การใช้ ICT ในการเสริมสร้าง ... - WordPress.com2 การใช ICT ในการเสร มสร างความร ความสามารถทางคณ

1

การใช ICT ในการเสรมสรางความรความสามารถทางคณตศาสตร ดร.ไพจตร สดวกการ มถนายน 2553

การใช ICT ในการเสรมสรางความร ความสามารถทางคณตศาสตร

ดร. ไพจตร สดวกการ

คนทวไปเรยนรคณตศาสตรจากธรรมชาตแลวสรปเปนทฤษฎและกฎดวยสหชญาณ

(intuition) มากกวาดวยการพสจน (proof) แตทฤษฎและกฎทไดมาดวยสหชญาณมกจะเปนขอความทสบสนไมเปนระเบยบ ยากแกการจ าและน าไปใช ผคนพบจงพยายามจดและท าใหอยในรปอยางงาย โดยหวนกลบไปสรางสจพจนทจ าเปน แลวสรางทฤษฎขนมาจากสจพจนเหลานนโดยการนรนยเชงตรรกวทยา และมคณตศาสตรใหมหลายแขนงทนกคณตศาสตรพฒนาขนมาจากระบบของสจพจนอยางสมเหตสมผลตามหลกตรรกวทยา โดยไมไดเปนการบรรยายสงใด ๆ ในธรรมชาตเลย คณตศาสตรจงพฒนามาในวถทางดงทแสดงไวในแผนภาพขางลางน

โครงสรางแสดงการไดมาซงความรทางคณตศาสตร (Allendoerfer, and Oakley, 1969)

การสรางความรทางคณตศาสตรในลกษณะดงกลาวนเปนกระบวนการอปนยและนรนย

ตวอยางการจดการเรยนการสอนทสอดคลองกบธรรมชาตการสรางความรทางคณตศาสตร เชน - การจดกจกรรมไตรตรอง (reflective activities) - การใชวธการแบบเปด (open-approach) - การแกปญหาดวยวธการทยดหยน (flexible problem solving)

ธรรมชาต ธรรมชาต

จดระเบยบ

นยาม, สจพจน การนรนยเชงตรรกวทยา

สหชญาณ

ทฤษฎบท, กฎ

การน าไปใช

การสรางความรทางคณตศาสตร

2


การไตรตรอง (reflection) หมายถง การตรวจสอบและปรบเปลยนสมมตฐานตาง ๆ ทบคคลเสนอเพอคลคลายสถานการณทเปนปญหาอยางพนจพเคราะหดวยเหตผลหรอเหตการณท ทดสอบได โดยอาศยประสบการณเดม โครงสรางทางปญญาทมอย แรงจงใจภายใน และการ แลกเปลยนทางสงคมเปนเครองมอ จนไดสมมตฐานทสามารถขจดความขดแยงทางปญญา ระหวางบคคล ภายในตนเองระหวางสถานการณทเกยวของกน และระหวางความเชอกบผล จากการทดสอบในเชงประจกษ สมมตฐานดงกลาวคอโครงสรางทางปญญาทรายบคคลและ กลมไดรวมกนสรางขนเปนความรใหมอยางตอเนอง (Dewey, 1933; Hullfish and Smith, 1961; Piaget, 1965; Bigge, 1982; Konold, 1991; ไพจตร สดวกการ, 2539) โคโนลด (Konold, 1991) เสนอแนะใหครจดกจกรรมการเรยนการสอนทใหนกเรยนไดด าเนนกระบวนการไตรตรองโดยการอภปรายถงความเชอของตนเกยวกบสถานการณเฉพาะอยางหนง เพอกระตนใหนกเรยนประเมนหรอตรวจสอบความเชอของตนตามเกณฑตอไปน

เกณฑท 1 ความสอดคลองระหวางความเชอของตนเองกบความเชอของผอนในเรองเดยวกน

เกณฑท 2 ความสอดคลองภายในความเชอของตนเอง ระหวางสถานการณเฉพาะ ตาง ๆ ทเกยวของกน หรอมเงอนไขท านองเดยวกน

เกณฑท 3 ความสอดคลองระหวางความเชอกบผลจากการสงเกตในเชงประจกษ

ในกระบวนการของการพยายามแสดงความนาเชอของความเชอหรอความคด ของตนตอกนและกนนน นกเรยนจะส ารวจลกลงไปในความเชอของตนเองถงสถานการณอน ทเกยวของหรอทมเงอนไขท านองเดยวกนกบสถานการณทก าลงอภปราย และท าการสงเกตให ประจกษ การส ารวจนสามารถน านกเรยนไปสการคนพบความไมสอดคลองภายในความเชอ ของตนเองหรอพบความขดแยงระหวางความเชอกบการสงเกตในเชงประจกษได

การเรยนรในลกษณะนอยบนพนฐานของวธการทางวทยาศาสตร (scientific approach) และในกระบวนการของการไตรตรองนน จะมการทดลองและตรวจสอบความคด หรอทางเลอกหลายทาง แลวเลอกเกบความคดทดทสดไว กระบวนการดงกลาวน ท าใหความคดและความเขาใจของบคคลเจรญงอกงามขน (Bigge, 1982)

ไพจตร สดวกการ (2538) ไดพฒนากระบวนการเรยนการสอนคณตศาสตร โดยใชการไตรตรองเปนกจกรรมหลกตามแนวคดทฤษฎคอนสตรคตวสต (constructivist theory) ซงภายหลงมการตงชอทฤษฎนเปนภาษาไทยวา “สรรคนยม”

การจดกจกรรมไตรตรอง (Reflective Activities)

3


ทฤษฎคอนสตรคตวสต หรอ สรรคนยม มสาระส าคญดงน 1. การเรยนรคอการสรางโครงสรางทางปญญา ทสามารถคลคลายสถานการณทเปน

ปญหาและใชเปนเครองมอในการแกปญหาหรออธบายสถานการณอน ๆ ทเกยวของได 2. นกเรยนเปนผสรางความรดวยวธทตาง ๆ กน โดยอาศยประสบการณเดม โครงสราง

ทางปญญาทมอย ความสนใจ และแรงจงใจภายในตนเองเปนจดเรมตน 3. ครมหนาทจดการใหนกเรยนไดปรบขยายโครงสรางทางปญญาของนกเรยนเอง

ภายใตสมมตฐาน (assumption) ตอไปน 3.1 สถานการณทเปนปญหา และปฏสมพนธทางสงคมกอใหเกดความขดแยงทาง

ปญญา 3.2 ความขดแยงทางปญญาเปนแรงจงใจใหเกดกจกรรมไตรตรอง เพอขจดความ

ขดแยงนน 3.3 การไตรตรองบนฐานแหงประสบการณและโครงสรางทางปญญาทมอย และ

การมปฏสมพนธทางสงคม กระตนใหมการสรางโครงสรางใหมทางปญญา

วงจรการสรางความรตามแนวคดทฤษฎคอนสตรคตวสต

ประสบการณเดมและโครงสรางทางปญญาทสรางขนแลว

สถานการณทเปนปญหา

ปฏสมพนธทางสงคม

ความขดแยงทางปญญา

แรงจงใจภายใน

กจกรรมไตรตรอง

โครงสรางใหมทางปญญา

4


กระบวนการเรยนการสอนคณตศาสตร ท ไพจตร สดวกการ พฒนาขนบนพนฐานวงจรการสรางความรตามแนวคดทฤษฎคอนสตรคตวสต ประกอบดวยขนตอนใหญ ๆ 3 ขนตอน และรายละเอยดในแตละขนตอน ดงน

ขนตอนท 1 สรางความขดแยงทางปญญา

1.1 ครเสนอปญหา A ใหนกเรยนคดแกปญหาเปนรายบคคล โดยทปญหา A เปนปญหาทมความยากในระดบทนกเรยนตองปรบโครงสรางทางปญญาทมอยเดม หรอตองสรางโครงสรางทางปญญาขนใหม จงจะสามารถแกปญหาได

1.2 จดนกเรยนเขากลมยอย กลมละ 4-6 คน นกเรยนแตละคนเสนอค าตอบและวธหาค าตอบของปญหา A ตอกลมของตน

ขนตอนท 2 ด าเนนกจกรรมไตรตรอง

2.1 นกเรยนในกลมยอยตรวจสอบค าตอบและวธหาค าตอบของสมาชกในกลม โดยด าเนนการดงน

2.1.1 กลมตรวจสอบค าตอบปญหา A ของสมาชกแตละคนตามเงอนไขทโจทยก าหนด อภปราย ซกถามเหตผลและทมาของวธหาค าตอบ

2.1.2 สมาชกกลมชวยกนสรางสถานการณตวอยาง B ทงายตอการหาค าตอบในเชงประจกษ แตมโครงสรางความสมพนธเหมอนกบปญหา A ตามกฎการสรางการอปมาอปไมย ดงน

ก. ไมตองพจารณาลกษณะ (attribute) ของสงเฉพาะแตละสงในสถานการณปญหา A

ข. หาความสมพนธระดบต า (lower order relations) ระหวางสงเฉพาะแตละสงในสถานการณปญหา A

ค. หาความสมพนธระหวางความสมพนธระดบต าและความสมพนธระดบสง (higher order relations) ซงเปนระบบความสมพนธ (systematicity) หรอโครงสรางความสมพนธ (relational structure) แลวถายโยงโครงสรางความสมพนธนไปสรางสถานการณตวอยาง B ทมสงเฉพาะแตกตางกบสถานการณปญหา A

2.1.3 หาค าตอบของสถานการณตวอยาง B ในเชงประจกษ

5


2.1.4 น าวธหาค าตอบของปญหา A มาใชกบปญหา B วาจะไดค าตอบตรงกบค าตอบของปญหา B ทหาไดในเชงประจกษหรอไม ถาค าตอบทไดไมตรงกน ตองท าการปรบเปลยนวธหาค าตอบใหม จนกวาจะไดวธหาค าตอบทใชกบปญหา B แลวไดค าตอบสอดคลองกบค าตอบทหาไดในเชงประจกษ ซงอาจมมากกวา 1 วธ

2.1.5 น าวธหาค าตอบทใชกบปญหา B แลวไดค าตอบสอดคลองกบค าตอบทหาไดในเชงประจกษ ไปใชกบปญหา A กลมชวยกนท าใหสมาชกทกคนในกลมเขาใจการหาค าตอบของปญหา A ดวยวธดงกลาว ซงอาจมมากกวา 1 วธ

2.1.6 กลมท าการตกลงเลอกวธหาค าตอบทดทสดตามความเหนของกลมและชวยกนท าใหสมาชกของกลมทกคนมความพรอมทจะเปนตวแทนในการน าเสนอและตอบขอซกถามเกยวกบวธหาค าตอบดงกลาวตอกลมใหญได

2.2 สมตวแทนกลมยอยแตละกลมมาเสนอวธหาค าตอบของปญหา A ตอกลมใหญ กลมอน ๆ เสนอตวอยางคาน (counter example) หรอหาเหตผลมาคานวธหาค าตอบทยงคานได ถาไมมนกเรยนกลมใดสามารถเสนอตวอยางคานหรอเหตผลมาคานวธหาค าตอบทยงคานได ครจงจะเปนผเสนอเอง วธทถกคานจะตกไป สวนวธทไมถกคานจะเปนทยอมรบของกลมใหญวาสามารถใชเปนเครองมอในการหาค าตอบของปญหาใด ๆ ทอยในกรอบของโครงสรางความสมพนธเดยวกนนนได ตลอดชวงเวลาทยงไมมผใดสามารถหาหลกฐานมาคานได ซงอาจมมากกวา 1 วธ

2.3 ครเสนอวธหาค าตอบของปญหา A ทครเตรยมไวตอกลมใหญ เมอพบวาไมมกลมใดเสนอในแบบทตรงกบวธทครเตรยมไว ถามครกไมตองเสนอ

2.4 นกเรยนแตละคนสรางปญหา C ซงมโครงสรางความสมพนธเหมอนกบปญหา A ตามกฎการสรางการอปมาอปไมยดงกลาวแลว และเลอกวธหาค าตอบจากวธซงเปนทยอมรบของกลมใหญแลว มาหาค าตอบของปญหา C

2.5 นกเรยนแตละคนเขยนโจทยของปญหา C ทตนสรางขนลงในแผนกระดาษพรอมชอผสรางปญหา สงคร ครน าแผนโจทยปญหาของนกเรยนมาคละกน แลวแจกใหนกเรยนทงหองคนละ 1 แผน

2.6 นกเรยนทกคนหาค าตอบของปญหาทไดรบแจกดวยวธหาค าตอบทเลอกมาจากวธทเปนทยอมรบของกลมใหญแลว ตรวจสอบค าตอบกบเจาของปญหา ถาค าตอบขดแยงกน ผแกปญหาและเจาของปญหาจะตองชวยกนคนหาจดทเปนตนเหตแหงความขดแยง และชวยกนขจดความขดแยงนน เชน อาจจะแกไขโจทยใหรดกมขน ใหสมเหตสมผล หรอแกไขวธค านวณ และซกถามกนจนเกดความเขาใจทงสองฝายแลวจงน าปญหา C และวธหาค าตอบทงกอนการแกไข

6


และหลงการแกไขของทงผสรางปญหาและผแกปญหาสงคร ครจะเขารวมการตรวจสอบเฉพาะในผทไมสามารถขจดความขดแยงไดเอง

ขนตอนท 3 สรปผลการสรางโครงสรางใหมทางปญญา

ครและนกเรยนชวยกนสรปมโนทศน กระบวนการคดค านวณ หรอกระบวนการแกโจทยปญหาทนกเรยนไดชวยกนสรางขนจากกจกรรมในขนตอนท 2 ใหนกเรยนบนทกขอสรปไว

ผลทนกเรยนไดรบจากการเรยนตามกระบวนการน นกเรยนมความเขาใจมโนทศนทางคณตศาสตรทตนและกลมเพอนไดรวมกนคด และไดพฒนาทกษะกระบวนการทส าคญ ๆ ทางคณตศาสตรหลายประการ อาท กระบวนการคดค านวณ กระบวนการแกปญหา กระบวนการนรนย-อปนย เปนตน

การใชวธการแบบเปด (Open-Approach) ในชนเรยนคณตศาสตรของญปน มจดมงหมายใหนกเรยนแตละคนไดเรยนรคณตศาสตรในแบบทตอบสนองพลงความสามารถทางคณตศาสตรของตนเอง และสามารถปรบคณภาพของกระบวนการคดและผลทไดจากการคดสองคความรทางคณตศาสตร กลาวอกอยางหนงคอ ครทจดกจกรรมการเรยนการสอนคณตศาสตรโดยใชวธการแบบเปดจ าเปนตองพยายามท าความเขาใจความคดทหลากหลายของนกเรยนใหมากเทาทจะท าได โดยการใหนกเรยนพด อธบายความคดของตนกบเพอนหรอกบคร และกระตนใหนกเรยนควบคมตนเองใหพดและท าอยางเปนคณตศาสตรดวย

การใชวธการแบบเปดมสมมตฐานอยบนหลกการ 3 ขอ ไดแก 1. ความเปนอสระในการท ากจกรรม ครทใชวธการแบบเปดมความคาดหวงวา

นกเรยนสามารถเรยนรไดจากการมอสระในการท ากจกรรมดวยตนเอง 2. ววฒนาการและธรรมชาตของการบรณาการความรทางคณตศาสตร เนอหา

คณตศาสตรมลกษณะเปนนามธรรมและเปนระบบ เนอหาทมความเปนนามธรรมสงจะเปนความรทอยในรปทวไปซงน าไปใชในสถานการณปญหาตาง ๆ ไดมากมาย การเรยนเนอหาคณตศาสตรในระดบทสงขนจงตองมการยอนไตรตรอง (reflection) ถงความรเบองตนทเปนพนฐานเสมอ

3. ความสามารถในการตดสนใจของคร ในชนเรยนคณตศาสตรครมกเผชญกบความคดของนกเรยนทครคาดไมถงมากอน บทบาทส าคญของครคอตองใหนกเรยนไดแสดงความคดออกมาอยางสมบรณ และตองชวยใหนกเรยนคนอน ๆ เขาใจความคดนนดวย

การใชวธการแบบเปด (Open-Approach)

7


โดยทวไป การสอนคณตศาสตรดวยวธการแบบเปดประกอบดวยสถานการณ 3 สถานการณ ไดแก สถานการณ A ครก าหนดสถานการณหรอปญหาเรมตน ใหนกเรยนพยายามท าใหอยในรปปญหาเชงคณตศาสตร ตามประสบการณและความรพนฐานทางคณตศาสตรของนกเรยน สถานการณ B นกเรยนหาค าตอบตามประสบการณพนฐานของตนเอง แลวครน านกเรยนอภปรายหาความสมพนธระหวางค าตอบหลากหลายทนกเรยนเสนอมา และเชอมโยงค าตอบทดเหมอนไมเกยวของกนใหนกเรยนเหนความเหมอนในความตาง หรอลกษณะรวม สถานการณ C ใหนกเรยนพยายามตงปญหาใหมซงเปนปญหาทมความเปนนยทวไปยงขน โดยใชกจกรรมในสถานการณ B เปนประสบการณพนฐานในการแกปญหา และน าไปสค าตอบทอยในรปทวไปยงขน (เชน สรปเปนสตร หรอทฤษฎ เปนตน) ซงสอดคลองกบกจกรรมไตรตรองในกระบวนการเรยนการสอนท ไพจตร สดวกการ พฒนาขนในปการศกษา 2534 – 2538

ในชวตประจ าวน เราเผชญกบปญหาใหมอยเสมอ เมอเผชญกบปญหาทซ า ๆ กน เรา

มกจะไดพฒนาขนตอนส าหรบแกปญหานนขน จนเกดวธการทยดหยนอยางเปนนามธรรมพอทจะน าไปปรบใชกบปญหาอน ๆ ไดอกหลายปญหา การท าความเขาใจวา ผคนสรางความรทยดหยน เปนนามธรรม (อยในรปทวไป) ขนมาไดอยางไร จงเปนสงส าคญยงส าหรบการสรางความเขาใจในเรองการเรยนร การพฒนา และการออกแบบสภาพแวดลอมทางการเรยนเพอสงเสรมความสามารถทยดหยน (flexibility)

โดยทวไป เราเรยนรขนตอน วธด าเนนการ จากการแกปญหาดวยตนเอง หรอรบจากการปอนใหของผอน การเรยนรจากการปอนใหโดยตรงอาจจะท าใหผเรยนไมสามารถถายโยงสงทเรยนรไปใชกบปญหาใหมทไมคนเคย

กลไกส าคญอนหนงทสงผลตอการเรยนรขนตอน วธการ และความยดหยนในการน าไปใช คอ การอธบายของผเรยน (self – explaining) ผเรยนทประสบความส าเรจมกจะพยายามสรางค าอธบายในขณะทศกษาตวอยางทมผลตอการแกปญหา ค าอธบายเหลานมการระบชองวางของความเขาใจและความเชอมโยงกบตวอยางกอน ๆ หรอกบบทเรยนกอน ๆ ในต ารา (Chi, Bassok, Lewis, Reimann, & Glaser, 1989) ผลจากงานวจย พบวา ผเรยนตงแตวย 5 ขวบ ถงวยผใหญสามารถเรยนรไดมากขนถาไดรบการกระตนใหสรางค าอธบายของตนเอง (Aleven &

Koedinger, 2002; Bielaczyc, Pirolli, & Brown, 1995; Chi, de Leeuw, Chiu, & LaVancher, 1994) ผเรยนแตละคนตางมความรนอกระบบทสรางขนเองในชวตประจ าวนมากบางนอยบาง

ซงอาจจะไมใชความรทถกตองเสมอไป เชนเดยวกบผลจากงานวจยจ านวนมากทพบวา ความร

การแกปญหาดวยวธการทยดหยน (Flexible Problem Solving)

8


ความเขาใจเดมของนกเรยนเปนสงทเปลยนแปลงยาก แมวาจะไดรบการสอนแบบปอนใหโดยตรงจากการเรยนในระบบแลวกตาม ถาความรใหมทปอนใหนนไมเขากบความรเดมของผเรยน คอเกดชองวางระหวางความเขาใจ การกระตนใหผเรยนอธบายทงความร ความเขาใจทคลาดเคลอนนอกระบบของตน และความร ความเขาใจทถกตองในระบบ เปนกลไกส าคญในการชวยแกไขความร ความเขาใจทคลาดเคลอนของผเรยน และสงเสรมความสามารถในการถายโยง ท าใหมความยดหยนในการแกปญหา และการกระตนใหผเรยนอธบายความคดของตนเองยงอาจชวยใหผเรยนคนพบและสรปวธด าเนนการทถกตองไดเองในกรณทยงไมไดรบการสอนแบบปอนใหโดยตรงอกดวย (Siegler, 2002)

การแกปญหาดวยวธการทยดหยน ประกอบดวยการเลอกวธการอยางไมยดตด และการปรบวธการใหเขากบปญหา ซงขนอยกบปญหาและจดมงหมายของการแกปญหานน ๆ Teije และ van Harmelen (1995) ไดวจยพบวา สามารถน าเทคนคการไตรตรอง (Reflection Techniques) มาใชในการวนจฉยวธการแกปญหาอยางยดหยนได

หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ไดก าหนดสาระหลกทจ าเปนส าหรบผเรยนทกคน ดงน

สาระท ๑ จ านวนและการด าเนนการ สาระท ๒ การวด สาระท ๓ เรขาคณต สาระท ๔ พชคณต สาระท ๕ การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน สาระท ๖ ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

ในสาระท ๖ ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรนน ไดก าหนดมาตรฐานไว ดงน

มาตรฐาน ค ๖.๑ มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรม สรางสรรค

จะเหนไดวา สาระท ๖ เปนทกษะและกระบวนการทตองใชในการเรยนรสาระอน ๆ ทกสาระ ดงนน ในการจดการเรยนการสอน จงตองจดใหผเรยนเรยนรสาระท ๑ – ๕ ดวยทกษะและกระบวนการในสาระท ๖

ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

9


จากการส ารวจซอฟตแวรทใชในการสรางความร ความเขาใจคณตศาสตร พบวา

ปจจบน มผพฒนาซอฟตแวรทมลกษณะเปนเครองมออ านวยความสะดวกตอการสรางรปเรขาคณตตาง ๆ ซงวดคาและแสดงผลการค านวณทเกยวของกบรปไดและแปรคาไดตามรปทเปลยนไป โดยผใชไมจ าเปนตองมความรทางภาษาทใชในการเขยนโปรแกรม ซงจะชวยใหนกเรยนเกดความรความเขาใจไดงายและรวดเรวขน เชน โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) ซงเปนซอฟตแวรทพฒนาขนเมอ ค.ศ. 1991 โดย นโคลส แจคคว (Nicholas Jackiw) ในโครงการพฒนาเรขาคณตทมองเหนได (Visual Geometry Project) ของมลนธวทยาศาสตรแหงชาต (National Science Foundation: NSF) และพฒนามาโดยล าดบดวยเงนทนสนบสนนของ NSF ในการพฒนา ซอฟตแวร และบรษท Key Curriculum Press ในการจดพมพสอสงพมพทสนบสนนการใช ซอฟตแวรน ท าใหมการใชซอฟตแวรนอยางแพรหลายในหลายประเทศ

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) ไดซอลขสทธ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จากบรษท Key-Curriculum Press และแปลเปนภาษาไทย จากการศกษาลกษณะการใชงานของโปรแกรม พบวา โปรแกรมนชวยสรางรปเรขาคณต ไดอยางรวดเรว สวยงาม และชวยผเรยนในการสรางและส ารวจเพอสรางความร ความเขาใจ ไดหลากหลายวธ ตงแตอยางงายไปจนถงซบซอนในเวลาอนจ ากด เนองจากโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad เปนซอฟตแวรทพฒนาขนเพอการเรยนการสอนคณตศาสตรโดยเฉพาะ รปทสรางดวยโปรแกรมน สามารถท าใหเคลอนไหวและเปลยนแปลงขนาดไดโดยยงคงรกษา สมบตทางคณตศาสตรไวเสมอ ขณะทท าใหรปมการเปลยนแปลง ความสมพนธทก าหนดไว ในขนตอนการสรางจะยงคงมอยเสมอ สวนสมบตบางอยางทเปลยนแปลงไดจะเปนสมบตท ไมไดก าหนดไวในขนตอนการสรางอยางแทจรง รปทเปลยนแปลงไปจะท าใหสามารถส ารวจ ผลทเปนไปไดหลาย ๆ กรณ ตามเงอนไขของการสราง

ขอบเขตการใชงานของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ขนอยกบ จนตนาการของผใช ทสามารถน าไปใชงานได (สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย และ Key Curriculum Press, 2001) เชน

1) การส ารวจและการเรยนการสอนทฤษฎบททางเรขาคณต สามารถใช โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สรางแบบจ าลองทฤษฎบททยาก ๆ หรอการเรยนการ สอนเรองยากในชนเรยน

2) การน าเสนอในหองเรยน แบบรางทออกแบบดวยโปรแกรม The

โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

10


Geometer’s Sketchpad เพอน าเสนอหรอเผยแพรไปยงกลมบคคลตาง ๆ เชน นกเรยน เพอน รวมชน หรอคร จะมภาพกราฟกทสวยงาม เคลอนไหวได มปมแสดงการท างานตาง ๆ และม เนอหาไดหลายหนา ครสามารถใชโปรแกรมนเปนเครองมอทชวยใหการเรยนการสอนม ประสทธภาพ ถงแมวาจะไมสามารถสอนในหองปฏบตการคอมพวเตอรไดทกวน แตก สามารถน างานมาสาธตในหองเรยนทมคอมพวเตอรเพยงเครองเดยว พรอมเครองฉาย LCD ได นอกจากน นกเรยนยงสามารถน างานทสรางในแบบรางมาเสนอในชนเรยนหรอท า รายงานตลอดจนท าแฟมผลงานได

3) การศกษารปตาง ๆ จากหนงสอเรยน เมอใชโปรแกรมจนช านาญแลวจะ พบวา ในการสรางรปตาง ๆ บนจอคอมพวเตอรจะใชเวลานอย นอกจากนนยงสามารถท าให รปเคลอนไหวได และส ารวจการเปลยนแปลงได ดงนน จงสามารถใชโปรแกรมสรางและ ศกษารปในหนงสอเรยนในการท าการบานของนกเรยน และในการเตรยมการสอนของครได

4) การน าโปรแกรมนไปใชในสาระตาง ๆ ของคณตศาสตร เชน ในสาระ พชคณต สามารถใชโปรแกรมนส ารวจความชนและสมการของเสนตรง ส ารวจสมบตของ พาราโบลาและสาระส าคญอกหลายสาระ เชน นกเรยนและครสามารถส ารวจการเปลยนแปลงของกราฟดวยการใชค าสงตาง ๆ จากเมนกราฟ ส ารวจความเกยวของระหวางรปสามเหลยมมมฉากและฟงกชนตรโกณมต ส ารวจอนพนธของฟงกชนดวยการสรางเสนสมผสเสนโคง และใชค าสงอนพนธ หรอส ารวจปรพนธโดยการสรางพนททปดลอมดวยเสนโคง

5) การสรางแฟรกทล แฟรกทล เปนรปเรขาคณตทสวยงามสะดดตา ซงพบ เหนไดในธรรมชาต และเปนรากฐานทส าคญของโปรแกรมคอมพวเตอรกราฟกหลาย ๆ โปรแกรม แฟรกทลเปนรปเรขาคณตทคลายกบรปเดมของมนเอง จะดเหมอนกนเสมอไมวา จะขยายในมมมองใด การสรางแฟรกทลเรมจากการสรางรปงาย ๆ แลวท าซ ารปเดมแตใหม ขนาดเลกลง ๆ โดยใชค าสงท าซ าในโปรแกรมน

6) การวาดภาพทไดสดสวนเสมอนจรง และรปศลปะทางเรขาคณตแบบ ตาง ๆ สามารถใชโปรแกรมนออกแบบบตรอวยพร หรอออกแบบพนหลงของงานทน าเสนอ ใหไดภาพทสวยงามไมซ าแบบใคร โดยใชค าสงในเมนการแปลงของโปรแกรมนรวมกบค าสง จากเมนแสดงผลและอน ๆ กจะชวยใหสรางภาพไดอยางวจตร งดงาม นาตนตาตนใจ

จากการพจารณาสมบตของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และขอบเขต การใชงานดงกลาวขางตน โปรแกรมนนาจะเปนซอฟตแวรทครคณตศาสตรเรยนรไดไมยาก และนาจะน าไปใชในการจดการเรยนการสอนในหองปฏบตการหรอหองเรยนคณตศาสตรได เพอใหนกเรยนไดเรยนรสาระคณตศาสตรตามมาตรฐานการเรยนรของหลกสตร และพฒนา นกเรยนใหมเจตคตทดตอคณตศาสตร สามารถสรางองคความรดวยตนเอง ซงจะชวยใหนกเรยนบรรลทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรตามหลกสตรไดสมบรณยงขน

11


คณตศาสตรเปนศาสตรแสนกล ททกคนสามารถสนกไดดวยวธการทตาง ๆ กน การแกปญหาคณตศาสตรทสนกและ “ทาทายความสามารถ” คอการแกปญหาทผแกปญหายงไมรวธแกมากอน หรอการแกปญหาเดมดวยมโนทศนและวธการใหม สวนการแกปญหาโดยใชขนตอนวธการเดมทเคยใชแลวถอวาเปนการฝกทกษะเพอใหสามารถน าไปใชไดอยางฉบไว ลองมาสนกกบปญหาตอไปนตามระดบความรความเขาใจและความสามารถในการแกปญหาของแตละคน

ตวอยางปญหา แมคนหนงตองการแบงทดนซงมดานหนงตดคลองใหลกโดยใหลกใชเชอกยาว 100

เมตรไปลอมทดนใหเปนรปสเหลยมมมฉาก โดยดานทตดคลองไมตองใชเชอก ลกจะตองใชเชอกลอมทดนใหมขนาดกวาง ยาว เทาไร จงจะไดพนทมากทสด

วเคราะหปญหา

ก าหนดให น าเชอกยาว 100 เมตร ไปลอมทดนรมคลอง ใหเปนรปสเหลยมมมฉากทมพนทมากทสด โดยใช เชอกเพยง 3 ดาน เวนดานทตดคลอง

ตองการหาวา ทดนรปสเหลยมมมฉากตามเงอนไขทก าหนดมขนาดกวาง ยาวเทาไร

วธท 1 ใชไดตงแตระดบชนประถมศกษาเปนตนไป “การวดความยาวและการหาพนทของรปสเหลยมมมฉาก”

วธหาค าตอบ

1. หาพนทโดยใชสตร พนทรปสเหลยมมมฉาก = ความยาวของดานกวาง x ความยาวของดานยาว

ใหดานทตดคลองเปนดานยาว จะไดพนทมากกวา เชน

30 + 40 + 30 = 100 = 35 + 30 + 35 เมตร แต 30 x 40 = 1200 ตารางเมตร มากกวา 30 x 35 = 1050 ตารางเมตร

35 ม. 35 ม.

30 ม.

30 ม. 30ม.

40 ม.

คณตศาสตรหรรษา ปญหาเดยวกนสนกไดหลายระดบชน

12


2. ทดลองหาพนทรปสเหลยมมมฉากหลาย ๆ รป ทมความยาวของดานกวางและดานยาวตาง ๆ กนและผลบวกของความยาวดานกวาง 2 ดานกบดานยาว 1 ดาน เทากบ 100 เมตร แลวน าความกวาง ความยาว และพนททหาไดของแตละรปมา กรอกลงในตารางเพอเปรยบเทยบหาความกวางและความยาวทใหพนทมากทสด ดงตวอยางตอไปน

(อาจวาดรปโดยใชมาตราสวน 1 ซม. ตอ 10 เมตร)

กวาง 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

ยาว 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58

พนท 1122 1152 1178 1200 1218 1232 1242 1248 1250 1248 1242 1232 1218

จากตวอยางในตารางจะเหนวา

เมอดานกวางมความยาว 25 เมตร จะมพนทมากทสดคอ 1250 ตารางเมตร

เมอดานกวางมความยาวมากกวา 25 เมตร หรอนอยกวา 25 เมตร จะมพนทนอยลง ดงนน ใชเชอกยาว 100 เมตร ลอมทดนตดคลอง โดยลอมเพยง 3 ดาน ใหไดทดนเปนรปสเหลยมมมฉากและมพนทมากทสด ตองลอมทดนใหมขนาดกวาง 25 เมตร ยาว 50 เมตร จงจะไดพนทมากทสด คอ 1250 ตารางเมตร

ตรวจสอบค าตอบตามเงอนไขทก าหนด

ใชเชอกเพยง 3 ดาน ไดแก ดานกวาง 2 ดาน และ ดานยาว 1 ดาน โดย ใชความยาวเชอกไปทงหมด 25 + 25 + 50 = 100 เมตร ตามก าหนด

50 ม.

25 ม.25 ม.

ดานทตดคลองD C

A B

13


หมายเหต นกเรยนระดบประถมได มโอกาสฝกหาพนทของรปสเหลยมมมฉากจนเกดทกษะ จงไดค าตอบของปญหา ในกรณทเปนการรวมมอกนแกปญหา กสามารถแบงใหนกเรยนแตละคนชวยกนหาพนทของรปสเหลยมมมฉากทมขนาดกวาง ยาว ตาง ๆ กนไดทกขนาดตามเงอนไขทก าหนด ซงจะท าใหเหนจรงยงขนวาไมมรปใดมพนทมากกวารปทพจารณาเลอกมาเปนค าตอบ

วธท 2 ใชความรตงแตระดบประถมเปนตนไปและใชซอฟตแวร เชน ใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) เปนเครองมอประกอบการแกปญหา

วธหาค าตอบ สรางรปดวยโปรแกรมใหเออตอการหาค าตอบ ดงน

1. สรางสวนของเสนตรง AE ยาว 10 ซม. แทนความยาวของเชอก 100 ม. (ใชมาตราสวน 1 ซม. : 10 เมตร) โดยก าหนดจด A แลวใชเครองมอลกศรเลอกจด A เลอกเมน “การแปลง” “เลอนขนาน” เลอนจด A ไปทางขวามอ ใหท ามม 0 องศากบจดเดมและหางจากจดเดม 10 ซม. แลวใชเครองมอลกศรคลกทจด A และ จด E เลอกเมน “สราง” “สวนของเสนตรง” เลอกเมน “แสดงผล” “เสน” “เสนประ”

(การตงชอจด ใชเครองมอสรางขอความคลกทจด 1 ครง ถาชอทโปรแกรมตงใหไมเปนทถกใจ เปลยนชอใหมไดโดยใชเครองมอสรางขอความคลกทชอเดม 2 ครง จะมหนาตางและชองพมพปายชอใหพมพชอใหมไดตามตองการ)

2. สรางจด B บนสวนของเสนตรง AE โดยใชเครองมอลกศรเลอกสวนของเสนตรง AE เลอกเมน “สราง” “จดบนสวนของเสนตรง” ลากเมาสทจด B ตรวจสอบดใหเลอนไปมาบนสวนของเสนตรง AB ได

3. สรางสวนของเสนตรง AB โดยใชเครองมอลกศรคลกทจด A และ จด B แลวเลอกเมน “สราง” “สวนของเสนตรง” เลอกเมน “แสดงผล” “เสน” “เสนบาง” (หรอ “เสนหนา”) ใหสวนของเสนตรง AB เปนดานยาว

EA

EAB

14


ตองคลกเมาสเพอยกเลกการเลอกสงอน ๆ กอนทจะคลกเลอกเฉพาะสงทตองการ

4. สรางสวนของเสนตรง BE โดยใชเครองมอลกศรคลกทจด B และจด E เลอกเมน “สราง” “สวนของเสนตรง” เลอกเมน “แสดงผล” “เสน” “เสนประ” แลวแบงครงสวนของเสนตรง BE ทจด F โดยคลกทสวนของเสนตรง BE (ถาคลกแลวโดนสวนของเสนตรง AE ใหคลกซ าลงในทเดม 1 ครง จะไดสวนของเสนตรง BE) แลวเลอกเมน “สราง” “จดกงกลาง” ความยาวเชอก AE จะถกแบงเปน 3 สวน ส าหรบใชกบดาน 3 ดาน (เวนดานทตดคลองไมตองใชเชอก) ไดแก ความยาว AB ความยาว BF และ ความยาว FE โดยมความยาว BF = ความยาว FE

5. สรางสวนของเสนตรง BC ใหมความยาวเทากบความยาว BF และตงฉากกบสวนของเสนตรง AB ทจด B โดยใชเครองมอลกศรคลกทจด B และสวนของเสนตรง AB เลอกเมน “สราง” “เสนตงฉาก” เลอกเมน “แสดงผล” “เสน” “เสนประ” ใช B เปนจดศนยกลาง รศมเทากบความยาว BF เขยนวงกลมตดเสนตงฉากทจด C โดยใชเครองมอลกศรคลกทจด B และจด F ตามล าดบ เลอกเมน “สราง” “วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและจดอน” แลวใชเครองมอลกศรคลกทเสนรอบวงและเสนตงฉาก เลอกเมน “สราง” “จดตด” ใชเครองมอลกศรคลกทจด B และ จด C เลอกเมน “สราง” “สวนของเสนตรง”

EAB

F EAB

C

F EA B

15


6. สรางสวนของเสนตรง AD โดยใชเครองมอลกศรคลกทจด C และสวนของเสนตรง AB เลอกเมน “สราง” “เสนขนาน” แลวใชเครองมอลกศรคลกทจด A และสวนของเสนตรง BC สรางเสนขนานดวยวธเดยวกน ใหเสนทงสองตดกนท จด D โดยใชเครองมอลกศรคลกทเสนทงสอง เลอกเมน “สราง” “จดตด” และสรางสวนของเสนตรง AD

7. วดความยาวของดานกวาง ดานยาวและค านวณหาพนท โดยคลกทดาน BC เลอก

เมน “วด” “ความยาว” และวดความยาวของดาน AB ดวยวธการเดยวกน จะปรากฏความยาวทวดได เชน

หาพนท โดยเลอกเมน “วด” “ค านวณ” จะปรากฏเครองค านวณ คลกทความยาว BC บนหนาจอ ตอดวยเครองหมาย * บนเครองค านวณ และคลกทความยาว AB กดปม “ตกลง” บนเครองค านวณ จะไดผลคณดงตวอยางน

D C

F EA B

m AB = 5.84 ซม.

m BC = 2.08 ซม.

m BC×m AB = 12.15 ซม.2

m AB = 5.84 ซม.

m BC = 2.08 ซม.

มาตราสวน 1 ซม. : 10 ม.

16


8. เคลอนทจด B บนสวนของเสนตรง AE เพอหาพนททมากทสด โดยกดเมาสคางทจด B ลากไปมาบนสวนของเสนตรง AE (หรอคลกทจด B แลวกดแปนลกศรชซายหรอลกศรชขวาทคยบอรด) รปสเหลยม ABCD จะเปลยนขนาด สงเกตตวเลขบอกความกวาง ความยาว และพนท ซงเปลยนแปลงไปตามรป หยดการเคลอนทจด B ณ จดทใหคาพนทมากทสด ไดความยาวของดานกวางเปน 2.50 ซม. ความยาวของดานยาวเปน 5.00 ซม. พนท 12.50 ตาราง ซม. บางครงสเกลหนาจอหรอการเคลอนทของจดอาจจะไมละเอยดพอทจะลงตรงต าแหนงทไดคาทแทจรงพอด เชน อาจไดคาความกวาง ความยาว และ พนท ดงน

แตเมอเคลอนจด B ไปทางขวาอกนดเดยวเพอจะใหความยาว AB เปน 5.00 ซม. มน

อาจจะกระโดดขามไปเปน 5.02 ซม. โดยทความยาว CB ลดลงเปน 2.49 ซม. จงประมาณไดวา ถาความยาว AB เปน 5.00 ซม. ความยาว CB จะเปน 2.50 ซม.

จงจะไดพนทเปน 12.50 ตาราง ซม. พอด 9. แปลงคาความยาวและพนทจากรปเปนความยาวจรง เนองจากรปทสรางขนนนใช

มาตราสวน 1 ซม. : 10 เมตร ดงนน จงเปนความกวาง ความยาวและพนทจรง ดงน ทดนรปสเหลยมมมฉากทลอมดวยเชอกยาว 100 เมตร เพยง 3 ดาน จะมพนทมากทสด เมอมขนาดกวาง 2.50 x 10 = 25 เมตร

ยาว 5 x 10 = 50 เมตร และมพนท 25 x 50 = 1250 ตารางเมตร

ตรวจสอบค าตอบตามเงอนไขทก าหนด ตรวจสอบดวาผลบวกของความยาวดานทงสาม (เวนดานทตดคลอง) เทากบความยาวเชอกทก าหนดหรอไม โดยเลอกเมน “วด” “ค านวณ” คลกทความยาว BC บนหนาจอ เครองหมายบวกบนเครองค านวณ และคลกทความยาว BC บนหนาจออกครงหนง ตอดวยเครองหมายบวกบนเครองค านวณ และคลกทความยาว AB แลวกดปม “ตกลง” จะได

คดเปนความยาวจรง 100 เมตร เคลอนจด B ไปมาบนสวนของเสนตรง AE ผลบวกความยาวสามดานกยงคงเดม

m BC×m AB = 12.50 ซม.2

m AB = 4.99 ซม.

m BC = 2.50 ซม.

m BC+m BC+m AB = 10.00 ซม.

17


เสรมวธท 2 ดวยความรเรองกราฟในระดบมธยมศกษาตอนตน

“เขยนกราฟแสดงความเกยวของของปรมาณสองชดบนระนาบพกดฉากได”

วธหาค าตอบ

1. สรางรป หาค าตอบ และตรวจสอบตามเงอนไขเชนเดยวกบวธท 1 2. เขยนกราฟแสดงความเกยวของของความกวางกบพนทของรปสเหลยมมมฉาก

จากรปในขอ 1 ดงน 2.1 เลอกเมน “กราฟ” “รปแบบกรด” “กรดสเหลยมมมฉาก” 2.2 คลกทจดบอกระยะ 1 หนวยบนแกน y กดแปนลกศรชลงทคยบอรดเลอน

จดบอกระยะ 1 หนวยบนแกน y ลง จนไดคาบนแกน y ทปรากฏบนจอมากกวา 12.50

2.3 ใหคาบนแกน x แทนความกวาง และคาบนแกน y แทนพน โดยใชเครองมอสรางขอความพมพ “ความกวาง” วางไวทแกน x และพมพ “พนท” วางไวทแกน y

2.4 ใชเครองมอลกศรคลกคาความยาว BC และคาพนทบนหนาจอ แลวเลอกเมน “กราฟ” “ลงจดแบบ (x, y)” ตงชอจดเปน P คลกทจด P เลอกเมน “วด” “พกด” ของจด แลวสรางทางเดนของจด P โดยคลกทจด P และจด B ตามล าดบ เลอกเมน “สราง” “โลคส” จะไดเซตของจดทแสดงความเกยวของของความกวางและพนทเรยงกนเปนเสนโคง ดงรป

18


เมอเคลอนจด B ไปมาบนสวนของเสนตรง AE จด P กจะเคลอนทไปมาบนกราฟ และพกดของจด P จะเปลยนไปตามความกวางและพนทของรปสเหลยมมมฉากดวย

วธท 3 ใชความรในระดบมธยมศกษาตอนตน “หาค าตอบจากสมการก าลงสองทสรางขนจากโจทยปญหา และเขยนกราฟแสดง

ความสมพนธระหวางตวแปรในสมการได”

วธหาค าตอบ ดานกวาง 2 ดาน กบ ดานยาว 1 ดาน ใชเชอกรวม 100 เมตร ใหความยาวของดานกวางเปน x เมตร ดงนน ความยาวของดานยาวเทากบ 100 – 2x เมตร

พนทรปสเหลยมมมฉาก = ความยาวของดานกวาง x ความยาวของดานยาว y = x (100 – 2x) y = 100x - 2 2x y = - 2 2x + 100x จากรปทวไปของสมการก าลงสอง y = a 2x + bx + c สมการ y = - 2 2x + 100x ม a = -2, b = 100, c = 0 ดงนนกราฟของสมการเปนรปพาราโบลาเปดลาง มจดสงสดอยบนแกนสมมาตร

สมการของแกนสมมาตร คอ x = a

b

2

= )2(2

100

= 4

100

= 25

แทนคา x = 25 ในสมการ y = - 2 2x + 100x y = -2 2)25( + 100(25) y = -2(625) + 2500 y = -1250 + 2500 y = 1250

x x

100 – 2x

ดานทตดคลอง

19


ดงนนจดสงสดคอ จด (25, 1250) นนคอ ใชเชอกยาว 100 เมตร ลอมทดน 3 ดาน (เวนดานทตดคลอง) ใหเปนรปสเหลยมมมฉาก ไดพนทมากทสด 1250 ตารางเมตร เมอทดนมขนาด กวาง 25 เมตร ยาว 100 – 2x = 100 – 2(25) = 50 เมตร เขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางความยาวของดานกวางกบพนทไดดงน

วธท 4 ใชความรในระดบมธยมศกษาตอนปลาย

“หาค าตอบจากการหาอนพนธของฟงกชนทสรางขนจากโจทยปญหา และเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางคา x ณ จดใด ๆ บนกราฟของฟงกชน กบ ความชนของเสนโคง ณ จดนน ๆ ได”

วธหาค าตอบ ดานกวาง 2 ดาน กบ ดานยาว 1 ดาน ใชเชอกรวม 100 เมตร ใหความยาวของดานกวางเปน x เมตร ดงนน ความยาวของดานยาวเทากบ 100 – 2x เมตร

x x

100 – 2x

ดานทตดคลอง

20


พนทรปสเหลยมมมฉาก = ความยาวของดานกวาง x ความยาวของดานยาว y = x (100 – 2x) y = 100x - 2 2x y = - 2 2x + 100x จากรปทวไปของสมการ y = a 2x + bx + c สมการ y = - 2 2x + 100x ม a <0 ดงนนกราฟของสมการเปนรปพาราโบลาเปดลาง มจดสงสด ซงมความชนของเสนสมผส ณ จดสงสดเปน 0 ดงรป

หาอนพนธของ y = - 2 2x + 100x y’ = -4x + 100

เขยนกราฟของ y’ = -4x + 100 หรอ f’(x) = -4x + 100 ดงรป เมอ x แทนคาความกวางของรปสเหลยมมมฉาก

y’ แทนคาความชนของเสนโคง y = - 2 2x + 100x ณ จดทมคา x ตรงกน

จะเหนวา กราฟของ y’ ตดแกน x ทจด (25,0) แสดงวา จดสงสดของกราฟ y = - 2 2x + 100x มคา x = 25 เพราะจดนนมความชน เปน 0

ดงนน ในการหาจดสงสดของกราฟของสมการ y = - 2 2x + 100x จงให y’ = 0 หรอ -4x + 100 = 0 -4x = - 100

x = 4

100

= 25

21


จะได จดสงสดของสมการ y = - 2 2x + 100x มคา x = 25 แทนคา x = 25 ในสมการ y = - 2 2x + 100x

y = -2 2)25( + 100(25) y = -2(625) + 2500 y = -1250 + 2500 y = 1250

ดงนนจดสงสดคอ จด (25, 1250) นนคอ ใชเชอกยาว 100 เมตร ลอมทดน 3 ดาน (เวนดานทตดคลอง) ใหเปนรปสเหลยมมมฉากไดพนทมากทสด 1250 ตารางเมตร เมอลอมทดนใหมขนาดกวาง 25 เมตร ยาว 100 – 2x = 100 – 2(25) = 100 – 50 = 50 เมตร

หมายเหต วธท 3 และวธท 4 ตรวจสอบค าตอบตามเงอนไขไดเชนเดยวกบวธท 1

ในการเรยนการสอนคณตศาสตร เราพบวานกเรยนทเรยนในระดบชนเดยวกนกมความรความเขาใจแตกตางกนหลายระดบ บางคนกยงคนชนกบการน าวธการเดมมาใชในการแกปญหาใหม หากนกเรยนไดมโอกาสแกปญหาของระดบชนทสงกวาบางดวยความรและวธการในระดบชนทเรยนอย เมอนกเรยนไปเรยนในระดบชนทสงขน ซงตองใชความรและวธการใหมในการแกปญหาเดยวกนน จะท าใหนกเรยนสามารถเชอมโยงความรใหมเขากบความรเดมโดยมปญหาเดมเปนตวกลางในการเชอมโยงใหเกดความรความเขาใจอยางลกซงทะลถงกนได

ศกษาตวอยางสอทสรางดวยโปรแกรม GSP และรายละเอยดวธสรางไดจาก เวบไซต http://www.curric.net/center/math_center.htm หลกสตรอบรมครคณตศาสตรโรงเรยนในฝน ป 2549 ถงปจจบน

22


รายการอางอง:

ทศนา แขมมณ. (2550). ศาสตรการสอน: องคความรเพอการจดกระบวนการเรยนรทมประสทธภาพ. กรงเทพมหานคร: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

ไพจตร สดวกการ. (2538). ผลของการสอนคณตศาสตรตามแนวคดของทฤษฏคอนสตรคตวสตทมตอผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรและความสามารถในการถายโยงการเรยนรของนกเรยนระดบมธยมศกษาตอนตน. วทยานพนธปรญญาครศาสตรดษฎบณฑต สาขาวชาหลกสตรและการสอน บณฑตวทยาลย จฬาลงกรณมหาวทยาลย.

ไพจตร สดวกการ. (2551). การอบรมเชงปฏบตการการใชซอฟตแวรคอมพวเตอรประกอบการจดการเรยนการสอนคณตศาสตรดวยปญหาทยดหยนตามระดบความสามารถ. ผลงานทางวชาการ ศกษานเทศกเชยวชาญ. กรงเทพมหานคร: ส านกงานเขตพนทการศกษากรงเทพมหานคร เขต 2.

ศกษาธการ, กระทรวง. (2551). หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑.กรงเทพมหานคร: โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย จ ากด.

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน และ Key Curriculum Press. (2001). คมอแนะน าการใชงาน THE GEOMETER’S SKETCHPAD ซอฟตแวรส ารวจเชงคณตศาสตร เรขาคณตพลวต. กรงเทพมหานคร: สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย.

Aleven, V. A. W. M. M., & Koedinger, K. R. (2002). An effective metacognitive strateg : Learning by doing and explaining with a computer-based Cognitive Tutor. Cognitive Science, 26(2), 147-179.

Allendoerfer, C.B., and Oakley, C.O. (1969). Principles of mathematics. 3rd ed. New York: McGraw-Hill.

Bielaczyc, K., Pirolli, P. L., & Brown, A. L. (1995). Training in self-explanation and self-regulation strategies: Investigating the effects of knowledge acquisition activities on problem solving. Cognition and Instruction, 13(2), 221-252.

Chi, M. T. H., Bassok, M., Lewis, M. W., Reimann, P., & Glaser, R. (1989). Self-explanations: How students study and use examples in learning to solve problems. Cognitive Science, 13(2), 145-182.

23


Chi, M. T. H., de Leeuw, N., Chiu, M. H., & LaVancher, C. (1994). Eliciting self-explanations improves understanding. Cognitive Science, 18(3), 439-477.

Nohda, Nobuhiko. (2000). Teaching by Open-Approach Method in Japanese Mathematics Classroom. [Online] Available http://eric.ed.gov/ [14 November 2008]

Polya, G. (1973). How To Solve It. Princeton: Princeton University Press.

Siegler, R. S. (2002). Microgenetic studies of selfexplanation. In N. Garnott & J. Parziale (Eds.), Microdevelopment: A process-oriented perspective for studying development and learning (pp. 31-58). Cambridge: Cambridge University Press.

Teije, Annette ten. and van Harmelen Frank. (1995). Using Reflection Techniques for Flexible Problem Solving (with Examples From Diagnosis). [Online] Available http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.55.4628 [14 July 2009]

Documents

การใช้ ICT ในการเสริมสร้าง ... - WordPress.com2 การใช ICT ในการเสร มสร างความร ความสามารถทางคณ