ใบความรท 2 ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร ใหนกเรยนพจารณาสถานการณตอไปน ถานกเรยนทราบเพยงวา “ปงและปองมหนงสอรวมกน 9 เลม” นกเรยนบอกไดแนนอนหรอไมวาปงมหนงสอกเลมและปองมหนงสอกเลม ถาให x แทน จ านวนหนงสอของปง y แทน จ านวนหนงสอของปอง เราสามารถเขยนขอความขางตนเปนประโยคสญลกษณไดวา 9yx จะเหนไดวาค าตอบของสมการนมหลายค าตอบไดแก (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2) และ (8, 1) ดงนนนกเรยนจะไมทราบแนนอนวาปงมหนงสอกเลม และปองมหนงสอกเลม ถานกเรยนทราบขอมลเพมขนอกวา “ปองมหนงสอนอยกวาปง 5 เลม” นกเรยนจะทราบแนนอนหรอไมวา ปงและปองมหนงสอคนละกเลม เราสามารถเขยนขอความ “ปองมหนงสอนอยกวาปง5 เลม” เปนประโยคสญลกษณไดวา 5yx ค าตอบของสมการนมหลายค าตอบ เชน (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4) แตเมอพจารณาค าตอบของสมการ 9yx และ 5yx จะเหนวา (7, 2) เปนค าตอบเดยวทสอดคลองกบสมการทงสอง ดงนนเมอทราบขอมลเพมขน นกเรยนจะทราบแนนอนวาปงมหนงสอ 7 เลม และปองมหนงสอ 2 เลมและน าไปเขยนกราฟไดดงน จ านวนหนงสอของปอง (เลม)

จ านวนหนงสอของปง (เลม) ตอไปนเราจะ เรยก 9yx 5yx วา และเรยก (7, 2) วา

ใบความรท 1.2 ระบบสมการเชงเสน

(7,2)

12

ให a, b, c, d, e, และ f เปนจ านวนจรงท a, b ไมเปนศนยพรอมกนและ c, d ไมเปนศนยพรอมกน เรยกระบบทประกอบดวยสมการ ebyax fdycx วาระบบสมการเชงเสนสองตวแปรทม x และ y เปนตวแปร กลาววา a และ c เปนสมประสทธของ x b และ d เปนสมประสทธของ y ค าตอบของระบบสมการเชงเสนสองตวแปร คอ คอนดบ (x, y) ทสอดคลองกบสมการทงสอง หรอคอนดบ (x, y) ทคา x และคา y ท าใหสมการทงสองของระบบสมการเปนจรง

จะตองมความรพนฐานอะไรบางนะ ?

ถงจะสามารถหาค าตอบ

ของระบบสมการได

สงทจะตองท าความเขาใจกคอ ค าตอบของระบบสมการ

ระบบสมการอาจจะมค าตอบเดยว ไมมค าตอบ หรอมหลายค าตอบ

ดงแสดงในตวอยางตอไปนะ

ความรพนฐาน มดงน

1. การเขยนกราฟของสมการเสนตรง 2. สมบตการเทากนในระบบจ านวนจรง

และใชความรพนฐานดานอน ๆ

13

ใหนกเรยนพจารณาการหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนสองตวแปรดวยการเขยนกราฟของแตละระบบสมการบนระนาบโดยใชแกนคเดยวกน ดงตวอยางตอไปน

จงหาค าตอบของระบบสมการ 3x3y

2x2y วธท า เขยนกราฟของสมการทงสองไดดงน

จากกราฟ จะเหนวามคอนดบมากมายทเปนค าตอบของสมการ 3x3y และมคอนดบมากมายทเปนค าตอบของสมการ 2x2y เนองจากกราฟของสมการทงสองเปนเสนตรงทงสองเสนซงตดกนทจด (1, 0) เพยงจดเดยว แสดงวามคอนดบเพยงคเดยวคอ (1, 0) ทเปนค าตอบของระบบสมการ ดงนน ระบบสมการนจง

คงไมลมวธเขยนกราฟนะจะ หาจดตดบนแกน Y โดยให x=0 แลวค านวณหาคา y หาจดตดบนแกน X โดยให y=0 แลวค านวณหาคา x

แลวลากเสนตรงเชอมจดทงสอง

14

จงหาค าตอบของระบบสมการ 2xy

2xy วธท า เขยนกราฟของสมการทงสองไดดงน

จากกราฟ จะเหนวามคอนดบมากมายทเปนค าตอบของสมการ 2xy และมคอนดบมากมายทเปนค าตอบของสมการ 2xy เนองจากกราฟของสมการทงสองเปนเสนตรงทงสองเสนซงขนานกน จงไมมคอนดบเปนค าตอบของสมการทงสอง ดงนน ระบบสมการน

15

จงหาค าตอบของระบบสมการ 8x2y4

2x21

y

วธท า เขยนกราฟของสมการทงสองไดดงน

จากกราฟ จะเหนวามคอนดบมากมายทเปนค าตอบของสมการ 824 xy และ

มคอนดบมากมายทเปนค าตอบของสมการ 221 xy

เนองจากกราฟของสมการทงสองเปนเสนตรงทงสองเสนซงทบกน แสดงวา คอนดบ ทกคอนดบทเปนพกดของจดเปนเสนตรงททบกนน เปนค าตอบของระบบสมการ ดงนน ระบบสมการนจง

16

จากตวอยางทกลาวมาขางตนเมอจดสมการใหอยในรป baxy สรปไดดงน ก าหนดให 111 bxay เมอ 1a คอ ความชนของเสนตรง และ 1b คอ จดตดบนแกน Y และ 222 bxay เมอ 2a คอ ความชนของเสนตรง และ 2b คอ จดตดบนแกน Y 1) ถาความชนไมเทากน 21 aa กราฟของเสนตรงทงสองจะตดกน แลวระบบสมการจะม

2) ถาความชนเทากน 21 aa แตจดตดบนแกน Y ตางกน 21 bb กราฟของเสนตรงทงสองจะขนานกน แลวระบบสมการจะ

3) ถาความชนเทากน 21 aa และจดตดบนแกน Y เปนจดเดยวกน 21 bb หรอ เปนสมการเดยวกนกราฟของเสนตรงทงสองจะทบกน แลวระบบสมการจะม

17

จงตรวจสอบวาระบบสมการมค าตอบเดยว ไมมค าตอบหรอมหลายค าตอบ โดยไมตองเขยนกราฟ

1) 4y-x , 2y2x วธท า สมการท 1 4y-x จดสมการใหอยในรป baxy ได y = x -4 ม 1a1 และ 4b1 สมการท 2 2y2x จดสมการใหอยในรป baxy ได y = -2x +2 ม 2a2 และ 2b2

เนองจากความชนไมเทากน 21 aa กราฟตดกน ดงนนระบบสมการจะมค าตอบเดยว

2) 12y-x , 24y-2x วธท า สมการท 1 12y-x จดสมการใหอยในรป baxy

ได 21

21

y x ม 21

a1 และ 21

b1

สมการท 2 24y-2x จดสมการใหอยในรป baxy

ได 21

21

y x ม 21

a 2 และ 21

b2

เนองจากความชนเทากน 21 aa และ 21 bb กราฟทบกน ดงนน ระบบสมการจะมหลายค าตอบ

3) 6-2y3x , -33x-2y วธท า สมการท 1 6-2y3x จดสมการใหอยในรป baxy

ได 323

y x ม23

a1 และ 3b1

สมการท 2 -33x-2y จดสมการใหอยในรป baxy

ได 23

23

y x ม 23

a 2 และ 23

b2

เนองจากความชนเทากน 21 aa แต 21 bb กราฟขนานกน ดงนน ระบบสมการจะไมมค าตอบ

18

แบบฝกท 2 ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร 1. จงเขยนกราฟของระบบสมการแลวตรวจสอบวาระบบสมการมค าตอบเดยวไมมค าตอบหรอ มหลายค าตอบ (ตวอยางท 1-3) 1) y = x – 4, y = -2x + 2

...................................................................

...................................................................

2) y = -2x + 1, y = -2x + 1

...................................................................

................................................................... 3) y = -2x + 1, y = -2x - 3

.................................................................. ...................................................................

4) y = 2x + 1, y = -2x + 1

...................................................................

...................................................................

แบบฝกทกษะท 1.2 ระบบสมการเชงเสน

19

5) y = x + 2, y = -2x - 1

.................................................................. ................................................................... ...................................................................

6) x – 2y = -10, 2x - 4y = -20

.................................................................. ................................................................... ...................................................................

7) 4x + y = 1, x - 2y = 7

.................................................................. ................................................................... ...................................................................

8) x - 2y = 2, 2x - 4y = 8

.................................................................. ................................................................... ...................................................................

20

2. ตรวจสอบวาระบบสมการ มค าตอบเดยว ไมมค าตอบหรอมหลายค าตอบ โดยไมตองวาดกราฟ (ตวอยางท 4) 1) x2y

5x2y ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

2) 4yx

8y2x2 ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

3) 1x3y

7x3y ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

21

4) 0y5x3

x5

3y

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ .......................................................................... 5) 5yx

5yx ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 6) 6y3x

9y3x ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

22

7) 8x4y

7xy ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 8) 8x4y

10x2y ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 9) 1xy

1x2y ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

23

10) 4yx2

12y3x6 ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 11) 3y4x2

8y6x3 ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 12) 06y3x

09y3x ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................