UNIVERSITE DE CAEN

UFR DES SCIENCES

LICENCE DE MATHEMATIQUES

1999-2000

ALGEBRE I

Jean COUGNARD

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AVERTISSEMENT

Les pages qui suivent sont issues des notes d’un cours fait en 1998/99 et en 1999/2000 a l’Universite de CAEN.Comme telles elles ne pretendent pas a la qualite d’un livre. Des remarques, precisions faites oralement n’yfigurent pas (mais sont peut-etre sur les exemplaires des etudiants !).

Chaque chapitre est accompagne d’une liste d’exercices 〈〈standard 〉〉 pris dans la litterature. Pour ceuxqui ont etes traites devant les etudiants j’espere avoir corrige les fautes de frappe, pour les autres je demandel’indulgence du lecteur.

Jean Cougnard

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version du 20 mars CHAPITRE I : NOTION DE GROUPE

§1 PREMIERES DEFINITIONS.

Definition I-1 : Un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne associative, ayant unelement neutre (generalement note e) et telle que tout element ait un symetrique. Un groupe G est ditabelien ou commutatif si l’ordre de composition est sans importance : ∀x, ∀y ∈ G, xy = yx.

Remarque :Il y a des notations classiques pour les lois de composition, comme ,⊥,+,× (le signe est utilise surtout pour les groupes

de fonctions l’operation etant la composition). Le signe + est reserve par tradition a des groupes qu’on sait abeliens. On note

alors −x le symetrique de x, on l’appelle oppose de x, l’element neutre est alors note 0. Le signe × (ou pas de signe du tout)

est utilise dans le cas general, on note alors x−1 le symetrique de x, on l’appelle inverse de x.

Dans un groupe note multiplicativement le produit de n termes (n > 0) egaux a un meme element x senote xn, de meme, pour n < 0, on note xn =

(x−1)

)−n, enfin x0 = e. Verifiez les regles usuelles de calculs :pour a et b entiers xaxb = xa+b, (xa)b = xab, les traduire dans un groupe abelien ou l’operation est notee +.

On parle d’un groupe additif ou multiplicatif suivant qu’on note la loi + ou × (il ne s’agit que d’une notation, pas d’une

propriete du groupe, en particulier il existe des groupes abeliens qu’il vaut mieux ne pas noter additivement : (R,×), mais

inversement il serait imprudent de noter additivement un groupe non commutatif). Bien qu’un groupe soit defini par un

ensemble et une loi, il est courant de noter un groupe comme l’ensemble sous-jacent sans preciser la loi – R au lieu de (R,+) –

s’il n’y a pas d’ambiguıte.

Remarque : On verifie que (g1g2)−1 = g−12 g−1

1 .L’operation du groupe peut se materialiser (lorsque l’ordre est tres petit) par un tableau a deux entrees.Exemples : (Z,+), (R,+), (C, +), (R∗,×), (C∗,×), (GLn(R),×), (GLn(C),×).Exercice 1 : Soit G un groupe, x ∈ G la translation a gauche par x Lx : G → G (y → xy) est une bijection(la bijection reciproque est Lx−1) ; de meme avec les translations a droite Rx.Definition I-2 : Un sous-groupe d’un groupe G est une partie non vide H stable par multiplication etinverse : ∀x,∀y ∈ H, xy−1 ∈ H. (on note parfois h < G).En particulier, on verifie qu’un sous-groupe de G est un groupe pour l’operation qu’il herite de G.Exemples :G et e sont toujours des sous-groupes de G. ±1,× est un sous-groupe de (R,×).R

+ forme des nombres reels strictement positifs est un sous-groupe de (R,×).Soit n un entier, l’ensemble des z ∈ C tels que zn = 1 est sous-groupe de (C,×), on le note µn.Soit p un nombre premier, l’ensemble des z ∈ C tels qu’il existe n ∈ N zpn

= 1 est sous-groupe de (C,×),on le note µp∞ .L’ensemble des z ∈ C tels qu’il existe n ∈ N zn = 1 est sous-groupe de (C,×), on le note µ∞.L’ensemble des z ∈ C tels qu’il existe ‖z‖ = 1 est sous-groupe de (C,×), on le note U .Exercice 2 : Montrez que l’intersection d’une famille de sous-groupes d’un groupe G est un sous-groupe deG.Exemple : l’ensemble (Z,+) des entiers relatifs muni de l’addition est un groupe abelien dont les principalesproprietes viennent de l’existence de la division euclidienne :si a, b ∈ Z, b = 0, il existe un unique couple (q, r) d’entiers avec 0 ≤ r < |b| et tels que a = bq + r.

Remarque : Bien sur, 0 est l’element neutre de (Z,+) et 1 est celui de (R,×). Il faut faire attention au contexte pour eviter

des confusions.

Proposition I-3 : Pour tout entier n ≥ 0, l’ensemble nZ des multiples de n est un sous-groupe de Z. Toutsous-groupe H de Z est de cette forme, pour un unique n ≥ 0.

Preuve : La premiere partie est triviale. Reciproquement, si H est un sous-groupe non nul, il contient unplus petit element n > 0 ; alors pour tout element m ∈ H, la division euclidienne m = nq + r montre que lereste r = m− qn est dans H et verifie 0 ≤ r < n donc r est nul et m est bien multiple de n.

Proposition I-4 : Si n1, . . . , nr sont des entiers, le generateur positif du sous-groupe I = ∑

aini est lepgcd d des ni (il existe donc des entiers a′

i ∈ Z tels que d =∑

a′ini)

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En particulier, les entiers ni sont etrangers (ou premiers entre eux dans leur ensemble, c’est-a-dire depgcd=1) si et seulement s’il existe des entiers ai verifiant

∑aini = 1 (identite de Bezout).

Preuve : Si d est le pgcd naıf et g le generateur positif alors on peut ecrire ni = dn′i donc g =

∑aidn′

i doncd | g. Par ailleurs chaque ni est dans le sous-groupe gZ par definition de g donc g | ni et g est un diviseurcommun donc divise d.

Dans le cas de deux entiers a, b ∈ Z, on retrouve l’identite de Bezout classique :

(a, b) = 1 ⇐⇒ ∃ u∃ v ; au + bv = 1.

On peut choisir u et v de sorte que |u| < |b| et |v| < |a|Rappelons que les coefficients u,v ci-dessus peuvent etre calcules explicitement en utilisant le calcul du pgcd par l’algorithme

d’Euclide. C’est un type de calcul qu’il faut savoir faire dans l’etude des congruences.

Exercice 3 : Trouvez tous les u et v ∈ Z tels que 36u + 43v = 1.Definition I-5 : Le produit des groupes Gi (i ∈ I) est le produit cartesien G =

∏i∈I Gi muni de l’operation

deduite de celle des Gi composante par composante : (gi).(g′i) = (gi.g′i).

Exemple : Ecrire l’operation dans le groupe (R, ∗)× (Z,+).Exercice 4 : Etant donne une famille de groupes (Gi)i∈I et pour chaque Gi un sous-groupe Hi, on appelleproduit restreint de la famille (Gi)i∈I relativement a la famille (Hi)i∈I l’ensemble des (gi)i∈GI

avec gi ∈ Iet gi ∈ Hi sauf pour un ensemble finie d’indices. Montrez que c’est un groupe.Remarque : Lorsque les Hi=e, le produit restreint s’appelle la somme directe. Si l’ensemble des indices est fini, il coıncide

avec le produit.

Exercice 5 : Donnez un exemple ou le produit restreint est different du produit.L’ordre d’un groupe designe son cardinal. Dans le cas d’un groupe fini c’est le nombre de ses elements ;(Z,+) et (R,×) sont des groupes infinis de cardinaux differents.Un element x d’un groupe G est dit d’ordre fini s’il existe un entier n ≥ 1 tel que xn = e, et d’ordre infinisinon. Si x est d’ordre fini, le plus petit de ces entiers n s’appelle l’ordre de x.

Exemple : Dans (C,×) les elements j, j2 sont d’ordre 3, quels sont ceux d’ordre 4 ?Exercice 6 : Si G1 et G2 sont deux groupes finis, quel est l’ordre de G1 × G2 ? Soit x ∈ G1 d’ordre n1,y ∈ G2 d’ordre n2, quel est l’ordre de (x, y) ?Exercice 7 : Soit G un groupe, g d’ordre fini n et g′ d’ordre fini n′deux elements de G tels que gg′ = g′g;montrez que l’ordre de gg′ divise le ppcm de n et n′. Etudier, en particulier le cas ou n et n′ sont premierentre eux.Definition I-6 : Un morphisme de groupes ϕ : (G1, ") → (G2, ∗) est une application compatible a la loi :ϕ(x " y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y). Le compose de deux morphismes de groupe est un morphisme de groupe. Le noyaud’un morphisme de groupes est l’image reciproque de l’element neutre :

ker ϕ = g ∈ G1 ; ϕ(g) = eG2.

Exemple : Soit G un groupe et x ∈ G, l’application de Z dans G : n → xn est un morphisme de groupe.On verifie immediatement les proprietes suivantes : ϕ(eG1) = eG2 , ϕ(g−1) = ϕ(g)−1.

Remarque :On verifie aisement qu’un morphisme envoie l’element neutre sur l’element neutre.

Exercice 8 : Soit G un groupe note multiplicativement, g ∈ G, fixe montrez que l’application de Z dans Gn → gn est un morphisme de groupes.Exercice 9 : Soit ϕ : G1 → G2 un morphisme de groupe, montrez que pour tout sous-groupe H de G1, ϕ(H)est un sous-groupe de G2 ; montrez que pour tout sous-groupe K de G2, ϕ−1(K) est un sous-groupe de G1.Important : Un morphisme de groupes ψ : Z → G est defini par sa valeur au point 1, puisqu’alors pourtout entier k on doit avoir ψ(k) = ψ(1)k (si le groupe G est note multiplicativement). Autrement dit, pour

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chaque g ∈ G, il existe un unique morphisme ψ : Z → G tel que ψ(1) = g. On verra un peu plus loin queson image est le sous-groupe monogene de G engendre par g.

La propriete essentielle du noyau est liee a l’injectivite, sa demonstration, tres facile est laissee au lecteur :

Proposition I-7 : Un morphisme est injectif si et seulement si son noyau est reduit a l’element neutre.

En pratique, c’est toujours comme ca qu’on verifie qu’un morphisme est injectif.

Exercice 10 : Soit f un morphisme surjectif d’un groupe G dans un groupe Γ. Montrez qu’il y a une bijectionentre l’ensemble des sous-groupes de Γ et l’ensemble des sous-groupes de G contenant ker f .

Definition I-8 : Un morphisme f du groupe G1 dans le groupe G2 est un isomorphisme s’il existe unmorphisme ϕ du groupe G2 dans le groupe G1 tel que f ϕ = IdG2 , ϕ f = IdG1 . Un automorphismed’un groupe G est un isomorphisme de G sur lui-meme.

Exercice 11 : Montrez qu’un isomorphisme de groupe est un morphisme bijectif et reciproquement. Montrezque l’ensemble des automorphismes de G forme un groupe pour la composition, on le note Aut(G).

Exercice 12 : Un morphisme injectif donne un isomorphisme sur l’image.

Exercice 13 : Soit Γ un groupe, on se donne g ∈ Γ et on definit une application ig de Γ dans Γ : ∀ γ ∈ Γ,ig(γ) = gγg−1. Montrez que ig est un automorphisme de G et que l’application i : g → ig est un morphismede G dans Aut(G). Le noyau de i s’appelle le centre de G. Quel est l’inverse de ig ?

Deux structures isomorphes ont les memes proprietes : meme cardinal, meme table de multiplication, com-mutativite, autant de sous-groupes, un element et son image ont meme ordre ... : les notations et les nomschangent, mais les deux structures sont copies conformes l’une de l’autre.

Definition I-9 : Soit P une partie d’un groupe G les deux sous-groupes de G suivants :(i) l’intersection des sous-groupes de G contenant P.(i) l’ensemble des produits finis du type

∏xi avec xi ∈ P ou x−1

i ∈ P.sont egaux ; c’est le sous-groupe de G engendre par P et c’est le plus petit sous-groupe de G contenantP. Lorsque ce sous-groupe est egal a G, on dit que les elements de P engendrent G ou qu’ils en sont desgenerateurs.

Exercice 14 : Verifiez les equivalences de la definition precedente.

Definition I-10 : Un groupe est dit de type fini s’il admet un ensemble fini generateur.Un groupe G est dit monogene s’il existe un element qui l’engendre. Attention ! cet element n’est

pas unique, par exemple +1 est un generateur de Z, −1 aussi.Un groupe G est dit cyclique s’il est forme des iteres d’un element de G : ∃ g ∈ G ; G = gn ; n ∈ N.

Il revient au meme de dire que G est monogene et fini.

Si G est cyclique forme des iteres de g, alors g−1 est un itere gn donc gn+1 = e et l’ensemble des iteresest (par division euclidienne des exposants par n + 1) e, g, g2, . . . , gn.

Reciproquement, si G est fini et engendre par g, alors g a deux puissances egales et par quotient il existeun entier n > 0 tel que gn = e, de sorte que si m ∈ Z, alors en divisant m = nq + r on obtient gm = gr doncG = e, g, g2, . . . , gn−1 est cyclique.

Exemple : Le produit de groupes ±1 × ±1 et le sous-groupe 1, i,−1,−i ⊂ (C,×) sont des groupesd’ordre 4 non isomorphes.

Exercice 15 : Montrez que l’ordre d’un element d’un groupe G est egal a l’ordre du sous-groupe qu’ilengendre.

Exercice 16 : Est-ce que les iteres d’un element d’un groupe forment un sous-groupe ?

Exercice 17 : Montrez que le produit de deux groupes cycliques d’ordres premiers entre eux est un groupecyclique.

Exercice 18 : Soit G un groupe cyclique d’ordre n, engendre par un element c et cr (1 ≤ r ≤ n − 1) unelement de G, calculez l’ordre de cr en fonction de n et r.

Proposition I-11 : (Sous-groupes des groupes cycliques) Soit G un groupe cyclique de cardinal nengendre par c. Pour chaque diviseur d de n, l’element cn/d engendre un sous-groupe de G d’ordre d. Ce sontles seuls sous-groupes de G.

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Preuve : Si d | n, les puissances cn/d, c2n/d, . . . , cdn/d = e sont distinctes donc cn/d engendre bien un groupecyclique de cardinal d.

Reciproquement : si H est un sous-groupe de G, soit δ > 0 minimal tel que cδ ∈ H. Alors par divisioneuclidienne on voit que cr ∈ H si et seulement si δ | r. En particulier, δ | n et H = cδ, . . . , c(n/δ)δ. Il suffitde poser d = n/δ.

Remarque : Il en resulte qu’il y a une bijection entre les diviseurs de n et les sous-groupes de ce groupecyclique d’ordre n.

Exercice 19 : Montrez que le produit de deux groupes cycliques dont les ordres ne sont pas premiers entreeux n’est pas cyclique.

Exercice 20 : Soit G, G′ deux groupes et f un morphisme surjectif de G sur G′. On suppose que dans G′ ily a un element d’ordre d. Montrez qu’il y a dans G un element d’ordre d.

Exercice 21 : Soit C un groupe cyclique d’ordre n, engendre par un element c, montrez que le morphisme ψde Z dans C defini par ψ(1) = c est surjectif. Quel est son noyau ?

Definition I-12 : Une relation d’equivalence ∼ sur un ensemble E est une relation binaire reflexive,symetrique et transitive. Si x ∈ E, l’ensemble des y equivalents a x forme la classe d’equivalence cl(x) dex. Ces classes forment une partition de E. L’ensemble des classes s’appelle l’ensemble quotient de E par∼, il est note E/ ∼. On dit que la relation ∼ est compatible avec une loi ⊥ sur E si

x1 ∼ y1 et x2 ∼ y2 =⇒ x1⊥x2 ∼ y1⊥y2.

Lorsque la relation ∼ est compatible avec la loi ⊥ la formule cl(x)⊥cl(y) := cl(x⊥y) a un sens et definit bienune loi sur l’ensemble quotient.

Exemple : Avoir la meme annee de naissance (qui augmentee de quelques annees etait autrefois appelee laclasse).

Exercice 22 : Montrez que toute partition definit une relation d’equivalence.Une relation d’equivalence importante est celle associee a un sous-groupe H d’un groupe G :

Definition I-13 : Si H est un sous-groupe d’un groupe G, la relation binaire sur G definie par x ∼ y si etseulement si x−1y ∈ H est une relation d’equivalence dite relation de congruence modulo H a droite. Laclasse d’equivalence xH = xh ; h ∈ H s’appelle classe a droite de x. (a droite car stable par l’operationde H a droite – comme les ideaux a droite ainsi qu’on le verra plus tard). On definit de meme les classesa gauche pour la relation xy−1 ∈ H. On note G/H l’ensemble des classes a droite et H\G l’ensemble desclasses a gauche.

Remarques :1 Cette relation d’equivalence n’est en general pas compatible a la loi de groupe. C’est l’interet de l’etude des sous-groupes

distingues (pour lesquels la relation est compatible) au chapitre suivant.

2 Les classes a droite et a gauche de l’element neutre e sont toutes deux egales a H.

3 L’application gx:h→xh definit une bijection entre H et la classe a droite de x (quelle est la bijection inverse ?). En particulier

toutes les classes ont meme cardinal, a savoir celui de H ; on en deduit le :

Theoreme I-14 : (Lagrange) Si H est un sous-groupe d’un groupe fini G, le cardinal de H divise celui deG. En particulier l’ordre d’un element de G divise le cardinal de G.

Preuve : Les classes formant une partition de G, leur cardinal commun divise #G. Or H lui-meme estl’une de ces classes (celle de e). La deuxieme assertion s’en deduit car l’ordre d’un element est le cardinaldu sous-groupe qu’il engendre.

Remarque : Rappel, x ordre 10 si et seulement si x10=e et x2 =e, x5 =e.

Corollaire I-15 : Tout groupe d’ordre premier est cyclique.

Preuve : Si G est de cardinal p et x est un element non neutre de G, il engendre un sous-groupe differentde e, de cardinal divisant p donc egal a p, et G est ainsi engendre par x.

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§2 AUTRE EXEMPLE : LE GROUPE DES PERMUTATIONS.

Definition I-16 : Pour tout ensemble X, on note SX le groupe des permutations des elements de X(c’est-a-dire des bijections de X sur lui-meme). Lorsque X = 1, . . . , n, on le note Sn. Le supportd’une permutation σ est l’ensemble des points non fixes par σ : Supp(σ) = x ∈ X ; σ(x) = x. Uncycle de Sn est une permutation σ telle qu’il existe des entiers distincts i1, . . . , ir avec r ≥ 2, verifiantσ(i1) = i2, . . . , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1, et fixant tous les autres entiers. Le cardinal r du support s’appellealors la longueur du cycle (il ne depend que du cycle, car c’est visiblement son ordre). On dit encore queσ est un r-cycle. Un 2-cycle s’appelle une transposition. Le groupe Sn est d’ordre n!.

Notation La permutation σ qui envoie 1 sur σ(1), . . . , n sur σ(n) peut se noter :(1 . . . n

σ(1) . . . σ(n)

)mais cycle est note c = (i1 . . . ir). Attention ! c’est encore c = (i2 . . . ir i1). . . , on peut l’ecrire de r facondifferentes.

Definition I-17 : L’orbite d’un entier i ∈ 1, . . . , n par une permutation σ ∈ Sn est l’ensemble desimages de i par les iteres de σ (c’est-a-dire σk(i) ; k ∈ Z = σk(i) ; k = 0, . . . , t− 1 ou t est l’ordre de σ).

Remarque : C’est encore l’orbite de i pour l’action du sous-groupe <σ>, engendre par σ sur X=1,...,n donnee par σk·i=σk(i).

C’est-a-dire pour l’inclusion <σ>→Sn.

Exemple : La restriction d’une permutation σ a une orbite a r elements (r ≥ 2) est un cycle. Reciproquement,si σ est un cycle (i1, . . . , ir), son support i1, . . . , ir forme une orbite (pour σ), et toutes les autres orbitessont reduites a un element.

Remarque : Des permutations ( et en particulier des cycles) de supports disjoints commutent : si σ permute certains elements

et τ en permute d’autres, l’ordre dans lequel ces deux permutations agissent est indifferent.

Theoreme I-18 : Toute permutation σ est un produit σ = c1 . . . cr de cycles de supports disjoints (onconvient que l’identite est le produit de zero cycle). Une telle decomposition est unique a l’ordre pres.

Remarque : Ce sont de vrais cycles, de longueur ≥2 et on impose les supports disjoints. Ne pas oublier qu’un cycle peut avoir

plusieurs ecritures : (12...n)=(23...n1).

Preuve : Les orbites X1, . . . , Xk de σ forment une partition de X = 1, . . . , n. Notons alors cl le 〈〈cycle 〉〉

(de longueur eventuellement 1) defini par cl(i) =

σ(i) si i ∈ Xl

i sinon. Son support est Xl (ou ∅ si cl = id) et

donc le produit c1 . . . ck applique a i est juste cl(i) = σ(i) si i ∈ Xl, de sorte que σ = c1 . . . ck. Il reste aenlever les “faux cycles” (ceux de longueur 1) (ceux pour lesquels l’orbite n’a qu’un element) pour obtenirle produit cherche.Unicite : On se donne deux decompositions σ = c1 . . . cr = d1 . . . ds en produits de cycles de supportsdisjoints. Le support de σ est la reunion de ceux des ci (et de meme des dj) donc si σ = id les deux produitssont vides. Sinon un entier t au moins est bouge par un ci et un dj . Alors les supports etant disjoints, on anecessairement ci(t) = σ(t), et plus generalement cm

i (t) = σm(t), et de meme pour dj , d’ou on deduit quepour tout m, cm

i (t) = dmj (t). Mais un cycle c = (a c(a) c2(a) . . . cu−1(a)) est determine par les images de

ses puissances sur un seul element, et donc ci = dj . On peut alors simplifier la relation c1 . . . cr = d1 . . . ds

dans le groupe Sn (ces cycles commutent) et obtenir par recurrence (sur le nombre de termes) le fait quer = s et les cycles sont les memes a l’ordre pres.

Remarque :Cette preuve fournit une methode pratique de decomposition en produit de cycles : on cherche le cycle correspondant a l’orbite

de 1, qui est fourni par les images iterees de 1 par σ, puis on recommence avec le plus petit entier qui n’est pas dans cette

orbite, etc...

Corollaire I-19 : Soit σ ∈ Sn et c1 . . . ct sa decomposition en un produit de cycles de supports disjointsl’ordre de σ est le ppcm des longueurs de cycles ci.

Exercice 23 : Ecrire tous les elements des groupes S3 et S4, construire tous les sous-groupes de ces groupes.

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EXERCICES SUR LE CHAPITRE I : NOTION DE GROUPE

Exercice 1 : Etablir la table d’operation des groupes suivants :Z/2Z Z/2Z× Z/2Z Z/4Z.

Soit G un groupe dont tous les elements sont d’ordre 2, montrez que ce groupe est abelien. Montrez que s’ilcontient deux elements distincts, differents de l’element neutre alors son ordre est divisible par 4.Quels sont les sous-groupes de Z/2Z× Z/2Z ? Quels sont ceux de Z/4Z ?Montrez que les groupes Z/2Z × Z/2Z et Z/4Z ne sont pas isomorphes. Quels sont, a isomorphisme pres,tous les groupes d’ordre 4 ?Quels sont les homomorphismes de Z/2Z × Z/2Z dans lui-meme ? Quels sont ceux qui sont des isomor-phismes ? Meme question avec Z/4Z ?

Exercice 2 : Soit X un ensemble et SX le groupe des bijections de X dans lui-meme (pour la compositiondes applications) a quelle condition ce groupe est-il abelien ?

Exercice 3 : Montrez que si des groupes G1 et G2 sont isomorphes, il y a une bijection entre l’ensemble dessous-groupes de G1 et de ceux de G2.

Exercice 4 : Soient G1 et G2 deux groupes finis de meme ordre et ϕ un homomorphisme de G1 dans G2,montrez que les conditions suivantes sont equivalentes :

a) ϕ est un isomorphismeb) le noyau de ϕ est l’element neutrec) ϕ est surjectif.

Exercice 5 : Montrez que le logarithme neperien definit un isomorphisme du groupe (R∗+,×) sur le groupe

(R, +).

Exercice 6 : Soit K un corps et le groupe GLn(K), montrez que le determinant definit un homomorphismede groupe de GLn(K) dans K∗. Montrez qu’il existe un homomorphisme ϕ de K∗ dans GLn(K) tel quedet ϕ soit l’identite. Est-il unique ?

Exercice 7 : Rappelez la definition du groupe On(R), celle du groupe SOn(R).

Exercice 8 : Si deux sous-groupes d’un groupe ont des cardinaux premiers entre eux prouvez que leurintersection est reduite a l’element neutre.

Exercice 9 : Montrez que l’ensemble des matrices 2×2 de la forme(

1 a0 1

), a ∈ R muni de la multiplication

est un groupe isomorphe a (R,+).U , V , W , X, A, In, 0n sont des matrices a n lignes, n colonnes a coefficients dans C (In etant la matrice

identite et 0n la matrice nulle). La notation :

M =(

U VW X

)designe la matrice a 2n lignes et colonnes Mi,j ou pour

1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, mi,j = ui,j 1 ≤ i ≤ n, 1 + n ≤ j ≤ 2n, mi,j = vi,j−n

1 + n ≤ i ≤ 2n, 1 ≤ j ≤ n, mi,j = wi−n,j 1 + n ≤ i ≤ 2n, 1 + n ≤ j ≤ 2n, mi,j = xi−n,j−n

Montrez que l’ensemble des matrices(

In A0n In

)est un sous-groupe de GL2n(K) isomorphe a (Mn(K),+).

Exercice 10 : Soit G l’ensemble des matrices 2 × 2 de la forme(

a b0 1

)(a ∈ C∗, b ∈ C), muni de la

multiplication. Montrez que G est un groupe.

Exercice 11 : Soit G un groupe fini et ρ un morphisme de G dans GLn(C) ; montrez que quel que soit g ∈ G,ρ(g) est diagonalisable.

Exercice 12 : Soit H le sous-ensemble de M2(C) des matrices de la forme(

a −bb a

), (a, b ∈ C, (a, b) = (0, 0))

montrez que muni de la multiplication des matrices, cet ensemble est un groupe.

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Exercice 13 : Soit A le sous-ensemble de M2(C) des matrices de la forme(

a −bb a

), ( a = u + iv, b =

x + iy, u, v, x, y ∈ Z) (a, b) = (0, 0)) est-ce que muni de la multiplication des matrices cet ensemble est ungroupe ? Contient-il un groupe ? Si oui, quels sont les elements de ce groupe ? Determinez les sous-groupesde ce groupe.

Exercice 14 : Soit G un groupe. A quelle condition l’application x → x−1 est-elle un morphisme de groupede G dans G ?

Exercice 15 : Soit G un groupe. On considere la relation xRy si et seulement si x = y ou y = x−1. Montrezque c’est une relation d’equivalence. En deduire que tout groupe d’ordre pair possede un element d’ordre 2.

Exercice 16 : Soit G un groupe d’ordre 6. Montrez que c’est soit le groupe cyclique d’ordre 6, soit le groupeS3 On etudiera les cas suivants :

a ) G possede un element d’ordre 6.b ) G ne possede pas d’element d’ordre 6, soit x ∈ G d’ordre 2 (cf. exercice precedent).

Si G possede un autre element d’ordre 2 : y. Montrez que xy = yx. En deduire que les elementsde G sont e, x, y, xy, yx, xyx. Construire la table de multiplication du groupe et conclure.

Si x est le seul element d’ordre 2 du groupe. Soit y ∈< x > et H =< y >. Construire les classes agauche et a droite de G modulo H, comparer et conclure.

Exercice 17 : Soit (E, ") un groupe et f une bijection entre E et un ensemble S ; montrez que a ⊥ b =f(f−1(a) " f−1(b)) definit une structure de groupe sur S qui fait de f un isomorphisme de groupes.

Exercice 18 :Soit le groupe (Z, +) et m un entier la relation Rm : aRmb ⇔ b − a est divisible par m est-elle unerelation d’equivalence ? Quel est le nombre de classes d’equivalences ? Cette relation est-elle compatibleavec l’addition ?

Exercice 19 : Soit (C∗,×) l’ensemble des nombres complexes non nuls muni de la multiplication. Est-ce quela relation R : aRb ⇔ b/a ∈ R est une relation d’equivalence ? Si oui, quelles sont les classes d’equivalence? Est-elle compatible avec la multiplication ?

Exercice 20 : Soit C∗,× l’ensemble des nombres complexes muni de la multiplication. Est-ce que la relationR : aRb ⇔ ‖b/a‖ = 1 est une relation d’equivalence ? Si oui, quelles sont les classes d’equivalence ? Est-ellecompatible avec la multiplication ?

Exercice 21 : Soit K un corps, M = Mn,p(K) l’ensemble des matrices a n lignes, p colonnes et coefficientsdans K. On considere la relation R sur M : ARB s’il existe P ∈ GLn(K), Q ∈ GLp(K) tels que A = PBQ.Montrez que R est une relation d’equivalence, decrire les classes d’equivalence (on utilisera la notion de ranget le theoreme de la base incomplete).

Exercice 22 : Soit Mn(C) et R la relation definie par ARB si et seulement s’il existe P ∈ GLn(C) tel queB = P−1AP . Montrez que R est une relation d’equivalence, decrire les classes d’equivalence (on consulterale chapitre du cours de seconde annee consacre a la reduction de Jordan).

Exercice 23 : Soit dans Mn(C) l’ensemble H des matrices A telles que tA = A et R la relation definiepar ARB si et seulement s’il existe P ∈ GLn(C) tel que B = tPAP . Montrez que R est une relationd’equivalence, decrire les classes d’equivalence (on consultera le chapitre du cours de seconde annee consacrea la reduction des matrices hermitiennes).

Exercice 24 : Soit dans Mn(R) l’ensemble S des matrices A telles que tA = A et R la relation definiepar ARB si et seulement s’il existe P ∈ GLn(C) tel que B = tPAP . Montrez que R est une relationd’equivalence, decrire les classes d’equivalence (on consultera le chapitre du cours de seconde annee consacrea la reduction des formes quadratiques).

Exercice 25 : Soit K un corps E = Kn+1 \ 0, l’espace vectoriel prive de son origine. Montrez que larelation C definie par aCb si et seulement s’il existe λ ∈ K∗ tel que a = λb est une relation d’equivalence.Les classes d’equivalence s’appellent l’espace projectif sur K de dimension n : Pn(K).Pour n = 1 montrez que P1(K) est en bijection avec l’ensemble des couples (x, 1);x ∈ K ∪ (1, 0) (cedernier element est appele le point a l’infini).

9

Exercice 26 : Montrez que la relation C definie sur R par aCb si et seulement b − a ∈ Z est une relationd’equivalence. Montrez que cette relation est compatible avec l’addition de R. Que dire de l’applicationx → exp(2iπx) ?Exercice 27 : Sur R2, on considere la relation (x, y)R(x′, y′) si et seulement si x = x′ et y− y′ ∈ Z. Montrezque c’est une relation d’equivalence et que les classes d’equivalence sont en bijection avec le sous-ensemblede R3 : (cos(2πu), sin(2πu), t), u ∈ [0, 2π[, t ∈ R.Exercice 28 : Soit S7 le groupe des permutations de 7 elements. Quel est l’ordre maximal des elements deS7 ?Exercice 29 : Soit S7, calculer (1, 2)(1, 3, 5, 7, 2)(1, 2).Exercice 30 : Soit C un cycle d’ordre 60. Montrez que les cycles de s = C75 ont au plus la longueur 4.Decomposez s en cycles.Soit c un cycle de longueur m et n un entier, montrez que tous les cycles de cn ont la meme longueur.Determinez cette longueur.Exercice 31 : Soit G un groupe abelien, H un sous-groupe de G, montrez que la relation R : g1Rg2 siet seulement si g1 − g2 ∈ H est une relation d’equivalence. Montrez que cette relation d’equivalence estcompatible avec l’operation du groupe.Exercice 32 : Soit E un espace vectoriel sur le corps K, E′ un sous-espace vectoriel de E. Montrez que larelation R : v1Rv2 si et seulement si v1− v2 ∈ E′ est une relation d’equivalence. Montrez que cette relationd’equivalence est compatible avec l’addition dans l’espace vectoriel et avec la multiplication par les scalaires.Exercice 33 : Soit R2 le plan vectoriel euclidien, la base canonique etant orthonormee, D est une droitefaisant avec 〈〈l’axe des x 〉〉 un angle θ. On note S (resp. SD) la symetrie orthogonale par rapport a l’axe desx (resp. par rapport a D). Quels sont l’ordre de S, SD dans SO2(R) ? Quand est-ce que S SD est d’ordrefini ?

10

CHAPITRE II : GROUPES QUOTIENTS, GROUPES PRODUITS

§1 SOUS-GROUPES DISTINGUES.Rappelons que si H est un sous-groupe d’un groupe G, on lui associe deux relations d’equivalence (a

droite et a gauche) par les relations x−1y ∈ H et xy−1 ∈ H.

Definition II-1 : Si H est un sous-groupe d’un groupe G, le nombre de classes d’equivalence modulo H(pour l’une ou l’autre des deux relations precedentes) s’appelle indice de H dans G et se note (G : H).Preuve : Il faut verifier qu’il y a bien autant de classes a droite que de classes a gauche. Lorsque G est fini,il y en a #G/#H (voir le theoreme de Lagrange). Dans le cas general, l’application xH → Hx−1 fournittoujours une bijection entre l’ensemble des classes a droite et celui des classes a gauche.Remarque : Cette application est bien definie car si yH=xH alors y ∈ xH donc y = xh (avec h ∈ H) soit y−1 = h−1x−1

soit y−1 ∈ Hx−1 et donc Hy−1 = Hx−1.

Exercice 1 : Si H ⊂ K sont des sous-groupes de G, montrez que si deux des trois nombres [G : H], [G : K],[K : H] sont finis ils le sont tous les trois et on a la relation : [G : H] = [G : K][K : H].Definition II-2 : Deux elements g et h d’un groupe G sont dits conjugues s’il existe un element x ∈ Gtel que h = xgx−1. La conjugaison est une relation d’equivalence, dont les classes sont appelees classes deconjugaison. Un sous-groupe H de G est distingue ( ou normal dans G ou invariant dans G) s’il eststable par conjugaison dans G : pour tout x ∈ G, xHx−1 est inclus dans H. Cela equivaut a dire que pourtout x ∈ G, xHx−1 = H ou encore que les deux relations de congruence modulo H coıncident : pour toutx ∈ G, xH = Hx.

On note parfois H A G si H est normal dans G.

Preuve : Si les deux relations coıncident, alors ab−1 ∈ H ⇐⇒ a−1b ∈ H. Donc si x ∈ G et h ∈ H, alorsx−1(xh−1) = h−1 ∈ H d’ou (xh)x−1 ∈ H.Reciproquement : si H est stable par conjugaison, et si ab−1 ∈ H, alors

a−1b = (b−1a)−1 = (b−1 ab−1 b)−1 ∈ H.

Remarques :1 Un sous-groupe normal est reunion de classes de conjugaison.

2 Attention ! Si B est un sous-groupe distingue de A cela n’implique en aucune facon que ∀ b∈B ∀ a∈A :aba−1=b.

Exemples :1 Deux rotations de meme angle dans l’espace vectoriel euclidien R3 sont conjuguees.2 Dans n’importe quel groupe G les sous-groupes 0 et G sont distingues.3 Dans G abelien deux elements distincts ne sont jamais conjugues.4 Un sous-groupe d’indice 2 de G est normal dans G car l’une des classes est H donc l’autre est G \H qu’ils’agisse de la congruence a gauche ou a droite.5 Dans un groupe abelien, tout sous-groupe est normal.Exercice 2 : Soit G un groupe et f un morphisme de G dans un groupe Γ. Montrez que pour tout sous-groupedistingue K de Γ, f−1(K) est un sous-groupe distingue de G.Exercice 3 : Soit G un groupe, B un sous-groupe distingue de G et A un sous-groupe de G tel que B ⊂ A ⊂ G ;montrez que B est distingue dans A.Exercice 4 : Si A ⊂ B sont des sous-groupe de G et si B A A, A A G est-ce que B A G ?Exercice 5 : Soit f un morphisme surjectif du groupe G sur un groupe Γ, montrez qu’il y a une bijectionentre les sous-groupes distingues de Γ et les sous-groupe distingues de G contenant ker f .Proposition II-3 : Si H est un sous-groupe normal de G, la loi de G est compatible a la congruence moduloH et fait du quotient un groupe note G/H. La surjection canonique π : G → G/H est un morphisme.

Remarque : Attention ! G/H n’est pas un sous-groupe de G : c’est un ensemble de parties de G, pas d’elements de G.

Preuve : Si x1 ∼ y1 et x2 ∼ y2 alors

x1x2(y1y2)−1 = x1x2y−12 y−1

1 = [x1(x2y−12 )x−1

1 ]x1y−11 ∈ H

11

puisque la parenthese est dans H par hypothese, donc le crochet par conjugaison et le reste est aussi dansH par hypothese.

Exercice 6 : Demontrez que la condition de la proposition est necessaire et suffisante.

Remarques :1. La classe de H dans G/H est celle de e (∈G), c’est l’element neutre de G/H. En deduire que le noyau du morphisme π

surjection canonique de G sur G/H est exactement H.

2 Si H est d’indice [G:H] dans G, le groupe G/H est d’ordre [G:H];

3 Si H est un sous-groupe d’un groupe abelien G, alors G/H est muni naturellement d’une structure de groupe abelien.

4 Si S est une partie generatrice d’un groupe G, H un sous-groupe distingue de G alors l’image de S est une partie generatrice

de G/H. En particulier le quotient d’un groupe monogene est monogene, le quotient d’un groupe cyclique est cyclique.

Theoreme II-4 : (theoreme d’isomorphisme) Soit ϕ : G → G0 un morphisme de groupes, alors :1 Le noyau ker ϕ est un sous-groupe normal de G.2 Si K est un sous-groupe normal de G, ϕ se factorise par la surjection canonique π : G → G/K (c’est-a-direqu’il existe un morphisme ψ : G/K → G0 tel que ϕ = ψ π) si et seulement si ker ϕ contient K.3 Le morphisme ψ : G/ ker ϕ → Im(ϕ) deduit de ϕ par factorisation par le noyau est un isomorphisme.

Preuve :1 Si h ∈ ker ϕ, et x ∈ G, alors ϕ(xhx−1) = ϕ(x)ϕ(h)ϕ(x)−1 = ϕ(x)ϕ(x)−1 = e0 (neutre de G0) et doncxhx−1 ∈ ker ϕ.2 Si ϕ se factorise, alors tout k ∈ K verifie ϕ(k) = ψ π(k) = ψ(e) = e0 et donc k ∈ ker ϕ.Reciproquement, si K est dans le noyau, alors ϕ(kx) = ϕ(x) quel que soit k ∈ K et la formule ψ(Kx) = ϕ(x)definit une application ψ : G/K → G0 qui est un morphisme.3 Si K = kerϕ et ψ(Kx) = e0, alors (par definition de ψ) ϕ(x) = ψ(Kx) = e0 donc x ∈ Kerϕ = K etKx = K est l’element neutre de G/K.

Remarques :1 Tout sous-groupe normal H est un noyau, a savoir celui de la projection canonique π:G→ G/H. Les noyaux sont donc les

exemples types de sous-groupes normaux. Par exemple SLn(k) est noyau du determinant donc est distingue dans GLn(k), et le

groupe alterne An est noyau de la signature donc distingue dans Sn (voir chapitre III).

2 Le theoreme decrit toutes les images de G par un morphisme : elles sont isomorphes a un quotient G/H ou H est un

sous-groupe distingue dans G. Par exemple toute image de Z par un morphisme est isomorphe a Z/nZ pour un n∈N.

3 Un cas important : le groupe (Z,+) est un groupe abelien. Soit H un sous-groupe non reduit a 0 de Z, il existe n>0

tel que H=nZ (l’ensemble des multiples de n). Le groupe quotient Z/nZ est fini avec n elements. Il est par ailleurs monogene

comme quotient d’un groupe monogene : c’est un groupe cyclique. Il resulte du chapitre precedent que tout groupe cyclique

d’ordre n est isomorphe a Z/nZ.

Exercice 7 : Montrez que Q/Z est un groupe infini dont tous les elements sont d’ordre fini.

Corollaire II-5 : (SECOND THEOREME D’ISOMORPHISME) Soit G un groupe, H et K deux sous-groupesdistingues de G tels que K ⊂ H ; le groupe quotient H/K s’identifie a un sous-groupe distingue H ′ dugroupe quotient G/K et le quotient (G/K)/H ′ est isomorphe au groupe G/H.

Preuve : On considere l’homomorphisme canonique π : G → G/H. Son noyau contient K qui est distingue,on en deduit un homomorphisme de G/K vers G/H. Cet homomorphisme associe a la classe aK la classeaH, il est surjectif. Son noyau M consiste en l’ensemble des classes aK telles que aKH = H donc l’ensembledes aK telles que a ∈ H. Cet ensemble est isomorphe au groupe quotient H/K.

Corollaire II-6 : (TROISIEME THEOREME D’ISOMORPHISME) Soit G un groupe, H un sous-groupe distinguede G et K un sous-groupe de G. Alors l’ensemble HK = hk |h ∈ H, k ∈ K est un sous-groupe de G. Deplus H est un sous-groupe distingue de HK et HK/H est isomorphe au groupe quotient K/(K ∩H).

Preuve : Pour ce qui est de la premiere assertion, KH = HK (Attention !, on n’a pas dit que quel que soith ∈ H, k ∈ K hk = kh ) en effet soit kh ∈ KH on ecrit kh = (khk−1)k, comme H est distingue dans G,khk−1 = h′ ∈ H soit KH ⊂ HK. L’inclusion en sens contraire se demontre de la meme maniere.

La partie KH est non vide, et kh(k′h′)−1 = khh′−1k′−1 = khh′−1k−1kk′−1 ∈ HK c’est donc unsous-groupe de G.

12

Le sous-groupe H est inclus dans HK et en est un sous-groupe distingue, on peut donc construire lequotient HK/H, soit p : HK → HK/H. L’image de K est formee des classe kH donc p(K) = HK/H. Lenoyau de la restriction de p a K est K ∩H d’ou le resultat.Definition II-7 : Le centre d’un groupe G est l’ensemble (notation standard) :

Z(G) = x ∈ G ; ∀g ∈ G, gx = xg.

C’est un sous-groupe abelien normal dans G.

Exercice 8 : Un commutateur de G est un element de la forme g = xyx−1y−1 ou x, y ∈ G. Le groupederive de G est le sous-groupe engendre par les commutateurs. On le note D(G) ou G′. Montrez que legroupe derive de G est le plus petit sous-groupe normal de G donnant un quotient G/D(G) abelien.

Soit G un groupe. Etudions maintenant les morphismes ϕ : Z/nZ → G. Un tel morphisme donne parcomposition avec le morphisme canonique un morphisme ψ : Z → Z/nZ → G defini par ψ(k) = ϕ(k).

Reciproquement, etant donne un morphisme ψ : Z → G, on peut se poser la question de savoir s’ilprovient d’un morphisme ϕ comme plus haut. Precisement, on dira que ψ se factorise par Z/nZ (ou plusexactement par la surjection canonique π : Z → Z/nZ) s’il existe un morphisme ϕ : Z/nZ → G tel queψ = ϕ π. Du theoreme d’isomorphisme on deduit le corollaire :Corollaire II-8 : Un morphisme ψ : Z → G se factorise par Z/nZ si et seulement si son noyau ker ψcontient nZ ou encore ψ(1)n = e c’est-a-dire ψ(1) est d’ordre divisant n.

Remarque : L’application qui a ψ associe ψ(1) fournit ainsi une bijection entre les morphismes ψ:Z/nZ→G et les elements de

G d’ordre divisant n.

Exercice 9 : Si m|n construire un morphisme de Z/mZ dans Z/nZ.Exercice 10 : Soit p un nombre premier. Pour tout entier n > 0, notons πn le morphisme canonique de Z

dans Z/pnZ. Montrez que pour m > n, il existe un et un seul morphisme πm,n tel que πn = πm,n πm.Montrez que pour m′ > m > n on a : πm′,n = πm,n πm′, m.Soit G =

∏n>0 Z/pnZ et dans G la partie H formee des (xn) tels que si m > n, xn = πm,n(xm).

Montrez que H est un sous-groupe de G.Exercice 11 : Etablir que les sous-groupes de Z/nZ sont les δZ/nZ pour chaque diviseur δ de n.

§2 PRODUITS.

Definition II-9 : Soit (Gi)i∈I une famille de groupes. Le produit cartesien, ou produit direct externedes groupes Gi est l’ensemble produit cartesien

∏i∈I Gi muni de la loi deduite de celle des Gi composante

par composante. On le note G1× . . .×Gn dans le cas d’un produit fini. La somme directe des groupes Gi

est le sous-groupe des familles (gi) ∈∏

i∈I Gi verifiant gi = ei pour tout i sauf un nombre fini. Elle coıncidedonc avec le produit dans le cas d’un nombre fini de groupes. On la note

⊕Gi, ou G1 ⊕ . . . ⊕ Gn dans le

cas fini.Si E1, . . . , En sont des parties d’un groupe G, leur produit (ensembliste) est l’ensemble

E1 . . . En = g1 . . . gn ; gi ∈ Ei.Notons qu’il depend de l’ordre choisi si G n’est pas abelien.Voici un moyen de s’assurer qu’un groupe est produit de sous-groupes :

Theoreme II-10 : Soient G1, . . . , Gn des sous-groupes d’un groupe G. Il y a equivalence entre1 L’application (g1, . . . , gn) → g1 . . . gn est un isomorphisme de G1 × . . .×Gn sur G.2 a) Les groupes Gi sont normaux dans G.

b) Tout element g ∈ G s’ecrit de maniere unique sous la forme g = g1 . . . gn ou gi ∈ Gi.3 a) Les groupes Gi sont normaux dans G.

b) G = G1 . . . Gn.c) Pour tout i, Gi

⋂G1 . . . Gi−1Gi+1 . . . Gn = e

4 a) Les Gi commutent entre eux (i.e. si i = j, tout element de Gi commute a tout element de Gj .)b) G = G1 . . . Gn.c) Pour tout i, Gi

⋂G1 . . . Gi−1Gi+1 . . . Gn = e

5 a) Les Gi commutent entre eux

13

b)Tout element g ∈ G s’ecrit de maniere unique sous la forme g = g1 . . . gn ou gi ∈ Gi.

Lorsque ces conditions sont remplies, on dit que G est produit direct (interne) des Gi et on ecrit encoreG =

∏Gi par abus de notation.

Preuve : 1=⇒2=⇒3 : Tout element de G s’ecrit g = g1 . . . gn par surjectivite, d’ou b). L’ecriture est uniquepar injectivite, et donc si g ∈ G1

⋂G2 . . . Gn alors g = g1e . . . e = eg2 . . . gn entraıne par unicite de l’ecriture

que g1 = e et que g2 = . . . = gn = e d’ou c). De meme si i = 1.Enfin G1 est normal car c’est le noyau du morphisme compose

Gϕ−1

→ G1 × . . .×Gn → G2 × . . .×Gn

g1 . . . gn → (g1, . . . , gn) → (g2, . . . , gn)

et de meme pour les autres Gi.

3=⇒4 Les Gi commutent entre eux car gigj(gjgi)−1 = (gigjg−1i )g−1

j = gi(gjg−1i g−1

j ) ∈ Gi ∩Gj = e

4=⇒5 unicite car si g1 . . . gn = h1 . . . hn alors h−11 g1 = h2 . . . hn(g2 . . . gn)−1 ∈ G1 ∩ G2 . . . Gn (puisque les

Gi commutent d’apres 2=⇒ 3).

5=⇒1 L’application (g1, . . . , gn) → g1 . . . gn est un morphisme de G1 × . . . × Gn sur G car les groupes Gi

commutent entre eux. Elle est bijective d’apres la condition b’).Exemple : (Tres important) Dans le cas n = 2, on voit que si H, K sont deux sous-groupes de G, alorsG = H ×K si et seulement si H et K sont normaux (ou commutent entre eux), G = HK et H ∩K = e.

Exemple : Trouver un sous-groupe isomorphe a S3 × Z/2Z dans S5 .Definition II-11 : On dit qu’un sous-groupe H d’un groupe G est facteur direct de G s’il existe unsous-groupe K de G tel que G = H ×K.

Remarque : Ceci impose que H est normal dans G.

Exemple : A3 n’est pas facteur direct dans S3 sinon S3 # A3 × Z/2Z serait abelien. De meme 2Z/4Z n’estpas facteur direct dans Z/4Z.

Le theoreme suivant est l’outil principal pour reduire l’etude de Z/nZ a celle de groupes Z/mZ plus petits.

Theoreme II-12 : (theoreme chinois) Soit n1, . . . , nr des entiers > 1 deux a deux etrangers, et n =∏

i ni.L’application naturelle Z/nZ →

∏i Z/niZ est un isomorphisme de groupes.

Preuve : Les surjections canoniques ψi : Z → Z/niZ permettent de construire un morphisme ψ : Z →∏Z/niZ par a → (ψ1(a), . . . , ψr(a)). Le noyau de ψ est l’ensemble des entiers multiples communs aux ni,

c’est-a-dire les multiples de n =∏

ni = ppcm(ni). Par factorisation on obtient donc un morphisme injectifϕ : Z/nZ →

∏Z/niZ qui est l’application naturelle de l’enonce. Les deux ensembles ayant meme cardinal

n, cette injection est donc une bijection.Remarques :1 En regardant l’ordre des elements des groupes, montrer qu’il est necessaire que les ni soient etrangers deux a deux.

2 Cette demonstration ne fournit pas explicitement l’isomorphisme inverse, qu’il est pourtant tres utile de savoir construire en

pratique. On se ramene par recurrence a r=2. Dans le cas de deux nombres n1,n2 on cherche ainsi a associer a tout couple

de nombres (a1,a2) un nombre a tel que a≡a1( mod n1) et a≡a2( mod n2). Il suffit (par additivite) de savoir le trouver lorsque

(a1, a2) = (0, 1) et lorsque (a1,a2)=(1,0). Un tel a est fourni par une relation de Bezout n1u+n2v=1 puisque a=n1u convient

pour le couple (0,1) et a=n2v convient pour (1, 0).Il est important d’avoir un isomorphisme explicite dans les deux sens car on peut ainsi trouver certains elements speciaux

de Z/nZ.

Donnons enfin (sans demonstration) les theoremes de structure sur les groupes abeliens de type fini.Definition II-13 : Un groupe est dit de type fini s’il admet un systeme generateur fini.

Proposition II-14 : Soit A un groupe abelien fini p1, . . . , pr les facteurs premiers du cardinal de A. Alorspour chaque i ∈ 1, . . . , r l’ensemble Api des elements de A d’ordre puissance de pi est un sous-groupe deA, (c’est meme l’unique pi-sous-groupe maximal) et

A #r⊕1

Api

14

Ceci est (a l’ordre pres) la seule decomposition de A en somme directe de p-groupes pour des p distincts.

Preuve : L’unicite vient du fait que Apiest precisement l’ensemble des elements d’ordre puissance de pi

dans⊕

Api.

Si a, b sont deux elements de A d’ordres respectifs pα et pβ ou α ≤ β, alors (a−1b)pβ

= e donc (a−1b)est d’ordre puissance de p ce qui prouve que les Api sont bien des sous-groupes de A.

Montrons que A #∏r

1 Api (somme et produit coıncident car les facteurs sont en nombre fini) en utilisantle th. III 9. Les Api commutent entre eux puisque A est abelien ; l’element neutre est le seul element deApi

∩Ap1 . . . Api−1Api+1 . . . Aprpuisque son ordre s’ecrit pai

i et aussi pa11 . . . p

ai−1i−1 p

ai+1i+1 . . . par

r . Enfin montronsque tout element a ∈ A s’ecrit sous la forme

∏ai ou ai ∈ Api . L’ordre de a s’ecrit sous la forme m =

∏pαi

i

(car divise le cardinal de A). Les nombres mi = mp

αii

sont etrangers (ils n’ont pas de diviseur commun) donc

il existe des entiers βi tels que∑

βimi = 1. Si l’on pose ai = aβimi , alors a =∏

ai et ai ∈ Apipuisque

ap

αii

i = e.

Theoreme II-15 : Tout p-groupe abelien fini A est isomorphe a un produit de p-groupes cycliques.

Corollaire II-16 : Tout groupe abelien fini est produit de groupes cycliques.

Definition II-17 : On dit qu’un groupe abelien est de torsion si tout element est d’ordre fini. On dit qu’ilest sans torsion si tout element non neutre est d’ordre infini.

Theoreme II-18 : Un groupe abelien de type fini A sans torsion est produit d’un nombre fini de sous-groupes monogenes infinis, donc isomorphe a un Zn.

Proposition II-19 : Les elements d’ordre fini d’un groupe abelien A forment un sous-groupe T de A,appele le groupe de torsion de A; de plus, le quotient A/T est sans torsion.

Preuve : Si a, b ∈ T, l’ordre de a−1 est celui de a et l’ordre de ab divise le ppcm m des ordres de a et b (carils commutent : (ab)m = ambm = e) donc T est bien un sous-groupe. Si A/T a un element aT d’ordre finim alors am est d’ordre fini, soit k, et donc amk = e ce qui prouve que a ∈ T donc aT est element neutre, etA/T est sans torsion.Corollaire II-20 : Tout groupe abelien de type fini A est somme directe A = T

⊕U de son groupe de

torsion T et d’un sous-groupe U sans torsion de type fini.

Preuve : Le quotient A/T est de type fini (engendre par les gi) donc produit de sous-groupes monogenes∏r1 < aiT > (ai ∈ A). Montrons que U =< a1, . . . , ar > convient. Puisque A = TU par definition, il suffit

de montrer que U ∩ T = e pour montrer que A = T⊕

U et que U est sans torsion (car toute la torsionest dans T ). Or, si

∏ami

i ∈ T, alors∏

(aiT )mi = T et par suite les mi sont nuls car A/T est produit directdes < aiT > .

Corollaire II-21 : Le sous-groupe de torsion d’un groupe abelien de type fini est fini

Preuve : Il est de type fini car isomorphe au quotient A/U, donc fini.

Theoreme II-22 : Tout groupe abelien de type fini G est isomorphe a un groupe :

Z/n1Z⊕ . . .⊕ Z/nlZ⊕ Zs

ou s est un entier ≥ 0 et ni | ni+1 pour chaque i (1 ≤ i < l). Une telle ecriture est alors unique.

Remarque : C’est une facon de voir si deux groupes abeliens de type fini sont isomorphes.

Definition II-23 : L’entier s est appele le rang de G. Les ni sont appeles diviseurs elementaires de G.On dit aussi parfois que s et les ni sont les invariants de G.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE II : GROUPES QUOTIENTS, GROUPES PRODUITS

Exercice 1 : Soient a et b deux entiers, rappelez l’identite de Bezout. Ecrire la division euclidienne a = bq+r :(br

)=

(0 11 −q

) (ab

)15

calculez des coefficients de Bezout pour 127 et 95. Trouvez tous les n tels que n ≡ 3 mod 127 et n : equiv21mod 95.Exercice 2 : Soit GL2(Z) l’ensemble des matrices 2× 2(

a bc d

)telles que a, b, c, d ∈ Z, ad− bc = ±1

muni de la multiplication des matrices, montrez que GL2(Z) est un groupe. Quel est le lien avec l’exerciceprecedent ?Exercice 3 : Resoudre 27k + 17F = 103, trouvez une solution avec |k|+ |F| minimal.Exercice 4 : Trouvez tous les nombres n de 4 chiffres tels que nk ait les memes 4 derniers chiffres que n pourtout entier positif k.Exercice 5 : Soit ϕ ; G → H un morphisme de groupes, G d’ordre fini et d’image im(ϕ). Montrez que :

#G = (#Imϕ)× (# ker ϕ).

Soit G un groupe cyclique d’ordre d et n un entier ; montrez qu’il existe un homomorphisme surjectif deZ/nZ sur G si et seulement si d|n.Exercice 6 : Soit m > 0 ∈ Z et k ∈ Z/nZ, calculer l’ordre de k en fonction de k et n.Exercice 7 : Soit G un groupe abelien note multiplicativement, m un entier, montrez que ϕ : x → xm estun morphisme de G dans G.On suppose maintenant que G est fini d’ordre n et que (m, n) = 1, montrez que ϕ est un automorphisme.On suppose maintenant que G est cyclique d’ordre n et que m|n. Quel est le noyau de ϕ, quelle est sonimage.On suppose encore que G est cyclique d’ordre n, que p est un nombre premier qui divise n et que m = pr.Quels sont le noyau et l’image de ϕ (on discutera en fonction de la plus grande puissance de p qui divise n).Exercice 8 : Construire tous les homomorphismes de groupes de Z/51Z dans Z/17Z.Exercice 9 : Montrez qu’il existe un homomorphisme de groupes de Z/nZ dans Z/mZ qui n’envoie pas tout xde Z/nZ sur 0, si et seulement si m et n ne sont pas premiers entre eux. Construire tous les homomorphismesde groupes de Z/51Z dans Z/57Z.Exercice 10 : Soit Cn un groupe cyclique d’ordre n, H un sous-groupe de Cn et Γ un systeme de representantsdes classes de Cn modulo H. Est-ce que

∏γ∈Γ γ ∈ H ?

Exercice 11 : Soit p un nombre premier impair, montrez qu’il existe y tel que y2 ≡ −1 modulo p si etseulement si p ≡ 1 modulo 4.Exercice 12 : Soit p un nombre premier ; sur Z/pZ, on considere le relation d’equivalence :

xRy ⇐⇒ y ∈ x,1x

, −x,−1x.

Montrez que R est une relation d’equivalence. Combien il-y-a-t-il d’elements dans chaque classe d’equiva-lence ? Retrouvez le resultat de l’exercice precedent.Exercice 13 : Determinez tous les homomorphismes de Z/50Z dans Z/30Z.Exercice 14 : Montrez que tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe au sous-groupe de (C∗,×) formedes racines n-iemes de l’unite. Cet isomorphisme est-il unique ? Sinon, les decrire tous.Exercice 15 :a) Determinez les elements du sous-groupe de GL2(Z) engendre par les matrices(

0 −11 0

) (0 11 0

).

b) Determinez les elements du sous-groupe de GL2(C) engendre par les matrices(

0 ii 0

)et

(0 11 0

).

16

Exercice 16 : Soit l’isomorphisme naturel de Z/51Z dans Z/3Z × Z/17Z. Explicitez l’isomorphisme re-ciproque.Exercice 17 : Soit l’isomorphisme naturel de Z/323Z dans Z/17Z × Z/19Z. Explicitez l’isomorphismereciproque. Quelle est l’image de (5, 8) ?Exercice 18 : Soit l’isomorphisme naturel de Z/100040003Z dans Z/10001Z×Z/10003Z. Explicitez l’isomor-phisme reciproque. Quelle est l’image de (2, 3) ?Exercice 19 : Soit S6 le groupe des permutations de 6 elements. Montrez que S6 contient un sous-groupeisomorphe a (Z/2Z) × (Z/2Z) × (Z/2Z), un sous groupe isomorphe a (Z/2Z) × (Z/4Z), un sous-groupeisomorphe a (Z/3Z)× (Z/3Z).Exercice 20 : Soit G un groupe, D une famille de sous-groupes distingues de G. Montrez que ∩H∈DH estun sous-groupe distingue de G.Exercice 21 : Soit G un groupe, H un sous-groupe d’ordre n ; on suppose que H est le seul sous-grouped’ordre n. Montrez que H est distingue dans G.Exercice 22 : Soit G un groupe, H un sous-groupe d’indice n ; on suppose que H est le seul sous-grouped’indice n. Montrez que H est distingue dans G.Exercice 23 : Soit G = S3 quels sont les sous-groupes distingues de G ? Meme question avec S4.Exercice 24 : Montrez que tous les groupes abeliens d’ordre 6 sont isomorphes a Z/6Z

Soit G un groupe non abelien d’ordre 6. Montrez qu’il contient un sous-groupe distingue d’ordre 3.Prouvez que ce groupe est isomorphe au groupe des permutations de trois elements.Exercice 25 : Soit Dn l’ensemble des matrices carrees n × n, diagonales, a coefficients dans le corps K,inversibles, muni de la multiplication des matrices ; montrez que c’est un sous-groupe de GLn(K) et qu’ilest isomorphe au produit cartesien de n copies de (K∗,×). On note SDn le sous-ensemble des matrices deDn de determinant 1 ; montrez que c’est un sous-groupe de Dn. Pour α ∈ K∗ et 1 ≤ i ≤ n− 1, on construitla matrice Pi(α) de la facon suivante : Pi(α) est diagonale, son coefficient en position (i, i) est egal a α, celuien position (i + 1, i + 1) a α−1, les autre coefficients de la diagonale sont egaux a 1. Montrez que les Pi(α)engendrent SDn lorsque i varie entre 1 et n− 1 et que α parcourt K∗.

Meme question avec les matrices Qi(α) : construites par Qi(α) est diagonale, son coefficient en position(i, i) est egal a α, celui en position (n, n) a α−1, les autres coefficients de la diagonale sont egaux a 1 (i et αverifiant les memes conditions).Exercice 26 : Meme question en prenant les coefficients de la diagonale dans un sous-groupe de K∗ (illustra-tions : K = C, le sous-groupe de K∗ egal a U – les nombres complexes de module 1– ou bien le sous-groupede K∗ egal a µn –les racines n-iemes de l’unite).Exercice 27 : Soit G un groupe non cyclique d’ordre p2 (p un nombre premier). Montrez que G possedep + 1 sous-groupes differents de G lui-meme ou de e.Exercice 28 :a) Soit G un groupe non abelien d’ordre 8, montrez que G possede un element σ d’ordre 4 et que cet elementengendre un sous-groupe distingue H.b) Soit T = G/H le groupe quotient, τ un element de G dont l’image dans G/H est le generateur. Montrezque τστ−1 ∈ H et vaut obligatoirement σ3.c) Montrez que τ2 ∈ H et vaut soit e soit σ2.d) En deduire quels sont les groupes non abeliens d’ordre 8 a isomorphisme pres.Exercice 29 : Soit K un corps, Tn(K) l’ensemble des matrices triangulaires superieures inversibles, montrezque c’est un sous-groupe de GLn(K). Montrez que le groupe Dn defini plus haut est un sous-groupe deTn(K). Soit f l’application de Tn(K) dans (K∗)n qui a M = (mi,j)1≤i≤j≤n ∈ Tn(K) associef(M) = (m1,1, m2,2, . . . , mn,n), montrez que f est un morphisme de groupes. Soit H le noyau de ce mor-phisme. Montrez que tout element de Tn est produit d’un element de H et d’un de Dn mais qu’il n’est pasle produit direct de ces deux sous-groupes.Exercice 30 : On considere le groupe (Q, +), on choisit un nombre premier p et on note p−1Q la partie deQ formee des x ∈ Q qui multiplies par une puissance de p appartiennent a Z, montrez que p−1Q est unsous-groupe de (Q, +).

17

On note maintenant S−1p Q la partie de Q formee des x qui multiplies par un nombre premier a p

appartiennent a Z. Montrez que S−1p Q est un sous-groupe de (Q,+).

Montrez que l’intersection de ces deux sous-groupes est egale a Z et que tout element de Q est sommede deux elements l’un de p−1Q et l’autre de S−1

p Q.Soit g l’application de (Q,+) dans (C∗,×) definie par x → exp(2iπx), montrez que c’est un morphisme

de groupe, quel est son noyau ?Soit µ∞ l’ensemble des racines de l’unite, montrez que c’est un sous-groupe de (C∗,×). Montrez que

l’image de Q par g est egale a µ∞. Deduire des questions precedente que µ∞ est le produit cartesien de Up

groupe des racines d’ordre une puissance de p par le groupe U ′p des racines d’ordre premier a p.

Exercice 31 : Montrez qu’un groupes abelien d’ordre 8 est isomorphe a l’un des groupes suivants : Z/2Z×Z/2Z× Z/2Z, Z/2Z× Z/4Z, Z/8Z.Exercice 32 : Pour chacun des groupes Gi suivants decidez s’il existe un morphisme surjectif de Z2 sur Gi,s’il existe en donner un exemple :

G1 = Z/8Z

G2 = Z/2Z× Z/6Z× Z/10Z

G3 = Z/6Z× Z/10Z× Z/15Z.

Exercice 33 : Soit l’ensemble des applications de C dans lui-meme de la forme z → az + b, muni de lacomposition des applications ; a quelle(s) condition(s), est-ce un groupe ? Montrez que l’on a alors unestructure de groupe sur C∗×C et que ce groupe n’est pas isomorphe au groupe produit cartesien de (C∗,×)par (C,+). Rappelez l’interpretation geometrique du premier de ces groupes.Exercice 34 : Soit K un corps commutatif et G = GLn(K) le groupe des matrices n × n inversibles acoefficients dans K.a) Montrez que SLn(K), le groupe des matrices n × n a coefficients dans K de determinant 1 est unsous-groupe distingue du precedent.b) Montrez que les matrices M , n× n a coefficients dans K diagonales, inversibles dont les coefficients mi,i

valent 1 pour i = 1 forment un sous-groupe Γ isomorphe a K∗. Montrez, en utilisant le determinant que Gn’est pas le produit direct de Γ par SLn(K).Exercice 35 : Soit K un corps commutatif et G = GLn(K) le groupe des matrices n × n inversiblesa coefficients dans K. Soit A une matrice appartenant au centre de G. On note ei,j la matrice donttous les coefficients sont nuls sauf celui situe a la i-eme ligne, j-eme colonne qui vaut 1. Montrez queA(In + ei,j) = (In + ei,j)A. En deduire que Aei,j = ei,jA puis que A est une matrice scalaire.Exercice 36 : Soit G un groupe et H un sous-groupe distingue de G d’ordre 2 ; montrez que H est inclusdans le centre de G.

18

CHAPITRE III : ACTIONS DE GROUPE

§1 ACTION D’UN GROUPE SUR UN ENSEMBLE.Definition III-1 : Une action (a gauche) d’un groupe G sur un ensemble X est une application ϕ :

ϕ : G×X → X(g, x) → g · x := ϕ(g, x)

telle que si quels que soient g, h ∈ G et x ∈ X, alors (gh) · x = g · (h · x) et e · x = x ou e est l’element neutrede G. On l’appelle encore operation de G sur X et on dit que G agit ou opere sur X.

On definit de meme une action a droite comme une application (g, x) → x · g telle que x · gh = (x · g) · het x · e = x.

Remarques :1 On notera parfois gx l’element g·x de X mais cette notation est a eviter lorsque X est egal a G (a cause des risques de

confusions).

2 Dans tout ce qui suit on ne considere que des actions a gauche.

On peut voir une action comme un morphisme de G dans le groupe SX des permutations de X :Proposition III-2 : Si G agit sur X par (g, x) → g · x, alors pour tout g ∈ G l’application πg : x → g · xest une permutation de X, et g → πg est un morphisme de G dans SX i.e. πgh = πg πh. Reciproquement,si g → pg est un morphisme de G dans SX alors l’application (g, x) → pg(x) est une action de G sur X. Celaetablit deux bijections reciproques entre l’ensemble des actions de G sur X et l’ensemble des morphismes deG dans SX .

Preuve : Il est clair que πe(x) = e · x = x donc πe = id. Par ailleurs, πg πh(x) = πg(h · x) = g · (h · x) =gh ·x = πgh(x) et en particulier πg πg−1 = id donc πg est inversible : c’est une permutation de X et g → πg

est un morphisme.Reciproquement : soit g → pg un morphisme G → SX . Si on pose g · x := pg(x), on a e · x = pe(x). Or, pe

est l’image de e par un morphisme, donc c’est l’identite et e ·x = x. De meme, gh ·x = pgh(x) = pg ph(x) =pg(ph(x)) = g · (h · x) ce qui prouve qu’on a une action de G sur X.

Definition III-3 : Si G agit sur X, la relation x ∼ y definie par : il existe un element g ∈ G tel que y = g ·xest une relation d’equivalence sur X. La classe de x ∈ X pour cette action s’appelle l’orbite de x,on la noteG · x ; l’ensemble des orbites forme une partition de X.On dit que l’action est transitive ou que G agit transitivement s’il n’y a qu’une seule orbite .Le noyau de l’action est le noyau du morphisme G → SX associe, c’est-a-dire l’ensemble :g ∈ G ; ∀x ∈ X, g · x = x des g qui fixent X. On dit que l’action est fidele (ou que G agit fidelement) sison noyau est reduit a e.Remarque : L’action est transitive si elle peut transformer tout element en tout autre. Attention ! Cela ne veut pas dire

que le morphisme dans SX est surjectif !!! regarder C3 et S3 agissant sur 1,2,3.

Exemples :1 GLn(R) agit sur Rn.2 Si K est un corps, (K∗,×) agit par multiplication sur Kn − 0.3 Le groupe G des rotations de l’espace vectoriel euclidien R3 agit sur R3 (chaque rotation envoie un pointde R3 sur un autre point). Les orbites sont les spheres centrees a l’origine. L’action n’est donc pas transitive.Elle est fidele car la seule rotation fixant tout point de R3 est l’identite.4 Si X est un ensemble, SX agit sur X par permutation. L’action est transitive et fidele.5 Tout groupe G agit sur lui-meme par multiplication a gauche : g · h = gh. Cette action est transitive etfidele. Ce dernier exemple montre donc le :

Theoreme III-4 : (Cayley) Tout groupe G est isomorphe a un groupe de permutations, c’est-a-dire a unsous-groupe du groupe des permutations sur un ensemble X (a savoir X = G).Preuve : L’action fidele de G sur lui-meme donne un morphisme injectif de G dans SG.

Remarque : Il suffit donc pour etudier tous les groupes de connaıtre les sous-groupes des groupes symetriques, d’ou

l’importance de ces derniers (cf. §3 et 4).

19

Exemples : (suite)6 Tout groupe G agit sur lui-meme par conjugaison : (g, x) → g · x := gxg−1 (ce dernier produit etantle produit dans le groupe G) ; on voit ici le danger de noter gx a la place de g · x. Cette action n’est pastransitive si G = e (l’orbite de e est reduite a e lui-meme). Le noyau de l’action est le centre du groupe,l’action n’est donc fidele que si ce centre est reduit a e.7 GLn(k) opere sur Mn(k) par conjugaison : (P, M) → PMP−1. Les orbites sont les classes de similitude(si k = C il y en a autant que de formes de Jordan).

8 Le groupe des homographies z → az + b

cz + d(a, b, c, d ∈ C, ad− bc = 0) agit transitivement et fidelement sur

C ∪ ∞.9 Soit f : Rn → Rn telle que pour tout point P ∈ Rn il existe une unique solution xP de l’equationdifferentielle x′(t) = f(x(t)) avec la condition initiale x(0) = P. Alors R agit sur l’espace Rn par t.P = xP (t)et les orbites sont les trajectoires, c’est-a-dire les courbes integrales de cette equation differentielle.10 Soit G un groupe operant sur un ensemble X et f un morphisme d’un groupe Γ dans G. Montrez queΓ×X → X(γ, x) → f(γ)x definit une action de Γ sur X (si f est injective on parle de restriction de l’action, si f

est surjective on parle d’inflation).

§2 FORMULES DES CLASSES.Dans tout ce paragraphe, G est un groupe agissant (a gauche) sur un ensemble X.

Definition III-5 : Le stabilisateur d’un element x ∈ X pour l’action de G est l’ensembleGx = g ∈ G g g · x = x, c’est un sous-groupe de G.

Remarque : Attention ! il n’y a aucune raison, a priori, pour qu’il soit distingue.

Proposition III-6 : Pour x fixe dans G, l’applicationg → g · xG → X

definit une bijection de l’ensemble

G/Gx des classes a droite modulo Gx sur l’orbite de x. Ainsi le cardinal de l’orbite G · x est egal a l’indice(G : Gx).Preuve : L’application g → g · x est une surjection de G sur G · x. Par ailleurs :g′ · x = g · x ⇐⇒ g−1g′ · x = x ⇐⇒ g−1g′ ∈ Gx ⇐⇒ g Gx = g′ Gx.

Remarque : Cela montre en particulier que si G est un groupe fini et si x,y sont dans la meme orbite, alors les stabilisateurs

Gx et Gy ont meme cardinal puisqu’ils ont meme indice. Mais il y a mieux :

Proposition III-7 : Si y = g · x, la conjugaison h → ghg−1 par g dans G definit un isomorphisme de Gx

sur Gy.

Preuve : Si h ∈ Gx, alors ghg−1 ·y = gh ·(g−1 ·y) = gh ·x = g ·x = y donc ghg−1 ∈ Gy. Ainsi la conjugaisondefinit bien un morphisme (car conserve loi de G) de Gx dans Gy, d’inverse k → g−1kg.

Le resultat fondamental dans l’utilisation des actions de groupes finis est le suivant, connu sous le nom deformule des classes :

Theoreme III-8 : Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble fini X, alors :

#X =n∑

i=1

(G : Gxi) ou les xi forment un systeme de representants des orbites.

Preuve :Les orbites forment une partition de X donc le resultat decoule de la proposition 2.

Complement provisoire

Theoreme III-9 : (formules des classes) Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble fini X, alors :

1 #X =n∑

i=1

(G : Gxi) ou les xi forment un systeme de representants des orbites.

2 Le nombre n d’orbites est donne par la formule :

n =1

#G

∑g∈G

#Xg

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ou Xg = x ∈ X ; g · x = x est l’ensemble des points de X fixes par g (au contraire du stabilisateur : c’estici g qui est fixe).Preuve :1 Les orbites forment une partition de X donc le resultat decoule de la proposition 2.2 La somme

∑g∈G #Xg est le cardinal de l’ensemble A = (g, x) ∈ G × X ; g · x = x. Si on choisit un

systeme (xi) de representants des orbites, alors :

#A =∑x∈X

#Gx =n∑

i=1

(#Gxi)(#orbite de xi) =

n∑i=1

(#Gxi)(G : Gxi

) = n #G.

Ces formules ont de tres nombreuses applications dont nous verrons quelques unes plus loin dans ce cours.Citons en particulier :

- Un groupe d’ordre prm (p premier, m premier a p) admet un sous-groupe d’ordre pr.- Le theoreme de Wedderburn : tout corps fini est commutatif.- Le calcul du nombre de coloriages differents d’un cube (par action du groupe d’isometries laissant le

cube stable sur l’ensemble des sextuplets de couleurs).Demontrons simplement une application, liee a la theorie de Sylow (chapitre VI) :Proposition III-10 : Un groupe G de cardinal pn ou p est un nombre premier et n > 0 a un centre nontrivial.

Preuve : On fait agir G sur lui-meme par conjugaison. Le stabilisateur d’un x ∈ G est G (c’est-a-dire l’orbiten’a qu’un element) si et seulement si x est dans le centre Z(G). Tout autre stabilisateur a un indice qui est undiviseur de pn different de 1, donc multiple de p. Ainsi la premiere formule montre que pn = #Z(G)+multiplede p et donc #Z(G) est un multiple de p (non nul car Z(G) contient au moins e).

FIN du Complement provisoire

Completons l’introduction au groupe symetrique faite dans le premier chapitre.

§3 CONJUGAISON DANS LE GROUPE SYMETRIQUE.

On etudie les classes d’equivalence pour la relation de conjugaison. Rappelons que Sn (comme toutgroupe) agit sur lui-meme par conjugaison. On cherche a etudier les orbites de Sn pour cette actionc’est-a-dire reconnaıtre quelles sont les permutations conjuguees. La permutation conjuguee de σ par unepermutation τ est τστ−1. Il suffit pour la calculer de savoir conjuguer un cycle puisque :τc1 . . . crτ

−1 = τc1τ−1 . . . τcrτ

−1, or

τ(i1 . . . ir)τ−1 = (τ(i1) . . . τ(ir))

(comparer a gauche et a droite l’image des elements τ(i1), . . . , τ(ir) ainsi que des autres entiers)Exemple : Dans S4 on a (134)(13)(24)(134)−1 = (34)(21).En remarquant que la conjugaison ne change pas la longueur d’un cycle, on obtient ainsi :Proposition III-11 : Si on appelle type d’une permutation σ = c1 . . . cr la suite (l1, . . . , lr) des longueursdes cycles ci classees par ordre croissant (i.e. 1 < l1 ≤ l2 ≤ . . . ≤ lr), alors deux permutations sont conjugueesdans Sn si et seulement si elle ont meme type ( ici encore il est important de prendre de vrais cycles).Preuve : Deux permutations conjuguees sont de meme type par l’etude precedente.Reciproquement, donnons nous deux permutations σ = c1 . . . cr et σ′ = c′1 . . . c′s de meme type decomposeesen cycles de supports disjoints. L’egalite des types montre que r = s et quitte a ordonner les cyclespar longueur croissante (on le peut car ils commutent ), deux cycles ct et c′t ont meme longueur, soitct = (it,1 . . . it,lt) et c′t = (jt,1 . . . jt,lt). Tous les entiers it,u sont distincts et en meme nombre que lesjt,u ; il y a donc une permutation τ qui envoie chaque it,u sur le jt,u correspondant et le complementaire desit,u sur le complementaire des jt,u. D’apres le calcul du conjugue d’un cycle, on en deduit que τctτ

−1 = c′tet par suite que τστ−1 = σ′.

21

Autrement dit : si σ = (i1 . . . ik)(. . .)(. . . il) et σ′ = (j1 . . . jk)(. . .)(. . . jl) alors τ =(

i1 . . . ilj1 . . . jl

)convient.

Application au calcul du cardinal des classes de conjugaison

Theoreme III-12 : Les r-cycles de Sn forment une classe de conjugaison de cardinal1r

n!(n− r)!

. Plus

generalement, les permutations de type (l1, . . . , l1︸ ︷︷ ︸n1 fois

, . . . , lk, . . . , lk︸ ︷︷ ︸nk fois

) forment une classe de conjugaison de car-

dinaln!

(n− s)!

k∏1

1ni! lni

i

ou s =∑

lini est le cardinal du support de σ.

Preuve : Tout r-uplet (i1, . . . , ir) definit un cycle (i1 . . . ir) et chaque cycle provient de r tels r-upletspuisque (i1 . . . ir) = (i2 . . . iri1) = . . . . Or il y a n!

(n−r)! r-uplets, d’ou le nombre de r-cycles.Dans le cas general, si s =

∑nili, tout s-uplet (i1, . . . , is) definit une permutation de type

(l1, . . . , l1︸ ︷︷ ︸n1 fois

, . . . , lk, . . . , lk︸ ︷︷ ︸nk fois

), a savoir

(i1 . . . il1)(il1+1 . . .) . . . (. . . in1l1)︸ ︷︷ ︸n1

(. . .) . . . (. . .)︸ ︷︷ ︸n2

. . . (. . .) . . . (. . . is︸ ︷︷ ︸nk

).

Le nombre de s-uplets est n!(n−s)! et deux s-uplets definissent la meme permutation si et seulement si on

permute circulairement les elements d’un meme paquet (ce qui correspond aux differentes ecritures d’unmeme cycle), ou qu’on permute entre eux deux paquets de meme longueur (ce qui ne fait qu’echanger deuxcycles, qui commutent). Il y a

∏lnii permutations de la premiere sorte, et

∏ni! de la seconde, d’ou le

resultat.Exercice 1 : Combien il y a-t-il de classes de conjugaison dans S5, verifier que la somme de leurs cardinauxvaut 120 (on trouve 1 + 10 + 15 + 20 + 20 + 30 + 24 = 120).

§4 GENERATEURS – SIGNATURE – GROUPE ALTERNE.On sait que le groupe Sn est engendre par les cycles. Il est souvent utile, pour montrer certaines

proprietes des permutations, de pouvoir se restreindre a un ensemble plus petit de generateurs (par exemplepour le cube dont le groupe des isometries est isomorphe a S4). La proposition suivante fournit de telsensembles :

Theoreme III-13 :1 Le groupe Sn est engendre par les transpositions.2 Le groupe Sn est engendre par les transpositions de la forme (1 i).3 Le groupe Sn est engendre par les transpositions, dites elementaires, de la forme (i i + 1).4 Le groupe Sn est engendre par les deux permutations (1 2) et (1 2 . . . n).Preuve :1 Il suffit d’ecrire tout cycle comme produit de transpositions, ce qui est possible car :

(i1 . . . ik) = (i1ik) . . . (i1i3)(i1i2)(verifier sur chaque element. Attention ! on commence par la droite car c’est un compose d’applications).2 D’apres 1, il suffit d’ecrire toute transposition comme produit de transpositions de la forme (1i) ce quiest aussi possible puisque (ij) = (1i)(1j)(1i) (on passe de (1j) a (ij) par conjugaison, cf. le calcul d’unconjugue).3 Puisque par conjugaison (1 i) = (i−1 i)(1 i−1)(i−1 i), on voit par recurrence sur i que toute transposition(1i) est produit de transpositions elementaires.4 La transposition (12) et le cycle c = (12 . . . n) engendrent les transpositions elementaires (et donc Sn

entier) grace a la relation de conjugaison (i + 1 i + 2) = ci(1 2)c−i.

Remarque : Toute permutation est donc produit de transpositions, mais elles ne sont pas uniques (voir la preuve du 2), pas

plus que leur nombre. Cependant ce nombre a une parite bien definie qui decoule de la notion suivante :

Definition III-14 : Une inversion d’une permutation σ est un couple (i, j) tel que i < j et σ(i) > σ(j),ou encore tel que σ(i)−σ(j)

i−j < 0. La signature de σ est le nombre

22

ε(σ) = (−1)nombre d’inversions de σ =∏

(i,j)i<j

σ(i)−σ(j)i−j

(car σ est une bijection donc la valeur absolue du produit vaut 1) . On dit que σ est paire (resp.impaire) si ε(σ) = 1 (resp. −1).

Proposition III-15 : La signature ε : Sn → ±1 est un morphisme de groupes (en particulier στ et τσ ontmeme signature). Deux permutations conjuguees ont meme signature : ε(στσ−1) = ε(σ)ε(τ)ε(σ)−1 = ε(τ)).Preuve : Si τ, σ ∈ Sn, l’application (i, j) → τ(i), τ(j) est une permutation des couples d’entiers, que l’onpeut reordonner : ∏

(i,j)i<j

στ(i)− στ(j)i− j

=∏(i,j)i<j

στ(i)− στ(j)τ(i)− τ(j)

∏(i,j)i<j

τ(i)− τ(j)i− j

= ε(σ)ε(τ).

Car dans le premier produit du second terme on peut, s’il le faut changer l’ordre au numerateur et au

denominateur pour avoir∏(k,l)

τ(k)<τ(l)

στ(k)− στ(l)τ(k)− τ(l)

Proposition III-16 : Toute transposition est impaire. Ainsi, pour n > 1, ε est un morphisme surjectif, etune permutation est paire si et seulement si elle est produit d’un nombre pair de transpositions.

Preuve : Toute transposition est conjuguee de (1 2) donc a meme signature. Or pour (1 2), seule la paire1, 2 fournit une inversion.Definition III-17 : Pour n ≥ 2, le noyau An de la signature Sn → ±1 est un sous-groupe normal d’indice2 de Sn, appele le n-ieme groupe alterne. C’est donc l’ensemble des permutations paires.

Preuve : Pour verifier qu’il est d’indice 2, il suffit de remarquer que le morphisme surjectif ε definit unisomorphisme de Sn/An sur ±1.De meme que dans le cas du groupe symetrique tout entier, il est interessant de trouver dans An desgenerateurs privilegies :Proposition III-18 : Si n ≥ 3, le groupe An est engendre par les 3-cycles.

Preuve : Toute permutation paire etant un produit d’un nombre pair de transpositions de la forme (1 a), ilsuffit de remarquer que (1 b)(1 a) = (1 a b).Remarque : La preuve du theoreme II-11 montre que la signature d’un cycle de longueur n est (−1)n−1.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE III : ACTIONS DE GROUPE

Exercice 1 : A la matrice(

a bc d

)de GL2(R) on associe la transformation homographique z → az + b

cz + d.

a) Montrez que GL2(R) opere sur C \ R.b) On note GL+

2 (R) celles des matrices de GL2(R) de determinant positif et H (le demi-plan de Poincare)l’ensemble des z ∈ C de partie imaginaire > 0. Montrez que GL+

2 (R) opere sur H. Cette operation est-ellefidele ? transitive ?c) Montrez que SL2(R) opere sur H. Montrez que SL2(R) contient un sous-groupe isomorphe au groupedes translations de vecteur parallele a l’axe reel. Montrez que SL2(R) contient un sous-groupe isomorphe augroupe des homotheties de rapport positif et de centre l’origine. En deduire que SL2(R) opere transitivementsur H. Opere-t-il fidelement ?d) Dans l’operation de SL2(R) sur H, on note R le stabilisateur de i. A quel groupe classique R est-ilisomorphe ?

On note A l’ensemble des matrices(

λ 00 1

λ

)| λ > 0

, N l’ensemble des matrices

(1 x0 1

)| x ∈ R

,

Montrez que A, N sont des sous-groupes de SL2(R) et que tout g ∈ SL2(R) s’ecrit de maniere unique sousla forme g = r.a.n avec r ∈ R, a ∈ A, n ∈ N .

Exercice 2 : Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d’indice n. Montrez que G×G/H → G/H(g, xH) → gxH

definit une operation a gauche sur les classes a droite de G modulo H. Cette action est-elle transitive ?Decrire le stabilisateur de H.

23

Exercice 3 : Soit G un groupe et X l’ensemble des sous groupes finis de G. Montrez que G×X → X(g, H) → gHg−1

definit une operation a gauche sur X.Exercice 4 : Soit G un groupe, H un sous-groupe distingue et abelien de G, on pose Γ = G/H. Pour γ = g,γ ∈ Γ, g ∈ G et h ∈ H on pose γ " h = ghg−1 montrez que ceci definit une operation a gauche de Γ sur H.Exercice 5 : Soit K un corps, montrez que GLn(K) opere sur Kn, sur Kn\0. L’operation est-elle transitivesur Kn ? Sur Kn \ 0 ? Est-elle fidele ?On suppose desormais que K est un corps fini a q elements. Quel est le cardinal de GL1(K) ? On choisitv = 0 dans Kn, quel est le stabilisateur de v (on pourra completer v en une base de Kn) ? On noteµn = #GLn(K) trouver une relation de recurrence entre µn et µn−1 et en deduire une formule donnant µn

en fonction de n.Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps K, Er l’ensemble des sous-espaces de dimension

r de E. Calculer le nombre d’elements de Er. Verifier que Er et En−r ont le meme nombre d’elements.Pouvait-on prevoir ce resultat ?Exercice 6 : On considere une bande plane rectiligne formee de n carres identiques. Quel est le groupe G desdeplacements du plan laissant invariants cette bande ? On dispose de m couleurs pour colorier chacun descarres. Combien de bandes coloriees peut-on produire ? On appelle coloriage de la bande toute bande colorieeinvariante par les deplacements determines ci-dessus. Quel est le nombre de bandes coloriees invariantes parl’identite ? Quel est le nombre de bandes coloriees invariantes par un element de G different de l’identite ?Appliquer la formule des classes pour en deduire le nombre de coloriages.Exercice 7 : De combien de facon peut-on ecrire 1000 comme produit de trois entiers positifs n1, n2, n3,l’ordre etant indifferent.Exercice 8 : Quel est le nombre de coloriage des carres divises en n2 carres parallelement aux cotes.Exercice 9 : Soit S un ensemble fini de points du plan affine euclidien. Montrez que toute transformationaffine de ce plan qui conserve S laisse invariant l’equibarycentre des points de S. En deduire que l’on peutse ramener au cas de l’espace vectoriel euclidien.Exercice 10 : Montrez que les isometries du plan affine euclidien qui conservent globalement (resp. pointpar point) un sous-ensemble du plan forment un groupe.Exercice 11 : Montrez que le groupe des isometries du plan affine euclidien qui conservent un segment [a, b]est isomorphe au groupe des isometries du plan affine euclidien qui conservent les extremites de ce segmentet qu’il est isomorphe au groupe de Klein.Exercice 12 : Soit S le groupe des isometries planes qui conservent un triangle equilateral T . Determinez leselements de S, montrez que ce groupe est isomorphe a S3. Montrez que S possede un unique sous-groupeH d’ordre 3. Montrez que H est un sous-groupe distingue. Construire le groupe quotient G/H. Donnez uneinterpretation geometrique de H et de G/H.Exercice 13 : Determinez le groupe des isometries du plan affine euclidien qui conservent un carre.Exercice 14 : Determinez le groupe des isometries du plan affine euclidien qui conservent un polygone reguliera n cotes.Exercice 15 : Determinez Aut(S3).Exercice 16 : Soit S5 le groupe des permutations de 5 lettres. On considere les permutations (1 2) et(1 2 3 4 5) ecrire les transpositions a l’aide de ces deux generateurs.Exercice 17 : Soit σn une permutation circulaire d’ordre n. Quelle est sa signature ? Soit E un espacevectoriel de dimension n sur un corps K, muni d’une base e1, . . . , en et f l’endomorphisme de E defini parf(ei) = f(eσ(i)) quel est son determinant, son polynome caracteristique, est-il diagonalisable ?Exercice 18 : Soit S4 le groupe des permutations de 4 elements.

Quels sont les ordres possibles des elements de S4 ? Si G est un groupe fini d’ordre n et d un diviseurde n, est-ce que l’on peut affirmer que G contient un element d’ordre d ?Determinez tous les elements d’ordre 2 de S4. Forment-ils un groupe ?Determinez tous les elements d’ordre 3 de S4.

Determinez tous les elements d’ordre 4 de S4.

24

Quel est l’ordre de A4 ? Est-ce que A4 contient des elements d’ordre 4 ? Est-ce que A5 contient des elementsd’ordre 4 ? Est-ce que A6 contient des elements d’ordre 4 ?

Est-ce que A4 contient un sous-groupe d’ordre 6 ? Si G est un groupe fini d’ordre n et d un diviseur den, est-ce que l’on peut affirmer que G contient un sous-groupe d’ordre d ?

Exercice 19 : Soit S4 le groupe des permutations de 4 lettres, A4 le groupe des permutations paires. Montrezque A4 contient un sous-groupe K isomorphe au groupe de Klein. Montrez que K est distingue dans A4.Quel est le groupe quotient A4/K ?

Exercice 20 : Soit (a1 a2), (b1 b2) des transpositions de 2 objets parmi n. Montrez qu’elles sont conjugueesdans Sn.Montrez que le produit de deux transpositions dans Sn peut s’ecrire xyx−1y−1 dans Sn.Quel est le groupe derive de Sn ?Montrez que tout homorphisme de Sn dans C∗ se factorise par Z/2Z.Est-ce qu’il existe un morphisme ϕ de S5 dans C∗ tel que ϕ((1 2)) = 1, ϕ((2 3 4 5 )) = −1 ?

Exercice 21 : Quel est le groupe derive de An (on distingue suivant que n est ou non superieur ou egal a5) ?

Exercice 22 : Soit les points (1, 1, 1), (−1,−1, 1), (−1, 1,−1), (1,−1,−1) de l’espace affine euclidien rapportea une origine O.a) Montrez que ces points forment un tetraedre regulier T .b) Montrez que le groupe G des isometries de l’espace qui conservent T est un sous-groupe de S4.c) Montrez qu’etant donne deux quelconques des sommets de T , il existe une isometrie qui echange ces som-mets et laisse les deux autre invariants. En deduire que G est isomorphe a S4. Donnez un homomorphismeinjectif ρ de S4 dans GL3(Z).d) Montrez que les deplacements qui conservent T forment un sous-groupe H de G d’ordre 12.e) Montrez que ce groupe contient un sous-groupe distingue d’ordre 4, isomorphe au groupe de Klein et unsous-groupe cyclique d’ordre 3 mais qu’il n’est pas le produit cartesien de ces deux sous-groupes.

Exercice 23 :On ajoute (1,−1, 1), (−1, 1, 1), (1, 1,−1), (−1,−1,−1) aux quatre points du precedent exercice.a) Montrez que ces quatre points forment un tetraedre regulier T ′ et que les 8 points forment un cube. SoitΓ le groupe des isometries de l’espace conservant ce cube.b) Montrez qu’un element γ de Γ est determine par γ(T ). En deduire que l’ordre de Γ est 48 et que lesous-groupe D de Γ forme des deplacements conservant le cube est d’ordre 24.c) Montrez en utilisant l’action de D sur les diagonales que D est isomorphe a S4 ; en deduire un homo-morphisme injectif ψ de S4 dans SL3(Z).d) Montrez qu’il n’existe pas de matrice P dans GL3(C) telle que ∀ σ ∈ S4 on ait ψ(σ) = P−1ρ(σ)P (ρ del’exercice precedent).

Exercice 24 : On veut colorier les 6 faces d’un cube avec m couleurs. Combien de cubes colories peut-onproduire ? On note F1 . . . F6 les faces du cube. On considere que deux cubes colories sont equivalents s’ilexiste un deplacement qui les rend identiques. Ecrire les cycles de chacun des deplacements operant surl’ensemble des faces du cube. Appliquer la formule des classes pour calculer le nombre de cubes colories quel’on peut construire.

Exercice 25 :a) Quels sont les ordres possibles pour les elements de S10 ?b) Montrez que les elements d’ordre 14 dans S10 ont pour signature −1.c) Est-ce que les elements de meme ordre dans S10 ont la meme signature ?

Exercice 26 : Soit Sn(R) l’ensemble des matrices symetriques reelles. Montrez que Gln(R) opere sur Sn(R)par (P, M) → tPMP .

Exercice 27 : Soit G un groupe, H un sous-groupe de G d’indice n et xi, 1 ≤ i ≤ n un systeme derepresentants des classes a droite de G modulo H (G = ∪n

i=1xiH). Si g ∈ G on pose gxi = xg(i)hi,g justifiezcette notation et montrez que pour g et γ ∈ G on a x(γg)(i) = xγ(g(i)) et hi,γg = hg(i),γhi,g.

On suppose que H opere a gauche sur un ensemble X, on pose Y = ∪ni=1Xi avec Xi = X. Pour g ∈ G

et a ∈ Xi on pose g.a = hi,g.a ∈ Xg(i) Montrez que ceci definit une action de G a gauche sur Y .

25

Exercice 28 : Soit p un nombre premier, montrez que tout groupe d’ordre p2 est abelien.

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CHAPITRE IV : ETUDE DU GROUPE ORTHOGONAL REEL.

Nous allons appliquer les resultats de l’annee precedente a l’etude du groupe orthogonal reel. Lorsque lastructure de l’espace euclidien est fixee, on emploie indifferemment les termes d’isometries ou d’applicationorthogonale.

§1 PROJECTIONS ET SYMETRIES D’UN ESPACE EUCLIDIEN.

On considere l’espace vectoriel E = Rn muni d’un forme bilineaire symetrique definie positive notee< , > appelee produit scalaire.

L’application de E dans R : x →< x, x > est une forme quadratique definie positive, on note < x, x >=‖x‖2 et x → ‖x‖ est une norme.

Le produit scalaire definit la norme, reciproquement la norme permet de retrouver le produit scalaireau moyen de la formule :

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 < x, y >

.Soit F un sous-espace de E de dimension p. Puisque la forme qui definit la structure euclidienne est

definie positive, le sous-espace F admet un orthogonal F⊥ qui lui est supplementaire.Le theoreme d’orthogonalisation de Gram-Schmidt nous assure qu’il existe une base orthonormee :

e1, . . . , en. On suppose dans ce qui suit que cette base est la base canonique de Rn. A tout vecteur

x = x1e1 + . . . + xnen on associe le vecteur colonne X =

x1...

xn

. La base etant orthonormee le produit

scalaire < x, y > est egal a tX.Y (produit des deux matrices).Definition IV-1 : On qualifie d’orthogonal tout endomorphisme f de Rn tel que :

∀x∀ y ∈ Rn < f(x), f(y) >= < x, y >.

Proposition IV-2 : f est une transformation orthogonale si et seulement si sa matrice M relativement ala base orthonormee verifie tMM = In.

Preuve : La traduction matricielle de la definition precedente nous donne

∀ X, ∀ Y, tXtMMY = tXY

On en deduit le resultat en faisant varier les vecteurs colonnes X, Y .

Theoreme IV-3 : Les applications orthogonales forment un sous-groupe du groupe des automorphismesde Rn.

Preuve :1 - La composition de deux applications orthogonales est une application orthogonale :

∀ x∀ y ∈ Rn < f g(x), f g(y) >=< f(x), f(y) >=< x, y >

2 - L’identite est de maniere evidente une application orthogonale;3 - La composition des applications orthogonales est associative, comme la composition des applications engeneral.4 - Toute application orthogonale est un automorphisme. Comme la dimension est finie, il suffit de montrequ’elle est injective. Si f(x) = 0, < x, x >=< f(x), f(x) >= 0, comme la forme est definie positive celaimplique x = 0. Montrons alors que l’application reciproque f (−1) est orthogonale. Pour cela, puisque f estorthogonale < f (−1)(x), f (−1)(y) >=< f f (−1)(x), f f (−1)(x) >=< x, y >.

Soit F un sous-espace de E de dimension p et F⊥ son supplementaire orthogonal.Definition IV-4 : Tout vecteur x de E s’ecrit de maniere unique x = x1 + x2 avec x1 ∈ F et x2 ∈ F⊥.L’application qui a x associe x1 est lineaire, de noyau F⊥. On la note pF et on l’appelle la projectionorthogonale sur F .

On peut enumerer et demontrer simultanement les proprietes de pF :

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1) pF est lineaire, c’est une surjection de E dans F , de noyau F⊥.2) pF pF = pF . Si on a projete x sur F , en ecrivant pF (x) = pF (x)+0 l’application de la definition montreimmediatement le resultat.3) Pour tout x de E, x− pF (x) ∈ F⊥ : c’est dans la definition de pF .4) Pour tout x de E et tout y de F , ‖x− y‖ ≥ ‖x− pF (x)‖. Il suffit d’ecrire x = pF (x) + x2 avec x2 ∈ F⊥

et de calculer ‖x − y‖2 = ‖pF (x) + x2 − y‖2 = ‖x2‖2 + ‖pF (x) − y‖2 expression superieure ou egale a‖x2‖2 = ‖x− pF (x)‖2.5) L’endomorphisme pF est auto-adjoint : Il faut demontrer que pour tout x et y de E, < pF (x), y >=< x, pF (y) >. En ecrivant avec la convention ci-dessus x = pF (x)+x2, y = pF (y)+y2, on a < pF (x), y >=<pF (x), pF (y) + y2 >=< pF (x), pF (y) >=< pF (x) + x2, pF (y) >=< x, pF (y) >.6) On a la relation pF +pF⊥ = id qui resulte aussi immediatement de la definition de la projection orthogonalesur F et sur F⊥ ainsi que pF pF⊥ = pF⊥ pF = 0Definition IV-5 : On appelle symetrie orthogonale par rapport au sous-espace F et on note sF l’endomor-phisme 2pF − id qui est egal a pF − pF⊥ .

On peut enumerer et demontrer simultanement les proprietes de sF :1) Pour tout y de F , sF (y) = y, pour tout y de F⊥, sF (y) = −y.2) L’endomomorphisme sF est involutif : sF sF = id. En effet :

(pF − pF⊥) (pF − pF⊥) = pF pF − pF pF⊥ − pF⊥ pF + pF⊥ pF⊥ = pF + pF⊥ = id.3) Pour tout x de E, x + sF (x) = 2pF (x) ∈ F et x− sF (x) = 2pF⊥(x) ∈ F⊥.4) Comme somme de deux endomorphismes symetriques, sF est un endomorphisme symetrique.5) L’endomorphisme sF est orthogonal. Soit x et x′ deux vecteurs de E, x = pF (x) + pF⊥(x), x′ =pF (x′) + pF⊥(x′) on calcule < sF (x), sF (x′) >=< pF (x) − pF⊥(x), pF (x′) − pF⊥(x′) >=< pF (x), pF (x′) >+ < pF⊥(x), pF⊥(x′) >=< x, x′ >.6) Si on choisit comme base orthonormee de E la reunion d’une base orthonormee de F et d’une baseorthonormee de F⊥ la premiere propriete nous dit que si p est la dimension de F , la matrice de sF est(

Ip 00 −In−p

).

.

§2 METHODE DE HOUSEHOLDER.

On considere le systeme lineaire : AX = Y ou A est une matrice n×n a coefficients reels inversibles, Yune matrice colonne donnee a n lignes et X une matrice colonne a n lignes a determiner. On se propose demultiplier a gauche les deux membres par un produit de symetries orthogonales par rapport a des hyperplanspour transformer le systeme en un systeme triangulaire (toujours plus facile a resoudre). Donnons l’expressionde la symetrie orthogonale par rapport a un hyperplan vectoriel P .On suppose que Rn est muni de la structure euclidienne telle que la base canonique soit une base orthonormee.

Lemme IV-6 : Soit u un vecteur unitaire, U la matrice colonne qui le represente dans une base orthonormee;la matrice M = U tU est la matrice de la projection orthogonale sur la droite de direction u.

Preuve : Il suffit d’appliquer cette matrice a un vecteur proportionnel a u et a n’importe quel vecteurorthogonal a u.Corollaire IV-7 : Avec les memes notations, la matrice de la projection sur l’orthogonal de u est In−U tU .

Corollaire IV-8 : Avec les memes notations, la matrice de la symetrie orthogonale par rapport al’hyperplan P orthogonal a u est H = In − 2U tU .

Decrivons maintenant la methode de Householder. La premiere etape consiste a trouver une symetrieh1 par rapport a un hyperplan telle que l’image par la matrice H1 de la premiere colonne C1 de A soit αe1

(en supposant que C1 ne soit pas deja proportionnel a e1). On a |α| = ‖C1‖ =

√√√√ n∑i=1

a2i,1 ce qui donne deux

possibilites pour αe1; on peut donc imposer a α d’etre positif. L’hyperplan cherche est donc celui qui est

orthogonal au vecteur C1 − αe1 ce qui correspond au vecteur u = ± C1 − αe1

‖C1 − αe1‖.

28

Supposons que l’on ait transforme A en une matrice(

T M0 A′

)ou T est une matrice triangulaire

superieure r × r, A′ une matrice (n − r) × (n − r) et 0 la matrice nulle (n − r) × r. Si on multiplie cette

matrice par une matrice(

Ir 00 H ′

)on n’agit que sur la matrice A′. Il suffit donc de recommencer le procede

de la premiere etape pour modifier la premiere colonne de A′.Remarque : On a demontre (en donnant un algorithme) que toute matrice reelle inversible peut s’ecrire comme produit d’une

matrice orthogonale par une matrice triangulaire superieure (si on reprend attentivement la demarche suivie on s’apercoit que

le resultat est vrai pour toute matrice reelle). On peut imposer aux coefficients de la diagonale de la matrice triangulaire d’etre

positifs. En utilisant les arguments du corollaire suivant on peut voir que cette decomposition est unique (si la matrice de

depart est inversible).

Corollaire IV-9 : Toute transformation orthogonale d’un espace euclidien de dimension n est le produitd’au plus n symetries orthogonales par rapport a des hyperplans. Les symetries orthogonales forment unefamille generatrice du groupe O(n, R).Preuve : On ecrit la matrice de cette transformation dans une base orthonormee, on obtient donc unematrice orthogonale P . La methode de Householder nous dit que cette matrice orthogonale se decompose enun produit P = QT ou Q est le produit d’au plus n symetries orthogonales par rapport a des hyperplans etd’une matrice triangulaire superieure. La matrice T = Q−1P est une matrice orthogonale. Donc T−1 = tT ,mais l’inverse de T est une matrice triangulaire superieure or c’est tT qui est triangulaire inferieure. C’estdonc que T est diagonale, egale a son inverse, a coefficients positifs : c’est l’identite.

Completons l’etude du groupe orthogonal.

Theoreme IV-10 : Soit E un espace euclidien de dimension n et ϕ une isometrie de E, il existe des sousespaces E1,. . . , Eq, F1,. . . , Fr de E deux a deux orthogonaux, dont la somme est egale a E, stables par ϕtels que :

a) dimEi = 2 (1 ≤ i ≤ q), dimFj = 1 (1 ≤ j ≤ r),b) la restriction de ϕ a Ei est une rotation plane d’angle = 0 mod π, la restriction de ϕ a Fj est soit

l’identite soit une symetrie.

Preuve : On choisit une base orthonormee e1, . . . , en de E qui permet d’identifier E a Rn, lequel est inclusdans Cn muni de sa structure hermitienne canonique. L’automorphisme orthogonal ϕ du depart se prolongeen un automorphisme unitaire de Cn. Deux vecteurs sont dits conjugues lorsque leurs coordonnees parrapport a la base canonique le sont. L’automorphisme unitaire ϕ est diagonalisable avec des valeurs propresqui sont des nombres complexes de module 1 (voir le cours de seconde annee). D’autre part, le polynomecaracteristique est a coefficients reels, les valeurs propres non reelles sont donc deux a deux conjuguees demodule 1 avec le meme ordre de multiplicite, les valeurs propres reelles sont toutes egales a ±1. Notons les :

eiθ1 , e−iθ1 , . . . , eiθq , e−iθq , ε1, . . . , εr1 , εr1+1, . . . , εr avec εj = 1 si 1 ≤ j ≤ r1, εj = −1 si r1 + 1 ≤ j ≤ r.On sait (cf; cours de seconde annee) qu’il existe une base orthonormee de vecteurs propres. L’obtention

des vecteurs propres se fait par la resolution de systemes lineaires ΦX = λX (Φ est une matrice a coefficientsreels). La dimension de l’espace propre pour les valeurs ±1 est obtenue en retranchant a n le rang de Φ−±In,ces sous-espaces ont une base de vecteurs qui peuvent etre choisis a coordonnees reelles, on applique le proceded’orthogonalisation de Gram-Schmidt a chacun de ces deux sous-espaces propres.

Pour une valeur propre eiθk , on calcule le rang du sous-espace propre Gk qui lui est associe, il est egal an moins le rang de Φ−eiθkIn, comme Φ est a coefficients reels, c’est aussi la dimension du sous-espace propreassocie a e−iθk . On en deduit une base orthonormee (en faisant tous les calculs a partir de la base e1, . . . , en).En appliquant la conjugaison complexe a tous ces calculs, on obtient une base orthonormale pour le sous-espace propre associe a e−iθk . On procede ainsi pour tous les sous-espaces propres associes a des valeurspropres non reelles. Si Gk le sous-espace propre associe a une de ces valeurs propres eiθk et G′

k celui associe ae−iθk , ces deux espaces ont la meme dimension dk, soit gk,1, . . . , gk,dk

une base orthonormee de Gk, les vecteursgk,6 forment une base orthonormee de G′

k et sont tous orthogonaux a Gk. Pour s, 1 ≤ s ≤ dk definissons lesvecteurs uk,2s−1 = 1√

2(gk,s + gk,s) et uk,2s = 1

i√

2(gk,s − gk,s); les vecteurs uk,1, . . . , uk,2dk

forment une baseorthonormee de Gk

⊕G′

k. On verifie que les sous-espaces reels Ek,s engendres par uk,2s−1, uk,2s sont dessous-espaces de E, stables par ϕ et que la restriction de ϕ a ces sous-espaces est bien une rotation d’angle= 0 mod π

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Regardons quelques cas particuliers.Cas n=2. Toute isometrie vectorielle plane indirecte est une symetrie par rapport a une droite.

Toute isometrie directe du plan euclidien est une rotation, c’est d’une infinite de maniere le produit de2 symetries orthogonales par rapport a une droite, l’un des axes etant choisi arbitrairement.

Cas n=3 Le fait que 3 soit impair montre d’apres le theoreme precedent qu’il existe au moins un sous-espace propre de dimension 1, associe soit a la valeur propre 1, soit a la valeur propre −1. L’orthogonal dece sous-espace est un plan vectoriel stable par ϕ auquel on peut appliquer le resultat precedent. En utilisantla dimension du sous-espace propre associe a la valeur propre -1, on trouve donc toujours l’un des types dematrices suivant : cos(θ) − sin(θ) 0

sin(θ) cos(θ) 00 0 −1

cos(θ) − sin(θ) 0sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1

Definition IV-11 : On appelle retournement d’un espace vectoriel euclidien de dimension n, toute symetrieorthogonale par rapport a un sous-espace de dimension n− 2.

Remarque : C’est a dire que sur un sous-espace de dimension n−2 l’action est l’identite et que sur son orthogonal c’est une

rotation d’angle π (donc une symetrie par rapport a l’origine).

La restriction au plan donne le produit de deux symetries orthogonales par rapport a des droites D1, D2 duplan; lorsque ϕ est directe, on peut donc la decomposer en produit de deux symetries par rapport a des plans(contenant chacun la droite fixe et une droite du plan de rotation) ou en produit de deux retournementslaissant invariante la droite Di. Donc ϕ peut etre decomposee d’une infinite de maniere en produit de deuxretournements.

Lorsque ϕ est indirecte, elle est produit de trois symetries par rapport a des hyperplans. Ce resultat est uncas particulier de celui demontre dans la section precedente :

Theoreme IV-12 : Soit E un espace euclidien de dimension n, toute isometrie de E se decompose en unproduit d’au plus n symetries orthogonales par rapport a des hyperplans; si n est impair, toute isometriedirecte se decompose en un produit d’au plus n− 1 symetries orthogonales par rapport a des hyperplans.

On peut completer ce theoreme par l’etude des isometries directes (ou rotations : le sous-groupe SO(n, R)aussi note O+(n, R) noyau de l’application determinant de O(nR) dans ±1). Les elements de SO(n, R)s’obtiennent a partir de symetries orthogonales par rapport a des hyperplans, mais ces dernieres n’etant pasdans SO(n, R) ne peuvent en etre des generatrices.

Theoreme IV-13 : Soit ϕ une isometrie vectorielle directe d’un espace euclidien de dimension n ≥ 3, alorsϕ est produit de retournements en nombre ≤ n − 1 (les retournements forment une famille generatrice deSO(n, R) ).

Preuve : a) supposons que 1 est valeur propre. Si ϕ est l’identite, c’est le produit de 0 retournement. Sice n’est pas l’identite, le nombre de valeurs propres egales a −1 est pair; on peut donc decomposer E enune somme directe orthogonale

⊕qk=1 Ek

⊕rj=1 Fj , ou les Fj sont des sous-espaces propres de dimension

1 associe a la valeur propre 1, les Ek etant des plans stables par ϕ, sur lesquels la restriction de ϕ estune rotation (d’angle eventuellement egal a π). Posons Ek = Ek

⊕Fr et ϕk la restriction de ϕ a Ek,

c’est d’apres l’etude du cas n = 3, un produit de deux retournements de Ek. Notons ϕk l’automorphismede E egal a l’identite sur

⊕i =k Ei

⊕j =r Fj et egal a ϕk sur Ek, c’est un produit de deux retournements.

L’endomorphisme ϕ−1 ∏q

k=1 ϕk est egal a l’identite : ϕ est le produit de 2q ≤ n− 1 retournements.b) Supposons que 1 n’est pas valeur propre de ϕ donc n est pair. Si le sous-espace associe a −1 est E

tout entier, on peut, de maniere evidente decomposer ϕ en un produit de n/2 retournements. S’il n’en estpas ainsi, il existe un vecteur soit x, non nul de E, non proportionnel a ϕ(x); l’espace engendre par x et ϕ(x)est donc de dimension 2. Soit H un hyperplan contenant x et ϕ(x), ∆ l’orthogonal dans H de x− ϕ(x), ladimension de ∆ est n−2, soit u∆ le retournement de E par rapport a ∆, u∆ ϕ laisse x invariant, c’est doncune isometrie directe de l’orthogonal de x. L’orthogonal de Rx dans E est de dimension n−1. Une isometriedirecte de cet espace admet donc 1 comme valeur propre. D’apres la premiere partie de la demonstrationc’est le produit de n− 2 retournements de cet espace. On prolonge ces retournements par l’identite sur Rx,leur produit coıncide avec u∆ ϕ : on a decompose ϕ en un produit d’au plus n− 1 retournements.

30

Donnons quelques indications complementaires sur l’etude des rotations dans R3. Soit r la matriced’une rotation d’angle θ autour d’un axe porte par un vecteur unitaire k.Lemme IV-14 : Si v est orthogonal a k, r(v) = v cos(θ) + (k ∧ v) sin(θ).Preuve : Il suffit de remarquer que k, v, k ∧ v forment un repere direct avec v, k ∧ v base directe du planorthogonal a k formee de deux vecteurs orthogonaux de meme longueur et d’exprimer r(v) dans cette base.

Si on considere un vecteur v quelconque, on peut l’ecrire comme somme de deux vecteurs orthogonaux,l’un v1 etant la projection orthogonale de v sur k et l’autre v2 sa projection parallelement a k sur le planorthogonal a k; on a v1 =< k, v > k et v2 = v− < k, v > k.Lemme IV-15 : L’image d’un vecteur v dans la rotation r est egale a

r(v) = v cos(θ) + (k ∧ v) sin(θ) + (1− cos(θ)) < k, v > k.

Preuve : On decompose v comme il vient d’etre dit, le vecteur v1 =< k, v > k est invariant par la rotation,et on applique le lemme precedent au vecteur v2 = v− < k, v > k ce qui donne :

r(v) =< k, v > k + (v− < k, v > k) cos(θ) + sin(θ)k ∧ (v− < k, v > k)

ce qui en regroupant donne le resultat annonce.On en deduit immediatement :

Corollaire IV-16 : Pour tout vecteur v, r(v)− r−1(v) = 2 sin(θ)k ∧ v.

Proposition IV-17 : Soit R la matrice d’une rotation de R3 dans une base orthonormee, l’angle θ de larotation est tel que 1 + 2 cos(θ) soit egal a la trace de R, si θ = 0 mod π, l’axe de la rotation a pour vecteurdirecteur le vecteur p, q, r tel que

R− tR =

0 −r qr 0 −p−q p 0

.

Preuve : La premiere propriete resulte de l’invariance de la trace par un changement de base et de l’ecritured’un rotation par rapport a un repere orthonorme dont un des vecteurs est l’axe de rotation.

Pour la seconde propriete, R− tR = R−R−1 est la matrice de l’application v → 2 sin(θ)k∧ v d’apres lecorollaire ci-dessus. Si le vecteur 2 sin(θ)k a pour coordonnees (p, q, r) l’application lineaire v → 2 sin(θ)k∧va pour matrice celle indiquee dans l’enonce. On a donc un vecteur directeur de l’axe en rendant unitaire.Ceci fixe une orientation de l’axe et donne par la meme occasion le sinus de l’angle de rotation. Comme onconnaissait le cosinus, les elements de la rotation sont parfaitement determines.Remarque : Si sin(θ)=0, ou bien θ=0, la rotation est l’identite, on aura reconnu sa matrice sans difficulte, ou bien θ=π, R

est la matrice d’un retournement et −R est la matrice d’une symetrie orthogonale par rapport a un plan orthogonal a l’axe

de la rotation. Si u est un vecteur unitaire de cet axe, −R=I3−2utu et donc (R+I3) a ses colonnes proportionnelles a l’axe de

rotation, il est donc aise de le determiner.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE IV : ETUDE DU GROUPE ORTHOGONAL REEL.

Exercice 1 : On suppose R3, muni d’une structure euclidienne, pour laquelle la base canonique est une baseorthonormee, preciser les elements caracteristiques des matrices suivantes (axe et angle si c’est une rotation,plan de symetrie sinon).

14

3 1√

61 3 −

√6

−√

6√

6 2

− 19

7 4 4−4 8 −14 1 −8

19

−8 4 14 7 41 4 −8

1

18605

10980 4664 −1427714640 627 114643355 −18000 −3300

127

2 −26 7−23 2 1414 7 22

1493

272 12 −411408 −69 26851 488 48

31

11421

609 602 −11341218 126 721406 −1281 −462

cos(t) − sin(t) 0sin(t) cos(t) cos2(t) − sin(t)

sin2(t) sin(t) cos(t) cos(t)

, t ∈]0, π[

−1/3

−2 −1 22 −2 11 2 2

b2 + a2 cos(t) a sin(t) ab(1− cos(t))−a sin(t) cos(t) b sin(t)

ab(1− cos(t)) −b sin(t) a2 + b2 cos(t)

t ∈ R, a2 + b2 = 1.

Exercice 2 : Soit, avec les memes conditions que precedemment, soit f l’endomorphisme associe a la matrice

115

8 6 −10−10 5 06 −8 5

verifer que ker(f) et Im(f) sont orthogonaux. Ecrire la matrice de f dans une base formee de la reunion debases orthonormees de ker(f) et de Im(f). En deduire la nature de f .

Exercice 3 : Soit a ∈ R, b ∈ R∗ et A =

a b bb a bb b a

Trouver une CNS sur (a, b) pour que A soit orthogonale.Preciser alors les elements caracteristiques de A.

Exercice 4 : Determiner une CNS sur (a, b, c) ∈ R3 pour que

a b cb c ac a b

∈ SO3(R).

Exercice 5 : Soit (a, b, c) ∈ R3 − (0, 0, 0) et A =

0 −c bc 0 −a−b a 0

Montrez que I3 + A est inversible.

On note Ω = (I3 −A)(I3 + A)−1, montrez que Ω ∈ SO3(R)− I3.Determiner l’axe et l’angle de la rotation de Ω.

Exercice 6 : Soit (α, β) ∈ C2 tels que |α|2 + |β|2 = 1, u =(

α β−β α

)et M l’application de R3 → M2(C)

definie par M(x1, x2, x3) =(

x3 x1 + ix2

x1 − ix2 −x3

).

Montrez que u est inversible, calculez u−1.Montrez que pour tout (x1, x2, x3) ∈ R3 et tout u, il existe un unique (y1, y2, y3) ∈ R3 tel que M(y1, y2, y3)u =uM(x1, x2, x3). On note f l’application de R3 dans lui-meme qui a (x1, x2, x3) associe (y1, y2, y3) commeprecedemment. montrez que f est une application lineaire.Avec les notations precedentes verifier que x2

1 +x22 +x2

3 = y21 + y2

2 + y23 . Que pouvez vous en deduire pour f?

On prend ici α = cos(θ/2), β = i sin(θ/2), preciser la nature et les elements caracteristiques de f .Exercice 7 : Soit A ∈ M3(R) antisymetrique et Ω = eA, montrez que Ω ∈SO3(R). On suppose que l’axe deΩ est dirige et oriente par (0, 0, 1), determiner l’angle de Ω.Exercice 8 : Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. On appelle isometrie de E toute applicationf de E dans E telle que pour tout x et tout y de E on ait :

‖f(x)− f(y)‖ = ‖x− y‖

Montrez que toute isometrie laissant O invariant est un automorphisme orthogonal.Exercice 9 : Soient E un espace vectoriel euclidien de dimension n et p vecteurs a1, . . . , ap de E. On considerel’application f de E dans E definie par

f(T ) =p∑

i=1

< T, ai > ai

32

a) Montrez que f est lineaire.b) Pour que f soit bijective, est-il :

. necessaire que les vecteurs ai soient lineairement independants?

. necessaire que les ai forment une partie generatrice de E?

. suffisant que les ai forment une partie generatrice de E?c) Montrez que f est une homothetie non nulle si et seulement si

∑pi=1 < T, ai >2 est une constante non

nulle quand T parcourt l’ensemble des vecteurs de norme 1.Exercice 10 : Soit A une matrice orthogonale reelle d’ordre n. Montrez que la somme de tous les coefficientsde A est inferieure ou egale a n.Exercice 11 : Soit q une forme quadratique reelle sur E de dimension n et A = (ai,j sa matrice par rapporta la base e1, . . . , en , pour k ∈ 1, . . . , n on pose :

Ak =

a1,1 . . . a1,k

. . . . . . . . .ak,1 . . . ak,k

a) Montrez que si q est definie positive tous les det(Ak) sont > 0.b) Montrez que si det(Ak) est positif pour tout k ∈ 1, . . . , n alors chacun des systemes AkX = t(0, . . . , 0, 1)a une solution et une seule t(xk,1, . . . , xk,k) = Xk telle que xk,k > 0.c) en deduire que les vecteurs ai =

∑ij=1 xi,jej forment une base de E. Quelle est la matrice de q par

rapport a cette base?d) Montrez que la forme quadratique q est definie positive si et seulement si :

∀k det(Ak) > 0.

Exercice 12 : Soient E un espace vectoriel reel de dimension n et u un endomorphisme de E, montrez quel’application q de E dans R definie q(x) = ‖u(x)‖2 est une forme quadratique sur E. Que peut-on dire durang de cette forme quadratique?Exercice 13 : Soient f un automorphisme et g un endomorphisme d’un espace euclidien de dimension n.Montrez qu’il existe une constante reelle a telle que pour tout x de E ‖g(x)‖ ≤ a‖f(x)‖Exercice 14 : Montrez que quels que soient les vecteurs x, y, z d’un espace euclidien oriente E de dimension3, on a la relation :

x ∧ (y ∧ z) =< x, z > y− < x, y > z

Exercice 15 : Soit E un espace vectoriel euclidien oriente de dimension n. A toute famille x1, . . . , xp de pvecteurs de E, on associe la matrice carree symetrique d’ordre p, G(x1, . . . , xp) dont le terme general est< xi, xj >.a) Dans le cas ou n = p exprimer det(G(x1, . . . , xn)) en fonction du produit mixte des n vecteurs.b) Lorsque n = p− 1 exprimer det(G(x1, . . . , xn−1)) en fonction de x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn−1.c) Dans le cas general montrez que le rang de la matrice G est egal au rang de la famille de vecteurs.d) Montrez que pour toute famille de vecteurs det(G(x1, . . . , xp)) ≥ 0.e) On suppose que (x1, . . . , xp) est une famille libre engendrant un sous-espace F , on note Π la projectionorthogonale sur F , montrez que

∀x ∈ E ‖x−Π(x)‖2 =det(G(x1, . . . , xp, x))det(G(x1, . . . , xp))

f) Soit (x1, . . . , xp) une famille quelconque de vecteurs, montrez que

det(G(x1, . . . , xp)) ≤p∏

i=1

‖xi‖2

interpreter l’egalite.g) Montrez que la norme du produit vectoriel de n− 1 vecteurs est inferieure au produit des normes de cesvecteurs. Interpreter l’egalite.Exercice 16 : Soit A une matrice antisymetrique reelle d’ordre n.a) Que dire de la matrice B = iA?b) En deduire que toutes les valeurs propres de A sont imaginaires pures

33

34

CHAPITRE V : ANNEAUX

Ce chapitre reprend et approfondit des notions deja rencontrees, c’est pourquoi on utilise a certainsmoments des exemples d’objets dont une construction formelle est rappelee plus loin.

§1 PREMIERES DEFINITIONS.Definition V-1 : un anneau est un groupe abelien A (note additivement) muni d’une deuxieme loi (mul-tiplicative) associative et distributive par rapport a l’addition :

∀x, ∀y, ∀z ∈ A, x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx.

On le suppose toujours unitaire, c’est-a-dire muni d’un element neutre pour la multiplication note 1. Ondemande que les elements neutres de la multiplication et de l’addition soient distincts.

Un sous-anneau est un sous-groupe de A stable egalement par multiplication et contenant 1.Un element de A est dit inversible s’il admet un symetrique pour la multiplication. On dit encore

que c’est une unite de A. Ces elements forment un groupe, dit groupe des unites de A note A. Si lamultiplication est commutative on dit que l’anneau est commutatif

Attention a la confusion avec la notation courante : Z pour Z \ 0 !Remarque : On retrouve les regles habituelles de calcul :

∀ a∈ A : a=1×a=(1+0)a=1a+0a=a+0a, donc ∀ a∈A : 0a=0.

On note −1 l’oppose de 1 pour l’addition :

∀a∈ A : 0=0a=(1+(−1))a=1a+(−1)a=a+(−1)a et donc ∀a ∈ A : (−1)a = −a.

Exemples :1 Z est un anneau commutatif, R[X], C[X] sont des anneaux commutatifs. Z = ±1, R[X] = R,C[X] = C.2 Mn(R), Mn(C) sont des anneaux non commutatifs des que n ≥ 2 et Mn(R) = GLn(R), Mn(C) =GLn(C). D’une maniere plus generale, si A est un anneau commutatif on definit l’anneau des matricescarrees Mn(A) on a Mn(A) = GLn(A).3 Si E est un ensemble et A un anneau, on munit l’ensemble A(E, A) des applications de E dans A d’unestructure d’anneau de la maniere suivante : si f , g ∈ A(E, A) l’application f + g est definie par ∀ x ∈ E,(f + g)(x) = f(x) + g(x) et l’application f × g est definie par ∀ x ∈ E, (f × g)(x) = f(x)× g(x). On dit quel’on a transfere la structure d’anneau de A a A(E, A).Exercice 1 : Montrez que A(E, A) est bien un anneau.Exercice 2 : Justifiez la convention ∀a ∈ A \ 0 a0 = 1.Remarque : On rappelle que dans un anneau commutatif la formule du binome est valable :

∀n≥1 (a+b)n=∑n

i=0Ci

naibn−i

Exercice 3 : Etablir la formule(a1 + . . . + ap)n =

∑(i1,...,ip)∈Np|i1+...+ip=n

n!i1!i2!...ip!a

i11 ai2

2 . . . aipp

Definition V-2 : Un corps est un anneau dans lequel tout element non nul est inversible.

Remarque : On parle de corps commutatif, non commutatif (ou corps gauche) suivant que la multiplication est ou non

commutative.

Exemple : Q, R, C, Q(X), C(X) sont des corps commutatifs.Exercice 4 : Soit E un ensemble et f une application de E dans E, montrez que f est injective si etseulement si il existe une application g de E dans E telle que g f = idE . Montrez que si f n’est passurjective l’application g n’est pas unique.Exercice 5 : Soit E un ensemble et f une application de E dans E, montrez que f est surjective si etseulement si il existe une application h de E dans E telle que f h = idE . Montrez que si l’application fn’est pas injective l’application h n’est pas unique.Exercice 6 : Soit E un R-espace vectoriel de dimension infinie. Montrez que End (E) est un anneau danslequel existe des elements ayant un inverse a gauche et non inversibles (et des elements ayant un inverse adroite et non inversibles).

35

Exercice 7 : Soit A un anneau commutatif, G un groupe fini, on considere l’ensemble des combinaisonslineaires formelles

∑agg |ag ∈ A, g ∈ G que l’on munit des operations

(∑g∈G

agg) + (∑g∈G

a′gg) =

∑g∈G

(ag + a′g)g

(∑g∈G

agg)× (∑g′∈G

a′g′g′) =

∑γ∈G

(∑

gg′=γ

aga′g′)γ.

Montrez que cet ensemble, muni de ces operations, est un anneau, on le note A[G] ; montrez que A[G]est commutatif si et seulement si G est un groupe abelien (cet anneau s’appelle l’algebre du groupe G acoefficients dans A).Definition V-3 : Un morphisme d’anneaux ϕ : A1 → A2 est une application compatible aux lois + et × :ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(x× y) = ϕ(x)× ϕ(y) et telle que l’image de 1 soit 1 : ϕ(1) = 1.

Remarque : On peut, comme dans le cas des groupes, generaliser aux notions d’isomorphisme d’anneaux (resp. de

corps), d’automorphisme d’anneau (resp. de corps).

Exemple : la conjugaison des nombres complexes est un automorphisme de C.Lemme V-4 : Pour tout anneau A il existe un unique morphisme de Z dans A.

Preuve : L’image de 1 est 1 ce qui fixe le morphisme de groupe additif, il reste a voir que le comportementvis a vis de la mutiplication est le bon ce qui est evident.Exercice 8 : Montrez que l’intersection d’une famille de sous-anneaux (resp. sous-corps) d’un anneau (resp.corps) A est un sous-anneau (resp. sous-corps) de A.Definition V-5 : Le sous-anneau (resp. le sous-corps) engendre par une partie P d’un anneau (resp. corps)A est le plus petit (il existe ) sous-anneau (resp. sous-corps) de A contenant P. C’est encore l’intersectiondes sous-anneaux (resp. sous-corps) de A contenantP.

Exercice 9 : Quel sont les sous-corps de C engendre par a); i ? b)√

2 ? c) 1+i√2

?

Exercice 10 : Soit d ∈ Z un entier non divisible par un carre. Si d est negatif, on fait un choix pour√

d.Montrez que le sous-ensemble de C : a+ b

√d | a, b ∈ Q est un sous-corps de C et que a+ b

√d | a, b ∈ Q

est un sous-anneau de C. Montrez que a + b√

d → a − b√

d est un automorphisme (de corps, d’anneauxsuivant les cas).

Lorsque ce sous-anneau (resp. sous-corps) est egal a A, on dit que les elements de P engendrent A(ou encore qu’ils en sont des generateurs).Definition V-6 : Le produit d’anneaux Ai (i ∈ I) est le produit cartesien A =

∏i∈I Ai (c’est-a-dire les

familles (ai) d’elements de la reunion⋃

i∈I Ai tels que pour tout i, ai ∈ Ai) muni des operations deduites decelles des Ai composante par composante : (ai) + (a′

i) = (ai + a′i), (ai)× (a′

i) = (ai × a′i).

§2 QUELQUES CONSTRUCTIONS.On donne une construction rigoureuse de l’anneau des series de Laurent a coefficients dans un anneau

commutatif A. Puis on met en evidence des sous-anneaux de cet anneau : l’anneau A[[X]] des series formellesa coefficients dans A et A[X] anneau des polynomes a coefficients dans A (ce qui recouvre en particulier lesanneaux R[X], C[X]).Definition V-7 : Soit A un anneau commutatif, on considere l’ensemble des suites infinies S = (an)n∈Z

d’elements de A ayant la propriete :il existe un entier nS tel que si n < nS , an = 0

on munit cet ensemble de deux operations :

+ : (an)n∈Z + (bn)n∈Z = (an + bn)n∈Z

× : (an)n∈Z × (bm)m∈Z =

( ∑n+m=r

anbm

)r∈Z

on le note A((X)).

36

Lemme V-8 : Les lois definies sur A((X)) sont internes.

Preuve : Soit S = (an)n∈Z ou il existe nS tel que an = 0 si n < nS et T = (bm)m∈Z avec mT tel que bm = 0si m < mT ; l’addition ne pose pas de probleme puisque la seule operation est la somme de deux termes deA et que de plus si r < min(nS , mT ) le terme de la suite est nul comme somme de deux termes nuls.

Il faut etre un peu plus precis en ce qui concerne le produit. Reprenons la definition de ST . Soitr < nS + mT , si n < nS , an = 0 et anbm = 0 ; si n ≥ nS , on a les inegalites nS + mT > r = n + m ≥ nS + mqui impliquent m < mT et donc bm = 0 ce qui montre que les termes d’indice inferieur a nS + mT dans STsont nuls.

Il faut encore voir que pour les autres la definition a bien un sens. Considerons la somme∑

n+m=r anbm,supposons n > r −mT on a alors r = n + m > r + m−mT qui implique m−mT < 0 soit m < mT et alorsbm = 0 : les an qui interviennent dans la somme sont donc ceux tels que nS ≤ n et n ≤ r −mT , il n’y en aqu’un nombre fini, par consequent le terme de la suite peut etre calcule.Proposition V-9 : A((X)) est un anneau commutatif, on l’appelle l’anneau des series de Laurent a uneindetermine a coefficients dans A.

Preuve : La stucture de groupe abelien resulte immediatement du fait que les operations se font a indicefixe. L’element neutre pour l’addition est la suite (an)n∈Z avec ∀ n, an = 0.L’anneau A etant commutatif, la multiplication dans A((X)) est commutative.L’element 1 = (an)n∈Z ou an = 0 pour n = 0 et a0 = 1 est neutre pour la multiplication : calculons1× (bm)m∈Z, c’est (

∑n+m=r anbm)r∈Z mais le choix des an fait que

∑n+m=r anbm = br.

La multiplication est associative : Soit P = (ai)i∈Z, Q = (bj)j∈Z et R = (ck)k∈Z,le produit (PQ)R vaut(∑

i+j=r aibj)r∈Z(ck)k∈Z ce qui par la definition est egal a : (∑

r+k=s(∑

i+j=r aibj)ck)s∈Z soit

(∑

r+k=s

(∑

i+j=r

aibjck))s∈Z = (∑

i+j+k=s

aibjck)s∈Z,

ou toutes les sommes qui interviennent sont finies d’apres le lemme precedent. A partir de la, on peutremonter le calcul en changeant les parentheses pour aboutir a P (QR).Demontrons la distributivite de la multiplication par rapport a l’addition. Soit comme ci-dessus P , Q, Ret calculons P (Q + R) = (ai)i∈Z × (bj + cj)j∈Z ; c’est egal a (

∑i+j=r ai(bj + cj))r∈Z que l’on peut encore

ecrire (∑

i+j=r aibj +aicj)r∈Z qui est la somme des deux elements (∑

i+j=r aibj)r∈Z et (∑

i+j=r aicj)r∈Z soitPQ + PR comme on le voulait.

Considerons l’application ι de A dans A((X)) definie par ι(a) = (an)n∈ Z ou a0 = a et pour n = 0,an = 0.Lemme V-10 : L’application ι est un morphisme injectif d’anneau.

Preuve : L’injectivite est evidente, que ι soit un morphisme resulte de ι(1) = 1 qui a deja ete demontre etde ι(a + b) = ι(a) + ι(b) qui est evident ainsi que de ι(ab) = ι(a)ι(b) qui resulte de la definition et du lemme8.Lemme V-11 : Soit X = (an)n∈Z ou a1 = 1 et ou si n = 0, an = 0 et Xr = (bm)m∈Z ou br = 1 et si m = r,bm = 0. Alors XXr = Xr+1 et ι(a)Xr est l’element (ct)t∈Z ou cr = a et pour t = r, ct = 0.

Preuve : La demonstration, evidente, resulte de la definition des operations.

On ecrit desormais ι(a) = a ce qui identifie A avec son image dans A((X)). Le lemme precedent montre queXr = Xr pour r ≥ 0, que pour r > 0, X−r = (Xr)−1 ; on peut donc remplacer Xr par Xr pour r ∈ Z cecimontre que la serie de Laurent P = (ai)i∈Z (ou si i < d ai = 0) peut s’ecrire de maniere unique

∑∞i=d aiX

i,on se convaincra sans difficulte qu’avec cette ecriture les operations s’effectuent comme on en a l’habitudedans le cas des series de Laurent a coefficients complexes a l’interieur de leur domaine de convergence.

Donnons des variantes importantes de la definition 7 :Definition V-12 : Soit A un anneau commutatif, on considere le sous-ensemble A[[X]] de A((X)) formedes elements (an)n∈Z tels que pour n < 0, an = 0.

Lemme V-13 : Les lois definies sur A[[X]] sont internes.

37

Preuve : Soit (an)n∈N et (bn)n∈N la definition de l’addition ne pose pas de probleme puisque la seuleoperation est la somme de deux termes de A. Pour le produit, le calcul precedent montre que les termes derang r pour r < 0 sont nuls. On constate enfin que 1 ∈ A[[X]] d’ou :

Proposition V-14 : A[[X]] est un sous-anneau de A((X)), on l’appelle l’anneau des series formelles a uneindeterminee a coefficients dans A.

Avec les memes notations que pour les series de Laurent tout element de A[[X]] peut s’ecrire de maniereunique

∑∞n=0 anXn. On reconnaıt la, lorsque A = R ou A = C, l’ecriture familiere des series entieres ; on a

simplement 〈〈oublie 〉〉 la notion de convergence.

Definition V-15 : Soit A un anneau commutatif, on considere le sous-ensemble A[X] de A[[X]] forme dessuites ou seul un nombre fini de termes sont non nuls.

Proposition V-16 : A[X] est sous-un anneau de A[[X]], on l’appelle l’anneau des polynomes a uneindetermine a coefficients dans A.

Preuve : Soit (an)n∈Z tel que an = 0 si n > n1 ≥ 0 et si n < 0 et (bn)n∈Z tel que bn = 0 si n > n2 ≥ 0 et sin < 0. Les termes de rang r > max(n1, n2) de la suite (an)n∈Z + (bn)n∈Z sont somme de deux termes nuls,donc nuls.

Les termes de rang r > n1 + n2 de la suite (an)n∈Z × (bn)n∈Z sont∑

n+m=r anbm mais si n > n1, an

est nul et donc le produit anbm, si n ≤ n1, pour que n + m = r il faut que m > n2 donc bm = 0 et anbm = 0et de meme la somme des anbm.

Remarque : En conservant les memes notations et les memes conventions que pour les series de Laurent et les series formelle

on ecrit un polynome P=∑d

n=0anXn

Exercice 11 : A[X] est le sous-anneau de A[[X]] engendre par A et X.A((X)) est engendre par A[[X]] et X−1.

Exemple : Soit A un anneau commutatif, A[X] l’anneau des polynomes a coefficients dans A et x ∈ Al’application qui a chaque P =

∑ni=0 aiX

i fait correspondre P (x) :=∑n

i=0 aixi est un morphisme d’anneaux

appele evaluation en x.Lorsque A est un sous-anneau d’un anneau B tel que ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab = ba, on peut prendre

les valeurs a dans B ; c’est en particulier le cas avec B = A[X] (ou A[[X]], A((X)), on obtient ainsi lasubstitution d’un polynome dans un autre.

Soit A un anneau commutatif, a tout polynome P =∑n

i=0 aiXi a coefficients dans A on associe une

application P de A dans A : ∀ x ∈ A P (x) =∑n

i=0 aixi appelee l’application polynomiale associee a P .

L’ensemble des applications polynomiales est un sous-anneau de l’anneau A(A, A) de toutes les appli-cations de A dans A et P → P est un morphisme d’anneaux.

§3 VALUATION DES SERIES, DEGRE DES POLYNOMES, DIVISIONS

Definition V-17 : Soit S = 0 ∈ A((X)) (S = (an)n∈Z) on appelle valuation de S et on note v(S) le pluspetit entier n ∈ Z tel que an = 0, on pose v(0) = +∞.

Lemme V-18 : Si S1 et S2 sont deux series de Laurent a coefficients dans A, alors v(S1 + S2) ≥inf(v(S1), v(S2)) avec egalite si v(S1) = v(S2).

Preuve : Evident.

Definition V-19 : Soit A un anneau, on appelle diviseurs de 0 deux elements non nuls a et b de A tels queab = 0.

On dit d’un anneau commutatif A qu’il est integre s’il ne possede pas de diviseurs de zero.

Remarque : Si A est un anneau integre, la relation ab=ac se recrit a(b−c)=0 et donc soit a=0 soit b=c. Dans un anneau

integre on peut appliquer les regles habituelles de simplification.

Exemple : Un corps commutatif est un anneau integre, Z est un anneau integre.

Exercice 12 : Un anneau fini et sans diviseur de zero est un corps.

Proposition V-20 : Si A est un anneau integre pour P et Q ∈ A((X)), v(PQ) = v(P )+v(Q) en particulierA((X)) est un anneau integre.

38

Preuve : On a vu dans lemme 9 que les termes de rang strictement inferieur a v(P ) + v(Q) sont nuls. Si Pou Q est nul, le produit est nul et on a bien v(PQ) = v(P ) + v(Q) = +∞. Si P et Q sont non nuls, posonsP =

∑n≥n0

anXn avec an0 = 0, Q =∑

m≥m0amXm avec am0 = 0. Le terme de rang v(P )+v(Q) = n0+m0

est egal a∑

n+m=n0+m0anbm dans ces produits un seul est non nul an0bm0 . Comme l’anneau A est integre,

la valuation de PQ est egale a n0 + m0 = v(P ) + v(Q) et PQ = 0.Remarque : On remarque, en detaillant la demonstration, que si on remplace l’hypothese A integre par 〈〈le coefficient av(P )

de P appartient a A 〉〉(ou meme 〈〈n’est pas un diviseur de 0 〉〉on conserve le resultat v(PQ)=v(P )+v(Q).

Puisque A[[X]] et A[X] sont des sous-anneaux de A((X)) on a :Corollaire V-21 : Si A est un anneau integre, les anneaux A[[X]], A[X] sont integres.

Definition V-22 : Soit P =∑m

n=0 anXn un polynome non nul, on appelle degre de P le plus grand desentiers n tel que an = 0. On convient que le degre du polynome nul est −∞.

Proposition V-23 : Soit A un anneau commutatif, A[X] l’anneau des polynomes a une indeterminee acoefficients dans A, la fonction degre verifie les proprietes suivantes :

(i) deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q)) avec egalite si deg(P ) = deg(Q),(ii) deg(PQ) ≤ deg(P ) + deg(Q).

Preuve : Si l’un des polynomes P , Q est nul le produit est nul et on a deg(PQ) = −∞ = deg(P ) + deg(Q).Soit P = 0 et Q = 0 deux polynomes non nuls, dP = deg(P ), dQ = deg(Q). On a donc P =

∑dP

n=0 anXn etQ =

∑dQ

m=0 bmXm, posons S = PQ =∑

r≥0 crXr la demonstration du lemme 16 pour r > dP + dQ montre

que cr = 0. Pour cdP +dQle meme raisonnement montre que dans la somme les produits autres que adP

bdQ

sont nuls et donc cdP +dQ= adP

bdQ.

Corollaire V-24 : Soit A un anneau integre, P et Q ∈ A[X] alors deg(PQ) = deg(P ) + deg(Q).Remarque : Si l’anneau n’est pas integre, ceci est encore vrai si un des terme de plus haut degre de P ou de Q n’est pas un

diviseur de zero, en particulier s’il appartient a A.

Corollaire V-25 : Si A est un anneau commutatif integre, les elements inversibles de A[X] sont les elementsde A.

Remarque : En particulier lorsque A est un corps commutatif.

Une des applications les plus utiles de la notion de degre est l’existence de la division euclidienne.

Theoreme V-26 : Etant donne un polynome P et un polynome B non nul dont le coefficient du terme deplus haut degre appartient a A, il existe un unique couple de polynomes (Q, R) avec deg(R) < deg(B) telsque P = BQ + R. Le polynome Q s’appelle le quotient de P par B et R le reste de la division de P par B.

Remarque : La condition sur le coefficient du terme de plus haut degre est automatiquement verifiee si A est un corps

commutatif.

Preuve : Si deg(P ) < deg(B), il suffit de poser Q = 0 et R = P .Supposons deg(P ) ≥ deg(B) et posons P =

∑un=0 anXn avec au = 0, B =

∑vm=0 bmXm avec bv = 0.

Prenons Tu−v = aub−1v Xdeg(P )−deg(B et effectuons le calcul P − BTu−v, on obtient :

∑vn=0(an+u−v −

aubnb−1v )Xn+u−v mais le coefficient de Xu est nul c’est donc : P1 = P − BTu−v =

∑v−1n=0(an+u−v −

aubnb−1v )Xn+u−v avec deg(P1) < deg(P ) on peut recommencer jusqu’a ce que deg(P1) > deg(B). En

additionnant les differentes egalites obtenues on obtient Q et R comme voulu avec deg(Q) = deg(P )−deg(B).Il reste a etablir l’unicite. Supposons P = BQ+ R = BQ1 + R1. Par soustraction B(Q−Q1) = R1−R

a droite le degre verifie deg(R − R1) < deg(B) a gauche deg(B(Q − Q1) = deg(B) + deg(Q − Q1) qui estsuperieur ou egal a deg(B) si Q = Q1. L’egalite des degres implique donc Q = Q1 et par consequent R = R1.

Definition V-27 : La division ainsi definie s’appelle la division euclidienne ou division suivant les puissancesdecroissantes.

Theoreme V-28 : Soit A un anneau commutatif, A[[X]] l’anneau des series formelles a coefficients dans A,P et B ∈ A[[X]], on suppose B de valuation nulle (B =

∑m≥0 bmXm, b0 = 0) avec b0 ∈ A, alors pour tout

entier n il existe polynome Q et une serie entiere S uniques verifiant A = BQ + S, v(S) ≥ n et deg(Q) < n.

Preuve : Demontrons d’abord l’unicite. Supposons que P = BQ1 + S1 = BQ2 + S2. On en deduitB(Q1 − Q2) = (S2 − S1) ; si Q1 = Q2 on a bien evidemment S1 = S2, sinon la proposition 20 montre que

39

v(B(Q1 −Q2)) = v(B) + v(Q1 −Q2) = v(Q1 −Q2) ≤ deg(Q1 −Q2) < n alors que v(S2 − S1) ≥ n ce qui estune contradiction.

Montrons maintenant l’existence. Si v(P ) ≥ n, il suffit de poser Q = 0 et S = P . Supposons desormaisv(P ) > n et notons P =

∑k≥v(P ) akXk. Posons T1 = av(P )b

−1v Xv(P ) (T1 est un polynome de degre stricte-

ment inferieur a n) et calculons P −BT1 =∑

k≥0(ak+v(P ) − av(P )b−10 bk)Xk+v(P ) c’est une serie formelle P1

de valuation strictement superieure a celle de P . Si v(P1) > n c’est fini, sinon on reıtere le procede ; en unnombre fini d’etapes on arrive a obtenir une serie formelle de valuation ≥ n. Il suffit alors de faire la sommedes egalites obtenues.

On laisse en exercice les deux resultats suivants.

Exercice 13 : Soit A un anneau commutatif integre et A[[X]] l’anneau des serie formelles a coefficients dansA. Le groupe A[[X]] est compose des series formelles de valuation nulle dont le coefficient du terme de plusbas degre est inversible dans A.

Exercice 14 : Soit A un anneau commutatif integre et A((X)) l’anneau des series de Laurent a coefficientsdans A, le groupe A((X)) est forme des series de Laurent dont le coefficient du terme de plus bas degre estinversible dans A.

Exercice 15 : Soit k un corps commutatif, k((X)) est un corps.

Exercice 16 : (numeration egyptienne) Soit 0 < ab < 1 un rationnel (a ∈ N, b ∈ N \ 0), montrez qu’il

existe une suite finie d’entiers n1 < n2 < . . . < nt telle que ab =

∑ti=1

1ni

(indication : si a |b, on posen1 =

[ba

]+ 1). Montrez, sur un exemple qu’il n’y a pas unicite de la decomposition puis trouvez toutes les

solutions en nombres entiers de 1a = 1

b + 1c .

§4 ANNEAUX DE POLYNOMES A PLUSIEURS INDETERMINEES

Dans les constructions du paragraphe precedent, le nom donne a l’indeterminee est arbitraire ; parailleurs on peut proceder a une succession de ces constructions : on va s’interesser uniquement au casdes polynomes. Partons d’un anneau commutatif A, on peut construire A[X] puis on peut prendre A′ =A[X] et construire A′[Y ]. C’est l’anneau des polynomes en l’indeterminee Y dont les coefficients sont despolynomes en X a coefficients dans A. Comme cet anneau est commutatif et qu’il n’y a qu’un nombre finide coefficients non nuls, on peut permuter les puissances de X et de Y et le considerer comme l’anneaudes polynomes en l’indeterminee X dont les coefficients sont des polynomes en Y a coefficients dans A :(A[Y ])[X]. On obtient ainsi l’anneau des polynomes en deux indeterminees X, Y a coefficients dans A, noteA[X, Y ]. On peut recommencer et construire A[X1, X2, . . . , Xn] l’anneau des polynomes en n indetermineesX1, X2, . . . , Xn a coefficients dans A. Tout polynome P ∈ A[X1, X2, . . . , Xn] s’ecrit de maniere uniqueP =

∑i1,...,in

ai1,...,inXi1

1 Xi22 . . . Xin

n ou les n-uples (i1, . . . , in) sont deux a deux distincts. Les termesai1,...,in

Xi11 Xi2

2 . . . Xinn sont les monomes.

On a plusieurs notions de degre, si on ecrit :

A[X1, X2, . . . , Xn] = A[X1 . . . Xk−1Xk+1 . . . Xn][Xk]

on definit degk le degre par rapport a Xk. Pour un monome ai1,...,inXi11 Xi2

2 . . . Xinn on definit aussi son

degre ou degre total comme etant i1 + i2 + . . .+ in. Dans l’ecriture d’un polynome P on peut regrouper lesmonomes de meme degre. Un polynome homogene est un polynome dont tous les monomes sont de memedegre. On convient que le polynome 0 est homogene de degre n pour tout n.

On ecrit P = P0 + P1 + P2 + . . . + Pr ou Pt, partie homogene de degre t est la somme des monomes deP de degre t, le maximum des degres des monomes non nuls constituant P est appele le degre total de P .

Remarque : On dit aussi qu’un polynome homogene de degre n est une forme de degre n, on parle de forme lineaires (degre

un), quadratiques (degre deux) cubiques (degre trois) quartique, quintiques. . .

Comme dans le chapitre precedent on peut associer a un polynome a plusieurs indeterminees une fonctionpolynomiale et pratiquer la substitution de polynomes, l’anneau de depart etant commutatif il convient desupposer B commutatif (de facon a etre sur que les images des Xi commutent entre elles) .

40

La propriete suivante est fondamentale des polynomes homogenes. Soit P un polynome homogenede degre d dans A[X1, X2, . . . , Xn], on considere A[X1, X2, . . . , Xn] ⊂ A[X1, X2, . . . , Xn, Y ], dans P , onsubstitue XiY a chaque Xi et on obtient :

P [Y X1, Y X2, . . . , Y Xn] = Y dP [X1, X2, . . . , Xn].

On peut faire operer le groupe symetrique Sn sur l’anneau des polynomes en n indeterminees a coeffi-cients dans A de la facon suivante :

(σ ∈ Sn, P =∑

i1,...,in

ai1,...,inXi11 Xi2

2 . . . Xinn ) →Pσ

=∑

i1,...,in

ai1,...,inXi1

σ(1)Xi2σ(2) . . . Xin

σ(n)

,

verifier que c’est bien une action.Definition V-29 : On appelle polynome symetrique a n indeterminees tout polynome P ∈ A[X1, . . . , Xn]invariant par Sn.

Exemples :X1+X2, X1X2 sont des polynomes symetriques en deux indeterminees ; X1+X2+X3, X1X2+X2X3+X3X1,X1X2X3 sont des polynomes symetriques en trois indeterminees.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE V : ANNEAUX

Exercice 1 : On considere l’ensemble H(R) des matrices 2×2 a coefficients complexes de la forme(

α β−β α

).

a) Montrez que H(R) est un R-espace vectoriel de dimension 4 dont une base est : I =(

1 00 1

), E1 =(

i 00 −i

), E2 =

(0 1−1 0

), E3 =

(0 ii 0

). (verifiez qu’il ne s’agit pas d’un sous-C-espace vectoriel de

M2(C)).b) Montrez que H(R) est un anneau (ses elements s’appellent les quaternions).

c) On considere la forme hermitienne f sur C2 dont la matrice relativement a la base canonique est(

1 00 1

):

f

((x1

x2

),

(y1

y2

))=

(x1

x2

)t (1 00 1

) (y1

y2

)quelle est la matrice adjointe q de l’endomorphisme represente par q =

(α β−β α

)–la matrice q∗ telle que

f(q(X), Y ) = f(X, q∗(Y ))– Le quaternion q s’appelle le conjugue du quaternion q.d) Montrez que (q) = q, (q1q2) = q

2q1 . Montrez que qq = q∗q = det(q)I2. En deduire que H(R) est un

corps (le corps des quaternions).e)Montrez que les quaternions q tels que qq = 1 forment un groupe (ce groupe est note SU(2, C)), cesquaternions sont appeles quaternions unitaires.f)Montrez que les quaternions a0I + a1E1 + a2E2 + a3E3, a0, a1, a2, a3 ∈ Q est un sous-corps de H(R), onle note H(Q).g)Montrez que les quaternions a0I + a1E1 + a2E2 + a3E3, a0, a1, a2, a3 ∈ Z est un sous-anneau de H(Q), onle note H(Z). Quels sont les elements q de H(Z) tels que qq = 1 ? Montrez qu’ils forment un groupe.h) Montrez que les quaternions a0I + a1E1 + a2E2 + a3E3 ou a0, a1, a2, a3 sont soit dans Z soit dans 1

2 + Z

est un sous-anneau de H(Q) , on l’appelle l’anneau des quaternions d’Hurwitz et on le note H. Montrezque si q ∈ H, qq ∈ Z (on montrera que les elements de H s’ecrivent comme combinaisons lineaires deI+E1+E2+E3+E4

2 , E1, E2, E3 a coefficients dans Z et ce, de maniere unique. Quels sont les elements q de H

tels que qq = 1 ? Montrez qu’ils forment un groupe.

41

Exercice 2 : (suite du precedent)a) Un quaternion etant une matrice carree, on peut parler de sa trace. Il est evident que Tr(q)I = q + q∗

(Tr(q) = 2a0 en utilisant l’ecriture suivant la base). On appelle quaternion pur les quaternions de tracenulle. On appelle quaternions reels ceux egaux a leur conjugue.b) Les quaternions purs forment un sous-espace reel de H de dimension 3 de base E1, E2, E3. Montrez quepour un quaternion pur u, les proprietes suivantes sont equivalentes :

i) u est unitaireii) u2 = −Iiii) x2

1 + x22 + x2

3 = 1.c) L’espace vectoriel des quaternions pur est donc un espace euclidien A0 de dimension 3 pour la formequadratique det dont une base orthonormee est formee des vecteurs E1, E2, E3. On note < , > leproduit scalaire correspondant. Montrez que si u et v deux quaternions purs, alors :d) < u, v >= 0 (u et v sont orthogonaux) si et seulement uv + vu = 0.e) Si u et v sont unitaires et orthogonaux les vecteurs u, v, w = uv forment une base orthonormee directe.f)Soit x un quaternion pur, montrez que l’on peut ecrire x = δu avec δ ∈ R et u quaternion pur et unitaire.Montrez que tout quaternion unitaire q peut s’ecrire q = cos θI + sin θu avec u unitaire et pur et qu’alorsq−1 = cos θI − sin θu.g) Soit a un quaternion unitaire,a tout quaternion pur x on associe γa(x) = axa−1. Montrez que γa(x) estun quaternion pur. Montrez que γa est une rotation de l’espace euclidien des quaternions purs.h)Montrez que la rotation γa associee au quaternion unitaire a = cos θI + sin θu a pour axe la droite porteepar u et pour angle 2θ. En deduire que l’application a → γa est un morphisme surjectif de groupe deSU(2, C) dans SO(3, R) de noyau ±I.

Exercice 3 : Soit G un groupe a deux elements 1, τ. On considere l’ensemble A des sommes formellesz1 + z2τ (z1, z2 ∈ C) comme C-espace vectoriel de base 1, τ. On munit cet espace vectoriel des operations

(z1 + z2τ) + (z′1 + z′2τ) = (z1 + z′1 + (z2 + z′2)τ ; (z1 + z2τ)(z′1 + z′2τ) = (z1z′1 + z2z′2 + (z1z

′2 + z2z′1)τ

a) Montrez que A muni de ces operations est un anneau non commutatif. Montrez que A est egalement unR-espace vectoriel de dimension 4.b) Calculez (1 + τ)(1 − τ), est-ce que A est un corps ? Pour a = (x + yi + uτ + viτ) ∈ A calculez a 1+τ

2 .Montrez que A 1+τ

2 est un R-espace vectoriel de dimension 2.c) Pour a ∈ A et m ∈ A 1+τ

2 , montrez que am ∈ A 1+τ2 . Montrez que l’application Fa := m ∈ A 1+τ

2 → amest un endomorphisme du R-espace vectoriel A 1+τ

2 .d) Montrez que F := a ∈ A → Fa est un morphisme d’anneaux de A dans End(A 1+τ

2 ) et aussi un morphismede R-espaces vectoriels.e) Montrez que A est isomorphe a M2(R). En choisissant un R-base de A 1+τ

2 , explicitez cet isomorphisme.

Exercice 4 : Soit A un sous-anneau d’un corps commutatif, une partie S de A est dite multiplicative si 1 ∈ S,0 /∈ S, ∀s1, s2 ∈ S, s1s2 ∈ S.a) Montrez que si a ∈ A \ 0 l’ensemble an | n ∈ N est une partie multiplicative. Si A = Z, p un nombrepremier, montrez que Z\pZ est une partie multiplicative. Si A = C[X], P ∈ C[X] un polynome irreductible,montrez que C[X] \ PC[X] est une partie multiplicative.b) Soit A un sous-anneau d’un corps K et S une partie multiplicative de A. On note S−1A l’ensemblea

s | a ∈ A, s ∈ S, montrez que S−1A est un sous-anneau de K contenant A.c) Soit A = Z, a ∈ N, a > 1, S = an | n ∈ N, on construit S−1Z. montrez que tout element de S−1Z

s’ecrit de maniere unique ±∑n2

i=n1

xi

ai , n1 ≤ n2, n1, n2 ∈ Z, 0 ≤ xi < a, xn1 = 0, xn2 = 0.d) Montrez que les quaternions (cf. exercice 1) a0I + a1E1 + a2E2 + a3E3 ou a0, a1, a2, a3 sont dans S−1Z

forment un sous-anneau de H(R).

Exercice 5 : Soit M ∈ Mn(C). Decrire le sous-anneau de Mn(C) engendre par M et CIn et montrez que c’estun anneau commutatif et un C-espace vectoriel de dimension finie. Montrez qu’il existe un homomorphismesurjectif de C[X] sur cet anneau.

Exercice 6 : Soit d ∈ Z un entier non divisible par un carre et Q(√

d) le sous-ensemble de C forme desa + b

√d, a, b ∈ Q.

42

a) Montrez que cet ensemble un sous-corps de C et un Q espace vectoriel de dimension 2. Soit x =a + b

√d ∈ Q(

√d), montrez que la multiplication par x est automorphisme de cet espace vectoriel et calculer

son polynome caracteristique.b) Montrez que l’application a + b

√d → a− b

√d est automorphisme du corps Q(

√d).

c) Soit le sous-ensemble a + b√

d | a, b ∈ Z montrez que c’est un sous-anneau de Q(√

d). On le note Z[√

d](lorsque d = −1, on le nomme l’anneau des entiers de Gauss).d) On suppose d ≡ 1 mod 4, soit le sous-ensemble a + b 1+

√d

2 | a, b ∈ Z montrez que c’est un sous-anneaude Q(

√d). Ceci reste-t-il vrai si on suppose d ≡ 1 mod 4 ?

Exercice 7 : Montrez qu’il existe une et une seule structure d’anneau a deux elements, une et une seulestructure d’anneau a trois elements. Montrez que ces anneaux sont des corps.Exercice 8 : Soit k un corps, A un anneau integre qui est une k-algebre de dimension finie. Montrez que Aest un corps.Exercice 9 : On note p(n) le nombre de partition d’un entier naturel donne. Montrez que le produit

∏n

1(1− Tn)

a un sens dans Z[[T ]] et montrez qu’il est egal a Φ(T ) =∑∞

n=0 p(n)Tn.Exercice 10 : Soit (An)n∈N une famille d’anneaux. Pour chaque couple (m, n) ∈ N×N, (m ≤ n) on se donneun morphisme d’anneaux fn

m de Am dans An et on suppose que les fnm verifient les proprietes : fm

m = id,k ≤ m ≤ n implique fn

k = fnm fm

k . Dans le produit∏

n An, on considere les elements (xn)n∈N tels quem ≤ n implique fn

m(xm) = xn. Montrez que ces elements forment un sous-anneau de∏

n An. L’anneauobtenu s’appelle la limite inductive du systeme (An, fn

m) et on note lim−→nAn.

On se donne un second systeme (Bn, gnm), la limite inductive lim−→n

Bn et pour chaque n un morphismed’anneaux hn : An → Bn tels que pour chaque couple (m, n), m ≤ n on ait hn fn

m = gnm hm. En deduire

la construction d’un morphisme d’anneaux h de lim−→nAn dans lim−→n

Bn.

43

44

CHAPITRE VI : IDEAUX

§1 RELATIONS D’EQUIVALENCE COMPATIBLES ET ANNEAUX QUOTIENTSSoit A un anneau, on recherche les relations d’equivalence definies sur A compatibles avec les operations

de A. SoitR une telle relation, puisque A,+ est un groupe l’ensemble des a ∈ A | aR0 est un sous-groupeI de A ; il faut que aussi R soit compatible avec la multiplication soit :

∀x ∈ A, ∀y ∈ A, xRx′ et yRy′ =⇒ xyRx′y′

il faut donc que ∀x, ∀y, x− x′ ∈ I et y− y′ ∈ I implique xy− x′y′ ∈ I or xy− x′y′ = (x− x′)y + x′(y− y′).En tenant compte des cas particuliers x = x′ et y = y′ ces conditions equivalent a : ∀x ∈ I, ∀a ∈ A xa ∈ Iet ax ∈ I ; ceci nous conduit a la definition :Definition VI-1 : Soit A un anneau, on appelle ideal bilatere de A tout sous-groupe I de A,+ tel que :

∀x ∈ I ∀a ∈ A xa ∈ I et ax ∈ I.

Remarque : Si A est commutatif la condition se simplifie et on dit simplement ideal.Proposition VI-2 : Soit A un anneau, il y a une bijection entre l’ensemble des relations d’equivalencecompatibles avec les operations de A et l’ensemble des ideaux bilateres de A. SiR est donnee, il lui correspondl’ideal bilatere I = a ∈ A | aR0 ; si l’ideal bilatere I est donne, il lui correspond la relation d’equivalenceR definie par xRy ⇔ x − y ∈ I. L’ensemble des classes d’equivalence de A pour la relation R associee a Iest note A/I.

Preuve : Cela resulte immediatement de la discussion qui a precede les definitions.La proposition suivante , evidente, montre ou apparaissent naturellement les ideaux bilateres.Proposition VI-3 : Soit A, B deux anneaux et f un morphisme de A dans B, le noyau de f est un idealbilatere.

Exemples :1 A est un ideal bilatere de A, de meme 0.2 Si A et B sont des anneaux, I un ideal bilatere de A, J un ideal bilatere de B, la partie I × J de A× Best un ideal bilatere de A×B, en particulier les parties A× 0 et 0 ×B.3 Si A est un anneau commutatif, a ∈ A l’ensemble (a) = ax | x ∈ A est un ideal de A.4 Les ideaux de Z coıncident avec les sous-groupes de Z. La verification est rapide puisqu’il suffit qu’unsous-groupe nZ soit stable par multiplication par n’importe quel entier.5 Soit k un corps commutatif, les ideaux de k[X] sont de la forme (P ). Demontrons ce resultat. Soit I unideal de k[X], si I = 0, prenons P = 0. Sinon, soit P ∈ I \ 0 de degre minimal (c’est a dire que siT ∈ I, deg(T ) < deg(P ) alors T = 0). Soit S ∈ I, effectuons la division euclidienne de S par P (on le peutcar k est un corps et P = 0) ; on obtient Q et R tels que S = QP + R avec deg(R) < deg(P ) or I est unideal et S et P ∈ I donc R ∈ I. Comme R ∈ I et deg(R) < deg(P ) on a P = 0.Remarque : La partie k de k[X] est sous-groupe et meme un sous-corps de k[X] mais n’est pas un ideal.

On a vu que la notion de compatibilite d’une relation d’equivalence avec une loi est concue pour per-mettre de transporter l’operation sur les classes d’equivalence.

Theoreme VI-4 : Soit A un anneau et I un ideal bilatere de A tel que I = A l’ensemble des classesd’equivalence A/I est muni d’une structure d’anneau telle que a → a soit un morphisme d’anneau, on noteπI ce morphisme, son noyau est l’ideal bilatere I.

Preuve :Soit π l’application de A dans A/I qui a chaque element de A associe son image. Cette application

est surjective. Le fait que les operations sur A soient compatibles avec la relation d’equivalence se traduitd’une part par π(x+ y) = π(x)+π(y) et le chapitre II montre que (A/I,+) est un groupe abelien et d’autrepart par π(xy) = π(x)π(y). De la surjectivite de π on deduit que la classe de 1 est element neutre pour lamultiplication et que cette operation est associative, distributive par rapport a la multiplication.

Enfin, la classe de 1 est differente de la classe de 0 : si ces deux classes etaient egales, on aurait 1 ∈ I etdonc I = A. On a donc bien un anneau et l’application π est un morphisme dont le noyau est par definitionla classe de 0, c’est a dire I.

45

Exemples :1 Pour tout anneau A, si I = 0 A/I est isomorphe a A.2 Si A = Z et I = nZ, n = 0 on note Z/nZ l’anneau quotient : c’est l’anneau des classes residuelles modulon.

Exercice 1 : Le morphisme canonique πn de Z sur Z/nZ est surjectif, montrez qu’il peut y avoir d’autreselements inversibles dans Z/nZ que πn(±1). Decrire le groupe des elements inversibles de l’anneau Z/nZ.

Exercice 2 : Si k est un corps commutatif, A = k[X] et I = (P ), P = 0 l’anneau quotient k[X]/I est unk-espace vectoriel de dimension deg(P ) dont une base est formee par les Xi 0 ≤ i ≤ n− 1.

Exemple : Prenons l’exercice precedent avec k = R, P = X2 + 1, on note i = X ; l’anneau R[X]/(X2 + 1)est un R-espace vectoriel de dimension 2 dont les elements s’ecrivent a + bi avec a, b ∈ R et i2 + 1 = 0 : c’estle corps des nombres complexes.

Proposition VI-5 : Soit A et B deux anneaux et f un morphisme de A dans B. Pour tout ideal I bilaterede B l’ensemble f−1(I) est un ideal bilatere A contenant ker f . De plus, si f est surjectif, pour tout idealbilatere J de A, f(J) est un ideal bilatere de B.

Preuve : La verification des axiomes ne pose aucune difficulte.

On retrouve un theoreme d’isomorphisme :

Theoreme VI-6 : Soit A un anneau, f un morphisme de A dans un anneau B et I = A un ideal bilaterede A. Il existe un unique morphisme ϕ de A/I dans B tel que f = ϕ πI si et seulement si I est contenudans ker f . Le noyau de ϕ est πI(ker f).

Preuve : La condition necessaire est immediate.Soit πI le morphisme canonique de A sur A/I. D’apres la proposition precedente πI(ker f) est un ideal

bilatere de A/I et cette meme proposition montre que pour a et b ∈ A, a − b ∈ ker f ⇐⇒ πI(a) − πI(b) ∈πI(ker f). Il y a donc, via πI une bijection entre les classes de A/I modulo πI(ker f) et les classes de Amodulo ker f . Soit ϕ cette bijection : on a bien, par construction, ϕ(πI(a)) = f(a). D’apres le chapitre IIc’est un morphisme de groupe, ϕ(πI(a)πI(b)) = ϕ(πI(ab), soit f(ab) = f(a)f(b) = ϕ(πI(a))ϕ(πI(b)) et enfin,ϕ(1) = ϕ(πI(1)) = f(1) = 1.

Corollaire VI-7 : Soit A un anneau, I, J deux ideaux bilateres de A tels que J ⊃ I et soit πI : A → A/I(resp. πJ : : A → A/J) le morphisme canonique. Il existe un unique morphisme d’anneaux πI,J : A/I →A/J tel que πJ = πI,J πI .

Preuve : On applique le theoreme avec B = A/J .

Corollaire VI-8 : Soit A un anneau, I et J deux ideaux bilateres de A, il existe un unique morphismed’anneaux π de A/I ∩ J dans A/I ×A/J tel que π πI∩J = πI × πJ . Le morphisme π est injectif.

Preuve : A partir de πI et πJ on construit un morphisme de A → A/I ×A/J dont le noyau est I ∩ J et onapplique le corollaire precedent.

§2 AUTRES IDEAUX, IDEAUX ENGENDRES

On peut de la meme maniere definir d’autres notions :

Definition VI-9 : Soit A un anneau, on appelle ideal a gauche (resp. a droite) de A tout sous-groupe I deA tel que : ∀x ∈ I, ∀a ∈ A ax ∈ I (resp. ∀x ∈ I, ∀a ∈ A xa ∈ I).

Remarques :1 - Dans le cas des anneaux commutatifs les trois notions coıncident.

2 - les ideaux bilateres sont egalement des ideaux a droite et a gauche.

3 - Il resulte immediatement de la definition qu’un ideal (bilatere, a droite, a gauche) de A est egal a A si et seulement si il

contient un element de A∗.

Proposition VI-10 : L’intersection d’une famille d’ideaux bilateres (resp. a droite, a gauche) d’un anneauA est un ideal bilatere (resp. a droite, a gauche) de A.

On en deduit, suivant un schema habituel, la notion d’ideal bilatere (resp. a droite, a gauche) engendrepar une partie P d’un anneau A.

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Definition VI-11 : Soit A un anneau et P une partie de A ; on appelle ideal bilatere (resp. a droite, agauche) de A engendre par P le plus petit ideal bilatere (resp. a droite, a gauche) de A contenant P . C’estaussi l’intersection des ideaux bilateres (resp. a droite, a gauche) de A contenant P .

Remarque : Puisque A est un ideal bilatere l’intersection existe toujours. De plus on peut donner une description un peu

plus precise de l’ideal d’un anneau A engendre par une partie P :

Si A est un anneau et P une partie de A l’ideal bilatere engendre par P est forme de l’ensemble des sommesfinie

∑p∈P,λp, µp∈A λppµp.

Si A est un anneau et P une partie de A l’ideal a gauche engendre par P est forme de l’ensemble des sommesfinie

∑p∈P λpp ou λp ∈ A.

Si A est un anneau et P une partie de A l’ideal a droite engendre par P est forme de l’ensemble des sommesfinie

∑p∈P pµp ou µp ∈ A.

Il faut verifier dans chacun des cas que l’ensemble defini contient la partie P , que c’est un ideal (. . . ) etque tout ideal(. . . ) contient l’ensemble indique.Exercice 3 : Soit I un ideal a gauche d’un anneau A et x ∈ A\I, montrez que l’ideal a gauche de A engendrepar I et x est l’ensemble Ax + I des sommes ax + b avec a ∈ A et b ∈ I.Definition VI-12 : Soit A un anneau commutatif un ideal I de A est dit principal s’il peut etre engendrepar un seul element.

Remarque : Il resulte de ce qui precede que si I est principal, engendre par a, tout element de I s’ecrit λa, λ ∈ A. On note

encore I = (a).Exemple : Dans Z et (pour tout corps commutatif k) k[X] tous les ideaux sont principaux.Exercice 4 : Soit I et J deux ideaux (a gauche, a droite, bilateres) d’un anneau A, on note I+J = a+b | a ∈I, b ∈ J. montrez que I + J est un ideal (a gauche, a droite, bilateres).Exercice 5 : Soit A un anneau, I un ideal a gauche de A, J un ideal a droite de A. On note IJ =∑

finies aibi|ai ∈ I, bi ∈ J ; montrez que IJ est un ideal bilatere de A.Lemme VI-13 : Un anneau A est un corps si et seulement si les seuls ideaux a gauche et a droite de Asont 0 et A.

Preuve : Faisons la demonstration avec les ideaux a gauche :Supposons que A soit un corps. Soit I un ideal de A, I = 0. Il existe x = 0, x ∈ I. Puisque A est un

corps, x admet un inverse x′ et 1 = x′x ∈ I, donc I = A. Tout ideal a gauche non nul de A est egal a A.Reciproquement. Soit A un anneau dans lequel les seuls ideaux a gauche et a droite sont 0 et A. Soit

alors x = 0, x ∈ A. L’ideal a gauche de A engendre par x est l’ensemble ax |a ∈ A cet ideal a gauche estdonc egal a A : par consequent, il existe x′ ∈ A tel que x′x = 1. De la meme maniere, avec les ideaux adroite il existe x′′ tel que xx′′ = 1. Mais alors x′xx′′ = (x′x)x′′ = x′(xx′′) = x′′ = x′. Tout element non nulde A est inversible, A est un corps.

§3 QUELQUES IDEAUX PARTICULIERS

Dorenavant, les anneaux utilises dans ce cours sont des anneaux commutatifs. Nous allons definirquelques types d’ideaux qui jouent un role important en geometrie et en arithmetique.Definition VI-14 : Soit A un anneau et M un ideal de A. On dit que M est maximal si M est differentde A et si pour tout ideal J tel que A ⊃ J ⊃ M on a soit J = A, soit J = M .

Theoreme VI-15 : Soit A un anneau et M un ideal de A, A/M est un corps si et seulement si M estmaximal.

Preuve : Soit πM le morphisme canonique de A sur A/M , I un ideal de l’anneau quotient A/M l’ensembleπ−1(I) est un ideal de A contenant M , comme π est surjectif, I = π(π−1(I)).

Si M est maximal π−1(I) est soit A, soit M et par consequent soit I = π(A) = A/M , soit I = π(M) =0. Les seuls ideaux de A/M sont A/M et 0 c’est bien un corps.

Inversement, supposons que A/M est un corps, c’est au moins un anneau par consequent 1 = 0 et doncA = M . Soit I un ideal de A contenant M . L’ensemble π(I) est un ideal de A/M c’est donc soit A/M soit0. Mais comme I ⊃ M , π−1(π(I)) = I. On a donc soit I = π−1(A/M) = A, soit I = π−1(0) = M . Lesseul ideaux de A contenant M sont A et M : M est maximal.

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Definition VI-16 : Un ideal I d’un anneau A, I = A est dit premier si la relation xy ∈ I implique x ∈ Iou y ∈ I.

Remarque : Cette notion est une generalisation de la notion de nombre premier.

Theoreme VI-17 : Un ideal I d’un anneau A est premier si et seulement si l’anneau A/I est integre.

Preuve : Soit π le morphisme canonique de A dans A/I et 0 = x = π(a) ∈ A/I, 0 = y = π(b) ∈ A/I. Leproduit xy = π(ab) = 0 si et seulement si ab ∈ I.

Si l’ideal I est premier, xy = 0 equivaut a ab ∈ I soit a soit b ∈ I, c’est a dire soit x, soit y = 0 etl’anneau A/I est integre.

Si l’anneau A/I est integre ab ∈ I equivaut a xy = 0 c’est a dire soit x soit y = 0 et par consequent soitx ∈ I soit y ∈ I : l’ideal I est premier.Corollaire VI-18 : Tout ideal maximal est premier.

Preuve : En effet tout corps commutatif est un anneau integre.Exercice 6 : Montrez que dans l’anneau Z[X] l’ideal engendre par 2 est premier et n’est pas maximal. Dansle meme anneau montrez que l’ideal engendre par 2 et X est maximal et n’est pas principal.

En arithmetique elementaire on utilise la notion de nombres premiers entre eux. Cette notion segeneralise par celle d’ideaux etrangers :Definition VI-19 : Deux ideaux I et J d’un anneau A sont dits etrangers si I + J = A.

Theoreme VI-20 : Si I et J sont deux ideaux etrangers d’un anneau A on a l’egalite I ∩ J = IJ etl’isomorphisme A/IJ # A/I ×A/J .

Preuve : On a bien evidemment IJ ⊂ I ∩ J . Puisque I + J = A, il existe a ∈ I, b ∈ J tels que a + b = 1 ;soit x ∈ I ∩ J , on a x = 1x = (a + b)x = ax + bx. Comme x ∈ J, a ∈ I on a ax ∈ IJ ; de meme x ∈ I, b ∈ Jon a bx ∈ IJ et par consequent x = ax + bx ∈ IJ . On a l’egalite IJ = I ∩ J . Ceci demontre la premierepartie.

On construit le morphisme d’anneaux πI × πJ de A dans A/I × A/J , montrons que ce morphisme estsurjectif. Soit x = πI(a) ∈ A/I, y = πJ(b) ∈ A/J on veut trouver c ∈ A tel que x = πI(c), y = πJ(c).

Ceci implique x = πI(c) = πI(a) et y = πJ(c) = πJ(b). On en deduit c − a = i ∈ I et c − b = j ∈ Jsoit par soustraction a − b = j − i. Or a et b sont connus ; on sait ecrire, par l’hypothese sur les ideaux Iet J que 1 = u − v avec u ∈ J , v ∈ I. Il s’ensuit a − b = (a − b)(u − v) = (a − b)u − (a − b)v. On posej = (a− b)u ∈ J , i = (a− b)v ∈ I l’element c = a + (a− b)v = b + (a− b)u repond au probleme.

Le noyau de πI × πJ est I ∩ J = IJ . Le theoreme d’isomorphisme permet alors de conclure.

Corollaire VI-21 : Si les ideaux I et J sont etrangers, on a l’isomorphisme (A/IJ) # (A/I) × (A/J).

Preuve : Il s’agit des elements inversibles de deux anneaux isomorphes.Faisons une etude detaillee dans le cas de l’anneau Z.

§4 ELEMENTS INVERSIBLES DE L’ANNEAU Z/nZ.

Les resultats du paragraphe precedent permettent de completer l’etude des groupes cycliques et de leursgenerateurs.Proposition VI-22 : L’image a d’un entier a ∈ Z est inversible dans l’anneau Z/nZ si et seulement si aest premier a n.

Preuve : a est inversible si et seulement s’il existe u ∈ Z tel que au ≡ 1(mod n) c’est-a-dire s’il existe desentiers u, v ∈ Z tels que au + nv = 1.

Exemples numeriques : Il faut savoir trouver 9−1 dans Z/13Z. . .

Corollaire VI-23 : En particulier, Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier, ou encore si Z/nZ

est un anneau integre. (i.e. si x = 0, y = 0 implique xy = 0).Preuve : En effet Z/nZ est un corps si et seulement si tous les elements non nuls sont inversibles ; or n estpremier si et seulement si tous les entiers non multiples de n sont premiers a n.

Corollaire VI-24 : (Petit theoreme de Fermat) Si p est un nombre premier, tout entier a ∈ Z premiera p verifie ap−1 ≡ 1(modp).

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Preuve : C’est le theoreme de Lagrange applique au groupe (Z/pZ)∗ a p− 1 elements.Remarque : Que se passe-t-il dans Z/561Z ?

Proposition VI-25 : Le groupe Z/nZ est cyclique. Si n > 0, la classe d’un entier a ∈ Z engendre Z/nZ siet seulement si (a, n) = 1 (en particulier 1 est toujours generateur). Reciproquement, tout groupe monogeneG est soit infini isomorphe a Z, soit cyclique isomorphe a Z/nZ ou n = #G ( necessairement, i.e. si |n| = |m|,Z/nZ # Z/mZ).Preuve : Il est clair que 1 engendre Z/nZ. Un entier a engendre Z/nZ si et seulement si 1 est multiple dea dans Z/nZ ce qui revient a dire que a est inversible.Enfin si G est un groupe engendre par un element c, alors le noyau du morphisme surjectif ϕ : n → cn de Z

dans G est soit 0, auquel cas ϕ est injectif (c’est un isomorphisme), soit un nZ avec n > 0, auquel cas ϕse factorise donnant un isomorphisme Z/nZ → G.

Le theoreme suivant est l’outil principal pour reduire l’etude de Z/nZ a celle d’anneaux Z/mZ plus petits.

Theoreme VI-26 : (theoreme chinois) Soit n1, . . . , nr des entiers > 1 deux a deux etrangers, et n =∏

i ni.L’application naturelle Z/nZ →

∏i Z/niZ est un isomorphisme d’anneaux. En particulier elle definit un

isomorphisme entre les groupes d’elements inversibles (Z/nZ)∗ et∏

(Z/niZ)∗.Preuve : Les surjections canoniques ψi : Z → Z/niZ permettent de construire un morphismeψ : Z →

∏Z/niZ par a → (ψ1(a), . . . , ψr(a)). Le noyau de ψ est l’ensemble des entiers multiples communs

aux ni, c’est-a-dire les multiples de n =∏

ni = ppcm(ni). Par factorisation on obtient donc un morphismeinjectif ϕ : Z/nZ →

∏Z/niZ qui est l’application naturelle de l’enonce. Les deux ensembles ayant meme

cardinal n, cette injection est donc une bijection.Remarque : Il est important d’avoir un isomorphisme explicite dans les deux sens car on peut ainsi trouver certains elements

speciaux de Z/nZ (generateurs du groupe des inversibles, en fonction des elements correspondants de chaque facteur, par

exemple).

Application : calcul de l’indicateur d’Euler ϕ(n).Le cardinal du groupe des elements inversibles de Z/nZ s’appelle l’indicateur d’Euler de n et se note

traditionnellement ϕ(n). Le groupe des elements inversibles de∏

i Z/niZ est le groupe produit∏

i(Z/niZ)∗.Ceci montre que si les ni sont deux a deux etrangers, et n =

∏i ni, alors ϕ(n) =

∏i ϕ(ni) (on exprime

cela en disant que ϕ est multiplicative). Par decomposition en facteurs premiers, le calcul de ϕ(n) seramene donc a celui de ϕ(pa) pour un nombre premier p. Or les entiers inversibles de Z/paZ sont ceux quisont premiers a pa, c’est-a-dire non multiples de p. Comme il y a visiblement pa−1 multiples de p, il reste

pa−1(p− 1) = pa

(1− 1

p

)elements inversibles. En rassemblant ces resultats, on en deduit finalement :

ϕ(n) = n∏p|n

p premier

(1− 1

p

).

Proposition VI-27 : Les automorphismes du groupe Z/nZ sont les multiplications par les generateurs deZ/nZ (qui sont encore les unites ou inversibles de l’anneau). Plus precisement, l’application :

ϕ : (Z/nZ)∗ → Aut(Z/nZ)k → (mk : α → kα)

est un isomorphisme de groupes.

Preuve : La relation k(x + y) = kx + ky montre que mk est bien un morphisme. Si k est inversible, alorsmk admet evidemment mk−1 pour inverse : c’est un automorphisme (on peut aussi remarquer que mk estinjectif puisque kx = 0 =⇒ x = k−1(kx) = 0 donc mk est bijectif vu les cardinaux).Si k, k′ ∈ (Z/nZ)∗, alors pour tout α on a :

mkk′(α) = kk′ α = k k′α = mk(k′α) = mk(mk′(α)) = mk mk′(α)

ce qui montre que ϕ est un morphisme. Il est injectif car si ϕ(k) = id, alors k = mk(1) = id(1) = 1.

49

Enfin ϕ est surjectif car si σ est un automorphisme de Z/nZ, σ(1) engendre Z/nZ (car surjectif donc touth s’ecrit σ(l) = lσ(1)), et ainsi pour tout l ∈ Z/nZ, σ(l) = lσ(1) = mσ(1)(l), donc σ = ϕ(σ(1)).

Nous allons maintenant etudier plus en detail la structure du groupe d’automorphismes du groupe Z/nZ,c’est-a-dire des unites de l’anneau Z/nZ. Grace a l’isomorphisme fourni par le theoreme chinois, ce groupeest le produit des groupes Aut(Z/pai

i Z) si n =∏

paii est la decomposition en facteurs premiers de n (on

utilise ici le fait que les automorphismes sont les unites de l’anneau). On est donc ramene au cas ou n estpuissance d’un nombre premier.Nous commencons par etudier le cas ou n est premier :

Theoreme VI-28 : Pour tout nombre premier p, le groupe (Z/pZ)∗ est cyclique. Plus generalement, si Fest un corps commutatif et G un sous-groupe fini de F ∗, alors G est cyclique.

Preuve : Notons S l’ensemble des ordres des elements de G. Alors :1 Si a, b ∈ S sont etrangers leur produit est dans S ; en effet si x, y ∈ G sont d’ordres respectifs a et b, alorsmontrons que xy est d’ordre ab. Il est clair que (xy)ab = 1 puisque G est abelien, et par ailleurs si c est unentier verifiant (xy)c = 1, alors 1 = (xy)ca = yca donc b | ca et par suite b | c ; par symetrie on a egalementa | c donc ab | c.2 Si a ∈ S tout diviseur d de a est dans S, car si x est d’ordre a, alors xa/d est d’ordre d.3 Si a, b ∈ S leur ppcm est dans S. En effet, si on decompose en facteurs premiers a =

∏pai

i et b =∏

pbii ,

il existe par 2 un element xi d’ordre pmax(ai,bi)i donc par 1 (et recurrence) il y en a un d’ordre

∏p

max(ai,bi)i

egal au ppcmde a et b4 Si m est le plus grand entier dans S, il est multiple de tous les autres (car par 3 c’est leur ppcm), donctous les elements de G sont racines (dans F ) du polynome Xm − 1.5 Puisque F est un corps, le polynome Xm− 1 a au plus m racines dans F, donc le cardinal de G est au plusm. Puisqu’il y a un element d’ordre m car m ∈ S, cet element engendre G.

Definition VI-29 : Un entier a est appele racine primitive modulo p si c’est un generateur du groupe(Z/pZ)∗.On ne sait pas en pratique prevoir si un entier est ou non racine primitive modulo p. Le meilleur moyen detrouver une racine primitive modulo p est encore de calculer l’ordre des petits entiers a = 2, 3, . . . jusqu’a entrouver un dont l’ordre soit p− 1, ou a en fabriquer un en suivant les arguments de la demonstration.Exemple : Pour p = 31, (Z/31Z∗,×) # (Z/30Z,+) : la classe de 2 est d’ordre 5, 33 ≡ −4 mod 31, on endeduit que la classe de −3 est d’ordre 15, comme celle de 30 = −1 est d’ordre 2 on obtient que 3 est uneracine primitive.

on peut encore dire que le groupe engendre par −4 est d’ordre 10 et ne conrient pas 3. Le sous-groupeengendre par 3 contient strictement celui engendre par −4, 3 est racine primitive.Exemple : Pour p = 17, (Z/17Z∗,×) # (Z/16Z,+). On a 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16 ≡ −1 mod 17. Lesous-groupe engendre par 2 est d’ordre 8. Il contient en outre 1, 2, −2 = 15, −4 = 13, −8 = 9. Les autreselements de (Z/17Z∗,×) sont des racines primitives.Exemple : Pour p = 41, le groupe (Z/41Z∗,×) est cyclique d’ordre 40. On calcule les puissances successivesde 2, on a 210 ≡ −1 mod 41 on en deduit que la classe de 2 est d’ordre 20. On calcule ensuite les puissancessuccessives de 3, 34 = 81 ≡ −1 mod 41, la classe de 3 est d’ordre 8. Comme 24 = 16 est d’ordre 5, il enresulte que 16× 3 = 48 ≡ 7 mod 41 est une racine primitive.Exercice 7 : Pour p = 5, 7, 13, 59, trouver des racines primitives.Exercice 8 : Trouvez tous les morphismes de (Z/2Z,+) dans (Z/15Z)∗. medskip Voyons maintenant lastructure des automorphismes de Z/nZ lorsque n est puissance d’un nombre premier ; il faut distinguer lecas d’un premier impair du cas p = 2 :

Theoreme VI-30 : 1 Si p est un nombre premier impair, et a un entier ≥ 1, le groupe (Z/paZ)∗ est cycliqued’ordre pa−1(p− 1).2 Les groupes (Z/2Z)∗ et (Z/4Z)∗ sont cycliques d’ordres 1 et 2, mais pour tout a ≥ 3, (Z/2aZ)∗ estisomorphe au produit Z/2Z×Z/2a−2Z. Il est engendre par −1 et 5. Autrement dit tout entier impair s’ecrit±5j modulo 2a.

Preuve :

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1 On va construire dans G = (Z/paZ)∗ des elements u, v d’ordres p − 1 et pa−1 de sorte que le produit uvsera d’ordre pa−1(p− 1) = #G.

La projection canonique Z → Z/pZ se factorise pour fournir un morphisme d’anneaux Z/paZ → Z/pZ

que l’on restreint aux elements inversibles : ϕ : G → (Z/pZ)∗. On etudie l’image et le noyau de ϕ.L’image est bien entendu le groupe (Z/pZ)∗ dont on a vu qu’il est cyclique, d’ordre p− 1. On en deduit

qu’il y a dans G un element y d’ordre p− 1 car si x ∈ G est tel que ϕ(x) soit generateur de (Z/pZ)∗, alorsl’ordre k de x verifie ϕ(x)k = ϕ(xk) = 1, donc p− 1 divise k et u = xk/(p−1) est bien d’ordre p− 1.

Etudions maintenant le noyau :

Lemme VI-31 : Le noyau de ϕ est cyclique d’ordre pa−1, engendre par 1 + p.

Preuve : Le noyau est l’ensemble des classes des entiers dans [0, pa − 1] de la forme 1 + kp c’est-a-dire tousles 1 + kp avec k ∈ [0, pa−1 − 1] (ils sont tous premiers a p donc inversibles). Ainsi kerϕ est de cardinalpa−1 ce qui prouve que 1 + p est d’ordre pα avec α ≤ a − 1. Pour voir que c’est un generateur, il suffit devoir que α > a− 2, c’est-a-dire que (1 + p)pa−2 ≡ 1(modpa). On demontre cela par recurrence sur a, et plusprecisement que :

(1 + p)pa−2= 1 + λapa−1 ou p | λa.

Cela est evidemment verifie si a = 2, avec λ2 = 1. On cherche a le montrer pour a + 1, alors :

(1 + p)pa−1= (1 + λapa−1)p = 1 + λapa + p

p− 12

λ2ap2a−2 +

∑Ci

pλiapi(a−1)︸ ︷︷ ︸

contient p2a−1en facteur et a fortiori pa+1

= 1 + pa(λa + pβa) = 1 + paλa+1

ou λa+1 = λa + pβa ≡ λa ≡ 0(modp).

Fin de la demonstration du theoreme : Puisque v = (1 + p) est d’ordre pa−1, que l’element u construit audebut de cette preuve est d’ordre p − 1 premier a p, et que le groupe G est commutatif, le produit uv estd’ordre pa−1(p− 1) (on l’a deja vu dans la cyclicite du groupe multiplicatif d’un corps), c’est-a-dire egal aucardinal de G (que l’on calcule par la fonction d’Euler). C’est donc bien un generateur de G.

2 Il reste a etudier le cas p = 2. La preuve precedente est en defaut car la recurrence prouvant que le noyauest cyclique ne s’applique plus (exercice : trouver pourquoi ). On peut recuperer cette preuve en travaillantmodulo 4 et non 2 : on considere le morphisme ϕ : (Z/2aZ)∗ → (Z/4Z)∗ obtenu en prenant les classesmodulo 4. Le noyau Ka est l’ensemble des 1 + 4k avec 0 < k < 2a−2. Il est donc de cardinal 2a−2. Onmontre comme plus haut qu’il est cyclique engendre par 5 = 1 + 4 car si on suppose par recurrence que(1 + 4)2

a−3= 1 + λa2a−1 ou λa est impair, alors (1 + λa2a−1)2 = 1 + λa2a + λ2

a22a−2 = 1 + λa+12a ouλa+1 = λa + 2a−2λ2

a est encore impair.On ne peut pas conclure comme dans le cas p impair puisque l’image est d’ordre 2 (non premier a

2a−2). Mais tout nombre impair pouvant s’ecrire sous la forme ±(1 + 4k), on en deduit que le morphisme±1 ×Ka → G = (Z/2aZ)∗

(ε, x) → εxest surjectif (donc bijectif vu les cardinaux). C’est donc un isomorphisme,

et G est engendre par −1 et 5 puisque (−1, 1) et (1, 5) engendrent ±1 ×Ka.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE VI : IDEAUX

Exercice 1 : Soit A un anneau a quatre elements. Montrez que s’il n’est pas isomorphe a Z/4Z il contientun sous-corps isomorphe a Z/2Z. Combien existe-t-il d’anneaux a quatre elements, lesquels sont des corps.

Exercice 2 : Soit A un anneau commutatif. On admet que tout ideal est inclus dans un ideal maximal.Montrez que si x appartient a l’intersection des ideaux maximaux 1 + x est inversible.

Exercice 3 : On appelle algebre de Boole un anneau B tel que pour tout x ∈ B : x2 = x.b) Montrez que pour tout x, 2x = 0. En deduire que B est un anneau commutatif.b) Montrez que le quotient de B par un ideal maximal est un corps a deux elements.c) Soit S un ensemble, on considere l’ensemble des fonctions de S dans le corps Z/2Z. On definit la sommede deux fonctions f et g par (f + g)(x) = f(x) + g(x) et leur produit par (fg)(x) = f(x)g(x). Montrez que

51

l’ensemble des fonctions de S dans Z/2Z est une algebre de Boole. Montrez qu’il y a une bijection entrecette algebre et l’ensemble des parties de S.d) Soit spec(B) l’ensemble des ideaux de l’algebre B. montrez qu’il y a une bijection entre spec(B) etl’ensemble des morphismes de B dans Z/2Z.e) Montrez que B est isomorphe a l’ensemble des fonctions de spec(B) dans Z/2Z muni de sa structured’algebre de Boole (cf c).

Exercice 4 : On dit qu’un element x d’un anneau commutatif A est nilpotent s’il existe un entier n tel quexn = 0. Montrez qu’un element nilpotent appartient a l’intersection des ideaux premiers. Est-ce que lasomme de deux elements nilpotents est un element nilpotent ? Est-ce que l’ensemble des elements nilpotentsforme un ideal ?

Soit x un element non nilpotent X la partie multiplicative formee des puissance positives de x. Soit Ila famille des ideaux disjoints de X ; on admet qu’il existe un ideal I de cette famille qui n’est inclus dansaucun autre de la famille (lemme de Zorn). Montrez que cet ideal est premier. En deduire que tout elementde l’intersection des ideaux premiers de A est nilpotent.

Exercice 5 : A quelle(s) condition(s) l’anneau Z/nZ contient-il des elements nilpotents ?

Exercice 6 : Soit un entier n ≥ 2, quel est le nombre des ideaux de Z/nZ ?

Exercice 7 : Soit un entier n =∏

i prii un entier superieur ou egal a 2, on sait que Z/nZ #

∏i Z/pri

i Z,montrez que tout ideal de Z/nZ est isomorphe a un ideal

∏i Ii ou Ii est un ideal de Z/pri

i Z.

Exercice 8 : Un ideal I d’un anneau commutatif A est dit primaire si la condition xy ∈ I et y /∈ I impliquel’existence d’un entier n ≥ 1 tel que xn ∈ I.

Quels sont les ideaux primaires de Z ?Etant donne un ideal I, on appelle radical de I et on note

√I l’ensemble des x ∈ A tels qu’il existe

n verifiant xn ∈ I. Montrez que le radical d’un ideal est encore un ideal. Quel est le radical d’un idealpremier ? Quel est le radical de l’ideal 0 ? Determiner completement le radical d’un ideal de Z.

Demontrez les formules :√

IJ =√

I ∩ J =√

I ∩√

J ,√

I + J =√√

I +√

J ,√√

I =√

I.Prouvez que pour que I, suppose distinct de A, soit primaire, il faut et il suffit que dans A/I tous les

diviseurs de zero soient des elements nilpotents.

Exercice 9 : Montrez que dans un anneau A les conditions suivantes sont equivalentes :a) l’ensemble des non-unites est un idealb) L’anneau R possede un seul ideal maximal.

Exercice 10 :a) Soit (An)n∈N une famille d’anneaux. Pour chaque couple (m, n) ∈ N × N, (m ≤ n) on se donne unmorphisme d’anneaux fm

n de An dans Am et on suppose que les fnm verifient les proprietes : fn

n = id,k ≤ m ≤ n implique fk

n = fkm fm

n . Dans le produit∏

n An, on considere les elements (xn)n∈N tels quem ≤ n implique fm

n (xn) = xm. Montrez que ces elements forment un sous-anneau de∏

n An. L’anneauobtenu s’appelle la limite projective du systeme (An, fm

n ) et on note lim←−nAn. Montrez qu’il existe pour

chaque n un morphisme sn de lim←−kAk dans An tel que pour m ≤ n sm = fm

n sn.b) On se donne un second systeme (Bn, gm

n ), la limite projective lim←−nBn et pour chaque n un morphisme

d’anneaux hn : An → Bn tels que pour chaque couple (m, n), m ≤ n on ait hm fmn = gm

n hn. En deduirela construction d’un morphisme d’anneaux h de lim←−n

An dans lim←−nBn.

c) Soit A = Z et pour tout n l’anneau An = Z et fmn = id, montrez que lim←−n

An # Z.d) Soit A = Z et pour tout n l’anneau An = Z/pnZ et πn le morphisme de passage au quotient. Montrez quepour chaque couple (m ≤ n) il existe un unique morphisme πm

n de Z/pnZ dans Z/pmZ tel que πm = πmn πn.

Montrez que les πmn verifient les conditions de compatibilite du a). On note Zp = lim←−n

Z/pnZ. Montrez qu’ilexiste un morphisme injectif de Z dans Zp.e) Soit A un anneau commutatif et In une suite d’ideaux telle que n ≤ m implique Im ⊃ In. Soit pn lemorphisme de passage au quotient de A dans A/In. Montrez qu’il existe un unique morphisme pm

n de A/In

dans A/Im tel que pm = Imn pn et que les pm

n verifient les conditions de compatibilite du a). Soit sn lesmorphismes de lim←−k

A/Ik dans A/In, montrez qu’il existe un unique morphisme i de A dans lim←−kAk tel que

sn i = pn. Quel est le noyau de i. ?

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Exercice 11 : Soit n = 2a∏t

i=1 prii ou les pi sont des nombres premiers impairs deux a deux distincts. Quel

est le nombre des elements dont l’ordre divise 2 dans (Z/nZ)∗ (en fonction de a et de t).Exercice 12 : Soit n = 1848, on veut prouver que 8822515 ≡ 1 mod 1848.a) Demontrez que dans Z/24Z∗ tout element est d’ordre 1 ou 2.b) Determinez tous les elements d’ordre 5 de Z/11Z∗ et les elements d’ordre 3 de Z/7Z∗.c) Trouvez tous les elements d’ordre 15 dans Z/77Z∗.d) Trouvez tous les a tels que a15 ≡ 1 mod 1848.Exercice 13 : Soit p un nombre premier, montrez en utilisant un generateur de Z/pZ∗ que

(p− 1)! ≡ −1 mod p

(theoreme de Wilson). Determinez le reste de la division de (95!)104 par 101.Exercice 14 :a) a) Calculez 26, 246, 269 modulo 139.b) En deduire que 2 est une racine primitive modulo 139.c) Resoudre l’equation x3 ≡ 1 modulo 139.

d) Quels sont les points a coordonnees entieres sur la courbe d’equation y =x3 − 13475

.

Exercice 15 : a) Montrez que 2 engendre Z/27Z∗

b) Trouvez tous les elements d’ordre 2 et ceux d’ordre 9.c) Quel est le nombre d’elements d’ordre 2 dans Z/216Z∗ ?

d) Trouvez tous les entiers n, 1 ≤ n ≤ 216 tels que le nombren3 + 71

216soit aussi un entier.

Exercice 16 : Trouvez tous les elements d’ordre 3 de (Z/360Z)∗, tous les elements d’ordre 4 de ce memegroupe.Exercice 17 : Trouvez tous les n tels que (Z/nZ)∗ soit cyclique.Exercice 18 :Trouver tous les n tels que ϕ(n) = 2 ; trouver tous les n tels que ϕ(n) = 3 ; trouver tous les n tels queϕ(n) = 4 ; trouver tous les n tels que ϕ(n) = 5 ; trouver tous les n tels que ϕ(n) = 6 ; trouver tous les n telsque ϕ(n) = 18 ; trouver tous les n tels que ϕ(n) = 64 . . .

Exercice 19 : Determinez tous les n tels que (Z/nZ)∗ est isomorphe a Z/2Z× Z/18Z ?Exercice 20 : Soit un entier n tel que (Z/nZ)∗ # (Z/2Z) × (Z/2Z) × (Z/3Z) × (Z/4Z), quel le nombremaximal de nombres premiers impairs divisant n.

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54

CHAPITRE VII : ANNEAUX PRINCIPAUX

Le but de ce chapitre est d’introduire une notion d’anneaux dont les proprietes generalisent celles de Z

et de k[X].

§1 GENERALITES.

Definition VII-1 : On appelle anneau principal tout anneau commutatif, integre dont tous les ideaux sontprincipaux.

Exemple : Dans le chapitre precedent on a vu que Z et (pour tout corps commutatif k) k[X] anneau despolynomes a une indeterminee a coefficients dans k sont des anneaux principaux.Proposition VII-2 : Soit k un corps commutatif, l’anneau k[[X]] des series formelles a une indetermineea coefficients dans k est un anneau principal.

Preuve : Soit I un ideal de k[[X]] different de 0 et v la valuation definie sur cet anneau. Prenons dansI \ 0 un element P (il en existe) soit n sa valuation. Ecrivons P =

∑∞i=n aiX

i = Xn∑∞

i=0 ai+nXi+n. Laserie formelle

∑∞i=0 ai+nXi+n ∈ k[[X]] donc Xn ∈ I. Soit n0 la plus petite des valuations des elements de

I \ 0. On peut maintenant ecrire tout P de I : P = Xn0∑∞

i=n aiXi−n0 ce qui montre que I = (Xn0).

Definition VII-3 : Soit A un anneau commutatif, a ∈ A \ 0 et b ; on dit que que b divise a s’il existec ∈ A tel que a = bc.

Remarque : Etant donne deux elements a et b d’un anneau principal A, a divise b si et seulement si (a) ⊃ (b).Definition VII-4 : On dit que deux elements a et b de A sont associes s’il existe ε ∈ A tel que a = bε.On note a ∼ b.

Remarques :1 On verifie aisement que a∼b est une relation d’equivalence sur A\0.2 Dans la proposition precedente, on a montre que ∀ P∈k[[X]], il existe n∈N tel que P∼Xn.

3 Si A est integre, on etablit aisement que a∼b si et seulement si a divise b et b divise a.

Exercice 1 : Quand est-ce que deux elements non nuls de Z (resp. k[X], resp. k[[X]]) sont associes ?Definition VII-5 : Un element a = 0 d’un anneau A est dit irreductible si l’egalite a = bc implique queun et un seul des elements b, c est inversible dans A.

Remarques :1 En particulier, un element inversible n’est pas un element irreductible.

2 Si x est irreductible, tous les y∼x sont egalement irreductibles.

Exemples :1 Pour A = Z les elements irreductibles sont associes aux nombres premiers.2 Pour A = k[X] les elements irreductibles coıncident avec les polynomes irreductibles au sens habituel. Onrappelle que si k = C ce sont les polynomes de degre 1 (on en donne un demonstration au chapitre VIII), sik = R ce sont les polynomes de degre 1 et ceux de degre 2 a discriminant negatif.Proposition VII-6 : Soit A un anneau principal et x ∈ A \ 0, on a les equivalences :

(1) x est irreductible,(2) l’ideal (x) est maximal,(3) l’ideal (x) est premier.

Preuve :(1)⇒(2). Supposons x irreductible, il n’est pas inversible et on a donc (x) = A. Soit I = (u) ⊃ (x). Il existev ∈ A tel que x = uv. Comme x est irreductible un et un seul parmi u et v ∈ A. Si u ∈ A alors I = A, siv ∈ A alors u = xv−1 et (u) ⊂ (x) et donc (u) = (x) : les seuls ideaux contenant (x) sont A et (x).(2)⇒(3). Evident puisque l’on a vu qu’un ideal maximal est premier.(3)⇒(1). Soit (x) un ideal premier avec x = 0. Supposons que x = uv, c’est a dire que soit u soit v ∈ (x)supposons (pour fixer les idees) u ∈ (x), donc u = xw. Il en resulte que x = xwv soit x(1−wv) = 0. Commex est non nul et A integre on en deduit que v est inversible. Par contre u n’est pas inversible sinon on aurait(x) = A ce qui est contraire a la definition d’un ideal premier.Exercice 2 : Soit l’anneau Z[X] Montrez que l’ideal (X) est premier, montrez que l’ideal (2, X) est maximal.L’anneau Z[X] est-il principal ?

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Exercice 3 : Soit k un corps et k[X, Y ] l’anneau des polynomes a deux indeterminees a coefficients dans k.Montrez que les ideaux (x) et (Y ) sont premiers et ne sont pas maximaux.

Definition VII-7 : Soit A un anneau intgre, on a vu dans le chapitre precedent qu’il existe un uniquemorphisme de l’anneau Z dans A, si le noyau est (0), A contient l’anneau Z des rationnels : on dit que Aest de caracteristique 0 ; si le noyau n’est pas (0) c’est un ideal premier (l’image de Z est un sous-anneaud’un anneau integre, donc integre) donc maximal. L’anneau A contient donc un sous-corps Z/pZ, on dit queA est de caracteristique p.

Lemme VII-8 : (Euclide) Soit A un anneau principal, a, b ∈ A \ 0 et x un element irreductible de Aqui divise le produit ab alors x divise a ou x divise b.

Preuve : Si x divise ab alors ab ∈ (x), cet ideal est premier donc soit a, soit b ∈ (x) et donc x divise soit asoit b.Lemme VII-9 : Soit I1 ⊂ I2 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ . . . une suite croissante d’ideaux d’un anneau principal A. Ilexiste un indice n tel ∀i ≥ 0 In+i = In.

Preuve : Soit I = ∪iIi, c’est un ideal. Puisque A est principal, il existe a ∈ A tel que I = (a). Mais puisquea ∈ ∪iIi, il existe un plus petit indice n tel que a ∈ In. On a alors ∀m ∈ N : I = (a) ⊂ In+m ⊂ ∪iIi = I.On choisit une famille d’elements xi representant les classes d’equivalence des elements irreductibles pour larelation ∼, autrement dit, quel que soit x irreductible, il existe un unique i tel que x ∼ xi. Notons S cettefamille de representants.

Theoreme VII-10 : Soit A un anneau principal et x ∈ A \ 0, il existe une unique famille finie T ⊂ Sd’elements irreductibles xt, deux a deux non associes et une famille unique d’entiers nt, t ∈ T telles quex ∼

∏t∈T xnt

t .

Remarques :1 Si x∈A la famille T =∅.2 On dit aussi parfois x=u

∏i∈S

xnii

, u∈A en precisant que les ni sont nuls a l’exception d’un nombre fini d’entre eux, ce qui

donne un sens au produit.

Preuve : Soit W la famille des elements de A qui ne sont pas produits d’elements irreductibles, supposonsque x ∈ W. Par hypothese, x n’est ni irreductible, ni inversible. On peut ecrire x = x1y1 ou ni x1 ni y1 nesont inversibles. Au moins un des deux appartient a W sinon x /∈ W, supposons x1 ∈ W. La divisibilitemontre (x) ⊂ (x1) et que (x) = (x1) car alors y1 serait inversible. On retrouve les memes hypotheses avecx1 au lieu de x. On construit ainsi, par recurrence une famille infinie strictement croissante d’ideaux ce quiest contradictoire avec le lemme 7. La famille W est vide et tout x ∈ A \ 0 est associe a un produit finid’elements irreductibles. Venons-en a l’unicite.

Supposons que x = u∏

t∈T xntt = v

∏6∈L ym

6 . Si la famille T est vide, x est inversible la famille L estdonc vide sinon x ∈ (y6) pour un F ∈ L et x /∈ A et symetriquement, si L est vide alors T est vide.

Supposons T = ∅, un element irreductible xt de la premiere decomposition divise un produit d’elementirreductibles, il est donc associe a l’un d’eux, il lui est egal d’apres nos choix. On peut diviser les deuxmembres par xt et on a une nouvelle egalite entre deux decompositions ayant chacune un facteur irreductiblede moins. On recommence le procede jusqu’a ce qu’un des ensembles soit vide. La premiere etape permetalors de conclure.

§2 AUTRES PROPRIETES –PGCD

On peut definir le pgcd et le ppcm de deux elements.Lemme VII-11 : Soit A un anneau principal a = u

∏j∈J x

nj

j et b = v∏

6∈L xm

6 des elements non nuls deA, alors a divise b si et seulement si J ⊂ L et pour tout j ∈ J , nj ≤ mj .

Preuve : Si a divise b, on ecrit b = ac et on decompose a et c en produit delements irreductibles, enreproupant les termes irreductibles identiques on obtient la decomposition de b. Il suffit de comparer cettederniere a celle de a pour avoir le resultat.Reciproquement, la propriete enoncee permet de construire c tel que b = ac.Corollaire VII-12 : Soit a = u

∏j∈J x

nj

j et b = v∏

6∈L xm

6 alors d = w∏

p∈P xrpp divise a et b si et

seulement si P ⊂ I ∩ J et pour chaque p ∈ P, rp ≤ min(np, mp).

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Preuve : C’est une application immediate du lemme precedent.Ceci conduit aux definitions suivantes qui generalisent celles connues pour Z, R[X], C[X] :Definition VII-13 : Soit a = u

∏j∈J x

nj

j et b = v∏

6∈L xm

6 alors on appelle un pgcd de a et b l’element

d =∏

s∈J∩L xmin(ns,ms)s .

On voit sur cette construction que tout diviseur commun de a et b est un diviseur de d.Definition VII-14 : Soit a = u

∏j∈J x

nj

j et b = v∏

6∈L xm

6 alors on appelle un ppcm de a et b l’element

m =∏

s∈J∪L xmax(ns,ms)s , ou l’exposant ns (resp. ms) vaut 0 si s /∈ J (resp. s /∈ L).

Il est evident que tout multiple commun de a et b est un multiple de m.Definition VII-15 : Si a et b n’ont que les elements inversibles comme diviseurs communs, on dit qu’ilssont premiers entre eux.

Le lemme d’Euclide se generalise en :Lemme VII-16 : (Gauss) Soit A un anneau principal, a, b ∈ A \ 0 si x et a sont premiers entre eux etx divise le produit ab alors x divise b.

Preuve : Les diviseurs irreductibles de x divisent ab et ne divisent pas a, comme ils divisent ab, ils divisentb (lemme d’Euclide), il suffit alors d’appliquer le lemme 9.

L’inconvenient avec ces definitions est que les elements pgcd, ppcm sont definis a multiplication prespar une unite. La notion d’ideal permet de passer outre.

Soit I = (a) (a = 0) et J = (b) (b = 0), on a vu que a divise b si et seulement si I ⊃ J , on dit toutnaturellement que I divise J .

Soit I et J deux ideaux non nuls, un ideal L = (z) divise I et J si et seulement si L ⊃ I et L ⊃ J ,comme L est un ideal L ⊃ I + J or on a vu au chapitre precedent que I + J est un ideal de A. On en deduitque tout pgcd de a et b est un generateur de I + J .Definition VII-17 : Soit I et J deux ideaux non nuls de l’anneau principal A on appelle pgcd(I, J) l’idealI + J .

On a donc un generalisation de l’identite de Bezout :

Theoreme VII-18 : a et b deux elements non nuls d’un anneau principal A et d un de leurs pgcd, il existeu et v ∈ A tels que ua + vb = d.

Un element m′ est un multiple commun de a et b si et seulement si (m′) ⊂ I = (a) et (m′) ⊂ J = (b) etdonc si et seulement si (m′) ⊂ I ∩ J . Comme I ∩ J est un ideal de A, on est conduit aDefinition VII-19 : Soit I et J deux ideaux non nuls de l’anneau principal A on appelle ppcm(I, J) l’idealI ∩ J .

Remarques :1 Si d est un pgcd de a et b, l’ideal pgcd de a et b est engendre par d (et de meme pour les ppcm).

2 La multiplication des ideaux I, J non nuls d’un anneau commutatif A est associative, commutative, possede un element

neutre A, en plus, si l’anneau A est principal IJ=IL implique J=L.

§3 COMPLEMENTS SUR k[X].L’anneau k[X] possede, via son addition, une structure de groupe abelien ; si on n’effectue la multipli-

cation des elements de k[X] que par des polynomes de degre inferieur ou egal a 0 (i.e par des elements de k)on obtient une structure de k-espace vectoriel, c’est celle qui est utilisee ci-dessous.Proposition VII-20 : k[X] est un k-espace vectoriel de dimension infinie.

Preuve : Supposons-le de dimension finie r, soit P1, . . . , Pr une base. On note d le maximum des degresdeg(Pi), 1 ≤ i ≤ r. Les proprietes du degre montrent que Xd+1 ne peut etre combinaison lineaire des Pi.

Cette situation se generalise a beaucoup d’autres. Soit A un anneau, k un corps commutatif et ι unmorphisme, necessairement injectif (pourquoi ?) de k dans A ; A est donc muni d’une structure de k-espace vectoriel par (λ, a) → ι(λ)a. En particulier k[X1, . . . , Xm] est un k-espace vectoriel et on verifieimmediatement que les polynomes symetriques en sont un sous-espace vectoriel ainsi que, pour n ≥ 0 fixe,les polynomes homogenes de degre n.

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Soit I un ideal bilatere de A, la relation d’equivalence associee a I est compatible avec la multiplication ;en particulier la multiplication des classes modulo I par les elements de ι(k) donne une structure de k-espacevectoriel a A/I. C’est le cas, en particulier pour k[X].

L’algorithme d’Euclide grace auquel on a demontre que k[X] est un anneau principal, permet de calculerdans k[X]/I.

Proposition VII-21 : soit (P ) = 0 un ideal de k[X] ou P est un polynome de degre n ≥ 1. L’anneauk[X]/(P ) est un k-espace vectoriel de degre d dont une base est formee des classes des Xi 0 ≤ i ≤ d− 1.

Preuve : On a la structure d’espace vectoriel d’apres la discussion precedente et le morphisme de passageau quotient est en particulier un morphisme surjectif de k-espace vectoriel. Soit Σ ∈ k[X]/(P ), Σ = π(S).On effectue la division euclidienne de S par P et on obtient S = BP + R d’ou l’on deduit Σ = π(R) ce quimontre que les classes des Xi (0 ≤ i ≤ d− 1) forment un systeme de generateurs. Montrons que ce systemeest libre. Soit 0 =

∑d−1i=0 λiX

i, par definition le polynome

∑d−1i=0 λiX

i est un multiple de P , la considerationdes degre montre qu’il est nul, donc les λi sont nuls.

Remarques :1 Lorsque le degre est egal a 0, le quotient est l’espace vectoriel 0.2 Lorsque P=Xd, il y a un isomorphisme evident avec l’espace vectoriel des polynomes de degre ≤d−1.

3 Lorsque P est irreductible l’ideal (P ) est maximal et k[X]/(P ) est un corps qui contient un sous-corps isomorphe a k. On

dispose la d’un procede de fabrication de corps.

Definition VII-22 : On considere que k[X] est inclus dans k[X, Y ], pour tout polynome P ∈ k[X] onappelle polynome derive de P et on note D(P ) (ou P ′) le coefficient de Y dans le polynome P (X + Y ).

Remarques :1 On peut faire formellement la meme chose avec un anneau commutatif A au lieu du corps k.

2 On ecrit P (X+Y ) dans k[X,Y ]=k[X][Y ] suivant les puissances de Y : P (X+Y )=P0(X)+Y P1(X)+Y 2P2(X)+... et D(P ) est

egal a P1. La formule du binome montre que P0(X)=P (X) et que D(Xi)=iXi−1.

On retrouve les proprietes bien connues de la derivation (au sens de l’analyse) :

Theoreme VII-23 : Si P et Q sont deux polynomes de k[X] on a D(P + Q) = D(P ) + D(Q), D(PQ) =PD(Q) + D(P )Q. La derivee d’un polynome constant est nulle, en particulier D est un endomorphisme duk-espaces vectoriel k[X].

Preuve : Ecrivons P (X + Y ) = P0(X) + Y D(P ) + Y 2S, Q(X + Y ) = Q0(X) + Y D(Q) + Y 2T ou S etT ∈ k[X, Y ] on a P +Q = P0 +Q0 +Y (D(P )+D(Q))+Y 2(S +T ) et PQ = P0Q0 +Y (P0D(Q)+D(P )Q0)+Y 2(P0T + Y TD(P ) + S(Q0(X) + Y D(Q) + Y 2T )). En substituant 0 a Y on voit que P0(X) = P (X) etQ0(X) = Q(X).

On a un morphisme de k-espaces vectoriels car si P est un polynome constant D(P ) = 0 et alorsD(PQ) = PD(Q).

On peut iterer la derivation : D2 = D D, Dr = D Dr−1. On retrouve en particulier la formule deTaylor pour les polynomes :

Theoreme VII-24 : Soit P ∈ k[X] de degre d et a ∈ k, P s’ecrit de maniere unique sous la forme

P =∑d

i=0 λi(X − a)i. Si k est de caracteristique 0, Dr(P ) est le polynome nul si r > d et un polynome dedegre d− r si r ≤ d. Le polynome P s’ecrit alors :

P =d∑

i=0

Di(P )(a)i!

(X − a)i

Preuve : Les polynomes (X − a)i sont de degre i, 0 ≤ i ≤ d, ils forment donc une base de l’espace vectorieldes polynomes de degre inferieur ou egal a d.

Soit Q = Xr (0 ≤ i ≤ r), le polynome Di(Xr) = r(r − 1) . . . (r − i + 1)Xr−i est de degre i− r (on esten caracteristique 0) donc 0 si i = r, les derivees suivantes sont le polynome nul. On applique ce calcul et lalinearite de la derivation a P .

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De la meme maniere pour 0 ≤ i ≤ r , Di((X − a)r) = r(r − 1) . . . (r − i + 1)(X − a)r−i, on ecritP =

∑dr=0 λr(X − a)i et on derive i fois, on obtient P (i) =

∑r6=i F(F − 1) . . . (F − i + 1)λ6(X − a)6−i. En

evaluant en a cela donne P (i)(a) = i!λi, en caracteristique 0, on en deduit λi.Remarque : La formule reste valable en caracteristique p > 0 tant que le degre du polynome est strictement plus petit que p.

§4 RACINES D’UN POLYNOME.

On a vu que l’on peut associer a un polynome P , a une indeterminee X a coefficients dans un corps k,une fonction P de k dans k.Definition VII-25 : Un element a de k est une racine de P si P (a) = 0.

Lemme VII-26 : Le polynome P ∈ k[X] admet a ∈ k comme racine si et seulement s’il est divisible parX − a.

Preuve : Il suffit d’effectuer la division euclidienne de P par X − a et d’evaluer la fonction polynomiale Psous ses deux ecritures en a.Lemme VII-27 : Les polynomes X − a sont irreductibles, si a = b les polynomes X − a et X − b sontpremiers entre eux.

Preuve : Il est evident que les seuls diviseurs de X − a qui ne sont pas des unites sont de degre 1 et doncassocies a X − a.

Pour la seconde partie 1a−b ((X − b)− (X − a)) = 1.

Proposition VII-28 : Soit P et Q ∈ k[X] deux polynomes de degre inferieur ou egal a n. Si les fonctionsP et Q prennent la meme valeur en n + 1 valeurs distinctes, les polynomes P et Q sont egaux.

Preuve : Soit a0, . . . , an les n + 1 valeurs distinctes telles que P (ai) = Q(ai). Le polynome P − Q estdivisible par chacun des X − ai, comme les ai sont distincts, il est divisible par leur produit qui est unpolynome de degre n + 1, or un polynome de degre inferieur ou egal a n divisible par un polynome de degren + 1 est nul.Corollaire VII-29 : Le morphisme P → P de k[X] dans A(k, k) est injectif si et seulement si k est infini.

Preuve : Si k est fini avec n elements, k est un groupe, note multiplicativement d’ordre n− 1. Pour toutx ∈ k on a xn−1 = 1 et donc pour tout x ∈ k : xn = x. Les fonctions polynomiales associees a Xn et a Xsont identiques.

Reciproquement, si k est infini et les fonctions polynomiales P , Q egales alors l’ensemble des a ou ellesprennent la meme valeurs est de cardinal superieur a max(deg(P ),deg(Q)) et P = Q. .Remarques :1) Lorsque k est infini il est legitime de ne pas faire de difference entre le polynome et la fonction polynomiale associee.

2) On rappelle (Theoreme VI-28, si le corps k est fini, k∗ est un groupe cyclique.

Exercice 4 : Soit k un corps, k[X1, . . . , Xm] l’anneau des polynomes a m indeterminees a coefficients dansk. Montrez que l’application P → P qui a chaque P ∈ k[X1, . . . , Xm] associe la fonction P de kn dans k estinjective si et seulement si k est infini.Definition VII-30 : Soit P ∈ k[X] et a ∈ k, on dit que a est racine d’ordre r ≥ 0 de P si P = (X − a)rQavec Q(a) = 0. Si r = 1 on dit que a est racine simple de P .

Theoreme VII-31 : Si k est un corps de caracteristique 0 et P ∈ k[X], un element a de k est racine d’ordre

r > 0 de P si et seulement si P (a) = D(P )(a) = . . . = Dr−1(P )(a) = 0 et Dr(P )(a) = 0.

Preuve : Le resultat est vrai pour r = 1 (c’est la definition d’une racine simple). On remarque alors, pourr > 1 que si P = (X − a)rQ avec Q(a) = 0 alors D(P ) = (X − a)r−1(rQ + (X − a)D(Q)). Le polynomeD(Q) admet a comme racine d’ordre r − 1. Il suffit alors de terminer par recurrence.

On peut generaliser la theorie de la divisibilite aux anneaux de polynomes a plusieurs indeterminees.Donnons les premiers elements :

Rappelons que l’on a vu que la division euclidienne (utilisee habituellement dans k[X]) se generalise aA[X] ou A est un anneau commutatif pourvu que le coefficient du terme de plus haut degre du diviseur soitinversible dans A. En consequence si P ∈ k[X1, . . . , Xm] et B ∈ k[X2, . . . , Xm] on peut toujours effectuer ladivision euclidienne de P par X1 −B : P = (X1 −B)Q + R ou Q ∈ k[X1, . . . , Xm] et R ∈ k[X2, . . . , Xm].

59

Lemme VII-32 : le polynome P ∈ k[X1, . . . , Xm] est divisible par X1−X2 si et seulement si en substituantX2 a X1 dans P on obtient le polynome nul (P (X2, X2, X3, . . . , Xm) = 0).Proposition VII-33 : Soit P ∈ k[X1, . . . , Xm] qui s’annule si, pour tout couple d’entiers (i, j) 1 ≤ i <j ≤ m, on substitue Xj a Xi alors P est divisible par

∏1≤i<j≤m(Xi −Xj).

Preuve : Puisque P (X1, X2, X3, . . . , Xm) = 0 c’est que l’on peut ecrire P = (X1 −X2)P1, la substitutionde X3 a X1 donne la divisibilite de P1 par X1 −X3 et on continue.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE VII : ANNEAUX PRINCIPAUX

Exercice 1 : Soit p un nombre premier impair ; sur (Z/pZ)∗, on considere le relation d’equivalence :

xRy ⇐⇒ y ∈ x,1x

, −x,−1x.

Montrez que R est une relation d’equivalence. Combien il-y-a-t-il d’elements dans chaque classe d’equiva-lence ? Montrez qu’il existe y dans Z/pZ tel que y2 = −1 si et seulement si p ≡ 1 mod 4.Exercice 2 : Soit p un nombre premier impair, dans Z/pZ[X], on considere les polynomes A = Xp−1 − 1et B = X2 + 1. Montrez que le reste de la division euclidienne de A par B est une constante et que cetteconstante est nulle si et seulement si p ≡ 1 modulo 4. Quelles sont les racines de A ? Retrouvez le resultatde l’exercice precedent.Exercice 3 : Soit k un corps commutatif, montrez que tout groupe fini de k est cyclique. Cette proprieteest-elle encore vraie si on enleve l’hypothese commutatif ?Exercice 4 : Soit A = Z((X)) l’anneau des series formelles a coefficients dans Z, quels sont les elementsinversibles de A ? En deduire les ideaux de A et montrez que A est un anneau principal.Exercice 5 : On dit qu’un anneau integre unitaire A est euclidien s’il existe une application f de A \ 0dans N \ 0 qui verifie les conditions suivantes :1) Pour tout x et tout y de A \ 0 f(xy) ≥ f(y).2) Pour tout a et tout b de A \ 0 il existe des elements q et r de A tels que

a = bq + r et (r = 0 ou f(r) < f(b))

a) Montrez que si la fonction f verifie en plus x = y =⇒ f(x−y) ≤ sup(f(x), f(y) le couple (q, r) est unique.b) Montrez que tout anneau euclidien est principal (on copiera la demonstration utilisee pour Z et k[X])c) Dans le corps Q(i), avec i2 = −1, pour x = a + bi, a, b ∈ Q on pose σ(x) = a− bi. Montrez que σ est unautomorphisme de corps. On pose f(x) = xσ(x). Montrez que pour toute fraction a

b d’elements de Z[i] ilexiste un element q de Z[i] tel que f(a

b − q) ≤ 12 . En deduire que Z[i] est un anneau euclidien. Quels sont

les elements inversibles de Z[i] ?d) Dans le corps Q(

√2) pour x = a + b

√2, a, b ∈ Q on pose σ(x) = a − b

√2. Montrez que σ est un

automorphisme de corps. On pose f(x) = |xσ(x)|. Montrez que pour toute fraction ab d’elements de Z[

√2]

il existe un element q de Z[√

2] tel que f(ab − q) ≤ 1

2 . En deduire que Z[√

2] est un anneau euclidien.e) Dans A = Z[

√2] montrez que l’ensemble des elements inversibles est forme des z ∈ A, f(z) = 1. Pour

la relation d’ordre induite sur A par celle de R, classer x + y√

2 ∈ A par rapport a +1,−1 en fonction dessignes de x et y. Montrez que parmi les z ∈ A superieurs a 1 il en existe un, z1 plus petit que tous lesautres. En deduire que A

+ est un groupe monogene.Exercice 6 : Soit α un element irreductible de l’anneau principal Z[i]. Montrez que α est aussi irreductible.Montrez que αZ[i] ∩ Z = pZ ou p est un nombre premier.

Soit α un nombre irreductible de Z[i]. Montrez que si (α) = (α) alors on peut choisir soit α = 1 + i soitα = p ∈ Z, premier. Calculez Z[i]/(1 + i).

Montrez que si p premier de Z est irreductible dans Z[i] alors −1 n’est pas un carre dans Z/pZ endeduire que ceci equivaut a p ≡ 3 mod 4.

Soit α un nombre irreductible de Z[i]. Montrez que si (α) = (α) alors αα est un nombre premier q deZ. En deduire que Z/qZ # Z[i]/(α).

60

Donnez la liste des elements irreductibles de Z[i].Exercice 7 : On considere l’anneau A = Z[

√−5], on pose pour z = x+y

√−5, x, y ∈ Z, N(z) = zz = a2+5b2.

Montrez que les seuls elements inversibles de A sont ±1.Demontrez que 3, 2+

√−5, 2−

√−5 sont des elements irreductibles de a ; calculez (2+

√−5)(2−

√−5)

et en deduire que A n’est pas principal.Que dire de l’enonce : Soit A un anneau integre a un element irreductible de A, l’ideal (a) est premier ?

Exercice 8 : Soit k un corps, montrez que l’anneau k[X, Y ]/(XY − 1) est un anneau principal.Exercice 9 : Soit k un corps quelconque, montrez qu’il y a un nombre infini de polynomes irreductibles dansk[X].Exercice 10 : Soit n un entier strictement positif et p un nombre premier. En utilisant [n

p ] ( la partie entierede n

p ) quel est le nombre de m, 1 ≤ m ≤ n divisible par p, par p2,. . . . En deduire la plus grande puissancede p divisant n!.

Si on ecrit n en base p : n =∑r

i=0 bipi, 0 ≤ bi ≤ p− 1 exprimez la plus grande puissance de p divisant

n! en fonction de ce developpement.Exercice 11 : Soit P = a0 + a1X + . . . + an−1X

n−1 + Xn un polynome a coefficients reels. On poseM = sup(1, |a0|+ |a1|+ . . . + |an−1|), montrez que les zeros reels de P sont dans l’intervalle [−M, M ].Exercice 12 : (Algorithme de Sturm) On se donne un polynome P a coefficients reels dont toutes lesracines sont simples. On construit les polynomes suivants, en modifiant legerement l’algorithme d’Euclide :

P0 = P ,P1 = P ′,P0 = Q1P1 − P2 (P2 = 0 ou degre de P2 < degre de P1),. . . ,Pi = Qi+1Pi+1 − Pi+2 (P2 = 0 ou degre de Pi+2 < degre de Pi+1),. . .Pr−1 = QrPr + 0

Montrez que Pr est un polynome constant.Soit [b, c] un intervalle de R tel que P0(b) = 0, P0(c) = 0 et d1, . . . , ds les nombres reels, classes par ordre

croissant, de l’intervalle [b, c] qui sont zero d’au moins un des polynomes P0,. . . , Pr−1. On les ordonneMontrez que chaque di ne peut etre zero de deux polynomes Pi consecutifs.On considere les suites P(x) = [P0(x), . . . , Pr(x)] pour x ∈ [b, c] et la fonction w de [b, c] dans Z qui a

chaque x ∈ [b, c] associe le nombre de changement de signes dans la suite P(x).Montrez que la fonction w est constante sur ]di, di+1[.On suppose que Pi(dj) = 0, i = 0, b < dj < c ; montrez que sur ]dj−1, dj+1[, Pi−1(x)Pi+1(x) < 0. En

deduire que l’indice i n’apporte pas de changement dans le calcul de w.On suppose que P0(di) = 0, et on choisit di−1 < x < di < x′ < di+1. On suppose P1(x) > 0 (resp. < 0)

montrez que w(x′) = w(x)− 1.Montrez que le nombre de zeros de P sur ]b, c[ vaut w(b)− w(c).

Exercice 13 : Soit P un polynome a coefficients reels de degre n, on definit la fonction V (x) comme etantle nombre de variations de signes de la suite P (x), P ′(x),. . . , P (n)(x). Soit [α, β] ⊂ R un intervalle tel queP (α)P (β) = 0. Montrez que le nombre de zeros de P sur ]α, β[ est inferieur ou egal a V (α) − V (β) et quela difference est paire :

Au voisinage d’un zero x d’ordre m de P , on ecrit le developpement de Taylor de P et de ses deriveeset on etudie leurs variations de signe.

Si x est un zero d’ordre k de P (p) on ecrit le developpement de Taylor de P (p) et de ses derivees et onetudie leurs variations de signe.Exercice 14 : Soit A un anneau, P, Q ∈ A[X] calculez le polynome derive du polynome compose P (Q).Exercice 15 : Soit P le polynome P = −1 +

∏ri=1(X − mi) ou m1, . . . , mr sont des entiers deux a deux

distincts. On suppose P reductible dans Z[X] et on ecrit P = (Q + 1)(R− 1). Calculez les valeurs possiblesde Q(mi) et de R(mi), en deduire l’irreductibilite de P .Exercice 16 : Montrez que tout polynome P a coefficients reels qui ne prend que des valeurs positives sur R

peut s’ecrire P = U2 + V 2, U, V ∈ R[X].

61

Exercice 17 : Soit P un polynome a coefficients complexes. Montrez que les racine de P ′ sont dans l’enveloppeconvexe des racines de P ( montrez que l’on peut se ramener au cas des racines simples, etudier ensuite ladecomposition en elements simples de P ′

P ).Exercice 18 : Soit E l’espace vectoriel de dimension 2 sur le corps F2 = Z/2Z rapporte a une base e1, e2.Quel est le nombre d’elements de E ? On considere le groupe G = GL2(F2) et on veut construire les elementsg ∈ G. Quel est le nombre de choix pour la premiere colonne. Cette colonne etant fixee, combien a-t-on dechoix pour la seconde ? En deduire le nombre d’elements de G. Montrez que G est isomorphe au groupe S3

des permutations de trois elements.Exercice 19 : Soit K un corps, GLn(K) le groupe des matrices n×n inversibles a coefficients dans K. Quelest le centre de GLn(K) ( on pourra faire intervenir les matrices Ei,j(λ), i = j formees a partir de la matricede l’identite en ajoutant un 1 au coefficient de la i-eme ligne j-eme colonne) ?

On note Pn−1(K) l’ensemble des droites de Kn. Montrez que GLn(K) opere transitivement mais nonfidelement sur Pn−1(K). Quel est le noyau de cette action ?Exercice 20 : Soit K un corps, E un K-espace vectoriel de dimension n rapporte a une base e1, . . . , en etG = GLn(K) le groupe des automorphismes de E. Montrez que G opere transitivement sur l’ensemble Ddes droites de E. Montrez que chaque droite est conservee globalement par le centre C de G. En deduireque le groupe quotient PGLn(K) opere transitivement et fidelement sur D.Exercice 21 : Soit p un nombre premier, k le corps Z/pZ, n > 0 un entier et E le k-espace vectoriel kn. Soit0 ≤ r ≤ n, quel est le nombre de sous-espace vectoriels de E de dimension r, n− r ? Expliquer le resultat.Exercice 22 : On garde les notations de l’exercice precedent avec K = F3 = Z/3Z le corps a trois elements,n = 2. Quel est le cardinal de D ? Quel est le cardinal de PGL2(F3) ? En deduire que PGL2(F3) = S4 legroupe des permutations de 4 elements.

62

CHAPITRE VIII : ANNEAUX DE POLYNOMES A PLUSIEURS INDETERMINEES

Au cours du chapitre IV on a defini les anneaux de polynomes a plusieurs indeterminees, on se propose ici d’en don-

ner quelques proprietes elementaires. On donne un corps k et on considere l’anneau k[X1, . . . , Xm] des polynomes a mindeterminees a coefficients dans le corps k.

§1 RESULTANT

On a vu dans le chapitre precedent que la theorie de la divisibilite se generalise aisement a un anneauprincipal. On a vu egalement que si k[X] (k etant un corps) est un anneau principal, il n’en est pas dememe des anneaux de polynomes a plusieurs indeterminees. Une des preoccupations lorsque l’on travailleavec des anneaux est de retrouver une theorie de la divisibilite, plusieurs voies sont possibles : anneaux deDedekind, anneaux factoriels qui depassent le cadre de ce cours. Dans ce paragraphe on suppose que A estun sous-anneau d’un corps k et que tout eement x de k peut s’ecrire x = a

b , a ∈ A, b ∈ A\0, en particulierA est un anneau integre (reciproquement, au second semestre, on montre que tout anneau integre est unsous-anneau d’un corps 〈〈le plus petit possible 〉〉 son corps des fractions verifiant ces conditions : l’anneauprincipal, Z est un sous-anneau du corps Q, k[X] un sous-anneau du corps des fractions rationnelles k(X)).

Definition VIII-1 : Soit A un anneau commutatif, F =∑n

i=0 aiYi et G =

∑mj=0 bjY

j (an = 0, bm = 0)deux polynomes de degres > 0 a coefficients dans A, on appelle resultant de F et G et on note R(F, G) ledeterminant de la matrice (n + m)× (n + m) suivante (appelee matrice de Sylvester) :

m colonnes︷ ︸︸ ︷ n colonnes︷ ︸︸ ︷

a0 0 . . . 0

a1 a0. . .

...

a2. . .

. . . 0...

. . .. . . a0

an−1. . .

. . . a1

an. . .

. . . a2

0. . .

. . ....

.... . . an an−1

0 . . . 0 an

b0 0 . . . . . . 0

b1 b0 0. . . 0

... b1. . .

. . ....

bm−1. . .

. . .. . . 0

bm bm−1. . .

. . . b0

0 bm. . .

. . . b1... 0

. . .. . .

......

. . .. . . bm bm−1

0 . . . . . . 0 bm

Exercice 1 : Ecrire les determinants qui donne le resultant pour les polynomes dont la somme des degres estinferieure a 7.

La propriete qui rend interessant le resultant est la suivante :

Lemme VIII-2 : Si A est un anneau integre, inclus dans un corps k, la nullite de R(F, G) equivaut al’existence de deux polynomes non nuls U et V de A[Y ] tels que deg(U) < deg(F ), deg(V ) < deg(G) etFV + GU = 0.

Preuve : On pose U = u0 + u1Y + . . . + un−1Yn−1, V = v0 + v1Y + . . . + vm−1Y

m−1 et on considerel’identite : (

∑ni=0 aiY

i)(v0 + v1Y + . . . + vm−1Ym−1)− (

∑mj=0 bjY

j)(u0 + u1Y + . . . + un−1Yn−1) = 0. Tous

les coefficients doivent etre nuls ce qui donne un systeme de n + m equations par rapport aux variablesu0, . . . , un−1, v0, . . . , um−1. Le determinant de la matrice associee a ce systeme est R(F, G). Sa nulliteequivaut (theoreme de Cramer) a l’existence d’une solution non nulle dans k et donc dans A (en multipliantpar les denominateurs).

Theoreme VIII-3 : Lorsque A est un corps (et plus generalement un anneau factoriel), F, G ∈ A[X] (degres de Fet G > 0) ont un facteur commun non constant si et seulement si R(F, G) = 0.

Remarque : On peut donc appliquer ce theoreme pour A = Z, A = k un corps, A = k[X] et plus generalement

A = k[X1, . . . , Xt].

63

Preuve : Tout revient a demontrer que F et G ont un facteur commun non constant si et seulement si Uet V sont comme dans la proposition precedente.

Si F = F1H, G = G1H ont un facteur commun non constant, il suffit de prendre U = F1, V = G1.Reciproquement si on a FV = GU dans k[X] qui est un anneau principal, tous les facteurs irreductibles

de F se trouvent dans GU ; ils ne peuvent tous se trouver dans U car deg(U) < deg(F ), il existe donc unfacteur irreductible de F qui divise G.Corollaire VIII-4 : Si A est un anneau integre, inclus dans un corps k il existe deux polynomes U et Vnon nuls de A[Y ] tels que deg(U) < deg(F ), deg(V ) < deg(G) et R(F, G) = FV + GU .

Preuve : Si le resultant est nul c’est le lemme 2 sinon ajoutons Xi−1Li (1 ≤ i ≤ m + n − 1, ou Li est lai-eme colonne) a la premiere ligne de la matrice definissant le resultant. Le determinant n’a pas change. Lesm premiers coefficients de cette ligne sont Xi−1F les n suivants (colonne m + 1 a m + n) sont Xi−m−1G.On developpe le resultant par rapport a la premiere ligne pour obtenir le resultat voulu.Definition VIII-5 : On appelle discriminant d’un polynome F de degre ≥ 2 et on note D(F ) le resultantR(F, F ′) de F et de sa derivee.

Corollaire VIII-6 : Un polynome P de k[X] (k de caracteristique nulle) de degre superieur ou egal a 2admet une racine double si et seulement son discriminant est nul.

§2 DERIVATION DANS K[X1, . . . , Xm].Soit P ∈ k[X1, . . . , Xm], on peut considerer k[X1, . . . , Xm] ⊂ k[X1, . . . , Xm, Y ] et substituer Xr + Y a

Xr dans P . On ecrit ce polynome suivant les puissances croissantes de Y : P = P0 + Y P1 + . . . + Y tPt oules Pi sont des polynomes appartenant a k[X1, . . . , Xm].Definition VIII-7 : Le coefficient P1 ∈ k[X1, . . . , Xm] de Y dans P (X1, . . . , Xr−1, Xr + Y, Xr+1, . . . , Xm)est appele polynome derive partiel de P par rapport a Xr et est note Dr(P ).

On retrouve les proprietes deja rencontrees.

Theoreme VIII-8 : Si P et Q sont deux polynomes de k[X1, . . . , Xm] et 1 ≤ r ≤ m on a(i) Dr(P + Q) = Dr(P ) + Dr(Q),(ii) Dr(PQ) = PDr(Q) + Dr(P )Q. En particulier Dr est un endomorphisme du k-espaces vectorielk[X1, . . . , Xm].(iii) Si 1 ≤ r ≤ s ≤ m on a Dr Ds(P ) = Ds Dr(P ) pour tout P ∈ k[X1, . . . , Xm].Preuve : les points (i) et (ii) se demontrent de la meme maniere que dans le chapitre precedent. Lapropriete (iii) est evidente si r = s ; sinon, on utilise le fait que Dr et Ds sont des endomorphismes dek-espaces vectoriels et que pour t /∈ r, s Dr(Xt) = Ds(Xt) = 0. On est donc ramene a P = Xa

r Xbs ou

l’identite se verifie immediatement.Les derivees partielles permettent de caracteriser les polynomes homogenes :

Theoreme VIII-9 : (Formule d’Euler) Si un polynome H ∈ k[X1, . . . , Xm] est homogene de degre n ona l’identite :

nH =m∑

i=1

XiDi(H).

Reciproquement, si on a cette identite et si k est de caracteristique 0, H est homogene de degre n.

Preuve : Tout polynome homogene de degre n s’ecrit de maniere unique∑(i1,...,im)|i1+...+im=n

ai1,...,imXi1

1 Xi22 . . . Xim

m

c’est dire que les monomes Xi11 Xi2

2 . . . Ximm (i1 + . . . + im = n) en forment une k-base. Les deux membres de

la formule a etablir sont des applications k-lineaires il suffit donc de se restreindre a un element de la base.On constate que XtDt(Xi1

1 Xi22 . . . Xim

m ) = itXi11 Xi2

2 . . . Ximm (que it soit nul ou non ). En faisant la somme

on constate que les polynomes homogenes de degre n verifient la formule d’Euler. Reciproquement, soitP ∈ k[X1, . . . , Xm] tel que nP =

∑mi=1 XiDi(P ). Ecrivons P comme somme de polynome homogenes de degre

64

i : P = H0+H1+. . .+Hr. La premiere partie et l’hypothese montrent donc que nP = +H1+2H2+. . .+rHr

d’ou l’on deduit 0 = nH0 +(n− 1)H1 + . . .+(n− r)Hr, l’unicite de l’ecriture implique que les (n− i)Hi sontnuls, comme k est de caracteristique 0, un seul des (n− i) peut etre nul, donc un des i vaut n et les autresHi sont nuls.Remarque : L’exemple P=X+Y +X3+Y 3 en caracteristique 2 montre la necessite de l’hypothese sur la caracteristique du

corps dans la reciproque.

On peut generaliser la formule de Taylor du chapitre precedent :

Theoreme VIII-10 : Soit P ∈ k[X1, . . . , Xm], (a1, . . . , am) ∈ km il existe des coefficients λi1,...,im tels queP =

∑i1,...,im

λi1,...,im(X − a1)i1 . . . (Xm − am)im . Si k est de caracteristique 0 :

P =∑i1

∑i2

. . .∑im

Di11 Di2

2 . . . Dimm (P )(a1, . . . , am)

i1!i2! . . . im!(X1 − a1)i1(X2 − a2)i2 . . . (Xm − am)im .

Preuve : Pour l’existence de l’ecriture, il suffit de remarquer que pour chaque r, Xr = (Xr−ar)+ar et ensuitedevelopper. Cette ecriture etant acquise effectuons les derivations sur chaque membre. Par linearite, il suffitde calculer : Di1

1 Di22 . . . Dim

m ((X1 − a1)j1(X2 − a2)j2 . . . (Xm − am)jm)(a1, . . . , am). La derivation donne unpolynome nul chaque fois que l’un des is > js et l’evaluation en as donne une valeur nulle chaque fois que js >is. Il reste donc Di1

1 Di22 . . . Dim

m ((X1−a1)i1(X2−a2)i2 . . . (Xm−am)im)(a1, . . . , am) qui est egal a i1!i2! . . . im!.Comme la caracteristique est differente de 0 on peut diviser et on a (X1−a1)i1(X2−a2)i2 . . . (Xm−am)im =D

i11 ...Dim

m ((X1−a1)i1 (X2−a2)

i2 ...(Xm−am)im )(a1,...,am)

i1!i2!...im! (X1 − a1)i1(X2 − a2)i2 . . . (Xm − am)im .

§3 POLYNOMES SYMETRIQUES.On a defini les polynomes symetriques dans le chapitre IV, certains d’entre eux jouent un role particulier,

nous allons les definir. Etant donne un monome Xi11 . . . Xim

m on peut fabriquer un polynome symetrique de lamaniere suivante :

∑σ∈Sm

Xi1σ(1) . . . Xim

σ(m), toutefois, si deux exposants ik et il sont egaux les m! monomesobtenus ne sont pas deux a deux distincts.Definition VIII-11 : Etant donne un polynome P , on appelle symetrise de P et on note s(P ) le polynomeobtenu en faisant la somme de tous les polynomes distincts obtenus a partir de P en effectuant toutes lespermutations possibles de X1, . . . , Xm. On note ΣXi1

1 . . . Ximm = s(Xi1

1 . . . Ximm ).

Lemme VIII-12 : Soit P un polynome symetrique de degre total n, si on ecrit P = H0 + . . . + Hn ou lesHi sont des polynomes homogenes de degre i, chacun des Hi est un polynome homogene.

Preuve : En effet P (Xσ(1), . . . , Xσ(m)) =∑n

i=1 Hi(Xσ(1), . . . , Xσ(m)) = P =∑n

i=1 Hi or la decompositiond’un polynome en somme de polynomes homogenes est unique.

Introduisons une nouvelle indeterminee X, placons nous dans k[X1, . . . , Xm][X] et construisons le poly-nome F =

∏mi=1(X − Xi). Si on le developpe suivant les puissances de X on definit les polynomes Σi de

X1, . . . , Xn par :

F = Xm +m∑

i=1

(−1)iΣiXm−i.

Proposition VIII-13 : Les Σi sont des polynomes symetriques de k[X1, . . . , Xm], et Σi = ΣX1X2 . . . Xi.

Preuve : Les coefficients des puissances de X dans F appartiennent a k[X1, . . . , Xm]. Toute permuta-tion de X1, . . . , Xm laisse invariant F , ses coefficients sont donc des polynomes symetriques par rapport aX1, . . . , Xm. Pour obtenir le coefficient de Xr, il faut prendre X dans r des facteurs du premier degre et leterme constant des m−r autres. Il en resulte en particulier que Σi est la somme de Ci

m monomes de degre i.

Definition VIII-14 : Les polynomes homogenes Σi s’appellent les polynomes symetriques elemen-taires.

Le polynome 1 est un polynome symetrique, la difference et le produit de deux polynomes symetriquesest encore un polynome symetrique. Il en resulte que les polynomes symetriques par rapport a X1, . . . , Xm

forment un sous-anneau de k[X1, . . . , Xm].

65

Si dans P ∈ k[X1, . . . , Xm] on substitue Σi a chaque Xi on obtient un polynome symetrique. Onconstruit ainsi un morphisme de k[X1, . . . , Xm] dans l’anneau des polynomes symetriques en m variables.Le theoreme suivant dit que c’est en fait un isomorphisme.

Theoreme VIII-15 : Etant donne un polynome symetrique P en m variables, il existe un et un seulpolynome Q ∈ k[X1, . . . , Xm] tel que P = Q(Σ1, . . . ,Σm).

Preuve : Si P est un polynome symetrique P =∑n

i=1 Hi avec les Hi homogenes ces Hi sont aussisymetriques. Il suffit donc de demontrer l’existence de Q pour les polynomes symetriques homogenes. Lademonstration de ce theoreme est facilitee par introduction d’une relation d’ordre sur les monomes.

Definition VIII-16 : On dit que Xi11 . . . Xim

m ≤ Xj11 . . . Xjm

m si pour l’ordre lexicographique de Nm on a larelation (i1, . . . , im) ≤ (j1, . . . , jm).

Proposition VIII-17 : Soit M = Xi11 . . . Xim

m un monome, son symetrise s(M) est un polynome homogenede degre i1 + i2 + . . .+ im. Si Xh1

1 . . . Xhmm est le plus grand des monomes constituant s(M), on a h1 ≥ h2 ≥

. . . ≥ hm.

Preuve : la premiere partie est evidente car le degre total d’un monome ne change pas si on permute lesvariables.

Si Xi11 . . . Xhm

m est un des monomes constituant s(M) et si hi < hi+1 en appliquons la transposition(i; i + 1) aux indeterminees on obtient un monome superieur a celui dont on est parti.

Remarque : Si on prend le produit P = P1P2 de deux polynomes, le terme le plus haut de P est le produit des termes les

plus hauts de P1 et de P2.

Suite de la demonstration : Supposons donc P homogene de degre n et symetrique. Ecrivons P enclassant les monomes suivant leur ordre decroissant et soit αXh1

1 . . . Xhmm le monome le plus haut. On sait

qu’alors h1 ≥ h2 ≥ . . . ≥ hm.On construit le polynome ν1 = αΣh1−h2

1 Σh2−h32 . . .Σhi−hi−1

i . . .Σhm−1−hm

m−1 Σhmm ou les Σi sont les polyno-

mes symetriques elementaires. Le polynome ν1 est homogene de degre h1−h2+2(h2−h3)+. . .+(m−1)(hm−1−hm) + mhm = h1 + h2 + . . . + hm−1 + hm = deg(P ). Cherchons le terme le plus eleve de ν1 pour la relationd’ordre sur les monomes. Ce sera donc Xh1−h2

1 (X1X2)h2−h3 . . . (X1X2 . . . Xm−1)hm−1−hm(X1 . . . Xm)hm c’esta dire Xh1

1 Xh22 . . . Xhm

m . On retrouve le terme de plus haut de P .Soit alors le polynome P1 = P−ν1 son terme le plus haut est strictement plus petit que Xh1

1 Xh22 . . . Xhm

m .On recommence et on construit ainsi une suite de polynomes homogenes symetriques νi tels que Pi =P − ν1− ν2− . . .− νi est homogene de degre total egal a deg(P ). Les monomes les plus hauts des Pi formentune suite strictement decroissante d’apres le procede de construction. Comme il n’y a qu’un nombre fini dehauteurs possibles, il existe un entier s tel que Ps = 0. On a donc demontre que P = ν1 + . . . + νs ce quinous assure l’existence de Q.

le lemme suivant etablit une propriete de P et Q dont l’unicite de Q resulte.

Lemme VIII-18 : Le degre total de Q est egal au degre partiel de P par rapport a chacune de ses variables.

Preuve : On relie les polynomes symetriques elementaires Σ6 par rapport a X1, . . . , Xm a ceux par rapporta X2, . . . , Xm notes Σ′

t au moyen des formules Σ1 = X1 + Σ′1, Σi = X1Σ′

i−1 + Σ′i pour 2 ≤ i ≤ m − 1 et

Σm = X1Σ′m−1.

Si Qp est la partie homogene de degre p de Q nous avons Qp(Σ1, . . . ,Σm) = Qp(X1 + Σ′1, . . . , X1Σ′

i−1 +Σ′

i, . . . , X1Σ′m−1) le terme de plus haut degre en X1 de ce polynome est Qp(X1, . . . , X1Σ′

i−1, . . . , X1Σ′m−1) =

Xp1Qp(1,Σ′

1, . . . ,Σ′i−1, . . . ,Σ

′m−1). Donc si Qp est homogene, non nul de degre total p, Qp(Σ1, . . . ,Σm) est

de degre p par rapport a X1.

On peut terminer la demonstration du theoreme :Soit P (X1, . . . , Xm) = Q(Σ1, . . . ,Σm) = T (Σ1, . . . ,Σm), par difference on a 0 = (Q − T )(Σ1, . . . ,Σm)

le degre partiel par rapport a X1 du membre de gauche est −∞ c’est le degre total de Q− T ce qui dit queP = T .

La demonstration de l’existence et de l’unicite fourni un algorithme de construction de Q a partir de P .

§4 THEOREME DE D’ALEMBERT-GAUSS.

66

On se propose de donner une demonstration de l’assertion C est algebriquement clos utilisant un mini-mum d’analyse. On verifiera que l’ensemble est coherent au plan de la logique (on n’utilise pas de resultatbase sur le theoreme dont on est en train d’etablir la preuve).

Theoreme VIII-19 : Le corps des nombres complexes est algebriquement clos.

Preuve : Soit P ∈ C[X], si P n’est pas a coefficients reels soit F = PP , c’est un polynome a coefficientsreels. Si F admet une racine a ∈ C il est divisible par X − a, ce dernier etant irreductible soit X − a diviseP , soit X − a divise P mais alors X − a divise P .

Supposons donc P a coefficients reels. Ecrivons le degre d de P sous la forme 2nq avec q impair. Sin = 0, d est impair et on sait que P possede une racine reelle. Nous allons proceder par recurrence surl’exposant n de 2 dans le degre de P . Supposons n ≥ 1 et montrons d’abord :Lemme VIII-20 : Il existe un corps K contenant C dans lequel P se decompose en produit de facteurs dupremier degre.

Preuve : Soit Q un facteur irreductible de P l’anneau C[X]/(Q) est un corps K1 contenant C et la classe a1

de X est une racine de P dans K1. On peut diviser P par X − a1 dans K1[X]. On se retrouve avec le memeprobleme avec K1 au lieu de C et un polynome de degre inferieur ou egal a d− 1. Le corps K recherche estobtenu en au plus d etapes.

Supposons donc K ⊃ C tel que P =∏d

i=1(X − xi) dans K[X]. Soit c ∈ R, on construit les elementsyi,j = xi + xj + cxixj (i ≤ j) de K et le polynome P1 =

∏1≤i≤j≤d(X − yi,j). Le polynome P1 est de degre

d1 = 12d(d + 1) = 2n−1q(2nq + 1) comme n ≥ 1 l’exposant de 2 dans d1 est n− 1. Le polynome P1 a comme

coefficient des fonctions symetriques des yi,j ce sont donc par construction des fonctions symetriques des xi

a coefficients reels. Le theoreme de la section precedente prouve que P1 est a coeficients reels.L’hypothese de recurrence montre alors que P1 possede une racine dans C. Il existe donc un couple

ic ≤ jc tel que zc = xic + xjc + cxicxjc ∈ C. Ceci est vrai pour chaque valeur de c ∈ R. Comme il n’y aqu’un nombre fini de couples (i, j) (1 ≤ i ≤ j ≤ d) possibles on peut trouver deux valeurs c et c′ distinctespour lesquelles (ic, jc) = (ic′ , jc′) notons (r, s) ce couple : zc = xr + xs + cxrxs et z′c = xr + xs + c′xrxs

appartiennent a C. Comme c = c′ on en deduit que xr + xs et xrxs ∈ C. On peut alors calculer xr et xs enresolvant une equation du second degre a coefficients complexes. Le polynome P a une racine complexe.

Nous allons deduire quelques consequences du theoreme d’Alembert-Gauss. Soit P ∈ C[X] un polynomenon constant. Quel que soit z ∈ C, P − z admet des racines. La fonction polynome P associee a P prendune infinite de valeurs.Lemme VIII-21 : Soit P ∈ C[X1, . . . , Xm] tel que la fonction polynomiale associee soit la fonction nulle,alors P est le polynome nul.

Preuve : La propriete est vraie si m = 1. Supposons la vraie pour m − 1 et soit P ∈ C[X1, . . . , Xm] dedegre inferieur ou egal a n par rapport a Xm. On peut donc ecrire P = P0 + P1Xm + . . . + PnXn

m ou les Pi

sont des polynomes par rapport a X1, . . . , Xm−1. Si la fonction P est identiquement nulle, c’est que pourchaque (m − 1)-uple le polynome P0 + P1Xm + . . . + PnXn

m est identiquement nul. Donc pour chaque i lafonction polynomiale Pi est identiquement nulle. Par l’hypothese de recurrence les Pi sont nuls et P l’estaussi.Proposition VIII-22 : Soit P ∈ C[X1, . . . , Xm] un polynome de degre > 0, la fonction polynomiale Pprend une infinite de valeurs et si m ≥ 2 l’ensemble des (x1, . . . , xm) ∈ Cm tels que P (x1, . . . , xm) = 0 estinfini. On l’appelle l’hypersurface algebrique des zeros de P , on la note V (P ).Preuve : Si P ne prend qu’un nombre fini de valeurs c1, . . . , cr, la fonction polynomiale associee a

∏ri=1(P −

ci) est nulle. Ce polynome est identiquement nul. Il existe donc i tel que P = ci ce qui est contradictoire.Pour la seconde assertion on ecrit encore P = P0 + P1Xm + . . . + PnXn

m ou les Pi sont des polynomes parrapport a X1, . . . , Xm−1 non tous nuls, pour chaque (m− 1)-uple on a un polynome en Xm.

Pour m = 2, si les Pi, 1 ≤ i ≤ n ne sont pas simultanement nuls, pour une infinite de m− 1-uples on aune valeur xm de Xm qui annule P , le resultat est verifie dans ce cas. Si les Pi, 1 ≤ i ≤ n sont simultanementnuls, P0 ne l’est pas, il a un nombre fini de racines et pour chacune d’elles on peut prendre x2 arbitraire. Lapropriete est verifiee pour m = 2.

Supposons maintenant m ≥ 3 et le resultat vrai jusque m − 1. Si les Pi, 1 ≤ i ≤ n ne sont passimultanement nuls, pour une infinite de m−1-uples on a une valeur xm de Xm qui annule P . Si on suppose

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que les Pi, 1 ≤ i ≤ n sont simultanement nuls, P = P0 on est ramene au meme probleme avec un polynomede (m− 1) ≥ 2 indeterminees, de degre > 0. L’hypothese de recurrence permet de conclure.

Pour m = 2 on parle de courbe algebrique plane, si m = 3 de surface algebrique.Definition VIII-23 : On dit que deux polynomes P et Q n’ont pas de facteur commun si les seuls polynomesdivisant P et Q sont les polynomes constants.

Theoreme VIII-24 : Soit P et Q deux polynomes de C[X, Y ] non constants, sans facteurs communs ; lescourbes algebriques planes associees a P et Q n’ont qu’un nombre fini de points communs.

Preuve : Considerons P, Q ∈ C[X][Y ] comme des polynomes en Y et calculons leur resultant R(P, Q), c’estun polynome en X qui ne peut etre nul (lemme 1) et on a une relation R(P, Q) = PV +QU . Si (x, y) est unpoint commun aux courbes associees a P et a Q, x est une racine de R(P, Q), il n’y a qu’un nombre fini dex possibles. On refait le raisonnement en considerant P et Q ∈ C[Y ][X] pour voir que y egalement ne peutprendre qu’un nombre fini de valeurs.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE VIII :ANNEAUX DE POLYNOMES A PLUSIEURS INDETERMINEES

Exercice 1 : Soit F un polynome homogene de degre n. Montrez que si F = F1F2 alors F1 et F2 sonthomogenes.Exercice 2 : Soit k un corps infini, F ∈ k[X1, . . . , Xn], on suppose que F (a1, . . . , an) = 0 pour tous lesn-uples (a1, . . . , an), montrez que F = 0.Exercice 3 : Soit P ∈ k[X], montrez que Y − P est un polynome irreductible de k[X, Y ].Exercice 4 : Soit P ∈ k[X] \ k[X]2, montrez que Y 2 − P est un polynome irreductible de k[X, Y ].Exercice 5 : Soit X un sous-ensemble de Kn (K un corps). Montrez que l’ensemble des polynomes deK[X1, . . . , Xn] qui s’annullent sur X forment un ideal.Exercice 6 : Soit F , G ∈ k[X1, . . . , Xn] des polynomes homogenes sans facteurs communs de degre r, r + 1respectivement, montrez que F + G est irreductible.

Exercice 7 : Montrez qu’il y a d + 1 monomes unitaires de degre d dans K[X, Y ] (K un corps) et (d+1)(d+2)2

monomes unitaires de degre d dans K[X, Y, Z].Soit V (d, n) l’ensemble des formes de degre d de K[X1, . . . , Xn]. Montrez que V (d, n) est un K-espace

vectoriel et que les monomes unitaires de degre d en forment une base. Donnez les dimensions de V (d, 1),V (d, 2),. . . , V (d, n).Exercice 8 : Soit I l’ideal de K[X, Y ] engendre par X et Y quelle est la dimension du K-espace vectorielK[X, Y ]/In.Exercice 9 : On appelle determinant de Vandermonde tout determinant de la forme :

1 x1 x21 . . . xn−1

1

1 x2 x22 . . . xn−1

2...

...... . . .

...1 xn x2

n . . . xn−1n

Calculez ce determinant.Exercice 10 : (lemme de Lazard) Pour n entier positif, on considere le polynome

Bn(X, Y ) = (X + Y )n −Xn − Y n

on construit alors les polynomes Cn(X, Y ) de la facon suivante :a)Si n = qr, avec q premier Cn(X, Y ) = 1

q Bn(X, Y )b) Si n n’est pas une puissance d’un nombre premier Cn(X, Y ) = Bn(X, Y ).

1) - Soit p un nombre premier qui divise tous les coefficients de Cn. Montrez que si n est une puisance dep, alors quel que soit m, mn ≡ m modulo p2.

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Montrez que si n = prs avec s premier a p alors (X + Y )s ≡ Xs + Y s modulo p.En deduire que les coefficients de Cn sont toujours entiers premiers entre eux dans leur ensemble.On suppose n = pr+1, en developpant l’identite Bpr (Xp+Y p) = [(X+Y )p−Bp(X, Y )]p

r−Xpr+1−Y pr+1

montrez que Cpr (Xp, Y p) ≡ Cpr+1(X, Y ) modulo p.2) - On considere les polynomes L(X, Y ) ∈ Q[X, Y ] homogenes de degre n verifiant les conditions :

(H) L(X, Y ) = L(Y, X) L(X, 0) = 0 L(X, Y ) + L(X + Y, Z) = L(X, Y + Z) + L(Y, Z)

Montrez que les polynomes Cn verifient ces conditions et que les polynomes P verifiant (H) forment unespace vectoriel. Calculer les coefficients de XaY bZn−a−b (a > 0, a + b > n).

Montrez que si l’on ecrit P =∑n−1

k=1 akXkY n−k, on a les relations : at+1(t+1) = a1Ctn−1 et at+1(t+1) =

at(n − t), en deduire que cet espace vectoriel est de dimension 1. Montrez que les polynomes L(X, Y ) ∈Z[X, Y ] homogenes de degre n verifiant (H) sont des multiples entiers de Cn.3) - On etudie le meme probleme dans Fp[X, Y ] et on garde la meme notation pour la reduction de Cn

modulo p. Montrez que les relations tablies en 2 permettent de determiner les polynomes P ∈ Fp[X, Y ]homogenes de degre n verifiant (H) lorsque n ≤ p.

On suppose maintenant n = mp, m > 1. En utilisant les relations etablies en 2, montrez que at = 0chaque fois que t est premier a p et en deduire que P (X, Y ) = P1(Xp, Y p) avec P1 homogene de degre m etverifiant (H).

Demontrer la relation Cm(Xp, Y p) = bCn(X, Y ) lorsque m est premier a p. En completant ce resultatavec la fin de la premiere question, montrez que L(X, Y ) ∈ Fp[X, Y ] homogenes de degre n verifiant lesconditions (H) sont des multiples de Cn.Exercice 11 : On considere l’anneau des polynomes a coeficients dans Q. Pour chaque entier n on poseEn = X(X−1)(...)(X−n+1)

n! avec E0 = 1.a) On definit un sous-ensemble E de Q[X] par E = P ∈ Q[X] | ∀m ∈ Z P (m) ∈ Z. Montrez que P est unsous-anneau de Q[X] et qu’il contient les En.b) Soit P ∈ E montrez qu’il existe une famille unique de coefficients an ∈ Z telle que P =

∑n anEn.

c) Soit p un nombre premier, montrez que quel que soit n Epn−En ∈ pE. En utilisant l’exercice 8 du chapitre

precedent, montrez que si n = a0 + a1p + . . . + akpk il existe λ, 1 ≤ λ < p tel que λEn −∏k

r=0 Eakpr soit

egal, modulo pE a un polynome de degre strictement inferieur. En deduire que l’anneau E/pE contient dessous-anneaux isomorphes a Fp[X1, . . . , Xt]/(Xp

1−X1, . . . , Xpt −Xt) et qu’il est la reunion de ces sous-anneaux.

Exercice 12 : Dans Z[X1, . . . , Xn] on note Sk =∑n

i=1 Xki (les sommes de Newton) ; on veut prouver les

formules suivantes (formules de Newton) qui les relient aux polynomes symetriques elementaires Σ6 :pour k ≥ n :

Sk − Σ1Sk−1 + Σ2Sk−2 + . . . + (−1)nΣnSk−n = 0

pour k ≤ n :Sk − Σ1Sk−1 + Σ2Sk−2 + . . . + (−1)kkΣk.

On se place dans Z[T, X1, . . . , Xn] et on considere le polynome P = (T −X1)(. . .)(T −Xn) :a) Montrez que

∑ni=1

PT−Xi

= nTn−1 − (n− 1)Σ1Tn−2 + . . . + (−1)n−1Σn−1.

b) Montrez que PT−Xk

= P−P (Xk)T−Xk

= Un−1 +∑n−1

p=1 Ap,kTn−1−p avec Ap,k = Xpk +

∑pj=1(−1)jXp−j

k Σj .Conclure.

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