló mennyiségek

G=mg

F

m g < m a

s1= c · t s2= g/2 · t2

Légüres térben v1 = c

Szabadesés sebessége t időpontban

v2 = g · t

Tényleges sebesség

v = v1 -v2 = c - g · t

Az emelkedés ideje

t1 = c / g

Az emelkedés útja

s1 = c2 / 2g

FÜGGŐLEGES HAJÍTÁS

G < F

Példák

Labdával gyertyát rúgunk. Mekkora volt a kezdősebesség, ha 45 m magasra emelkedett? Mivel a hajítás magassága adott, írjuk fel az erre levezetett képletet!  

max0 2 ygv smv /3045,01020

gvy 2/20max

ymax = 45 m

F

g

sy

sx

v0

sx = v0·t

g

st y2

Vízszintes hajítás

Newton I. törv.

Vízszintes hajítás

v0

vtx = v0

vty

vt

vtx = v0

vty = g t

22yxt

vvv

tg =vty /vtx

A pontszerű test vízszintes haladásának távolságát befolyásoló tényezők

sx = v0·t

g

st y2

g

ht

2

Ferde hajítás

Smax = 2vx · tmax

g

vh y

2

2

max

tmax = vy /g

Smax

hmax

22

0 yx vvv

cos0 vvx sin0 vvy

2sin20

max g

vs

A kirepülési szög és a leérkezési hely jelentősége

g

ghvvvs

2sinsincos

2200

0

sy(h)

A felugrási magasság kiszámítása

2010. 09. 24.

A felugrási magasság kiszámítása

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Time (ms)

Fz (N

)

gvsv 2/20max

gvt /00

gvt /2 00

2/00 gtv

Newton II. törvénye (impulzustétel)

F = dI / dt

Impulzus (Mozgásmennyiség)

Erőlökés (impulzus)

Minden tömegpont impulzusának egységnyi idő alatti megváltozása egyenlő a tömegpontra ható erők eredőjével

vmI

tFI

vmdtF t )(

dt

vmF t

)(

m

a

t

vvmF

)( 01

t

vv )( 01

amF

0

500

1000

1500

2000

2500

0 200 400 600 800

Idő (ms)

Erő

(N

)

I

Az erő-idő görbék meghatározott és számított változói

F

tcc tl

2

gtv l

y

g

vs yy 2

2

dtGFI t )( )(

Gm

Is ccy

2

2

Impulzus és felugrási magasság

t

F

I=F ·t

Az impulzus az erő idő szerinti integrálja

nt

t

t dtFI1

)(

Icc az ízületek kinyújtása alatti erő-idő görbe alatti területet jelenti

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 200 400 600 800 1000 1200

Idő (ms)

Erő

(N

)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 200 400 600 800 1000 1200

Idő (ms)

Erő

(N

)

Fr = G + m a

Fr = G = mg

Fr = G – ma

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 200 400 600 800 1000 1200

Idő (ms)

Erő

(N

)

Térdízületi szög – idő görbe

Talajreakcióerő – idő görbe

Az ízületek kinyújtása alatti erő-idő görbe alatti

terület

AZ SJ és CMJ típusú felugrások erőgörbéinek összehasonlítása

CMJ

SJ

SJ (squat jump) – guggolásból ízületi nyújtással végrehajtott felugrás

CMJ (counter movement jump) – ízületi hajlítás utáni ízületi nyújtással végrehajtott felugrás)

Forgómozgás

Szögelfordulás ( )

Kifejezés: fok vagy radián (SI egység)

Radián =körív / sugár

Radian = fokban / 57.3

1 fok = 0.0174 rad

1 radián = 1d/1r

360 = 2 radián = 6,28 radián

180 = radián = 3,14 radián

90 = 1/2 radián = 1,57 radián

(d= a kőrív hossza, r = sugár)

Periódusidő (T) és frekvencia (f)

T = a két azonos állapot között eltelt idő

f= 1/Tf= 1/T

1 hertz (Hz) leegyszerűsítve az 1 másodperc (s) alatti rezgésszám.

Fordulatszám (körülfordulás; n)

360 = 2 radián = 1 körülfordulás

2 radián = kőrív / sugár = 2 r /r

kör kerülete: K = 2rπ.

r

d – az elmozdulás útja

Szögsebesség

Kerületi sebesség

dtt //

nrT

rr

dtrv

22

rd

1 f/perc = 2π rad·perc‒1 = 2π/60 rad·s‒1 = 0,10471976 rad·s‒1 1 f/perc = 2π rad·perc‒1 = 2π/60 rad·s‒1 = 0,10471976 rad·s‒1

T = a két azonos állapot között eltelt idő

rad2mr 3,0

mrd 6,0

rv smv /2,1

sIdő 5,0

sradt

/4

mr 6,0smv /4,2

md 2,1

md 8,1

mr 9,0

smv /6,3

2010.10.08.

idő

ltozássebességválásszöggyorsu

t /2/ srad

Centripetális gyorsulás

22222

)2( nrrrr

va T

tcp

Egyenletes körmozgás

rd

trvt /

Centripetális gyorsulás

Egyenletesen változó körmozgás

2

2

t

r

t

rr

t

vat

rtar 2)(

at = tangenciális gyorsulás

ar = sugár irányú (centripetális) gyorsulás

Ipulzusmomentum

Egy mozgó tömegpont impulzusmomentuma:

prL

r = a tömegpont valamely vonatkozási ponttól mért távolsága

p az impulzusa

Grafikus ábrázolás Összefüggés az erő (F), nyomaték (τ), valamint az impulzus (p) és az impulzusmomentum (L) között

L

Kiterjedt testek esetén hasznos a tehetetlenségi nyomaték segítségével kifejezni

a test szögsebesség vektora, a tehetetlenségi nyomaték

Inertia, tehetetlenségi nyomaték

Szöggyorsulás() = nyomaték (M) / inertia ( )

M = β

= m r2 = 5 · 102 = 500 kg m2r = 10

r = 10

r = 20

m = 5

m = 10

m = 5

= m r2 = 10 · 102 = 1000 kg m2

r = 10m = 5 = m r2 = 5 · 102 = 500 kg m2

= m r2 = 5 · 202 = 2000 kg m2

Forgatónyomaték (M)

m

mgk

)(NmkFkGkgmM

Erő(teher) kar= a forgáspontból az erő hatásvonalára bocsátott merőleges egyenes hossza

Statikus helyzetben

m= 5 kg

r= 0,2 m

k = 0,14 m

= 45 NmM 7

r

45sinrk

r

m

M2rm

t

2

22

t

rm

t

rmM

m= 5 kg r= 0,2 m

t= 0,05 s = 45 = 0,785 rad

2

2

05,0

785,02.05 M

NmM 2,68

= 900/s = 15,7 rad/s

Forgatónyomaték (M)

Dinamikus körülményben

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Idő (ms)

Nyo

ma

ték

(Nm

)

A statikus (izometriás erő) mérése

F

k

M = F • k

Brachioradialis

Brachialis

Biceps brachii

Az izomerő kiszámítása

M = F • kF

Fi

F

ki

F • kF = Fi • ki

Fi = F • kF / ki

kF

Mi = Fi • ki

Nyomaték egyensúly

Nettó nyomaték = Mi – (MG1 + MG2) = 0

Mi = MG1 + MG2

Mi > MG1 + MG2

Mi < MG1 + MG2

Izometriás kontrakció

Koncentrikus kontrakció

Excentrikus kontrakció

Az izületi forgó mozgás és a kiterjedt test haladó mozgásának kombinációja

sy(h)

A felugrási magasság kiszámítása

A felugrási magasság kiszámítása

v

t0 = v0 / g

smax = v20 / 2g

t0 =2v0 / g

v0 =t0g / 2

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Time (ms)

Fz (N

)

Newton II. törvénye (impulzustétel)

F = dI / dt

Mozgásmennyiség

Erőlökés (impulzus)I = m v

F t = I

F(t) dt = m v

F t = m a

t

vvmF

)( 01

Minden tömegpont impulzusának egységnyi idő alatti megváltozása egyenlő a tömegpontra ható erők eredőjével

0

500

1000

1500

2000

2500

0 200 400 600 800

Idő (ms)

Erő

(N

)

I

Az erő-idő görbék meghatározott és számított változói

F

tcc tl

2

gtv l

y

g

vs yy 2

2

dtGFI t )( )(

Gm

Is ccy

2

2

Impulzus és felugrási magasság

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Time (ms)

Fz (N

)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Time (ms)

Fz (N

)

EKRt =dF / dt

Fcsúcs

tF

EKR = F / t

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Time (ms)

Fz (N

)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Time (ms)

Fz (N

)

EKRt =dF / dt

Fcsúcs

tF