Algebra di Boole e Funzioni Binarie Lezione Prima

Algebra di Boole e Algebra di Boole e Funzioni BinarieFunzioni Binarie

Algebra di Boole e Algebra di Boole e Funzioni BinarieFunzioni Binarie

Lezione PrimaLezione Prima

Prof. Abramo Carmelo 2

Sommario

• Variabili Binarie• Negazione• Somma Logica• Prodotto Logico• Relazioni- propriet

à• Funzioni• Minterm

• Teoremi• Maxterm• Forme Canoniche• Mappe di

Karnaugh• Fine lezione


Variabili Binarie

• Variabile binaria: grandezza matematica che può assumere due soli valori: 0 o 1.

• Sulle variabili binarie definiamo tre operatori: negazione, somma e prodotto.

• La negazione di una variabile binaria x si indica con x° (“non x” o “x negato”)


Negazione

• Possiamo rappresentare il valore di x° tramite tabella di verità:

x x°

0 1

1 0


Somma logica

• La somma di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 0 solo se tutte le xi (1≤i≤n) valgono contemporaneamente 0, vale 1 in ogni altro caso.

x1 x2 x1 + x2

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

esempio di somma logica di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità


Prodotto logico

• Il prodotto di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 1 solo se tutte le xi (1≤i≤n) sono contemporaneamente 1, vale 0 in ogni altro caso

x1 x2 x1 . x2

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

esempio di prodotto logico di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità


Relazioni e proprietà

Somma Prodotto

x + 1 = 1 x · 0 = 0

x + 0 = x x · 1 = x

x1 + x2 = x2 + x1 x1 · x2 = x2· x1

x1 + x2 + x3 = (x1 + x2) + x3 x1 · x2· x3= (x1 · x2) · x3

x1· x2+ x1· x3= x1· (x2 + x3) (x1 + x2) · (x1 + x3) = x1+ x2 · x3

• Le relazioni e proprietà degli operatori somma e prodotto logico sono riportate nella tabella


Relazioni e proprietà

• Per la negazione valgono le seguenti relazioni e proprietà:

Negazione

0°° = 0

1°° = 1

x°° = x

x + x ° = 1

x · x° = 0

x°° x due volte negato


Funzioni

• Con n variabili binarie (x1, x2, … xn) si possono formare 2n configurazioni diverse.

• Se prendiamo, ad esempio, 2 variabili: x1, x2 dato che ognuna di loro può valere 0 od 1, si possono creano le seguenti quattro (22) configurazioni diverse: 00, 01, 10, 11.

• Così con 3 variabili binarie si potranno formare al massimo 23=8 configurazioni diverse che sono:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.


Funzioni

• Diremo che una variabile y è funzione di n variabili indipendenti x1, x2, … xn e si scrive:

y = F (x1, x2, … xn)

• quando esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni di x un determinato valore y (ovviamente 0 o 1).


Funzioni• Tutte le diverse funzioni di n

variabili (x1,x2,…xn) che si possono costruire sono pari a

(22)n

• Ad esempio tutte le diverse funzioni che si possono formare con 3 variabili sono pari a

(22)3= 28 = 256


Funzioni• Una funzione può essere

rappresentata sotto forma di tabella di verità, scrivendo accanto ad ognuna delle 2n diverse configurazioni di x1, x2, … xn il valore assunto dalla y.

• Ad esempio la seguente tabella rappresenta la tabella di verità di una delle 256 funzioni possibili di tre variabili binarieCliccare sull’immagine


Minterm• Se consideriamo 3 variabili, la scrittura x1x2x3 = 011

indica tra le 23=8 configurazioni possibili, quella in cui x1 vale 0, x2 vale 1 e x3 vale 1.

• Questa configurazione si scrive semplicemente con il prodotto x°1x2x3

• Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato.

• Consideriamo la funzione di 3 variabili rappresentata sotto forma di tabella di verità in fig.1 e le 3 configurazioni in cui la stessa vale 1

• Avremo che la funzione vale 1 per le seguenti configurazioni:

x°1x2x°3 x°1x2x3 x1x°2x3

Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm


Minterm

• La funzione conoscendo la sua tabella di verità, potrà essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi.

• Nel caso della funzione in esempio scriveremo

y = x°1x2x°3 + x°1x2x3 + x1x°2x3

• Se una funzione è direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sarà possibile costruire la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi.


Minterm• Ad esempio data la funzione di 3 variabili

F(x,y,z) = xy°z + xyz° + x°yz

la sua tabella di verità sarà:

x y z F(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

x°yz 0 1 1 1

1 0 0 0

xy°z 1 0 1 1

xyz° 1 1 0 1

1 1 1 0


Teoremi

TEOREMI Diretto Duale

Idempotenza x + x + x + --- x = x x · x · x · --- x = x

Assorbimento

x + xy = x x · (x +y) = x

x + x°y = x + y x · (x° + y) = x · y

xy +yz + x°z = xy + x°z (x +y)·(y+z)·(x°+z) = (x+y) · (x°+z)

De Morgan (x+y)° = x° · y° (x · y)° = x° + y°


Maxtem

• Il teorema di De Morgan applicato alla funzione della fig.1 ci consente di scrivere la funzione in questo modo:

• y = (x1+x2+x3)· (x1+x2+x°3)· (x1+x°2+x°3)· .(x°1+x°2+x3)· (x°1+x°2+x°3)

• ossia sotto forma di prodotto di somme.

• Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo).


Maxtem

• L’espressione della y come prodotto di maxterm si può ottenere dalla tabella di verità della funzione;

• ci sono tanti maxterm quanto sono i valori 0 della funzione;

• ogni maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0.


Forma Canonica

• Entrambe le espressioni della funzione sotto forma di:

– somme di prodotti (minterm)

– prodotti di somme (maxterm)

• si chiamano forme canoniche di una funzione binaria.


Mappe di KARNAUGH

• Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili.

0 1

x° x• Mappa di K. per funzione ad 1

variabile x

• Mappa di K. per funzione a 2 variabili x,y con all’interno rappresentati i relativi minterm x

0 1y

0 x°y° xy°

1 x°y xy


Mappe di KARNAUGH

• La mappa di K. per una funzione a 3 variabili x,y,z è un rettangolo diviso in 8 celle come nell’esempio.

• Al solito dentro le celle sono stati scritti i relativi minterm. xy

00 01 11 10z

0 x°y°z° x°yz° xyz° xy°z°

1 x°y°z x°yz xyz xy°z

Le coordinate della tabella vanno sistemate in modo che nel passaggio da una cella all’altra ci sia un sola variazione. Infatti le coordinate per la xy saranno 00 01 11 10.


Mappe di KARNAUGH

• Una mappa di K. per 4 variabili x,y,v,z è un rettangolo diviso in 16 celle.

• All’interno indichiamo al solito i relativi minterm.

xy00 01 11 10

vz

00x°y°v°z

°x°yv°z° xyv°z° xy°v°z°

01 x°y°v°z x°yv°z xyv°z xy°v°z

11 x°y°vz x°yvz xyvz xy°vz

10 x°y°vz° x°yvz° xyvz° xy°vz°

Si omette di parlare delle mappe di K. a 5 e 6 variabili


Mappe di KARNAUGH• Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per

rappresentare una funzione booleana;• basta scrivere 1 in quelle caselle che hanno le

coordinate della tabella di verità in cui la funzione vale 1.

x y zF(x,y,z)

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

xy00 01 11 10

z

0 1 1

1 1 1 1

Rappresentazione con Mappa di K. della funzione a lato.

Prossima Lezione:Prossima Lezione:Semplificazioni di funzioni Semplificazioni di funzioni

binariebinarie

Prossima Lezione:Prossima Lezione:Semplificazioni di funzioni Semplificazioni di funzioni

binariebinarie

Arrivederci!Arrivederci!

Documents

Algebra di Boole e Funzioni Binarie Lezione Prima