Applied Analysis and Mathematical Physics T 201

wobei die Funktion

die Differenz zwischen der Funktion Q und der N-ten Partia.lsumme ihrer FouRIERreihe bedeutet. Es gilt a ) im Fall & ( t ) 2 0, t E [0, to] leistet die Funktion

CN := c N ( t ) = @(t) Max T N ( x ) , t E [0, to] und X € S

b) im Fall &(t) 5 0, t E [0, to] leistet die Funktion

cx := c ~ ( t ) = @ ( t ) Min rN(x) , t E [0, to] das Gewunschte. (15)

lim cN( t ) = 0 , t E [0, to] (16)

(17)

X € 3 Ferner gilt

N-tw und damit

lim uN(x, t ) = u(x, t ) , (x, t ) E 0, N + o o

d. h., die Schranken sind fur geeignetes N beliebig genau berechenbar. Analoge Ergebnisse erhalt man bei der Konstruktion von unteren Schranken.

Das Verfahren lieferte bei mehreren Beispielen gute Schrankenfolgen.

Li tcratur 1 BUTKOVSKIY, A. G., Distributed Control Systems, American Elsevier Publ. Comp., New/York/London/Amsterdam 1969. 2 PARKS, P. C., Some Applications of Liapunov Functionals, in: Instability of Continuous Systems, Herausgeber: H. Leipholz,

Springer Verlag, Berlin/Gottingen/Heidelberg/New York 1971, p: 129.

Anschrift: G ~ ~ N T E R SCREW, 75 Karlsruhe 41, Baslertorstr. 76, BRD

ZAMM 54, T 201 -T 202 (1974)

B. WERNER

Abschatzungen von Pro jektionen und Naherungen von Eigenelementen

1st A ein selbstadjungierter Operator in einem HILBERTraum X mit Definitionsbereich BA und ist eine Nahe- rung fur ein Eigenelement zum Eigenwert e0 von A, so kann die Gute der Naherung durch obere Schranken des Abstands d des Eigenraums &(Ao) zu 2 oder - hierinit aquivalent - durch untere Schranken von p : = 1 I P %I I abgeschatzt werden (a2 = 1 - p 2 ) , wobei P die orthogonale Projektion auf J v ( A o ) ist.

Die allgemeinere Frage, wie gut G durch eine Linearkombination von Eigenelementen benachbarter Eigen- werte approximiert werden kann, ist zumindest fur dicht benachbarte Eigenwerte von Interesse und fuhrt auf folgende Problemstellung (s. auch [ 11) :

Das Spektrum o(A) lasse sich disjunkt in o(A) = 0, u 02

mit 1; n 0; = 0 zerlegen, wo 1, = [E~,E, ] die konvexe Hulle von o, ist. Gefragt ist nach unteren Schranken von I I P &I 1 mit der orthogonalen Projektion

as P = dE(i l ) ,

a,-0

bzw. nach oberen Schranken fur den Abstand von 6 zum invarianten Teilraum P ( X ) von A . (Mit E(A) wird die zu A gehorende Zerlegung der Einheit bezeichnet). An Informationen uber % sollen wie in [1]-[4] nur

& E 2 = { u E 3, I I I U I I = 1, (A U, U ) = a,, I I A u - a1 U I I = E }

verwendet werden, d. h., es sind Schranken gesucht, die nur vom RayzEIGII-Quotieaten a, und dem Defekt E

abhiingen . Mit

pl = sup {A E o(A) , 1 <a,}, = inf { A E a(A) , il > a,} lafit sich beweisen;

T 202 Angewandte Analysis und Mathematische Physik

Satz 1: Seien

de) Zahl, die q(A) uuf > - 00, < + 00, q(A) = (A - PI)

9 a, + ___- n Il maximiert. Dunn gilt fur u E 3: - A), q(a,) > und l ~ , die (einfach zu berechnen-

a, -a

Ersetzt man in (1) p1 durch die q(A) auf ganz 1, maximierende Zahl y,, so erhalt man eine i. allg. etwas schwachere Abschiitzung von HADELER [I]. 1st Pl = - CO, o, also ein Randteil von a@), so kann man in (1) einen Grenziibergang /3, + - 00 durchfuhren. Jedoch konnen die so erhaltenen Schranken verbessert iverden, wenn A ein beschrankter Operator ist und die Zahl

y : = sup o(A) herangezogen wird :

L

1.

2.

3.

Satz 2: Seien = - cw, Pz 5 y < co, r(A) = (y - 1) (f12 -A), a, 5 pz und pz die Zuhl, die r(1) auf &2

[a, - ---, all n Il maximiert. Dann gilt f i ir u E 2 P 2 - a,

Bemerkungen: Zur numerischen Auswertung konnen in (l), (2) o(,, B2 durch untere und a2, P,, y durch obere Schranken er- setzt werden : man mu13 die spektralfreien Bereiche abschiitzen. Die Schranken (1) und (2) konnen unter alleiniger Ausnutzung der Information u E 3 nicht weiter verbessert werden, wenn iiber o, nur o, c I, = [a,, a2] bekannt ist. Fur a1 = a2 und diskretes Spektrum o(A) sind diese Resultate in [4] zu finden.

Literatur 1 HADELER, K. P., EinschlieDungssiitze bei normalen und bei positiven Operatoren, Arch. of Rat. Mech. and Anal. 21, 58-88

2 KATO, T., On the upper and lower bounds of eigenvalues, J. Phys. SOC. Japan 4,334-339 (1949). 3 RIEDER, G., Elementargeometrische Herleitung von EinschlieSungssiitzen fur Eigenwerte, ZAMM 48,207 -210 (1968). 4 WERNER, B., Optimale Schranken fur Eigenelemente selbstadjungierter Operatoren in der Hilbertraumnorm, erscheint im

(1965).

ISNM.

Amchrift: Dr. B. WERNER, Institut fur Angewandte Mathematik der Universitit, 2000 Hamburg 13, Rothenbaiimchaussee 41, BRD

ZAMM 54, T 202 -T 204 (1974)

P. WILDENAUER

T s ch e by s chef f -Verfahren in halbgeordneten topologischen Vektorraumen

Das TSCHEBYSCHEFP-Verfahen zur Losung nichtlinearer Operatorgleichungen P(z) = 0, das in BANACH- RSiumen bekannt ist ([l], [2]), wird auf halbgeordnete topologische Vektorraume iibertragen. Dcr angegebene EinschlieBungssatz enthalt Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen und wird auf eine &ummasEmuR-Integrab gleichung angewandt.

Eine Iterationsfolge (2,) heil3e TSCHEBYSCHEFF-Polge, wenn sie fur alle n E No: = { 0, 1, 2, . . .} den folgen- den Gleichungen genugt :

(3’: D c 2 - t W , A : W 2 Z ) :

A (W,) + F’tznl (%+l - zn)) = 0 , (1)

(2) 1

A (F(z.) + P”zn1 (z,+1 - 2,) + -g‘[Zn] (Z,+l - ..)2) = 0 . Es handelt sich insofern um eine VeraUgemeinerung, als durch Einfuhrung eines Operators A die Existenz inverser Operatoren vermieden wird, und zwar entsprechend [4] fur NEWTON-ahnliche Verfahren.

Die ubrigen benotigten Begriffe findet man bei VANDERGRAFT [3] definiert. Jedoch hei13e ein halb- geordneter topologischer VektorraumZ bereits dann normal, wenn fur je zwei Folgen (z,), (y,) in 2 mit der Eigen- schaft 0 5 Z, 5 Y, der SchluB (lim 9, = 0 lim x, = 0) gilt.