เส นขนานและร ูปสามเหล ่ี่ยม · เสเสนขนาน้นขนาน (parallel line) • บทนิิยาม เส้้ี้นตรงสองเส้นท

เสนขนานและรปสามเหลยม

ดร.สภทร สายรตนอนทร

วชาเรขาคณตเบองตน

1

เสนขนาน (parallel line)เสนขนาน (parallel line)

• การขนานกน

• มมทเทากน

• มมรวมกนเทากบ 180o

2

เสนขนาน (parallel line)เสนขนาน (parallel line)

• บทนยาม เสนตรงสองเสนทอยบนระนาบเดยวกน ขนานกน กตอเมอ

เสนตรงทงสองเสนนน ไมตดกน

• เมอ และ ขนานกน อาจกลาววา ขนานกบ หรอ ขนานกบ

AB CD AB CDCD ABหรอ ขนานกบ

• อาจเขยนแทนดวยสญลกษณ หรอ

CD AB

//AB CD //CD AB

3

เสนขนาน (ตอ)เสนขนาน (ตอ)

• เราสามารถกลาววาสวนของเสนตรงหรอรงสขนานกนเมอสวนของ

เสนตรงหรอรงสนนเปนสวนหนงของเสนตรงทขนานกน เชน

4


ใ ใ • ในการเขยนรปเสนตรง สวนของเสนตรง หรอรงสทขนานกน อาจใช

ลกศรแสดงเสนทขนานกน ดงตวอยางในรป

• แสดงวา และ //AB CD //BC DE

5


ใ ไ • ในกรณทวไป ถาเสนตรงสองเสนขนานกน แลวระยะหางระหวาง

เสนตรงคนนจะเทากนเสมอ และในทางกลบกน ถาเสนตรงสองเสนม

ระยะหางระหวางเสนตรงเทากนเสมอ แลวเสนตรงคนนจะขนานกน

6

เสนตด (Transversal)เสนตด (Transversal)

• จากรป เรยก วา เสนตด AB ABจากรป เรยก วา เสนตด

• เรยก และ วา มมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด

ใ

AB AB

x y AB

และเรยก และ วา มมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด

ดวย ในการเขยนรปเสนตด AB อาจใช หรอ แทน กไดu v AB

AB AB AB

7

เสนตด (ตอ)เสนตด (ตอ)

• เมอเสนขนานถกตดผานดวย

เสนตรงอกเสนหนง (เสนตด) เราจะ

เหนวามมมอยหลายมมทมขนาด

เทากน ดงภาพ

• มม 118o = มม 118o

• และ มม 62o = มม 62o

8

มมค (pair of angle)มมค (pair of angle)E

A B

C D

F

• เมอเสนตรง AB ขนานกบ เสนตรง CD และม เปน

ใ //AB CD EF

เสนตด(Transversal) จะทาใหเกดมมค (Pairs of angles) ทมชอเรยก

เฉพาะดงน

9

มมค (ตอ)มมค (ตอ)

• เรยก และ วามมตรงขาม

(vertical angle)

a d

• เรยก และ วามมทสมนยกน

(corresponding angle)

a e(corresponding angle)

• เรยก และ วามมแยงภายใน c f(Alternate Interior Angles)

• เรยก และ วามมแยงa hเรยก และ วามมแยง

ภายนอก (Alternate Exterior Angles)

a h

10

มมทเทากนมมทเทากน

• มมตรงขาม มขนาดเทากน

– มม 1 กบ มม 3


– มม 5 กบ มม 7– มม 5 กบ มม 7


11

มมทเทากน (ตอ)มมทเทากน (ตอ)

• มมแยง มขนาดเทากน

• มมแยงภายใน


4 6– มม 4 กบ มม 6

• มมแยงภายนอก


– มม 2 กบ มม 8มม 2 กบ มม 8

12

มมทเทากน (ตอ)มมทเทากน (ตอ)

• มมทสมนยกน มขนาดเทากน

• พจารณาซกซาย


ใ มมภายนอกทเทากบมมภายในทอยบนซกซายเหมอนกน


• พจารณาซกขวา

– มม 3 กบ มม 7มม 3 กบ มม 7

มมภายในทเทากบมมภายนอกทอยบนซกขวาเหมอนกน

– มม 2 กบ มม 613

มมรวมกนเทากบ 180oมมรวมกนเทากบ 180

ไ • มมประชดรวมกนได 180o

– มม 1 กบ มม 2 รวมกนได 180o

• มมภายในบวกมมภายใน

3 6 ไ 180o– มม 3 กบ มม 6 รวมกนได 180o


• มมภายนอกบวกมมภายนอก

– มม 2 กบ มม 7 รวมกนได 180oมม 2 กบ มม 7 รวมกนได 180


14

ตวอยางท 1ตวอยางท 1

15

ตวอยางท 1 (ตอ)ตวอยางท 1 (ตอ)

• วธทา

16


17

ตวอยางท 2 (ตอ)ตวอยางท 2 (ตอ)

ใ //PQ RS PR• กาหนดให และม เปนเสนตด

• ตองการพสจนวา 1 3=

//PQ RS PR

• พสจน 1. เพราะ

2 3 180+ = ○ //PQ RS

2. เพราะ เปนมมประชด

3. จะได

1 2 180+ = ○

1 2 2 3 180+ = + = ○3. จะได

4. ดงนน

1 2 2 3 180+ +

1 3=

18


ใ • ใหหาคาของ x และ y

180 72 108y = − =

72x =

19


ใ • ใหหาคาของ x

• ตอบ O40x =

20



• ตอบO

O

60x =O70y =

21



• ตอบ O75x =O75y =

22


• ตอบ 31x =

23



•

24


25

รปสามเหลยมรปสามเหลยม

ใ • มมภายในของรปสามเหลยม

• มมภายนอกของรปสามเหลยม

• ความเทากนทกประการ ( Congruent )

• รปสามเหลยมแบบตางๆ

• พนทรปสามเหลยมพนทรปสามเหลยม

• สามเหลยมคลาย

• ทฤษฎบทพทาโกรส

26

มมภายในของรปสามเหลยมมมภายในของรปสามเหลยม

ใ ไ • พสจนวา มมภายในของรปสามเหลยมรวมกนได 180o

27

1. ให ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ รปหนง

ไ ใ 2. ตอดานของ BC ออกไป ใหเปน D

3. สราง CE ใหขนานกบ AB3. สราง CE ใหขนานกบ AB

4. เมอ จะได เพราะเปนมมแยง//AB CE BAC ACE=

5. และ เพราะ เปนมมภายในและมมภายนอกของ

ดานเดยวกนของเสนขนาน

ABC ECD=

28

6. จะได

ACD ACE ECD= +

7. ดงนน

8. บวก เขาไปทงสองดานของสมการACB

ACD BAC ABC= +

8. บวก เขาไปทงสองดานของสมการ

9. จะได

ACB

180oACD ACB BAC ABC ACB+ = + + =

29

มมภายนอกของรปสามเหลยมมมภายนอกของรปสามเหลยม

30

มมภายนอกของรปสามเหลยม (ตอ)มมภายนอกของรปสามเหลยม (ตอ)

• ทฤษฎบท

ถาตอดานใดดานหนงของรปสามเหลยมออกไป มมภายนอกทเกดขน

จะมขนาด เทากบผลบวกของขนาดของมมภายในทไมใชมมประชด

ของมมภายนอกนน ของมมภายนอกนน

3 1 2= +31

3 1 2= +

การเทากนทกประการของรปสามเหลยมการเทากนทกประการของรปสามเหลยม

ไ • รปสามเหลยมเทากนทกประการได 5 แบบ ดงน

1. เทากนทกประการแบบ (ด.ม.ด.) ( )

2. เทากนทกประการแบบ (ม.ด.ม.)

3. เทากนทกประการแบบ (ม.ม.ด.)

4. เทากนทกประการแบบ (ด.ด.ด.)4. เทากนทกประการแบบ (ด.ด.ด.)

5. เทากนทกประการแบบ (ฉ.ด.ด.)

32

บทนยามบทนยาม

ไ • รปเรขาคณตสองรปเทากนทกประการกตอเมอเคลอนทรปหนงไปทบ

อกรปหนงไดสนท

ABC DEFΔ ≅ ΔABC DEFΔ ≅ Δ

• อานวา รปสามเหลยมABC เทากนทกประการกบรปสามเหลยม DEF

ใ • ใชสญลกษณ แทน “เทากนทกประการ” ≅

33

1 เทากนทกประการแบบ (ด ม ด )1. เทากนทกประการแบบ (ด.ม.ด.)

ใ ใ• ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มดานยาวเทากนสองคและมมใน

ระหวางดานคทยาวเทากนมขนาดเทากนแลว รปสามเหลยมสองรป

นนเทากนทกประการแบบ ดาน-มม-ดาน (ด.ม.ด.) Side-Angle-Side

34

2 เทากนทกประการแบบ (ม ด ม )2. เทากนทกประการแบบ (ม.ด.ม.)

ใ • ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มมมทมขนาดเทากนสองคและดานซง

เปนแขนรวมของมมทงสองยาวเทากนแลว รปสามเหลยมสองรปนน

เทากนทกประการแบบ มม-ดาน-มม (ม.ด.ม.) Angle-Side-Angle

35

3 เทากนทกประการแบบ (ม ม ด )3. เทากนทกประการแบบ (ม.ม.ด.)

ใ • ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มมมทมขนาดเทากนสองค และมดาน

ยาวเทากนหนงค (ดานคทยาวเทากนไมไดอยระหวางมมสองค ทม

ขนาดเทากน ) แลวรปสามเหลยมทงสองรปจะเทากนทกประการ

แบบ มม–มม–ดาน (ม.ม.ด.) Angle-Angle-Side ( ) g g

36

4 เทากนทกประการแบบ (ด ด ด )4. เทากนทกประการแบบ (ด.ด.ด.)

ใ • ถารปสามเหลยมสองรปใดๆ มดานยาวเทากนสามค แลวรป

สามเหลยมสองรปนนเทากนทกประการแบบ ดาน-ดาน-ดาน (ด.

ด.ด.) Side-Side-Side

37

5 เทากนทกประการแบบ (ฉ ด ด )5. เทากนทกประการแบบ (ฉ.ด.ด.)

ใ • ถารปสามเหลยมมมฉากสองรปใดๆ มดานตรงขามมมฉากยาว

เทากนหนงค และดานประกอบมมฉากยาวเทากนหนงค แลว

สามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการแบบ ฉาก–ดาน–ดาน

(ฉ.ด.ด.) Hypotenuse-Leg Postulate( ) yp g

38

รปสามเหลยมแบบตางๆรปสามเหลยมแบบตางๆ

• แบงตามความยาวของดาน

– รปสามเหลยมดานเทา (equilateral triangle)

– รปสามเหลยมหนาจว (isosceles triangle)

– รปสามเหลยมดานไมเทา (scalene triangle)

• แบงตามมมภายใน

– รปสามเหลยมมมฉาก (right triangle right angled triangle) รปสามเหลยมมมฉาก (right triangle, right-angled triangle)

– รปสามเหลยมมมเฉยง (oblique triangle)

ปส ป ( bt l d t i l ) – รปสามเหลยมมมปาน (obtuse-angled triangle)

– รปสามเหลยมมมแหลม (acute-angled triangle)

39

รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)รปสามเหลยมแบบตางๆ (ตอ)

• รปสามเหลยมดานเทา (equilateral triangle)

• รปสามเหลยมทมดานทกดานยาวเทากน และรปสามเหลยมดานเทา

เปนรปหลายเหลยมมมเทาดวย นนคอมมภายในทกมมจะมขนาด

เทากน คอ 60° และเปนรปหลายเหลยมปกตเทากน คอ 60 และเปนรปหลายเหลยมปกต

40


• รปสามเหลยมหนาจว (isosceles triangle)

• รปสามเหลยมทมดานสองดานยาวเทากน (ตามความหมายเรมแรก (

โดยยคลด ถงแมวารปสามเหลยมดานเทาจะสามารถจดวาเปนรป

สามเหลยมหนาจวได ดวย เพราะมดานทยาวเทากนอยางนอยสองสามเหลยมหนาจวได ดวย เพราะมดานทยาวเทากนอยางนอยสอง

ดาน) และมมมสองมมขนาดเทากน (มมทฐาน) คอมมทไมได

ป ประกอบดวยดานทเทากนทงสอง

41


ไ • รปสามเหลยมดานไมเทา (scalene triangle)

• รปสามเหลยมทมดานทกดานยาวแตกตางกน และมมภายในกม

ขนาดแตกตางกนดวย

42


• รปสามเหลยมมมฉาก (right triangle, right-angled triangle)

• มมมภายในมมหนงมขนาด 90° (มมฉาก) ดานทอยตรงขามกบมม ( )

ฉากเรยกวา ดานตรงขามมมฉาก ซงเปนดานทยาวทสดในรป

สามเหลยม อกสองดานเรยกวา ดานประกอบมมฉาก ความยาวดานสามเหลยม อกสองดานเรยกวา ดานประกอบมมฉาก ความยาวดาน

ของรปสามเหลยมมมฉากสมพนธกนตามทฤษฎบทพทาโกรส นนคอ

กาลงสองของความยาวของดานตรงขามมมฉาก c จะเทากบผลบวก

ของกาลงสองของดานประกอบมมฉาก a, b เขยนอยางยอเปน2 2 2a b c+ =

ac

43b


• รปสามเหลยมมมเฉยง (oblique triangle)

• ไมมมมใดเปนมมฉาก ซงอาจหมายถงรปสามเหลยมมมปานหรอรป

สามเหลยมมมแหลม

44


• รปสามเหลยมมมปาน (obtuse-angled triangle)

• มมมภายในมมหนงมขนาดใหญกวา 90° ญ

45


• รปสามเหลยมมมแหลม (acute-angled triangle)

• มมภายในทกมมมขนาดเลกกวา 90° (มมแหลม) รปสามเหลยมดาน ( )

เทาเปนรปสามเหลยมมมแหลม แตรปสามเหลยมมมแหลมทกรป

ไมไดเปนรปสามเหลยมดานเทาไมไดเปนรปสามเหลยมดานเทา

46

การหาพนทของรปสามเหลยมการหาพนทของรปสามเหลยม

ใ• การคานวณพนทของรปสามเหลยมเปนปญหาพนฐานทมกจะพบใน

สถานการณทแตกตางกน สตรทงายและเปนทรจกมากทสดคอ

• พนทรปสามเหลยม = x สง x ฐาน12

47

การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)การหาพนทของรปสามเหลยม (ตอ)

ใ โ ไ • ถงแมวาสตรนจะงาย แตกใชประโยชนไดเฉพาะเมอสามารถหาความ

สงของรปสามเหลยมไดโดยงาย ตวอยางเชนการรงวดทดนทม

ลกษณะเปนรปสามเหลยม จะวดความยาวของดานทงสามแลว

สามารถคานวณหาพนทไดโดยไมตองวดสวน สงเปนตน วธการท

หลากหลายถกใชในทางปฏบต ขนอยกบวาเรารอะไรเกยวกบรป

สามเหลยมบาง วธตอไปนเปนสตรหาพนทของรปสามเหลยมทใชกนสามเหลยมบาง วธตอไปนเปนสตรหาพนทของรปสามเหลยมทใชกน

บอยๆ

48


ใ โ • ใชตรโกณมต

• สวนสงของรปสามเหลยมหาไดดวยตรโกณมต จากรปทางซาย

สวนสงจะเทากบ h = a sin γ นาไปแทนในสตร S = ½hb ทไดจากขางตน พนทของรปสามเหลยมจงแสดงไดเปนขางตน พนทของรปสามเหลยมจงแสดงไดเปน

1 sin2

S ab γ=21 sinbc α=21 sinca β=

49

sin2

ca β

ตวอยางตวอยาง

ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทมดานแตละดานยาวเทากน

เทากบ 4 cm

50

1 iS b• จาก sin21

S ab γ=

1 4 4 sin 602

3

S = × × ×

32 42

S = × ×

4 3S = ตร.ซม.

51


ใ • ใชสตรของเฮรอน (Heron's formula)

• อกวธทใชคานวณ S ไดคอใชสตรของเฮรอน

( )( )( )Area s s a s b s c= − − −

• เมอ คอครงหนงของเสนรอบรปของรป

( )( )( )

( ) / 2S a b c= + +เมอ คอครงหนงของเสนรอบรปของรป

สามเหลยม นอกจากนกมสตรอนทเทยบเคยงกบสตรของเฮรอน( ) / 2S a b c+ +

52


ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทมดานแตละดานยาวดงน A=4

B=3 และ C=5

• จากสตร พนทสามเหลยม

•( )( )( )s s a s b s c= − − −

( ) / 2S b• และ

• จะได

( ) / 2S a b c= + +

( )4 3 5 / 2 6S = + + =

• พนทสามเหลยม ABC

( )( )( )( )6 6 4 6 3 6 5= − − −

( )( )( )6 2 3 1 36 6= = = ตร.หนวย

53


ใ • ใชพกด

• กาหนดใหพกดของจดยอดทงสามอยท

ไ

( ) ( ) ( ), , , , ,A A B B C CA x y B x y C x y= = =

• แลวพนท S จะคานวณไดจาก

( ) ( ) ( )A B C B C A C A B+ +( ) ( ) ( )2

x y y x y y x y yA B C B C A C A BArea

− + − + −=

54


ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทแตละมมมคาพกดดงน A=(1,1)

B=(3,2) และ C=(2,8) ( ) ( ) ( )1 2 8 3 8 1 2 1 2+ +

• พนทสามเหลยม ABC ( ) ( ) ( )1 2 8 3 8 1 2 1 2

2− + − + −

=

( ) ( ) ( )1 6 3 7 2 12

− + + −=

2

6 21 2 13 6 5− + −= = = ตร.หนวย6.5

2 2= = = ตร.หนวย

55


ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทแตละมมมคาพกดดงน (2,1)

(5,2) และ C=(3,-4) ( ) ( ) ( )2 2 4 5 4 1 3 1 2• พนทสามเหลยม ABC ( ) ( ) ( )2 2 4 5 4 1 3 1 2

2+ + − − + −

=

( ) ( ) ( )2 6 5 5 3 12

+ − + −=

2

12 25 3 16 8− − −= = = ตร หนวย8

2 2= = = ตร.หนวย

56


ใ • ใหหาพนทของรปสามเหลยม ABC ทแตละมมมคาพกดดงน A=(2,1)

B=(8,1) และ C=(3,8) ( ) ( ) ( )2 1 8 8 8 1 3 1 1• พนทสามเหลยม ABC ( ) ( ) ( )2 1 8 8 8 1 3 1 1

2− + − + −

=

( ) ( ) ( )2 7 8 7 3 02

− + +=

2

14 56 0 42 21− + += = = ตร หนวย21

2 2= = = ตร.หนวย

57

เสนมธยฐานและเซนทรอยดเสนมธยฐานและเซนทรอยด

• เสนมธยฐาน (median) ของรปสามเหลยม คอ เสนทลากจากจดยอด

ไปยงจดกงกลางของดานทอยตรงขามของรปสามเหลยม

• เซนทรอยด (centroid) คอ จดทเกดจากเสนมธยฐานทงสามเสนตด

กน และเซนทรอยดจะแบงเสนมธยฐานออกเปนสองสวน ทาใหระยะกน และเซนทรอยดจะแบงเสนมธยฐานออกเปนสองสวน ทาใหระยะ

จากจดยอดถงเซนทรอยดเปนสองเทาของความยาวอกสวนหนง

(2:1)

58


ใ ใ • กาหนดสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ ใหหาเซนทรอยดของ

รปสามเหลยม ABC

59

• พจารณารปสามเหลยม ABC กาหนดให D เปนจดกงกลางของ AB

• E เปนจดกงกลางของ และ F เปนจดกงกลางของ และ

O

AB

BC ACจด O คอ เซนทรอยด

• จะได AD DB,BE EC,AF FC= = =

• เพราะฉะนน

, ,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ADO BDO BEO CEO CFO AFO60

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ADO BDO , BEO CEO , CFO AFO= = =

• และ [ ] [ ]ABE ACE=

• จะได

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]ABO ABE BEO= −

• ดงนน

[ ] [ ] [ ]ACO ACE CEO= −

[ ] [ ]ABO ACO=ดงนน

• และ

[ ] [ ]ABO ACO

[ ] [ ] [ ] [ ]1ADO DBO , ADO ABO2

= =

61

2

• จะได

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1AFO FCO , AFO ACO ABO ADO2 2

= = = =

[ ] [ ] [ ] [ ]• ดงนน

• สดทายจะได

[ ] [ ] [ ] [ ]AFO FCO DBO ADO= = =

สดทายจะได

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]AFO FCO DBO ADO BEO CEO= = = = =

62

ทฤษฎพอลโลเนยส (Apollonius' theorem)ทฤษฎพอลโลเนยส (Apollonius theorem)

( )2 2 2 22AB AC AD BD+ = +

63


ใ • กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม BD เปนเสนมธยฐาน ถา

AB = 5 cm, BC = 4.5 cm และ AC = 8 cm ใหหาความยาว BD

64


• วธทา

• จากทฤษฎพอลโลเนยสฤ ฎ

• จะได ( ) ( ) ( )2 2 2 25 4.5 2 4 BD+ = +

225 20.25 162

BD+= +

2

2

22.625 166 625

BDBD

− =

= 6.6252.57

BDBD cm

==

65

สามเหลยมคลายสามเหลยมคลาย

• ความคลาย ( Similarity )

A CB DA CB D

66

GFE H

เราอาจจะตอบรปสามเหลยมทคลายกนได

ถาเรายายรปได

เราอาจจะตอบรปสามเหลยมทคลายกนได

CB

A

CBD

F H

GE

แตถาเรายายรปไมได จะตองมนยาม อะไรแตถาเรายายรปไมได จะตองมนยาม อะไร67

สามเหลยมคลาย (ตอ)สามเหลยมคลาย (ตอ)

• นยาม รปสามเหลยมสองรปจะคลายกนกตอเมอ มมมเทากนทง 3 ค

• เชน

C F

A B ED

ป ป รปสามเหลยม ABC คลายกบ รปสามเหลยม DEF

68


PQ

Y

R

Z X

รปสามเหลยม ABC คลายกบ รปสามเหลยม DEF รปสามเหลยม ABC คลายกบ รปสามเหลยม DEF

69


• พจารณารปสามเหลยมคลายกน

C

R

AB P Q

A

B

P

Q

=

=B

C

Q

R=

ได ΔABC คลายกบ ΔPQR


• ดานตรงขามมมทเทากน เปนดานสมนยกน

C

R

C

R

CC

A B P QB QA P

A P= ดานตรงขามมมทเทากน QRกบBC

B Q= PRกบACดานตรงขามมมทเทากน

C R= PQกบABดานตรงขามมมทเทากน

สามเหลยมคลาย (ตอ)R

สามเหลยมคลาย (ตอ)

C

A BP Q

B

A P= ดาน A

B

P

Q

=

=

ดาน

คสมนย

QRกบBC

PRกบAC

C

Q

R=

คสมนย

กน PQกบAB

PRกบAC

Q


C

Rสามเหลยมคลาย (ตอ)

A B

P QC

A B

ˆ ˆ=BC

A

ˆ

P

ˆ

=

ดาน QRกบBC อตราสวน QR

ACB Q= คสมนย

PRกบAC ของ

ดานสมนยกน PR

AC

C R= กน PQกบAB เทากนPQ

AB

PQ



• รปสามเหลยมคลายกนอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกน

เทากน R

PQ

C

A BBC AC AB= =A C Δ Q ไดQR PR PQ

= =ΔABC ∼ΔPQR ได

QR

BC

PR

AC= หรอ

PR

AC

PQ

AB= หรอ

QR

BC

PQ

AB=

QR PR PR PQ QR PQ


• รปสามเหลยมคลายกนอตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกน

เทากน (เขยนอตราสวนอกแบบ)R

PQ

C

A B

ΔABC ∼ΔPQR ได QR = PQAB=BC

PRAC

BC = PRAC

จดแยกได หรอQR PRAC = PQ

AB หรอ QRBC = PQ

AB


• บทนยาม• รปสามเหลยมสองรปคลายกน กตอเมอ รปสามเหลยมสองรปนนม

ขนาดของมมเทากนเปนค ๆ สามค

• สมบตของรปสามเหลยมคลายกน

• รปสามเหลยมสองรปคลายกน กตอเมอ รปสามเหลยมสองรปนนม

อตราสวนของความยาวของดานคทสมนยกนทกคเปน อตราสวนท

เทากน


ใ ใ TSV QPRΔ Δ• กาหนดให ใหหาคาของ x, y และ PTSV QPRΔ Δ∼

77


ใ ใ • กาหนดให ใหหาคาของ PT และ PR//ST QR

78


ใ • ใหหาคาของ x

79


ใ • ใหหาคาความสงของ h จากรปดานลาง ทนกเทนนสตลกบอลแลวลก

จะผานเนทพอดและไปตกลงบนพนซงหางจากเนท 6 เมตร

80

ทฤษฎบทพทาโกรสทฤษฎบทพทาโกรส

ใ • สงทกาหนดให สามเหลยม ABC มมม BAC เปนมมฉาก

• สงทตองพสจน 2 2 2BC BA AC= +

81

ทฤษฎบทพทาโกรส (ตอ)ทฤษฎบทพทาโกรส (ตอ)

• พสจน สรางรปสเหลยมจตรสบนดานทงสาม

• ลาก ขนานกบ ลากAL BD AD,BK,FC

• เพราะวา 1 มมฉาก

BAC=BAG=

• ดงนน เปนเสนตรงเดยวกบ

• ในทานองเดยวกนจะไดวา เปนเสนตรงเดยวกบ

CA AG

BA AHในทานองเดยวกนจะไดวา เปนเสนตรงเดยวกบ

• เพราะ จะได

DBC=FBA DBC+ABC=FBA+ABC

• ดงนน และเนองจาก และ

• ดงนนรปสามเหลยม ABD กบ FBC มดานและมมทเหลอเทากน

DBA=FBC DB BC= FB BA=

ดงนนรปสามเหลยม ABD กบ FBC มดานและมมทเหลอเทากน

82

ทฤษฎบทพทาโกรส (ตอ)ทฤษฎบทพทาโกรส (ตอ)

• พสจน แต และ

• ดงนนจะได

BMLD=2 ABDΔ ABFG=2 FBCΔ

BMLD= ABFG

• พสจนในทานองเดยวกนจะได

MLEC= AHKC

• ดงนน

• จะได

BMLD MLEC= ABFG+ AHKC+

BDEC= ABFG+ AHKCจะได

• นนคอ รปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉากของรป

• สามเหลยมมมฉากเทากบ ผลบวกของจตรสบนดานประกอบ

• มมฉากมมฉาก

83

Documents

เส นขนานและร ูปสามเหล ่ี่ยม · เสเสนขนาน้นขนาน (parallel line) • บทนิิยาม เส้้ี้นตรงสองเส้นท