Alexander Riegel

riegel@uni-bonn.de

2

9

10

11

Ordinatenachse („𝒚-Achse“)

Abszissenachse („𝒙-Achse“) Ursprung

(0|0)

Ursprungsgerade

Gerade

Ordinaten- abschnitt 𝒇 𝒙 = 𝟎

𝒇(𝒙𝟏): Funktionswert bei 𝑥1 𝒙𝟏: Stelle/ Argument

0

𝒇 𝒙

𝒙 Nullstelle 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟎 = 𝟎

12

0

𝒚

𝒙

𝑦, 𝑥-Diagramm

Auftragung von 𝑦 gegen 𝑥

Auftragung 𝑦 vs. 𝑥

13

14

Multiplikation: Direkt durchführbar 𝑎

𝑏⋅𝑐

𝑑=

𝑎 ⋅ 𝑐

𝑏 ⋅ 𝑑

Division: Mit Kehrwert multiplizieren 𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎

𝑏⋅𝑑

𝑐=

𝑎 ⋅ 𝑑

𝑏 ⋅ 𝑐

Addition/Subtraktion: Brüche erst auf Hauptnenner bringen

𝑎

𝑏±

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑

𝑏𝑑±

𝑐𝑏

𝑏𝑑=

𝑎𝑑 ± 𝑐𝑏

𝑏𝑑

15

Nicht aus Summen/Differenzen kürzen!

http://3.bp.blogspot.com/-0DKeLsDXZQE/UuBMxly5DII/AAAAAAAAEIg/FQUer4IJItg/s1600/DoThisandKittenDies.jpg (Stand: 26. September 2015)

16

Eine Größe 𝑥 verändere sich von 𝑥alt auf 𝑥neu.

Absolute Änderung: 𝑥neu − 𝑥alt

Relative Änderung (evtl. in Prozent): 𝑥neu − 𝑥alt

𝑥alt⋅ 100%

17

Es gilt NICHT: 𝑎 ± 𝑏 2 = 𝑎2 ± 𝑏2

1. Binomische Formel:

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

2. Binomische Formel: 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

3. Binomische Formel:

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

18

Es gilt für 𝑎 ≠ 0:

𝑎0 &= 1

𝑎−𝑘 &=1

𝑎𝑘

Weiterhin ist: 𝑎𝑘 ⋅ 𝑎𝑙 &= 𝑎𝑘+𝑙

𝑎𝑘

𝑎𝑙&= 𝑎𝑘−𝑙

𝑎𝑘 𝑙&= 𝑎𝑘⋅𝑙

𝑎 ⋅ 𝑏 𝑘 &= 𝑎𝑘 ⋅ 𝑏𝑘

𝑎1/𝑛 &= 𝑎𝑛

19

Definition: exp 𝑘 = e𝑘

Zusammenhang Potenz & Logarithmus: 𝑎𝑘 = 𝑥 ⇔ log𝑎 𝑥 = 𝑘

Insbesondere: e𝑘 = 𝑥 ⇔ ln 𝑥 = 𝑘

Definition: lg 𝑥 &= log10 𝑥

ln 𝑥 &= loge(𝑥) &

Potenz und log Gegenoperationen heben sich auf:

eln 𝑥 &= 𝑥ln e𝑥 &= 𝑥

20

Logarithmus log𝑎(𝑥)&nur definiert für 𝑎, 𝑥 > 0 Es gilt besonders:

log𝑎 1 &= 0

log𝑎 𝑎 &= 1&

Weiterhin ist:

log 𝑥 + log 𝑦 = log&(𝑥 ⋅ 𝑦)

log 𝑥 − log 𝑦 = log𝑥

𝑦

log 𝑥𝑘 = 𝑘 ⋅ log 𝑥

Insb. 𝐥𝐧 𝟏 = 𝟎 und 𝐥𝐧 e = 𝟏

21

Man logarithmiere folgenden Ausdruck: 𝑣 = 𝑘 ⋅ 𝑐𝑎

Lösung: log 𝑣 &= log 𝑘 ⋅ 𝑐𝑎

&= log 𝑘 + log 𝑐𝑎

&= log 𝑘 + 𝑎 ⋅ log 𝑐

22

Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 1. Ordnung): 𝑁 𝑡 = 𝑁0 ⋅ e−𝑘𝑡

Man berechne die Halbwertszeit 𝑡1/2 mit:

𝑁 𝑡 = 𝑡1/2 = 0,5 ⋅ 𝑁0

Lösung: 0,5𝑁0 &= 𝑁0 ⋅ e−𝑘𝑡1/2

0,5&= e−𝑘𝑡1/2

ln 0,5 &= −𝑘𝑡1/2

𝑡1/2 &= −ln 0,5

𝑘= −

ln 2−1

𝑘= −

−1 ⋅ ln 2

𝑘=

ln 2

𝑘

23

24

Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 0. Ordnung): 𝑁0 − 𝑁 𝑡 = 𝑘𝑡

Man berechne die Halbwertszeit 𝑡1/2 mit:

𝑁 𝑡 = 𝑡1/2 = 0,5 ⋅ 𝑁0

Lösung: 𝑁0 − 0,5𝑁0 &= 𝑘𝑡1/2

0,5𝑁0 &= 𝑘𝑡1/2

𝑡1/2 &=𝑁0

2𝑘

25

Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 2. Ordnung): 1

𝑁 𝑡−

1

𝑁0= 𝑘𝑡

Man berechne die Halbwertszeit 𝑡1/2 mit:

𝑁 𝑡 = 𝑡1/2 = 0,5 ⋅ 𝑁0

Lösung:

1

0,5𝑁0−

1

𝑁0&= 𝑘𝑡1/2

2

𝑁0−

1

𝑁0&= 𝑘𝑡1/2

1

𝑁0&= 𝑘𝑡1/2

𝑡1/2 &=1

𝑘𝑁0

26

Gegeben sei die LANGMUIR-Isotherme:

𝑐 ⋅ 𝐾 =𝜃

1 − 𝜃

Man löse nach 𝜃 auf.

Lösung:

𝜃&= 𝑐𝐾 1 − 𝜃 = 𝑐𝐾 − 𝑐𝐾𝜃𝑐𝐾&= 𝜃 + 𝑐𝐾𝜃 = 𝜃 1 + 𝑐𝐾

𝜃&=𝑐𝐾

1 + 𝑐𝐾

27

28

Vorheriges Ergebnis:

𝜃 =𝑐𝐾

1 + 𝑐𝐾

Außerdem ist:

𝜃 =𝑤

𝑤max

Dann kann man schreiben: 1

𝑤=

1

𝑤max𝐾⋅1

𝑐+

1

𝑤max

29

1

𝑤=

1

𝑤max𝐾⋅1

𝑐+

1

𝑤max

Wie kann durch graphische Auftragung 𝑤max und 𝐾 erhalten, wenn 𝑤 und 𝑐 bekannt sind?

Interpretiere Gleichung als Geradengleichung: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

◦ 𝑦: Funktionswert bekannt ◦ 𝑥: Argument bekannt ◦ 𝑚: Steigung ◦ 𝑏: Ordinatenabschnitt

30

1

𝑤=

1

𝑤max𝐾⋅1

𝑐+

1

𝑤max

1

𝑤

1

𝑐

0

1

𝑤max

1

𝑤max𝐾

31

1

𝑤=

1

𝑤max𝐾⋅1

𝑐+

1

𝑤max

𝑏 =1

𝑤max⇔ 𝑤max =

1

𝑏

𝑚 =1

𝑤max𝐾⇔ 𝐾 =

1

𝑤max𝑚=

𝑏

𝑚

32

Man kann die Isotherme auch so schreiben: 𝑐

𝑤=

1

𝑤max⋅ 𝑐 +

1

𝑤max𝐾

Wie kann durch graphische Auftragung 𝑤max und

𝐾 erhalten, wenn 𝑤 und 𝑐 bekannt sind?

Lösung: Interpretiere als 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Auftragung 𝑐

𝑤 vs. 𝑐

𝑚 =1

𝑤max⇔ 𝑤max =

1

𝑚

𝑏 =1

𝑤max𝐾⇔ 𝐾 =

1

𝑤max𝑏=

𝑚

𝑏

33

Gesucht mittels graphischer Auftragung ist 𝑎 aus folgender bekannten Gleichung, wobei 𝑣 und 𝑐 bekannt seien:

𝑣 = 𝑘 ⋅ 𝑐𝑎

Lösung: Logarithmiere obige Gleichung

log 𝑣 &= log 𝑘 + 𝑎 ⋅ log 𝑐𝒚&= &&&𝒃&&&&&& + 𝒎 ⋅ 𝒙

Auftragung log&(𝑣) vs. log&(𝑐) 𝑚 = 𝑎 Analog für FREUNDLICH-Isotherme

34

Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 0. Ordnung): 𝑁0 − 𝑁 𝑡 = 𝑘𝑡

Gesucht ist mittels graphischer Auftragung k, wobei 𝑁(𝑡) und 𝑡 bekannt seien.

Lösung: 𝑁(𝑡) &= −𝑘𝑡 + 𝑁0

𝒚&= 𝒎&𝒙 + 𝒃

Auftragung 𝑁(𝑡) vs. 𝑡 𝑚 = −𝑘 ⇔ 𝑘 = −𝑚

35

Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 1. Ordnung):

ln 𝑁 𝑡 = ln 𝑁0 − 𝑘𝑡

Gesucht ist mittels graphischer Auftragung k, wobei 𝑁(𝑡) und 𝑡 bekannt seien.

Lösung:

ln 𝑁 𝑡 &= ln 𝑁0 − 𝑘𝑡

𝒚&= 𝒃&&&&&&&&& + 𝒎𝒙

Auftragung ln 𝑁 𝑡 vs. 𝑡 𝑚 = −𝑘 ⇔ 𝑘 = −𝑚

36

Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 2. Ordnung): 1

𝑁 𝑡−

1

𝑁0= 𝑘𝑡

Gesucht ist mittels graphischer Auftragung k, wobei 𝑁(𝑡)

und 𝑡 bekannt seien.

Lösung: 1

𝑁 𝑡&= 𝑘𝑡 +

1

𝑁0

𝒚&= 𝒎𝒙 + 𝒃

Auftragung 1

𝑁 𝑡 vs. 𝑡

𝑚 = 𝑘

37 http://s40.photobucket.com/user/mrs_vertigo/media/3.jpg.html (Stand: 26. September 2015)

38

39

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 100 200 300 400 500 600

Um

T

𝑈𝑚 𝑇 =3

2𝑅𝑇

mit&𝑅 > 0

40

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

P

I

𝑃 𝐼 = 𝑅𝐼2

mit&𝑅 > 0

41

0

1

2

3

4

5

6

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50

A

t

𝐴 𝑡 = exp 𝑡

42

-15

-10

-5

0

5

0 1 2 3 4 5 6

q

x

𝑞 𝑥 = 𝑛𝑅𝑇 ln 𝑥

mit&𝑛, 𝑅, 𝑇 > 0

43

-10

-5

0

5

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

𝜗

𝑦 =1

𝜗

44

-10

-5

0

5

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

z

𝜗

𝑧 =1

𝜗 + 273,15

45

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

z

𝜗

𝑧 =1

𝜗 + 273,15

46

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

z

𝜗

𝑧 =1

𝜗 + 273,15

47

0

10

20

30

40

600 700 800 900 1000 1100 1200

k

T

𝑘 𝑇 = 𝐴 ⋅ exp −𝐸A&

𝑅𝑇

mit 𝐴, 𝐸A, 𝑅 > 0

48

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

𝛾

I

lg 𝛾 𝐼 = −𝐴𝑧2 𝐼

mit&𝐴 > 0

49

50

Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 0. Ordnung): 𝑣 = 𝑘

Dabei besitze 𝑣 die Einheit mol&L−1&s−1.

Welche Einheit (x) besitzt dann 𝑘?

Lösung: Auf beiden Seiten des „ = “ gleiche Einheiten!

mol

L ⋅ s= x

51

Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 1. Ordnung): 𝑣 = 𝑘 ⋅ 𝑐A

Dabei besitze ◦ 𝑣 die Einheit mol&L−1&s−1 und ◦ 𝑐A die Einheit mol&L−1.

Welche Einheit (x) besitzt dann 𝑘?

Lösung: Auf beiden Seiten des „ = “ gleiche Einheiten!

mol

L ⋅ s&= x ⋅

mol

L

x&=1

s

52

Es gelte folgendes Gesetz (Reaktion 2. Ordnung): 𝑣 = 𝑘 ⋅ 𝑐A ⋅ 𝑐B

Dabei besitze ◦ 𝑣 die Einheit mol&L−1&s−1 und

◦ 𝑐A sowie 𝑐B die Einheit mol&L−1.

Welche Einheit (x) besitzt dann 𝑘?

Lösung: Auf beiden Seiten des „=“ gleiche Einheiten!

mol

L ⋅ s&= x ⋅

mol

L⋅mol

L= x ⋅

mol2

L2

x&=L

s ⋅ mol

53

Ein Student hat auf seinem Formelzettel drei Formeln, weiß aber nicht mehr, welche die Formel für die (klassische) kinetische Energie 𝐸 ist:

𝐸 &= 𝑚𝑣𝐸&= 0,5 ⋅ 𝑚𝑣2

𝐸&= 𝑚𝑣2

𝑚 ist dabei die Masse des bewegten Körpers, 𝑣 ist seine Geschwindigkeit.

Frage: Kann man nur durch Einheitenanalyse die korrekte Formel identifizieren?

54

Einheiten der Größen: ◦ Einheit von 𝐸 ist J = kg&m2&s−2

◦ Einheit von 𝑚 ist kg

◦ Einheit von 𝑣 ist m&s−1

𝐸&= 𝑚𝑣

kg ⋅ m2

s2&= kg ⋅

m

s

55

Einheiten der Größen: ◦ Einheit von 𝐸 ist J = kg&m2&s−2

◦ Einheit von 𝑚 ist kg

◦ Einheit von 𝑣 ist m&s−1

𝐸&= 0,5 ⋅ 𝑚𝑣2

kg ⋅ m2

s2&= kg ⋅

m

s

2

= kg ⋅m2

s2

𝐸&= 𝑚𝑣2

kg ⋅ m2

s2&= kg ⋅

m

s

2

= kg ⋅m2

s2

Möglich

Möglich

Eindeutige Auswahl durch Einheitenanalyse nicht möglich

56

57

Betrachte 𝑦(𝑥).

Ändert sich 𝑥 um ∆𝑥, so ändert sich 𝑦 um ∆𝑦.

Differenzenquotient:

𝑚Sekante =∆𝑦

∆𝑥

◦ Mittlere Änderungsrate von 𝑦 (Bsp.: Geschwindigkeit)

◦ Steigung der Sekante durch Funktionsgraphen

58

𝑚Sekante =∆𝑦

∆𝑥

© Werner Reckien.

59

Änderungsrate wurde nur über ein bestimmtes ∆𝑥 gemittelt.

Wie ist aktuelle Änderungsrate? ∆𝑥 → 0

Differenzenquotient Differentialquotient:

𝑚Tangente =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦′ 𝑥

◦ Aktuelle Änderungsrate von 𝒚 an der Stelle 𝒙

◦ Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen

60

𝑚Sekante =∆𝑦

∆𝑥 𝑚Tangente =

𝑑𝑦

𝑑𝑥

© Werner Reckien.

61

Notation der ersten Ableitung von 𝑦 nach 𝑥 an der Stelle 𝑥0:

𝑦′ 𝑥 = 𝑥0 =𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥=𝑥0

62

Erste Ableitung der erste Ableitung einer Funktion zweite Ableitung der Funktion

𝑑

𝑑𝑥𝑓′ 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑓

𝑑𝑥=

𝑑2𝑓

𝑑𝑥2= 𝑓′′(𝑥)

Beliebig fortführbar (solange die abgeleitete Funktion erneut ableitbar ist)

𝑛-te Ableitung von 𝑓 nach 𝑥

63

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, soll meist nur die Auswirkung der Änderung einer Variable beobachtet werden.

𝑓(𝑥1, 𝑥2)

Partielle Ableitung ist Ableitung nach nur einer Variablen, alle anderen bleiben konstant:

𝜕𝑓

𝜕𝑥1&bzw.&

𝜕𝑓

𝜕𝑥2

64

Häufig (insb. in der Thermodynamik) werden die konstant gehaltenen Variablen im Index ausgewiesen:

𝜕𝑓

𝜕𝑥1 𝑥2

&bzw.&𝜕𝑓

𝜕𝑥2 𝑥1

Bsp.: (Extensive) Wärmekapazität 𝐶𝑝 bei konstantem

Druck 𝑝: 𝐻&= 𝐻 𝑝, 𝑇

𝐶𝑝 &=𝜕𝐻

𝜕𝑇𝑝

65

Formell: Bilden des Grenzwertes des Differenzenquotienten:

lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥

∆𝑥=

𝑑𝑓

𝑑𝑥

Es gibt allerdings einige Regeln und Grundableitungen, die nützlich sind.

66

Summenregel: 𝑓 ± 𝑔 ′ = 𝑓′ ± 𝑔′

Produktregel: 𝑓 ⋅ 𝑔 ′ = 𝑓′ ⋅ 𝑔 + 𝑓 ⋅ 𝑔′

Quotientenregel:

𝑓

𝑔

′

=𝑓′ ⋅ 𝑔 − 𝑓 ⋅ 𝑔′

𝑔2

67

Konstanten (𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.): 𝑎′ = 0

Faktorregel (𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.): 𝑎 ⋅ 𝑓 ′ = 𝑎 ⋅ 𝑓′

Kettenregel:

𝑓 𝑔 𝑥′= 𝑓′ 𝑔 𝑥 ⋅ 𝑔′ 𝑥

68

Potenzregel (auch für 𝑛 ∉ ℕ, also z. B. Wurzeln): 𝑥𝑛 ′ = 𝑛 ⋅ 𝑥𝑛−1

Ableitung der 𝑒-Funktion: 𝑒𝑥 ′ = 𝑒𝑥

Ableitung der ln-Funktion:

ln 𝑥 ′ =1

𝑥

69

Ableitung der sin-Funktion (𝑥 im Bogenmaß): sin′ 𝑥 = cos&(𝑥)

Ableitung der cos-Funktion (𝑥 im Bogenmaß): cos ′ 𝑥 = −sin&(𝑥)

Daher ist:

sin′′ 𝑥 &= − sin 𝑥

cos&′′ 𝑥 &= − cos 𝑥

70

Was ist die Umkehrung der Ableitung?

Gesucht ist die Stammfunktion 𝐹, für die gilt: 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)

Integration von 𝑓 liefert 𝐹 (Hauptsatz):

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎

71

Notation:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹 𝑥 𝑎𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎

Bsp.:

𝑥2𝑑𝑥5

2

=1

3𝑥3

2

5

=1

3⋅ 53 −

1

3⋅ 23 =

125

3−

8

3= 39

72

Gemäß dem Hauptsatz können Differentiation und Integration als Umkehroperationen betrachtet werden.

Einige Integrationsregeln können daher aus Differentiationsregeln hergeleitet werden.

Summenregel:

𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

73

Faktorregel (𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.):

𝑘 ⋅ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑘 ⋅ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Potenzregel (𝑛 ≠ −1):

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 ⇒ 𝐹 𝑥 =1

𝑛 + 1𝑥𝑛+1

Stammfunktion zu 𝑥−1:

𝑓 𝑥 =1

𝑥⇒ 𝐹 𝑥 = ln 𝑥

74

Stammfunktion zur 𝑒-Funktion: 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥

Stammfunktion zur ln-Funktion: 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 ⇒ 𝐹 𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥

Stammfunktion zur sin-Funktion (𝑥 im Bogenmaß): 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ⇒ 𝐹 𝑥 = − cos 𝑥

Stammfunktion zur cos-Funktion (𝑥 im Bogenmaß): 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 ⇒ 𝐹 𝑥 = sin 𝑥

75

In Differentialgleichungen tauchen verschiedene Ableitungen einer Funktion (incl. der Funktion selbst) auf.

−3𝑓′′ + 𝑓′ − 6𝑓 = 1

Frage: Welche Funktion erfüllt die Gleichung?

Häufig schwierig zu lösen oder analytisch überhaupt nicht lösbar

Wenige einfache Fälle

76

Welche Funktion 𝑐(𝑡) erfüllt die folgende Gleichung (Untere Grenze: 𝑐0 bzw. 𝑡 = 0), wobei 𝑐 > 0?

−𝑑𝑐

𝑑𝑡= 𝑘𝑐

Lösung: Trennung der Variablen

𝑑𝑐

𝑐&= −𝑘𝑑𝑡

1

𝑐𝑑𝑐

𝑐

𝑐0

&= −𝑘 𝑑𝑡𝑡

0

ln 𝑐 𝑐0𝑐 &= −𝑘 𝑡 0

𝑡

ln 𝑐 − ln 𝑐0 &= −𝑘𝑡

𝑐&= 𝑐0 ⋅ exp −𝑘𝑡

77

Ableitung einer Funktion an einer Stelle: Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an dieser Stelle

© Werner Reckien.

78

Inhalt der Fläche unterhalb eines Funktionsgraphen in einem Intervall: (Bestimmtes) Integral der Funktion über dieses Intervall

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

© Werner Reckien.

Eigentlich ist nebenstehendes Integral der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen, der Abszisse und den Geraden 𝑥 = 𝑎 und 𝑥 = 𝑏 eingeschlossen wird. Das Integral ist also nur gleich dem Flächeninhalt, wenn der Graph auf dem betrachteten Intervall oberhalb der Abszisse verläuft.

79

𝑎&= 𝑏𝑎2 &= 𝑎𝑏

𝑎2 − 𝑏2 &= 𝑎𝑏 − 𝑏2

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 &= 𝑏 𝑎 − 𝑏𝑎 + 𝑏&= 𝑏

2𝑏&= 𝑏2&= 1

?