24
52 บทที4 สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สำหรับปัญหำทำงคณิตศำสตร์ซึ ่งมีตัวแปร(variables) มำกกว ่ำหนึ ่งตัวแปร สมกำรซึ ่งใช้ในกำร อธิบำยปัญหำเหล่ำนี ้ถูกเรียกว่ำ สมกำรเชิงอนุพันธ์ย่อย(Partial Differential Equation, PDE) ปัญหำ อย่ำงง่ำยอำจประกอบตัวแปรเพียงแค่สองตัวแปร โดยทั่วไปตัวแปรในปัญหำมักประกอบด้วย พิกัดตำแหน ่ง (spatial coordinates) และ เวลำ (temporal variable) ของระบบที่เรำทำกำรศึกษำ รูปแบบทั่วไปของ สมกำรเชิงอนุพันธ์ย่อยสำหรับปัญหำซึ ่งมีสองตัวแปรสำมำรถเขียนได้ดังนี f u D y u c y u C y x u B x u a x u A 2 2 2 2 2 (4.1) โดยทีu คือฟังก์ชัน(function) ของตัวแปรอิสระ (independent varialble) x และ y ) , ( y x u u ในขณะที่สัมประสิทธิ A , a , B , C , c , D อำจไม ่ใช ่ค่ำคงที(constant) ก็ได้ อย่ำงไรก็ตำมปัญหำ ในบทนี ้จะถูกสมมุติให้สัมประสิทธิ ์เหล่ำนี ้เป็นค่ำคงที4.1 ประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย โดยทั่วไปคุณลักษณะของสมกำร(character of equation) จะถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ ์ซึ ่งแสดง ข้ำงต้นรวมทั ้งควำมสัมพันธ์ของสัมประสิทธิ ์เหล่ำนี ้ โดยเฉพำะสัมประสิทธิ ์ของอนุพันธ ์ในลำดับสูง ( A , B , C และ D ) สมกำร (4.1) สำมำรถเขียนใหม่ได้เป็น 0 2 2 2 2 2 y u C y x u B x u A (4.2) คล้ำยคลึงกับสมกำรโพลิโนเมียนกำลังสอง (quadratic equation) คุณลักษณะของสมกำรเชิงอนุพันธ์ย่อย สำมำรถกำหนดโดยค่ำควำมสัมพันธ์ระหว ่ำง A , B และ C ได้ดังนี

บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

52

บทท 4

สมการเชงอนพนธยอย

ส ำหรบปญหำทำงคณตศำสตรซงมตวแปร(variables) มำกกวำหนงตวแปร สมกำรซงใชในกำร

อธบำยปญหำเหลำนถกเรยกวำ สมกำรเชงอนพนธยอย(Partial Differential Equation, PDE) ปญหำ

อยำงงำยอำจประกอบตวแปรเพยงแคสองตวแปร โดยทวไปตวแปรในปญหำมกประกอบดวย พกดต ำแหนง

(spatial coordinates) และ เวลำ (temporal variable) ของระบบทเรำท ำกำรศกษำ รปแบบทวไปของ

สมกำรเชงอนพนธยอยส ำหรบปญหำซงมสองตวแปรสำมำรถเขยนไดดงน

fuDy

uc

y

uC

yx

uB

x

ua

x

uA

2

22

2

2

(4.1)

โดยท u คอฟงกชน(function) ของตวแปรอสระ(independent varialble) x และ y

),( yxuu

ในขณะทสมประสทธ A , a , B , C , c , D อำจไมใชคำคงท(constant) กได อยำงไรกตำมปญหำ

ในบทนจะถกสมมตใหสมประสทธเหลำนเปนคำคงท

4.1 ประเภทของสมการเชงอนพนธยอย

โดยทวไปคณลกษณะของสมกำร(character of equation) จะถกก ำหนดโดยสมประสทธซงแสดง

ขำงตนรวมทงควำมสมพนธของสมประสทธเหลำน โดยเฉพำะสมประสทธของอนพนธในล ำดบสง ( A ,

B , C และ D) สมกำร (4.1) สำมำรถเขยนใหมไดเปน

02

22

2

2

y

uC

yx

uB

x

uA (4.2)

คลำยคลงกบสมกำรโพลโนเมยนก ำลงสอง(quadratic equation) คณลกษณะของสมกำรเชงอนพนธยอย

สำมำรถก ำหนดโดยคำควำมสมพนธระหวำง A , B และ C ไดดงน

Page 2: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

53

Discriminant value Character of equation

0)4( 2 ACB Hyperoblic

0)4( 2 ACB Elliptic

0)4( 2 ACB Parabolic

ตนแบบของสมการเชงอนพนธยอยล าดบทสอง

1. สมการการแพร (diffusion equation)

t

u

x

u

2

22 Parabolic(สมมต yt) (4.3)

2. สมการคลน (wave equation)

2

2

2

22

t

u

x

uc

Hyperbolic(สมมต yt) (4.4)

3. สมการลาปลาซ (laplace equation)

02

2

2

2

2

u

y

u

x

u Elliptic (4.5)

4.2 เงอนไขขอบเขตและเรมตน

ในกำรหำผลเฉลยของสมกำรเชงอนพนธยอยนนเรำจ ำเปนตองทรำบเงอนไขขอบเขต ( Boundary

Condition, BC) และเงอนไขเรมตน (Initial Condition, IC) ของปญหำกอน (คลำยคลงกบกำร

แกปญหำสมกำรเชงอนพนธสำมญ (Ordinary Differential Equation, ODE) ซงตองกำรเงอนไขเพอ

ค ำนวณหำคำคงทของกำรอนทเกรท) เพอเขำใจถงกำรก ำหนดเงอนไขส ำหรบสมกำรอนพนธยอยลอง

พจำรณำตวอยำงตอไปน

Page 3: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

54

สมการความรอน (Heat’s equation)

เปนตวอยำงของสมกำรทมพฤตกรรมแบบ “parabolic” โดยในทนเรำพจำรณำสมกำรควำมรอนในสองมต

สมมตเรำตองกำรค ำนวณกำรกระจำยของอณหภมบนก ำแพงดงรป อณหภมของก ำแพงภำยนอกเทำกบ 40C

อณหภมของก ำแพงภำยในเทำกบ 25C โดยทอณหภมเรมตน )0( t ของก ำแพงเทำกบ 25C

สมกำรอนพนธยอยซงใชอธบำยพฤตกรรมกำรถำยเทควำมรอนของปญหำสำมำรถแสดงไดโดยสมกำรกำร

แพรดงน

t

txT

x

txT

),(),(2

22

โดยท T(x,y) คอ อณหภมของก ำแพง

x คอ พกดต ำแหนงของผวก ำแพง

t คอ เวลำ

เงอนไขขอบเขต(BC): เนองจำกสมกำรมอนพนธยอยอนดบทสองของตวแปร x ดงนนเรำตองกำรเงอนไข

ขอบเขตสองเงอนไขกลำวคอ CtT 40),0( และ CtT 25),2.0(

เงอนไขเรมตน(IC): เรำตองกำรเงอนไขเรมตนเพยงหนงเงอนไขเนองสมกำรมอนพนธยอยอนดบทหนง

ส ำหรบตวแปร t ดงน CxT 25)0,(

T1=40C T2=25C

q

@t=0 T=25C

x=0.2m x=0

Page 4: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

55

สมการคลน (Wave’s equation)

เปนตวอยำงของสมกำรทแสดงพฤตกรรมแบบ “Hyperbolic” พจำรณำกำรสนสะเทอนของเสนลวดทม

ควำมยำวอนนตซงสำมำรถอธบำยโดยสมกำรคลนในหนงมตดงน

2

2

2

2

2

),(),(1

t

txT

x

txu

c

0, tx

โดยท u(x,t) คอ ระยะกำรเคลอนตวของเสนลวด

x คอ พกดต ำแหนงบนเสนลวด

t คอ เวลำ

เงอนไขขอบเขต(BC): ),( tu ),( tu

เงอนไขเรมตน(IC): )()0,( xfxu และ )()0,(

xgt

xu

สมการลาปลาซ (Laplace equation)

เปนตวอยำงของสมกำรทแสดงพฤตกรรมแบบ “Elliptic” พจำรณำสมกำรลำปลำซในสองมตซงสำมำรถ

เขยนไดดงน

0),(),(

2

2

2

2

y

yxT

x

yxT

โดยท T(x,y) คอ ฟงกชนใดๆ

x และ y คอ พกดต ำแหนง

T(x,y)

T=10

T=20

T=0 T=10

x=a

y=b

Page 5: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

56

เงอนไขขอบเขต(BC): 10),0( yT 0),( yaT 20)0,( xT และ 10),( bxT

เงอนไขเรมตน(IC): ไมตองกำรเงอนไขเรมตนเนองจำกฟงกชนทไมขนกบตวแปรเวลำ

4.3 วธลกษณะเฉพาะ

สมกำรทแสดงพฤตกรรมแบบ Hyperbolic จะมคณสมบตของกำรแพรของคลนโดยเรำเรยกสมกำร

ประเภทนวำสมกำรคลน คณลกษณะหนงของสมกำรคลนกคอ หำกพจำรณำปญหำบนโดเมน ( tx, ) ผล

เฉลยของปญหำบนโดเมน ณ ต ำแหนงใดๆ จะแผ (propagate) ไปบนเสนทเรยกวำ “เสนลกษณะเฉพำะ”

(Characteristic lines) ซงลากผานบนโดเมนดงกลาว ดงนนหำกเรำทรำบขอมลทต ำแหนงใดต ำแหนง

หนงรวมทงทรำบเสนลกษณะเฉพำะทลำกผำนเรำกสำมำรถทรำบขอมลทอยบนเสนลกษณะเฉพำะทงหมด

ไดลองพจำรณำรปตอไปน

รปท 4.1 แสดงเสนลกษณะเฉพำะของปญหำกำรแพรของคลนในหนงมต

constctx constctx

t

x

constctx constctx constctx constctx

t

x

Page 6: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

57

ระเบยบวธของ D’Alembert

ส ำหรบสมกำรคลน

2

2

2

2

2

),(),(1

t

txT

x

txu

c

(4.6)

ซงมเงอนไขขอบเขตและเงอนไขเรมตนดงน

),( tu , ),( tu

และ )()0,( xfxu , )()0,(

xgt

xu

เพอลดควำมสบซอนของสมกำร D’Alembert เสนอกำรแกปญหำดวยกำรเปลยนตวแปรดงตอไปน

ctx

ctx

โดยกฏลกโซ(Chain rule) ตวด ำเนนกำร x / และ t / สำมำรถเขยนใหมไดดงน

xxx

cc

ttt

ดงนนสมกำร (2.6) สำมำรถเขยนใหมไดเปน

0222

22

2

2

2

22

2

2

uuuuuu (4.7)

ซงสำมำรถลดรปเปน

02

u (4.8)

อนทเกรทสมกำร (4.8) เทยบกบตวแปร และ ไดผลเฉลยเปน

)()(),( GFu (4.9)

หรอ

)()(),( ctxGctxFtxu (4.10)

Page 7: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

58

เงอนไขแรก

)()()()0,( xfxGxFxu (4.11)

เงอนไขทสอง

)()()()0,(

xgxGcxFct

xu

(4.12)

หรอ )(1

)()( xgc

xGxF (4.13)

อนทเกรท (4.13) เทยบกบ x จำก 0x ถง x ได

dxxgc

xGxGxFxF

x

x

0

)(1

)()()()( 00 (4.14)

)()()(1

)()( 00

0

xGxFdxxgc

xGxF

x

x

(4.15)

จำก (4.11) และ (4.15) ฟงกชน )(xF และ )(xG หำไดเปน

)()()(1

)(2

1)( 00

0

xGxFdxxgc

xfxF

x

x

(4.16)

)()()(1

)(2

1)( 00

0

xGxFdxxgc

xfxG

x

x

(4.17)

ดงนนผลเฉลยของ (4.6) สำมำรถเขยนไดดงน

)()(),( ctxGctxFtxu

)()()(1

)(2

100

0

xGxFdxxgc

ctxf

ctx

x

)()()(1

)(2

100

0

xGxFdxxgc

ctxf

ctx

x

ctx

ctx

dxxgc

ctxfctxf )(1

)()(2

1 (4.18)

Page 8: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

59

ตวอยางท 4.1 พจำรณำใหเงอนไขเรมตนเปน

)()0,( xfxu และ 0)()0,(

xg

t

xu

จำก (4.18) ผลเฉลยของกำรแผของคลนใน 1 มตตำมเงอนไขเรมตนทก ำหนดสำมำรถเขยนไดเปน

)()(2

1),( ctxfctxftxu

สมมตให 1tt : 01 ctx ถำ 1ctx

01 ctx ถำ 1ctx

ดงนน

รปท 4.2 กำรแผของคลนเมอเวลำ 1tt

x

2

x

x

x

2

x=ct1

x= -ct1

x=ct1x= -ct1

)()(2

1),( 111 ctxfctxftxu

)( 1ctxf

)(xf

)( 1ctxf

x

2

x

x

x

2

x=ct1

x= -ct1

x=ct1x= -ct1

)()(2

1),( 111 ctxfctxftxu

)( 1ctxf

)(xf

)( 1ctxf

Page 9: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

60

4.4 วธการแยกตวแปร

กำรหำผลเฉลยของสมกำรเชงอนพนธยอยมหลำยวธ วธกำรแยกตวแปร (Method of seperation

of variables) กเปนวธกำรหำเฉลยในเชงวเครำะห (analyitical solution) ซงสำมำรถน ำไปประยกตใชได

ในหลำยปญหำ แนวคดของวธกำรแยกตวแปรเปนกำรประยกตใชพนฐำนควำมรในกำรแกปญหำสมกำรเชง

อนพนธสำมญ โดยสมมตใหผลเฉลยของสมกำรเชงอนพนธยอยสำมำรถเขยนไดรปของผลคณของฟงกชน

สมมตของตวแปรอสระในปญหำ จำกนนท ำกำรแยกตวแปรใหเปนอสระจำกกน ซงจะกอใหเกดสมกำรเชง

อนพนธสำมญตำมจ ำนวนของตวแปรอสระ โดยผลเฉลยของสมกำรเชงอนพนธสำมญเหลำนสำมำรถ

ค ำนวณไดจำกควำมรดำนแคลคลสเบองตน เพอควำมเขำใจถงหลกกำรของระเบยบวธดงกลำวขำงตน ลอง

พจำรณำปญหำตอไปน

ตวอยางท 4.2 พจำรณำสมกำรลำปลำซในสองมตตอไปน

02

2

2

2

y

u

x

u (4.19)

ขนท 1: สมมตใหผลเฉลยของสมกำรในรปผลคณของฟงกชนสมมตของตวแปรอสระในปญหำ

)()(),( yYxXyxu (4.20)

ขนท 2: แทนฟงกชนของผลเฉลยลงในสมกำรเชงอนพนธ

อนพนธของฟงชน ),( yxu ในสมกำรลำปลำซสำมำรถเขยนไดดงน

XYx

u

2

2

และ YXy

u

2

2

ดงนนเรำสำมำรถแยกตวแปรของสมกำรลำปลำซไดเปน

Y

Y

X

X

(4.21)

เมอพจำรณำสมกำรขำงตน จะเหนวำเทอมทำงซำยมอของสมกำรเปนฟงกชนของตวแปร x

ในขณะทเทอมทำงขวำมอเปนฟงกชนของ y ดงนนสมกำรจะเปนจรงไดกตอเมอ เทอมทงสองขำงของ

สมกำรจะตองเปนคำคงท(constant) ดงนน

Page 10: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

61

2kY

Y

X

X

(4.22)

หมายเหต: สมมตให k2 เปนคำคงทซงยงไมทรำบคำ อำจเปนจ ำนวนจรง(real number)หรอจ ำนวน

เชงซอน (complex number) กได

ขนท 3: สรำงสมกำรเชงอนพนธสำมญภำยหลงกำรแยกตวแปร

โดยวธกำรแยกตวแปรสมกำรเชงอนพนธยอยสองตวแปรสำมำรถสรำงสมกำรเชงอนพนธสำมญซง

สมพนธกนได 2 สมกำร กลำวคอ

02 XkX (4.23)

02 YkY (4.24)

ขนท 4: แกสมกำรเชงอนพนธสำมญ

ผลเฉลยทวไป(general solution) ของสมกำรเชงอนพนธสำมญล ำดบทสองเขยนไดเปน

)cosh()sinh()( 2121 kxckxcececxX kxkx (4.25)

)cos()sin()( 4343 kyckycececyY kxikxi (4.26)

โดย 1c 2c 3c และ 4c เปนคำสมประสทธเนองจำกกำรอนทรเกรท

ผลเฉลยทวไปสำมำรถเขยนไดเปน

)cos()sin()cosh()sinh(),( 4321 kyckyckxckxcyxu (4.27)

ขนท 5: ผลเฉลยทวไปของสมกำรลำปลำซ

ดงทกลำวไวขำงตน คำของ k ยงไมไดก ำหนดตงแตเรมตน เรำทรำบเพยงแตวำไมวำ k จะมคำเปน

เทำใด ผลเฉลยจำกผลคณของ )(xX และ )(yY จะตองท ำใหสมกำรลำปลำซเปนจรง สมมต k อำจ

ประกอบ ดวยตวเลขชดตอไปน

nkkkkk ,...,,, 321

ดงนนผลเฉลยซงเกดจำกชดตวเลขดงกลำวสำมำรถเขยนไดดงน

)cos()sin()cosh()sinh(),( 1141131121111 ykcykcxkcxkcyxu

Page 11: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

62

)cos()sin()cosh()sinh(),( 2242232222212 ykcykcxkcxkcyxu

)cos()sin()cosh()sinh(),( 4321 ykcykcxkcxkcyxu nnnnnnnnn

เนองจำกปญหำทเรำก ำลงศกษำเปนแบบเชงเสน(linear) ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรรวมเอำผล

เฉลยทเปนไปไดทกๆ อนกยงเปนคงเปนผลเฉลยของปญหำอย ดงนน

),(...),(),(),(),( 321 yxuyxuyxuyxuyxu n

)()(...)()()()()()( 332211 yYxXyYxXyYxXyYxX nn

1

4321 )cos()sin()cosh()sinh(n

nnnnnnnn ykcykcxkcxkc (4.28)

คำ nk ในสมกำร (4.28) จะถกก ำหนดโดยเงอนไขขอบเขตของแตละปญหำ ซงโดยทวไปเงอนไขขอบเขต

สำมำรถแบงออกไดเปน 3 ชนดคอ

1. Dirichlet condition ถำคำฟงกชน ),( yxu ถกก ำหนดบนขอบเขต

2. Neumann condition ถำคำอนพนธของฟงกชน x

u

หรอ y

u

ถกก ำหนดบนขอบเขต

3. Mixed condition ถำคำฟงกชนและอนพนธของฟงกชน ถกก ำหนดบนขอบเขต

4.5 การใชอนกรมฟรเยร

ผลเฉลยจำกวธกำรแยกตวแปรจะถกแสดงในรปของอนกรมฟรเยร (Fourier series) แสดงใน

สมกำร (4.28) โดยอนกรมฟรเยรเปนฟงกชนซงมพฤตกรรมแบบฮำรมอนก (harmonic) และสำมำรถ

เขยนไดในรปของสมกำรผลรวมแบบเชงเสน (linear combination) ของฟงกชน sin และ cosine เพอให

เขำใจถงกำรใชอนกรมฟรเยร ลองศกษำจำกตวอยำงตอไปน

Page 12: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

63

ตวอยางท 4.3 พจำรณำปญหำกำรสนสะเทอนในเสนลวด (ดรปท 4.3 ประกอบ) ตอไปน

สมมตใหกำรสนสะเทอนในเสนลวด(elastic string) สำมำรถอธบำยไดโดยสมกำรคลน(wave equation)

ในหนงมตดงน

2

22

2

2

x

uc

t

u

,

Tc 2 (4.29)

โดย ),( txu คอระยะกำรเคลอนทของเสนลวด

T คอคำควำมตงของเสนลวด

คอมวลตอควำมยำว

ก ำหนดใหปลำยของเสนลวดถกยดไมใหเคลอนทตลอดเวลำ

0),0( tu , 0),( tLu (4.30)

รปแบบกำรเคลอนทของเสนลวดจะขนอยกบเงอนไขเรมตนของปญหำ ดงนนเพอใหเขำใจถงหลกกำรของ

กำรประยกต ใชอนกรมฟรเยร เรำก ำหนดเงอนไขเรมตนเพอลดควำมซบซอนของปญหำดงน

)sin()0,( xxu , 00

tt

u (4.31)

รปท 4.3 กำรสนสะเทอนของเสนลวดในหนงมต

x

u(x,t)

x

u(x,t)

x

u(x,t)

Page 13: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

64

ขนท 1: สมมตใหผลเฉลยของสมกำรในรปผลคณของฟงกชนสมมตของตวแปรอสระในปญหำ

)()(),( tTxXtxu (4.32)

ขนท 2: แทนฟงกชนของผลเฉลยลงในสมกำรเชงอนพนธ

อนพนธของฟงชน ),( txu ในสมกำรคลนสำมำรถเขยนไดดงน

XTx

u

2

2

และ TXt

u

2

2

ดงนนเรำสำมำรถแยกตวแปรของสมกำรคลนไดเ ปน

2

2

1k

X

X

T

T

c

(4.33)

ขนท 3: สรำงสมกำรเชงอนพนธสำมญภำยหลงกำรแยกตวแปร

โดยวธกำรแยกตวแปรสมกำรเชงอนพนธยอยสองตวแปรสำมำรถสรำงสมกำรเชงอนพนธสำมญซง

สมพนธกนได 2 สมกำร กลำวคอ

02 XkX (4.34)

022 YkcT (4.35)

ขนท 4: แกสมกำรเชงอนพนธสำมญ

ผลเฉลยทวไป(general solution) ของสมกำรเชงอนพนธสำมญล ำดบทสองเขยนไดเปน

)cos()sin()( 2121 kxckxcececxX kxikxi (4.36)

)cos()sin()( 4343 cktccktcecectT cktickti (4.37)

ขนท 5: ผลเฉลยทวไปของสมกำรคลนในหนงมต

1

4321 )cos()sin()cos()sin(),(n

nnnnnnnn tckctckcxkcxkctxu (4.38)

กำรค ำนวณหำคำสมประสทธ nk 1nc 2nc 3nc และ 4nc สำมำรถท ำไดโดยพจำรณำจำกเงอนไขขอบเขต

และเงอนไขเรมตนของปญหำ จะเหนไดวำเงอนไขขอบเขตทก ำหนดใหเปนแบบเอกพนธ (homogeneous)

ดงนนเรำอำจก ำหนดให

0)()0( LXX nn , n 1, 2, 3, … (4.39)

Page 14: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

65

เงอนไขในสมกำร (4.30) สำมำรถเปนจรงไดและแสดงไดดงน

1

)()0(),0(n

nn tTXtu

1

)(0n

n tT

0)(0...)(0)(0)(0 321 xTxTxTxT n (4.40)

และในท ำนองเดยวกน

1

)()(),(n

nn tTLXtLu

1

)(0n

n tT

0)(0...)(0)(0)(0 321 xTxTxTxT n (4.41)

ดงนน

0)0cos()0sin()0( 221 nnnn cccX (4.42)

และ

0)sin()( 1 LkcLX nnn

L

nkn

(4.43)

ในลกษณะเดยวกนส ำหรบเงอนไขเรมตนทสอง ซงเปนเงอนไขอนพนธแบบเอกพนธ เรำสำมำรถก ำหนดให

0)0( T

ดงนน

0)0sin()0cos()0( 343 nnnn cccT

ผลเฉลยซงสอดคลองกบเงอนไขแบบเอกพนธทงสำมสำมำรถเขยนไดเปน

1

)cos()sin(),(n

n tL

nc

L

xnAtxu

(4.44)

Page 15: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

66

ส ำหรบเงอนไขสดทำยซงเปนเงอนไขแบบไมเอกพนธ (non-homogeneous) หรออกนยหนง

0)sin()0,( xxu จ ำเปนจะตองค ำนวณโดยอำศยพนฐำนคณสมบตเชงตงฉำก (orthogonality) ของ

ฟงกชน sin และ cosine ดงน

)sin()0cos()sin()0,(1

xL

xnAxu

n

n

โดยท

L

n dxL

xnx

LA

0

)sin()sin(2

1

)sin()1(

2

22

L

n

Lnn

(4.45)

หมำยเหต: ผลเฉลยในสมกำร (4.44) สำมำรถเขยนใหมโดยอำศยคณสมบตทำงตรโกณมต

)sin()sin(2

1cossin BABABA

ดงนน

1

sinsin),(n

n ctxL

nctx

L

nAtxu

(4.46)

ซงมรปแบบของสมกำรสอดคลองกบ (4.18) ซงเปนผลเฉลยของสมกำรคลนในหนงมตโดยวธคณลกษณะ

โดยผลเฉลยทไดจะแสดงกำรเคลอนทแบบฮำรมอนกเนองจำกกำรสนสะเทอนของเสนลวดซงอธบำยโดย

ฟงกชนแบบรปคลนซำยน (sin wave) ซงมคำควำมถของกำรเคลอนท Lcnf / และแตโหมด

(mode) ของกำรเคลอนทจะเรยกวำ “โหมดตงฉำกล ำดบท n ” (the nth normal mode) โดยโหมดกำร

เคลอนทล ำดบทหนง )1( n จะถกเรยกวำ “fundamental mode”

Page 16: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

67

4.6 Eigenfunction Expansions

ตวด ำเนนกำรเชงเสน (linear operator) ในสมกำรเชงอนพนธยอยอนดบทสองในพกดฉำก

(Cartesian coordinates) สำมำรถแสดงไดโดยสญกรณ (notation) ตอไปน

2

2

2

2

2

2

zyx

(4.47)

ฟงกชน )(xf n ใดๆ ซงท ำใหสมกำร

(4.48)

เปนจรงเรำจะเรยกฟงกชนชนดนวำ “eigenfunction” และ คำสมประสทธ 2

nk คอ “eigenvalue” ซง

สมพนธกบ eigenfunction และมคำเปนลบ ซงจะเปนกำรกำรนตวำ eigenfunction จะเปนฟงกชนฮำร

มอนก (sin/cos) ซงมคณสมบตของฟงกชนแบบคำบ (periodic function) ซงท ำให eigenfunction

สำมำรถท ำใหเงอนไขแบบเอกพนธ(ทงแบบ Dirichlet, Neumann หรอ mixed)เปนจรงได

ลองพจำรณำฟงกชน sin ซงเปน eigenfunction ของตวด ำเนนกำร (4.48) และ eigenvalue, nk

มคำเทำกบ L

n โดยท L คอควำมยำวของขอบเขตในปญหำ เนองจำก sin เปนฟงกชนแบบคำบซง

เรมตนจำกศนยเมอระยะเรมตนเทำกบศนย และคำของฟงกชนจะมคำเปนศนยทกๆ ระยะ n ดงนนคำ

eigenvalue, L

nkn

จะกำรนตคำของ eigenfunction ทระยะ 0x และ Lx มคำเปนศนยตำม

เงอนไขแบบเอกพนธ(homogeneous conditions) แสดงดงรป 4.4

)()(2

2

2

xfkxfdx

dnnn

eigenfunctions

eigenvalues

Page 17: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

68

รปท 4.4 พลอตของฟงกชน )sin(L

xn ในควำมยำว Lx 0

L

L

L

)sin(L

x

)2

sin(L

x

)3

sin(L

x

L

)sin(L

xn

Page 18: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

69

ตวอยางท 4.4 พจำรณำแผนโลหะรปทรงสเหลยมดงรปท 4.5

รปท 4.5

กำรกระจำยของอณหภมเมอระบบอยในสภำวะคงตว (steady state) จะเปนไปตำมสมกำรลำปลำซ

02

2

2

2

y

u

x

u (4.49)

ขนท 1: สมมตใหผลเฉลยของสมกำรในรปผลคณของฟงกชนสมมตของตวแปรอสระในปญหำ

)()(),( yYxXyxu nn (4.50)

ขนท 2: แทนฟงกชนของผลเฉลยลงในสมกำรเชงอนพนธและท ำกำรแยกตวแปรของสมกำรลำปลำซได

เปน

2

n

n

n

n

n kY

Y

X

X

(4.51a)

หรอ

2

n

n

n

n

n kY

Y

X

X

(4.51b)

อยำงไรกตำมเนองจำกเงอนไขขอบเขตแบบเอกพนธก ำหนดบน 0x และ ax ดงนนเรำตองกำร

สมกำร (4.52b) เพอใหได eigenfunction ส ำหรบตวด ำเนนกำรของตวแปร x รวมทงท ำใหเงอนไข

ขอบเขตเปนจรง

0

x

T 0T

0T

0TT

y

x ax

by

Page 19: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

70

ขนท 3: สมกำรเชงอนพนธสำมญภำยหลงกำรแยกตวแปรสำมำรถเขยนไดดงน

02 nnn XkX (4.53)

02 nnn YkY (4.54)

ขนท 4: แกสมกำรเชงอนพนธสำมญไดเปน

)cos()sin()( 2121 kxckxcececxX kxikxi (4.55)

)cosh()sinh()( 4343 ykcykcececyY nn

xkxk

nnn

(4.56)

ขนท 5: ค ำนวณคำสมประสทธไมทรำบคำจำกเงอนไขขอบเขต

เรมตนดวยกำรหำคำสมประสทธไมทรำบคำจำกเงอนไขขอบเขตแบบเอกพนธ

เมอ 0x

0)0(0)0()(0

nnn

x

XXyYx

T

00)0sin()0cos()0( 121 ckckcX nnn (4.57)

เมอ ax

0)(0)()(),( aXaXyYyaT nnn

a

nkakcaX nnn

)

2

1(0)cos()( 2 (4.58)

เมอ by

0)(0)()(),( bYbYxXbxT nnn

0)cosh()sinh()( 43 bkcbkcbY nnn (4.59)

ผลเฉลยของสมกำรลำปลำซและเปนไปตำมเงอนไขขอบเขตขำงตนทงสำมสำมำรถเขยนไดเปน

1

])[sinh()cos(),(n

nnn ybkxkAyxT (4.60)

ส ำหรบเงอนไขแบบไมเอกพนธ เมอ 0y

1

0)sinh()cos()0,(n

nnn TbkxkAxT

Page 20: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

71

โดยท

a

nn dxxka

TA

0

0 )cos(2

)2/1(

)1(2 0

n

T n

(4.61)

4.7 เทคนค superposition

ปญหำสม กำรเชงอนพนธยอยแบบเชงเสน (Linear partial differential equation) นน

superposition ถอวำเปนเทคนคทสงส ำคญและท ำใหเรำสำมำรถแกปญหำแบบเชงเสนทซบซอนได เทคนค

superposition นนอำศยหลกกำรทวำผลเฉลยของปญหำทมรปรำงทำงกำรภำพและสมกำรเชงอนพนธแบบ

เดยวกน แตมเงอนไขขอบเขตหรอเงอนไขเรมตนตำงกน สำมำรถน ำมำรวมกนไดโดยผลเฉลยทไดกยงเปน

ค ำตอบของปญหำทมเงอนไขรวมกนดงตวอยำงตอไปน

รปท 4.6 ตวอยำงเทคนคกำร superposition ส ำหรบปญหำในสองมต

01 T BTT 1

kA

q

y

T

1

01 T

ATT 2 02 T

02

y

T

02 T

kA

q

y

T

ATT BTT

0T

21 TTT + =

1TT

2TT

Page 21: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

72

ตวอยางท 4.5 ค ำนวณหำอณหภม 1T ในสภำวะคงตวของปญหำแสดงในดงรปท 4.6

เทคนคทแสดงดงตวอยำงท 4.2-4.4 เปนกำรประยกตใชวธกำรแยกตวแปรและ eigenfunction

expansion ในปญหำทมเงอนไขแบบไมเอกพนธเพยงแคหนงเงอนไข โดยเงอนไขทเหลอจะตองเปนแบบ

เอกพนธ ดงนนในตวอยำงน ซงเปนปญหำทประกอบดวยเงอนไขแบบไมเอกพนธสองเงอนไข เรำจะใช

เทคนค superposition ในกำรหำผลเฉลยของปญหำไดดงตอไปน

ขนท 1: ปญหำสำมำรถแบงออกไดเปนสองปญหำยอยกลำวคอ

2,11,11 TTT

ขนท 2: ค ำนวณหำอณหภม 1,1T และ 2,1T

1,1T เนองจำกเงอนไขขอบเขตแบบเอกพนธก ำหนดบน 0x และ ax ดงนนเรำตองกำร

eigenfunction ส ำหรบตวด ำเนนกำรของตวแปร x ผลเฉลยซงสองคลองกบเงอนไขขอบเขตแบบเอก

พนธของปญหำสำมำรถเขยนไดดงน

1

1,1 )sinh()sin(n

nnn ybkxkAT , eigenvaluea

nkn

(4.62)

kA

q

y

T

1

01 T BTT 1

01 T

2,11,11 TTT =

01,1 T 01,1 T

kA

q

y

T

1,1

01,1 T

+

1,1T

02,1 T BTT 2,1

02,1

y

T

02,1 T

2,1T

ax

by ax

by

ax

by

Page 22: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

73

2,1T เนองจำกเงอนไขขอบเขตแบบเอกพนธก ำหนดบน 0y และ by ดงนนเรำตองกำร

eigenfunction ส ำหรบตวด ำเนนกำรของตวแปร y ผลเฉลยซงสองคลองกบเงอนไขขอบเขตแบบเอก

พนธของปญหำสำมำรถเขยนไดดงน

0

2,1 )sinh()cos(m

mmm xkykBT , eigenvalueb

mkm

2

1 (4.63)

ขนท 3: หำคำสมประสทธไมทรำบคำจำกเงอนไขขอบเขตแบบไมเอกพนธ

nA หำอนพนธของฟงกชน 1,1T

0

1,1)cosh()sin(

n

nnnn ybkxkAky

T

เมอ 0y :

00

1,1)cosh()sin(

n

nnnn

ykA

qbkxkAk

y

T

ดงนนจำกคณสมบตเชงตงฉำกของฟงกชนฮำรมอนคของผลเฉลยขำงตนเรำสำมำรถค ำนวณหำคำ

สมประสทธไดเปน

a

n

nn

n dxxkabkkAk

qA

0

)sin(2

)cosh(

1

)cosh(

)cos(122 bk

n

akAk

q

nn

)cosh(

)1(122 bkakAk

q

n

n

n

(4.64)

mB เมอ ax :

B

m

mmm TakykByaT

0

2,1 )sinh()cos(),(

จำกคณสมบตเชงตงฉำกของฟงกชน cosine เรำสำมำรถค ำนวณหำคำสมประสทธไดเปน

b

m

m

Bm dyyk

bak

TB

0

)cos(2

)sinh(

b

m

mm

B ykbkak

T0

)sin(2

)sinh(

Page 23: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

74

)sin()sinh(

2bk

akbk

Tm

mm

B )sinh(

)1(2

akbk

T

mm

m

B (4.65)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

1

2

3

4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

xy

T1

,1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

1

2

3

4

0

2

4

6

8

10

12

xy

T1

,2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

1

2

3

4

0

2

4

6

8

10

12

xy

T1

รปท 4.7 อณหภม T1 ในสภำวะคงตว(สมมต 1a 4b 10BT 5.12

kA

q)

Page 24: บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55 สมการคลื่น (Wave’s equation) เป็นตัวอย่ำงของสมกำรที่แสดงพฤติกรรมแบบ

75

แบบฝกหด 4.1

1. จงหำผลเฉลยทวไปของสมกำรลำปลำซในสำมมตโดยวธกำรแยกตวแปร(แนะน ำ:ใชหลกกำรเดยวกบ

สมกำรในสองมตในตวอยำงท 4.2)

02

2

2

2

2

22

z

u

y

u

x

uu

2. ค ำนวณหำผลเฉลยของสมกำรลำปลำซในสองมตโดยเงอนไขขอบเขตดงน

300),0( yT , 400),( yaT , 450)0,( xT และ 0

byy

T