Heat and Mass Transfer 31 0996) 153-a6a © Springer-Verlag a996

Abh ngigkeit der W rmeiibergangskoeffizienten vom Wandtemperaturverlauf und die Konsequenzen fiJr die Berechnung von W rmedurchgangskoeffizienten bei W rmetauschern

H. JanBen

153

Zusammenfassung In einem friiheren Aufsatz [2] wurde dargestellt, dab die gebr~uchliche Berechnungsvorschrift fiir W~rmedurchgangskoeffizienten gem~iB VDI-W~meatlas [1] nur in Ausnahmefiillen der Energiebitanz fiir den W~irmetau- scher genfigt. Diese Berechnungsvorschrift wurde fiir den Fall konstanter Wandtemperatur korrigiert. In dieser Arbeit wird eine verallgemeinerte Gleichung fiir die Berechnung von Wiirmedurchgangskoeffizienten bei beliebigem Wandtempera- turverlauf aufgestellt. Die Berechnung nach VDI-W~rmeatlas [1] ist danach nur im Fall gleicher Wandtemperaturverl/iufe bei Messung und realem Betrieb im W/irmetauscher gfiltig. In allen anderen F/illen fiihrt dieses Vorgehen zu Fehlern.

Dependence of heat transfer coefficients on the wall temperature shape and consequences for the calculation of overall heat transfer coefficients for heat exchangers Abstract In a recent article [2] it has been shown that the common equation in VDI Heat Atlas [1], which has been used for the calculation of overall heat transfer coefficients, satisfies the energy balance of the heat exchanger in seldom exceptional cases only. This equation has been corrected for constant wall temperature. In this article an equation for the calculation of overall heat transfer coefficients valid for any shape of the wall temperature will be developed at which it becomes obvious, that only in the case of identical shapes of wall temperature in measurement and real heat exchanger process the calculation according to VDI Heat Atlas [1] is valid. In all other cases this procedure leads to errors.

Formelzeichen W/(m2K)

a m W/(m2K) Atm K Atlog K

(I) 1 l / m 2

6rtlicher W~irmeiibergangskoeffizient mittlerer W~irmeiibergangskoeffizient mittlere treibende Temperaturdifferenz mittlere logarithmische Temperaturdiffe- renz Konstante, G1. (9)

Eingegangen am 27, Mfirz 1995

H. JanBen Institut fiir Thermodynamik Technische Universit~t Braunschweig Hans-Sommer-StraBe 5 D-38106 Braunschweig Deutchland

(I) 2 l i ra 2 Ct K/m 2

cp kJ/(kgK) f l /m 2

f.f K g l /m 2 gDg2 K

k,~ W/(m2K) rh kg/s t °C A m 2 Ages m 2 M 0 w T K

Konstante, G1. (21) Steigung der linear ver~ndertichen Wand- temperatur spezifische isobare Energiekapazitiit Konstante Konstanten Konstante Konstanten MaBstabsfaktor, G1. (56) mittlerer W/irmedurchgangskoeffizient Massenstrom Celsiustemperatur iSrtliche W~irmeiibertragungsfl~iche gesamte W~irmeiibertragungsfliiche Energiekapaziditsstromverh~iltnis, G1. (18) Warmestrom absolute Temperatur

Hochgestellte Indizes gegen bei Gegenstrom gleich bei Gleichstrom VDI nach VDI-W~meaflas [1] berechnet

Tiefgestellte Indizes 0 bei A = 0 m 2 1 wiirmeabgebendes Medium 2 w~irmeaufnehmendes Medium I Pr~ferenzsystem II reales System ges gesamt log iogarithmisch m gemittelt A am Austritt E am Eintritt W an der Wand

1 Einleitung und Problemstellung Ublicherweise wird in der Literatur [1] zur Berechnung yon W~irmedurchgangskoeffizienten aus W/irmeiibergangskoeffi- zienten die Gleichung

1 1 1 -{--- (1)

km ~m, 1 (~m, 2

154

verwendet. Fiir diese Gleichung werden gleich groBe Fl~ichen auf beiden Seiten der W~irmeiibertragungswand, ein vernach- l~issigbarer W~irmeleitwiderstand in der Wand quer zur Str/Smungsrichtung sowie ein unendlich groBer W~irmeleitwi- derstand in der Wand in Str6mungsrichtung angenommen. Diese Berechnungsvorschrift wurde in [2] fiir den Fall konstanter Wandtemperatur korrigiert. Die Korrektur ist erforderlich, da die W~irmeiibergangskoeffizienten ffir die Randbedingung tw= const gelten, w~ahrend in einem W{irme- tauscher/iblicherweise die Wandtemperatur variiert, um die Forderung gleicher W~irmestromdichten auf beiden Seiten der Wand zu erfiillen. Als Folge der variierenden Wandtemperatur wird die integrale Energiebilanz bei Verwendung yon W~me- durchgangskoeffizienten nach G1. (1) verletzt. Ffir den allge- meinen Fall eines beliebigen Wandtemperaturverlaufes soil im folgenden die Korrektur aus [2] erweitert werden. Anhand dieser neuen Korrektur wird dann deuflich, dab in all den F~illen die Anwendung yon G1. (1) zu prinzipiellen Fehlern fiihrt, in denen die Wandtemperaturverl~iufe bei der experi- mentellen Bestimmung der W~irmefibergangskoeffizienten und beim realen W~irmeaustausch verschieden sind. Dies gilt auch bei konstanten W~irmeiibergangskoeffizienten mit "m = ~ = const, wie nachfolgend gezeigt werden soil Die Stoffwerte sollen hierfiir konstant sein.

2 Berechnung der mittleren W~irmeiibergangskoeffizienten bei beliebigem Wandtemperaturverlauf Die/Srtliche Energiebilanz lautet fiir das wiirmeabgebende Medium

dO = ~, " (tl (A) -- tw(A) )" dA =-- ml" Cp, l " d t l . (2)

Mit der Definition des mittleren W{irmeiibergangskoeffizienten

Ages .~,~'A~o~= ~ ~1"dA (3)

0

erh~ilt man durch Integration yon G1. (2)

>h i ' dh (A) (4) ~ra, 1 "Ages-------thl " G1 " t~(A)- - tw(A) '

und mit dem fibertragenen W{irmestrom

Q= r&" c~.," (t,~-- t,~) (5)

schlieBlich

A~o, dtl (A)

O ! t , (A) - - tw(A) (6) ~m'l =Ages" t lE- - tL4

Analog erh~ilt man ffir das w~irmeaufnehmende Medium:

A,o, dta(A)

Q ! t 2 ( A ) - t w ( A ) (7) (Zm'2 = Ages* t2A -- t2e

Unter Anwendung von G1. (6) bzw. G1. (7) ist prinzipiell die experimentelle Bestimmung mittlerer Wfirmeiibergangskoeffi- zienten mSglich. Im allgemeinen ist dies jedoch schwierig,

denn um die geforderte Integration durchfiihren zu k6nnen, miissen tl (A) bzw. t2(A) und tw(A) bekannt sein. Das gilt auch dann, wenn die 6rtlichen W~irmefibergangskoeffizienten experimentell bestimmt werden und hieraus gem~

C~m ~ A g e s i = l ~ i ~ i

ein mittlerer W~irmeiibergangskoeffizient berechnet wird, weil die Gin. (6) und (7) eindeutig die Temperatur- differenzen festlegen, fiber die der iibertragene W~irme- strom zu berechnen ist. Deshalb werden die Experimente meistens mit einem zweiten kondensierenden Medium (z.B. Wasserdampf) durchgefi~rt. Durch die damit verbundenen hohen W~irmeiibergangskoeffizienten nS.hert sich die Wandtemperatur stark an die Dampftemperatur an. Nimmt man an, dab der Druckabfall auf der Dampfseite gering ist, so ~indert sich die Wandtemperatur nur wenig. Dann kann man n~herungsweise tw= const setzen, und die Integration in G1. (6) bzw. G1. (7) l~iBt sich einfach realisieren. Der so bestimmte Wiirmetibergangskoeffizient wird dann auf W~irmetauscherprozesse mit ver{inderlicher Wandtempera- tur angewendet. Weil aber gerade nach G1. (6) bzw. G1. (7) der W~irmeiibergangskoeffizient vom Wandtemperaturver- lauf abh{ingt, wird sich im W{irmetauscher bei sonst gleichen hydrodynamischen und geometrischen Bedingun- gen ein anderer W~irmeiibergangskoeffizient als der bei tw= const ermittelte einstellen. Dies fi.ihrt dazu, dab bei Anwendung der Energiebilanzen G1. (6) bzw. G1. (7) aufden W~irmetauscher mit dem experimentell bestimmten W~ir- meiibergangskoeffizienten und den Temperaturverl~iufen im W/irmetauscher der iibertragbare W~irmestrom falsch berechnet wird.

2.1 Abh~ngigkeit des Wiirmeiibergangskoeffizienten von der Wandtemperatur Die Abh~ngigkeit des mittleren W~rmeiibergangskoeffizienten yon der treibenden Temperaturdifferenz findet man bereits bei den experimentellen Arbeiten yon Dittus [3], sparer dann theorefisch best~itigt yon Hahnemann [4] und Bodnarescu [5], die fiir verschiedene vorgegebene Wandtemperaturverl~ufe verschiedene mittlere W~rmeiibergangskoeffizienten berech- nen. Hier soll dieser haufig nicht beachtete Sachverhalt noch einmal auf einfache Art und Weise fiir konstante W~rmeiiber- gangskoeffizienten erl~utert werden. Dabei sollen die F~lle konstanter Wandtemperatur und linearen Wandtempera- turverlaufes betrachtet werden. Dazu muB zun~ichst der Temperatnrverlaufdes Mediums bei vorgegebenem Wandtem- peraturverlauf bekannt sein. Der Temperaturverlauf des w~irmeabgebenden Mediums wird ganz atlgemein nach G1. (2) durch folgende lineare Differentialgleichung festgelegt:

dt__~, + @ . tl = ~ ' tw, (8) dA

mit

@, = . ~1 (9) m l • Cp, 1"

Im folgenden wird ein konstanter W~rmeiibergangskoeffizient angenommen, entsprechend al =a.~l. Dann wird G1. (8) zu einer linearen, inhomogenen Differenfialgleichung mit kon- stanten Koeffizienten, deren L6sung durch

t~ (A) = exp ( -001" A)

• 0 0 1 " t w ( A ) ' e x p ( 0 0 1 " A ) ' d A + f l e (10)

beschrieben wh'd. An G1. (10) wird deutlich, dab der Verlauf t~ (A) maggeblich yon der Wandtemperatur als St6rfunktion bestimmt wird.

2.1.1 Konstante Wandtemperatur Setzt man tw= const in G1. (10) ein, so ergibt sich

tl (A) -- tw = ( t i E - tw) " exp ( -- 001" A). (1 1)

Der/,ibertragene W~irmestrom berechnet sich dutch Einsetzen yon G1. (11) in G1. (2) und anschlieBender Integration zu

(1) 0 = c q ' ( t l ~ - t w ) . - ~ . {exp( -00~ .Ag~J-1} . (12)

Fiir Ag~ ~ ~ wird (~ = n~l" % 1' (hE-- tw) als maximal iibert- ragbarer Grenzw~mestrom, wie es auch sein mug.

2.1.2 Linear veriinderliche Wandtemperatur Es soll ein Ansatz der Form

t w ( A ) = c t ' A + two (13)

gewiihlt werden. Einsetzen dieses Ansatzes in G1. (10) liefert

• c

(14)

Damit wird der iibertragene W~irmestrom zu

• . { e x p ( - - 0 0 1 . A g ~ s ) - - 1 } - - w l . c t .

Hier ist fiir Ages --+ oo kein Grenzwiirmestrom berechenbar, weil die Wandtemperatur sich stets ~indert. Die Mediums- temperatur tl (A) wird sich also nie an die Wandtemperatur ann~hern.

Die Gin. (12) und (15) liefern bei gleich groBen W~irme- fibergangskoeffizienten nur dann denselben W~irmestrom, wenn ct = 0 and two = tw = const sind. Dann degeneriert aber die linear ver~inderliche Wandtemperatur zu einer horizontalen Geraden, so dab die Wandtemperaturverl~iufe identisch werden. Sollen also die Wandtemperaturverl~iufe verschieden sein nnd die Gin. (12) trod (15) trotzdem denselben Wiirme- strom liefern, so mi.issen zwangsliiufig die Wiirmeiibergangs- koeffizienten verschieden sein. Also ergeben sich je nach

Wandtemperaturverlauf unterschiedliche W~rmeiibergangs- koeffizienten. Der Wert des experimentelt oder theoretisch ermittelten W~irmeiibergangskoeffizienten h~ngt yon dem diesem Experiment oder dieser Berechnung zugrunde liegen- den Wandtemperaturverlauf ab. Deswegen wird z.B. ein W~mestrom falsch berechnet, wenn man den bei konstanter Wandtemperatur experimentell bestimmten W~meiiber- gangskoeffizienten zur Berechnung des W~irmestromes bei einer Wiirmeiibertragung mit linear veriinderlicher Wandtem- peratur benutzt (bei sonst gleichen Betriebsparametern). Damit also experimenter ermittelte W~meiibergangskoeffi- zienten nicht zur Berechnung falscher W~irmestrSme f'fihren, muB die St6rfunktion bei dieser experimentellen Bestimmung mit der beim realen W~irmeaustausch iibereinstimmen. Diese sich im W~irmeaustausch einstellende St6rfunktion soil im folgenden fiir konstante W~irmaefibergangskoeffizienten berechnet werden.

2.2 Verliiufe von Wandtemperatur und Mediumstemperatur fiir die Wiirmeiibertragung zwischen zwei str6menden Medien Ohne Beschr~inkung der Allgemeinheit sollen die Gleichungen ffir den Gleichstrom aufgestellt werden, die sich ohne weiteres auf den Gegenstrom fibertragen lassen. Das Ziel ist, eine Gleichung fiir die Wandtemperatur aufzusteUen, die nur yon den W~irmeiibergangsverhfiltnissen auf beiden Seiten der W~meiibertragungswand abh~ngt, gleichung (8) beinhaltet die Gleichheit des iibertragenen und konvektiv abtransportier- ten Wiirmestromes auf einer Seite. Weit beim W~irmeaustausch noch ein zweites Medium beteiligt ist, ben6tigt man zus~itzlich die Bedingung der Gleichheit der iibertragenen und konvektiv abtransportierten Wiirmestr6me auf beiden Seiten:

~ l " ( t l - t w ) = ~ g ' ( t w - - h )

und

(16)

dh dtl d A - M ' ~ , (17)

m ~

M - lf~Tl" cp, 1 (18) m2" cp,2

Nach Differentiation yon G1. (16) fiir konstante W~irmeiiber- gangskoeffizienten und Einsetzen yon Gt. (17) folgt

dr1 ~1 + c~2 d tw dA ~1--~2"M dA" (19)

Kombination der G1. (19) mit G1. (8) ergibt nach einigen Umformungen folgende homogene lineare Dgl. 2. Ordnung

d2tw 002 dtw dA ~ -- "-~- = 0, (20)

mit

1 1

o~l - -oh 'M~ rh,'cp,1 + rh2"cp,~2 (21) 002= 1 ~1+~2 / " 0 0 * - 1 } 1

0{1 {X2

155

156

Die Integration der G1. (20) fiihrt nach Anpassung an die Randbedingungen zu

1 dtw "{exp(--~2"A)--l}+twE. tw(A)= ~2 dA (22)

Die Wandtemperatur am Eintritt des Mediums 1 sowie deren dortige Steigung lassen sich aus der Energiebilanz am Eintritt bestimmen:

--r&.cp, , .~- E=a~'(t~--twE)=a~'(twE--h~). (23)

Der linke Tell dieser Gleichung wird umgeformt:

dtl E dtw - - / ' h i " GP' l ' d -~w " ~ - E = ~ l" ( t i e - - twE). (24)

Fi.ir den Ausdruck (dhldtw) [~ kann man G1. (19) einsetzen und erh~t so

d A E = ( ( I )2-(I )1) " (hE-- twE) .

Weiterhin erh~ilt man aus G1. (23)

(25)

0~2 tie-- twE = " (tie -- t2E), (26)

und so wird aus G1. (25) schlieBlich

dtw]' = - a__)__2. ((Ih--@,)'(tlE--t2E). (27) d A IE 0~lF0~2

Einsetzen yon G1. (27) und G1. (26) and G1. (22) liefert fiir die Wandtemperatur

(1)2 - - ( I ) 1 ~2 tw(A) = (t~e-- t2e)

(I32 a~ + ~2

0~1 "tlE -~- ~2" t2E • {exp(--O2"A)-- 1} ~ a~+a2 (28)

Gleichung (28) erm6glicht es, allein mit Kenntnis der in (Ih und ~2 enthaltenen Energiekapzit~itsstr/Sme, der Warme- iibergangskoeffizienten und der Eintrittstemperaturen beider Medien den Wandtemperaturverlauf zu berechnen. Anhand dieser Gleichung wird deutlich, daB sich beim W~irmeaus- tausch zwischen zwei Medien ein exponentieller Wandtem- peraturverlauf einstellt. Soll ffir diesen Fall der realen W~meiibertragung zwischen zwei Medien der iibertragene W~irmestrom richtig berechnet werden, so ist es erforderlich, daB auch der W~irmeiibergangskoeffizient fiir genau diesen Wandtemperaturverlauf ermittelt wurde. Um den fibertrage- nen W~irmestrom berechnen zu k6nnen, sollen noch die sich bei realem Betrieb einstellenden Temperaturverl~iufe der Medien ffir den Fall des Gteichstromes berechnet werden. Aus G1. (20) folgt durch einmalige Integration:

dtw E" (29) ~-~tw--- exp (--q~2 . A ) - ~

Einsetzen in G1. (19) und Integration liefert ffir t~ (A)

t~ (A) =--'O1 a2 ' (hE-- t2~) 02 ~l+a2

• {exp (-- (I)2"A)-- 1} + t,E

und unter Benutzung yon G1. (17) ffir h (A)

qbl ~2 t2 (A)-- --M" (hE--hE)

(1)2 0~1 -]- ~ 2

(30)

• {exp ( - -o2 -a ) - - 1} + t2E. (31)

2.3 Der W~rmeiibergangskoeffizient bei der W~irmeUbertragung zwischen zwei striJmenden Medien Fiir die Differenz tl ( A ) - tw(A) ergibt sich am Beispiel des Gleichstromes mit den Gln. (28), (30) und (26) bei realem Betrieb im W~irmetauscher:

t~ ( A ) - - t w ( A ) = a2 • ( t l e - - t2~)' exp (-- O2"A). cq + o¢2

(32)

Der fibertragene W~irmestrom ist somit

[ ( 1 ) ~2 '(hE--hE)

• {exp( - ( Ih .Ag~) - - 1} 1. (33)

Vergleicht man jetzt G1. (33) mit G1. (12) unter Beriicksichti- gung yon G1. (26) und fordert die Gleichheit der iibertragenen W~mestr~Sme, so erkennt man, daB dies nur m6glich ist f'fir (Ih--qb2. Aus G1. (21) folgt dann

~ I=M, (34) 0~2

und aus G1. (27) (dtw/dA)[~--0, entsprechend twE = tw= const. Hier ist also nochmals eindeutig die in [2] aufgestellte

Behauptung bewiesen, dab sich bei Gleichstrom eine konstante Wandtemperatur nur unter Einhaltung yon G1. (34) einstellt (fiir Gegenstrom l ~ t sich natiirlich ganz analog vorgehen, wobei sich in diesem Fall keine konstante Wandtemperatur einstellt). Ist diese Bedingung nicht erfiillt, so darf der fiir tw= const experimentell ermittelte W/irmeiibergangskoeffi- zient nicht zur Berechnung des iibertragenen W~irmestromes im realen Betriebsfall nach G1. (33) verwendet werden. Dieser Sachverhalt wird mit den Bildern 1 und 2 veranschaulicht, in denen typische Verl~iufe yon Mediumstemperatur tl (A) und treibender Temperaturdifferenz tl ( A ) - tvc(A) jeweils fiir konstante Wandtemperatur und den realen Betriebsfall dargestellt sind. Ebenso sind die Grenzwerte der Verl~iufe fiir A ~ oo ersichtlich. Die Fl~ichen unter den Kurven I bzw. II in Bild 2 entsprechen dem Produkt ans gesamter W~meiibertra- gungsfl~iche und mittlerer treibender Temperaturdifferenz, gem~B

A ges

Ag~" Atm = .I (6 - tw)" dA, (35) 0

tlE

tlA

~w

t lE- -~2 " {I(1E-~WE)t--- - - I

/ I I I I . A

A ges,rec{ I A ges, t w = const

I I I

I ( I ) I I / I I I I - I - - S - - - t - - I ( I I ) I I L

Bild 1. Verl~iufe der Mediumstemperatur tl (A) und Grenzwert bei A~ oo ffir (I) konstante Wandtemperatur, GI. (11); (II) ver~inderliche Wandtemperatur, G1. (30)

t lE- tWE bzw. t lE- t w

t lA - tw -

tlA -tWA-

F l~chen :

tl-tw

Ages, r e e l

(Ages'Atm)tw=const

(Ages ' Atrn )real

: - A A ges.tw = const

Bild 2. Verl~iufe der treibenden Temperaturdifferenz tl (A) - tw(A) f'fir (I) konstante Wandtemperatur, G1. (11); (II) veranderliche Wand- temperatur, G1. (32)

und fiir den iibertragenen W~irmestrom gilt

(~ = a, 'Ages" At,,. (36)

Es sol1 vereinbart werden, dab fiir konstante Wandtemperatur und fiir den realen Wandtemperaturverlauf im W~irmetau- scher dieselben Austrittstemperaturen erreicht werden, d.h. dab dieselben W~irmestrSme fibertragen werden. Zu diesen gleichen Austrittstemperaturen geh6ren wegen der unter- schiedlichen treibenden Temperatur differenzen verschiedene gesamte W~irmeiibertragungsfl~ichen, wie in Bild 1 eingezeich- net. Fiihrt man jetzt die Integration nach G1. (35) in Bild 2 durch, und zwar nur bis zu der Gesamtfliiche, die die vereinbarte Austrittstemperatur liefert, so erkennt man, dab eine Gleichheit der Produkte (Ages" Atm) nur dann m6glich ist, wenn die Verl~iufe der treibenden Temperaturdifferenzen identisch werden. Dies hieBe qb2= all(rh]'Cp, l), was wie- derum tw= const mit Bedingung (34) bedeutete. Sind aber bei gleichen iibertragenen W~irmestrSmen die Produkte (Ages' Atm) nicht gleich, so erfordert dies entsprechend G1. (36)

unterschiedliche W~irmefibergangskoeffizienten. Wie schon oben dargestellt, bedeutet dies, dab ein bei tw= const ermittelter W~irmeiibergangskoeffizient bei Anwendung auf den ProzeB der W~irmefibertragung zwischen zwei Medien zu falsch berechneten fibertragbaren W~irmestrSmen fiihrt. Dies gilt nicht nur ffir den Fall tw = const, sondern fiir eine beliebig festgelegte St6rfunktion tw(A), die nicht der G1. (28) geniigt. Also ist die experimentelle Bestimmung von W~irmeiibergangs- koeffizienten bei beliebig festgelegten Wandtemperaturverl~iu- fen ungeeignet, W~irmeiibergangskoeffizienten zu liefern, die auf die Berechnung yon W~medurchgangskoeffizienten fiir W~irmetauscher angewendet werden kSnnen. Dies ist prinzipiell aus den oben erl~iuterten physikalischen Griinden nur in Ausnahmefiillen m6glich. Die H6he der konstanten Wandtemperatur hat keinen EinfluB auf den W~irmeiiber- gangskoeffizienten, wie man einfach zeigen kann. Unter Verwendung yon G1. (11) kann G1. (12) auch folgendermaBen formuliert werden:

(~=~l • {--~-~l• ( t lA- - tw-- t lE+ tw) } . (37)

Vergleicht man zwei W~irmeiibergangsprozesse bei unter- schiedlichen konstanten Wandtemperaturen, aber mit glei- chem fibertragenem W~irmestrom, so erkennt man, dab der W~irmetibergangskoeffizient unabh~ngig ist von der HShe der Wandtemperatur, denn die kiirzt sich aus G1. (37) heraus. Es sind also zwei Prozesse bei verschiedenen konstanten Wand- temperaturen, gleichen Produkten (Ages • Arm) und gleichen iibertragbaren W~irmestrSmen m6glich. Dies ist in Bild 3 dargestellt.

Vergleicht man hingegen einen ProzaB bei konstanter Wandtemperatur mit einem realen W~irmefibertragungspro- zel3, so erhiilt man bei gleichen iibertragenen W~irmestrSmen verschiedene Produkte (Ages •Atm) und damit verschiedene W~irmefibergangskoeffizienten. Fiir den real fibertragbaren W~irmestrom erh~ilt man n~imlich aus G1. (33) nach einigen Umformungen

{1t1 } • t' , "(t,A-- t,z + twE-- twA) • (38)

Bei gleichen Austrittstemperaturen (und damit verschiedenen Gesamtfl~ichen) sowie gleichen fibertragenen W~irmestrSmen ergeben sich also in GL (37) und G1. (38) unterschiedliche Produkte (Ages" Arm) und folglich unterschiedliche W~irme- iibergangskoeffizienten, und zwar bei sonst gleichen hydrody- namischen und geometrischen Verh~tnissen. Damit ist eindeutig gezeigt, dab die Wahl eines qualitativ anderen Wandtemperaturverlaufes etwas v611ig anderes ist als die Wahl einer anderen konstanten Wandtemperatur. Fiir die experi- mentelle Bestimmung von W~irmeiibergangskoeffizienten bei konstanter Wandtemperatur ist also die HShe der Wandtem- peratur frei w~ihlbar.

3 Berechnung der W~irmedurchgangskoeffizienten fib die W~irmeiJbertragung zwischen zwei stri~menden Medien Mit den in den vorigen Kapiteln aufgestellten Gleichungen lassen sich jetzt die fiir beliebige W~irmeiibertragungs- verh~iltnisse giiltigen Gleichungen zur Berechung von W~irme-

157

158

t ~

t lA

'w2 i twl

I t I t )

. . . . ] I I i

Ages,1

t lE -tWl

tlE - t w 2

hA-twl-

tlA- tW2-

(Ages" A |m) tw 1 = ( Ages "Atm) tw 2

h -tw

LA = A

A ges,2 A ges,2 A ges ,1

Bild 3. Vergleich von Temperaturverl~iufen und mittleren treibenden Temperaturdifferenzen yon zwei W~irmeiibertragungsprozessen bei tw = const

durchgangskoeffizienten aufstetlen. Mit G1. (6), G1. (7) und der Beziehung

( t ~ - t2A) - ( t l~- t~) O-- k gleich "Ages" - - m tlA -- t2A

l n - - t~-- t2E

__ / , . g l e i eh . A , , g l e i e h . . . . "Ag . . . . log (39)

fi~ den W/irmedurchgangskoeffizienten bei Gleichstrom erh~t man

A÷gleieh _ 0 b]og / :glelen '- . 4

~ m ~ g e s

Ages

am, 1 " A g e s

0 am, 2" Ages

dh h ( A ) - t w ( A )

In tIA -- t2A tl~-- tz~

A~°, dh ! h (A) - - tw(A)

hi tlA -- tzA tlE - - t2E

und schlieBlich

1 ! t~(A)--tw(A) kgJ eich" Ages am, 1" Ages

In tlA - - t2A

t iE - - ~2E

A,o, dr2

! t2(A)-- tw(A) 1 4

am,2" Ages In tlA-- t 2 A tie-- t2E

Analog erh~ilt man mit der Beziehung

( t~-- t~E) -- ( t~-- t~) Q = k gege~ • Ages

tla -- t2~ l n - -

tiE-- t2A

(40)

(41)

fiir den W~rmedurchgangskoeffizienten bei Gegenstrom

A 1' ~°~ dtl

1 Jo tl (A) -- tw(A) 1 kgm egen" Ages am, I Ages in tlA -- t2~

t iE- t2A

A~C dh Jo tz(A)-- tw(A) 1

÷ . (42) a.~ 2" Ages In tlA--

t l~- hA

Zur Aufstellung der beiden Gin. (40) und (42) sind die Gin. (6) und (7) verwendet worden, die vorschreiben, wie man mit den w~hrend eines Experimentes ermittelten Temperaturverl~iufen, dem W/irmestrom und den W/irmetibertragungsfl/ichen den W/irmeiibergangskoeffizienten zu berechnen hat. Gleichzeitig stellen die Gin. (6) und (7) jedoch auch die Energiebitanz ffir einen W/irmetauscher dar. Deshalb sind in G1. (40) und in G1. (42) ursprfinglich die Temperaturverl~iufe tl (A), t2 (A) und tw(A) sowie die W/irmeiibergangskoeffizienten fiir den W/irmetauscherprozeB einzusetzen. Fiir die Auslegung yon W/irmetauschern ist man allerdings auf die im Experiment ermittelten Temperaturverl~iufe und W/irmetibergangs- koeffizienten angewiesen. Stimmen die Temperaturverl~iufe yon Experiment und W/irmetauscherprozeB nicht fiberein, so sind entweder die W/irmestrSme nicht gleich groB, so dab sie sich aus GI. (40) bzw. G1. (42) nicht herauskfirzen, oder aber bei gleichen W/irmestrSmen yon Messung und Wgrme- tauscherprozeB die W~irmeiibergangskoeffizienten nach G1. (6) bzw. G1. (7) verschieden. Beides fiihrt zu falsch berechneten W/irmedurchgangskoeffizienten, denn die Bilanzen G1. (6) und G1. (7) werden nicht erfiillt. Aus G1. (40) bzw. G1. (42) wird ebenso ersichtlich, dab zur Berechnung des W~irme- durchgangskoeffizienten die Kenntnis der W/irmeiibergangs- koeffizienten nicht erforderlich ist, denn hinter den Aus- driicken

1 ago,r dh bzw. 1 ~g°*¢ dh am, 1 "Cp, X JO t l (A)- - tw(A) am,2" cp,~ Jo tz(A)-- tw(A)

verbirgt sich nichs anderes als die Kehrwerte der negativen Energiekapazit~tsstrSme { - 1/(thl "Cp,~)} bzw. {-1/(rh2 "Cp,2)}. Die Berechnung yon W/irmedurchgangskoeffizienten kommt also ohne die Kenntnis yon W/irmeiibergangskoeffizienten aus. Erst bei der tYoerpriifung der Energiebilanz mittels der Gln. (6) und (7), also der Frage, ob der mit diesem W/irmedurchgangs- koeffizienten berechnete W~mestrom auch tats~ichlich auf jeder Seite tibertragen werden kann, ist die Kenntnis der realen W/irmeiibergangskoeffizienten und damit der realen Tempera- turverl~tufe sowie der realen W/irmeiibertragungsfl/iche erfor- derlich. Die experimentelle Bestimmung des W/irmeiiber- gangskoeffizienten muB also unter genau den Bedingungen stattfinden, die auch bei der realen W/irmefibertragung vorlie- gen. Dann ist es jedoch sinnlos, erst die Temperaturverl~iufe und W~rmeiibergangskoeffizienten experimenteU zu ermitteln, wenn doch stattdessen gleich der W~irmedurchgangskoeffizient viel einfacher bestimmt werden kann! Allein in diesem Fall der ~bereinstimmung der Verh~tnisse yon Messung und der realen W/irmeiibertragung gehen die Gin. (40) und (42) in G1. (1) fiber. Und nur dann ist eine Berechnung des W/irmedurch- gangskoeffizienten aus W/irmeiibergangskoeffizienten iiber- haupt erlaubfi Im Fall des Gleichstroms hieBe dies z. B.

1 k gle ich • A • ~ra ~ g e s

1 1 1 1

rhl"Cp,~ In tla--t2A m 2 * C p ' 2 in tiA--tza tie -- t2E tie -- t2E

! 1

O~m, 1 "Ages

Umformen liefert

1 - - q . (43)

am, 2 " A g e s

1 1 - - q- - -

]'hl " CP~ t m 2 " c p ' 2 - l n tlA - - t2A ! - - -- -- (I) 2 "Ages. (44)

1 1 tiE-- t2E

am, i "Ages am, 2 "Ages

Kann diese Forderung erfiitlt werden? Zur Beantwortung dieser Frage ist es zweckm~Big, G1. (44) differentiell zu formulieren:

d ( t l - h ) = - - @2" d A . ( 4 5 )

tl (A) -- t2 (A)

Fiir die Differenz t~ (A) --t2 (A) erh~ilt man mit G1. (30) und G1. (31) und unter Beriicksichtigung yon G1. (21) nach einigen Umformungen

h (A) -- t2 (A) = q)1 a2

(I) 2 0~1 -~- 0{ 2 (t,E-t2E)" exp (--~2-A)-(1 +M),

(46)

und differentiell wird G1. (46) zu

a 2 d ( t l - t 2 ) = -@1 " m " ( q E - t2E)

a l - t - a 2

• exp (-- qg:. A)- (1 + M). dA. (47)

G1. (47) und G1. (46) werden dividiert, und man erh~ilt damit G1. (44), wie gefordert. Wichtig ffir die Giiltigkeit von G1. (45)

ist hierbei die Identit~t tier W~irmeiibergangskoeffizienten in G1. (43) und im Ausdruck @z der G1. (30) bzw. der G1. (31). Folgende Bedingungen miissen also erfiiUt sein:

~m, 1, Messung = a l , W~.rmetauseher

bzw.

am, 2, Messung = a2, W~irmetauscher

und damit

t W (A)Messung ~-- tW (A)w~i rme tausche r (wenn ~M .. . . . g = const).

(48)

Ebenfalls miissen die Obertragungsfl~ichen bei Messung und realem Betrieb iibereinstimmen, denn sonst gilt G1. (45) nicht. Dies ist ebenfalts nur unter Einhaltung der obigen Bedingungen mSglich. Also gilt G1. (1) nur in dem Fall, in dem die W~irmefbergangsverh~iltnisse von Messung und realem Betrieb iibereinstimmen. Diese Verh~Utnisse kommen im Wandtemperaturverlauf zum Ausdruck, denn dieser Verlauf kann nicht vorgegeben werden, sondern er stellt sich erst )e nach den vorliegenden W~irmeiibergangsverh~iltnissen ein. Weil aber nach Kap. 2.3 der W~meiibergangskoeffizient yon diesem Wandtemperaturverlauf abh~ngig ist, legt man bei Festlegung dieses Verlaufes den W/irmeiibergangskoeffizienten lest. Das heiBt also: Immer dann, wenn Bedingung (48) erf'tillt ist, werden die Gin. (40) und (42) in G1. (1) iibergehen. In allen anderen F/illen ist eine Berechnung yon W/irmedurch- gangskoeffizienten aus W/irmeiibergangskoeffizienten nicht erlaubt, auch nicht nach G1. (40) bzw. (42), denn die Bilanzen G1. (6) und G1. (7) sind dann nicht erffillt. Anhand dieser Ausfiihrungen wird deutlich, weswegen auch bei konstanten W~irmeiibergangskoeffizienten die Integration

A~o~ 1 1 krn" Ages = f

(49) J0 1 1 1 1

al a2 al "Ages ~2 "Ages

zu fehlerhaften Ergebnissen f'tihrt. Die Bedingung (48) wird n~nlich bei Anwendung yon G1. (49) stillschweigend vorausge- setzt, ohne dab iiberpriift wird, ob sie tats~ichlich vorliegt. Dies ist ersichtlich, wenn man G1. (49) anders formuliert. Mit G1. (2), analog auf Medium 2 angewandt, folgt aus G1. (49)

A ges 1

kin'Ages = So t l (A)-- tw(A) tw(A)--h(A) dA. (50)

dtl dt2

In G1. (50) kann man jetzt mit den Gln. (6) und (7) die aus Experimenten gewonnenen W/irmeiibergangskoeffizienten einsetzen:

km.Ages____ ~ 1 dh o g~,~'Age~'! t~(A)--tw(A)jM ... . . g

L dtl/dA lW/irmetauscher

159

i Ages 1 1 dh

+ ~m,z'Ages" ! tw (A) -h (A) M ..... g

tw(A)--t2(A)~ t- ' d A "I ~ -2 [~" _.lW~irmetauscher) "

Nach weiteren Umformungen erh~ilt man schlieBlich:

A ges t kin'Ages = ~ ~[ 1 o ( L am,1 "Ages

16o .( .(

(51)

ml 1719,1 /] Messung

~Xl JW~irmetauscher [_ ~m,z" Ages

0~¢m,2 : Ages ~ . (Fh2" Cp,2 ~ } - ida . Fill "£p,2 ,]]~,iessung \ 0~2 /'W~rmetauscher

(52)

Soll also der mittlere W~irmedurchgangskoeffizient aus den aus Messungen bestimmten mittleren W~irmeiibergangs- koeffizienten berechenbar sein, so muB gelten:

ml' Cp, 1//Messulag

bzw.

rh~ . cp,~ / ~ o ~ . ~ rn2 " Cp-:----~ w~met~ch0~'

(53)

so dab bMbt

a ,~ 1 dA.

1 + I

Die Bedingung (53), die der Bedingung (48) entspricht, wird also bei Anwendung yon G1. (1) einfach vorausgesetzt, obwohl sie, wie in den vorigen Kapiteln gezeigt, nie eingehalten wird.

Die bisherigen Betrachtungen galten aUe fiir konstante Wiirmeiibergangskoeffizienten. Es soll jetzt noch kurz unter- sucht werden, wann G1. (1) fiir ver~nderliche W~irmeiiber- gangskoeffizienten g'filtig ist. Hierzu betrachte man nochmals G1. (52). Sind e~ and ct 2 veriinderlich, so kann Bedingung (53) nicht erfiillt werden. Wenn man hingegen fordert, dab die Wiirmeiibergangskoeffizienten sich entsprechend G1. (34) verhalten sollen, so kann man z.B den Term cql(rh~'cp,1) aus dem Nenner ausldammern und die Integration nach G1. (3) durchfiihren. Bei ver~nderlichen Wiirmeiibergangskoeffizien- ten miissen also folgende Bedingungen erffillt sein, damit G1. (1) verwendet werden daft:

al _ ~ (--~ G1. (34)) /J~/1 " Cp, 1 rh2"CV,2

0~m, 1, M . . . . . g = 0~m, 1, W~metauscher (55)

~m, 2, Messung ~" O~m, 2, W~irmetauscher.

Bei gleichen Energiekapzit~itsstriSmen von Messung und realem Betrieb stellt sich dann auch derselbe Wandtemperatur- verlauf ein.

Die Bedingung (48) bedeutet physikatisch nichts anderes als die Forderung der Umrechenbarkeit der Temperaturvertei- lungen, die sich w~ihrend des Experimentes und des realen Betriebs einstellen, mittels eines zeitlich und 6rtlich konstan- ten MaBstabsfaktors. Da die Temperaturverteilung selbst wiederum die L6sung der Energiegleichung darstellt, beinhal- tet diese Umrechenbarkeit gleichzeitig die thermische Ahnlich- keit der Systeme. Die Konsequenzen der Ahnlichkeitsforde- rung soUen am Beispiel des Wandtemperaturverlaufes aufgezeigt werden. Die Wandtemperaturen zweier Systeme soUen sich zu jeder Zeit und an jedem Ort in einem kontanten Verh~iltnis befinden:

Tw, l _ 2 =fr~,= const (56) Tw,1

System II sei das reale System im W~irmetauscher, System I sei das System, an dem die Messungen durchgeftihrt werden. Der Wandtemperaturverlaufin System II entspricht einer Funktion des Typs GL (28):

T~.H (A) = ~ .exp ( --f . A) +f2, (57)

mit fi fl, f~ als beliebig w~ihlbare Konstanten. Jetzt kann man annehmen, dab auch der Temperaturverlauf Tw,~(A) einem solchen Ansatz gehorcht:

Tw, x(a) =gl" exp ( --g" A) + g2, (58)

mit g, gD g2 als beliebig w~hlbare Konstanten, wobei mit g= 0 auch der Fall konstanter Wandtemperatur enthalten ist. Somit wird G1. (56) zu

f~ "exp (--f" A) +.f2 =fT. = const (59)

gl"exp(--g" A) + g2

bzw.

d(f l" exp ( - - f 'A) +fz) =frw d(gl. exp (--g-A) +g2) da dA

(60)

G1. (60) wird ausdifferenziert, und man erh~ilt:

frw= f'f~ .exp {(g-- f ) .A}. (61) g'gl

Dies ist nur erfiillbar fiir g = f Dann wird G1. (59) zn

f~ 'exp(--g 'A)+f2=frw'{gx 'exp(--g 'A)+gz} . (62)

Dies entspricht

fl =frw'gl

und

f2 =frw.g2. (63)

Die Konstante f~ ist also um den Faktor frw grSBer als gl, und die Konstante f2 ist um den Faktor fr~ grSBer als g2. Die

fl + f2

gl +g2

f2

g~

TwI (A) bzw.TwII(A}

~ , ~ ~ ~ ~ Twz (A)

~'". ~ "'~. TWI[(A)

~A

Bild 4. Zwei m6gliche ~hnliche exponentielle Wandtemperaturver- l~ufe

Verliiufe Tw;I(A) und Tw, u(A) diirfen sich demzufolge nicht schneiden. Zwei/ihnliche Temperaturverliiufe k6nnten somit wie in Bild 4 dargesteUt aussehen.

Dies bedeutet nichts anderes als die selbstverstiindliche Tatsache, dab ein konstanter, linearer, parabelftirmiger usw. Temperaturverlaufniemals ~ihnlich sein kann einem exponen- tieUen Temperaturverlauf. Dieser einfache Sachverhalt wird bislang mit der Anwendung yon ffir vorgegebene Wandtem- peraturverl~iufe ermittelten W~meiibergangskoeffizienten auf W~metauscherprozesse mit hiervon abweichendem Wand- temperaturverlauf ignoriert. Oberdies erkennt man, dab zwei Exponentialfunktionen mit demselben y-Achsen-Abschnitt zur Erfiillung der Ahnlichkeitsbedingung exakt identisch sein miissen mit fT, = 1. Exponentialfunktionen mit gleichem y-Achsen-Abschnitt und unterschiedlicher Steigung k6nnen einander nicht ~hnlich sein. Entsprechendes l~i/3t sich natiirlich auch ffir die Medientemperaturen durchfiihren, wobei die thermodynamischen Mitteltemperaturen zu verwenden sind.

yon W~rmedurchgangskoeffizienten bei W~irmetauscherpro- zessen zu verwenden. Ebenso ist die gering~gige Verbesserung bestehender Korrelationen ffir die Nu-Zahl bzw. die Aufstel- lung immer genauerer Korrelationen nicht erforderlich, well gleichzeitig mit der bisherigen Vorgehensweise systematische Fehler bis zu 18% gemacht werden [2]. Vielmehr sollte man in Zukunft nur noch W~irmedurchgangskoeffizienten experimen- tell bestimmen und in Abh~ngigkeit der hydrodynamischen bzw. geometrischen Kennzahlen beider am W~irmeaustausch beteiligter Medien bzw. beider Str6mungskan~ile korrelieren. Mit der Festlegung der hydrodynamischen und geometrischen Kenngr~SBen fi~r den gesamten W~metauscherprozeB ist nSmlich der Wandtemperaturverlauf festgelegt und damit die thermische Ahnlichkeit yon zwei Systemen mit gleichen hydrodynamischen und geometrischen Kennzahlen gew~rlei- stet.

Literatur 1. VDI-W~irmeatalas 6. Auflage (1991) 2. ]anflen, H.: Die Beachtung der lokalen und integralen Energiebilan-

zen bei der Berechnung mittlerer W~irmedurchgangskoeffizienten. WSxme- und Stoffiibertragung 29 (1994) 129-139

3. Dittus, F.W.: Heat Transfer from Tubes to Liquids in viscous Motion. University of California Publications in Engineering 2, No. 11 (1929) 371-398

4. Hahnemann, H.W.: Zur W~irmefibergangszahlbei hydrodynamisch und thermisch ausgebildeter laminarer Rohrstr6mung. Forschung im Ingenieurwesen 18 (1952) 25-26

5. Bodnarescu, M.V.: Beitrag zur Theorie des W~irmefibergangs in laminarer Str6mung. VDt-Forschungsheft 450 (1954)

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4 Folgerungen fur die Bestimmung von W~rmedurchgangskoeffizienten W~irmeiibergangskoeffizienten werden immer fiir einen willkiirlich vorgegebenen Wandtemperaturvedauf experimen- tell errnittelt (meistens bei tw= const), weft sonst eine Auswertung der Messung nach G1. (6) bzw. G1 (7) nicht m6glich ist. Dieser vorgegebene Wandtemperaturverlaufwird sich im W/irmetauscher nur in Ausnahmef~len einstellen. In Kap 2 wurde dargestellt, dab W/irmeiibergangskoeffizienten vom Wandtemperaturverlauf abhS~ngen. Dann ist es jedoch falsch, den fiir einen vorgegebenen Wandtemperaturverlauf ermittelten W~irmeiibergangskoeffizienten zur Berechnung