NICOLS MARIN MIRIAM MARMARAMECNICA CUNTICA II

La composicin de los momentos angulares es muy importante para el entendimiento de fenmenos subatmicos.

Ejemplo el momento total del electrn esta compuesto de dos partes: parte orbital L y parte del espn S.

Vamos a considerar dos momentos angulares J1 y J2, los cuales satisfacen las relaciones habituales de conmutacin :

Conjunto de eigenestados de J1 y J2 son

De tal manera que

Y las dimensiones de los espacios que pertenecen J1 y J2 vienen dados por y .

Operadores

Base

Dimensin

Consideremos ahora las dos partculas (o subespacios) 1 y 2 juntos. Los operadores forman un conjunto completo por lo que se pueden diagonalizar por el mismo conjunto de eigenestados. Ya que las coordenadas de J1 y J2 son independientes,

por lo que escribimos

Los kets forman una base completa y ortonormal

Utilizando

Y si y son completos y ortonormales llegamos a que la base es completa y ortonormal.

La base abarca el espacio total que hacen los sub 1 y 2. Dimensin total

Operadores escaleras

El problema de sumar es encontrar los eigenestados y eigenvectores en trminos de 1 y 2 . Adems las matrices tienen dimensin diferente por lo que no es suma de matrices. J satisface las relaciones de conmutacin y notemos que conmutan de forma conjunta, esto puede ser cerciorado por la relacin :

A pesar de eso, no conmutan separadamente

forman un conjunto de operadores completos, pueden ser diagonalizados por los mismos estados. Este conjunto de eigenestados son:

Para cada j, para m existen 2j +1 valores, como j1 y j2 son fijos, cambiamos la notacin a los cuales cumplen:

El espacio donde J opera es abarcado por esta base, ESPACIO DEL PRODUCTO

El problema consiste en encontrar los eigenestados de y y la expresin de los estados en trminos de

Transformacin: Insertamos el operador identidad como una suma de la base completa

Estos coeficientes son tomados para ser reales, por lo tanto

El problemas de la adicin se reduce a encontrar estos coeficientes

Coeficientes de Clebsch-Gordan:elementos de la matriz de transformacin que conecta ambas bases.

Relacin de ortonormalizacin para estos coeficientes

Y como los coeficientes son reales

Del mismo modo

Vamos a encontrar los eigenvalores j y m en trminos de j1, j2, m1 y m2, como entonces m= m1 + m2. j?

Sabemos que

Esto nos lleva a

Ahora sigue encontrar jmin , necesitamos usar el hecho de que existen (2j1+1)x(2j2+1) eigenkets. A cada valor de j le corresponden (2j+1) eigenestados

La demostracin se hace mas adelante

2

Por lo que los valores de j

Los coeficientes desaparecen a menos que m=m1+m2, tenemos que

Adems

Por lo tanto

S

2

Entonces para que los coeficiente de C-G no sean cero debemos tener:

Que son conocidos como reglas de seleccin de los coeficientes de Clebsch-Gordan

2

A partir de muestre que

Solucin:Trabajemos primero del lado izquierdo, la cual podemos escribir como suma aritmtica, recordemos que Jmax=j1+j2, adems la suma tendr

trminos.

Esta suma la podemos representar de dos maneras equivalentes, podemos sumar desde el mximo al mnimo o del mnimo al valor mximo.

Sumando estas dos series termino a termino, obtenemos

Como son trminos iguales uno de ellos lo multiplicamos por el numero de trminos que ya habamos mencionado:

Pegando este resultado al lado derecho de la suma tenemos:

Entonces finalmente