ALGORITMI DE OPTIMIZARE IN INGINERIE ELECTRICA

Sef lucrari ing. Alin-Iulian DOLAN

• Restrictiilecare permit variabilelor de a lua anumite valori si de a exclude alte valori(ex: limitarea pierderilor)

PROBLEME DE OPTIMIZARE

OPTIMIZAREA ⇔⇔⇔⇔ gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme, constand in minimizarea (maximizarea) uneifunctii f (x) pe o multime fezabila S:

f (x) ���� min (max), x ∈∈∈∈ S

2

Componentele uzuale unei probleme de optimizare

• Functia obiectiveste functia care se doreste a fi minimizata (maximizata)(ex: forta intr-o anumita regiune)

• Variabilelecare afecteaza valoarea functiei obiectiv(ex: geometria si materialul)

Procesul de proiectare a sistemelor

3

• Obtinerea de caracteristici prin limitarea dimensiunilor (obtinerea clasei de precizie impuse pentru transformatoarele de curent integrate in transformatoarele de putere)

• Ecranarea optimala a campului electric in echipamentele de IT (obtinereaminimului intensitatii campului electric in domeniul considerat)

• Probleme de optimizare in camerele de stingere ale aparatelor de IT (obtinerea unei viteze optimale a arcului electric)

• Obtinerea de configuratii optimale pentru barele de alimentare

• Optimizarea caracteristicilor fortei la electromagneti

Optimizare partiala� functie monobiectiv, dependenta de parametrii tehnici aidispozitivului

Probleme de optimizare in inginerie electrica

Proiectare optimala � functie multiobiectiv (volum, masa, cost, consum de energie, etc.)

4

Abordarea cu modele primare� utilizeaza modelul primar direct in

procedura de optimizare

Abordarea problemelor de optimizare

5

Abordarea cu modele secundare� utilizeaza modelele secundare (modele de

de suprafete de raspuns) in procedura deoptimizare

TEHNICI DE OPTIMIZARE

Criterii de optimalitate(metode indirecte)

Probleme cu restrictii

Tehnici de cautare(metode directe)

Probleme fara restrictii

• Probleme de programare liniara(PL)���� functia obiectiv si restrictiile sunt liniare

• Probleme de programare neliniara(PN) ���� functia obiectiv si restrictiile sunt neliniare

6

MINIM GLOBAL / LOCAL

Definitie: Fie x* ∈ S intr-o problemaPN

O functief (x) de n variabile are minim global (absolut) in punctulx*

⇔ f (x* ) ≤ f (x), ∀ x ∈ S ( f (x* ) < f (x) ⇒ minim global strict)

Definitie: Fie Nδ = {x ∈ S , || x - x*|| < δδδδ}, ||⋅⋅⋅⋅|| ∈ Rn, δ = scalar

O functief (x) de n variabile are minim local (relativ) in punctulx*

⇔ ∃ δ astfel incat f (x* ) ≤ f (x), ∀ x ∈ Nδ , ( f (x* ) < f (x) ⇒ minim local strict )

Teorema Weirstrass:Daca functiaf (x) estecontinua pe o regiune fazabila nevidaS inchisa si marginita

⇒ f (x) are minim (maxim) global in S

OPTIMIZARE – CONCEPTE DE BAZA

7

VECTORUL GRADIENT (GRADIENTUL)

Definitie: Fie o functie f (x) de n variabilex1, x2, …, xn

Vectorul gradiental functiei f (x) in x* este:

� vectorul gradient este normal pe planul tangent suprafetei f (x) = ct. in punctul x*

� vectorul gradient este orientat in sensulvalorilor crescatoare ale functiei f (x)

8

MATRICEA HESSIANA (HESSIANUL)

Definitie: Fie o functie f (x) de doua ori continua si diferentiabila in punctulx*

Matricea Hessianaa functiei f (x) este:

� matricea hessiana este intotdeauna o matrice simetrica ⇒ joaca un rol important in conditiilede suficienta pentru optimizare

9

Definitie: O matrice simetricaA estePD, ND, PSD, NSD, INDdaca forma patraticaasociata luiA este, respectiv, PD, ND, PSD, NSD, IND

FORME PATRATICE. MATRICE DEFINITE

Definitie: O forma patraticaeste o functie neliniara avand numai termeni de ordin 2:

undeP = [pij], P ∈Mn x n se numestematricea formei patratice F(x)

Notandaij = (pij + pji)/2, ∀ i,j si A = [aij] ⇒ , (A = matrice simetrica)

Definitie: Daca forma patraticaF(x) > 0, ∀ x ≠ 0 ⇒ F(x) = pozitiv definita(PD)

10

(F(x) < 0) (negativ) (ND)

Definitie: Daca forma patraticaF(x) ≥ 0, ∀ x ≠ 0 si∃ cel putin unx ≠ 0 a.i. F(x) = 0 ⇒ F(x) = pozitiv semidefinita(PSD)(F(x) ≤ 0)

(negativ) (NSD)

Definitie: DacaF(x) > 0 pentru unii vectori siF(x) < 0 pentru alti vectori⇒ F(x) = indefinita (IND)

11

Verificarea valorilor proprii : Fie λλλλivalorile proprii ale matriceiA

• F(x) estePD (ND) ⇔ λλλλi > 0 (λλλλi < 0)

• F(x) estePSD (NSD) ⇔ λλλλi ≥ 0 (λλλλi ≤ 0) si cel putin o valoare proprieλλλλi = 0

• F(x) esteIND daca unele valoriλλλλi > 0 si alte valoriλλλλi < 0

METODE DE VERIFICARE A DEFINIRII / SEMIDEFINIRII

Verificarea minorilor principali : Fie Mk al k-lea minor principal al matriceiA

• A estePD (ND) ⇔ Mk > 0 (Mk < 0)

• A estePSD (NSD) ⇔ Mk ≥ 0 (Mk ≤ 0) si cel putin un minor principal Mk = 0

• A esteIND daca nu se satisfac primele doua conditii

PROBLEME DE OPTIMIZARE FARA RESTRICTII

12

Conditii necesare si suficiente pentru extremum

Conditii necesare : DacaF(x) are un extremum local (minim, maxim) in x*

⇒ sau

Conditii necesare de ordinul 2: DacaF(x) are minim (maxim) local in x*

⇒ estePSD (NSD)sauPD (ND) in x*

Definitie: Solutia x* se numestepunct stationar

OBS: Un punct stationareste doar candidat pentrupunct optimal

13

Conditii suficiente de ordinul 2: Daca hessianulH(x*) estePD (ND) in x*⇒ x* este un minim (maxim) local pentru functiaf(x*)

OBS: Daca H(x*) este PSD (NSD)atunci este posibil ca x* sa nu fie extremum local

Teorema:Daca in punctul stationarx* al functiei f(x), primelen-1 derivate se anuleaza

si f (n)(x*) ≠ 0⇒ f (x*) are:

• un punct de inflexiune, dacan = impar

• un extremum, dacan = par. El va fi un minim (maxim) dacaf (n)(x*)<0 ( f (n)(x*)>0)

PROBLEME DE OPTIMIZARE CU RESTRICTII

Definitie: Un punctx* care satisface restrictiilehi(x*) = 0, i = 1, 2, …, p se numestepunct regular daca gradientii tuturor restrictiilor in punctulx* sunt liniar dependenti

Teorema multiplicatorilor lui Lagrange: Fie x* un punct regular care esteextremum local sif (x), hi(x*) = 0, i = 1, 2, …, p, diferentiabile intr-o vecinatate a luix*

⇒ ∃ µµµµi* ∈ R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

⇔

14

Restrictii “egalitate”. Conditii necesare. Multiplicatorii lui Lagrange

Functia lui Lagrange

Restrictii “inegalitate”

Teorema (conditiile Fritz-John): Fie x* un minim local sif (x), gi(x*) = 0,

i = 1, 2, …, m, diferentiabile intr-o vecinatate a luix*

⇒ ∃ λλλλi* ∈ R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

si cel putin unulλλλλ0* ≠ 0

(conditii de relaxare)

Numai muliplicatorii Lagrange cecorespund restrictiilor satifacute ca egalitati sunt nenuli. Astfel de restrictiise numesc active

I = { i = 1, 2, …, m: gi(x*) = 0} 15

Definitie: Un punctx* care satisfacegi(x*) = 0, i ∈ I se numestepunct regular al multimii fezabile {x ∈ Rn: gi(x) ≤ 0, i = 1, 2, …, m}

⇔ ∇ gi(x*), i ∈ I sunt functii liniar dependente

Teorema (conditiile Kuhn-Tucker): Fie x* un punct regular adica un minim local si f (x), gi(x*) = 0, i = 1, 2, …, m, diferentiabile intr-o vecinatate a luix*

⇒ ∃ λλλλi* ∈ R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

Definitie: O multimeK se numestecon

⇔ ∀ x ∈ K, λλλλ ≥ 0 ⇒ λλλλx ∈ K

K este generat de vectorii x(1), x(2), …, x(m)

16

⇔

⇔

17

Restrictii mixte. Conditiile Kuhn-Tucker

Teorema (conditiile KT): Fie x* un punct fezabil sif (x), gi(x), i = 1, 2, …, m,

diferentiabile, hi(x), i = 1, 2, …, p, continuu diferentiabile inx* si I = { i : gi(x*) = 0}

Daca∇gi(x*), i ∈ I si ∇hi(x*), i = 1, 2, …, p sunt liniar independente six* = minim local

⇒ ∃ λλλλi*, i = 1, 2, …, m, µµµµi*, i = 1, 2, …, p, (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

Functia lui Lagrange

1) Teorema (conditiile KT cu variabile slabe): Fie x* solutie locala a PN siconditiile teoremei precedente satisfacute.

Se definestefunctia Lagrange(lagrangeanul) sub forma:

Daca∇gi(x*), i ∈ I si ∇hi(x*), i = 1, 2, …, p sunt liniar independente six* = minim local

⇒ ∃ variabilele slabe s(m-vector) simultiplicatorii lagrange λλλλ (m-vector), µ µ µ µ (p-vector), a.i. lagrangeanul este stationar in raport cu xi, λλλλi, µµµµi, si:

18

Forme echivalente ale conditiilor Kuhn-Tucker

2) Impunerea conditiilor de nenegativitate

Conditiile Kuhn-Tucker:

19

Problema demaximizare: ⇔⇔⇔⇔

Teorema (conditie necesara de ordinul II)Fie x* care satisface conditiileKT pentruPN si:

hessianul in punctul de interes al functiei Lagrange. Fie d directiile fezabile nenule cesatisfac:

Dacax* este punct de minim local ⇒

unde

este hessianul lagrangeanului functie de x

Teorema (conditie suficienta de ordinul II)Fie x* care satisface conditiileKT pentruPN, ∇2L definit analog si directiiled a.i.

Fie pentru aceste restrictii cu

Daca ⇒ x* este un punct de minim local izolat(nu exista nici un alt punct de minim local in vecinatatea luix*) 20

21

Fie PN

• Daca functia f (x) este continua pe o multime fezabila inchisa si marginita⇒ teorema Weirstrass garanteaza existenta minimului global

PentruPN trebuie verificat daca toate punctele care satisfac restrictiile (egalitati siinegalitati) formeaza o multime inchisa si marginita in Rn

• Apoi se formuleaza conditiileKT pentru PN si se gasesc solutiile

Se evalueazaf (x) in toate puncteleKT si se selecteaza o solutie care da cea maimica valoare a functieif (x)

PROGRAMARE CONVEXA

OBS: Conditiile KT = conditii necesare ⇒ pot exista puncte KT care nu suntpentru minimul local minime globale ⇒ volum mare de calcule

Daca PN este convexa ⇒ orice minim local = minim global⇒ conditiile KT = conditii suficiente

22

Definitie: O multimeSse numesteconvexa ⇔ ∀ x(1), x(2) ∈∈∈∈ S:

ααααx(1) + (1-αααα)x(2) ∈∈∈∈ S, 0 ≤ αααα ≤ 1, adica intregul segment de dreapta dintrex(1)si x(2) este in S

Definitie: O functief(x) definita pe o multime convexaS se numesteconvexa(concava)

⇔ ∀ x(1), x(2) ∈∈∈∈ S, f [ααααx(1) + (1-αααα)x(2)] ≤ ααααf(x(1)) + (1-αααα)f [x(2)], 0 ≤ αααα ≤ 1

(≥)

Inegalitati stricte ⇔ convexitate stricta

(concavitate)

23

Teorema: O functief(x) de n variabile, x ∈∈∈∈ Rn este convexa pe o multime convexaS ⇔ hessianulH estePD sauPSD ∀ x ∈∈∈∈ S

Teorema: Multimea S = {x ∈∈∈∈ Rn gi(x) ≤ 0, i = 1, …,m si hi(x) = 0, i = 1, …,p } esteconvexa dacagi(x) sunt convexe sihi(x) sunt liniare, hi(x) = ai

Tx + bi

Definitie: Dacaf(x), gi(x), i = 1, …,m sunt convexe sihi(x), i = 1, …,p, sunt liniare,⇒ problemaPN se numesteproblema de programare convexa(PC)

Teorema: Dacax* este minim local pentru pentru o functie convexaf(x) definita pe o multime convexaS ⇒ x* este minim global

Definitie: Se spune ca este satisfacutaconditia Slater

⇔ ∃ ∈∈∈∈ Rn astfel incatgi( ) < 0,∀ gi(x) neliniare, i = 1, …,mx x

Teorema: Fie f(x) si gi(x) < 0, i = 1, …,m, diferentiabile si conditia Slater satisfacuta.

x* este solutie a PC ⇔ conditiile Kuhn-Tucker sunt satisfacute inx*

CONCLUZIE: Dacaf(x) = convexa si multimea fezabilaS= convexa in problemaPN⇒ conditiile Kuhn-Tucker= conditii necesare si suficientepentru minimul global

Model de tip circuit magnetic (proiectare optimala)� optimizarea electromagnetului unui contactor de curentcontinuu

Exemple de optimizare in inginerie electrica

1. X1 = A2. X2 = A1/A3. X3 = A2/A22

4. X4 = A3/A34

5. X5 = A4/A2

Variabile de proiectare:

Restrictii: geometrice, restrictii pentru bobine, densitatea de flux magnetic in miez, energia cinetica la atingerea contactelor

� discretizarea spatiului de proiectaredupa 5 directii

� retea de discretizare 5-dimensionala

24

Model de tip circuit magnetic (proiectare optimala) � optimizarea formei polului unui electromagnet de curentcontinuu

Exemple de optimizare in inginerie electrica

Coordonatele (xi,yi) ale frontiereipolare (punctele de contur)

Variabile de proiectare: Restrictii: densitate de flux magnetic constant B = 0.1T pe zona polara a jugului, limitele coordonatelorxu≤ xi≤ xo, yu≤ yi≤ yo

25

Model de tip camp electric � ecranarea campului electric in transformatoarele de curent

Exemple de optimizare in inginerie electrica

Variabile: inaltimea si diametrul ecranului

Functia obiectiv: intensitatea campuluielectric pe suprafata exterioara a izolatorului� min

� ecranarea campului electric in transformatoarele de tensiune

Variabile: pozitia si raza ecranelor

Functia obiectiv: intensitatea campuluielectric � min

(optimizare partiala)

26

Model de tip camp magnetic � optimizarea caracteristicii fortei unui electromagnet cu disc feromagnetic in bobina

Exemple de optimizare in inginerie electrica

Variabile: pozitia si geometria discului

Restrictii: caracteristici electrice si mecanice date

(optimizare partiala)

Functia obiectiv: forta initialaF0 � max

27

Model de tip mecanic� optimizarea miezurilor magnetice la transformatoare

Exemple de optimizare in inginerie electrica

Variabile: latimile treptelor miezuluia1, …, a6

Functia obiectiv:diferenta∆S dintre aria cercului Sc de diametru Dc si aria ocupata de miezSt � min

(optimizare partiala)

28

29

Metoda celor mai mici patrate� model de ajustare neliniara

Exemple de optimizare in inginerie electrica

(optimizare partiala)

Variabile: coeficientiia, b, n ai functiei de ajustare

Functia obiectiv: suma patratelordiferentelor dintre curba reala si functia de ajustare� min

Functia de ajustare: t(x) = a xn + b