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Alcuni processi di interazione radiazione materia Corso di Fisica Nucleare e Subnucleare I Prof. Daniele Prosperi A.A. 2004-2005

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Alcuni processi di interazione radiazione materia

Corso di Fisica Nucleare e Subnucleare I

Prof. Daniele Prosperi

A.A. 2004-2005

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Le radiazioni atomiche e nucleari trovano ampie aree di applicazione. La rivelazione di queste radiazioni richiede l’utilizzazione di un mezzo capace di assorbire energia e convertirla in una forma che possa essere amplificata e trasformata in un segnale rivelabile: 1 MeV = 1.6 10-13 Joule!

La scelta del tipo di rivelatore piu’ adatto per una data applicazione richiede la conoscenza dei meccanismi fondamentali tramite i quali la radiazione interagisce e perde energia nella materia.Questi processi dipendono:

dalla particella incidente

dalla natura del mezzo attraversato

Il trasferimento di energia dalle particelle al mezzo puo’ essere considerato da due punti di vista:A) diminuzione di intensita’, B) perdita di energia.

α, β, γ, n, p ….. ze, M, v …..

Ze, ρ, nr ……

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collimatore

• S rivelatore

x

Supponiamo di avere un fascio di particelle, ad es. fotoni, collimato. Definiamo intensita` I del fascio ilnumero di particelle che attraversano l’unita` di area nell’unita` di tempo.

A distanza x in un mezzo finito la riduzione di intensita` e`:

!

"dI(x)dx

=µI(x)

Che porta ad una legge di attenuazione esponenziale della forma:dove I0 e’ l’intensita` del fascio incidente a x=0, I(x) e` l’intensita` a distanza x, µ e` il coefficientedi attenuazione lineare.

!

I(x)= I0e"µx

A)

µ(cm-1) non specifica il meccanismo di perdita di energia ed in generale varia con l’energia della radiazione incidente

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Per una sorgente S isotropa e puntiforme, che irradia ugualmente in tutte le direzioni (4π), l’intensita` I(r) nel vuoto in un punto P a distanza r segue la legge dell’inverso del quadrato della distanza: dove S0 e` l’attivita` della sorgente, cioe` il numero di eventi emessi per unita` di tempo.

•S

P2

P1

P

x

!

I(r) =S0

4"r2

Es. In due punti P1 e P2 a distanze r1 ed r2 dalla sorgente S i rapporti di intensita` sono:

!

I1

I2

=

S0

4"r1

2

S0

4"r2

2

=r2

2

r1

2

In un mezzo di attenuazione uniforme che circonda la sorgente S l’intensita` ad una qualsiasi distanza r e`:

!

I(r) =S0

4"r2e#µr

Es. Per due punti P1 e P2 sulla superficie incidente ed emergente di un materiale di spessore x in tale campo divergente:

!

I2

= I1e"µx r1

2

r2

2= I1e"µx r

2" x( )r2

2

2#

$

% % %

&

'

( ( (

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B)Ragionare in termini di perdita di energia e` molto piu` problematico e dipende dai meccanismi ditrasferimento di energia.

In generale una particella che attraversa un mezzo materiale puo` dar luogo a diversi meccanismidi interazione:

1) particelle carichepesanti: p,d, 3H, α, X+….. leggere: β+, β−, µ+, µ−…..

Il trasferimento di energia al mezzo puo` avvenire per interazione elettromagnetica con gli elettroni orbitali(eccitazione e ionizzazione) o con il nucleo (diffusione Coulombiana multipla eirragiamento).

2) radiazione e.m. γ o raggi X

Interagiscono primariamente attraverso l’accoppiamento dello spin con gli elettroni orbitali dei

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bersagli irradiati (eccitazione, ionizzazione, diffusione Compton). L’interazione primaria con la materiaproduce particelle cariche secondarie e+,e- che con le loro successive interazioni permettono la rivelazione del fotone iniziale.

3) particelle prive di carica: n, ν

I neutroni interagiscono con i nuclei dando luogo a processi di: diffusione elastica ed anelastica;

catturaemissione pronta di un γ

emissione ritardata (n,n’), (n,2n), (n,p), (n, α),(n,fissione)

Per i ν fino ad alcuni MeV σ ~ 10-48 cm2 (1 barn = 10-24 cm2 !)

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Una particella di carica ze, massa M e velocita v che attraversa uno spessore dx di materiale perdera’in media una energia ΔE per eccitare e ionizzare gli atomi del mezzo di carica Ze. Si ha:eccitazione -- quando l’atomo o la molecola passano dallo stato fondamentale ad un livello eccitato;ionizzazione -- quando l’energia persa dalla particella incidente ΔE e` maggiore dell’energia di legamedi un elettrone EL , l’energia cinetica dell’elettrone finale e’: ΔE - EL = Te

PROCESSI DI ECCITAZIONE E IONIZZAZIONE DEGLI ATOMI

Per calcolare ΔE bastano argomentazionisemiclassiche (Bohr). Il processo di interazione tra laparticella incidente e gli elettroni di un atomo e`schematizzato nella figura a lato. Se M » m ladeviazione della traiettoria puo’ essere trascurata.Inoltre supporremo che prima dell’urto gli elettronisiano liberi e che anche dopo l’urto ve « v

Nel seguito indicheremo con b il cosiddetto “parametro d’urto” e con la forza elettrostatica che siesercita tra la particella e gli elettroni dell’atomo quando la loro distanza e` r=(b2+v2t2)1/2 (la sceltadell’istante t=0 e`arbitraria).

F

forza elettrostatica

r

E

bparametro

d’urto

particella incidente(ze)v

atomo del mezzo (Ze)

componentetrasversale delcampo elettricoF

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dato che = Ze E

L’integrale si calcola facilmente applicando il teorema di Gauss ad un cilindro di raggio b edavente per asse la traiettoria:

cioe`

La forza elettrostatica F cambia direzione durante il processo e per ragioni di simmetria lasua componente longitudinale non contribuisce all’impulso ∆p trasferito agli elettroni:

L’energia persa nel singolo urto dalla particella incidente coincide (nell’ ipotesi fatte prima sull’energiadell’elettrone prima e dopo l’urto) con l’energia cinetica classica acquisita in media da ogni elettrone:

F

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Quindi l’unico parametro del mezzo che entra in modo importante nel calcolo del dE/dx e` la densita` elettronica:

ne= densita`elettronica = = = numero di elettroni per cm3,N e`il numero di Avogadrodx = ρdl con dl(cm) e dx(g/cm2)

!

La perdita di impulso (-dp/dx) puo` essere espressa in termini di perdita di energia (-dE/dx):

Usare il (-dp/dx) puo`essere utile nel caso in cui la particella viene osservata in un campo magnetico notoche consente di determinare la quantita` di moto dalla curvatura della traiettoria

e

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OSSERVAZIONI:

a) L’espressione per ∆p vale anche nel caso relativistico: F F • γ t t • 1/ γ ∆p =∆F • ∆t resta invariato.

b) Il meccanismo di trasferimento di energia e` dominato dall’interazione Coulombiana con glielettroni :

(∆E)Ze/(∆E)NUCLEI ≈ A/Z • mp/m ≈ A/Z • 1840 ≈ 4000!

c) La minima energia che la particella puo` trasferire all’elettrone dipende dal potenziale diionizzazione dell’atomo a cui e` legato l’elettrone.

d) La massima energia trasferibile e`quella corrispondente all’urto centrale.

Comunque: collisioni con trasferimenti elevati di energia sono rare w(ε)dε∝ dε/ ε2.

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bmax si ottiene imponendo che si possa trascurare il legame atomico dell’elettrone.

!

Questa condizione puo` tradursi nella richiesta che il “tempo di collisione“ τ = b/γv siainferiore alla frequenza tipica dell’elettrone: τ«1/ω cioe` bmax= γv/ ω.Infatti se τ > ω-1 non e` piu` verificata l’ipotesi iniziale che l’elettrone si possaconsiderare libero (principio “adiabatico” della meccanica quantistica).

bmin si ottiene dal confronto con la λ del pacchetto d’onda che rappresenta quantisticamentel’elettrone, cosi` come visto dalla particella incidente.

Sostituendo bmin e bmax nell’espressione del (-dE/dx) si ottiene:

(Bohr) con β=v/c, r0= e2/mc2 ≈ 2.8 10-13 cmC = 4πNr0

2mc2 ≈ 0.307 MeV/(g cm-2)

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OSSERVAZIONI:

a) Formule piu` rigorose variano solo nel fattore logaritmico, ad es.:se γ«M/m e β» Z/137

(Bohr) con Ī=Ī0Z=13.5Z eV = potenziale medio di ionizzazione degli atomi del mezzo.

b) l’espressione data per (-dE/dx)e` semplificata in quanto non considera “l’effetto densita`”, ladiffusione sui nuclei e l’irraggiamento.

Nel caso di e+,e- vanno considerati irraggiamento, diffusione sui nuclei e forze di scambio traparticelle identiche. Di nuovo la differenza e` solo nel fattore logaritmico.

c) Quando riferite ad uno stesso spessore x(g/cm2)di materiale le perdite di energia diionizzazione sono lievemente maggiori in elementi leggeri (Z/A ~ 1/2) che in elementipesanti (Z/A ~ 1/2.5).

L’energia media persa per ionizzazione cresce con il quadrato della carica ze della particella edipende dalla sola velocita` βc .

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A bassissime energie la v della particella diventa confrontabile con la velocita` orbitale deglielettroni e le formule precedenti cadono in difetto ( parte iniziale della curva)!

In regime ultrarelativistico la crescita logaritmica del (-dE/dx)ion ad alti γ si riduce perl’effetto densita`δ. La polarizzazione del mezzo provoca, infatti, una soppressione delparametro d’urto massimo effettivo all’aumentare di γ.Ad energie piu` alte gli effetti radiativi cominciano ad essere importanti.

Nella regione di piu` comune interesse si usa l’equazione di Bethe-Bloch:

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!

EFFETTO DENSITA`

L’ipotesi di considerare isolati gli atomi con cui interagisce la particella incidente e`ragionevole solo a basse densita` o piccoli parametri d’urto. L’effetto di schermo degliatomi del mezzo dipende dalle sue proprieta` dielettriche e da` una correzione δ=ϕ(β)che e` funzione crescente di β:

condizionicinematiche

per gli isolanti si ha una soglia definita dell’effetto densita`. Def. ε0 la costantedielettrica del mezzo, deve risultare β2 > 1/ ε0 (sempre vero nei conduttori doveε0 » 1;

materiali di densita` elettroniche maggiori risultano polarizzati per γ piu` piccoli:

(ne = densita` elettronica ωe= frequenze atomiche)

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I processi di collisione di natura puramente e.m. sono caratterizzati da piccole perdite dienergia in media per ogni urto e, quindi, da piccole fluttuazioni.

!

PERCORSO RESIDUO (“RANGE”)

Per un dato materiale:

Stesso tipo stessa energia ~Stesso percorso

Percorso residuo

Cosi` definito e` l’effettiva lunghezza della traiettoria percorsa nel materiale

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Le fluttuazioni statistiche sulle perdite di energia anche se piccole su lunghi percorsi e perM»m sono comunque presenti e producono percorsi residui non esattamente uguali (straggling).

!

Dato che E = M γ, si puo` scrivere dove f(β) e` una funzionedella velocita` che e` la stessa per qualunque particella (di E «M/m Mc2). Con le opportunesostituzioni (c.f.r. trasparenza precedente ed integrando nella variabile u= E/M) risulta:

Quindi z2R/M e` la stessa funzione del rapporto E/M per qualsiasi tipo di particella(di E «M/m Mc2).Es. una particella α ( z=2zp e M ≈ 4mp ) di energia totale E α avra` percorso ugualea quello di un protone di energia Ep = E α /4 ).

_

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Massimo percorso residuo di elettroni infunzione dell’ energia in diversi materiali. DalRadiological Health Handbook, p. 122.

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Le espressioni ottenute per dE/dx rappresentano la perdita di energia media per unita` dipercorso di una particella carica che attraversa la materia. Se il numero di collisionie`sufficientemente elevato e la perdita di energia non troppo grande, l’energia finale dellaparticella sara` distribuita in modo Gaussiano attorno al valore medio.

!

FLUTTUAZIONI NELLE PERDITE DI ENERGIA DI IONIZZAZIONE

Per una particella di energia iniziale E0 che attraversa uno spessore t di assorbitore ed emergecon energia media Ē, si puo’ mostrare con la statistica Poissoniana per il numero di collisioniche producono un dato trasferimento di energia E, che la deviazione quadratica media inenergia e` Ω2 =2π(NZ/A)z2e4(γ2+1)t. La distribuzione in energia sara` approssimativamente:

Questo risultato e` valido purche` Ω«Ē e Ω«(E0- Ē ) ed anche Ω »ΔEmax ≅2γ2β2mc2. Quandol’ultima condizione non e` soddisfatta la distribuzione di energie sara` descritta dalla curva diLandau.

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Attraversando un mezzo una particella e` soggetta anche all’interazione con il campo Coulombianodei nuclei. Poiche` Mnucl ≥Minc possono assumere importanza le piccole deflessioni nella traiettorialegate al trasferimento di impulso ai nuclei. All’impulso trasferito Δp corrisponde, infatti, un angolodi deflessione:

DIFFUSIONE COULOMBIANA MULTIPLA

Per θ « 1

!

" # $pp = 2zZe2

bvp

Per il mezzo:

Per la particella:

Gli elettroni del mezzo contribuiscono quasi totalmente al (-dE/dx)ion;I nuclei sono responsabili della diffusione.

Il (-dE/dx)ion e`importante per gli elettroni solo a basse energie e ladiffusione multipla e` un processo particolarmente vistoso

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!

Dalle formule si vede come le collisioni con piccole deviazioni angolari sono le piu` probabili.La probabilita` Φ(θ)dxdΩ che la particella attraverso lo spessore dx (g/cm2) subisca unacollisione ad un angolo θ entro l’angolo solido dΩ e`:

La sezione d’urto di diffusione da parte di un potenziale Coulombiano e` data dalla formuladi Rutheford, valida anche in Meccanica Quantistica per particelle a spin 0; la diffusione difermioni e` invece descritta dalla formula di Mott, che si riduce alla precedente nel caso didiffusione a picccolo angolo:

con

R = raggio di collisione

Nell’ipotesi di diffusione alla Rutheford, per piccoli angoli:

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!

Sono state dedotte funzioni di distribuzione valide nei casi piu`generali, comunque questaformula puo` essere ritenuta valida con buona approssimazione in quanto i fattori correttividipendenti dallo spin possono essere omessi per piccole deflessioni.

Poiche` la deviazione della traiettoria di una particella che attraversa uno spessore dimateriale e` il risultato di tanti processi indipendenti, l’angolo medio sara`zero ed ilparametro dipendente dalle variabili cinematiche e` la larghezza di distribuzione degli angolidi diffusione <θ2>.

Calcoliamo <θ2> in funzione di x=ρl (g/cm2):

per piccoli θ dΩ = 2πθdθ

con Φ(θ) = 0 fuori [θm, θM]

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!

I parametri che caratterizzano θm e θM sono la lunghezza ridotta di de Broglie dellaparticella ed i raggi atomico ra e nucleare rn. Si puo` assumere:

Perche` a causa dell’effetto di schermo degli elettroni per Φ(θ) si riduce notevolmente;

Perche` a causa delle dimensioni finite del nucleo perΦ(θ) va rapidamente a zero

θm/ θM= ra /rn

Assumendo:

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!

La distribuzione degli angoli di diffusione e` approssimativamente Gaussiana per piccoliangoli e presenta una coda a grandi angoli dovuta a processi singoli di diffusione, che seguela distribuzione di Rutheford (∝1/sen4θ).Se definiamo θ0 = θrms

piano=1/2 θrmsspazio, allora nei casi piu` comuni sara` comoda

l’approssimazione Gaussiana con larghezza:

θ0 e` in radianti, p in MeV/c, [x]=[X0] (accuratezza ~11% per 10-3<x/X0<100).

La lunghezza di radiazione X0 e` definita come lo spessore di materiale in cui l’energiainiziale E (per E>>mc2/(Z)1/3) si riduce del rapporto 1/e per effetto dei soli processiradiativi.

L’introduzione di ulteriori termini puo’aumentarne l’accuratezza (cfr.PDG2004)

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!

Quando si deve valutare l’impulso di una particella carica misurandone la curvatura in uncampo magnetico, l’angolo di diffusione dovuto alla diffusione Coulombiana limita laprecisione della misura

pc(MeV) = 300 H (Tesla) L(m)/α con α= deviazione in campo magnetico

Δp/ p= Δα/α

Sostituendo a Δα l’angolo di diffusione dovuto alla diffusione Coulombiana, per unaparticella a z=1 si ottiene:

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Si ha quando una particella carica (β =v/c) attraversa un dielettrico trasparente con: v > c/n β >1/n=βt

cioe` quando la sua velocita` e` maggiore della velocita` di fase locale della luce

EFFETTO ČERENKOV

βct

cosθc=1/βn

soglia

θc

B

A C

ct/n

!

!

cos"c=1

#n

p=M#c$ >Mc1

n

1

1-1/n2=

Mc

n2 %1

Il processo e` analogo all’onda d’urto a V osservata inacustica quando un proiettile o un aereo supersonico viaggiaad una velocita` maggiore di quella del suono (βn analogo alnumero di Mach in aerodinamica)

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.+− +− +−

+−+−

+−

+−

+−

+ −+ −

+−

+−

+−

+−

+− + − + −+ −

+− .+−

+−

+−

+−+−

+−

+−

+−

+−

+−+−

+−+−

+−

+−

+−

Per effetto del campo e.m. della particella

β <βt β ≥βt

Se β<βt il campo di dipolo e`simmetrico intornoalla traiettoria e rispetto al verso del moto(continuo scambio adiabatico di energia)

Se β ≥βt non si conserva piu’ la simmetria nelverso del moto: si ha emissione di radiazione e.m.(effetto Čerenkov)

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!

cos"c

=1

#n

OSSERVAZIONI:

a) Per un dato β la radiazione e` osservata solo sotto l’angolo θc per il quale le ondeelementari provenienti da P1, P2, P3 della traiettoria sono in fase e formano con il loroinviluppo il fronte BC di un’onda piana. La luce emessa si propaga lungo la superficie delcono di apertura θc che ha per asse la traiettoria.

b) Dalla “condizione Čerenkov” e` evidente che:1) se β = βt θ = 00 ;2) se β = 1 θ = θmax =cos-1(1/n) ;

3) emssione nel visibile o zone limitrofe dello spettro, per le quali n>1 (impossibileemissione X).

θ

H

E

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!

Energia emessa:

In numero di fotoni:

Spettro, quindi, fortemente piccato a piccole λ. Il numero totale di fotoni per unita` dipercorso e`:

in pratica da u.v. al vicino i.r.

assumendo n cost. tra λ1 e λ2

Con λ1=300 nm e λ2=600 nm(F.M. con fotocatodo bialcalino e vetro normale)dN/dx ≅760 sen2θ fotoni/cm

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!

In termini di perdita di energia:

che corrisponde, ad es. integrando nel visibile, a qualche keV di energia persa per cm,N x 10 volte minore dell’energia persa per ionizzazione del mezzo.

Mentre in uno scintillatore plastico:

Es. particella con β ~ 1 in plexiglas: n=1.49, θ=47.80 dN/dx ~ 400 γ/cm e dE/dx ~ 2 keV/cm

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RIVELATORI ČERENKOV

Scopi: identificazione di particelle, contatori veloci di particelle,rivelatori di traccecon ricostruzione dell’evento, calorimetri, utilizzando le caratteristiche principalidell’effetto ČERENKOV (emissione pronta di luce, effetto a soglia, dipendenzadell’angolo θc e del numero di fotoni emessi dalla velocita` della particella).

Possono essere classificati come: rivelatori a imaging o a soglia in base all’uso o alnon uso dell’informazione sull’angolo θc.

Rivelatori a soglia: informazione si/no sul passaggio della particella con β >1/n=βt .Rivelatori a imaging: possono essere usati per il tracciamento delle particelle e peridentificarle.Si misurano gli angoli di emissione correlatidei fotoni Čerecov (gli angoli sono misurati ricostuendo “l’immagine” dei singoli fotoni su un rivelatore.)

Bock,1998