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Algebra Scomposizione in fattori Claudio Duchi 10 gennaio 2019 C D Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 1 / 56

Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

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Page 1: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

AlgebraScomposizione

infattori

Claudio Duchi

10 gennaio 2019

CD

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 1 / 56

Page 2: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Piano della presentazione CD

1 Vocabolario2 Introduzione3 Raccoglimento a fattore comune

Esempi Raccoglimento a fattor comune4 Raccoglimento parziale

Esempi Raccoglimento parziale5 Quadrato binomio

Esempi Quadrato del binomio6 Differenza di quadrati

Esempi Differenza di quadrati7 Somme e prodotti

Esempi Somma e prodotti8 Metodo di Ruffini

Esempi Metodo di Ruffini9 Esempi di riepilogo

10 Note finaliClaudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 2 / 56

Page 3: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettere

Fattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 3 / 56

Page 4: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomio

Monomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 3 / 56

Page 5: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letterale

Polinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 3 / 56

Page 6: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non simili

Scomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 3 / 56

Page 7: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattori

Doppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 3 / 56

Page 8: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdue

Termine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 3 / 56

Page 9: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zero

Polinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 3 / 56

Page 10: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Vocabolario

Vocabolario CD

Monomi: Prodotto di numeri e di lettereFattore: Termine con cui è formato un monomioMonomi simili: Monomi che hanno la stessa parte letteralePolinomio: Somma di monomi non similiScomposizione in fattori: Scrivere un polinomio comeprodotto di più fattoriDoppio prodotto: Moltiplicare il prodotto di due fattori perdueTermine noto: Termine di grado zeroPolinomio ordinato: Polinomio ordinato rispetto al grado diuna lettera

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 3 / 56

Page 11: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Introduzione

Scomposizione in fattori CD

Cosa è la scomposizione in fattori:

Insieme di tecniche per trasformare se possibile, un polinomioin un prodotto di fattori.

Scopo

1 Semplificazioni2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 4 / 56

Page 12: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Introduzione

Scomposizione in fattori CD

Cosa è la scomposizione in fattori:

Insieme di tecniche per trasformare se possibile, un polinomioin un prodotto di fattori.

Scopo

1 Semplificazioni2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 4 / 56

Page 13: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Introduzione

Scomposizione in fattori CD

Cosa è la scomposizione in fattori:

Insieme di tecniche per trasformare se possibile, un polinomioin un prodotto di fattori.

Scopo1 Semplificazioni

2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 4 / 56

Page 14: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Introduzione

Scomposizione in fattori CD

Cosa è la scomposizione in fattori:

Insieme di tecniche per trasformare se possibile, un polinomioin un prodotto di fattori.

Scopo1 Semplificazioni2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 4 / 56

Page 15: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Introduzione

Scomposizione in fattori CD

Cosa è la scomposizione in fattori:

Insieme di tecniche per trasformare se possibile, un polinomioin un prodotto di fattori.

Scopo1 Semplificazioni2 Calcolo MCD

3 Calcolo mcm

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 4 / 56

Page 16: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune

Raccoglimento a fattor comune CD

Fattore comune:Ogni termine del polinomio contiene lo stesso fattore

ab+ ac

ab+ ac

a(b+ c)

fattore comune a

raccolgo a

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 5 / 56

Page 17: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune

Raccoglimento a fattor comune CD

Fattore comune:Ogni termine del polinomio contiene lo stesso fattore

ab+ ac

ab+ ac

a(b+ c)

fattore comune a

raccolgo a

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 5 / 56

Page 18: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune

Raccoglimento a fattor comune CD

Fattore comune:Ogni termine del polinomio contiene lo stesso fattore

ab+ ac

ab+ ac

a(b+ c)

fattore comune a

raccolgo a

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 5 / 56

Page 19: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio ICD

I fattori da raccogliere possono essere più di uno

a2bc+ a2bd

a2bc+ a2bd

a2b(c+ d)

fattore comune a2b

raccolgo a2b

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 6 / 56

Page 20: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio ICD

I fattori da raccogliere possono essere più di uno

a2bc+ a2bd

a2bc+ a2bd

a2b(c+ d)

fattore comune a2b

raccolgo a2b

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 6 / 56

Page 21: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio ICD

I fattori da raccogliere possono essere più di uno

a2bc+ a2bd

a2bc+ a2bd

a2b(c+ d)

fattore comune a2b

raccolgo a2b

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 6 / 56

Page 22: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio IICD

I fattori da raccogliere possono essere frazionari

1

4ab+

1

12ac+

3

8ad

1

4ab+

1

4a

1

3c+

1

4a

3

2d

1

4a(b+

1

3c+

3

2d)

fattore comune1

4a

raccolgo1

4a

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 7 / 56

Page 23: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio IICD

I fattori da raccogliere possono essere frazionari

1

4ab+

1

12ac+

3

8ad

1

4ab+

1

4a

1

3c+

1

4a

3

2d

1

4a(b+

1

3c+

3

2d)

fattore comune1

4a

raccolgo1

4a

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 7 / 56

Page 24: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio IICD

I fattori da raccogliere possono essere frazionari

1

4ab+

1

12ac+

3

8ad

1

4ab+

1

4a

1

3c+

1

4a

3

2d

1

4a(b+

1

3c+

3

2d)

fattore comune1

4a

raccolgo1

4a

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 7 / 56

Page 25: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio IIICD

Un fattore può essere nascosto

xy+ xz+ x2

xy+ xz+ xx

x(y+ z+ x)

fattore comune x

raccolgo x

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 8 / 56

Page 26: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio IIICD

Un fattore può essere nascosto

xy+ xz+ x2

xy+ xz+ xx

x(y+ z+ x)

fattore comune x

raccolgo x

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 8 / 56

Page 27: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio IIICD

Un fattore può essere nascosto

xy+ xz+ x2

xy+ xz+ xx

x(y+ z+ x)

fattore comune x

raccolgo x

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 8 / 56

Page 28: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio IVCD

Un fattore può essere una parentesi. Mai Moltiplicare!

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)(x+ y)

fattore comune (a+ b)

raccolgo (a+ b)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 9 / 56

Page 29: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio IVCD

Un fattore può essere una parentesi. Mai Moltiplicare!

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)(x+ y)

fattore comune (a+ b)

raccolgo (a+ b)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 9 / 56

Page 30: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio IVCD

Un fattore può essere una parentesi. Mai Moltiplicare!

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)x+ (a+ b)y

(a+ b)(x+ y)

fattore comune (a+ b)

raccolgo (a+ b)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 9 / 56

Page 31: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VCD

Un fattore può essere nascosto

(x+ 1)y+ x+ 1

(x+ 1)y+ (x+ 1)(x+ 1)(y+ 1)

fattore comune (x+ 1)raccolgo (x+ 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 10 / 56

Page 32: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VCD

Un fattore può essere nascosto

(x+ 1)y+ x+ 1(x+ 1)y+ (x+ 1)

(x+ 1)(y+ 1)

fattore comune (x+ 1)

raccolgo (x+ 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 10 / 56

Page 33: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VCD

Un fattore può essere nascosto

(x+ 1)y+ x+ 1(x+ 1)y+ (x+ 1)

(x+ 1)(y+ 1)

fattore comune (x+ 1)

raccolgo (x+ 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 10 / 56

Page 34: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VICD

Un esempio leggermente più complicato

xy+ 1+ (xy+ 1)2

(xy+ 1) + (xy+ 1)(xy+ 1)(xy+ 1)(1+ xy+ 1)

(xy+ 1)(xy+ 2)

fattore comune (xy+ 1)raccolgo (xy+ 1)

sommo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 11 / 56

Page 35: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VICD

Un esempio leggermente più complicato

xy+ 1+ (xy+ 1)2

(xy+ 1) + (xy+ 1)(xy+ 1)

(xy+ 1)(1+ xy+ 1)(xy+ 1)(xy+ 2)

fattore comune (xy+ 1)

raccolgo (xy+ 1)sommo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 11 / 56

Page 36: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VICD

Un esempio leggermente più complicato

xy+ 1+ (xy+ 1)2

(xy+ 1) + (xy+ 1)(xy+ 1)(xy+ 1)(1+ xy+ 1)

(xy+ 1)(xy+ 2)

fattore comune (xy+ 1)

raccolgo (xy+ 1)

sommo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 11 / 56

Page 37: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VICD

Un esempio leggermente più complicato

xy+ 1+ (xy+ 1)2

(xy+ 1) + (xy+ 1)(xy+ 1)(xy+ 1)(1+ xy+ 1)

(xy+ 1)(xy+ 2)

fattore comune (xy+ 1)raccolgo (xy+ 1)

sommo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 11 / 56

Page 38: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VIICD

Attenzione ai segni

(1− a)x2 + (1− a)b+ (a− 1)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y

(1− a)(x2 + b− y)

(a− 1) = −(1− a)

fattor comune (1− a)raccolgo (1− a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 12 / 56

Page 39: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VIICD

Attenzione ai segni

(1− a)x2 + (1− a)b+ (a− 1)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y(1− a)(x2 + b− y)

(a− 1) = −(1− a)

fattor comune (1− a)raccolgo (1− a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 12 / 56

Page 40: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VIICD

Attenzione ai segni

(1− a)x2 + (1− a)b+ (a− 1)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y

(1− a)(x2 + b− y)

(a− 1) = −(1− a)

fattor comune (1− a)

raccolgo (1− a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 12 / 56

Page 41: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento a fattore comune Esempi Raccoglimento a fattor comune

Raccoglimento a fattor comune esempio VIICD

Attenzione ai segni

(1− a)x2 + (1− a)b+ (a− 1)y

(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y(1− a)x2 + (1− a)b− (1− a)y

(1− a)(x2 + b− y)

(a− 1) = −(1− a)

fattor comune (1− a)

raccolgo (1− a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 12 / 56

Page 42: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non tutti i termini del polinomio hanno lo stesso fattore incomune:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti. raccolgo a e bSi è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 13 / 56

Page 43: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non tutti i termini del polinomio hanno lo stesso fattore incomune:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti.

raccolgo a e bSi è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 13 / 56

Page 44: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non tutti i termini del polinomio hanno lo stesso fattore incomune:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti.

raccolgo a e b

Si è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 13 / 56

Page 45: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non tutti i termini del polinomio hanno lo stesso fattore incomune:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti. raccolgo a e b

Si è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 13 / 56

Page 46: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non tutti i termini del polinomio hanno lo stesso fattore incomune:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

a(c+ d) + b(c+ d)

a(c+ d) + b(c+ d)

(c+ d)(a+ b)

a è fattore comune fra i pri-mi due termini e b per irimanenti. raccolgo a e bSi è trasformato in unraccoglimento a fattorecomune e raccolgo (c+ d)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 13 / 56

Page 47: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti. raccolgo c e dSi è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b) ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 14 / 56

Page 48: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti.

raccolgo c e dSi è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b) ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 14 / 56

Page 49: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti.

raccolgo c e d

Si è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b) ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 14 / 56

Page 50: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti. raccolgo c e d

Si è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 14 / 56

Page 51: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale CD

Raccoglimento parziale:

Non è unico:

ac+ ad+ bc+ bd

ac+ ad+ bc+ bd

c(a+ b) + d(a+ b)

c(a+ b) + d(a+ b)

(a+ b)(c+ d)

c è fattore comune fra il pri-mo e il terzo termine e d peri rimanenti. raccolgo c e dSi è trasformato in un racco-glimento a fattore comune eraccolgo (a+ b)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 14 / 56

Page 52: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio I CD

Falsi raccoglimenti

x4 + x3 + x2 + x Falsi raccoglimenti totali x(x3 + x2 + x+ 1) èsbagliato

x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.raccolgo x3 e xSi è trasformato in un rac-

coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 15 / 56

Page 53: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio I CD

Falsi raccoglimenti

x4 + x3 + x2 + x Falsi raccoglimenti totali x(x3 + x2 + x+ 1) èsbagliato

x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.

raccolgo x3 e xSi è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 15 / 56

Page 54: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio I CD

Falsi raccoglimenti

x4 + x3 + x2 + x Falsi raccoglimenti totali x(x3 + x2 + x+ 1) èsbagliato

x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.

raccolgo x3 e x

Si è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 15 / 56

Page 55: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio I CD

Falsi raccoglimenti

x4 + x3 + x2 + x Falsi raccoglimenti totali x(x3 + x2 + x+ 1) èsbagliato

x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.raccolgo x3 e x

Si è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 15 / 56

Page 56: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio I CD

Falsi raccoglimenti

x4 + x3 + x2 + x Falsi raccoglimenti totali x(x3 + x2 + x+ 1) èsbagliato

x4 + x3 + x2 + x

x3x+ x3 + xx+ x

x3(x+ 1) + x(x+ 1)

x2x(x+ 1) + x(x+ 1)

x(x+ 1)(x2 + 1)

x3 è fattore comune fra ilprimo e il secondo terminee x per i rimanenti.raccolgo x3 e xSi è trasformato in un rac-

coglimento a fattore comu-ne e raccolgo x(x+ 1)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 15 / 56

Page 57: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio II CD

Non solo terminiNon si raccolgono solo due termini

a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c

aa+ ab+ ac+ ab2 + bb2 + b2c

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.raccolgo a e b2Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c) ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 16 / 56

Page 58: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio II CD

Non solo terminiNon si raccolgono solo due termini

a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c

aa+ ab+ ac+ ab2 + bb2 + b2c

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.

raccolgo a e b2Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c) ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 16 / 56

Page 59: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio II CD

Non solo terminiNon si raccolgono solo due termini

a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c

aa+ ab+ ac+ ab2 + bb2 + b2c

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.

raccolgo a e b2

Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c) ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 16 / 56

Page 60: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio II CD

Non solo terminiNon si raccolgono solo due termini

a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c

aa+ ab+ ac+ ab2 + bb2 + b2c

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.raccolgo a e b2

Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 16 / 56

Page 61: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio II CD

Non solo terminiNon si raccolgono solo due termini

a2 + ab+ ac+ ab2 + b3 + b2c

aa+ ab+ ac+ ab2 + bb2 + b2c

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

a(a+ b+ c) + b2(a+ b+ c)

(a+ b+ c)(a+ b2)

a è fattore comunefra il primi tre terminie b2 per i rimanenti.raccolgo a e b2Si è trasformato in unraccoglimento a fat-tore comune e raccol-go (a+ b+ c)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 16 / 56

Page 62: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio III CD

I segni vanno cambiati a volte

Attenzione ai segni a volte bisogna cambiarli

2ab+ 2ac− 2bx− 2cx

2ab+ 2ac−2xb−2xc2a(b+ c)−2x(b+ c)

2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.raccolgo 2a e −2xSi è trasformato in un rac-

coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 17 / 56

Page 63: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio III CD

I segni vanno cambiati a volte

Attenzione ai segni a volte bisogna cambiarli

2ab+ 2ac− 2bx− 2cx2ab+ 2ac−2xb−2xc

2a(b+ c)−2x(b+ c)

2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.

raccolgo 2a e −2xSi è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 17 / 56

Page 64: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio III CD

I segni vanno cambiati a volte

Attenzione ai segni a volte bisogna cambiarli

2ab+ 2ac− 2bx− 2cx2ab+ 2ac−2xb−2xc2a(b+ c)−2x(b+ c)

2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.

raccolgo 2a e −2x

Si è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 17 / 56

Page 65: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio III CD

I segni vanno cambiati a volte

Attenzione ai segni a volte bisogna cambiarli

2ab+ 2ac− 2bx− 2cx2ab+ 2ac−2xb−2xc2a(b+ c)−2x(b+ c)

2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.raccolgo 2a e −2x

Si è trasformato in un rac-coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 17 / 56

Page 66: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Raccoglimento parziale Esempi Raccoglimento parziale

Raccoglimento parziale: esempio III CD

I segni vanno cambiati a volte

Attenzione ai segni a volte bisogna cambiarli

2ab+ 2ac− 2bx− 2cx2ab+ 2ac−2xb−2xc2a(b+ c)−2x(b+ c)

2(b+ c)a− 2(b+ c)x

2(b+ c)(a− x)

2a è fattore comune fra ilprimi due termini e −2xper i rimanenti.raccolgo 2a e −2xSi è trasformato in un rac-

coglimento a fattore comu-ne e raccolgo 2(b+ c)

ottengo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 17 / 56

Page 67: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio

Quadrato di un binomio CD

Quadrato binomio

a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 abbiamo il quadrato di un trinomio seabbiamo:

un quadrato a2

un doppio prodotto 2abun quadrato b2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 18 / 56

Page 68: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio

Quadrato di un binomio CD

Quadrato binomio

a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 abbiamo il quadrato di un trinomio seabbiamo:

un quadrato a2

un doppio prodotto 2abun quadrato b2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 18 / 56

Page 69: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio

Quadrato di un binomio CD

Quadrato binomio

a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 abbiamo il quadrato di un trinomio seabbiamo:

un quadrato a2

un doppio prodotto 2ab

un quadrato b2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 18 / 56

Page 70: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio

Quadrato di un binomio CD

Quadrato binomio

a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 abbiamo il quadrato di un trinomio seabbiamo:

un quadrato a2

un doppio prodotto 2abun quadrato b2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 18 / 56

Page 71: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio I CD

Quadrato binomio

9+ 6b+ b2 è un quadrato?

9+6b+b2 =

9 è il quadrato di 3 !

b2 è il quadrato di b !

6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 19 / 56

Page 72: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio I CD

Quadrato binomio

9+ 6b+ b2 è un quadrato?

9+6b+b2 =

9 è il quadrato di 3 !

b2 è il quadrato di b !

6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 19 / 56

Page 73: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio I CD

Quadrato binomio

9+ 6b+ b2 è un quadrato?

9+6b+b2 =

9 è il quadrato di 3 !

b2 è il quadrato di b !

6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 19 / 56

Page 74: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio I CD

Quadrato binomio

9+ 6b+ b2 è un quadrato?

9+6b+b2 =

9 è il quadrato di 3 !

b2 è il quadrato di b !

6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 19 / 56

Page 75: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio I CD

Quadrato binomio

9+ 6b+ b2 è un quadrato?

9+6b+b2 =

9 è il quadrato di 3 !

b2 è il quadrato di b !

6b = 2 · 3 · b !

⇒ 9+ 6b+ b2 = (3+ b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 19 / 56

Page 76: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio II CD

Quadrato binomio

1+ x+ x2 è un quadrato?

1+ x+ x2 =

1 è il quadrato di 1 !

x2 è il quadrato di x !

x 6= 2 · 1 · x !

⇒ 1+ x+ x2 non è un quadrato

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 20 / 56

Page 77: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio II CD

Quadrato binomio

1+ x+ x2 è un quadrato?

1+ x+ x2 =

1 è il quadrato di 1 !

x2 è il quadrato di x !

x 6= 2 · 1 · x !

⇒ 1+ x+ x2 non è un quadrato

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 20 / 56

Page 78: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio II CD

Quadrato binomio

1+ x+ x2 è un quadrato?

1+ x+ x2 =

1 è il quadrato di 1 !

x2 è il quadrato di x !

x 6= 2 · 1 · x !

⇒ 1+ x+ x2 non è un quadrato

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 20 / 56

Page 79: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio II CD

Quadrato binomio

1+ x+ x2 è un quadrato?

1+ x+ x2 =

1 è il quadrato di 1 !

x2 è il quadrato di x !

x 6= 2 · 1 · x !

⇒ 1+ x+ x2 non è un quadrato

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 20 / 56

Page 80: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio II CD

Quadrato binomio

1+ x+ x2 è un quadrato?

1+ x+ x2 =

1 è il quadrato di 1 !

x2 è il quadrato di x !

x 6= 2 · 1 · x !

⇒ 1+ x+ x2 non è un quadrato

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 20 / 56

Page 81: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 1/4 CD

Quadrato binomio

16− 8a+ a2

occhio al segno

Il problema è che

−8a =

2 · (−4) · (a)2 · (4) · (−a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 21 / 56

Page 82: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 1/4 CD

Quadrato binomio

16− 8a+ a2

occhio al segno

Il problema è che

−8a =

2 · (−4) · (a)2 · (4) · (−a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 21 / 56

Page 83: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 2/4 CD

quindi

16− 8a+ a2 =

16 è il quadrato di −4 !

a2 è il quadrato di a !

− 8a = 2 · (−4) · a !

⇒ 16− 8a+ a2 = (−4+ a)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 22 / 56

Page 84: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 2/4 CD

quindi

16− 8a+ a2 =

16 è il quadrato di −4 !

a2 è il quadrato di a !

− 8a = 2 · (−4) · a !

⇒ 16− 8a+ a2 = (−4+ a)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 22 / 56

Page 85: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 2/4 CD

quindi

16− 8a+ a2 =

16 è il quadrato di −4 !

a2 è il quadrato di a !

− 8a = 2 · (−4) · a !

⇒ 16− 8a+ a2 = (−4+ a)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 22 / 56

Page 86: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 2/4 CD

quindi

16− 8a+ a2 =

16 è il quadrato di −4 !

a2 è il quadrato di a !

− 8a = 2 · (−4) · a !

⇒ 16− 8a+ a2 = (−4+ a)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 22 / 56

Page 87: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 3/4 CD

ma anche

16− 8a+ a2 =

16 è il quadrato di 4 !

a2 è il quadrato di −a !

− 8a = 2 · 4 · (−a) !

⇒ 16− 8a+ a2 = (4− a)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 23 / 56

Page 88: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 3/4 CD

ma anche

16− 8a+ a2 =

16 è il quadrato di 4 !

a2 è il quadrato di −a !

− 8a = 2 · 4 · (−a) !

⇒ 16− 8a+ a2 = (4− a)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 23 / 56

Page 89: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 3/4 CD

ma anche

16− 8a+ a2 =

16 è il quadrato di 4 !

a2 è il quadrato di −a !

− 8a = 2 · 4 · (−a) !

⇒ 16− 8a+ a2 = (4− a)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 23 / 56

Page 90: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un binomio esempio III 3/4 CD

ma anche

16− 8a+ a2 =

16 è il quadrato di 4 !

a2 è il quadrato di −a !

− 8a = 2 · 4 · (−a) !

⇒ 16− 8a+ a2 = (4− a)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 23 / 56

Page 91: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Quadrato binomio Esempi Quadrato del binomio

Quadrato di un trinomio esempio III 4/4 CD

Ricapitolando sono valide entrambe le scelte

16− 8a+ a2 =

¨

(4− a)2

(−4+ a)2

Si sceglie in base al contesto

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 24 / 56

Page 92: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati

Differenza di quadrati CD

Differenza di quadrati

a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

abbiamo una differenza di quadrati se:

un quadrato a2

un quadrato b2

vi è una differenza fra i quadrati a2 − b2

Se è vero quanto detto, possiamo scrivere una differenza fraquadrati come il prodotto di due binomi

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 25 / 56

Page 93: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati

Differenza di quadrati CD

Differenza di quadrati

a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

abbiamo una differenza di quadrati se:

un quadrato a2

un quadrato b2

vi è una differenza fra i quadrati a2 − b2

Se è vero quanto detto, possiamo scrivere una differenza fraquadrati come il prodotto di due binomi

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 25 / 56

Page 94: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati

Differenza di quadrati CD

Differenza di quadrati

a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

abbiamo una differenza di quadrati se:

un quadrato a2

un quadrato b2

vi è una differenza fra i quadrati a2 − b2

Se è vero quanto detto, possiamo scrivere una differenza fraquadrati come il prodotto di due binomi

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 25 / 56

Page 95: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati

Differenza di quadrati CD

Differenza di quadrati

a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

abbiamo una differenza di quadrati se:

un quadrato a2

un quadrato b2

vi è una differenza fra i quadrati a2 − b2

Se è vero quanto detto, possiamo scrivere una differenza fraquadrati come il prodotto di due binomi

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 25 / 56

Page 96: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati

Differenza di quadrati CD

Differenza di quadrati

a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

abbiamo una differenza di quadrati se:

un quadrato a2

un quadrato b2

vi è una differenza fra i quadrati a2 − b2

Se è vero quanto detto, possiamo scrivere una differenza fraquadrati come il prodotto di due binomi

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 25 / 56

Page 97: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio I CD

Differenza di quadrati

4− a2 è una differenza di quadrati?

4−a2 =

4è il quadrato di 2 !

a2è il quadrato di a !

4− a2è una differenza? !

⇒4−a2 = (2−a)(2+a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 26 / 56

Page 98: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio I CD

Differenza di quadrati

4− a2 è una differenza di quadrati?

4−a2 =

4è il quadrato di 2 !

a2è il quadrato di a !

4− a2è una differenza? !

⇒4−a2 = (2−a)(2+a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 26 / 56

Page 99: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio I CD

Differenza di quadrati

4− a2 è una differenza di quadrati?

4−a2 =

4è il quadrato di 2 !

a2è il quadrato di a !

4− a2è una differenza? !

⇒4−a2 = (2−a)(2+a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 26 / 56

Page 100: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio I CD

Differenza di quadrati

4− a2 è una differenza di quadrati?

4−a2 =

4è il quadrato di 2 !

a2è il quadrato di a !

4− a2è una differenza? !

⇒4−a2 = (2−a)(2+a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 26 / 56

Page 101: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio I CD

Differenza di quadrati

4− a2 è una differenza di quadrati?

4−a2 =

4è il quadrato di 2 !

a2è il quadrato di a !

4− a2è una differenza? !

⇒4−a2 = (2−a)(2+a)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 26 / 56

Page 102: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio II CD

Differenza di quadrati

1+ x2z4 è una differenza di quadrati?

1+ x2z4 =

1è il quadrato di 1 !

x2z4 è il quadrato di xz2 !

1+ x2z4è una differenza? !

⇒1+ x2z4

Non èuna diffe-renza diquadrati

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 27 / 56

Page 103: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio II CD

Differenza di quadrati

1+ x2z4 è una differenza di quadrati?

1+ x2z4 =

1è il quadrato di 1 !

x2z4 è il quadrato di xz2 !

1+ x2z4è una differenza? !

⇒1+ x2z4

Non èuna diffe-renza diquadrati

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 27 / 56

Page 104: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio II CD

Differenza di quadrati

1+ x2z4 è una differenza di quadrati?

1+ x2z4 =

1è il quadrato di 1 !

x2z4 è il quadrato di xz2 !

1+ x2z4è una differenza? !

⇒1+ x2z4

Non èuna diffe-renza diquadrati

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 27 / 56

Page 105: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio II CD

Differenza di quadrati

1+ x2z4 è una differenza di quadrati?

1+ x2z4 =

1è il quadrato di 1 !

x2z4 è il quadrato di xz2 !

1+ x2z4è una differenza? !

⇒1+ x2z4

Non èuna diffe-renza diquadrati

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 27 / 56

Page 106: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio II CD

Differenza di quadrati

1+ x2z4 è una differenza di quadrati?

1+ x2z4 =

1è il quadrato di 1 !

x2z4 è il quadrato di xz2 !

1+ x2z4è una differenza? !

⇒1+ x2z4

Non èuna diffe-renza diquadrati

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 27 / 56

Page 107: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio III CD

Differenza di quadrati

4a2b4 − 9x2y6 è una differenza di quadrati?

4a2b4 − 9x2y6 =

4a2b4è il quadrato di 2ab2 !

9x2y6è il quadrato di 3xy3 !

4a2b4 − 9x2y6è una differenza? !

⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 28 / 56

Page 108: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio III CD

Differenza di quadrati

4a2b4 − 9x2y6 è una differenza di quadrati?

4a2b4 − 9x2y6 =

4a2b4è il quadrato di 2ab2 !

9x2y6è il quadrato di 3xy3 !

4a2b4 − 9x2y6è una differenza? !

⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 28 / 56

Page 109: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio III CD

Differenza di quadrati

4a2b4 − 9x2y6 è una differenza di quadrati?

4a2b4 − 9x2y6 =

4a2b4è il quadrato di 2ab2 !

9x2y6è il quadrato di 3xy3 !

4a2b4 − 9x2y6è una differenza? !

⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 28 / 56

Page 110: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio III CD

Differenza di quadrati

4a2b4 − 9x2y6 è una differenza di quadrati?

4a2b4 − 9x2y6 =

4a2b4è il quadrato di 2ab2 !

9x2y6è il quadrato di 3xy3 !

4a2b4 − 9x2y6è una differenza? !

⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 28 / 56

Page 111: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio III CD

Differenza di quadrati

4a2b4 − 9x2y6 è una differenza di quadrati?

4a2b4 − 9x2y6 =

4a2b4è il quadrato di 2ab2 !

9x2y6è il quadrato di 3xy3 !

4a2b4 − 9x2y6è una differenza? !

⇒4a2b4 − 9x2y6 = (2ab2 − 3xy3)(2ab2 + 3xy3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 28 / 56

Page 112: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 1/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x8 − 1 =

x8è il quadrato di x4 !

1è il quadrato di 1 !

x8 − 1è una differenza? !

⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 29 / 56

Page 113: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 1/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x8 − 1 =

x8è il quadrato di x4 !

1è il quadrato di 1 !

x8 − 1è una differenza? !

⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 29 / 56

Page 114: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 1/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x8 − 1 =

x8è il quadrato di x4 !

1è il quadrato di 1 !

x8 − 1è una differenza? !

⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 29 / 56

Page 115: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 1/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x8 − 1 =

x8è il quadrato di x4 !

1è il quadrato di 1 !

x8 − 1è una differenza? !

⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 29 / 56

Page 116: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 1/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x8 − 1 =

x8è il quadrato di x4 !

1è il quadrato di 1 !

x8 − 1è una differenza? !

⇒x8 − 1 = (x4 − 1)(x4 + 1)

É finita qui?

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 29 / 56

Page 117: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 2/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x4 − 1 =

x4è il quadrato di x2 !

1è il quadrato di 1 !

x4 − 1è una differenza? !

⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 30 / 56

Page 118: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 2/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x4 − 1 =

x4è il quadrato di x2 !

1è il quadrato di 1 !

x4 − 1è una differenza? !

⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 30 / 56

Page 119: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 2/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x4 − 1 =

x4è il quadrato di x2 !

1è il quadrato di 1 !

x4 − 1è una differenza? !

⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 30 / 56

Page 120: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 2/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x4 − 1 =

x4è il quadrato di x2 !

1è il quadrato di 1 !

x4 − 1è una differenza? !

⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 30 / 56

Page 121: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 2/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x4 − 1 =

x4è il quadrato di x2 !

1è il quadrato di 1 !

x4 − 1è una differenza? !

⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 30 / 56

Page 122: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 2/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x4 − 1 =

x4è il quadrato di x2 !

1è il quadrato di 1 !

x4 − 1è una differenza? !

⇒x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)

É finita qui?

x8 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 30 / 56

Page 123: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 3/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x2 − 1 =

x2è il quadrato di x !

1è il quadrato di 1 !

x2 − 1è una differenza? !

⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 31 / 56

Page 124: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 3/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x2 − 1 =

x2è il quadrato di x !

1è il quadrato di 1 !

x2 − 1è una differenza? !

⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 31 / 56

Page 125: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 3/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x2 − 1 =

x2è il quadrato di x !

1è il quadrato di 1 !

x2 − 1è una differenza? !

⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 31 / 56

Page 126: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 3/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x2 − 1 =

x2è il quadrato di x !

1è il quadrato di 1 !

x2 − 1è una differenza? !

⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 31 / 56

Page 127: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 3/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x2 − 1 =

x2è il quadrato di x !

1è il quadrato di 1 !

x2 − 1è una differenza? !

⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 31 / 56

Page 128: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Differenza di quadrati Esempi Differenza di quadrati

Differenza di quadrati esempio IV 3/3 CD

Differenza di quadrati

x8 − 1 una differenza di quadrati particolare

x2 − 1 =

x2è il quadrato di x !

1è il quadrato di 1 !

x2 − 1è una differenza? !

⇒x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)

É finita

x8 − 1 = (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 31 / 56

Page 129: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Posso scrivere il trinomio come il prodotto di due binomi se:

a+ b = S

a · b = P

Se esistono a e b, possiamo scrivere il trinomio come ilprodotto di due binomi.

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 32 / 56

Page 130: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Posso scrivere il trinomio come il prodotto di due binomi se:

a+ b = S

a · b = P

Se esistono a e b, possiamo scrivere il trinomio come ilprodotto di due binomi.

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 32 / 56

Page 131: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Posso scrivere il trinomio come il prodotto di due binomi se:

a+ b = S

a · b = P

Se esistono a e b, possiamo scrivere il trinomio come ilprodotto di due binomi.

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 32 / 56

Page 132: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Posso scrivere il trinomio come il prodotto di due binomi se:

a+ b = S

a · b = P

Se esistono a e b, possiamo scrivere il trinomio come ilprodotto di due binomi.

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 32 / 56

Page 133: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti perché CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Perché somme e prodotti?

(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b= x2 + (a+ b)x+ a · b

= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 33 / 56

Page 134: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti perché CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Perché somme e prodotti?

(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b= x2 + (a+ b)x+ a · b

= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 33 / 56

Page 135: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti perché CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Perché somme e prodotti?

(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b

= x2 + (a+ b)x+ a · b= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 33 / 56

Page 136: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti perché CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Perché somme e prodotti?

(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b= x2 + (a+ b)x+ a · b

= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 33 / 56

Page 137: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti perché CD

Somme e prodotti

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Perché somme e prodotti?

(x+ a)(x+ b)

x2 + ax+ bx+ a · b= x2 + (a+ b)x+ a · b

= x2 + Sx+ P

Moltiplico

Raccolgo x

Concludendo

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 33 / 56

Page 138: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti

Somme e prodotti come fare CD

Come fare?

x2 + Sx+ P

1 Considero tutti i divisori del prodotto P2 Li ordino dal piú piccolo al piú grande±a1,±a2,±a3,±a4, . . . ,±an

3 Li prendo in coppie, il primo con l’ultimo, il secondo con ilpenultimo etc.

(a1,an), (a2,an−1), (a3,an−2), (a4,an−3), . . .

4 Sommo le coppie e trovo quella che è uguale a S5 Termino sostituendo a e b con i valori trovati

x2 + Sx+ P = (x+ a)(x+ b)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 34 / 56

Page 139: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio I CD

Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6Somma = 5Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)

La coppia (+2,+3) è quella giusta infatti�

S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 35 / 56

Page 140: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio I CD

Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6

Somma = 5Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)

La coppia (+2,+3) è quella giusta infatti�

S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 35 / 56

Page 141: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio I CD

Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6Somma = 5

Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)

La coppia (+2,+3) è quella giusta infatti�

S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 35 / 56

Page 142: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio I CD

Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6Somma = 5Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6

Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)

La coppia (+2,+3) è quella giusta infatti�

S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 35 / 56

Page 143: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio I CD

Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6Somma = 5Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)

La coppia (+2,+3) è quella giusta infatti�

S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 35 / 56

Page 144: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio I CD

Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6Somma = 5Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)

La coppia (+2,+3) è quella giusta infatti�

S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 35 / 56

Page 145: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio I CD

Scomponiamo

x2 + 5x+ 6

Prodotto = 6Somma = 5Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±3,±6Considero coppie (±1,±6); (±2,±3)

La coppia (+2,+3) è quella giusta infatti�

S = 3+ 2 = 5P = 2 · 3 = 6

Scrivo x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 35 / 56

Page 146: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio II CD

Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 36 / 56

Page 147: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio II CD

Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8

Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 36 / 56

Page 148: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio II CD

Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6

Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 36 / 56

Page 149: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio II CD

Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8

Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 36 / 56

Page 150: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio II CD

Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)

La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 36 / 56

Page 151: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio II CD

Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 36 / 56

Page 152: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Somme e prodotti Esempi Somma e prodotti

Somme e prodotti esempio II CD

Somme e prodotti

x2 − 6x+ 8

Prodotto = 8Somma = −6Ordino i divisori di 6 e sono ±1,±2,±4,±8Considero coppie (±1,±8); (±2,±4)La coppia (−2,−4) è quella giusta infatti�

S = (−2) + (−4) = −6P = −2 · (−4) = +8

Scrivo x2 − 6x+ 8 = (x− 2)(x− 4)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 36 / 56

Page 153: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini CD

TeoriaUn polinomio P(x) è divisibile per x− b se P(b) = 0

Quindi se1 P(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 è un polinomio

2 P(b) = anbn + an−1bn−1 + · · ·+ a2b2 + a1b+ b0 = 03 x− b divide P(x)

Dove trovare b?Se il coefficiente di grado massimo è uno b è fra i divisori consegno del termine noto. Altrimenti b è fra le frazioni con segnoche hanno per numeratore i divisori del temine noto, e perdenominatore i divisore del termine di grado massimo.

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 37 / 56

Page 154: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini CD

TeoriaUn polinomio P(x) è divisibile per x− b se P(b) = 0

Quindi se1 P(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 è un polinomio2 P(b) = anbn + an−1bn−1 + · · ·+ a2b2 + a1b+ b0 = 0

3 x− b divide P(x)

Dove trovare b?Se il coefficiente di grado massimo è uno b è fra i divisori consegno del termine noto. Altrimenti b è fra le frazioni con segnoche hanno per numeratore i divisori del temine noto, e perdenominatore i divisore del termine di grado massimo.

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 37 / 56

Page 155: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini CD

TeoriaUn polinomio P(x) è divisibile per x− b se P(b) = 0

Quindi se1 P(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 è un polinomio2 P(b) = anbn + an−1bn−1 + · · ·+ a2b2 + a1b+ b0 = 03 x− b divide P(x)

Dove trovare b?Se il coefficiente di grado massimo è uno b è fra i divisori consegno del termine noto. Altrimenti b è fra le frazioni con segnoche hanno per numeratore i divisori del temine noto, e perdenominatore i divisore del termine di grado massimo.

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 37 / 56

Page 156: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini CD

TeoriaUn polinomio P(x) è divisibile per x− b se P(b) = 0

Quindi se1 P(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 è un polinomio2 P(b) = anbn + an−1bn−1 + · · ·+ a2b2 + a1b+ b0 = 03 x− b divide P(x)

Dove trovare b?Se il coefficiente di grado massimo è uno b è fra i divisori consegno del termine noto. Altrimenti b è fra le frazioni con segnoche hanno per numeratore i divisori del temine noto, e perdenominatore i divisore del termine di grado massimo.

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 37 / 56

Page 157: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio I CD

Domanda

I divisori di 6x5 + 3x2 + x+ 2

1 I divisori del termine 2 sono ±1,±2

2 I divisori del termine 6 sono ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 11), (x±

12), (x±

13), (x±

16),

(x± 21), (x±

22), (x±

23), (x±

26)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 38 / 56

Page 158: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio I CD

Domanda

I divisori di 6x5 + 3x2 + x+ 2

1 I divisori del termine 2 sono ±1,±22 I divisori del termine 6 sono ±1,±2,±3,±6

3 I possibili divisori del polinomio sono(x± 1

1), (x±12), (x±

13), (x±

16),

(x± 21), (x±

22), (x±

23), (x±

26)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 38 / 56

Page 159: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio I CD

Domanda

I divisori di 6x5 + 3x2 + x+ 2

1 I divisori del termine 2 sono ±1,±22 I divisori del termine 6 sono ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 11), (x±

12), (x±

13), (x±

16),

(x± 21), (x±

22), (x±

23), (x±

26)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 38 / 56

Page 160: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio II CD

Domanda

Fra (x+ 1) e (x+ 2) chi divide x3 − 2x2 − 5x+ 6?

Verifico x+ 1

attenzione al segno

Sostituisco a x = −1

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6− 1− 2+ 6+ 6 = 8

attenzione al segno

Sostituisco a x = −2

(−2)3 − 2(−2)2 − 5(−2) + 6− 8− 8+ 10+ 6 = 0

(x+ 2) divide x3 − 2x2 − 5x+ 6?

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 39 / 56

Page 161: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio II CD

Domanda

Fra (x+ 1) e (x+ 2) chi divide x3 − 2x2 − 5x+ 6?

Verifico x+ 1

attenzione al segno

Sostituisco a x = −1

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6− 1− 2+ 6+ 6 = 8

attenzione al segno

Sostituisco a x = −2

(−2)3 − 2(−2)2 − 5(−2) + 6− 8− 8+ 10+ 6 = 0

(x+ 2) divide x3 − 2x2 − 5x+ 6?

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 39 / 56

Page 162: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±6

2 I divisori possibili del polinomio sono(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)

3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 163: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)

3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 164: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 165: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 166: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6

−1− 2+ 5+ 6 6= 04 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 167: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 168: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 169: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)

(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 170: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 6

1− 2− 5+ 6 = 05 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 171: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x3 − 2x2 − 5x+ 6

1 Considero i divisori con segno del 6 e sono: ±1,±2,±3,±62 I divisori possibili del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x+ 1)

(−1)3 − 2(−1)2 − 5(−1) + 6−1− 2+ 5+ 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x− 1)(1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 61− 2− 5+ 6 = 0

5 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 40 / 56

Page 172: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello

1 − 2 − 5 + 61 1 − 1 − 6

1 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 173: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1

− 2 − 5 + 61 1 − 1 − 6

1 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 174: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2

− 5 + 61 1 − 1 − 6

1 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 175: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5

+ 61 1 − 1 − 6

1 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 176: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 177: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1

1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 178: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1

1 − 1 − 6

1

− 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 179: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1

− 1 − 6

1

− 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 180: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1

− 1 − 6

1 − 1

− 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 181: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1 − 1

− 6

1 − 1

− 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 182: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1 − 1

− 6

1 − 1 − 6

0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 183: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1 − 1 − 61 − 1 − 6

0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 184: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 185: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 186: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 2/5 CD

Scomposizione di:

(x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1)

1 Costruisco il castello1 − 2 − 5 + 6

1 1 − 1 − 61 − 1 − 6 0

2 Otteniamo

x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

3 Ripartiamo da

x2 − x− 6

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 41 / 56

Page 187: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±6

2 I possibili divisori del polinomio sono(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)

3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)

(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 188: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)

3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)

(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 189: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)

(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 190: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)

(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 191: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 6

4− 2− 6 6= 04 Provo a dividere per (x+ 2)

(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 192: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)

(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 193: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)

(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 194: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)

(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 195: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)(−2)2 − (−2)− 6

4+ 2− 6 = 05 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 196: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 197: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±62 I possibili divisori del polinomio sono

(x± 1), (x± 2), (x± 3), (x± 6)3 Provo a dividere per (x− 2)

(2)2 − (2)− 64− 2− 6 6= 0

4 Provo a dividere per (x+ 2)(−2)2 − (−2)− 64+ 2− 6 = 0

5 Il divisore è x+ 2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 42 / 56

Page 198: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 199: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1

− 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 200: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1

− 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 201: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1

− 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 202: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6

− 2 − 2 + 61 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 203: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2

− 2 + 61 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 204: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2

− 2 + 6

1

− 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 205: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2 − 2

+ 6

1

− 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 206: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2 − 2

+ 6

1 − 3

0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 207: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2 − 2

+ 6

1 − 3

0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 208: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2 − 2

+ 6

1 − 3

0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 209: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3

0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 210: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 211: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x+ 2)

1 Costruisco il castello

1 − 1 − 6− 2 − 2 + 6

1 − 3 0

2 Otteniamo

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 43 / 56

Page 212: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 5/5 CD

Ricapitolando

Avevamo x3 − 2x2 − 5x+ 6 abbiamo ottenuto

1 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)

2 (x− 1)(x2 − x− 6) = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)3 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 44 / 56

Page 213: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 5/5 CD

Ricapitolando

Avevamo x3 − 2x2 − 5x+ 6 abbiamo ottenuto

1 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)2 (x− 1)(x2 − x− 6) = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)

3 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 44 / 56

Page 214: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 5/5 CD

Ricapitolando

Avevamo x3 − 2x2 − 5x+ 6 abbiamo ottenuto

1 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6)2 (x− 1)(x2 − x− 6) = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)3 x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x+ 2)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 44 / 56

Page 215: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±1

2 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)

6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)

6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 216: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±6

3 I possibili divisori del polinomio sono:(x± 1), (x± 1

2), (x±13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)

6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)

6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 217: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)

6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)

6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 218: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)

6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)

6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 219: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)

6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)

6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 220: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1

−6− 5− 2+ 1 6= 05 Provo a dividere per (x− 1)

6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 221: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)

6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 222: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)

6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 223: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 1

6− 5− 2+ 1 = 06 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 224: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 225: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 1/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

6x3 − 5x2 − 2x+ 1 Ha il coefficiente di grado massimo diversoda 1

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 1)6(−1)3 − 5(−1)2 + 2(−1) + 1−6− 5− 2+ 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 1)6(1)3 − 5(1)2 − 2(1) + 16− 5− 2+ 1 = 0

6 Il divisore è x− 1Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 45 / 56

Page 226: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello

6 − 5 − 2 + 11 6 1 − 1

6 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 227: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6

− 5 − 2 + 11 6 1 − 1

6 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 228: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5

− 2 + 11 6 1 − 1

6 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 229: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2

+ 11 6 1 − 1

6 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 230: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1 6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 231: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1

6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 232: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1

6 1 − 1

6

1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 233: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1 6

1 − 1

6

1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 234: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1 6

1 − 1

6 1

− 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 235: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1 6 1

− 1

6 1

− 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 236: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1 6 1

− 1

6 1 − 1

0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 237: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1 6 1 − 16 1 − 1

0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 238: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1 6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 239: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1 6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 240: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 2/5 CD

Scomposizione di:

(6x3 − 5x2 − 2x+ 1) : (x− 1)

1 Costruisco il castello6 − 5 − 2 + 1

1 6 1 − 16 1 − 1 0

2 Otteniamo

(x− 1)(6x2 + x− 1)

3 Ripartiamo da

6x2 + x− 1

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 46 / 56

Page 241: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±1

2 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 242: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±6

3 I possibili divisori del polinomio sono:(x± 1), (x± 1

2), (x±13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 243: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 244: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 245: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 246: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 247: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 248: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 249: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 06 Il divisore è (x− 1

3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 250: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 06 Il divisore è (x− 1

3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 251: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 0

6 Il divisore è (x− 13)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 252: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 3/5 CD

Scomporre il seguente polinomio

x2 − x− 6

1 I divisori con segno del 1 sono: ±12 I divisori con segno del 6 sono: ±1,±2,±3,±63 I possibili divisori del polinomio sono:

(x± 1), (x± 12), (x±

13), (x±

16)

4 Provo a dividere per (x+ 13)

6(− 13 )

2 + (− 13 )− 1

69 −

13 − 1 6= 0

5 Provo a dividere per (x− 13)

6(13 )

2 + (13 )− 1

23 + 1

3 − 1 = 06 Il divisore è (x− 1

3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 47 / 56

Page 253: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 254: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6

1 − 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 255: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1

− 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 256: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1

− 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 257: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1

− 13

63

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 258: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

3

63

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 259: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

3

63

33

6

3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 260: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

363

33

6

3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 261: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

363

33

6 3

0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 262: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

363

33

6 3

0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 263: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

363

33

6 3

0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 264: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

363

33

6 3

0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 265: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 266: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio III 4/5 CD

Scomposizione di:

(x2 − x− 6) : (x−1

3)

1 Costruisco il castello

6 1 − 1− 1

363

33

6 3 0

2 Otteniamo

(x−1

3)(x− 3)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 48 / 56

Page 267: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 5/5 CD

Ricapitolando

Avevamo 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 abbiamo ottenuto

1 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = (x− 1)(6x2 + x− 1)

2 (x− 1)(6x2 + x− 1) = (x− 1)(x− 13)(6x− 3)

3 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = 3(x− 1)(x− 13)(2x− 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 49 / 56

Page 268: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 5/5 CD

Ricapitolando

Avevamo 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 abbiamo ottenuto

1 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = (x− 1)(6x2 + x− 1)2 (x− 1)(6x2 + x− 1) = (x− 1)(x− 1

3)(6x− 3)

3 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = 3(x− 1)(x− 13)(2x− 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 49 / 56

Page 269: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Metodo di Ruffini Esempi Metodo di Ruffini

Metodo di Ruffini esempio IV 5/5 CD

Ricapitolando

Avevamo 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 abbiamo ottenuto

1 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = (x− 1)(6x2 + x− 1)2 (x− 1)(6x2 + x− 1) = (x− 1)(x− 1

3)(6x− 3)

3 6x3 − 5x2 − 2x+ 1 = 3(x− 1)(x− 13)(2x− 1)

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 49 / 56

Page 270: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 271: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 272: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 273: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 274: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 275: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 276: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 277: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplifico

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 278: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 279: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 280: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Raccoglimenti parziali e totali CD

3a3 + 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo 3a2

3a2a+ 3a2 − a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

3a2(a+ b)− a(a+ b)2 − ab(a+ b)2

Raccolgo a(a+ b)

3aa(a+ b)− a(a+ b)(a+ b)− a(a+ b)b(a+ b)

a(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

Semplificoa(a+ b)[3a− (a+ b)− b(a+ b)]

a(a+ b)[3a− a− b− ab− b2]

a(a+ b)[2a− b− ab− b2]

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 50 / 56

Page 281: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato

1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 51 / 56

Page 282: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a

3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato

1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 51 / 56

Page 283: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato

1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 51 / 56

Page 284: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato

1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 51 / 56

Page 285: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato

1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 51 / 56

Page 286: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato1 a2 è il quadrato di a !

2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 51 / 56

Page 287: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !

3 4ab = 2 · a · 2b !3a(a+ 2b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 51 / 56

Page 288: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 51 / 56

Page 289: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

3a3 + 12ab+ 12ab2

Raccolgo 3a3aa2 + 3a4b+ 3a4b2

3a(a2 + 4ab+ 4b2)

Verifico se (a2 + 4ab+ 4b2) è un quadrato1 a2 è il quadrato di a !2 4b2 è il quadrato di 2b !3 4ab = 2 · a · 2b !

3a(a+ 2b)2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 51 / 56

Page 290: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare

Un quadrato può avere molte forme

(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato

1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 52 / 56

Page 291: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare

Un quadrato può avere molte forme

(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato

1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 52 / 56

Page 292: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare

Un quadrato può avere molte forme

(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !

2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 52 / 56

Page 293: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare

Un quadrato può avere molte forme

(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !

3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y ![(x− 1) + y]2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 52 / 56

Page 294: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare

Un quadrato può avere molte forme

(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 52 / 56

Page 295: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Trinomio strano CD

Non semplificare

Un quadrato può avere molte forme

(x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2

Verifico se (x− 1)2 + 2y(x− 1) + y2 è un quadrato1 (x− 1)2 è il quadrato di (x− 1) !2 y2 è il quadrato di y !3 2y(x− 1) = 2 · (x. − 1) · y !

[(x− 1) + y]2

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 52 / 56

Page 296: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Polinomio da osservare CD

Un quadrato nascosto

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.raccolgo 2x e 4ySi é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 53 / 56

Page 297: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Polinomio da osservare CD

Un quadrato nascosto

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.

raccolgo 2x e 4ySi é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 53 / 56

Page 298: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Polinomio da osservare CD

Un quadrato nascosto

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.

raccolgo 2x e 4y

Si é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 53 / 56

Page 299: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Polinomio da osservare CD

Un quadrato nascosto

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.raccolgo 2x e 4y

Si é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 53 / 56

Page 300: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Polinomio da osservare CD

Un quadrato nascosto

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.raccolgo 2x e 4ySi é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 53 / 56

Page 301: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Esempi di riepilogo

Polinomio da osservare CD

Un quadrato nascosto

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2x3 − 4x2 + 2x+ 4yx2 − 8xy+ 4y

2xx2 + 2x2x+ 2x+ 4yx2 + 4y2x+ 4y1

2x(x2 + 2x+ 1) + 4y(x2 + 2x+ 1)

x2(x2 + 2x+ 1) + 2y2(x2 + 2x+ 1)

2(x2 + 2x+ 1)(x+ 2y)

2(x+ 1)2(x+ 2y)

2x é fattore co-mune fra i pri-mi due termi-ni e 4y per irimanenti.raccolgo 2x e 4ySi é trasfor-mato in unraccoglimentoa fattore comu-ne e raccolgo2(x2 + 2x+ 1)

ottengo

finalmente

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 53 / 56

Page 302: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Note finali

Note finali CD

Sicuramente vi sono errori ed e imprecisioni e vi pregosegnalarli

LicenzaSicuramente, in questo lavoro vi sono errori e imprecisioni, percortesia segnalatemeli.Copyright © 2019, Claudio Duchi.Quanto segue è stato rilasciato con licenza c CreativeCommons 3.0 Attribuzione − Non commerciale − Condividi allostesso modo − Non opere derivatePer informazioni visita il sito webhttp://creativecommons.org o spedisci una lettera aCreative Commons, 171 Second Street, Suite 300, SanFrancisco, California, 94105, USA.

b Attribuzione: Devi riconoscere il contributo dell’autoreoriginario.

n Non commerciale: Non puoi utilizzare il contenuto di questodocumento per scopi commerciali.

d Non opere derivate: Non puoi alterare modificare osviluppare questo documento.

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Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 54 / 56

Page 303: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Note finali

Mezzi e strumenti CD

I mezzi usatipdfLATEX tramite la distribuzioneTEX Livehttp://www.tug.org/texlivePacchetti usati

1 Per la grafica si è usato il pacchetto pgf 3.0.1a, TikZ2 Per la matematica si è usato il pacchetto AMS3 Per la presentazione Beamer

Editor usati1 TEXstudio

http://texstudio.sourceforge.net/2 Tikzedt

http://www.tikzedt.org/index.html3 QTikZ

http://www.hackenberger.at/blog/ktikz-editor-for-the-tikz-language/

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 55 / 56

Page 304: Algebra - Scomposizione in fattori - Altervista

Note finali

Consigli I CD

Aiuti1 Forum del guIt

http://www.guitex.org/home/it/forum2 TEX ample.net

http://www.texample.netda cui qualche immagine è stata tratta

3 TEX StackExchangehttp://tex.stackexchange.com

Claudio Duchi Algebra 10 gennaio 2019 56 / 56