Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi .... baik menggunakan tabel kebenaran maupun aljabar Boolean. Bahasan ... Aljabar Boolean Dalil Teorema Hukum ... (A+B+C)(A’+B+D)

  • View
    225

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi .... baik menggunakan tabel kebenaran maupun aljabar Boolean....

  • @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 1 / 39

    Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi Logika

    Eko Didik Widianto (didik@undip.ac.id)

    Sistem Komputer - Universitas Diponegoro

  • Review Kuliah

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 2 / 39

    Sebelumnya konsep rangkaian logika telah dibahas, meliputi

    variabel, fungsi, ekspresi dan persamaan logika

    tabel kebenaran dari fungsi logika

    gerbang dan rangkaian logika

    analisis rangkaian logika

    Berikutnya adalah menggunakan konsep tersebut untuk mengimplementasikanfungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (sintesis), baik menggunakan tabelkebenaran maupun aljabar Boolean

  • Bahasan

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 3 / 39

    Aljabar BooleanDalil Teorema HukumPembuktian AljabarDiagram VennNotasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi LogikaProses SintesisSintesis dari TabelMinterm dan Bentuk SOPDuality SOP - POSMaxterm dan Bentuk POSKonversi BentukMenyederhanakan RangkaianGerbang NAND dan NORRangkaian NAND-NANDRangkaian NOR-NOR

  • Aljabar Boolean

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 4 / 39

  • Aljabar Boolean

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 5 / 39

    Skema untuk deskripsi aljabar dari prosesberpikir secara logika dan reasoning (tahun1849)

    Kemudian digunakan untuk menjabarkanrangkaian logika

    desain dan analisis rangkaian

    menyederhanakan suatu ekspresi logikauntuk implementasi fisik rangkaian yanglebih sederhana

    George Boole(1815-1864)

  • Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 6 / 39

    Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang diturunkan dariasumsi dasar (aksioma/dalil/postulat)

    1a. 0 0 = 02a. 1 1 = 13a. 0 1 = 1 0 = 04a. Jika x = 0, maka x = 1

    1b. 1 + 1 = 12b. 0 + 0 = 03b. 1 + 0 = 0 + 1 = 14b. Jika x = 1, maka x = 0

    Dalil dituliskan berpasangan untuk menunjukkan prinsip dualitas

    Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresitersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua + dengan atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya

    dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya

    Dual dari pernyataan benar adalah juga benar

  • Teorema 1 Variabel

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 7 / 39

    Aturan ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel tunggal

    5a. x 0 = 06a. x 1 = x7a. x x = x8a. x x = 0

    5b. x+ 1 = 16b. x+ 0 = x7b. x+ x = x8b. x+ x = 1

    9. x = x

    Pembuktian teorema dengan induksi

    Memasukkan nilai x = 0 dan x = 1 ke dalam ekspresi

    Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b) dansebaliknya

    f1(x1, x2) = x1 + x2 dualnya adalah f2(x1, x2) = x1 x2

    Misalnya: f1 = 0 + 0 = 0, f2 = 1 1 = 1, sehingga f1danf2 dual

  • Hukum-hukum Aljabar

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 8 / 39

    10a. x y = y x 10b. x + y = y + x Komutatif

    11a. x (y z) = (x y) z 11b. x + (y + z) = (x + y) + z Asosiatif

    12a. x (y + z) = x y + x z 12b. x + y z = (x + y) (x + z) Distributif

    13a. x + x y = x 13b. x (x + y) = x Absorsi

    14a. x y + x y = x 14b. (x + y) (x + y) = x Penggabungan

    15a. x y = x + y 15b. x + y = x y DeMorgan

    16a. x + x y = x + y 16b. x (x + y) = x y

    17a.

    x y+y z+x z = x y+x z

    17b. (x + y) (y + z) (x + z) =

    (x + y) (x + z)

    Konsensus

    Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat dilakukansecara induktif (dengan tabel kebenaran) maupun denganmelakukan perhitungan aljabar

    Contoh: teorema DeMorgan secara induktif

    Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan aljabar

  • Pembuktian Aljabar

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 9 / 39

    Buktikan persamaan logika berikut benar

    1.(x1 + x2) (x1 + x2) = x1 x2 + x1 x2

    2. x1 x3 + x2 x3 + x1 x3 + x2 x3 = x1 + x2

  • Pembuktian Aljabar

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 9 / 39

    Buktikan persamaan logika berikut benar

    1.(x1 + x2) (x1 + x2) = x1 x2 + x1 x2

    2. x1 x3 + x2 x3 + x1 x3 + x2 x3 = x1 + x2

    f = x1 x3 + x2 x3 + x1 x3 + x2 x3

    = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2

    = x1 + x2

    Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana, rangkaianlogika lebih sederhana

    Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsilogika di perangkat CAD

  • Diagram Venn

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 10 / 39

    Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi logika secara visual

    Suatu set s merupakan koleksi elemen yang merupakan anggotadari s

    dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau konstan

    Elemen (variabel/konstan) dinyatakan sebagai area dengan konturseperti kotak, lingkaran atau elips

  • Diagram Venn

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 11 / 39

  • DeMorgan: x y = x+ y

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 12 / 39

    Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua ekspresi sama

  • Notasi Operator Fungsi Logika

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 13 / 39

    Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara logika danaritmetika

    Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum)

    Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product)

    Operasi Notasi Operator KeteranganOR +,

    , | Bitwise OR

    AND ,

    , & Bitwise AND

    Ekpresi ABC+ABD+ACE

    Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP,sum-of-product terms)

    Ekspresi (A+B+C)(A+B+D)(A+C+E)

    Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan (POS,product-of-sum terms)

  • (Konvensi) Urutan Operasi

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 14 / 39

    Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsilogika dilakukan dengan urutan:

    1. NOT

    2. AND

    3. OR

    Misalnya ekspresi x+ x y

    variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-AND-kandengan variabel y

    term pertama dan kedua kemudian di-OR-kan

    Latihan

    Gambar rangkaian untuk persamaan logikaf = (x1 + x2) x3 dan f = x1 + x2 x3

  • Hasil yang Diharapkan Dari Kuliah

    Aljabar Boolean

    Dalil Teorema Hukum

    Pembuktian Aljabar

    Diagram Venn

    Notasi dan Urutan Operasi

    Sintesis Ekspresi Logika

    @2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 15 / 39

    Mahasiswa mampu:

    1. mengerti tentang dalil, teorema dan hukum aljabar

    2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif,manipulasi aljabar dan diagram Venn

    3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan dalil,teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar)

    4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR) danurutan operasi logika

  • Sintesis Ekspresi Logika

    Aljabar Boolean

    Sintesis Ekspresi Logika

    Proses Sintesis

    Sintesis dari Tabel

    Minterm dan Bentuk SOP

    Duality SOP - POS

    Maxterm dan Bentuk POS