Ecuaciones Lineales - Álgebra

José Manuel Sánchez MuñozUniversidad Carlos III - Preparación exámen Junio 2011 - Problemas

Mi Rincón

Matemáticowww.mates.byethost4.com

Ingeniería Mecánica

9 de junio de 2011

Problema 1.1.Hallar el núcleo y la imagen de la aplicación lineal f : R4 → R

3 tal que:

f (1, 0, 0, 0) = (1,−1, 2) ; f (0, 0, 1, 0) = (4,−1, 5)

f (0, 1, 0, 0) = (2, 1, 1) ; f (0, 0, 0, 1) = (−1,−5, 4)

En concreto se piden sendas bases del núcleo y de la imagen.Solución.

Respecto de las bases canónicas de R4 y R

3, la ecuación matricial Y = AX, de la aplicación lineal es:

y1y2y3

=

1 2 4 −1−1 1 −1 −52 1 5 4

x1x2x3x4

El núcleo lo forman las soluciones de f (x) = 0, que si se usan coordenadas se pone de la formaAX = 0. Para resolver este sistema lineal homogéneo, realizando operaciones elementales en las filas desu matriz A, se obtienen sucesivamente las matrices:

1 2 4 −10 3 3 −60 −3 −3 6

1 2 4 −10 1 1 −20 0 0 0

1 0 2 30 1 1 −20 0 0 0

Por lo tanto, los vectores del núcleo son los que cumplen (para alpha, β ∈ R):

x1 = − 2α − 3βx2 = − α + 2βx3 = αx4 = β

Luego (−2,−1, 1, 0) y (−3, 2, 0, 1) forman base del Núcleo de f (ker( f )).

La imagen es el subespacio de R3 que engendra las cuatro columnas de A. Realizando operacines

elementales en las columnas de A se obtienen sistemas de columnas equivalentes al dado; al procederde este modo, se obtiene sucesivamente:

1 0 0 0−1 3 3 −62 −3 −3 6

1 0 0 0−1 1 0 02 −1 0 0

1 0 0 01 1 0 00 −1 0 0

1

Ecuaciones Lineales - Álgebra José Manuel Sánchez Muñoz

Por lo tanto, los dos vectores columna no nulos de la última matriz generan la imagen y, como sonindependientes, son base de ella, esto es, (1, 1, 0) y (0, 1,−1) forman base de la Imagen de f (Im( f )).

Problema 1.2. Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que 2 y consi-dérese la aplicación lineal f : V → R

3 definida por

f (a+ bx+ cx2) = (a+ b− 2c, 2a+ b+ c, 2a+ 3b+ hc)

Hallar h ∈ R para que f no sea un isomorfismo. Para dicho valor de h hallar una base de la imagenIm( f ).Solución.

El valor buscado de h es aquel que hace singular a la matriz A de f (en la base usual deV y en la canónicade R

3; realizando, pues, operaciones elementales en las columnas de A, se tiene sucesivamente:

1 1 −22 1 12 3 h

1 0 02 −1 52 1 h+ 4

1 0 02 1 02 −1 h+ 9

La matriz A es singunlar para h = −9. Para este valor, el rango de A vale 2, la dimensión de Im( f )es 2 y una base de este espacio la forman las dos columnas no nulas de la última matriz, es decir, losvectores (1, 2, 2) y (0, 1,−1) de R

3.

Problema 1.3. Sea f : R4 → R

3 la aplicación lineal que, respecto de ciertas bases (e1, e2, e3, e4) de R4 y

(u1, u2, u3) de R3 tiene asociada la siguiente matriz A:

A =

1 2 0 −1−5 −9 −4 0−8 −14 −8 −2

Se pide:

1. Una base de R4 y otra de R

3 respecto de las cuales f tenga asociada la matriz canónica de equiva-lencia.

2. Bases del núcleo y de la imagen de f .

Solución.

1. Realizando adecuadas operaciones elementales en las filas de la matriz [A|I3]1 se obtiene fácilmen-te una matriz [A′|Q−1], donde A′ es triangular (escalonada) superior:

[A′|Q−1] =

1 2 0 −1 1 0 00 1 −4 −5 5 1 00 0 0 0 −2 −2 1

; Q =

1 0 0−5 1 0−8 2 1

Realizando ahora operaciones elementales en las filas de la matriz [A′|I4]2 se obtiene fácilmenteuna matriz [Cr|P], donde Cr es la matriz canónica de equivalencia de A:

[

A′

I4

]

=

1 2 0 −10 1 −4 −50 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

⇒

1 0 0 00 1 0 00 0 0 01 −2 −8 −90 1 4 50 0 1 00 0 0 1

=

[

CrP

]

1 Una matriz que resulta de escribir A y poner a su derecha la matriz unidad 3× 3.2 Matriz que resulta de escribir A′ y poner debajo de ella la matriz unidad 4× 4.

Ejercicios PropuestosUniversidad Carlos III - Ingeniería Mecánica

2

Ecuaciones Lineales - Álgebra José Manuel Sánchez Muñoz

Conocidas P y Q (que son únicas; con otras operaciones elementales se obtendrían unas P y Qdistintas), unas bases de R

4 y R3 en las que f tiene por matriz a Cr, son:

Base de R4

e,1 = e1e,2 = 2e1 + e2e,3 = −8e1 + 4e2 + e3e,4 = −9e1 + 5e2 + e4

Base de R3

u,1 = u1 − 5u2 − 8u3u,2 = u2 − 2u3u,3 = u3

2. Como rang f = rang A = 2, resulta que la imgen de f tiene dimensión r = 2 y el núcleo de f tienedimensión n− r = 4− 2 = 2. Por ello, las bases pedidas son:

Una base de Im( f ) = (los r primeros vectores de la nueva base de R3) = (u,1, u

,2)

Una base de ker( f ) = (los n− r últimos vectores de la nueva base de R4) = (e,4, e

,3)

Problema 1.4. Sean f : R3 → R

2 y g : R2 → R

3 las aplicaciones lineales que tienen por ecuaciones a:

f : (x, y, z) → f (x, y, z) = (x+ 2y+ 3z,−x+ y+ 5z)

g : (u, v) → g(u, v) = (u+ v, 2u− v, 3u− 4v)

Hallar las ecuaciones matriciales (en bases canónicas) de g◦ f y de f◦g (nótese que, en este caso, ambascomposiciones tienen sentido).Solución.

Las matrices de f y g son:

M f =

(

1 2 3−1 1 5

)

y

1 12 −13 −4

Por tanto, las ecuaciones pedidas son:

g ◦ f : (x, y, z) → Mg · M f ·

xyz

=

0 3 83 3 17 2 −11

·

xyz

f ◦ g : (u, v) → M f · Mg ·

(

uv

)

=

(

14 −1316 −22

)

·

(

uv

)

Problema 1.5. Sean (e1, e2, e3, e4) y (u1, u2, u3, u4) las bases canónicas de R4 y R

5. Considérese la aplica-ción lineal f : R

4 → R5 definida por:

f (e1) = u1 + u3 − u5f (e2) = 2u2 − u3 + u4 + 2u5f (e3) = u1 + 2u2 + u4 + u5f (e4) = 2u1 + 4u2 − u3 + 2u4 + 3u5

Se pide:

1. Ecuaciones de f en las bases canónicas de R4 y R

5.

2. Ecuaciones de f en la base (e1 + e2, e2 − e3, e1 + e3 + e4, e3 − e4) de R4 y la canónica de R

5.

3. Hallar bases del Núcleo de f (Ker( f )) y de la Imagen de f (Im( f )).

Ejercicios PropuestosUniversidad Carlos III - Ingeniería Mecánica

3

Ecuaciones Lineales - Álgebra José Manuel Sánchez Muñoz

4. Hallar un subespacioV de R4 tal que la restricción de f a V sea inyectiva y tenga la misma imagen

que f .

Solución.

1. y1 = x1 + x3 + x4y2 = 2x2 + 2x3 + 4x4y3 = x1 − x2 − x4y4 = x2 + x3 + 2x4y5 = −x1 + 2x2 + x3 + 3x4

2. y1 = x,1 − x,2 + 3x,3y2 = 2x,1 + 6x,3 − 2x,4y3 = −x,2 + x,4y4 = x,1 + 3x,3 − x,4 y5 = x,1 + x,2 + 3x,3 − 2x,4

3. (−1,−1, 1, 0) y (−1,−2, 0, 1) forman base del ker( f ).(1, 0, 1, 0,−1) y (1, 2, 0, 1, 1) forman base de Im( f ).

4. V = {(α, β, 0, 0) ∈ R4|α, β ∈ R}

Ejercicios PropuestosUniversidad Carlos III - Ingeniería Mecánica

4