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Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

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Page 1: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Adaptive Modellierung

und SimulationKapitel 3:

Wissensbasierte Modellierung

Rüdiger Brause

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Gleichgewichtssysteme

EinführungModule und Subsysteme

Parameterschätzung

GrundelementeNichtlineare Systeme

Wissensbasierte Modellierung

- 3-2 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 3: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Wissenbasierte Modellierung - Ideen

Beispiel Antarktis: Eisbildung und Sonneneinstrahlung Albedo = Rückstrahlvermögen =

Rückstrahlenergie/Einstrahlenergie

Temperatur Eisfläche , Temperatur Eisfläche

Albeido Energieabsorption , Albeido Energieabsorption

Energieabsorption Temperatur , Energieabsorption Temperatur

- 3-3 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Wissenbasierte Modellierung - Ideen

Regelbasierte Formulierung WENN wächst_Eisfläche(t) DANN wächst_Albedo(t)

WENN sinkt_Eisfläche(t) DANN sinkt_Albedo(t)

WENN wächst_Temperatur(t) DANN sinkt_Eisfläche(t)

WENN sinkt_Temperatur(t) DANN wächst_Eisfläche(t)

WENN wächst_Albedo(t) DANN sinkt_Absorption(t)

WENN sinkt _Albedo(t) DANN wächst _Absorption(t)

WENN sinkt_Absorption(t) DANN sinkt_Temperatur(t)

WENN wächst_Absorption(t) DANN wächst_Temperatur(t)

- 3-4 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Wissenbasierte Modellierung - Ideen

Albedo

Absorption

Temperatur

Eisfläche

Temp.

+

+ –

Graph-basierte FormulierungStart

Frage: Warum keine Instabilität in der Realität?

Instabiles System!

- 3-5 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Weltmodellierung

Begriffe und Einflüsse

1. Bevölkerung2. Umwelt- und Ressourcenbelastung3. Konsum pro Kopf = Spezif. mater. Verbrauch pro

Kopf4. Versorgung5. Gesellschaftliche Kosten6. Gesellschaftliches Handeln

- 3-6 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 7: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Modellierung mit Wirkungsbeziehungen (1) WENN die Bevölkerungszahl wächst, DANN wächst auch die Umwelt- und

Ressourcenbelastung.

(2) WENN die Umwelt- und Ressourcenbelastung wächst, DANN wächst auch der spezifische materielle Verbrauch pro Kopf.

(3) WENN der spezifische Konsum pro Kopf wächst, DANN wächst auch die Umwelt- und Ressourcenbelastung.

(4) WENN der spezifische Konsum pro Kopf wächst (und damit die materiellen Bedingungen sich verbessern), DANN wächst die Versorgung

(5) WENN die Versorgung wächst, DANN wächst auch die Bevölkerungszahl.

(6) WENN die Umwelt- und Ressourcenbelastung wächst, DANN vermindert sich die Bevölkerungszahl.

(7) WENN die Umwelt- und Ressourcenbelastung wächst, DANN wachsen auch die gesellschaftlichen Kosten.

(8) WENN die gesellschaftlichen Kosten wachsen, DANN wird auch das gesellschaftliche Handeln zunehmen.

(9) WENN gesellschaftliches Handeln erfolgt, DANN wird bei zu starkem Bevölkerungswachstum durch geeignete Maßnahmen dieses reduzieren.

(10)WENN gesellschaftliches Handeln erfolgt, DANN wird bei zu hohem spezifischen materiellen Verbrauch pro Kopf diesen reduzieren.

- 3-7 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Modellierung mit Systemgraphen

Bevölkerungszahl

Umwelt-belastung

Konsum pro Kopf

Gesell. Kosten

Gesell. Aktion

+++

++

+

–Versor-gung

+

- 3-8 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Modellierung mit Systemgraphen

Randbedingungen: Nur direkte Einflüsse werden modelliert mit Pfeilen:

A B, B C, aber nicht A C

Alle anderen Beziehungen sind dabei „eingefroren“ (Sensitivitätsanalyse, kleine Störung)

Entstandene Graph gilt nur innerhalb eines Kontextes, z.B. die Ausgangssituation

- 3-9 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Modellierung - Systemdiagramm

Vorarbeiten: Unwirksame Knoten entfernen

z.B. „Resignation“ hat keine Senke

Nicht beeinflussbarer Kontext kann weggelassen werden z.B. die Quelle „Katastrophe“

Übergangsknoten (Unkritisches Element) kann weggelassen werden, wenn die Wirkung mit Folgeknoten zusammengefasst werden kann, z.B. (Gesell. Kosten, Gesell.Aktion) sowie (Konsum, Versorgung)

Wirkungen werden mit Gewichten versehen

Gewichteter und gerichteter Graph. Adjazenzmatrix = Systemmatrix

- 3-10 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Modellierung mit Systemgraphen

Bevölker-ungszahl

Umwelt-belastung

Konsum pro Kopf

Gesell. Aktion

+1.1 +1 +0.3 +C

+1

–1

–0.1

–0.1

Das Wirkdiagramm

B U K G B 0 -0.1 0.3 -0.1 U 1.0 0 1.0 0.0 K 0.0 1.1 0 -1.0 G 0.0 C 0.0 0

Die SystemmatrixWirkung von

Wirk

ung

auf

• gerichteter Graph• gewichteter Graph

- 3-11 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 12: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Modellierung mit Systemgraphen

Wichtige Systemgrößen

Aktive/passive Knoten, z.B. U: Si / Zi = max

Zi

= (0.1+1.1+0.3) /2 = 0.75

Aktivster Knoten = ? Si

Kritische/puffernde Knoten: beeinflussen viel, werden viel beeinflusst.Si Zi = max

Wirkung von

B U K G B 0 -0.1 0.3 -0.1 U 1.0 0 1.0 0.0 K 0.0 1.1 0 -1.0 G 0.0 C 0.0 0

jij

A

ijj

A

- 3-12 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Modellierung mit Systemgraphen

Wirkungsarten t t+1

Absolute Veränderung:

Zustandsdynamik zi(t+1) = zi(t) +

Relative Veränderung:Pulsfortpflanzung zi(t+1) = zi(t) +

j jalle Vorgänger

w z

j jalle Vorgänger

w z

Auswirkungen der Gewichte sind sehr verschieden, je nach Interpretation !

- 3-13 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 14: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Modellierung mit Systemgraphen

Stabilität

Rückkopplung ?6 Zyklen möglich!

B,U,BB,U,G,BB,U,K,BB,U,G,K,BU,K,UU,G,K,U

Bevölker-ungszahl

Umwelt-belastung

Konsum pro Kopf

Gesell. Aktion

+1.1 +1 +0.3 +C

+1

–1

–0.1

–0.1

Dynamik ist abhängig von Kontrollparameter C

- 3-14 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Das Mini-Weltsystem

Systemverhalten Pulspropagierung

- 3-15 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 16: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Das Mini-Weltsystem

Wann ist das System stabil ?

Rechnung: Pulsmodell, Zustandsmodell.

- 3-16 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 17: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Das Mini-Weltsystem

Wann ist das System stabil ?

Lösung: direkte Rückkopplung mit Exponentialfunktion.

z

dzdt

w

w > 0

w = 0

w < 0

0 t

z(t) = z(0) wte

- 3-17 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Das Mini-Weltsystem

Elimination von Hilfsgrössen ohne GedächtnisBeispiel: G(t) = 0

Bildung der differentiellen Formz(t+1) - z(t) = Az , t = 1z‘ zt = Az kleine Zeitschritteso dassz(t+1) = z(t) + z‘t Euler-Cauchy-Integration

Visualisierung durch den Wirkgraphen mittels Blöcken

- 3-18 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Das Mini-Weltsystem

Systemverhalten Pulsdynamik

Bevölkerung Umwelt

Konsum

0,3

– 0,1C

– C

– 0,1

1

1,1 1

- 3-19 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Systemmodellierung

Simulation von ZustandsmodellenGegeben: Differentialgleichungen.

Gesucht: zeitl. Funktion zum Darstellen.

Lösung: numerische Integration

Mittelwertsatz: ex. t0 mit =

so dass z(t+t) z(t) + t Euler-Cauchy-Integration

Also: z(t+t) := z(t) + Az(t) t lineares System

0d (t )dt

z (t t) (t)t

z z

d (t)dtz

- 3-20 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Das Mini-Weltsystem Simulation Zustandsmodell

- 3-21 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Gleichgewichtssysteme

EinführungModule und Subsysteme

Parameterschätzung

GrundelementeNichtlineare Systeme

Wissensbasierte Modellierung

- 3-22 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Modellierung: Erweitertes Weltmodell

Problem: Komplexes Gesamtsystem

Lösung: Unterteilung in Subsysteme Einzelmodellierung der Subsysteme

Bevölkerung Umwelt

Konsum

0,3

– 0,1C

– C

– 0,1

1

1 – 1,1

- 3-23 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Subsystem 1: Bevölkerungsentwicklung

Modellierung der Geburten und Sterbefälle

Geburten und Sterbefälle pro Jahr ~ Bevölkerungsgröße

B

*

*

CB

CD

+1

–1

B0

dtdB= +1CB

B

dtdB= – 1CD

B

- 3-24 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Subsystem 2: Umweltbelastung

Modellierung des Abbaus über die Zeit Abbau pro Zeit ~ Umweltbelastungsgröße Konstante Belastungsvorgabe S von außen System wird schlechter bei Überlast

U0

S U * CU

–1 dtdU = S–CUU bei U < U*

U0

S U * CU

–1

U*

dtdU = S–CUU* U > U*

- 3-25 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Subsystem 2: Umweltbelastung

Visualisierung der Entscheidung Definition eines Umschaltelements

c

<0 >0ba

If c < 0 THEN z := aELSE z := b

z

- 3-26 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Subsystem 2: Umweltbelastung

Visualisierung der Entscheidung Benutzung eines Umschaltelements

U0 S U *

CU

–1

1

1 –1

U* *

+

%

<0 >0dtdU

dtdU

UU*

= S – CUU bei Q > 1,

= S – CUUQ = S – CUU

sonst

- 3-27 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Subsystem 3: Konsumentwicklung

Modellierung des Konsums Konsum hat eine endliche Grenze K* Konsumerhöhung wird schwieriger, je dichter an der Grenze

dK/dt ~ (1-K/K*)

K0

1

K * CK

+1

f

+ * –1

= CK K (1– )

= CK K (1–f K)

dtdK

*KK

- 3-28 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Mini-Weltmodell: Gesamtsystem

Verknüpfungen

Umweltschäden erhöhenSterberate

Umweltschäden erzwingen Geburtenkontrolle

Bevölkerungsgröße und Konsum bewirken Umweltschäden

Umweltbelastung provoziert med. Konsum

Konsum erhöht Lebenserwartung

Mehr Umweltverschmutzung möglich

*

B

*

*

CB

CD

–1

<0 >0

U CU

–1

1 –1

U* *

+

%

* CE

1

K * CK

+1

+ * –1

Bevölkerung Konsum

Umweltbelastung

CF

CG

Bevölkerung Umwelt

Konsum

0,3

– 0,1C

– C

– 0,1

1

1 1,1

- 3-29 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 30: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Bevölkerung Umwelt

Konsum

– 0,1

1

0,3

g

f

1 – 1,1 *

Das Mini-Weltsystem

Gesamtsystem aus Modulen

Äquivalenz durch Linearisierung

Addition statt Multiplikation bei B=K=1

(1+B)(1+K) = 1 + B + K + ...

Bevölkerung Umwelt

Konsum

0,3

– 0,1C

– C

– 0,1

1

1 – 1,1

Übersichtssystem

- 3-30 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 31: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

dtdK = UCK K (1– UCFK)

mit CF = 1/K*

dtdU = CEBK – CUU bei U< U*,

sonst

dtdU = CEBK – CUU*

Das Mini-Weltsystem

ModulsystemÜbersichtssystem

dtdB = (CB – CD)B

dtdK = CK K (1– *K

K )

dtdU = S–CUU bei U < U*

sonst

dtdU = S–CUU* U > U*

dtdB = CB B K CG

UU*

– CD BU

- 3-31 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

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Das Mini-Weltsystem

Simulation des Systems: Konsumkontrolle

Keine Kontrolle CF = 0.0 geringe Kontrolle CF = 0.03

starke Kontrolle

CF = 1.0

Bevölkerung

Umwelt-belastung

Konsum

100 200 300 400 Zeit

- 3-32 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 33: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Das Weltmodell von Meadows 1972Realer Fluss

Einfluss

- 3-33 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 34: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Das Weltmodell von Meadows 1972

Simulationsergebnisse

Doppelte Ressourcen

1900 2000 2100

Einfache Ressourcen

1900 2000 2100

1970 1970

*

- 3-34 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 35: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Gleichgewichtssysteme

EinführungModule und Subsysteme

Parameterschätzung

GrundelementeNichtlineare Systeme

Wissensbasierte Modellierung

- 3-35 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 36: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Eingabevariable x(t) = (x1(t), xn(t))T

Zustandsvariable z(t) = (z1(t), zm(t))T

Ausgabevariable y(t) = (y1(t), yn(t))T

System S

y

VerhaltenEinwirkungen, Kontext

x

t

z F

g

z(t) = F(z(t),x(t),t) dtdz = f (z(t),x(t),t)

y(t) = g(z(t),x(t),t)

- 3-36 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 37: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Simulationsalgorithmus

Vorgabe des Kontextrahmens: Alle Anfangswerte z(t0), alle festen Parameterwerte

WHILE t < tmax DO

Ermittlung der Eingabe und zeitabh. Kontextes x(t)

Berechnung der Veränderungsraten z'(t) = f(z,x,t)

Integration der Raten (neuer Zustand) z(t) = z(t0) +

Berechnung der Ausgabe y(t) = g(z,x,t)

ENDWHILE

´dt´)t('t

0z

- 3-37 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 38: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Zustände

Systemverhalten: Eingabe x & Zustände z reichen aus

Zustandszahl m = „Dimension“ des Systems

Erkennen von Zuständen: Sie sind „träge“

Zustände modellieren Speichergrößen des Systems wie Energie, Masse, Information, Populationen

sowie träge Variable wie Förderbänder, Warteschlangen oder Transportverzögerungen

- 3-38 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 39: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Zustände Die Wahl der Zustandsvariable ist nicht eindeutig !

h h V

Zufluss

Abfluss

Beispiel: Speicherbecken Breite b, Länge g

Mögliche Zustandsvariable:

Höhe h,

Volumen V = hbg

Wassermasse M = aV = ahbg

Eine davon reicht: Dimension m=1

- 3-39 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 40: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Zustandsänderung des Speichers konstante Zuflussrate rZ

konstante Abflussrate ra

Integration

V(t) = V0 + ( rz – ra) t = V0 + Vz(t) – Va(t)

Systemverhalten

Vz(t) – Va(t) > 0 Speicher läuft über

Vz(t) – Va(t) < 0 Speicher wird leer

V rz ra –1

- 3-40 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

tlim

Vt

= dVdt

= rz – ra

Page 41: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Normierung der Zustandsvariablen

Beispiel: kinet. Energie Je größer die Masse m, umso größer die kinetische Energie E Je größer die Geschwindigkeit v, umso größer die kinetische Energie E

Mögliche Modellierung: E ~ m, E ~ v E ~ mv

Aber: Einheiten sind E: [Joule]= [kgm2/s2], m:[kg], v:[m/s]

E [kgm2/s2] ≠ [kgm/s] mv

Besser ist die Interpretation

E ~ mv2 [kgm2/s2] Test auf

Konsistenz

- 3-41 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 42: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Normierung der Zustandsvariablen

Besser: Normierung auf dimensionslose Größen

z.B. Volumen: Aus V(t) = V0 + Vz(t) – Va(t) [m3]

mit U(t) = V(t)/V(0)

wird U(t) = 1 + Uz(t) – Ua(t) dimensionslos

z.B. ZeitAus

mit = t /T, u(t) = z(t)/z(0)

wird dimensionslos

z(t) = F(z(t),x(t),t)

u() = F(u(),x(), T) - 3-42 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 43: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Systeme ohne Zustandsvariablen

y(t) = g(x(t),t)

Beispiel: y = a sin2(kt)

k

t

* sin * a

- 3-43 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 44: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Systeme mit einer Zustandsvariablen

z'(t) = wz(t) exponentielles Wachstum

z'(t) = a(t) – wz(t) exponentielle Verzögerung

z dzdt

–w

a(t)

- 3-44 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 45: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Systeme mit einer Zustandsvariablen

Beispiel: Speicherbecken

Annahme: Abfluss des Wassers aus dem Speicherbecken

(d.h. dVa/dt) wird mit sinkender Wasserhöhe h

durch den Druckabfall p ~ h auch proportional geringer.

Rechnung: Systemverhalten

- 3-45 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 46: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Systeme mit einer Zustandsvariablen

Lösung: Speicherbecken

V(t)

t

A0

V0

V(t) = A0 + (V0–A0) 0( t t ) / Te

- 3-46 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 47: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Systeme mit einer Zustandsvariablen

Beispiel: Konsumentwicklung bei max. Konsum z*

z' (t) = az(z*–z) unnormiertes logistisches Wachstum

z' (t) = az(1–bz) mit b = 1/z* normiertes logist. Wachstum

Zeit t

z(t)

z*

- 3-47 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

z* > z

Page 48: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Systeme mit zwei Zustandsvariablen

u' = f(u,v)

v' = g(u,v)

z.B.

u' = v

v' = –au

Lösung: Ableitung

u'' = v' = –au

v'' = –au' = –av

Typ x'' = –ax

Lösung: x(t) = A sin(+t) Oszillationen

x' = A cos(+t),

x'' = –A2 sin(+t) = –2x

Exp.Dämpfung durch v' = –bv

- 3-48 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 49: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Systeme mit zwei Zustandsvariablen

u' = f(u,v)

v' = g(u,v)

z.B.

u' = v

v' = –au

Mit Dämpfung

u' = v

v' = –au –bv

Allgemein

u' = au + bv

v' = cu + dv

Systemgraph

u v

a

d

b

c

- 3-49 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 50: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

Systeme mit zwei ZustandsvariablenAllgemein

u' = f(u,v)

v' = g(u,v)

Lineares System

u' = au + bv

v' = cu + dv

z' = A z Lineares System

Stabiles System ?

- 3-50 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 51: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Grundelemente

lineare Systemez' = A z Lineares System

Lösung: z(t) = z0et mit = r + i.

Euler-Form: et = e(r + i) = ert eit = ert (cos t + i sin t)

Re() < 0 : stabil; komplex : Oszillationen

- 3-51 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 52: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Lineares System

Systemverhalten

< 0

= 0 > 0

1,2 = p2

2pi q

2

= i

- 3-52 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 53: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Lineares System

Systemverhalten

< 0

= 0 > 0

1,2 = p2

2pi q

2

= i

> 0

< 0

- 3-53 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 54: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Lineares System

Systemverhalten

< 0 = 0

1,2 = p2

2pi q

2

= i = 0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

-1 -0,5 0 0,5 1

u

v

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

-10 -5 0 5 10

u

v

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,5 0 0,5 1

u

v

> 0

- 3-54 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 55: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Lineares System

Systemverhalten 1,2 = p2

2pi q

2

= i > 0

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,5 0 0,5 1

u

v

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,5 0 0,5 1

u

v-40

-30

-20

-10

0

10

20

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 -0,5 0 0,5 1

u

v

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

> 0 = 0 < 0

- 3-55 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 56: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Gleichgewichtssysteme

EinführungModule und Subsysteme

Parameterschätzung

GrundelementeNichtlineare Systeme

Wissensbasierte Modellierung

- 3-56 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 57: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Nichtlineare Kopplung

Beispiel: Populationsdynamik

Population mit Anzahl N1

Population mit Anzahl N2

Einfachster Fall: feste Geburt- und Todesraten.

1dNdt

= (1 – 1) N1

2dNdt

= (2 – 2) N2

- 3-57 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 58: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Nichtlineare Kopplung

Beispiel: Populationsdynamik

Kopplung: Futterkonkurrenz

i = i + ci (N1+N2) i = 1,2 Sterberate

1dN

dt = (1 – i – c1 (N1+N2) )N1

2dNdt

= (2 – i – c2 (N1+N2) )N2

- 3-58 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 59: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Nichtlineare Kopplung

Beispiel: Populationsdynamik

Kopplung: Räuber-Beute

1 = 1 – c1N2 Fressen von Spezies 22 = 2 + c2N1 Gefressen werden von Spezies 1

1dN

dt = (1 – 1 + c1N2)N1 = a1N1 + c1N1N2 Räuber

2dNdt

= (2 – 2 – c2 N1)N2 = a2N2 – c2N1N2 Beute

- 3-59 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 60: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Nichtlineare Kopplung

Beispiel: Populationsdynamik

Kopplung: Räuber-Beute

1 = 1 – c1N2 Fressen von Spezies 22 = 2 + c2N1 Gefressen werden von Spezies 1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

N1

N2

0 20 - 3-60 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 61: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Nichtlineare Kopplung

Beispiel: Bistabile SchwingerKopplung:

u' = b v b>0v' = c u(1-u2) + d v c>0, d<0

- 3-61 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 62: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Nichtlineare Kopplung

Beispiel: Bistabile chaotische Schwinger

Kopplung: Anregung mit f(t) = cos(wt)u' = b v b>0v' = c u(1-u2) + d v + r f(t) c,r>0, d<0

- 3-62 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 63: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Nichtlineare Kopplung

Aktivator-Inhibitor-DynamikBeispiel: Muschelzeichnung

- 3-63 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 64: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Aktivator-Inhibitor-Dynamik

Stabilisierung eines Aktivators durch Inhibition

Aktivator

u' = u (u – 1)

Inhibitor

v' = u2 – v Gleichgewicht bei u2=1

Kopplung Inhibitor-Aktivator u' = u (u/v – 1) = u2/v – u

v' = u2 – v

Autokatalyse: bei u<1 ist u'<0, bei u>1 ist u'>0

- 3-64 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 65: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Aktivator-Inhibitor-Dynamik

Stabilisierung eines Aktivators durch Inhibition

Aktivator u' = bu + su2/v – ruu + cu

2

2

ux

Inhibitor v' = bv + su2 – rvv + cv

2

2

vx

Zellwechselwirkung: Änderung der örtlichen Änderung nötig!

- 3-65 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 66: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Aktivator-Inhibitor-Dynamik

Stabilisierung eines Aktivators durch Inhibition

- 3-66 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 67: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Aktivitäts-Hemmungs-Dynamik

Stabilisierung eines Aktivators durch Substratabbau

Aktivator

Substrat

u' = bu + su*2v – ruu + cu2

2

ux

v' = bv – su*2v – rvv + cv2

2

vx

u*2 = 2

2u

u1 s u

mit Sättigung

- 3-67 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 68: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Aktivitäts-Hemmungs-Dynamik

Stabilisierung des Aktivators beim Wachstum

- 3-68 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 69: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Aktivitäts-Hemmungs-Dynamik

Stabilisierung des Aktivators beim WachstumBiologische Pigmentierungs-Erscheinungsformen

Aktivator-Inhibitor Aktivator-Substrat

Dynamik-Simulation

- 3-69 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 70: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Aktivitäts-Hemmungs-Dynamik

Vergleich der Stabilisierungsarten beim Wachstum

- 3-70 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 71: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Aktivitäts-Hemmungs-Dynamik

2-dimensionale Erweiterung: geringe Inhibitorreichweite

- 3-71 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 72: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Aktivitäts-Hemmungs-Dynamik

2-dimensionale Erweiterung: starke Inhibitordiffusion

- 3-72 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 73: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Gleichgewichtssysteme

EinführungModule und Subsysteme

Parameterschätzung

GrundelementeNichtlineare Systeme

Wissensbasierte Modellierung

- 3-73 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 74: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Dynamik des Speichers

Gleichgewicht in der Badewanne

V(t)

t

A0

V0

V(t) = A0 + (V0–A0) 0( t t ) / Te

- 3-74 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 75: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Dynamik des Speichers

Gleichgewicht in der Badewanne

Resultierende Abflussrate

Abflussrate Zuflussflussrate

t0 t

- 3-75 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 76: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Dynamik des Speichers

t0 t

V0

A0 Gesamtvolumen

Abflussvolumen

Zuflussvolumen

Gleichgewicht in der Badewanne

- 3-76 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 77: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Gleichgewichtsmodellierung

Waren-Preisgleichgewicht

y*

War

enm

enge

y

x* Preis x

yp(x)

yk(x)

- 3-77 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 78: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Gleichgewichtsmodellierung

Waren-Preis-Dynamik

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

x

yk

yp

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 yp

yk

- 3-78 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 79: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Gleichgewichtsmodellierung

Steuerpolitik

- 3-79 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 80: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Gleichgewichtsmodellierung

Steuerpolitik (Inst.f.Arbeitsmarkt und Berufsforschung)

- 3-80 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 81: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Gleichgewichtsmodellierung

Steuerpolitik

- 3-81 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 82: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Gleichgewichtssysteme

EinführungModule und Subsysteme

Parameterschätzung

GrundelementeNichtlineare Systeme

Wissensbasierte Modellierung

- 3-82 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 83: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Parameterschätzung

Newton-Raphson Methode

x1 x2 x*

f(x1)

f '(x1)

f(x)

x

- 3-83 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 84: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Parameterschätzung

Beispiel: Parameterschätzung eines Prozesses

Zeit t

Zeit t

Eingabe x

Ausgabe y

Eingabe/Ausgabe bei c=0,8 Schätzung von c mit Zielfunktion

Param c

R(c)

c* = 0,8015

- 3-84 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 85: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Beispiel RWI-Konjunkturmodell

Variablen des Modells (10 von ca. 130)

- 3-85 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 86: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Beispiel RWI-Konjunkturmodell

Gleichungen des Modells (4 von ca. 46) a) Modell48 b)Modell51

- 3-86 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 87: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Beispiel RWI-Konjunkturmodell

Gleichungen des Modells

- 3-87 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 88: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Beispiel RWI-Konjunkturmodell

Verbesserung des Modells

- 3-88 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 89: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Parameterschätzung

Schritte der Parameterschätzung bei Gleichgewichtssystemen

- 3-89 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 90: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Parameterschätzung

Schritte der Parameterschätzung bei Gleichgewichtssystemen

Statistiken

fachliche

- 3-90 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 91: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Parameterschätzung

- 3-91 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 92: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Parameterschätzung

- 3-92 -R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung

Page 93: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Parameterschätzung

Schätzungsproblem: Modellkomplexität Genauigkeit vs. Einfachheit Overfitting vs. Generalisierung

2 Modelle, gleiche Parameterzahl k. Frage: Welches davon nehmen? Antwort: Dasjenige, das einfacher ist (weniger Fehler bei

weiteren Samples).

Kriterien für „Einfachheit“ (Modellkomplexität) Akaike information criterion AIC = 2k – 2ln(L) (Akaike 1974) 2 – Test (Chi-Quadrat-Test) = reduziert AIC zu 2k+ 2

Leave-one-out cross-validation = AIC asymptotisch bei lin. Regression Mallows's Cp = AIC bei Gauss‘scher lin. Regression

Bayesian information criterion BIC = log(n)k – 2ln(L)

R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung - 3-93 -

Page 94: Adaptive Modellierung und Simulation Kapitel 3: Wissensbasierte Modellierung Rüdiger Brause

Parameterschätzung: Modellkomplexität

R.Brause, Teil 3: Wissensbasierte Modellierung - 3-94 -