* Espec., PUC-MG. Professora do Inst. de Eng. e Ciências Exatas da UNIFENAS. Alfenas - MG - mmdias@bc.unifenas.br

** M.Sc., ITA. Professor do Inst. de Eng. e Ciências Exatas da UNIFENAS. Alfenas-MG - amdias@bc.unifenas.br

***Professor do Inst. de Eng. e Ciências Exatas da UNIFENAS-Alfenas-MG

Rev da Univ de Alfenas,3:207-210,1997.

ALGORITMO PARA A RAIZ N-ÉSIMA DE UM REAL

Marly Moreira Dias * Alexandre Martins Dias **

Carlos Alberto V. de Melo *** Instituto de Eng. e Ciências Exatas. Universidade de Alfenas.

Caixa Postal 23. 37130-000 Alfenas, MG. Brasil.

RESUMO

A finalidade deste trabalho é apresentar um método alternativo para o ensino do cálculo de raízes positivas aproximadas de ordem n, de números reais, cuja justificativa matemática possa ser apresentada e compreendida com os conhecimentos de matemática adquiridos pelo estudante dos cursos regulares de nível secundário. Além das vantagens em relação ao algoritmo tradicional, o método apresentado ainda oferece a oportunidade de introduzir a idéia de processos iterativos. DESCRITORES: Raiz n-ésima, Algoritmo

SUMMARY

The purpose of this work is to present a alternate method for n-order approximate positive root of a real numbers, with mathematical proof might be presented and absorbed with mathematical resources of the regular high school students. More that advantages on the traditional algorithm, the method presented allow the iterative process idea introduction. KEYWORDS: n-order root, Algorithm.

1. Introdução

Ainda encontra-se na literatura destinada à escola de 1o. grau, o emprego de um algoritmo tradicionalmente conhecido para o ensino do cálculo de raízes quadradas e cúbicas positivas aproximadas de números reais. Levantamos alguns problemas a respeito do tratamento deste tópico na escola secundária:

1. Há uma certa dose de empirismo, visto que não é apresentada nenhuma justificativa

matemática para os processos.

2. Há dificuldade de memorização dos processos pelos alunos, que vêm a esquecê-los

logo que deixam a escola secundária, dada a sua complexidade.

3. Uma limitação é imposta ao estudante que encerra seus estudos no nível secundário,

pois não chega a conhecer processos que possibilitem o cálculo de raízes de ordem

superior a três. O estudo dos logaritmos apresenta esta possibilidade, mas esta

aplicação nem sempre é lembrada.

4. Falta um método alternativo para as raízes de ordem n que possa ser completamente justificado e entendido com os recursos da Matemática de nível secundário.

BARONE JUNIOR ,M.(1983), apresentou uma justificativa para o algoritmo da raiz

quadrada para um caso particular. Isto resolve parte dos problemas levantados anteriormente, porém a justificativa é complexa para ser apresentada ao aluno, conforme Nota da própria Redação da referência citada. SILVA,Z.C.(1984), apresentou um “Método de Aproximações Sucessivas” fundamentado no método de Newton, que resolve todos os problemas levantados anteriormente, exceto o do item 4, pois o aluno do nível secundário não conhece o método de Newton. Tentamos assim, justificar a retomada da questão. Não queremos descartar o uso do algoritmo tradicional, pois seu próprio tempo de permanência na literatura é uma justificativa de sua importância e utilidade. Nossa intenção é sugerir um método alternativo que elimine os problemas levantados e possibilite ainda a introdução nos primeiros níveis da escolaridade, da idéia de iteração. Hoje, os processos iterativos estão presentes em muitos trabalhos de fronteira na Matemática e especialmente na Física. Neste sentido, sugerimos um método alternativo que permita ao estudante, desde as primeiras séries da escola secundária o cálculo de raízes de ordem n , que pode ser facilmente formalizado a partir da idéia de diferencial de uma função, que é estudado na 3a. série do segundo grau, e pode ser compreendido pelo estudante. 2. Formalização do Método Seja f uma função diferenciável em R*, representada por y = f(x). Um acréscimo ∆x

dado a x, acarreta um acréscimo a y, tal que: )1()()( xfxxfy −∆+=∆

Para ∆x pequeno, podemos escrever que

∆ ∆y f x x≅′ ( ) ( )2

Assim, podemos rescrever a Eq. (1) na forma:

f x x f x f x x( ) ( ) ( ) ( )+ ≅ +′

∆ ∆ 3

Toma-se agora, f x xn( ) = , onde x é definido em R+ para n par e em R para n ímpar.

Então, usando a Eq. (3) obtemos que:

x x xx

nxn n

n n+ ≅ +−

∆∆( ) / ( )1 4

Façamos agora, x+∆x = t, e tomemos x = r, de tal modo que r seja uma real da forma sn

,

bastante próximo de t , a fim de que se possa ter ∆x suficientemente pequeno, justificando a aproximação mostrada pela Eq. (2).

Com estas considerações e usando a Eq. (4), obtemos que:

t rt r

nrn n

n n≅ +−

−( )/ (5)1

Multiplicando a Eq. (5) pelo denominador do segundo termo do segundo membro e

rearranjando os termos, obtemos finalmente

tt n r

n r

n

nn≅

+ −

−

( )( )

16

1

Esta fórmula simples, obtida com recursos matemáticos do nível secundário, permite

obter a raiz n-ésima de um real t , escolhendo um real r cuja raiz n-ésima conhecemos, próximo de t. É fácil ver que quanto mais próximo de t estiver r , melhor será o resultado obtido.

A formalização será de fácil entendimento para o aluno do 2o. grau, e poderá ser apresentada como um aplicação prática do conceito de diferencial.

Para obter maior precisão, apresentaremos a seguir um processo iterativo que possibilitará uma determinada precisão, através de aproximações sucessivas.

3. Processo Iterativo

Na aplicação da Eq. (6), surge o problema da escolha de r , da forma sn , suficientemente

próximo de t , para que se obtenha a raiz com certa precisão; o que não é em geral difícil, se n é pequeno. Apesar da dificuldade, esta escolha de r é um exercício mental que pode ajudar a desenvolver no estudante a idéia de ordem de grandeza.

Entretanto, é bem conhecido (PISKOUNOV,N., 1972), que a raiz n-ésima de um real t

pode ser maximizada por ( ) /t n n+ − 1 , ou seja , t t n nn ≤ + −( ) /1 . Isto naturalmente

ajudará a escolha de uma aproximação inicial. Contudo, para contornar este problema, sugerimos um processo iterativo, onde a raiz n-

ésima de t pode ser obtida com a precisão desejada sem a preocupação de uma boa aproximação

inicial. Para isto, com n e t fixos, podemos, a partir da Eq. (6), definir g R R: + +→ como uma

função de si , tal que:

g st n s

nsi

i

n

i

n( )( )

( )=+ −

−

171

Com isto, sugerimos o processo:

i) escolhe-se s1 como uma aproximação inicial para a raiz n-ésima de t; ii) calcula-se, pela Eq. (7), a primeira aproximação g(s1) ; iii) faz-se s2=g(s1) , como uma segunda aproximação e determina-se g2

(s1)=g(g(s1)) ; e assim sucessivamente até que se tenha |gi+1

(s1) - gi(s1)| < e, e > 0 sendo a precisão desejada.

4. Aplicações

4.1 Exemplo 1. Considere o cálculo de 37 25 , .

Escolhemos s1=2 como a aproximação inicial. Usando a Eq. (7), obtemos g(s1) =

2,06500. Fazendo agora s2 = g(s1) = 2,06500 como uma segunda aproximação, obtemos g(s2) =

2,06116. Prosseguimos até que o resultado seja repetido com certo número de decimais,

conforme a precisão desejada. Neste instante podemos dizer que a auto-consistência foi atingida e o processo converge.

A Tab. 1 resume os cálculos para as quatro primeiras iterações:

4.2 Exemplo 2. Considere o cálculo de 0 623 , partindo de diferentes aproximações iniciais.

Procedendo de modo análogo ao Exemplo 1, obtemos os resultados conforme

resumidos na Tabela 2, para aproximações iniciais s1 = 1 e s1 = 1,5.

Iteração si g(si) 1 2 2,06500 2 2,06500 2,06116 3 2,06116 2,06115 4 2,06115 2,06115

TABELA 1. Resumo do cálculo

conforme o Exemplo1.

Iteração si g(si) si g(si) 1 1 0,87333 1,5 1,09185 2 0,87333 0,85319 1,09185 0,90126 3 0,85319 0,85270 0,90126 0,85527 4 0,85270 0,85270 0,85527 0,85271 5 0,85271 0,85270 6 0,85270 0,85270 TABELA 2. Resumo do cálculo conforme Exemplo 2, para

diferentes aproximações iniciais.

5. Estudo da Convergência do Processo Iterativo Podemos reescrever a Eq. (7) para a função g(s) como:

g s sh s

h sonde h s s t

n( )( )

( ), ( ) (8)= − = −

′

É fácil ver que para p t g p pn= =, ( ) .

Seja então, I=(a,b), uma vizinhança de p tal que t In / 2 ∉ . Como g(s) é diferenciável em I , tomando s I y∈ ∃, entre s e p tal que :

g s g p s p g y( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = −′ 9

Temos ainda que:

y tn> / ( )2 10

Da Eq. (10), é fácil ver que t/yn

< 2. Supondo t e y de mesmo sinal, temos que 0 < t/yn.

Assim, 0 < t/yn < 2, ou seja

t y n/ ( )− <1 1 11

A partir da Eq. (8), podemos estimar h´

(y) como

h yn

nty k ty k

n

n

n n′ − −=

−− = − < =

−<( ) , ( )

11 1 0

11 12

Das Eqs. (10) e (12), vem que

h y k′<( ) ( )13

Logo, das Eqs. (9) e (13), concluímos que

g s p k s p s I( ) , ( )− < − ∀ ∈ 14

Da Eq. (14), vem que g I I( ) ⊂ . Agora, tomemos a sequência de iterados (si) , definida

por si+1 = g(si), começando por um s I1 ∈ . Como g I I s I i Ni( ) , ,⊂ ∈ ∀ ∈+1 .

A partir da Eq. (14), temos que

s t k s t k s t k b ain

in

in i

+ −

+− < − < − < < −1

21

1...

Como 0 < k < 1, segue que lim , , ( )s t o ou seja s tin

in

+− = →1 .

6. Referências Bibliográficas

BARONE JUNIOR, M., O algoritmo da Raiz Quadrada. Revista do Professor de Matemática, (2):23-27,1983.

PISKOUNOV, N., Calcul Différentiel et Intégral. 5a. Éd., Moscou, Éditions MIR,1972. Tomo I,

p.328. SILVA,Z. C., A raiz n-ésima pelo Método das Aproximações Sucessivas. Revista do Professor de

Matemática, (4):25-27,1984.