Algèbre Tome 1

ALGBRETome 1

GROUPES, CORPSET THORIE DE GALOIS

Daniel Guin Thomas Hausberger

Collection dirige par Daniel Guin

17, avenue du HoggarParc dactivits de Courtabuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, France

propos de la couverture :

Le groupe de Galois de lquation x4 2 = 0 est le groupe de Galois G = Gal(K/Q) ducorps K = Q(i, 4

2) engendr sur Q par les racines complexes 42,i 42 du polynme x4 2.

Il existe un lment de G dni par (i) = i et ( 4

2) = i 4

2 et un lment dni par (i) = i et ( 42) = 42. Ces deux lments engendrant G, on voit que le groupe de Galois estisomorphe au groupe didral D4 des isomtries du carr.

Les sous-corps de K correspondent aux sous-groupes de G par la correspondance de Galois :par exemple, H = correspond le sous-corps Q(i) des invariants de K sous laction de H . Onpeut reprsenter les inclusions entre les groupes et les extensions de corps par les diagrammesci-dessous, o chaque che reprsente une inclusion.

K = Q(i, 4

2)

Q(i 4

2)

Q( 4

2)

Q(i,

2)

Q((1 + i) 4

2)

Q((1 i) 42)

Q(

2)

Q(i)

Q(i

2)

Q

D4 = ,

2,

Z/4Z

2,

2

2

3

{e}

Cette correspondance renverse le sens des inclusions, donc celui des ches. On peut sereprsenter les deux diagrammes comme deux arbres qui seraient reet lun de lautre, danslesprit de la gravure les 3 mondes dEscher. Lquation x4 2 = 0 est le trait dunion entrele monde des groupes et celui des corps. Peut-tre le troisime monde est-il celui de lesprit dumathmaticien dont linspiration et la raison ont fait natre les concepts, en se heurtant auxcontingences de lunivers mathmatique ?

Le groupe de Galois est le groupe des relations rationnelles entre les racines, par rapportau corps de base Q. Il est trivial lorsque toutes les racines sont direncies sur la base. Faireune extension, par exemple adjoindre le nombre imaginaire i, permet de regrouper les racines encatgories, selon quelles sont invariantes sous ou pas. Cest lide qui a guid Galois lors dellaboration de son trait sur la rsolution des quations : briser progressivement les symtriesentre les racines. Ces travaux ont permis de faire merger les structures contemporaines degroupe et de corps.

Algbre T1

En gnral, les formules donnant les racines ne sont pas connues. La connaissance du groupede Galois nous renseigne sur leur expression. Lorsque le groupe est rsoluble, cest--dire lorsquilexiste une suite G G1 . . . Gn = {e} forme de sous-groupes normaux embots tels queles quotients successifs soient abliens, alors les solutions sont exprimables par radicaux. Cestle cas sur notre exemple : D4 Z/4Z {e}.

Le dessin de la couverture a t ralis par Jos Leys(1), ingnieur passionn dimagerie ma-thmatique, reconnu internationalement dans le monde de ldition scientique pour la qualit deses illustrations, en relation directe avec le substrat mathmatique. Les auteurs le remercientchaleureusement.

(1)http://www.josleys.com

iii

Imprim en France

ISBN : 978-2-86883-974-9

Tous droits de traduction, dadaptation et de reproduction par tous procds rservs pour touspays. Toute reproduction ou reprsentation intgrale ou partielle, par quelque procd que ce soit, despages publies dans le prsent ouvrage, faite sans lautorisation de lditeur est illicite et constitue unecontrefaon. Seules sont autorises, dune part, les reproductions strictement rserves lusage privdu copiste et non destines une utilisation collective, et dautre part, les courtes citations justiespar le caractre scientique ou dinformation de luvre dans laquelle elles sont incorpores (art. L.122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la proprit intellectuelle). Des photocopies payantes peuventtre ralises avec laccord de lditeur. Sadresser au : Centre franais dexploitation du droit de copie,3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tl. : 01 43 26 95 35.

c 2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc dactivits de Courtabuf,91944 Les Ulis Cedex A

TABLE DES MATIRES

Avant-propos xiii

Avertissement xvii

Premire partie GROUPES 1

I Gnralits sur les groupes 3I.1 Dnitions exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Sous-groupes morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . 8

A - Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8B - Sous-groupes engendrs . . . . . . . . . . . . . . . . 11C - Ordre dun groupe, dun lment . . . . . . . . . . . 13D - Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.3 Produit direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Thmes de rexion 25TR.I.A. tude du groupe symtrique Sn . . . . . . . . . . . . . . 25TR.I.B. Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TR.I.C. Dtermination des groupes dordre n, pour 1 n 9 . . 30

Travaux pratiques 33TPI. tude de quelques groupes de permutations . . . . . . . . 33

II Groupes quotients 37II.1 Classes modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . 37II.2 Compatibilit avec la structure . . . . . . . . . . . . . . . 41II.3 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Algbre T1

II.4 Caractrisation des sous-groupes normaux . . . . . . . . . 45II.5 Sous-groupes normaux et morphismes . . . . . . . . . . . 47II.6 Sous-groupes dun groupe quotient . . . . . . . . . . . . . 48

Thmes de rexion 53TR.II.A. Sous-groupes drivs et ablianisation . . . . . . . . . . . 53TR.II.B. tude des sous-groupes normaux de Sn . . . . . . . . . . 54TR.II.C. tude des automorphismes de Sn . . . . . . . . . . . . . . 57

Travaux pratiques 59TP.II. Classes, structure quotient et systmes gnrateurs forts 59

III Prsentation dun groupe par gnrateurs et relations 65III.1 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65III.2 Gnrateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Thmes de rexion 75TR.III.A. Prsentation du groupe quaternionique H . . . . . . . . . 75TR.III.B. Groupes de prsentation nie . . . . . . . . . . . . . . . . 75TR.III.C. Quelques proprits des groupes libres . . . . . . . . . . . 76TR.III.D. Produit libre de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

IV Groupes oprant sur un ensemble 81IV.1 Dnitions Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.2 Stabilisateurs Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84IV.3 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A - Groupes oprant sur un groupe . . . . . . . . . . . . 87B - Produit semi-direct de sous-groupes . . . . . . . . . 87C - Produit semi-direct de groupes . . . . . . . . . . . . 88

IV.4 Oprations transitives, dles . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.5 Points xes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Thmes de rexion 93TR.IV.A. Groupes didraux Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93TR.IV.B. Groupe des isomtries du cube . . . . . . . . . . . . . . . 94TR.IV.C. Produits et extensions de groupes . . . . . . . . . . . . . 94TR.IV.D. Groupes libres de rang 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Travaux pratiques 99TP.IV.A. Gnrateurs et relations, autour de lalgorithme

de Todd-Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

vi

Table des matires

TP.IV.B Actions k-transitives, formule de Burnsideet numrations de Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

V Les thormes de Sylow 117V.1 Le premier thorme de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . 117V.2 Le second thorme de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . 119V.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Thmes de rexion 125TR.V.A. Int(S6) = Aut(S6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125TR.V.B. Dtermination des groupes dordre n, n 15 . . . . . . . 126TR.V.C. Dtermination des groupes dordre pq . . . . . . . . . . . 127

VI Groupes abliens 129VI.1 Somme directe de groupes abliens . . . . . . . . . . . . . 129

A - Somme directe de sous-groupes dun groupe ablien . 129B - Somme directe de groupes abliens . . . . . . . . . . 131C - Facteur direct dun groupe ablien . . . . . . . . . . 132

VI.2 Groupes abliens libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A - Dnition - Proprit universelle . . . . . . . . . . . 133B - Rang dun groupe ablien libre . . . . . . . . . . . . 137C - Sous-groupes dun groupe ablien libre . . . . . . . . 140

VI.3 Groupes abliens de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 142VI.4 Structure des groupes abliens de type ni . . . . . . . . 145

Thmes de rexion 155TR.VI.A. Rang dun groupe libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155TR.VI.B. Groupes divisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156TR.VI.C. Calcul des facteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Travaux pratiques 161TP.VI.A. Algorithmes de Gauss-Jordan, de Hermite et de Smith . . 161TP.VI.B. Courbes elliptiques et groupe de Mordell . . . . . . . . . 166

VII Groupes rsolubles 177VII.1 Suites de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177VII.2 Suites de Jordan-Hlder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179VII.3 Groupes rsolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181VII.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

vii

Algbre T1

Deuxime partie THORIE DES CORPS 185

VIII Anneaux de polynmes 187VIII.1 Dnitions - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187VIII.2 Idaux Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190VIII.3 Idaux maximaux, idaux premiers . . . . . . . . . . . . . 194VIII.4 Produit danneaux - Thorme chinois . . . . . . . . . . . 196VIII.5 Corps des fractions dun anneau intgre . . . . . . . . . . 198VIII.6 Anneaux de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199VIII.7 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205VIII.8 Divisibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210VIII.9 Irrductibilit des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . 212VIII.10 Racines Ordre de multiplicit . . . . . . . . . . . . . . . 217VIII.11 Polynmes symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Thmes de rexion 225TR.VIII.A. Critre dirrdutibilit par extension . . . . . . . . . . . . 225TR.VIII.B. Critre dirrductibilit par rduction . . . . . . . . . . . 226TR.VIII.C. Rsultant - Discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227TR.VIII.D. Algbres - Algbres de polynmes . . . . . . . . . . . . . 228

Travaux pratiques 231TP.VIII. Entiers de Gauss et sommes de deux carrs . . . . . . . . 231

IX Gnralits sur les extensions de corps 237IX.1 Corps premiers Caractristique dun corps . . . . . . . 237IX.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Thmes de rexion 243TR.IX.A. Corps nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243TR.IX.B. Corps des quaternions et thorme des quatre carrs . . . 244

Travaux pratiques 249TP.IX.A. Factorisation des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . 249TP.IX.B. Les quaternions de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 259

X K-morphismes et groupe de Galois dune extension 263X.1 K-morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263X.2 Groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

viii

Table des matires

X.3 Degr dune extension et ordre du groupe de Galois . . . 266X.4 Corps intermdiaires et sous-groupes du groupe de Galois 268

XI Extensions algbriques extensions transcendantes 271XI.1 Extensions algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271XI.2 Extensions transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 276XI.3 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Thmes de rexion 285TR.XI.A. Constructions la rgle et au compas . . . . . . . . . . . 285TR.XI.B. Thorme de Lroth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Travaux pratiques 289TP.XI. Nombres algbriques et polynme minimal . . . . . . . . 289

XII Dcomposition des polynmes Cltures algbriques 299XII.1 Corps de rupture et corps de dcomposition

dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299XII.2 Cltures algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Thmes de rexion 311TR.XII. Plongements dans une clture algbrique . . . . . . . . . 311

Travaux pratiques 315TP.XII. Calculs dans les corps de nombres . . . . . . . . . . . . . 315

XIII Extensions normales, sparables 321XIII.1 Extensions et lments conjugus . . . . . . . . . . . . . . 321XIII.2 Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322XIII.3 Extensions sparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326XIII.4 lments primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331XIII.5 Norme et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Thmes de rexion 337TR.XIII.A. Corps parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337TR.XIII.B. Extensions insparables et radicielles . . . . . . . . . . . . 337TR.XIII.C. Drivations et extensions sparables . . . . . . . . . . . . 339

ix

Algbre T1

Troisime partie THORIE DE GALOISET APPLICATIONS 343

XIV Extensions galoisiennes Thorie de Galois des extensionsnies 345XIV.1 Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345XIV.2 Clture galoisienne dune extension sparable . . . . . . . 348XIV.3 Thormes fondamentaux de la thorie de Galois . . . . . 348XIV.4 tude dun exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

Thmes de rexion 355TR.XIV. Thorie de Galois des extensions innies . . . . . . . . . . 355

Travaux pratiques 359TP.XIV. Autour de la correspondance de Galois . . . . . . . . . . 359

XV Racines de lunit Corps nis Extensions cycliques 367XV.1 Racines de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367XV.2 Corps des racines n-ime de lunit . . . . . . . . . . . . . 369XV.3 Polynmes cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371XV.4 Corps nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373XV.5 Extensions cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

Thmes de rexion 381TR.XV.A. Symboles de Legendre. Loi de rciprocit quadratique . . 381TR.XV.B. Interprtation cohomologique du thorme Hilbert 90 383TR.XV.C. Irrductibilit du polynme Xn a . . . . . . . . . . . . 384

Travaux pratiques 387TP.XV. Racines de lunit dans un corps ni et codes BCH . . . . 387

XVI Rsolubilit par radicaux des quations polynomiales 399XVI.1 Extensions radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399XVI.2 Rsolubilit des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . 402XVI.3 Caractrisation des polynmes rsolubles . . . . . . . . . 406

Thmes de rexion 409TR.XVI. Rsolution des quations polynomiales de degrs 3 et 4 409

Travaux pratiques 413TP.XVI. Thorie de Galois constructive . . . . . . . . . . . . . . . 413

x

Table des matires

XVII Polygones rguliers constructibles et nombres de Fermat 431XVII.1 Points constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431XVII.2 Constructibilit des polygones rguliers . . . . . . . . . . 434

Appendice 4391 Ensembles ordonns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4392 Cardinaux Ensembles innis . . . . . . . . . . . . . . . 442

Bibliographie 449

Index terminologique 451

xi

AVANT-PROPOS

La trs longue histoire de ltude des nombres, puis des quations, a permisde remarquer des analogies entre certaines proprits vries par des objets ma-thmatiques de natures direntes, par exemple, les nombres et les polynmes.Cela a conduit les mathmaticiens, en particulier au XIXe sicle, tenter de d-gager une axiomatique qui rende compte des raisons profondes de ces analogies.Il est alors apparu que ces objets, de natures direntes, possdaient les mmes structures algbriques, par exemple, groupe, espace vectoriel, anneau, etc.

Il devint alors vident quil tait plus ecace dtudier ces structures pourelles-mmes, indpendamment de leurs ralisations concrtes, puis dappliquer lesrsultats obtenus dans les divers domaines que lon considrait antrieurement.

Lalgbre abstraite tait ne.

La notion de groupe (chapitres I VII) est apparue dans ltude des qua-tions. Elle a notamment permis dapporter, via la thorie de Galois (cha-pitre XIV), une rponse dnitive la non rsolubilit, par radicaux, des quationspolynomiales de degr suprieur ou gal cinq (chapitre XVI).

Ensuite, lintroduction des groupes en gomtrie a t lorigine de dvelop-pements fconds, qui ont compltement modi lessence mme de cette disciplineancestrale. Dans un premier temps, ils sont intervenus comme groupes de dpla-cements dans lespace euclidien pour aner ltude des gures classiques. Plustard, doutils dans ltude de la gomtrie, les groupes en sont devenus le cur :une gomtrie, euclidienne ou non, est ltude des notions et proprits qui res-tent invariantes par un groupe donn de transformations. La gomtrie est doncdevenue une branche de la thorie des groupes.

Enn, lexistence de groupes a t mise en vidence, non seulement dans laquasi-totalit des mathmatiques, mais galement en physique, o cette structurealgbrique joue un rle trs important dans les dveloppements contemporains,en mcanique, en chimie, en biologie, en linguistique, en psychologie.

Algbre T1

Ltude des nombres entiers remonte la plus haute antiquit, mais cestltude des nombres algbriques, au XIXe sicle, qui a conduit aux notionsdanneau et de corps.

Ltude de la divisibilit dans les nombres entiers est base sur la propritfondamentale suivante : tout nombre entier scrit, de manire unique , commeproduit de nombres premiers. Comme pour toutes les structures algbriques im-portantes, la structure danneau apparat dans de nombreuses situations danslesquelles les lments ne sont plus des nombres entiers. Cest en particulier le casdes polynmes. Il est donc utile dtudier le notion de divisibilit dans des an-neaux gnraux et de voir si lanalogue de la dcomposition en produit de nombrespremiers existe : on lappelle alors dcomposition en produit dlments irrduc-tibles .

Lide essentielle, pour cela, a t lintroduction de la notion didal : ellepermet de formuler des noncs qui gnralisent ceux des proprits usuelles dela divisibilit des nombres entiers. En particulier, la gnralisation aux idaux dela proprit de dcomposition en produit dirrductibles , associe la notiondextension de corps, a permis de faire de trs grands progrs en arithmtique.

Comme dans le cas des groupes, la structure danneau a donn naissance uneapproche algbrique de la gomtrie, en particulier des courbes et des surfaces : lagomtrie algbrique. Cette dmarche algbrique a t galement applique,avec beaucoup decacit, en analyse groupes topologiques, espaces vectorielsnorms, algbres de Banach.

Ltude de la rsolubilit et de la rsolution des quations algbriques, cest--dire des quations du type

anxn + an1xn1 + + a1x + a0 = 0

a t une pope, certainement la plus longue de lhistoire des mathmatiques,qui sest droule sur plus de 3500 ans.

Les premires traces crites de problmes se ramenant la rsolution dunequation du second degr, ax2 +bx+c = 0, apparaissent sur des tablettes babylo-niennes 1700 ans avant notre re et ces documents montrent que les babylonienssavaient rsoudre ces quations lorsque les racines sont positives (et les coecientsdans un certain sous-anneau de R). Ce furent ensuite les problmes gomtriquesde duplication du cube et de trisection de langle (cf. chapitre XI) qui conduisirentles mathmaticiens grecs sintresser, ds le IVe sicle avant J.-C., aux quationsdu troisime degr, mais il fallut attendre lcole mathmatique italienne de la re-naissance, au XVIe sicle, pour que des formules explicites donnent les solutionsde ces quations et, dans la foule, celles des quations du quatrime degr.

xiv

Avant-propos

Le fait, remarquable, que ces formules expriment les solutions de lquation enfonction de ses coecients aux moyens des quatre oprations lmentaires (addi-tion, soustraction, multiplication, division) et de lextraction de racines (carres,cubiques) incita les mathmaticiens du XVIIe et du XVIIIe sicles rechercherdes formules analogues pour les quations de degr suprieur ou gal 5. Ce nestquau XIXe sicle que le point nal fut mis cette tude, en montrant limpos-sibilit de lexistence gnrale de telles formules et en caractrisant les quationspour lesquelles cela tait possible (cf. chapitre XVI).

Cette uvre gigantesque mobilisa les mathmaticiens parmi les plus grandsde lHistoire : Pythagore, Euclide, Diophante, Eratosthne, Al-Khowarizmi, Brah-magupta, Khayyam, Tartaglia, Cardan, Bombelli, Ferrari, Descartes, dAlembert,Euler, Vandermonde, Lagrange, Gauss, pour sachever par les travaux dAbel etde Galois.

Cest ltude des quations algbriques qui est lorigine de la cration etdu dveloppement de lalgbre, dont le nom provient du titre dun trait dAl-Khowarizmi. Dabord exclusivement dvolue au calcul, lintroduction des outils(nombres ngatifs, extraction de racines, nombres complexes) et llaborationdes rgles dutilisation de ces objets, lalgbre a volu vers ce quelle est mainte-nant, ltude des structures. Bien que non explicitement formules, les structuresde groupe et de corps sont prsentes dans les travaux de Galois, dont lapport leplus signicatif a t de montrer que ltude de la rsolubilit des quations alg-briques se ramenait ltude dun groupe associ chacune des quations. Commecest souvent le cas, lapport dides nouvelles profondes pour tudier un problmedenvergure irradie lensemble des mathmatiques. Cest ainsi quon retrouve, en-core maintenant, cette ide fconde de Galois dans de nombreux domaines, enalgbre videmment, mais aussi, par exemple, en gomtrie et topologie (thoriedes revtements) et en analyse (thorie de Galois direntielle).

La notion de corps na t formalise quau dbut du XXe sicle par Dedekind.Cette notion, dont lintrt dpasse largement le cadre des quations algbriques,permet de donner une prsentation conceptuelle et gnrale de ltude de cesdernires. De plus, la notion dextension de corps et son degr (qui nest riendautre que la dimension dun espace vectoriel) a permis, par exemple, de donner,aprs plus de vingt-trois sicles deorts, une rponse dnitive aux problmes dela duplication du cube ou de la trisection de langle (chapitre XI).

Ceci est lun des nombreux exemples de la puissance des ides et des mthodesalgbriques et illustre la ncessit de dgager les concepts fondamentaux qui per-mettent de formaliser, un niveau convenable de gnralit, des problmes dont

xv

Algbre T1

la rsolution rsiste toutes les investigations qui restent internes au cadre danslequel ces problmes sont poss.

Comme il a t rappel ci-dessus, lide fondamentale de la thorie de Galoisest dassocier une quation (ou une extension de corps), un groupe dont lesproprits rendent compte de celles de lquation (ou de lextension). Il faut donc,pour dcrire et utiliser la thorie de Galois, avoir une bonne matrise de la thorielmentaire des groupes. Cest pour cette raison que nous avons voulu prsenteren un seul livre la thorie des groupes et la thorie de Galois. Dans une premirepartie nous traitons de la thorie des groupes, dans une deuxime partie de lathorie des corps et dans une troisime de la thorie de Galois. Lobjet dtudeprincipal de la thorie de Galois tant les polynmes, nous avons insr au dbutde la deuxime partie un chapitre sur les anneaux de polynmes (chapitre VIII).

Le tome 2 de ce trait sera consacr aux anneaux, dont limportance capitale,entre autres en arithmtique ou en thorie des nombres, a t souligne plus haut,ainsi quaux modules et lalgbre multilinaire.

Par ce programme, ces deux ouvrages sadressent aux tudiants de L3 et mas-ter, leur contenu faisant partie de la culture normale dun candidat lagrgationde mathmatiques.

xvi

AVERTISSEMENT

Depuis plusieurs annes, lenseignement de lalgbre en L1-L2 se limite gnra-lement lalgbre linaire. Cet ouvrage, en deux volumes, donne une prsentationdes thmes dun enseignement dalgbre gnrale groupes, anneaux, corps et donne une introduction lalgbre multilinaire, sans connaissance pralablencessaire de ces domaines. On sest volontairement limit un expos simpledes concepts fondamentaux qui trouvent leurs places dans un enseignement deL3-M1.

Chaque chapitre comporte, dans le cours du texte, des exemples et des exer-cices qui illustrent les notions dveloppes, au fur et mesure quelles apparaissent.Les exercices signals par le symbole () sont plus diciles que les autres.

la n de chacun des chapitres, on trouvera des thmes de rexion (TR) etdes travaux pratiques (TP).

Les TR se prsentent sous forme de questions, dont lnonc contient la r-ponse, qui guident le lecteur dans ltude dun objet ou dune notion particulire,illustration, complment ou approfondissement du cours. Ils sont de trois types :

Ceux qui sont signals par le symbole doivent tre considrs comme ducours et doivent tre tudis comme tels. Ils sont utiliss sans rappel dans leschapitres suivants.

Ceux qui sont signals par le symbole sont des problmes dapplicationqui utilisent des notions dveloppes dans le chapitre concern ou dans ceux quiprcdent.

Ceux qui sont signals par le symbole sont des approfondissements pluttdestins aux tudiants prparant lagrgation.

Certains de ces TR sont repris dans plusieurs chapitres : on peut ainsi constatercomment lenrichissement de la thorie permet dtudier, de faon de plus en plusne, un mme objet.

Algbre T1

Les travaux pratiques ne sont pas des TP dinformatique, ni dalgorithmique,mais plutt de mathmatiques assistes par ordinateur , bien que lon soitnaturellement amen dtailler des algorithmes et discuter de leur pertinence.Ltude formelle de la complexit a t volontairement lude. Au besoin,le lecteur pourra consulter les ouvrages de calcul formel cits en bibliographie([28] par exemple). Les prrequis en programmation sont minimaux (procdures,boucles et branchements).

Le logiciel de calcul formel retenu est Maple(1), conformment aux positionsinstitutionnelles actuelles qui se retent au niveau des concours. Cependant,dautres logiciels sont beaucoup mieux adapts certaines questions, en fonctiondu domaine concern : gap(2) pour les groupes et pari/gp(3) pour la thoriedes nombres, par exemple. Mentionnons galement maxima(4), xcas/giac(5) etsage(6) qui partagent la mme vocation gnraliste que Maple. Le lecteur noteraque tous les logiciels cits sont libres sous licence gnu-gpl(7)... lexception deMaple.

Le sujet de chaque TP est en relation directe avec le cours du chapitre cou-rant, dont il permet daborder les notions par la pratique avec un point de vueeectif. En ce sens, certains TP constituent de vritables complments de cours,lexprimentation par le biais du systme de calcul formel (SCF) tant le contextenaturel dlaboration et dapprentissage de ces mthodes. Signalons que cest lamanipulation des formules qui est lorigine du calcul formel (8) ou computeralgebra en anglais, terminologie qui indique clairement une nature algbriquesous-jacente et dsigne une branche disciplinaire des mathmatiques qui a prisson essor avec lavnement des ordinateurs.

Si lon obtient rapidement des rsultats inaccessibles la main, aprs re-formulation des nombreux problmes qui sy prtent dans un langage symbo-lique (trs proche de la formulation mathmatique) comprhensible par le SCF,

(1)Pour rable ou MAthematical PLEasure, cf. http://www.maplesoft.com/products/maple(2)http://www.gap-system.org(3)http://pari.math.u-bordeaux.fr(4)http://maxima.sourceforge.net ou http://michel.gosse.free.fr(5)http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/parisse/gia_fr.html(6)http://www.sagemath.org(7)General Public Licence, cf. http://www.april.org/gnu/gpl_french.html(8)Le calcul formel, ou calcul symbolique, est lart de raliser des calculs algbriques (i.e. desmanipulations dexpressions) sur des objets gnraux reprsents en machine et soumis desrgles de transformation bien dnies (qui peuvent tre prdnies dans le logiciel ou bien dniespar lutilisateur). Les algorithmes pour ce type de transformations sont en gnral bass sur desmthodes exactes, cest--dire quil ny a pas derreur due la mthode, par opposition au calculnumrique qui est lart de raliser des calculs approchs o se combinent erreurs de mthode eterreurs darrondi (limitation due la reprsentation des nombres en machine).

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Avertissement

il est important de mettre en garde lutilisateur contre une tendance faire uneconance aveugle au SCF et perdre son esprit critique. Outre une rexion surla relation homme-machine , il est instructif de regarder dans la bote noire an de prendre conscience quil sagit dalgorithmes implments en machine, quine donneront une rponse exacte que dans leur contexte strict de validit (voiredheuristiques, comme pour le calcul des limites, o encore davantage de vigilanceest souhaitable de la part de lutilisateur). Le propos de ces TP ne sera donc pasde faire talage des possibilits oertes par Maple pour rsoudre des problmesalgbriques, mais bien de discuter des notions mathmatiques en jeu et, parallle-ment, des algorithmes qui se cachent derrire les commandes employes, les deuxtant videmment lis.

Ce faisant, le SCF devient un assistant de calcul et un extraordinaire outildexprimentation, la responsabilit scientique demeurant entre les mainsde lexprimentateur. Certains auteurs parlent d instrumentation raisonne .Lexprimentateur est amen dcouvrir exprimentalement des conjectures-thormes, les tester avant de tenter den faire la dmonstration au papier-crayon.Tout en consolidant bien sr les connaissances acquises qui sont mobilises danslaction...

Certains algorithmes seront tudis en dtail, comme lalgorithme de Todd-Coxeter (calcul de reprsentants des classes modulo un sous-groupe), de Gauss,Hermite et Smith (algorithmes trs importants en algbre linaire et dans la tho-rie des groupes abliens, cest--dire des Z-modules) ; algorithme de Berlekamp(factorisation des polynmes sur un corps ni) ; algorithmes de recherche des sous-corps dun corps de nombre, de calcul du groupes de Galois, etc. Si certains sontclassiques, dautres ont t dcouverts rcemment, bien que les notions utilisessoient la porte dun tudiant de L3-M1. Figurent galement parmi les thmestraits, les courbes elliptiques (ingrdients essentiels de la preuve du clbre tho-rme de Fermat, ces objets fascinants trop souvent rservs un public avertide Master Recherche deviennent accessibles, par le biais exprimental, grce auxpossibilits de calcul oertes par le SCF) et les codes correcteurs derreur, quifont leur apparition dans les manuels contemporains dalgbre en tant quappli-cation pertinente (dans le monde de lindustrie) de lalgbre sur les corps nis.Sans oublier les quaternions de Hamilton, les numrations de Polya, etc.

Ces TP ont t pour beaucoup inspirs du livre de B. Perrin-Riou [22]. Undes auteurs a galement tir parti de sa participation au sein du groupe IREMFodesit-Accessit de Montpellier qui a men une rfexion sur le bon usage du calcul formel dans les cursus denseignement. Que tous ceux qui ont contribu cette rexion pdagogique en soient remercis. La plupart de ces TP ont t

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Algbre T1

expriments dans le cadre des enseignements de Mathmatiques de lUniversitMontpellier 2.

Enn, des (lments de) corrigs pour lensemble des TP sont disponibles enligne ladresse :http://www.math.univ-montp2.fr/hausberg/ens/livre-algebre-t1.htmlOn y trouvera des documents destins faciliter la prise en main de Maple (notesde cours, feuilles de prise en main) et surtout des solutions aux questions poses,sous forme de feuilles de calcul Maple. La version utilise est la 9.0. Cest cetteversion que font rfrence les commandes mentionnes dans les noncs de TP, lacompatibilit ascendante avec des versions plus rcentes tant en principe assure.Toute contribution dans un autre logiciel de calcul formel (mentionn plus haut),sous forme dune ressource correctement documente et correspondant un TPcompltement rsolu, est la bienvenue. Elle pourra tre mise en ligne en faisantdment rfrence au contributeur.

Les exercices, les TR et les TP de ce tome 1 reprsentent prs de 600 questions,dont la rsolution permettra au lecteur dacqurir une bonne matrise des conceptsde base concernant les groupes, les corps et la thorie de Galois.

Les dmonstrations intgrent de frquentes rfrences des rsultats conte-nus dans ce livre. Celles qui commencent par un chire romain renvoient unrsultat contenu dans le chapitre correspondant ce chire. Les autres renvoient un rsultat contenu dans le chapitre en cours. Le symbole indique la n, oulabsence, dune dmonstration.

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Premire partie

GROUPES

IGNRALITS SUR LES GROUPES

I.1. Dnitions exemples

Dnition I.1.1. Un groupe est la donne dun ensemble non vide G etdune loi de composition interne

GG G

(x, y) x yvriant les proprits suivantes :

(i) x, y, z G, (x y) z = x (y z)(ii) e G, tel que x G,x e = e x = x(iii) x G, x G tel que x x = x x = e.

La proprit (i) est lassociativit de la loi ; llment e, dont lexistence estassure par la proprit (ii), est llment neutre pour la loi ; llment x estappel lment symtrique de x.

Remarques I.1.1.a) Cet ensemble de proprits est redondant. Les proprits (i), (ii), (iii) sont

impliques par les proprits (i), (ii), (iii) avec :

(ii) e G tel que x G, e x = x (lment neutre gauche)(iii) x G, x G tel que x x = e (lment symtrique gauche).

Chapitre I. Gnralits sur les groupes

En eet, en appliquant deux fois la proprit (iii), on a

x,x G tel que x x = edo

x x = e (x x) = (x x) (x x) = x (x x) x = x e x = x x = e.De mme,

x = e x = (x x) x = x (x x) = x e.b) Llment neutre est unique. Pour tout lment x de G, llment symtrique

x est unique.En eet, soient e un autre lment neutre et x un autre lment symtrique

de x. On ae = e e = e

etx = x e = x (x x) = (x x) x = e x = x.

c) Pour tout x, y, z G, de lunicit de llment symtrique on dduit quex y = y x

(on notera le changement de lordre dans lcriture des lments) et, en multipliant gauche (suivant la loi ) par llment x les deux termes de la premire galitci-dessous, on a

(x y = x z) (y = z) (simplication).d) On remarquera quun groupe est la donne dun ensemble et dune loi de

composition interne dnie sur cet ensemble, vriant les axiomes (i), (ii), (iii).On verra en eet (TR.I.B remarque VI.2.3) que sur tout ensemble on peut dnirune loi de composition interne qui le munisse dune structure de groupe ; il y ena en gnral plusieurs, voire une innit si lensemble est inni. Par consquent,une expression du type un groupe est un ensemble sur lequel il existe une loide composition interne vriant les axiomes (i), (ii), (iii) est synonyme de ungroupe est un ensemble , ce qui rendrait absurde lintroduction de la structurede groupe. Voir aussi la remarque (I.1.2.b) ci-dessous.

Exemples I.1.1.a) Lensemble des nombres entiers relatifs muni de laddition est un groupe,

not (Z,+). Lensemble des nombres rationnels non nuls, muni de la multipli-cation, est un groupe, not (Q,). Il est vident quun ensemble rduit unlment est muni dune unique structure de groupe.

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I.1. Dfinitions exemples

b) (Mn(C),+), o Mn(C) dsigne lensemble des matrices (n, n) coe-cients dans C ; (GLn(C),), o GLn(C) dsigne lensemble des matrices (n, n)inversibles coecients dans C. Ce dernier groupe est appel groupe gnrallinaire.

Table dun groupe. Si le groupe G muni de la loi a un cardinal assez petit,il peut tre commode de dcrire explicitement la structure de groupe laide duntableau. Plus prcisment, si G = {x0 = e, x1, . . . , xn}, o e est llment neutre,on dcrit la loi de composition interne par un tableau carr dans lequel le termesitu lintersection de la ime ligne et de la jme colonne est le terme xi xj . Parexemple, sur lensemble {0, 1, 2, 3} on dnit les lois de composition interne et par les tables suivantes :

0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

0 1 2 30 0 1 2 31 1 0 3 22 2 3 0 13 3 2 1 0

Pour montrer que ces lois munissent lensemble {0, 1, 2, 3} de deux structures degroupe, il sut de vrier quelles satisfont aux axiomes de la dnition (I.1.1).

On remarquera que chaque lment du groupe apparat une fois et une foisseulement sur chaque ligne et chaque colonne. Ceci est d au fait que, dans ungroupe G, on a

u G,v G,!x,!y tels que u x = v et y u = v ;

ces lments sont donns par x = u v et y = v u.On prendra garde au fait que la condition chaque lment de lensemble G

apparat une fois et une fois seulement dans chaque ligne et chaque colonne dans un tableau comme ci-dessus est ncessaire mais pas susante pour que laloi interne dnie par ce tableau munisse G dune structure de groupe. En eet,considrons le tableau suivant :

0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 0 4 2 32 2 3 0 4 13 3 4 1 0 24 4 2 3 1 0

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Chaque lment de lensemble {0, 1, 2, 3, 4} apparat une fois et une fois seulementsur chaque ligne et chaque colonne, mais la loi , ainsi dnie, ne munit pascet ensemble dune structure de groupe, car elle nest pas associative puisque(1 2) 3 = 4 3 = 1 et 1 (2 3) = 1 4 = 3.

Remarques I.1.2.a) On remarquera que sur une table comme ci-dessus, on dtermine facilement

lexistence dun lment neutre ou dun lment symtrique, mais que lassociati-vit de la loi napparat pas de faon vidente.

b) Lexemple ci-dessus des lois et dnies sur lensemble {0, 1, 2, 3} montrequun ensemble peut tre muni de plusieurs lois de composition interne qui d-nissent des structures de groupes direntes. Do la ncessit, pour dnir ungroupe, de donner lensemble et sa loi de composition interne. Par consquent,lorsquon voudra prciser que la structure de groupe considre sur un ensemble Gest donne par une loi particulire, par exemple note , on notera le groupe (G, ).

Exemples I.1.2.a) Soit E un ensemble. On note SE le groupe des applications bijectives de E

dans E (ou permutations de E) pour la loi de composition interne dnie par lacomposition des applications. Si E = {1, 2, 3} les lments de SE sont

e =(1 2 31 2 3

)1 =

(1 2 32 3 1

)2 =

(1 2 33 1 2

)

1 =(1 2 31 3 2

)2 =

(1 2 33 2 1

)3 =

(1 2 32 1 3

).

On notera ce groupe S3 (crire sa table), et de faon gnrale on notera Sn legroupe SE pour E = {1, ..., n}. Le groupe SE est appel groupe des permuta-tions de lensemble E, ou groupe symtrique. Une tude dtaille de ce groupeest propose dans le TR.I.A en n de ce chapitre.

b) On note Z/nZ lensemble des classes de congruences des entiers relatifsmodulo n. Rappelons que si n est un entier positif, deux entiers relatifs p et q sontcongrus modulo n si pq = kn, k Z. Ceci dnit sur Z une relation dquivalencedont Z/nZ est lensemble des classes. En notant cl(k) la classe de k, on vrieaisment que laddition dnie par cl(p) + cl(q) = cl(p + q) est indpendante duchoix des reprsentants p et q et quelle munit Z/nZ dune structure de groupe,dont cl(0) est llment neutre et cl(x) est le symtrique de cl(x).

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I.1. Dfinitions exemples

c) On note D4 le groupe des isomtries du carr pour la composition desapplications. Les lments de D4 sont

I = identitR1 = la rotation de centre 0 (le centre du carr) et dangle /2R2 = la rotation de centre 0 (le centre du carr) et dangle R3 = la rotation de centre 0 (le centre du carr) et dangle 3/2H = la symtrie par rapport laxe de symtrie horizontalV = la symtrie par rapport laxe de symtrie vertical1 = la symtrie par rapport la premire diagonale2 = symtrie par rapport la deuxime diagonale

qui se composent suivant la table

I R1 R2 R3 H V 1 2I I R1 R2 R3 H V 1 2R1 R1 R2 R3 I 1 2 V HR2 R2 R3 I R1 V H 2 1R3 R3 I R1 R2 2 1 H VH H 2 V 1 I R2 R3 R1V V 1 H 2 R2 I R1 R31 1 H 2 V R1 R3 I R22 2 V 1 H R3 R1 R2 I

o les termes de cette table sont x y pour x dans la premire colonne et y dansla premire ligne.

Ce groupe fait partie dune suite de groupes Dn, n 3, appels groupesdidraux (cf. TR.IV.A).

Dnition I.1.2. Si (G, ) est un groupe tel que la loi satisfasse la proprit(iv) x, y G,x y = y x,

le groupe (G, ) est dit commutatif ou encore ablien.

Exemples I.1.3.a) Les groupes (Z,+), (Q,), (Mn(C),+) sont abliens.b) Le groupe (GLn(C),) ne lest pas. On constate sur la table ci-dessus que

le groupe D4 nest pas ablien.

Proposition I.1.1. Si card E 3, le groupe SE nest pas ablien.

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Dmonstration. Soient x, y, z trois lments distincts deux deux dans E. Onconsidre les deux transpositions xy et yz (on note ij la permutation qui changei et j), alors xy yz = yz xy. Attention. En gnral, dans un goupe non ablien, (xy)n = xnyn, n N. Maissi xy = yx, alors (xy)n = xnyn, n N.

Remarques I.1.3. Dans la suite, sauf mention contraire, on notera les lois degroupes multiplicativement (x, y) xy, on les appellera produits, on notera x1llment symtrique de x quon appellera inverse de x, et on notera 1 llmentneutre. Toutefois, si le groupe considr est ablien, on notera sa loi additivement(x, y) x + y, on lappellera somme, on notera x llment symtrique de xquon appellera oppos de x, et on notera 0 llment neutre.

I.2. Sous-groupes morphismes

A - Sous-groupes

Supposons quon connaisse le groupe (Q,+), mais quon nait pas dni dad-dition sur Z. Puisque Z est un sous-ensemble de Q, on peut considrer ladditionde deux entiers dans Q. Il est facile de vrier que laddition, dans Q, de deuxentiers est encore un entier. On dnit ainsi une addition sur Z, qui est une loi decomposition interne.

De plus, quels que soient x, y, z des lments de Z, les lments (x+ y) + z etx + (y + z) sont gaux dans Q et appartiennent Z, ils sont donc gaux dans Z.Autrement dit, lassociativit de la loi dnie sur Z partir de celle dnie sur Qdcoule de lassociativit de la loi de Q.

On vrie de la mme manire que 0, qui est llment neutre de Q pourladdition, est aussi lment neutre pour laddition dans Z et que, pour toutx Z, x, qui est le symtrique de x dans Q, est aussi le symtrique de x dans Z.

Autrement dit, ceci montre que la structure de groupe de (Z,+) est dduitede celle de (Q,+). On dit que (Z,+) est un sous-groupe de (Q,+).

Le lecteur pourra faire la mme analyse en considrant lensembleZ[i] = {a + ib|(a, b) Z2}, avec i2 = 1, vu comme sous-ensemble de (C,+).

On cherche formaliser cette situation au cas gnral dun groupe (G, ) etdun sous-ensemble H de G. La loi de composition interne de G permet de dnirune loi de composition sur H,

(x, y) H H, (x, y) x y.

Cest la loi induite sur H par celle de G.

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Mais, par rapport la situation de Z et (Q,+) dcrite ci-dessus, un premiercueil peut se prsenter : llment xy appartient G, mais peut ne pas appartenir H, i.e. la loi nest pas une loi de composition interne pour H. Par exemple,pour G = (M2(C),+) et H = GL2(C), les lments

x =(1 00 1

), y =

(0 11 0

)appartiennent H, (x + y) appartient G mais pas H.

Mme quand ce premier cueil est vit, il peut sen prsenter un second : pourun lment x de H, le symtrique x, qui appartient G, peut ne pas appartenir H. Par exemple, pour G = (Q,) et H = Z, la multiplication induite sur Hpar celle de G est une loi de composition interne pour H, mais linverse de 2 dansG nappartient pas H.

Pour pouvoir tendre la situation dcrite pour (Q,+) et Z un groupe quel-conque G et un sous-ensemble H, il faut donc que la loi induite sur H soit uneloi de composition interne pour H, on dit que H est stable pour la loi de G, etque le symtrique, dans G, de tout lment de H appartienne H, on dit que Hest stable par symtrique. La proposition (I.2.1) ci-dessous montrera que cesconditions sont susantes.

Dnition I.2.1. Un sous-ensemble non vide H dun groupe G est un sous-groupe de G si, muni de la loi induite par celle de G, cest un groupe.

Proposition I.2.1. Un sous-ensemble non vide H dun groupe G est un sous-groupede G si et seulement si

(i) (x, y) H H,xy H.

(ii) x H,x1 H.

Dmonstration. Si H est un sous-groupe de G, les assertions (i) et (ii) sont claire-ment vries. Rciproquement, daprs lassertion (i), la loi de G induit sur Hune loi interne, et cette loi est associative pour la mme raison que celle indiqueci-dessus pour (Q,+) et Z. Daprs (ii), pour tout lment x de H, on a x1 H,do, daprs (i), xx1 H. Mais xx1 est llment neutre de G. On en dduitque llment neutre de G est aussi lment neutre de H. Par consquent, H munide la loi induite par celle de G est un groupe.

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Remarques I.2.1.a) Le lecteur vriera que les deux assertions (i) et (ii) de la proposition (I.2.1)

sont quivalentes : (x, y) H H,xy1 H et eG H.b) Un groupe G ayant au moins deux lments admet au moins deux sous-

groupes : G et le sous-groupe rduit llment neutre.

c) Il est clair que si H est un sous-groupe dun groupe G et si K est unsous-groupe de H, alors K est un sous-groupe de G.

Dnition I.2.2. On appelle sous-groupe propre dun groupe G tout sous-groupe distinct de G et de llment neutre.

Notation. Si H est un sous-groupe de G, on notera H < G.

Exemples I.2.1.a) (Z,+) < (Q,+) < (R,+) < (C,+).

b) (Q,) < (R,) < (C,).c) Le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1 est un sous-

groupe de (C,).d) Le groupe multiplicatif Un des nombres complexes z tels que zn=1 est un

sous-groupe de U.

e) Le groupe GL(E) des automorphismes dun k-espace vectoriel E est unsous-groupe de SE .

f) Pour tout groupe G, on considre

Z(G) = {g G,x G, gx = xg}.Cest un sous-groupe de G, appel le centre de G.

Exercice I.1.1. Montrer que pour tout n 3, on a Z(Sn) = {1}, o 1 est la permutation

identit.

2. Montrer que les matrices

(1 00 1

),

(0 11 0

),

(0 ii 0

),

(i 00 i

)o i est un nombre complexe tel que i2 = 1, forment un groupe pour la multipli-cation des matrices. (On montrera que cest un sous-groupe du groupe GL2(C).

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On remarquera que dmontrer directement que cet ensemble de matrices est ungroupe impose des calculs longs et fastidieux, en particulier pour vrier lasso-ciativit, do lintret de la mthode propose, qui est frquemment utilise.)

On note ce groupe H et on lappelle groupe quaternionique.

Proposition I.2.2. Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ = {nx, x Z}, pour nparcourant N.

Dmonstration. Il est clair que les nZ = {nx, x Z}, pour n parcourant N, sontdes sous-groupes de Z. Rciproquement, soit H un sous-groupe de Z. Si H = 0,alors H = nZ avec n = 0. Si H est non nul, son intersection avec N est unensemble non vide dentiers positifs et possde donc un plus petit lment n.Soit x un lment quelconque de H ; la division euclidienne de x par n donnex = ny + k, avec 0 k < n. Comme k = x ny appartient H, k est nul pardnition de lentier n. On en dduit que H = nZ.

Proposition I.2.3. Soient G un groupe, I un ensemble non vide et {Hi}iI unefamille de sous-groupes de G. Alors

iI Hi est un sous-groupe de G.

Dmonstration. Laisse au lecteur titre dexercice.

Attention. Une runion de sous-groupes dun groupe G nest, en gnral, pasun sous-groupe de G. Par exemple, on vriera que 3Z et 5Z sont des sous-groupesde Z, mais que 3 + 5 = 8 nappartient pas 3Z 5Z.

Exercice I.2. Montrer que si A et B sont des sous-groupes dun groupe G, A Best un sous-groupe de G si et seulement si A est contenu dans B ou B est contenudans A.

B - Sous-groupes engendrs

Il est facile de voir que dans le groupe Z/nZ (exemple I.1.2.b), tout lmentcl(k) est la somme cl(1) + + cl(1), k-fois. Autrement dit, llment cl(1) en-gendre le groupe Z/nZ.

Dnition I.2.3. Soient G un groupe et S une partie de G. On appelle sous-groupe engendr par S, et on note S, le plus petit (pour la relation din-clusion) sous-groupe de G contenant S.

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Proposition I.2.4. Cest lintersection de tous les sous-groupes de G quicontiennent S.

Proposition I.2.5. Soient G un groupe et S une partie non vide de G. On a

S = {x1 xn, n N, xi S o x1i S, i, 1 i n}.

Dmonstration. Notons H = {ni=1 xi, n N, xi S o x1i S, i, 1 i n}.On remarque que S est contenu dans H. Soient x = x1 . . . xn et y = y1 . . . yp deslments de H, alors xy1 = x1 . . . xny1p . . . y

11 appartient H, ce qui prouve

que H est un sous-groupe de G. Do S est contenu dans H. Il est clair que toutsous-groupe de G contenant S contient H, do S = H.

Cas particulier important. Si S = {x} pour x G, on note alors x lesous-groupe engendr par x et il est clair que x = {xn, n Z}.

Remarque I.2.2. Si la loi de G est note additivement, on a

S = {x1 + + xn, n N,xi S,i, 1 i n}do x = {nx, n Z}.

Dnition I.2.4. Si S est une partie non vide dun groupe G, telle que S = G,on dit que S est une partie gnratrice de G, ou que S est un ensemble degnrateurs de G, ou que S engendre G.

Exemple I.2.2. Dans le groupe S3, on a

21 = 2, 31 = e, 1 3 = 2, 3 1 = 1

do 1, 3 = S3.

Exercice I.3.1. En examinant la table de lexemple (I.1.2.c), montrer que D4 = R1,H ou

D4 = R1, V ou D4 = R1,1 ou D4 = R1,2.2. Montrer quun sous-groupe de (R,+) est, ou bien dense dans R, ou bien

engendr par un lment a de R.

Remarque I.2.3. Lexemple ci-dessus montre quune partie gnratrice dun groupenest, en gnral, pas unique. En particulier G = G.

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C - Ordre dun groupe, dun lment

Dnition I.2.5. Un groupe G est dit ni sil na quun nombre ni dlments.Dans ce cas, le cardinal de G sappelle lordre du groupe G et est not |G|.

Soient G un groupe et x un lment de G. On appelle ordre de x, quonnote o(x), le cardinal de x. Si ce cardinal est inni, on dit que x est dordreinni.

Remarques I.2.4.a) Soient G un groupe ni et x un lment de G, alors o(x) |G|.b) Dans tout groupe G, llment neutre est le seul lment dordre 1.

c) Dans (Z,+), tous les lments non nuls sont dordre inni.

Exemples I.2.3.a) Les groupes D4 et H sont dordre 8.b) Dans le groupe S3, les lments 1, 2, 3 sont dordre 2, les lments 1 et

2 dordre 3. Le groupe S3 est dordre 6.Plus gnralement, pour tout n 2, le groupe Sn est dordre n!.c) Dans le groupe D4, les lments R1 et R3 sont dordre 4, les lments H,

V , 1, 2 sont dordre 2.

Proposition I.2.6. Soient G un groupe et x un lment dordre ni de G. Alors o(x)est le plus petit entier positif s tel que xs = 1G.

Dmonstration. Si pour tout i et j dans Z, i = j, on a xi = xj, alors lordrede x est inni, ce qui est contraire lhypothse. Donc il existe p > q tel quexp = xq, i.e. xpq = 1G, avec p q > 0. Lensemble {s N, xs = 1G} est unensemble non vide dentiers positifs, il admet donc un plus petit lment n. Alorsx = {1G, x, . . . , xn1}, et o(x) = n.

D - Morphismes

tudier un groupe, cest dterminer les proprits algbriques qui sont atta-ches la loi dnissant la structure de groupe. Lun des moyens les plus ecacespour ce faire est de comparer le groupe donn un autre groupe dont on connatdj les proprits. Si H est un sous-groupe dun groupe G, le produit des l-ments de H est le mme, que ces lments soient considrs dans H ou dans G.

13


Il est donc simple de comparer les structures des groupes G et H. Par contre,si deux groupes G et G ne sont pas contenus lun dans lautre, ou ne sont passous-groupes dun mme groupe, on ne peut plus faire cette comparaison. Onest alors amen considrer une application f : G G qui permette de se ra-mener la situation prcdente, cest--dire telle que f(G) soit un sous-groupede G. Pour cela, il faut que lapplication f soit compatible avec la structure degroupe, donc compatible avec les lois qui dnissent la structure. Cest la notionde morphisme.

Dnition I.2.6. Soient (G, .) et (G, ) deux groupes. Un morphisme (ou ho-momorphisme) de groupes de G dans G est une application f : G Gvriant :

(x, y) GG, f(x.y) = f(x) f(y).

Notation. On note Hom(G,G) lensemble des morphismes de groupes de G dansG. On note End(G) lensemble des morphismes de groupes de G dans lui-mme,quon appelle endomorphismes de G.

Proposition I.2.7. Tout lment f de Hom(G,G) vrie les proprits suivantes :

(i) f(1G) = 1G

(ii) f(x1) = f(x)1 pour tout lment x de G

(iii) H < G f(H) < G

(iv) H < G f1(H ) < G avec f1(H ) = {x G, f(x) H }.

Dmonstration. (i). Notons 1G et 1G les lments neutres respectifs de G et G.Soit x un lment de G, on a f(x) = f(x1G) = f(x)f(1G). Or f(x) = f(x)1G ,do f(1G) = 1G .

(ii). Pour tout x de G on a 1G = f(1G) = f(xx1) = f(x)f(x1), dof(x1) = f(x)1.

(iii). Pour tous y1 et y2 dans f(H), il existe x1 et x2 dans H tels que f(x1) = y1et f(x2) = y2. Do y1y12 = f(x1)f(x2)

1 = f(x1)f(x12 ) = f(x1x12 ) qui appar-

tient f(H).

(iv). Pour tous x et y dans f1(H ) on a f(x) et f(y) dans H , dof(xy1) = f(x)f(y)1 appartient H , et xy1 appartient f1(H ).

14


Dnition - Proposition I.2.8. Pour tout lment f de Hom(G,G), f(G) est unsous-groupe de G appel image de f et not Im(f) ; f1({1G}) est un sous-groupe de G appel noyau de f et not Ker(f).

Proposition I.2.9. Si f : G G est un morphisme de groupes, on a

[f injectif ] [Ker(f) = {1G}]

[f surjectif ] [Im(f) = G].

Dmonstration. On a

[f injectif] [(x, y) GG, (f(x) = f(y)) (x = y)].

Si f est injectif et f(x) = 1G = f(1G), alors x = 1G et Ker(f) = {1G}.Rciproquement, si f(x) = f(y), on a

1G = (f(x))1f(y) = f(x1)f(y) = f(x1y),

do x1y Ker(f). Si Ker(f) = {1G}, alors x = y et f est injective.La deuxime assertion est vidente.

Exemples I.2.4.a) Si H < G, alors linjection canonique i : H G est un morphisme.b) Lapplication de GLn(C) dans C, qui une matrice associe son dtermi-

nant, est un morphisme de groupes multiplicatifs dont le noyau, not SLn(C), estappel groupe spcial linaire. (On peut remplacer C par un corps commutatifquelconque.)

Proposition I.2.10. Soient G,G, G trois groupes. Alors pour tout f de Hom(G,G)et tout g de Hom(G, G), g f appartient Hom(G,G).

Dmonstration. Le lecteur vriera facilement que lapplication de G dans G de-nie par g f est un morphisme de groupes.

Dnition I.2.7. Un lment f de Hom(G,G) est un isomorphisme sil existeun morphisme rciproque g, i.e. un lment g de Hom(G, G) tel que gf = idGet f g = idG .

15


Proposition I.2.11. Soient G et G deux groupes et f : G G une application.(i) f est un isomorphisme si et seulement si f est un morphisme bijectif

(ii) Si f est un isomorphisme, lapplication rciproque f1 est un isomor-phisme.

Dmonstration. (i). Il est clair quun isomorphisme est une application bijec-tive. Il sut donc de dmontrer que si f est un morphisme bijectif, lappli-cation rciproque f1 est un morphisme de groupes. Pour tous x et y dansG, il existe x et y uniques dans G tels que x = f(x) et y = f(y). On af1(xy) = f1(f(x)f(y)) = f1(f(xy)) = xy = f1(x)f1(y).

(ii). vident.

Attention. Une application bijective nest pas ncessairement un isomorphisme.Le lecteur vriera que, pour tout groupe non trivial G et pour tout g = 1G dansG, lapplication fg : G G dnie par fg(x) = gx est bijective, mais nest pasun morphisme de groupes.

Dnition I.2.8. Deux groupes G et G sont isomorphes sil existe un isomor-phisme f de G sur G.

Cette notion est extrmement importante, car deux groupes isomorphes ontexactement les mmes proprits algbriques.

Notation. Si deux groupes G et G sont isomorphes, on note G G. Les lmentsde End(G) qui sont des isomorphismes sont appels automorphismes de G. Ilsforment un groupe pour la composition des applications, not Aut(G).

Remarques I.2.5.a) Il est clair daprs les propositions (I.2.10) et (I.2.11) que la composition

des applications munit Aut(G) dune structure de groupe.

b) Si deux groupes sont isomorphes, ils ont mme ordre.

Attention. La rciproque est fausse (cf. exercice I.4 ci-dessous).

c) Si f est un isomorphisme dun groupe G sur un groupe G, pour tout lmentx de G, les lments x et f(x) ont mme ordre.

d) Si f : G G est un morphisme injectif, alors G est isomorphe f(G).Ceci permet didentier G au sous-groupe f(G) de G.

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e) Soient G un groupe et G un ensemble. Si f : G G est une applica-tion bijective, on peut munir G dune structure de groupe telle que f soit unisomorphisme, et cela de manire unique.

En eet,

x G, y G, !x G, !y G, tels que x = f(x), y = f(y).

On pose alors xy = f(xy) ; ceci dnit sur G une loi de composition internetelle que :

x G,y G, f(xy) = f(x)f(y).On vrie facilement que cette loi est associative, que f(1G) est lment neutreet que x1 = f(x1). Lensemble G est donc muni dune structure de groupe et,puisque f est un morphisme bijectif, cest un isomorphisme.

videmment, on obtient un rsultat analogue si G est un ensemble et G ungroupe, en considrant lapplication f1.

f) Soient G un groupe, G un ensemble et f : G G une application.Lensemble f(G) muni de la loi dnie par f(x) f(y) = f(xy) est un groupe.Par exemple f : Z2 C dnie par f((a, b)) = a + ib.

Exemples I.2.5.a) Soit E un k-espace vectoriel de dimension n. Alors les groupes GL(E)

(cf. exemple I.2.1.e) et GLn(k) (cf. exemple I.1.1.b) sont isomorphes par lisomor-phisme qui, tout lment de GL(E), associe la matrice M() de dans unebase xe de E.

b) Automorphismes intrieurs. Soient G un groupe et g un lment de G.Lapplication

g : G G, x gxg1

est un automorphisme de G, appel automorphisme intrieur dni par g. Onnote Int(G) lensemble {g, g G} des automorphismes intrieurs de G. Cestun sous-groupe de Aut(G). On remarquera que, en gnral, on peut avoir g = gavec g = g, si g1g Z(G), do |Int(G)| |G|.

Remarque I.2.6. En gnral, pour un groupe G, Int(G) est un sous-groupe strictde Aut(G). Mais pour certains groupes, on peut avoir Int(G) = Aut(G) (comme,par exemple, pour les groupes Sn, n = 6, (cf. TR.II.B)).

Exercice I.4.1. Montrer que lensemble {0, 1, 2, 3} muni de la loi dnie en (1.4) est un

groupe isomorphe au groupe Z/4Z (cf. exemple I.1.2.b).

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2. Montrer que les groupes D4 et H, qui sont tous les deux dordre 8, ne sontpas isomorphes. (Utiliser la remarque (I.2.5.c).)

3. Montrer que les matrices(1 00 1

),

(1 11 0

),

(0 11 1

)(0 11 0

),

(1 01 1

),

(1 10 1

)forment un sous-groupe de GL2(R), isomorphe au groupe GL2(Z/2Z).

Thorme I.2.1 (de Cayley). Tout groupe G est isomorphe un sous-groupe dugroupe SG de ses permutations.

Dmonstration. Soit g un lment de G. Lapplication fg : G G dnie parfg(x) = gx est bijective, cest donc une permutation de E. Lapplication

F : G SG, g fgest un morphisme de groupes. En eet F (gh) est lapplication de G dans G qui x associe ghx. Comme ghx = g(hx), cet lment est aussi limage de x parlapplication F (g) F (h). On en dduit que F (gh) = F (g) F (h).

De plus, F est injective. En eet, si F (g) est gal lidentit, pour tout x deG on a gx = x, do g = 1G, o 1G est llment neutre de G, et Ker(F ) = {1G}.

Par consquent, F est un isomorphisme de G sur son image F (G), qui est unsous-groupe de SG.

Remarque I.2.7. On verra au TR.I.A que si deux ensembles E et F sont quipo-tents, les groupes SE et SF sont isomorphes. Donc, si G est un groupe dordre n,le thorme de Cayley montre que G est isomorphe un sous-groupe de Sn. Maislentier n nest pas forcment minimal pour cette proprit, i.e. on peut avoirp < n et G isomorphe un sous-groupe de Sp (cf. exercice I.5 ci-dessous). Commeon sait que |Sn| = n!, on comprend limportance de trouver un p infrieur n telque G soit isomorphe un sous-groupe de Sp.

Exercice I.5.1. Montrer que le groupe D4 est isomorphe un sous-groupe de S4.

2. En comptant le nombre dlments dordre 4 de S4, montrer quils nontpas tous mme carr.

En dduire que H nest pas isomorphe un sous-groupe de S4.Montrer, par la mme mthode, que H nest pas isomorphe un sous-groupe

de S7. Par consquent, lentier n minimal tel que H soit isomorphe un sous-groupe de Sn est n = 8 = |H|.

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I.3. Produit direct de groupes


A - Produit de sous-groupes dun groupe

Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On considre les partiesde G, HK = {hk, h H, k K} et KH = {kh, k K,h H}, o le produit estla loi de G.

Remarque I.3.1. En gnral, ces deux parties de G ne sont pas gales et ne sont pasdes sous-groupes de G. En eet, considrons dans S3 les sous-groupes H = 1et K = 2 : alors HK = {e, 1, 2, 1 2}, KH = {e, 1, 2, 2 1} et, puisque1 2 = 2 1, HK = HK ; de plus (1 2)1 = 2 1 / HK et (2 1)1 =1 2 / KH, donc HK et KH ne sont pas des sous-groupes de S3.Proposition I.3.1. Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Alors HKest un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH.

Dmonstration. Remarquons dabord que HK et KH ne sont pas vides puisquilscontiennent llment neutre. Si HK est un sous-groupe de G, pour h H etk K, on a kh = (h1k1)1 HK, donc KH est contenu dans HK. Soitz HK, alors z1 = hk, et z = k1h1 KH, do HK est contenu dans KH,et HK = KH.

Rciproquement, si HK = KH, soient h et h dans H, k et k dans K ; alors,(hk)(hk)1 = hkk1h1. Or, kk1h1 KH = HK, donc il existe h H etk K tels que kk1h1 = hk, do (hk)(hk)1 = hhk HK, et HK estun sous-groupe, ainsi que KH.

Remarque I.3.2. Si G est ablien, pour tous sous-groupes H et K, HK est unsous-groupe de G.

Exercice I.6. Montrer que si HK est un sous-groupe de G, cest le sous-groupeengendr par H K.Proposition I.3.2. Soient G un groupe et {Hi}1in une famille nie de sous-groupes de G. Si, quels que soient i et j, 1 i < j n, HiHj est un sous-groupede G, alors

H1H2 . . . Hn = {x1 . . . xn, xi Hi, 1 i n}est un sous-groupe de G.

Dmonstration. Le lecteur montrera, par un raisonnement par rcurrence, que cetteproposition est un corollaire immdiat de la proposition (I.3.1).

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B - Produit direct de groupes

Proposition I.3.3. Soient G1 et G2 deux groupes dlments neutres respectifs 1G1et 1G2 . Alors lensemble G1G2 muni de la loi de composition interne dnie par

((x1, x2), (y1, y2)) (x1y1, x2y2)

est un groupe dont llment neutre est (1G1 , 1G2), linverse de llment (x1, x2)tant llment (x11 , x

12 ).

La dmonstration est laisse au lecteur titre dexercice.

Dnition I.3.1. Le groupe dni ci-dessus est le produit direct des groupesG1 et G2, not G1 G2.

Les projections canoniques

p1 : G1 G2 G1, (x1, x2) x1

p2 : G1 G2 G2, (x1, x2) x2sont des morphismes surjectifs, et les injections canoniques

q1 : G1 G1 G2, x1 (x1, 1G2)

q2 : G1 G1 G2, x2 (1G1 , x2)sont des morphismes injectifs.

Remarques I.3.3.a) Le groupe G1 G2 est ablien si et seulement si les groupes G1 et G2 le

sont.

b) Le groupe Im(q1) (resp. Im(q2)) est un sous-groupe de G1G2 isomorphe G1 (resp. G2).

c) Si G1 et G2 sont des groupes dordre ni, alors G1 G2 est dordre ni et|G1 G2| = |G1||G2|.

Exercice I.7. Montrer que lensemble {0, 1, 2, 3} muni de la loi dnie en (1.4)est un groupe isomorphe au groupe (Z/2Z) (Z/2Z). Vrier que ce groupe nestpas isomorphe au groupe Z/4Z.

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Proposition I.3.4. Soient deux groupes G1 et G2. Un groupe G est isomorphe auproduit direct G1 G2 si et seulement sil contient deux sous-groupes H1 et H2tels que

(i) Hi Gi i = 1, 2

(ii) h1 H1, h2 H2, h1h2 = h2h1(iii) G = H1H2

(iv) H1 H2 = {1G}.

Dmonstration. Soit : G1G2 G un isomorphisme. On pose H1 = Im( q1)et H2 = Im( q2) ; alors le groupe H1 (resp. H2) est isomorphe G1 (resp. G2).Dautre part,

hi Hi xi Gi, i = 1, 2 tels que h1 = (x1, 1G2), h2 = (1G1 , x2),

do,

h1h2 = (x1, 1G2)(1G1 , x2) = ((x1, 1G2)(1G1 , x2)) = (x1, x2).

De la mme manire, on a

h2h1 = (1G1 , x2)(x1, 1G2) = (x1, x2)

do h1h2 = h2h1. Tout lment de G scrit (x1, x2) = (x1, 1G2)(1G1 , x2) quiappartient H1H2, donc G = H1H2. De plus, H1H2 = {(1G1 , 1G2)} est rduit llment neutre de G.

Rciproquement, soient H1 et H2 deux sous-groupes et i : Gi Hi,i = 1, 2 des isomorphismes, avec G = H1H2 et H1 H2 = {1G}. Pour toutx = (g1, g2) G1 G2, on pose (x) = 1(g1)2(g2) G. Si x = (g1, g2) alors(x)(x) = 1(g1)2(g2)1(g1)2(g2). En utilisant (ii), on obtient donc

(x)(x) = 1(g1)1(g1)2(g2)2(g2) = 1(g1g

1)2(g2g

2) = (xx

).

Cela montre que est un morphisme. Il est surjectif puisque G = H1H2. Si1(g1)2(g2) = 1G, alors 1(g1) = 2(g2)1 H1 H2, donc 1(g1) = 2(g2) =1G. On en dduit g1 = 1G1 et g2 = 1G2 , puis x = 1G1G2 , ce qui montre linjecti-vit. Par consquent, est un isomorphisme de G1 G2 sur G.

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Exercice I.8.1. Gnraliser la proposition (I.3.4) une famille nie de groupes G1, . . . , Gn.

Attention. Cette proposition ne peut tre gnralise une famille innie degroupes, car seul le produit dun nombre ni dlments a un sens.

2. Montrer que si G est un groupe ni dont tous les lments distincts de 1Gsont dordre 2, alors G est un groupe ablien et il existe un entier p 1 tel queG Z/2Z Z/2Z (p facteurs).

Thorme I.3.1 (proprit universelle du produit direct de groupes). Soient G1 etG2 deux groupes, pi les projections canoniques de G1 G2 sur Gi, i = 1, 2. Pourtout groupe G et tout morphisme de groupes fi : G Gi, i = 1, 2, il existe ununique morphisme de groupes h : G G1 G2 tel que pi h = fi, i = 1, 2.

Dmonstration. Existence de h : pour tout x de G, posons h(x) = (f1(x), f2(x)).Il est clair que h est un morphisme de groupes et que pi h = fi, i = 1, 2.

Unicit de h : supposons quil existe un autre morphisme de groupesh : G G1 G2 tel que pi h = fi, i = 1, 2. Alors, pour tout x de G, on ah(x) = (f1(x), f2(x)) = h(x), do h = h.

Remarque I.3.4. Le problme universel de produit de groupes snonce de la faonsuivante : deux groupes G1 et G2 tant donns, existe-t-il un groupe P et desmorphismes de groupes pi : P Gi, i = 1, 2, tels que, pour tout groupe G ettous morphismes de groupes fi : G Gi, i = 1, 2, il existe un unique morphismede groupes g : G P tel que pi g = fi, i = 1, 2 ? Si (P, p1, p2) existe, on ditque cest une solution du problme universel de produit des groupes G1, G2. Laproposition prcdente montre que P = G1 G2, p1 et p2 tant les morphismesde projection, est une solution du problme.

Il est facile de montrer que la solution dun problme universel est unique isomorphisme unique prs. Ceci signie que deux solutions sont isomorphes etquil existe un unique isomorphisme de lune sur lautre ; on pourra prciser ceque cela signie en se reportant au TR.II.A.

En particulier, tre solution dun problme universel est une proprit quicaractrise un objet. Par exemple, un groupe P muni de morphismes de groupesi : P Gi, i = 1, 2, est isomorphe au produit direct G1 G2 si et seulementsil est solution du problme universel de produit des groupes G1 et G2.

On rencontrera dans cet ouvrage plusieurs types de problmes universels.En particulier, on peut se poser le problme universel de somme de groupes,

22


problme dual du prcdent, obtenu en renversant le sens des morphismes.On verra au TR.III.D et au chapitre VI que ce problme universel de sommeadmet des rponses trs direntes suivant que lon considre des groupes nonabliens ou des groupes abliens, ce qui nest pas le cas pour le problme univer-sel de produit comme cela a t remarqu en (I.3.3.a). Par consquent, la solutiondun problme universel, lorsquelle existe, ne dpend pas seulement du type deproblme pos, mais aussi du type de structure algbrique concern.

Proposition I.3.5. Soient I un ensemble non vide et {Gi}iI une famille de groupesdlment neutre respectif 1Gi , i I. Lensemble

iI Gi muni de la loi de

composition interne ((xi)iI , (yi)iI) (xiyi)iI est un groupe, not

iI Giet appel produit direct des groupes (Gi)iI , dont llment neutre est 1 = (1Gi)iIet dans lequel llment inverse de x = (xi)iI est llment x1 = (x1i )iI .

Dmonstration. Laisse au lecteur titre dexercice.

Exercice I.9. Le lecteur dmontrera lnonc suivant, qui est la gnralisation delnonc du thorme (I.3.1) une famille quelconque de groupes (Gi)iI .

Soient I un ensemble non vide, (Gi)iI une famille de groupes et les mor-phismes de projection pi :

iI Gi Gi, i I. Pour tout groupe G et toute

famille de morphismes de groupes fi : G Gi, i I, il existe un unique mor-phisme de groupes g : G iI Gi tel que, pour tout i I, pi g = fi.

23

THMES DE RFLEXION

TR.I.A. tude du groupe symtrique SnPour un ensemble E, on note SE le groupe des applications bijectives de E

dans E, ou permutations de lensemble E, pour la composition des applications.On a vu (proposition I.1.1) que, ds que le cardinal de E est strictement suprieur 2, ce groupe est non ablien.

Le thorme de Cayley (I.2.1) et surtout les trs nombreuses occasions o ilsinterviennent dans des domaines trs varis des mathmatiques, rendent ltudedes groupes symtriques trs importante. On amorcera ici cette tude qui serapoursuivie et approfondie aux TP.I et TR.II.B.

1. Montrer que si E et E sont des ensembles quipotents (cf. appendice), lesgroupes SE et SE sont isomorphes.

Par consquent ltude du groupe SE , o E est un ensemble ni de cardi-nal n, se ramne ltude du groupe Sn, groupe des permutations de lensemble[n] = {1, . . . , n}. On rappelle que le cardinal de Sn est n!, i.e. le groupe Sn estdordre n !.

Soit Sn, le support de est lensemblesupp() = {i [n], (i) = i}.

2. Montrer que, dans Sn, deux lments dont les supports sont disjoints com-mutent.

Pour Sn et pour i [n], on appelle -orbite de i lensemble(i) = {r(i), r Z}.

3. En remarquant que (i) est la classe de i pour une relation dquivalencednie sur [n], et en notant {i1, . . . , it} une famille de reprsentants des -orbitesdistinctes dans [n], montrer que

n =

1qt|(iq)|.

Algbre T1

On va maintenant tudier des permutations particulires, les cycles, qui sontles constituants lmentaires du groupe symtrique (cf. question 6 ci-dessous).

Un lment Sn est un r-cycle, ou cycle de longueur r, sil existe unensemble ordonn de r entiers distincts dans [n], {i1, . . . , ir}, tel que

(i1) = i2, . . . , (ij) = ij+1, . . . , (ir) = i1k {[n] {i1, . . . , ir}}, (k) = k.

On remarquera quun 1-cycle est ncessairement lidentit et quun 2-cycle est unetransposition. Une permutation circulaire dun ensemble n lments est unn-cycle de Sn (i.e. de longueur maximale).

4. Montrer quun r-cycle est un lment dordre r dans Sn.

5. Montrer quun lment Sn, n > 1, est un r-cycle si et seulement si dans ladcomposition de [n] en -orbites, il nexiste quune seule -orbite non ponctuelle(i.e. non rduite un point). Le cardinal de cette orbite est gal r.

6. Montrer que tout lment Sn, = id, scrit sous la forme = 1 s, s 1

o les i sont des cycles supports disjoints, tous dirents de lidentit, et quecette dcomposition est unique lordre prs des facteurs.

Cette dcomposition sappelle la dcomposition canonique de en cycles.Cette dcomposition permet donc de ramener ltude des permutations celle

des cycles.

7. Montrer que pour Sn, lordre de est le ppcm des ordres des cycles de sadcomposition canonique.

8. Montrer que tout Sn se dcompose, de manire non unique, en un produitde transpositions.

Nous allons maintenant introduire un invariant des permutations. Soit Sn ;si on note t le nombre de -orbites distinctes dans [n], on pose sgn() = (1)ntet on lappelle signature de .

9. Montrer que si est un r-cycle, sgn() = (1)r1.10. Montrer que si est une transposition, sgn( ) = sgn(). (On considrela tranposition qui change i et j ; on montre que :

si (k) est une -orbite ne contenant ni i ni j, (k) = (k) ;

si i et j sont dans deux -orbites distinctes, les termes de ces deux -orbitesforment une seule ( )-orbite ;

26

Thmes de rflexion

si i et j sont dans la mme -orbite, les termes de cette -orbite formentdeux ( )-orbites distinctes.

Donc le nombre de ( )-orbites est gal au nombre des -orbites, plus oumoins un.)

11. Montrer que si Sn est un produit de k transpositions, alorssgn() = (1)k, et que les nombres de transpositions dans deux dcompositonsde en produit de transpositions ont mme parit.

Lensemble {1, 1} muni de la multiplication usuelle est un groupe isomorphe Z/2Z. La signature dnit donc une application sgn : Sn Z/2Z.12. Montrer que cette application est un morphisme de groupes.

Le morphisme sgn : Sn Z/2Z dni ci-dessus sappelle le morphismesignature.

13. On dit que deux permutations et de Sn sont conjugues dans Sn silexiste une permutation tel que = 1. Dmontrer la formule suivante :pour un k-cycle (x1, . . . , xk),

(x1, . . . , xk)1 = ((x1), . . . , (xk)).

En dduire, en particulier, que toutes les transpositions sont conjugues dans Sn.

14. Dmontrer quil existe un unique morphisme non trivial Sn Z/2Z. (Ondmontrera que si un tel morphisme vaut +1 sur une transposition, alors il esttrivial sur les transpositions : cest donc le morphisme trivial.)

Ce qui prcde montre lunicit du morphisme signature. Son noyau, not An,form des permutations de signature +1, sera tudi au TR.II.B.

TR.I.B. Groupes cycliquesUn groupe monogne est un groupe engendr par un lment,

G = x = {xk, k Z}.Ces groupes sont des groupes abliens particulirement importants. On verra

au chapitre VI que tout groupe ablien engendr par un nombre ni dlmentsest isomorphe un produit direct de groupes monognes.

1. Montrer que sur tout ensemble ni, on peut dnir une loi de compositioninterne qui munisse cet ensemble dune structure de groupe monogne. (Soit Xun ensemble n lments ; on note x1 un lment et on pose x2 = 2x1, . . .,xk = kx1, . . . , xn = nx1, (n + 1)x1 = x1. On munit X de la loi

xi + xj = xj + xi = kx1, avec k = (i + j)modn.)

27

Algbre T1

2. Montrer que si G est un groupe monogne :

ou bien G est inni et isomorphe Z,

ou bien G est dordre ni et isomorphe au groupe additif Z/nZ, avec n = |G|.

Un groupe monogne dordre ni est dit cyclique. Ce qui prcde montre queltude des groupes cycliques se ramne celle des groupes additifs Z/nZ.

3. Montrer que si p est un nombre premier, tout groupe dordre p est cyclique,donc isomorphe Z/pZ.

Nous allons tablir un rsultat technique qui nous sera utile dans la suite.

4. Montrer que si G = x est un groupe cyclique dordre n, xk = 1 si et seulementsi k nZ.

Sous-groupes des groupes cycliques

Nous avons vu (proposition I.2.2) que les sous-groupes de Z sont les nZ, n N.Ils sont donc isomorphes Z. On remarquera ici une dirence fondamentale entreles groupes abliens et les espaces vectoriels : le sous-groupe nZ est strictementcontenu dans Z (par exemple si n = 2, nZ est lensemble des nombres pairs)et pourtant isomorphe Z, alors quun sous-espace vectoriel strict dun espacevectoriel de dimension nie ne peut lui tre isomorphe.

5. Montrer que les sous-groupes de Z/nZ correspondent biunivoquement aux sous-groupes kZ de Z, avec k > 0 divisant n. En dduire quun sous-groupe dun groupecyclique est un groupe cyclique.

6. Montrer que si G = x est un groupe cyclique dordre n, si k est un entierrelatif et si h = pgcd(k, n), alors xk et xh engendrent le mme sous-groupe.

Le thorme de Lagrange (II.1.1) montre que si G est un groupe ni, lordrede tout sous-groupe H de G divise lordre de G. En gnral, si d est un diviseurquelconque de lordre de G, il nexiste pas de sous-groupe H de G dordre d. Parexemple, on verra au TR.II.B que le groupe A4, qui est dordre 12, na pas desous-groupe dordre 6. Cependant,

7. Si G = x est un groupe cyclique dordre n et si d est un diviseur de n, montrerque H = xn/d est un sous-groupe dordre d de G et que cest le seul.

On verra au chapitre VI que, plus gnralement, si G est un groupe ablienni dordre n, pour tout diviseur d de n, il existe un lment de G dordre d.

28

Thmes de rflexion

Gnrateurs dun groupe cyclique

En gnral, si G = x est un groupe cyclique, il existe dans G dautres gnra-teurs que x. Par exemple, le groupe des racines cubiques de lunit G = {1, j, j2}est engendr par j et j2. Nous allons montrer que les gnrateurs dun groupecyclique G forment un groupe, dont nous allons calculer lordre.

8. Montrer que si G = x est un groupe dordre n, xk est un gnrateur de G siet seulement si pgcd(k, n) = 1 (i.e. si k et n sont premiers entre eux).

On en dduit que le nombre de gnrateurs dun groupe cyclique dordre n estgal (n), o est la fonction dEuler

(n) = card{k N, 1 k n 1, pgcd(k, n) = 1}.

9. Montrer que les gnrateurs du groupe Z/nZ forment un groupe multiplicatif,not U(Z/nZ). (On utilisera lidentit de Bezout.)

On remarquera que ce groupe nest pas un sous-groupe de Z/nZ, puisque saloi nest pas induite par celle de Z/nZ.

10. Montrer que, pour tout n N, le groupe Aut(Z/nZ) est isomorphe au groupeU(Z/nZ).

Produit direct de groupes cycliques. Application au calcul de (n)

11. Montrer que si p et q sont des entiers positifs, pZ qZ = pqZ si et seulementsi p et q sont premiers entre eux.

En dduire que les groupes Z/pZ Z/qZ et Z/pqZ sont isomorphes si etseulement si p et q sont premiers entres eux.

12. Gnraliser cette dernire assertion en montrant que les groupes

Z/p1Z . . . Z/pkZ et Z/p1 . . . pkZ

sont isomorphes si et seulement si les entiers pi, 1 i k, sont premiers entreeux deux deux.

On en dduit que pour tout nombre n N dont la dcomposition en facteurspremiers est n = ps11 . . . p

skk , le groupe Z/nZ est canoniquement isomorphe au

groupe Z/ps11 Z . . . Z/pskk Z.13. En dduire que si n = ps11 . . . p

skk , o les pi, 1 i k, sont des nombres

premiers, alors (n) =i=k

i=1 (psii ). (On tablira quun isomorphisme de groupes

f : G G induit une bijection entre lensemble des parties gnratrices de G etlensemble des parties gnratrices de G.)

29

Algbre T1

14. Montrer que pour tout nombre premier p et tout entier positif s, on a(ps) = ps1(p 1).

En dduire que si n = ps11 . . . pskk est la dcomposition de n en facteurs premiers,

on a

(n) = nk

i=1

(1 1

pi

).

TR.I.C. Dtermination des groupes dordre n,pour 1 n 9

Il sagit de dterminer tous les groupes, isomorphisme prs, dordre n pour1 n 9.

On sait que le seul groupe dordre 1 est le groupe trivial rduit llmentneutre. La question TR.I.B.3 donne la rponse pour n = 2, 3, 5, 7.

Cas n = 41. Montrer quun groupe dordre 4 est isomorphe Z/4Z ou Z/2Z Z/2Z etque ces deux groupes ne sont pas isomorphes entre eux.

Cas n = 6Soit G un groupe dordre 6.

2. Montrer que si G est ablien, il est isomorphe Z/6Z (lui-mme isomorphe Z/2Z Z/3Z).3. Montrer que si G est non ablien, il est isomorphe S3.

Cas n = 8Nous allons montrer quil existe, isomorphisme prs, exactement cinq groupes

dordre 8 qui sont :

Z/8Z, Z/2Z Z/2Z Z/2Z, Z/4Z Z/2Z, D4, H.

4. Montrer que les cinq groupes ci-dessus ne sont pas isomorphes entre eux deux deux.

Soit G un groupe dordre 8 ; il est clair que sil possde un lment dordre 8,il est isomorphe Z/8Z et on sait que, daprs (EI.8.2), si tous ces lments sontdordre 2, il est isomorphe Z/2Z Z/2Z Z/2Z.

On suppose quaucune des conditions ci-dessus nest ralise. Il existe donc unlment a dordre 4 dans G.

30

Thmes de rflexion

5. Montrer quil existe dans G un lment b, nappartenant pas au sous-groupea et que {a, b} engendre G.

On voit facilement que ba {ab, a2b, a3b}.6. Montrer que si ba = ab, le groupe G est ablien et il est isomorphe au groupeproduit Z/4Z Z/2Z.7. Montrer que lgalit ba = a2b est impossible.

On en dduit donc que si ab = ba, alors ba = a3b.8. Montrer qualors b2 = 1 ou b2 = a2, et que :

si b2 = 1, le groupe G est isomorphe au groupe D4 ;

si b2 = a2, le groupe G est isomorphe au groupe H.

Cas n = 9Si le groupe G possde un lment dordre 9, il est isomorphe au groupe Z/9Z.On suppose que le groupe G ne possde pas dlment dordre 9.

9. Montrer que le groupe G possde deux lments a et b dordre 3 tels que a2 = bet b2 = a, qui engendrent G.

Il est facile de voir que ba {ab, ab2, a2b, a2b2}.10. Montrer que seule lgalit ba = ab est possible (calculer (ba)2), et qualors legroupe G est isomorphe au groupe Z/3Z Z/3Z.

Il y a donc, isomorphisme prs, deux groupes dordre 9 qui sont :

Z/9Z, Z/3Z Z/3Z

(vrier quils ne sont pas isomorphes entre eux).On aura remarqu que si G est un groupe dordre n = 4 ou 9, i.e. n = p2 o

p est un nombre premier, alors G est isomorphe Z/p2Z ou Z/pZ Z/pZ. Ontablira ce rsultat de faon gnrale en dans lexercice (IV.4).

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TRAVAUX PRATIQUES

TPI. tude de quelques groupes de permutations

Dans ce TP, on se propose de manipuler avec Maple quelques groupes depermutations, cest--dire des sous-groupes du groupe symtrique Sn, pour di-rents entiers n. Daprs le thorme de Cayley, tout groupe peut tre vu commeun groupe de permutations, do limportance de ces derniers. Cest loccasiondtudier la structure de groupe (la dnition par des gnrateurs, le calcul ducentre, de lordre des lments) et dapprhender sans formalisme la notion de pr-sentation par gnrateurs et relations (qui sera tudie en dtail au TP.IV.A). Enparticulier, on sintressera aux deux groupes non abliens dordre 8 : le groupe D4des isomtries du carr et le groupe quaternionique H. Quelques remarques concernant la manipulation des permutations et des

groupes de permutations sous Maple : on prendra soin de charger au pralablela librairie group de Maple (faire with(group);).

Dnition dune permutation. On peut soit se donner une permutationlist [(1), . . . , (n)] : ainsi [1,3,4,5,2] dsigne pour Maple la permuta-

tion(1 2 3 4 51 3 4 5 2

), soit se donner la permutation comme la liste des cycles

supports disjoints dont le produit est : ainsi [[1,2,3],[4,5]] dsignela permutation (1, 2, 3)(4, 5). On passe de lun lautre comme suit :>convert([1,3,4,5,2],disjcyc);>convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,5);>convert([[1,2,3],[4,5]],permlist,9);>map(g->convert(g,disjcyc),[[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]]);>map(g->convert(g,disjcyc),{[2,3,1,5,4],[2,3,1,5,4,6,7,8,9]});

Noter que, dans la deuxime commande, la permutation est vue comme unlment de S5 et comme un lment de S9 dans la troisime. La commande

Algbre T1

type(g,disjcyc(n)) renvoie true si g est un lment de Sn donn commeune liste de cycles supports disjoints et false sinon.

Remarque. Concernant toutes les commandes Maple suivantes (et toutesles procdures que vous serez amens crire), sauf mention du contraire, ilsera sous-entendu que les permutations sont entres comme listes de cycles supports disjoints.

Oprations sur les permutations. Elles sont donnes par les commandesinvperm, mulperms (inverse et produit respectivement). Le neutre est [ ].

Dnition dun groupe de permutations. La commande MapleG:=permgroup(n,{g1,...,gr}) dnit le sous-groupe G de Sn parun ensemble g1, . . . , gr de gnrateurs. On peut alors tester si g appartient G par groupmember(g,G) et calculer le cardinal par grouporder(G).

Remarque. A priori, tous les algorithmes la base des commandes Mapleutiliss dans cette feuille sont connus du lecteur, lexception prcisment degroupmember et de grouporder dont limplmentation dpassant le cadre de ceTP sera passe sous silence (voir cependant la question 4.). Le lecteur intresspourra consulter [10], chapitre 8, ou attendre le TP.II.

Les groupes Sn et An

Quelques commandes Maple utiles : seq, nops, op, type( ,odd).

1. Calculer mulperms([[1,2]],[[1,3]]) et mulperms([[1,3]],[[1,2]]). Queconstate-t-on ? crire une procdure multperm:=proc(g1,g2) renvoyant g1 g2.2. La commande combinat[permute](n) renvoie la liste de tous les lments deSn en tant que permutation lists . Dnir S3 avec la commande permgroup etdonner la liste de ses lments laide de la commande elements. Comparer avecle rsultat de la commande combinat[permute](3).

3. crire des fonctions dnissant sous Maple, pour n un entier quelconquedonn, le groupe Sn partir des systmes de gnrateurs suivants :

les transpositions (1, 2), (2, 3), . . . , (n 1, n) ;

la transposition (1, 2) et le n-cycle (1, 2, . . . , n).

Vrier, pour direntes valeurs de n, que lon obtient bien Sn tout entier (et ledmontrer au papier-crayon pour tout n).

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Travaux pratiques

4. Soit G le sous-groupe de Sn dni par un ensemble S0 = {g1, . . . , gr} degnrateurs et soit S = S0 {g11 , . . . , g1r } (on conserve les inverses, bien que legroupe soit ni, par souci decacit algorithmique). Partant de L = S {1G}et N = S, quels types de mots en les gnrateurs et leurs inverses obtient-ondans L et N aprs excution de la ligne suivante ?

N:={seq(seq(multperm(g,h),g=N),h=S)} minus L; L:=L union N;

Et aprs excution de cette ligne deux fois de suite ? Tester avec Maple surSn, pour n = 3, 4, engendr par la transposition (12) et le n-cycle (1, 2, . . . , n).Conclusion ? crire une procdure elements1:=proc(G) donnant la liste des l-ments du groupe G, par itration de la ligne de commandes prcdente autant defois que ncessaire. laide de la commande time, comparer sur des exemples lestemps de calcul entre cette procdure nave et la procdure elements de Mapledont limplmentation est passe sous silence : conclusion ?

5. Soit G(n), pour n 3, le sous-groupe de Sn engendr par :

les cycles (1, 2, 3) et (3, . . . , n) si n est impair ; les permutations (1, 2, 3) et (1, 2)(3, . . . , n) si n est pair.

Que dire de la parit des lments de G(n) ? Vrier avec la commande paritypuis observer les cardinaux. Quelle conjecture cela suggre-t-il ? La dmontrer(indication : commencer par remarquer que (1, 2, i)(1, 2, j)1 = (1, i)(1, j) et queSn est engendr par les transpositions de la forme (1, i) ; en dduire que le groupealtern An est, pour n 3, engendr par les 3-cycles (1, 2, i), i = 3, . . . , n). crireenn une procdure A:=proc(n) dnissant An sous Maple pour tout entiern 2.6. On sait que le centre de Sn est trivial, sauf pour n = 2 o le groupe est ablien.En testant avec Maple (commande center), faire une conjecture pour An et ladmontrer.

Deux groupes de permutations de cardinal 8

Quelques commandes Maple utiles : sort, Matrix.

Prliminaires : on rappelle que le type dune permutation Sn est la liste[1, . . . , 1, n1, . . . , nr], o les ni, rangs par ordre croissant, sont les longueurs descycles dans la dcomposition canonique en produit de cycles disjoints, avec aupralable autant de 1 que de points xes : la somme des lments de la liste vautdonc n (en analyse combinatoire, on dit quune telle liste est une partition de n).

7. crire une procdure typ:=proc(g,n) renvoyant le type de la permutationg Sn. Tester avec les lments (1, 2, 3) et (1, 2, 3)(4, 5) de S6. Comment trouver

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Algbre T1

lordre dune permutation lorsque lon connat son type ? crire une procdureord calculant lordre dune permutation. Donner la liste des ordres des lmentsde S4 et vrier que ces nombres divisent tous le cardinal de S4. Dnombrer lamain les lments dordre 4 et comparer.

tude du premier groupe : avec les notations de lexemple I.1.2.c, on rappelleque le groupe des isomtries du carr est D4 = {I,R1, R2, R3,H, V,1,2}.8. Une isomtrie du carr permutant les sommets du carr, justier que D4 siden-tie, quitte numroter les sommets, un sous-groupe de S4 (prcisment, onmontrera que la restriction aux sommets dnit un morphisme injectif de groupesde D4 dans S4 ; on identie alors D4 son image). Dcrire, en tant que permu-tations, les lments de D4. Enn, dnir D4 avec la commande permgroup etdonner la liste des lments avec la commande elements. En dduire quil sagiteectivement dun sous-groupe de S4 de cardinal 8.

9. Vrier que D4 = R1,H = R1,

Documents

Algèbre Tome 1