Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

AlgebraScomposizione

infattori

Claudio Duchi

10 gennaio 2019

CD

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 1 / 56

Piano della presentazione CD

1 Vocabolario2 Introduzione3 Raccoglimento a fattore comune

Esempi Raccoglimento a fattor comune4 Raccoglimento parziale

Esempi Raccoglimento parziale5 Quadrato binomio

Esempi Quadrato del binomio6 Differenza di quadrati

Esempi Differenza di quadrati7 Somme e prodotti

Esempi Somma e prodotti8 Metodo di Ruffini

Esempi Metodo di Ruffini9 Esempi di riepilogo

10 Note finaliClaudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 2 / 56

Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettere

Fattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera


Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomio

Monomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera


Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letterale

Polinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera


Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non simili

Scomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera


Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattori

Doppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera


Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdue

Termine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera


Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zero

Polinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera


Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera


Introduzione

Scomposizione in fattori CD

Cosa è la scomposizione in fattori:

Insieme di tecniche per trasformare se possibile, un polinomioin un prodotto di fattori.

Scopo

1 Semplificazioni2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm


Introduzione




Scopo

1 Semplificazioni2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm


Introduzione




Scopo1 Semplificazioni

2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm


Introduzione




Scopo1 Semplificazioni2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm


Introduzione




Scopo1 Semplificazioni2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm


Raccoglimento a fattore comune

Raccoglimento a fattor comune CD

Fattore comune:Ogni termine del polinomio contiene lo stesso fattore

ab+ ac

ab+ ac

a(b+ c)

fattore comune a

raccolgo a





ab+ ac

ab+ ac

a(b+ c)

fattore comune a

raccolgo a





ab+ ac

ab+ ac

a(b+ c)

fattore comune a

raccolgo a


Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio ICD

I fattori da raccogliere possono essere più di uno

a2bc+ a2bd

a2bc+ a2bd

a2b(c+ d)

fattore comune a2b

raccolgo a2b





a2bc+ a2bd

a2bc+ a2bd

a2b(c+ d)

fattore comune a2b

raccolgo a2b





a2bc+ a2bd

a2bc+ a2bd

a2b(c+ d)

fattore comune a2b

raccolgo a2b



Raccoglimento a fattor comune esempio IICD

I fattori da raccogliere possono essere frazionari

1

4ab+

1

12ac+

3

8ad

1

4ab+

1

4a

1

3c+

1

4a

3

2d

1

4a(b+

1

3c+

3

2d)

fattore comune1

4a

raccolgo1

4a





1

4ab+

1

12ac+

3

8ad

1

4ab+

1

4a

1

3c+

1

4a

3

2d

1

4a(b+

1

3c+

3

2d)

fattore comune1

4a

raccolgo1

4a





1

4ab+

1

12ac+

3

8ad

1

4ab+

1

4a

1

3c+

1

4a

3

2d

1

4a(b+

1

3c+

3

2d)

fattore comune1

4a

raccolgo1

4a



Raccoglimento a fattor comune esempio IIICD

Un fattore può essere nascosto

xy+ xz+ x2

xy+ xz+ xx

x(y+ z+ x)

fattore comune x

raccolgo x





xy+ xz+ x2

xy+ xz+ xx

x(y+ z+ x)

fattore comune x

raccolgo x





xy+ xz+ x2

xy+ xz+ xx

x(y+ z+ x)

fattore comune x

raccolgo x



Raccoglimento a fattor comune esempio IVCD

Un fattore può essere una parentesi. Mai Moltiplicare!

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)(x+ y)

fattore comune (a+ b)

raccolgo (a+ b)





(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)(x+ y)


raccolgo (a+ b)





(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)(x+ y)


raccolgo (a+ b)



Raccoglimento a fattor comune esempio VCD


(x+ 1)y+ x+ 1

(x+ 1)y+ (x+ 1)(x+ 1)(y+ 1)

fattore comune (x+ 1)raccolgo (x+ 1)





(x+ 1)y+ x+ 1(x+ 1)y+ (x+ 1)

(x+ 1)(y+ 1)

fattore comune (x+ 1)

raccolgo (x+ 1)





(x+ 1)y+ x+ 1(x+ 1)y+ (x+ 1)

(x+ 1)(y+ 1)

fattore comune (x+ 1)

raccolgo (x+ 1)



Raccoglimento a fattor comune esempio VICD

Un esempio leggermente più complicato

xy+ 1+ (xy+ 1)2

(xy+ 1) + (xy+ 1)(xy+ 1)(xy+ 1)(1+ xy+ 1)

(xy+ 1)(xy+ 2)

fattore comune (xy+ 1)raccolgo (xy+ 1)

sommo





xy+ 1+ (xy+ 1)2

(xy+ 1) + (xy+ 1)(xy+ 1)

(xy+ 1)(1+ xy+ 1)(xy+ 1)(xy+ 2)

fattore comune (xy+ 1)

raccolgo (xy+ 1)sommo





xy+ 1+ (xy+ 1)2

(xy+ 1) + (xy+ 1)(xy+ 1)(xy+ 1)(1+ xy+ 1)

(xy+ 1)(xy+ 2)

fattore comune (xy+ 1)

raccolgo (xy+ 1)

sommo





xy+ 1+ (xy+ 1)2

(xy+ 1) + (xy+ 1)(xy+ 1)(xy+ 1)(1+ xy+ 1)

(xy+ 1)(xy+ 2)

fattore comune (xy+ 1)raccolgo (xy+ 1)

sommo



Raccoglimento a fattor comune esempio VIICD

Attenzione ai segni

(1− a)x2 + (1− a)b+ (a− 1)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y

(1− a)(x2 + b− y)

(a− 1) = −(1− a)

fattor comune (1− a)raccolgo (1− a)




Attenzione ai segni

(1− a)x2 + (1− a)b+ (a− 1)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y(1− a)(x2 + b− y)

(a− 1) = −(1− a)

fattor comune (1− a)raccolgo (1− a)




Attenzione ai segni

(1− a)x2 + (1− a)b+ (a− 1)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y

(1− a)(x2 + b− y)

(a− 1) = −(1− a)

fattor comune (1− a)

raccolgo (1− a)




Attenzione ai segni

(1− a)x2 + (1− a)b+ (a− 1)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y

(1− a)(x2 + b− y)

(a− 1) = −(1− a)

fattor comune (1− a)

raccolgo (1− a)


Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non tutti i termini del polinomio hanno lo stesso fattore incomune:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti. raccolgo a e bSi è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)ottengo






ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti.

raccolgo a e bSi è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)ottengo






ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti.

raccolgo a e b

Si è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)ottengo






ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti. raccolgo a e b

Si è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)

ottengo






ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti. raccolgo a e bSi è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)

ottengo





Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti. raccolgo c e dSi è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b) ottengo





Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti.

raccolgo c e dSi è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b) ottengo





Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti.

raccolgo c e d

Si è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b) ottengo





Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti. raccolgo c e d

Si è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b)

ottengo





Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti. raccolgo c e dSi è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b)

ottengo


Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio I CD

Falsi raccoglimenti

x4 + x3 + x2 + x Falsi raccoglimenti totali x(x3 + x2 + x+ 1) èsbagliato

x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.raccolgo x3 e xSi è trasformato in un rac-

coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)ottengo




Falsi raccoglimenti


x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.

raccolgo x3 e xSi è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)ottengo




Falsi raccoglimenti


x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.

raccolgo x3 e x

Si è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)ottengo




Falsi raccoglimenti


x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.raccolgo x3 e x

Si è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)

ottengo




Falsi raccoglimenti


x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.raccolgo x3 e xSi è trasformato in un rac-

coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)

ottengo



Raccoglimento parziale: esempio II CD

Non solo terminiNon si raccolgono solo due termini

a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c

aa+ ab+ ac+ ab2 + bb2 + b2c

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.raccolgo a e b2Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c) ottengo





a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c


a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.

raccolgo a e b2Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c) ottengo





a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c


a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.

raccolgo a e b2

Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c) ottengo





a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c


a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.raccolgo a e b2

Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c)

ottengo





a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c


a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.raccolgo a e b2Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c)

ottengo



Raccoglimento parziale: esempio III CD

I segni vanno cambiati a volte

Attenzione ai segni a volte bisogna cambiarli

2ab+ 2ac− 2bx− 2cx

2ab+ 2ac−2xb−2xc2a(b+ c)−2x(b+ c)

2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.raccolgo 2a e −2xSi è trasformato in un rac-

coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)ottengo






2ab+ 2ac− 2bx− 2cx2ab+ 2ac−2xb−2xc

2a(b+ c)−2x(b+ c)

2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.

raccolgo 2a e −2xSi è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)ottengo






2ab+ 2ac− 2bx− 2cx2ab+ 2ac−2xb−2xc2a(b+ c)−2x(b+ c)

2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.

raccolgo 2a e −2x

Si è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)ottengo







2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.raccolgo 2a e −2x

Si è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)

ottengo







2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.raccolgo 2a e −2xSi è trasformato in un rac-

coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)

ottengo


Quadrato binomio

Quadrato di un binomio CD

Quadrato binomio

a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 abbiamo il quadrato di un trinomio seabbiamo:

un quadrato a2

un doppio prodotto 2abun quadrato b2


Quadrato binomio


Quadrato binomio


un quadrato a2



Quadrato binomio


Quadrato binomio


un quadrato a2

un doppio prodotto 2ab

un quadrato b2


Quadrato binomio


Quadrato binomio


un quadrato a2



Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio I CD

Quadrato binomio

9+ 6b+ b2 è un quadrato?

9+6b+b2 =

9 è il quadrato di 3 !

b2 è il quadrato di b !

6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2




Quadrato binomio


9+6b+b2 =



6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2




Quadrato binomio


9+6b+b2 =



6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2




Quadrato binomio


9+6b+b2 =



6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2




Quadrato binomio


9+6b+b2 =



6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2



Quadrato di un binomio esempio II CD

Quadrato binomio

1+ x+ x2 è un quadrato?

1+ x+ x2 =


x2 è il quadrato di x !

x 6= 2 · 1 · x !

⇒ 1+ x+ x2 non è un quadrato




Quadrato binomio


1+ x+ x2 =



x 6= 2 · 1 · x !





Quadrato binomio


1+ x+ x2 =



x 6= 2 · 1 · x !





Quadrato binomio


1+ x+ x2 =



x 6= 2 · 1 · x !





Quadrato binomio


1+ x+ x2 =



x 6= 2 · 1 · x !




Quadrato di un binomio esempio III 1/4 CD

Quadrato binomio

16− 8a+ a2

occhio al segno

Il problema è che

−8a =

�

2 · (−4) · (a)2 · (4) · (−a)




Quadrato binomio

16− 8a+ a2

occhio al segno

Il problema è che

−8a =

�

2 · (−4) · (a)2 · (4) · (−a)




quindi

16− 8a+ a2 =

16 è il quadrato di −4 !

a2 è il quadrato di a !

− 8a = 2 · (−4) · a !

⇒ 16− 8a+ a2 = (−4+ a)2




quindi

16− 8a+ a2 =



− 8a = 2 · (−4) · a !

⇒ 16− 8a+ a2 = (−4+ a)2




quindi

16− 8a+ a2 =



− 8a = 2 · (−4) · a !

⇒ 16− 8a+ a2 = (−4+ a)2




quindi

16− 8a+ a2 =



− 8a = 2 · (−4) · a !

⇒ 16− 8a+ a2 = (−4+ a)2




ma anche

16− 8a+ a2 =


a2 è il quadrato di −a !

− 8a = 2 · 4 · (−a) !

⇒ 16− 8a+ a2 = (4− a)2




ma anche

16− 8a+ a2 =



− 8a = 2 · 4 · (−a) !

⇒ 16− 8a+ a2 = (4− a)2




ma anche

16− 8a+ a2 =



− 8a = 2 · 4 · (−a) !

⇒ 16− 8a+ a2 = (4− a)2




ma anche

16− 8a+ a2 =



− 8a = 2 · 4 · (−a) !

⇒ 16− 8a+ a2 = (4− a)2



Quadrato di un trinomio esempio III 4/4 CD

Ricapitolando sono valide entrambe le scelte

16− 8a+ a2 =

¨

(4− a)2

(−4+ a)2

Si sceglie in base al contesto


Differenza di quadrati

Differenza di quadrati CD


a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

abbiamo una differenza di quadrati se:

un quadrato a2

un quadrato b2

vi è una differenza fra i quadrati a2 − b2

Se è vero quanto detto, possiamo scrivere una differenza fraquadrati come il prodotto di due binomi





a2 − b2 = (a− b)(a+ b)


un quadrato a2

un quadrato b2







a2 − b2 = (a− b)(a+ b)


un quadrato a2

un quadrato b2







a2 − b2 = (a− b)(a+ b)


un quadrato a2

un quadrato b2







a2 − b2 = (a− b)(a+ b)


un quadrato a2

un quadrato b2




Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio I CD


4− a2 è una differenza di quadrati?

4−a2 =

4è il quadrato di 2 !

a2è il quadrato di a !

4− a2è una differenza? !

⇒4−a2 = (2−a)(2+a)






4−a2 =




⇒4−a2 = (2−a)(2+a)






4−a2 =




⇒4−a2 = (2−a)(2+a)






4−a2 =




⇒4−a2 = (2−a)(2+a)






4−a2 =




⇒4−a2 = (2−a)(2+a)



Differenza di quadrati esempio II CD


1+ x2z4 è una differenza di quadrati?

1+ x2z4 =


x2z4 è il quadrato di xz2 !

1+ x2z4è una differenza? !

⇒1+ x2z4

Non èuna diffe-renza diquadrati






1+ x2z4 =




⇒1+ x2z4







1+ x2z4 =




⇒1+ x2z4







1+ x2z4 =




⇒1+ x2z4







1+ x2z4 =




⇒1+ x2z4




Differenza di quadrati esempio III CD


4a2b4 − 9x2y6 è una differenza di quadrati?

4a2b4 − 9x2y6 =

4a2b4è il quadrato di 2ab2 !

9x2y6è il quadrato di 3xy3 !

4a2b4 − 9x2y6è una differenza? !

⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)






4a2b4 − 9x2y6 =




⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)






4a2b4 − 9x2y6 =




⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)






4a2b4 − 9x2y6 =




⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)






4a2b4 − 9x2y6 =




⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)



Differenza di quadrati esempio IV 1/3 CD


x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x8 − 1 =

x8è il quadrato di x4 !


x8 − 1è una differenza? !

⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?






x8 − 1 =




⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?






x8 − 1 =




⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?






x8 − 1 =




⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?






x8 − 1 =




⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?






x4 − 1 =




⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x4 − 1 =




⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x4 − 1 =




⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x4 − 1 =




⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x4 − 1 =




⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x4 − 1 =




⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x2 − 1 =

x2è il quadrato di x !



⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x2 − 1 =




⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x2 − 1 =




⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x2 − 1 =




⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x2 − 1 =




⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)






x2 − 1 =




⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)


Somme e prodotti

Somme e prodotti CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Posso scrivere il trinomio come il prodotto di due binomi se:

a+ b = S

a · b = P

Se esistono a e b, possiamo scrivere il trinomio come ilprodotto di due binomi.


Somme e prodotti

Somme e prodotti CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)


a+ b = S

a · b = P



Somme e prodotti

Somme e prodotti CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)


a+ b = S

a · b = P



Somme e prodotti

Somme e prodotti CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)


a+ b = S

a · b = P



Somme e prodotti

Somme e prodotti perché CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Perché somme e prodotti?

(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b= x2 + (a+ b)x+ a · b

= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo


Somme e prodotti


Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)


(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b= x2 + (a+ b)x+ a · b

= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo


Somme e prodotti


Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)


(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b

= x2 + (a+ b)x+ a · b= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo


Somme e prodotti


Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)


(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b= x2 + (a+ b)x+ a · b

= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo


Somme e prodotti


Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)


(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b= x2 + (a+ b)x+ a · b

= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo


Somme e prodotti

Somme e prodotti come fare CD

Come fare?

x2 + Sx+ P

1 Considero tutti i divisori del prodotto P2 Li ordino dal piú piccolo al piú grande±a1,±a2,±a3,±a4, . . . ,±an

3 Li prendo in coppie, il primo con l’ultimo, il secondo con ilpenultimo etc.

(a1,an), (a2,an−1), (a3,an−2), (a4,an−3), . . .

4 Sommo le coppie e trovo quella che è uguale a S5 Termino sostituendo a e b con i valori trovati

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)


Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio I CD

Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6Somma = 5Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)

La coppia (+2,+3) è quella giusta infatti�

S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)




Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6

Somma = 5Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)


S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)




Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6Somma = 5

Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)


S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)




Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6Somma = 5Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6

Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)


S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)




Scomponiamo

x2 + 5x+ 6



S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)




Scomponiamo

x2 + 5x+ 6



S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)




Scomponiamo

x2 + 5x+ 6



S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)



Somme e prodotti esempio II CD

Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)




Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8

Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)




Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6

Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)




Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8

Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)




Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)

La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)




Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8


S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)




Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8


S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)


Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini CD

TeoriaUn polinomio P(x) è divisibile per x− b se P(b) = 0

Quindi se1 P(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 è un polinomio

2 P(b) = anbn + an−1bn−1 + · · ·+ a2b2 + a1b+ b0 = 03 x− b divide P(x)

Dove trovare b?Se il coefficiente di grado massimo è uno b è fra i divisori consegno del termine noto. Altrimenti b è fra le frazioni con segnoche hanno per numeratore i divisori del temine noto, e perdenominatore i divisore del termine di grado massimo.


Metodo di Ruffini



Quindi se1 P(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 è un polinomio2 P(b) = anbn + an−1bn−1 + · · ·+ a2b2 + a1b+ b0 = 0

3 x− b divide P(x)



Metodo di Ruffini



Quindi se1 P(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 è un polinomio2 P(b) = anbn + an−1bn−1 + · · ·+ a2b2 + a1b+ b0 = 03 x− b divide P(x)



Metodo di Ruffini



Quindi se1 P(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 è un polinomio2 P(b) = anbn + an−1bn−1 + · · ·+ a2b2 + a1b+ b0 = 03 x− b divide P(x)



Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio I CD

Domanda

I divisori di 6x5 + 3x2 + x+ 2

1 I divisori del termine 2 sono ±1,±2

2 I divisori del termine 6 sono ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 11), (x±

12), (x±

13), (x±

16),

(x± 21), (x±

22), (x±

23), (x±

26)




Domanda


1 I divisori del termine 2 sono ±1,±22 I divisori del termine 6 sono ±1,±2,±3,±6

3 I possibili divisori del polinomio sono(x± 1

1), (x±12), (x±

13), (x±

16),

(x± 21), (x±

22), (x±

23), (x±

26)




Domanda


1 I divisori del termine 2 sono ±1,±22 I divisori del termine 6 sono ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 11), (x±

12), (x±

13), (x±

16),

(x± 21), (x±

22), (x±

23), (x±

26)



Metodo di Ruffini esempio II CD

Domanda

Fra (x+ 1) e (x+ 2) chi divide x3 − 2x2 − 5x+ 6?

Verifico x+ 1

attenzione al segno

Sostituisco a x = −1

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6− 1− 2+ 6+ 6 = 8

attenzione al segno


(−2)3 − 2(−2)2 − 5(−2) + 6− 8− 8+ 10+ 6 = 0

(x+ 2) divide x3 − 2x2 − 5x+ 6?



Metodo di Ruffini esempio II CD

Domanda

Fra (x+ 1) e (x+ 2) chi divide x3 − 2x2 − 5x+ 6?

Verifico x+ 1

attenzione al segno


(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6− 1− 2+ 6+ 6 = 8

attenzione al segno


(−2)3 − 2(−2)2 − 5(−2) + 6− 8− 8+ 10+ 6 = 0

(x+ 2) divide x3 − 2x2 − 5x+ 6?



Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±6

2 I divisori possibili del polinomio sono(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)

3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1





x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)


(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0


(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0






x3 − 2x2 − 5x+ 6


(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0


(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0






x3 − 2x2 − 5x+ 6



(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0


(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0






x3 − 2x2 − 5x+ 6



(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6

−1− 2+ 5+ 6 6= 04 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0






x3 − 2x2 − 5x+ 6



(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0


(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0






x3 − 2x2 − 5x+ 6



(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0


(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0






x3 − 2x2 − 5x+ 6



(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0


(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0






x3 − 2x2 − 5x+ 6



(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 6

1− 2− 5+ 6 = 05 Il divisore è x− 1





x3 − 2x2 − 5x+ 6



(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0





Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello

1 − 2 − 5 + 61 1 − 1 − 6

1 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1

− 2 − 5 + 61 1 − 1 − 6

1 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2

− 5 + 61 1 − 1 − 6

1 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5

+ 61 1 − 1 − 6

1 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1

1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1

1 − 1 − 6

1

− 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1 1

− 1 − 6

1

− 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1 1

− 1 − 6

1 − 1

− 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1 1 − 1

− 6

1 − 1

− 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1 1 − 1

− 6

1 − 1 − 6

0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1 1 − 1 − 61 − 1 − 6

0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1 1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1 1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6




Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)


1 1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6





x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±6

2 I possibili divisori del polinomio sono(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)


(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0


(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2





x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)


(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0


(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0






x2 − x− 6


(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0


(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0






x2 − x− 6



(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0


(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0






x2 − x− 6



(2)2 − (2)− 6

4− 2− 6 6= 04 Provo a dividere per (x+ 2)

(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0






x2 − x− 6



(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0


(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0






x2 − x− 6



(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0


(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0






x2 − x− 6



(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0


(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0






x2 − x− 6



(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)(−2)2 − (−2)− 6

4+ 2− 6 = 05 Il divisore è x+ 2





x2 − x− 6



(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0






x2 − x− 6



(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0





Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1

− 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1

− 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1

− 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6

− 2 − 2 + 61 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2

− 2 + 61 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2

− 2 + 6

1

− 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2 − 2

+ 6

1

− 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2 − 2

+ 6

1 − 3

0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2 − 2

+ 6

1 − 3

0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2 − 2

+ 6

1 − 3

0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3

0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)


1 − 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)




Ricapitolando

Avevamo x3 − 2x2 − 5x+ 6 abbiamo ottenuto

1 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

2 (x− 1)(x2 − x− 6) = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)3 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)




Ricapitolando


1 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)2 (x− 1)(x2 − x− 6) = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)

3 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)




Ricapitolando


1 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)2 (x− 1)(x2 − x− 6) = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)3 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)



Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD


6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±1

2 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0


6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0







1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±6

3 I possibili divisori del polinomio sono:(x± 1), (x± 1

2), (x±13), (x±

16)


6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0


6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0







1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0


6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0








(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0


6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0








(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0


6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0








(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1

−6− 5− 2+ 1 6= 05 Provo a dividere per (x− 1)

6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0








(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0


6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0








(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)



6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0








(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


5 Provo a dividere per (x− 1)6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 1

6− 5− 2+ 1 = 06 Il divisore è x− 1







(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


5 Provo a dividere per (x− 1)6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0








(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


5 Provo a dividere per (x− 1)6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56



Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


6 − 5 − 2 + 11 6 1 − 1

6 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6

− 5 − 2 + 11 6 1 − 1

6 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5

− 2 + 11 6 1 − 1

6 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2

+ 11 6 1 − 1

6 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1 6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1

6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1

6 1 − 1

6

1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1 6

1 − 1

6

1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1 6

1 − 1

6 1

− 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1 6 1

− 1

6 1

− 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1 6 1

− 1

6 1 − 1

0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1 6 1 − 16 1 − 1

0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1 6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1 6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1




Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)


1 6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1





x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±1

2 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)





x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±6

3 I possibili divisori del polinomio sono:(x± 1), (x± 1

2), (x±13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0






x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0






x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0






x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0






x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0






x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0






x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0






x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 06 Il divisore è (x− 1

3)





x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1


3)





x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0






x2 − x− 6


(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)


6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0


6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1


3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6

1 − 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1

− 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1

− 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1

− 13

63

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

3

63

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

3

63

33

6

3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

363

33

6

3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

363

33

6 3

0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

363

33

6 3

0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

363

33

6 3

0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

363

33

6 3

0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)


6 1 − 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)




Ricapitolando

Avevamo 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 abbiamo ottenuto

1 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = (x− 1)(6x2 + x− 1)

2 (x− 1)(6x2 + x− 1) = (x− 1)(x− 13)(6x− 3)

3 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = 3(x− 1)(x− 13)(2x− 1)




Ricapitolando


1 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = (x− 1)(6x2 + x− 1)2 (x− 1)(6x2 + x− 1) = (x− 1)(x− 1

3)(6x− 3)

3 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = 3(x− 1)(x− 13)(2x− 1)




Ricapitolando


1 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = (x− 1)(6x2 + x− 1)2 (x− 1)(6x2 + x− 1) = (x− 1)(x− 1

3)(6x− 3)

3 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = 3(x− 1)(x− 13)(2x− 1)


Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]


a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]


a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]


a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]


a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]


a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]


a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplifico

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]


a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]


a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo


3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)


a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]


a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato

1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a

3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)



3a(a+ 2b)2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2


3a(a2 + 4ab+ 4b2)



3a(a+ 2b)2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2


3a(a2 + 4ab+ 4b2)



3a(a+ 2b)2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2


3a(a2 + 4ab+ 4b2)



3a(a+ 2b)2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2


3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato1 a2 è il quadrato di a !

2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2


3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !

3 4ab = 2 · a · 2b !3a(a+ 2b)2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2


3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2


3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare

Un quadrato può avere molte forme

(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato

1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare


(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato

1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare


(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !

2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare


(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !

3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y ![(x− 1) + y]2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare


(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2


Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare


(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2


Esempi di riepilogo

Polinomio da osservare CD

Un quadrato nascosto

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.raccolgo 2x e 4ySi é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente


Esempi di riepilogo



2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.

raccolgo 2x e 4ySi é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente


Esempi di riepilogo



2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.

raccolgo 2x e 4y

Si é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente


Esempi di riepilogo



2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.raccolgo 2x e 4y

Si é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente


Esempi di riepilogo



2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)


ottengo

finalmente


Esempi di riepilogo



2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)


ottengo

finalmente


Note finali

Note finali CD

Sicuramente vi sono errori ed e imprecisioni e vi pregosegnalarli

LicenzaSicuramente, in questo lavoro vi sono errori e imprecisioni, percortesia segnalatemeli.Copyright © 2019, Claudio Duchi.Quanto segue è stato rilasciato con licenza c CreativeCommons 3.0 Attribuzione − Non commerciale − Condividi allostesso modo − Non opere derivatePer informazioni visita il sito webhttp://creativecommons.org o spedisci una lettera aCreative Commons, 171 Second Street, Suite 300, SanFrancisco, California, 94105, USA.

b Attribuzione: Devi riconoscere il contributo dell’autoreoriginario.

n Non commerciale: Non puoi utilizzare il contenuto di questodocumento per scopi commerciali.

d Non opere derivate: Non puoi alterare modificare osviluppare questo documento.

a Condividi allo stesso modo: Questo documento, secondiviso, deve rispettare tutte le condizioni dellalicenza.


http://creativecommons.org

http://breviariomatematico.altervista.org

Note finali

Mezzi e strumenti CD

I mezzi usatipdfLATEX tramite la distribuzioneTEX Livehttp://www.tug.org/texlivePacchetti usati

1 Per la grafica si è usato il pacchetto pgf 3.0.1a, TikZ2 Per la matematica si è usato il pacchetto AMS3 Per la presentazione Beamer

Editor usati1 TEXstudio

http://texstudio.sourceforge.net/2 Tikzedt

http://www.tikzedt.org/index.html3 QTikZ

http://www.hackenberger.at/blog/ktikz-editor-for-the-tikz-language/


http://www.tug.org/texlive

http://texstudio.sourceforge.net/

http://www.tikzedt.org/index.html



Note finali

Consigli I CD

Aiuti1 Forum del guIt

http://www.guitex.org/home/it/forum2 TEX ample.net

http://www.texample.netda cui qualche immagine è stata tratta

3 TEX StackExchangehttp://tex.stackexchange.com


http://www.guitex.org/home/it/forum

http://www.texample.net

http://tex.stackexchange.com

Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

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